8 mga halimbawa ng factorization ng polynomials ay ibinigay. Kasama sa mga ito ang mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic at biquadratic na equation, mga halimbawa ng reciprocal polynomial, at mga halimbawa ng paghahanap ng integer roots ng third- at fourth-degree polynomial.

1. Mga halimbawa sa paglutas ng isang quadratic equation

Halimbawa 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Solusyon

Inilabas namin ang x 2 sa labas ng mga bracket:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Mga ugat ng equation:
, .

.

Sagot

Halimbawa 1.2

I-factor ang third degree polynomial:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Solusyon

Alisin natin ang x sa mga bracket:
.
Magdesisyon tayo quadratic equation x 2 + 6 x + 9 = 0:
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant ay zero, ang mga ugat ng equation ay multiple: ;
.

Mula dito nakukuha natin ang factorization ng polynomial:
.

Sagot

Halimbawa 1.3

I-factor ang fifth degree polynomial:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Solusyon

Inilabas namin ang x 3 sa labas ng mga bracket:
.
Paglutas ng quadratic equation x 2 - 2 x + 10 = 0.
Ang discriminant nito: .
Dahil ang discriminant mas mababa sa zero, kung gayon ang mga ugat ng equation ay kumplikado: ;
, .

Ang factorization ng polynomial ay may anyo:
.

Kung kami ay interesado sa factorization na may mga tunay na coefficient, kung gayon:
.

Sagot

Mga halimbawa ng factoring polynomial gamit ang mga formula

Mga halimbawa na may biquadratic polynomial

Halimbawa 2.1

I-factor ang biquadratic polynomial:
x 4 + x 2 - 20.

Solusyon

Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b).

;
.

Sagot

Halimbawa 2.2

I-factor ang polynomial na bumababa sa isang biquadratic:
x 8 + x 4 + 1.

Solusyon

Ilapat natin ang mga formula:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b)(a + b):

;

;
.

Sagot

Halimbawa 2.3 na may paulit-ulit na polynomial

I-factor ang reciprocal polynomial:
.

Solusyon

Ang isang reciprocal polynomial ay may kakaibang antas. Samakatuwid ito ay may ugat x = - 1 . Hatiin ang polynomial sa x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Sagot

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Gumawa tayo ng pagpapalit:

Mga halimbawa ng factoring polynomial na may mga integer na ugat
.

Solusyon

Halimbawa 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Salik ang polynomial:;
Ipagpalagay natin na ang equation;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Kaya, natagpuan namin ang tatlong ugat:
.

Sagot

, x

Mga halimbawa ng factoring polynomial na may mga integer na ugat
.

Solusyon

Halimbawa 3.1

Dahil ang orihinal na polynomial ay nasa ikatlong antas, ito ay hindi hihigit sa tatlong mga ugat. Dahil nakakita kami ng tatlong ugat, simple lang sila. Pagkatapos 2 Halimbawa 3.2
-2, -1, 1, 2 .
ay may kahit isang buong ugat. Pagkatapos ito ay isang divisor ng numero
(miyembro na walang x). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero: 6 ;
Isa-isa naming pinapalitan ang mga halagang ito: 0 ;
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 Halimbawa 3.2
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2 = -1 Palitan natin ang x =
.

Kaya, nakahanap kami ng isa pang ugat x 2 + 2 = 0 .

Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit ipapangkat namin ang mga termino:

Dahil ang equation x

ay walang tunay na mga ugat, kung gayon ang factorization ng polynomial ay may anyo.

Hanapin natin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng quadratic equation. Gamit ang mga formula (59.8) para sa mga ugat ng equation sa itaas, nakukuha namin (halata ang unang pagkakapantay-pantay, ang pangalawa ay nakuha pagkatapos ng isang simpleng pagkalkula, na isasagawa ng mambabasa nang nakapag-iisa; maginhawang gamitin ang formula para sa pagpaparami ng kabuuan ng dalawang numero sa kanilang pagkakaiba). Ang mga sumusunod ay napatunayan na

Ang teorama ni Vieta. Ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng pangalawang coefficient c

kabaligtaran ng tanda

, at ang kanilang produkto ay katumbas ng libreng termino.

Sa kaso ng hindi nabawasang quadratic equation, dapat palitan ng isa ang mga expression ng formula (60.1) sa mga formula (60.1) at kunin ang form

Halimbawa 1. Bumuo ng isang quadratic equation gamit ang mga ugat nito:

Solusyon, a) Nalaman namin na ang equation ay may anyo

Halimbawa 2. Hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat ng equation nang hindi nilulutas ang mismong equation.

