Sa artikulong ito ipapakita ko sa iyo algorithm para sa paglutas ng pitong uri ng rational equation, na maaaring bawasan sa quadratic sa pamamagitan ng pagbabago ng mga variable. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga pagbabagong humahantong sa pagpapalit ay napaka hindi mahalaga, at medyo mahirap hulaan ang tungkol sa mga ito nang mag-isa.

Para sa bawat uri ng equation, ipapaliwanag ko kung paano gumawa ng pagbabago ng variable dito, at pagkatapos ay magpapakita ng detalyadong solusyon sa kaukulang video tutorial.

May pagkakataon kang magpatuloy sa paglutas ng mga equation sa iyong sarili, at pagkatapos ay suriin ang iyong solusyon sa aralin sa video.

Kaya simulan na natin.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Tandaan na sa kaliwang bahagi ng equation mayroong isang produkto ng apat na bracket, at sa kanang bahagi ay mayroong isang numero.

1. Ipangkat natin ang mga bracket sa dalawa upang ang kabuuan ng mga libreng termino ay pareho.

2. Paramihin sila.

3. Ipakilala natin ang pagbabago ng variable.

Sa aming equation, papangkatin namin ang unang bracket sa pangatlo, at ang pangalawa sa ikaapat, dahil (-1)+(-4)=(-7)+2:

Sa puntong ito ang pagpapalit ng variable ay nagiging halata:

Nakukuha namin ang equation

Sagot:

2 .

Ang isang equation ng ganitong uri ay katulad ng nauna na may isang pagkakaiba: sa kanang bahagi ng equation ay ang produkto ng numero at . At ito ay nalutas sa isang ganap na naiibang paraan:

1. Pinagpangkat namin ang mga bracket sa pamamagitan ng dalawa upang ang produkto ng mga libreng termino ay pareho.

2. I-multiply ang bawat pares ng bracket.

3. Kinukuha namin ang x sa bawat salik.

4. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng .

5. Ipinakilala namin ang pagbabago ng variable.

Sa equation na ito, pinapangkat namin ang unang bracket sa ikaapat, at ang pangalawa sa pangatlo, dahil:

Tandaan na sa bawat bracket ang koepisyent sa at ang libreng termino ay pareho. Kumuha tayo ng salik sa bawat bracket:

Dahil ang x=0 ay hindi isang ugat ng orihinal na equation, hinahati namin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng . Nakukuha namin:

Nakukuha namin ang equation:

Sagot:

3 .

Tandaan na ang mga denominador ng parehong mga fraction ay square trinomals, kung saan ang nangungunang koepisyent at ang libreng termino ay pareho. Kunin natin ang x sa bracket, tulad ng sa equation ng pangalawang uri. Nakukuha namin:

Hatiin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa x:

Ngayon ay maaari naming ipakilala ang isang variable na kapalit:

Kumuha kami ng equation para sa variable t:

4 .

Tandaan na ang mga coefficient ng equation ay simetriko na may paggalang sa gitnang isa. Ang equation na ito ay tinatawag maibabalik .

Upang malutas ito,

1. Hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng (Magagawa natin ito dahil ang x=0 ay hindi ugat ng equation.) Nakukuha natin ang:

2. Pangkatin natin ang mga termino sa ganitong paraan:

3. Sa bawat pangkat, alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

4. Ipakilala natin ang kapalit:

5. Ipahayag sa pamamagitan ng t ang expression:

Mula dito

Nakukuha namin ang equation para sa t:

Sagot:

5. Mga homogenous na equation.

Maaaring makatagpo ang mga equation na may homogenous na istraktura kapag nilulutas ang mga exponential, logarithmic at trigonometric equation, kaya kailangan mo itong makilala.

Ang mga homogenous na equation ay may sumusunod na istraktura:

Sa pagkakapantay-pantay na ito, ang A, B at C ay mga numero, at ang parisukat at bilog ay nagpapahiwatig ng magkatulad na mga expression. Iyon ay, sa kaliwang bahagi ng isang homogenous na equation mayroong isang kabuuan ng mga monomial na may parehong antas (sa sa kasong ito ang antas ng monomials ay 2), at walang libreng termino.