Solusyon. Ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay kilala. Katawanin natin ang kabuuan ng mga squared na ugat sa anyo

at nakukuha namin

Mula sa mga formula ng Vieta, madaling makuha ang formula

na kung ano ang kailangan naming makuha.

Ang derivation sa itaas ng mga formula ng Vieta ay pamilyar sa mambabasa mula sa kursong algebra mataas na paaralan. Ang isa pang konklusyon ay maaaring ibigay gamit ang Bezout's theorem at factorization ng polynomial (mga talata 51, 52).

Hayaan ang mga ugat ng equation pagkatapos ay maging pangkalahatang tuntunin(52.2) ang trinomial sa kaliwang bahagi ng equation ay naka-factor:

Ang pagbubukas ng mga panaklong sa kanang bahagi ng magkatulad na pagkakapantay-pantay na ito, nakuha namin

at ang paghahambing ng mga coefficient sa parehong kapangyarihan ay magbibigay sa atin ng Vieta formula (60.1).

Ang bentahe ng derivation na ito ay maaari din itong ilapat sa mga equation mas mataas na antas upang makakuha ng mga expression para sa mga coefficient ng isang equation sa pamamagitan ng mga ugat nito (nang hindi hinahanap ang mga ugat mismo!). Halimbawa, kung ang mga ugat ng ibinigay na cubic equation

ang kakanyahan ay na ayon sa pagkakapantay-pantay (52.2) makikita natin

(sa aming kaso, ang pagbubukas ng mga bracket sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at pagkolekta ng mga coefficient sa iba't ibang antas, nakukuha namin

Ang mundo ay nahuhulog sa isang malaking bilang ng mga numero. Ang anumang mga kalkulasyon ay nangyayari sa kanilang tulong.

Natututo ang mga tao ng mga numero upang maiwasang malinlang sa susunod na buhay. Ito ay tumatagal ng isang malaking halaga ng oras upang maging edukado at malaman ang iyong sariling badyet.

Ang matematika ay isang eksaktong agham na may malaking papel sa buhay. Sa paaralan, pinag-aaralan ng mga bata ang mga numero, at pagkatapos, ang mga aksyon sa kanila.

Ang mga operasyon sa mga numero ay ganap na naiiba: multiplikasyon, pagpapalawak, karagdagan, at iba pa. Bilang karagdagan sa mga simpleng formula, ang mas kumplikadong mga aksyon ay ginagamit din sa pag-aaral ng matematika. Mayroong isang malaking bilang ng mga formula na maaaring magamit upang malaman ang anumang mga halaga.

Sa paaralan, sa sandaling lumitaw ang algebra, ang mga formula ng pagpapasimple ay idinagdag sa buhay ng mag-aaral. May mga equation kung saan mayroong dalawang hindi kilalang numero, ngunit hanapin sa simpleng paraan hindi ito gagana. Ang trinomial ay isang kumbinasyon ng tatlong monomial gamit ang simpleng paraan ng pagbabawas at pagdaragdag. Ang trinomial ay nalulutas gamit ang Vieta's theorem at ang discriminant.

Formula para sa factoring ng isang quadratic trinomial

May dalawang tama at mga simpleng solusyon halimbawa:

• may diskriminasyon;
• Ang teorama ni Vieta.

Ang isang square trinomial ay may hindi kilalang squared at isang numero din na walang square. Ang unang opsyon upang malutas ang problema ay gumagamit ng formula ng Vieta. Ito ay isang simpleng formula, kung ang mga numero na nakatayo bago ang hindi alam ay magiging pinakamababang halaga.

Para sa iba pang mga equation kung saan ang isang numero ay nauuna sa hindi alam, ang equation ay dapat malutas sa pamamagitan ng discriminant. Ito ay isang mas kumplikadong solusyon, ngunit ang discriminant ay ginagamit nang mas madalas kaysa sa teorama ni Vieta.

Sa una, upang mahanap ang lahat mga variable ng equation kinakailangang itaas ang halimbawa sa 0. Maaaring suriin ang solusyon sa halimbawa at malalaman mo kung tama ang pagsasaayos ng mga numero.

Nakakadiskrimina

1. Kinakailangang ipantay ang equation sa 0.

2. Ang bawat bilang bago ang x ay tatawaging mga numerong a, b, c. Dahil walang numero bago ang unang parisukat x, ito ay katumbas ng 1.

3. Ngayon ang solusyon sa equation ay nagsisimula sa pamamagitan ng discriminant:

4. Ngayon nahanap na namin ang discriminant at nakahanap kami ng dalawang x. Ang pagkakaiba ay na sa isang kaso b ay mauunahan ng isang plus, at sa isa pa ay isang minus:

5. Sa pamamagitan ng paglutas ng dalawang numero ang mga resulta ay -2 at -1. Palitan sa orihinal na equation:

6. Sa halimbawang ito naging dalawa tamang pagpipilian. Kung magkasya ang parehong mga solusyon, ang bawat isa sa kanila ay totoo.