Upang magpasya homogenous na equation, hatiin ang magkabilang panig

Pansin! Kapag hinahati ang kanan at kaliwang bahagi ng isang equation sa pamamagitan ng isang expression na naglalaman ng hindi alam, maaari kang mawalan ng mga ugat. Samakatuwid, kinakailangang suriin kung ang mga ugat ng expression kung saan hinahati natin ang magkabilang panig ng equation ay ang mga ugat ng orihinal na equation.

Pumunta tayo sa unang paraan. Nakukuha namin ang equation:

Ngayon ipinakilala namin ang variable na kapalit:

Pasimplehin natin ang expression at makakuha ng bi quadratic equation kaugnay sa t:

Sagot: o

7 .

Ang equation na ito ay may sumusunod na istraktura:

Upang malutas ito, kailangan mong pumili ng isang kumpletong parisukat sa kaliwang bahagi ng equation.

Upang pumili ng isang buong parisukat, kailangan mong idagdag o ibawas nang dalawang beses ang produkto. Pagkatapos ay makuha namin ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba. Ito ay mahalaga para sa matagumpay na pagpapalit ng variable.

Magsimula tayo sa paghahanap ng dalawang beses sa produkto. Ito ang magiging susi sa pagpapalit ng variable. Sa aming equation, dalawang beses ang produkto ay katumbas ng

Ngayon, alamin natin kung ano ang mas maginhawa para sa atin - ang parisukat ng kabuuan o ang pagkakaiba. Isaalang-alang muna natin ang kabuuan ng mga expression:

Mahusay! Ang expression na ito ay eksaktong katumbas ng dalawang beses sa produkto. Pagkatapos, upang makuha ang parisukat ng kabuuan sa mga bracket, kailangan mong idagdag at ibawas ang dobleng produkto:

Sa madaling salita, ito ay mga equation kung saan mayroong kahit isang variable sa denominator.

Halimbawa:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Halimbawa Hindi fractional rational equation:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Paano nalulutas ang mga fractional rational equation?

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan tungkol sa mga fractional rational equation ay kailangan mong isulat sa kanila. At pagkatapos mahanap ang mga ugat, siguraduhing suriin ang mga ito para sa admissibility. Kung hindi, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat, at ang buong desisyon ay ituturing na hindi tama.

Algorithm para sa paglutas ng isang fractional rational equation:

Isulat at "solve" ang ODZ.

I-multiply ang bawat term sa equation sa pamamagitan ng karaniwang denominador at bawasan ang mga resultang fraction. Mawawala ang mga denominador.

Isulat ang equation nang hindi binubuksan ang mga panaklong.

Lutasin ang resultang equation.

Suriin ang mga natagpuang ugat gamit ang ODZ.

Isulat sa iyong sagot ang mga ugat na nakapasa sa pagsusulit sa hakbang 7.

Huwag kabisaduhin ang algorithm, 3-5 na nalutas na mga equation at ito ay maaalala nang mag-isa.

Halimbawa . Lutasin ang fractionally rational equation \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Solusyon:

Sagot: \(3\).

Halimbawa . Hanapin ang mga ugat ng fractional rational equation \(=0\)

Solusyon:

Sagot: \(\frac(1)(2)\).

Layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

• pagbuo ng konsepto ng fractional rational equation;
• isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation;
• isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation, kabilang ang kundisyon na ang fraction ay katumbas ng zero;
• turuan ang paglutas ng mga fractional rational equation gamit ang isang algorithm;
• pagsuri sa antas ng karunungan sa paksa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pagsusulit.

Pag-unlad:

• pagbuo ng kakayahang wastong gumana nang may nakuhang kaalaman at mag-isip nang lohikal;
• pag-unlad ng mga kasanayan sa intelektwal at pagpapatakbo ng isip - pagsusuri, synthesis, paghahambing at paglalahat;
• pagbuo ng inisyatiba, ang kakayahang gumawa ng mga desisyon, at hindi titigil doon;
• pag-unlad ng kritikal na pag-iisip;
• pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Edukasyon:

• pagpapaunlad ng nagbibigay-malay na interes sa paksa;
• pagpapaunlad ng kalayaan sa paggawa ng desisyon mga gawaing pang-edukasyon;
• pag-aalaga ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga huling resulta.

Uri ng aralin: aralin - pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Pag-unlad ng aralin

1. Organisasyon sandali.

Hello guys! May mga equation na nakasulat sa pisara, tingnan mong mabuti. Kaya mo bang lutasin ang lahat ng mga equation na ito? Alin ang hindi at bakit?

Ang mga equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay fractional rational expression ay tinatawag na fractional rational equation. Ano sa palagay mo ang pag-aaralan natin sa klase ngayon? Bumuo ng paksa ng aralin. Kaya, buksan ang iyong mga notebook at isulat ang paksa ng aralin na "Paglutas ng mga fractional rational equation."

2. Pag-update ng kaalaman. Frontal survey, oral work kasama ang klase.

At ngayon ay uulitin natin ang pangunahing teoretikal na materyal na kakailanganin nating pag-aralan ang isang bagong paksa. Pakisagot ang mga sumusunod na tanong:

1. Ano ang isang equation? ( Pagkakapantay-pantay sa isang variable o variable.)
2. Ano ang pangalan ng equation number 1? ( Linear.) Solusyon mga linear na equation. (Ilipat ang lahat ng hindi alam sa kaliwang bahagi equation, lahat ng numero ay nasa kanan. Magbigay ng mga katulad na termino. Maghanap ng hindi kilalang kadahilanan).
3. Ano ang pangalan ng equation number 3? ( Square.) Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. ( Pagbukod ng kumpletong parisukat gamit ang mga formula gamit ang theorem ni Vieta at ang mga corollaries nito.)
4. Ano ang proporsyon? ( Pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios.) Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. ( Kung tama ang proporsyon, kung gayon ang produkto ng mga matinding termino nito ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.)
5. Anong mga katangian ang ginagamit sa paglutas ng mga equation? ( 1. Kung ililipat mo ang isang term sa isang equation mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang sign nito, makakakuha ka ng katumbas na equation sa ibinigay na isa. 2. Kung ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, makakakuha ka ng equation na katumbas ng ibinigay na isa.)
6. Kailan katumbas ng zero ang isang fraction? ( Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero..)

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Lutasin ang equation No. 2 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 10.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lutasin ang equation No. 4 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 1,5.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa denominator? (No. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Sagot: 3;4.

Ngayon subukang lutasin ang equation number 7 gamit ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan.

Ipaliwanag kung bakit nangyari ito? Bakit may tatlong ugat sa isang kaso at dalawa sa isa pa? Anong mga numero ang mga ugat ng fractional rational equation na ito?

Hanggang ngayon, ang mga mag-aaral ay hindi nakatagpo ng konsepto ng isang extraneous na ugat na talagang napakahirap para sa kanila na maunawaan kung bakit ito nangyari. Kung walang sinuman sa klase ang makapagbibigay ng malinaw na paliwanag sa sitwasyong ito, magtatanong ang guro ng mga nangungunang tanong.

• Paano naiiba ang mga equation No. 2 at 4 sa mga equation No. 5,6,7? ( Sa mga equation No. 2 at 4 may mga numero sa denominator, No. 5-7 ay mga expression na may variable.)
• Ano ang ugat ng isang equation? ( Ang halaga ng variable kung saan nagiging totoo ang equation.)
• Paano malalaman kung ang isang numero ay ang ugat ng isang equation? ( Gumawa ng tseke.)

Sa pagsubok, napansin ng ilang estudyante na kailangan nilang hatiin sa zero. Napagpasyahan nila na ang mga numero 0 at 5 ay hindi ang mga ugat ng equation na ito. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation na nagpapahintulot sa amin na alisin ang error na ito? Oo, ang pamamaraang ito ay batay sa kondisyon na ang fraction ay katumbas ng zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Kung x=5, kung gayon ang x(x-5)=0, na nangangahulugang 5 ay isang extraneous na ugat.

Kung x=-2, kung gayon ang x(x-5)≠0.

Sagot: -2.

Subukan nating bumalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation sa ganitong paraan. Binubalangkas ng mga bata ang algorithm mismo.

Algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation:

1. Ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi.
2. Bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.
3. Lumikha ng isang sistema: ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay katumbas ng zero at ang denominator ay hindi katumbas ng zero.
4. Lutasin ang equation.
5. Suriin ang hindi pagkakapantay-pantay upang ibukod ang mga extraneous na ugat.
6. Isulat ang sagot.

Pagtalakay: kung paano gawing pormal ang solusyon kung ang pangunahing katangian ng proporsyon at pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator ay ginagamit. (Idagdag sa solusyon: ibukod mula sa mga ugat nito ang mga nagpapawala ng karaniwang denominator).

4. Paunang pag-unawa sa bagong materyal.

Magtrabaho nang magkapares. Pinipili ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang equation sa kanilang sarili depende sa uri ng equation. Mga takdang-aralin mula sa aklat-aralin na "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b,c,i); No. 601(a,e,g). Sinusubaybayan ng guro ang pagkumpleto ng gawain, sinasagot ang anumang mga tanong na lumabas, at nagbibigay ng tulong sa mga mag-aaral na mababa ang pagganap. Self-test: ang mga sagot ay nakasulat sa pisara.

b) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 3.

c) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 1.5.

a) Sagot: -12.5.

g) Sagot: 1;1.5.

5. Pagtatakda ng takdang-aralin.

1. Basahin ang talata 25 mula sa aklat-aralin, suriin ang mga halimbawa 1-3.
2. Matuto ng algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation.
3. Lutasin sa mga notebook Blg. 600 (a, d, e); No. 601(g,h).
4. Subukang lutasin ang No. 696(a) (opsyonal).

6. Pagkumpleto ng control task sa paksang pinag-aralan.

Ang gawain ay ginagawa sa mga piraso ng papel.

Halimbawang gawain:

A) Alin sa mga equation ang fractional rational?

B) Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay ____________________ at ang denominator ay _______________________.

Q) Ang numero ba ay -3 ang ugat ng equation number 6?

D) Lutasin ang equation No. 7.

Pamantayan sa pagtatasa para sa takdang-aralin:

• Ang “5” ay ibinibigay kung natapos ng mag-aaral ang higit sa 90% ng gawain nang tama.
• "4" - 75%-89%
• "3" - 50%-74%
• Ang “2” ay ibinibigay sa isang mag-aaral na nakatapos ng mas mababa sa 50% ng gawain.
• Ang rating na 2 ay hindi ibinigay sa journal, 3 ay opsyonal.

7. Pagninilay.

Sa mga independent work sheet, isulat ang:

• 1 - kung ang aralin ay kawili-wili at naiintindihan mo;
• 2 - kawili-wili, ngunit hindi malinaw;
• 3 - hindi kawili-wili, ngunit naiintindihan;
• 4 - hindi kawili-wili, hindi malinaw.

8. Pagbubuod ng aralin.

Kaya, ngayon sa aralin nakilala namin ang mga fractional rational equation, natutunan kung paano lutasin ang mga equation na ito sa iba't ibang paraan, sinubukan ang kanilang kaalaman sa tulong ng isang pagsasanay malayang gawain. Malalaman mo ang mga resulta ng iyong malayang gawain sa susunod na aralin, at sa bahay ay magkakaroon ka ng pagkakataong pagsamahin ang iyong kaalaman.

Aling paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation, sa iyong palagay, ang mas madali, mas madaling makuha, at mas makatuwiran? Anuman ang paraan para sa paglutas ng mga fractional rational equation, ano ang dapat mong tandaan? Ano ang "tuso" ng fractional rational equation?

Salamat sa lahat, tapos na ang lesson.

"Paglutas ng mga fractional rational equation"

Layunin ng aralin:

Pang-edukasyon:

pagbuo ng konsepto ng fractional rational equation; isaalang-alang ang iba't ibang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation; isaalang-alang ang isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation, kabilang ang kundisyon na ang fraction ay katumbas ng zero; turuan ang paglutas ng mga fractional rational equation gamit ang isang algorithm; pagsuri sa antas ng karunungan sa paksa sa pamamagitan ng pagsasagawa ng pagsusulit.