Ang mas kumplikadong mga equation ay nalulutas din gamit ang discriminant. Ngunit kung ang discriminant value mismo ay mas mababa sa 0, kung gayon ang halimbawa ay hindi tama. Kapag naghahanap, palaging nasa ugat ang discriminant, at hindi maaaring nasa ugat ang negatibong halaga.

Ang teorama ni Vieta

Ito ay ginagamit upang malutas ang mga madaling problema kung saan ang unang x ay hindi pinangungunahan ng isang numero, iyon ay, a=1. Kung ang opsyon ay tumutugma, pagkatapos ay ang pagkalkula ay isinasagawa gamit ang Vieta's theorem.

Upang malutas ang anumang trinomial kinakailangang itaas ang equation sa 0. Ang mga unang hakbang ng discriminant at theorem ni Vieta ay hindi naiiba.

2. Ngayon ang mga pagkakaiba sa pagitan ng dalawang pamamaraan ay nagsisimula. Ang teorama ni Vieta ay gumagamit ng hindi lamang "tuyo" na pagkalkula, kundi pati na rin ang lohika at intuwisyon. Ang bawat numero ay may sariling titik a, b, c. Ginagamit ng theorem ang kabuuan at produkto ng dalawang numero.

Tandaan! Ang numerong b ay palaging may kabaligtaran na tanda kapag idinagdag, ngunit ang bilang c ay nananatiling hindi nagbabago!

Ang pagpapalit ng mga halaga ng data sa halimbawa , makuha namin:

3. Gamit ang paraan ng lohika, pinapalitan namin ang pinaka-angkop na mga numero. Isaalang-alang natin ang lahat ng posibleng solusyon:

1. Ang mga numero ay 1 at 2. Kapag idinagdag, makakakuha tayo ng 3, ngunit kung mag-multiply tayo, hindi tayo makakakuha ng 4. Hindi magkasya.
2. Halaga 2 at -2. Kapag pinarami ito ay magiging -4, ngunit kapag idinagdag ito ay magiging 0. Hindi angkop.
3. Bilang 4 at -1. Dahil ang multiplikasyon ay nagsasangkot ng negatibong halaga, nangangahulugan ito na ang isa sa mga numero ay magkakaroon ng minus. Angkop para sa pagdaragdag at pagpaparami. Tamang opsyon.

4. Ang natitira na lang ay suriin sa pamamagitan ng paglalagay ng mga numero at tingnan kung tama ang napiling opsyon.

5. Salamat sa online na pagsusuri, nalaman namin na ang -1 ay hindi umaangkop sa mga kondisyon ng halimbawa, at samakatuwid ay isang maling solusyon.

Kapag nagdaragdag ng negatibong halaga sa halimbawa, dapat mong ilagay ang numero sa mga panaklong.

Laging magkakaroon sa matematika mga simpleng gawain at kumplikado. Ang agham mismo ay may kasamang iba't ibang mga problema, teorema at mga pormula. Kung naiintindihan mo at inilapat ang kaalaman nang tama, kung gayon ang anumang mga paghihirap sa mga kalkulasyon ay magiging walang halaga.

Ang matematika ay hindi nangangailangan ng patuloy na pagsasaulo. Kailangan mong matutunang maunawaan ang solusyon at matuto ng ilang formula. Unti-unti, ayon sa mga lohikal na konklusyon, posible na malutas ang mga katulad na problema at equation. Ang ganitong agham ay maaaring mukhang napakahirap sa unang tingin, ngunit kung ang isang tao ay bumulusok sa mundo ng mga numero at problema, kung gayon ang pananaw ay magbabago nang malaki sa mas magandang panig.

Mga teknikal na espesyalidad palaging nananatiling pinaka hinahangad sa mundo. Ngayon, sa mundo makabagong teknolohiya, ang matematika ay naging isang kailangang-kailangan na katangian ng anumang larangan. Dapat nating tandaan palagi mga kapaki-pakinabang na katangian matematika.

Pagpapalawak ng trinomial gamit ang isang panaklong

Bilang karagdagan sa paglutas ng mga karaniwang pamamaraan, mayroong isa pa - agnas sa mga bracket. Ginamit gamit ang Vieta formula.