Pag-unlad:

pagbuo ng kakayahang wastong gumana nang may nakuhang kaalaman at mag-isip nang lohikal; pag-unlad ng mga kasanayan sa intelektwal at pagpapatakbo ng isip - pagsusuri, synthesis, paghahambing at paglalahat; pagbuo ng inisyatiba, ang kakayahang gumawa ng mga desisyon, at hindi titigil doon; pag-unlad ng kritikal na pag-iisip; pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik.

Edukasyon:

pagpapaunlad ng nagbibigay-malay na interes sa paksa; pagpapaunlad ng kalayaan sa paglutas ng mga problema sa edukasyon; pag-aalaga ng kalooban at tiyaga upang makamit ang mga huling resulta.

Uri ng aralin: aralin - pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Pag-unlad ng aralin

1. Organisasyon sandali.

Hello guys! May mga equation na nakasulat sa pisara, tingnan mong mabuti. Kaya mo bang lutasin ang lahat ng mga equation na ito? Alin ang hindi at bakit?

Ang mga equation kung saan ang kaliwa at kanang gilid ay fractional rational expression ay tinatawag na fractional rational equation. Ano sa palagay mo ang pag-aaralan natin sa klase ngayon? Bumuo ng paksa ng aralin. Kaya, buksan ang iyong mga notebook at isulat ang paksa ng aralin na "Paglutas ng mga fractional rational equation."

2. Pag-update ng kaalaman. Frontal survey, oral work kasama ang klase.

At ngayon ay uulitin natin ang pangunahing teoretikal na materyal na kakailanganin nating pag-aralan ang isang bagong paksa. Pakisagot ang mga sumusunod na tanong:

1. Ano ang equation? ( Pagkakapantay-pantay sa isang variable o variable.)

2. Ano ang pangalan ng equation No. 1? ( Linear.) Isang paraan para sa paglutas ng mga linear equation. ( Ilipat ang lahat ng bagay na may hindi alam sa kaliwang bahagi ng equation, lahat ng numero sa kanan. Magbigay ng mga katulad na termino. Maghanap ng hindi kilalang kadahilanan).

3. Ano ang pangalan ng equation No. 3? ( Square.) Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation. ( Pagbukod ng kumpletong parisukat gamit ang mga formula gamit ang theorem ni Vieta at ang mga corollaries nito.)

4. Ano ang proporsyon? ( Pagkakapantay-pantay ng dalawang ratios.) Ang pangunahing pag-aari ng proporsyon. ( Kung tama ang proporsyon, kung gayon ang produkto ng mga matinding termino nito ay katumbas ng produkto ng mga gitnang termino.)

5. Anong mga katangian ang ginagamit sa paglutas ng mga equation? ( 1. Kung ililipat mo ang isang term sa isang equation mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang sign nito, makakakuha ka ng katumbas na equation sa ibinigay na isa. 2. Kung ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati sa parehong di-zero na numero, makakakuha ka ng equation na katumbas ng ibinigay na isa.)

6. Kailan katumbas ng zero ang isang fraction? ( Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay zero at ang denominator ay hindi zero..)

3. Pagpapaliwanag ng bagong materyal.

Lutasin ang equation No. 2 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 10.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin gamit ang pangunahing katangian ng proporsyon? (No. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Lutasin ang equation No. 4 sa iyong mga notebook at sa pisara.

Sagot: 1,5.

Anong fractional rational equation ang maaari mong subukang lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa denominator? (No. 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Sagot: 3;4.

Ngayon subukang lutasin ang equation number 7 gamit ang isa sa mga sumusunod na pamamaraan.

Ipaliwanag kung bakit nangyari ito? Bakit may tatlong ugat sa isang kaso at dalawa sa isa pa? Anong mga numero ang mga ugat ng fractional rational equation na ito?

Hanggang ngayon, ang mga mag-aaral ay hindi nakatagpo ng konsepto ng isang extraneous na ugat na talagang napakahirap para sa kanila na maunawaan kung bakit ito nangyari. Kung walang sinuman sa klase ang makapagbibigay ng malinaw na paliwanag sa sitwasyong ito, magtatanong ang guro ng mga nangungunang tanong.

Paano naiiba ang mga equation No. 2 at 4 sa mga equation No. 5,6,7? ( Sa mga equation No. 2 at 4 may mga numero sa denominator, No. 5-7 ay mga expression na may variable.) Ano ang ugat ng isang equation? ( Ang halaga ng variable kung saan nagiging totoo ang equation.) Paano malalaman kung ang isang numero ay ang ugat ng isang equation? ( Gumawa ng tseke.)

Sa pagsubok, napansin ng ilang estudyante na kailangan nilang hatiin sa zero. Napagpasyahan nila na ang mga numero 0 at 5 ay hindi ang mga ugat ng equation na ito. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang paraan upang malutas ang mga fractional rational equation na nagpapahintulot sa amin na alisin ang error na ito? Oo, ang pamamaraang ito ay batay sa kondisyon na ang fraction ay katumbas ng zero.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Kung x=5, kung gayon ang x(x-5)=0, na nangangahulugang 5 ay isang extraneous na ugat.

Kung x=-2, kung gayon ang x(x-5)≠0.

Sagot: -2.

Subukan nating bumalangkas ng isang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation sa ganitong paraan. Binubalangkas ng mga bata ang algorithm mismo.

Algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation:

1. Ilipat ang lahat sa kaliwang bahagi.

2. Bawasan ang mga fraction sa isang karaniwang denominator.

3. Lumikha ng isang sistema: ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay katumbas ng zero at ang denominator ay hindi katumbas ng zero.

4. Lutasin ang equation.

5. Suriin ang hindi pagkakapantay-pantay upang ibukod ang mga extraneous na ugat.

6. Isulat ang sagot.

Pagtalakay: kung paano gawing pormal ang solusyon kung ang pangunahing katangian ng proporsyon at pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang karaniwang denominator ay ginagamit. (Idagdag sa solusyon: ibukod mula sa mga ugat nito ang mga nagpapawala ng karaniwang denominator).

4. Paunang pag-unawa sa bagong materyal.

Magtrabaho nang magkapares. Pinipili ng mga mag-aaral kung paano lutasin ang equation sa kanilang sarili depende sa uri ng equation. Mga takdang-aralin mula sa aklat-aralin na "Algebra 8", 2007: No. 000 (b, c, i); No. 000(a, d, g). Sinusubaybayan ng guro ang pagkumpleto ng gawain, sinasagot ang anumang mga tanong na lumabas, at nagbibigay ng tulong sa mga mag-aaral na mababa ang pagganap. Self-test: ang mga sagot ay nakasulat sa pisara.

b) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 3.

c) 2 – extraneous na ugat. Sagot: 1.5.

a) Sagot: -12.5.

g) Sagot: 1;1.5.

5. Pagtatakda ng takdang-aralin.

2. Alamin ang algorithm para sa paglutas ng mga fractional rational equation.

3. Lutasin sa mga kuwaderno Blg. 000 (a, d, e); Hindi. 000(g, h).

4. Subukang lutasin ang No. 000(a) (opsyonal).

6. Pagkumpleto ng control task sa paksang pinag-aralan.

Ang gawain ay ginagawa sa mga piraso ng papel.

Halimbawang gawain:

A) Alin sa mga equation ang fractional rational?

B) Ang isang fraction ay katumbas ng zero kapag ang numerator ay ____________________ at ang denominator ay _______________________.

Q) Ang numero ba ay -3 ang ugat ng equation number 6?

D) Lutasin ang equation No. 7.

Pamantayan sa pagtatasa para sa takdang-aralin:

Ang "5" ay ibinibigay kung natapos ng mag-aaral ang higit sa 90% ng gawain nang tama. Ang “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” ay ibinibigay sa isang mag-aaral na nakatapos ng mas mababa sa 50% ng gawain. Ang rating na 2 ay hindi ibinigay sa journal, 3 ay opsyonal.

7. Pagninilay.

Sa mga independent work sheet, isulat ang:

1 - kung ang aralin ay kawili-wili at naiintindihan mo; 2 - kawili-wili, ngunit hindi malinaw; 3 - hindi kawili-wili, ngunit naiintindihan; 4 - hindi kawili-wili, hindi malinaw.