1. I-equate ang equation sa 0.

palakol 2 +bx+c= 0

2. Ang mga ugat ng equation ay nananatiling pareho, ngunit sa halip na zero ay gumagamit na sila ngayon ng mga formula ng pagpapalawak sa mga bracket.

palakol 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Solusyon x=-1, x=3

Ang pag-factor ng quadratic trinomals ay isa sa mga takdang-aralin sa paaralan na kinahaharap ng lahat maaga o huli. Paano ito gagawin? Ano ang formula para sa factoring ng isang quadratic trinomial? Alamin natin ito nang sunud-sunod sa tulong ng mga halimbawa.

Pangkalahatang pormula

Ang mga quadratic na trinomyal ay na-factorize sa pamamagitan ng paglutas ng isang quadratic equation. Ito ay isang simpleng problema na maaaring malutas sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan - sa pamamagitan ng paghahanap ng discriminant, gamit ang Vieta's theorem, mayroon ding isang graphical na solusyon. Ang unang dalawang pamamaraan ay pinag-aaralan sa mataas na paaralan.

Ang pangkalahatang formula ay ganito:lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Algorithm para sa pagkumpleto ng gawain

Upang ma-factor ang mga quadratic trinomial, kailangan mong malaman ang theorem ng Vita, magkaroon ng solusyon na programa, makahanap ng solusyon sa graphic na paraan, o maghanap ng mga ugat ng isang second-degree na equation gamit ang discriminant formula. Kung ang isang quadratic trinomial ay ibinigay at kailangan itong i-factorize, ang algorithm ay ang mga sumusunod:

1) Equate ang orihinal na expression sa zero upang makakuha ng isang equation.

2) Dalhin magkatulad na termino(kung may ganoong pangangailangan).

3) Hanapin ang mga ugat ng alinman sa isang kilalang paraan. Ang graphical na paraan ay pinakamahusay na ginagamit kung ito ay kilala nang maaga na ang mga ugat ay integer at maliliit na numero. Dapat tandaan na ang bilang ng mga ugat ay katumbas ng pinakamataas na antas ng equation, iyon ay, ang quadratic equation ay may dalawang ugat.

4) Palitan ang halaga X sa pagpapahayag (1).

5) Isulat ang factorization ng quadratic trinomals.

Mga halimbawa

Binibigyang-daan ka ng pagsasanay na sa wakas ay maunawaan kung paano isinasagawa ang gawaing ito. Ang mga halimbawa ay naglalarawan ng factorization ng isang square trinomial:

ito ay kinakailangan upang palawakin ang expression:

Gumamit tayo sa aming algorithm:

1) x 2 -17x+32=0

2) ang mga katulad na termino ay nabawasan

3) gamit ang formula ng Vieta, mahirap makahanap ng mga ugat para sa halimbawang ito, kaya mas mahusay na gamitin ang expression para sa discriminant:

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Palitan natin ang mga ugat na nakita natin sa pangunahing pormula para sa agnas:

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Kung gayon ang sagot ay magiging ganito:

x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)

Suriin natin kung ang mga solusyon na natagpuan ng discriminant ay tumutugma sa mga formula ng Vieta:

14,845 . 2,155=32

Para sa mga ugat na ito, ang Vieta's theorem ay inilapat, sila ay natagpuan nang tama, na nangangahulugan na ang factorization na nakuha namin ay tama din.

Katulad nito, pinalawak namin ang 12x 2 + 7x-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Sa nakaraang kaso, ang mga solusyon ay hindi integer, ngunit totoong mga numero, na madaling mahanap kung mayroon kang calculator sa harap mo. Ngayon tingnan natin ang isang mas kumplikadong halimbawa, kung saan ang mga ugat ay magiging kumplikado: factor x 2 + 4x + 9. Gamit ang formula ng Vieta, hindi mahanap ang mga ugat, at negatibo ang discriminant. Ang mga ugat ay nasa kumplikadong eroplano.

D=-20

Batay dito, nakukuha natin ang mga ugat na kinagigiliwan natin -4+2i*5 1/2 at -4-2i * 5 1/2 mula noong (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Nakukuha namin ang nais na agnas sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ugat sa pangkalahatang formula.

Isa pang halimbawa: kailangan mong i-factor ang expression na 23x 2 -14x+7.

Mayroon kaming equation 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Nangangahulugan ito na ang mga ugat ay 14+21.166i at 14-21.166i. Ang sagot ay:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Magbigay tayo ng isang halimbawa na maaaring malutas nang walang tulong ng isang discriminant.

Sabihin nating kailangan nating palawakin ang quadratic equation x 2 -32x+255. Malinaw, maaari rin itong malutas gamit ang isang discriminant, ngunit ito ay mas mabilis sa kasong ito kunin ang mga ugat.

x 1 =15

x 2 =17

ibig sabihin x 2 -32x+255 =(x-15)(x-17).