8. Pagbubuod ng aralin.

Kaya, ngayon sa aralin ay nakilala namin ang mga fractional rational equation, natutunang lutasin ang mga equation na ito sa iba't ibang paraan, at sinubukan ang aming kaalaman sa tulong ng independiyenteng gawaing pang-edukasyon. Malalaman mo ang mga resulta ng iyong malayang gawain sa susunod na aralin, at sa bahay ay magkakaroon ka ng pagkakataong pagsamahin ang iyong kaalaman.

Aling paraan ng paglutas ng mga fractional rational equation, sa iyong palagay, ang mas madali, mas madaling makuha, at mas makatuwiran? Anuman ang paraan para sa paglutas ng mga fractional rational equation, ano ang dapat mong tandaan? Ano ang "tuso" ng fractional rational equation?

Salamat sa lahat, tapos na ang lesson.

T. Kosyakova,
Paaralan No. 80, Krasnodar

Paglutas ng mga quadratic at fractional rational equation na naglalaman ng mga parameter

Aralin 4

Paksa ng aralin:

Layunin ng aralin: bumuo ng kakayahang malutas ang mga fractional rational equation na naglalaman ng mga parameter.

Uri ng aralin: pagpapakilala ng bagong materyal.

1. (Pasalita) Lutasin ang mga equation:

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

Solusyon.

Maghanap tayo ng mga di-wastong halaga a:

Sagot. Kung Kung a = – 19 , pagkatapos ay walang mga ugat.

Halimbawa 2. Lutasin ang equation

Solusyon.

Maghanap tayo ng mga di-wastong value ng parameter a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Sagot. Kung a = 5 a № 5 , Iyon x=10– a .

Halimbawa 3. Sa anong mga halaga ng parameter b equation may:

a) dalawang ugat; b) ang tanging ugat?

Solusyon.

1) Maghanap ng mga di-wastong value ng parameter b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 o b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 o b = – 2.

2) Lutasin ang equation x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 – 1), D = 4 b 2 .

A)

Hindi kasama ang mga di-wastong value ng parameter b , nakita natin na ang equation ay may dalawang ugat kung b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, ngunit ito ay isang di-wastong halaga ng parameter b ; Kung b 2 –1=0 , ibig sabihin. b=1 o.

Sagot: a) kung b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , pagkatapos ay dalawang ugat; b) kung b=1 o b=–1 , pagkatapos ay ang tanging ugat.

Malayang gawain

Opsyon 1

Lutasin ang mga equation:

Opsyon 2

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot

B-1. a) Kung a=3 , pagkatapos ay walang mga ugat; Kung b) kung kung a № 2 , pagkatapos ay walang mga ugat.

B-2. Kung a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; Kung a=0 , pagkatapos ay walang mga ugat; Kung
b) kung a=– 1 , kung gayon ang equation ay magiging walang kabuluhan; kung walang mga ugat;
Kung

Takdang-aralin.

Lutasin ang mga equation:

Mga sagot: a) Kung a № –2 , Iyon x= a ; Kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; b) kung a № –2 , Iyon x=2; Kung a=–2 , pagkatapos ay walang mga solusyon; c) kung a=–2 , Iyon x– anumang numero maliban 3 ; Kung a № –2 , Iyon x=2; d) kung a=–8 , pagkatapos ay walang mga ugat; Kung a=2 , pagkatapos ay walang mga ugat; Kung

Aralin 5

Paksa ng aralin:"Paglutas ng mga fractional rational equation na naglalaman ng mga parameter."

Layunin ng aralin:

pagsasanay sa paglutas ng mga equation na may hindi pamantayang kondisyon;
mulat na asimilasyon ng mga mag-aaral ng mga konseptong algebra at koneksyon sa pagitan nila.

Uri ng aralin: sistematisasyon at paglalahat.

Sinusuri ang takdang-aralin.

Halimbawa 1. Lutasin ang equation

a) may kaugnayan sa x; b) kamag-anak sa y.

Solusyon.

a) Maghanap ng mga di-wastong halaga y: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– di-wastong halaga ng parameter y.

Kung y№ 0 , Iyon x=y–2; Kung y=0, kung gayon ang equation ay magiging walang kabuluhan.

b) Maghanap ng mga di-wastong halaga ng parameter x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– di-wastong halaga ng parameter x; y(2+x–y)=0, y=0 o y=2+x;

y=0 hindi nakakatugon sa kondisyon y(y–x)№ 0 .

Sagot: a) kung y=0, kung gayon ang equation ay magiging walang kabuluhan; Kung y№ 0 , Iyon x=y–2; b) kung x=0 x№ 0 , Iyon y=2+x .

Halimbawa 2. Para sa anong mga halaga ng integer ng parameter a ang mga ugat ng equation nabibilang sa pagitan

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Kung a № 0 o a № – 1 , Iyon

Sagot: 5 .

Halimbawa 3. Maghanap ng medyo x mga integer na solusyon sa equation

Sagot. Kung y=0, kung gayon ang equation ay walang kahulugan; Kung y=–1, Iyon x– anumang integer maliban sa zero; Kung y№ 0, y№ – 1, pagkatapos ay walang mga solusyon.

Halimbawa 4. Lutasin ang equation may mga parameter a At b .

Kung a№ –b , Iyon

Sagot. Kung a= 0 o b= 0 , kung gayon ang equation ay magiging walang kabuluhan; Kung a№ 0, b№ 0, a=–b , Iyon x– anumang numero maliban sa zero; Kung a№ 0, b№ 0, a№ –b, yun x=–a, x=–b .

Halimbawa 5. Patunayan na para sa anumang halaga ng parameter n maliban sa zero, ang equation ay may iisang ugat na katumbas ng –n .

Solusyon.

i.e. x=–n, na kung ano ang kailangang patunayan.

Takdang-aralin.

1. Maghanap ng mga integer na solusyon sa equation

2. Sa anong mga halaga ng parameter c equation may:
a) dalawang ugat; b) ang tanging ugat?

3. Hanapin ang lahat ng integer na ugat ng equation Kung a TUNGKOL SA N .

4. Lutasin ang equation 3xy – 5x + 5y = 7: a) medyo y; b) medyo x .

1. Ang equation ay nasiyahan sa pamamagitan ng anumang integer equal values ​​ng x at y maliban sa zero.
2. a) Kailan
b) sa o
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Kung pagkatapos ay walang mga ugat; Kung
b) kung pagkatapos ay walang mga ugat; Kung

Pagsubok

Opsyon 1

1. Tukuyin ang uri ng equation 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 kailan: a) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. Lutasin ang mga equation: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Lutasin ang equation 3x–xy–2y=1:

a) medyo x ;
b) medyo y .

nx 2 – 26x + n = 0, alam na ang parameter n ay tumatanggap lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng b ginagawa ang equation may:

a) dalawang ugat;
b) ang tanging ugat?

Opsyon 2

1. Tukuyin ang uri ng equation 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 kailan: a) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. Lutasin ang mga equation: a) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Lutasin ang equation 6x–xy+2y=5:

a) medyo x ;
b) medyo y .

4. Hanapin ang mga integer na ugat ng equation nx 2 –22x+2n=0 , alam na ang parameter n ay tumatanggap lamang ng mga halaga ng integer.

5. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation may:

a) dalawang ugat;
b) ang tanging ugat?

Mga sagot

B-1. 1. a) Linear equation;
b) hindi kumpletong quadratic equation; c) quadratic equation.
2. a) Kung b=0, Iyon x=0; Kung b№ 0, Iyon x=0, x=b;
b) Kung cО (9;+Ґ ), pagkatapos ay walang mga ugat;
c) kung a=–4 , kung gayon ang equation ay magiging walang kabuluhan; Kung a№ –4 , Iyon x=– a .
3. a) Kung y=3, pagkatapos ay walang mga ugat; Kung);
b) a=–3, a=1.

Mga karagdagang gawain

Lutasin ang mga equation:

Panitikan

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Tungkol sa mga parameter mula sa simula. – Tutor, Blg. 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Mga kinakailangan sa mga problema sa mga parameter. – Kvant, No. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Paglutas ng problema naglalaman ng mga parameter. Bahagi 2. – M., Pananaw, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Limang daan at labing-apat na problema sa mga parameter. – Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Mga problema sa mga parameter. – M., Edukasyon, 1986.