Ang unang punto ay, gaya ng dati, arcsin(-a)=-arcsina. Upang makarating sa pangalawang punto, pumunta kami sa itaas na paraan, iyon ay, sa direksyon ng pagtaas ng anggulo.

Sa pagkakataong ito tayo ay lumalampas sa n. Hanggang kailan tayo pupunta? Sa arcsin x. Nangangahulugan ito na ang pangalawang punto ay n+arcsin x. Bakit walang minus? Dahil ang minus sa notation -arcsin a ay nangangahulugan ng clockwise na paggalaw, ngunit nagpunta kami sa counterclockwise. At sa wakas, magdagdag ng 2pn sa bawat dulo ng pagitan.

5) sinx>a, kung a>1.

Ang bilog ng yunit ay ganap na nasa ilalim ng tuwid na linya y=a. Walang kahit isang punto sa itaas ng tuwid na linya. Kaya walang mga solusyon.

6) sinx>-a, kung saan a>1.

Sa kasong ito, ang buong bilog na yunit ay nasa itaas ng tuwid na linya y=a. Samakatuwid, ang anumang punto ay nakakatugon sa kundisyon sinx>a. Nangangahulugan ito na ang x ay anumang numero.

At narito ang x ay anumang numero, dahil ang mga puntos -n/2+2nn ay kasama sa solusyon, sa kaibahan sa mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay na sinx>-1. Hindi na kailangang ibukod ang anumang bagay.

Ang tanging punto sa bilog na nakakatugon sa kundisyong ito ay n/2. Isinasaalang-alang ang panahon ng sine, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang hanay ng mga puntos na x=n/2+2n.

Halimbawa, lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay na sinx>-1/2:

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay mga relasyon sa anyong a › b, kung saan ang a at b ay mga expression na naglalaman ng hindi bababa sa isang variable. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring mahigpit - ‹, › at hindi mahigpit - ≥, ≤.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometric ay mga expression ng anyo: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, kung saan kinakatawan ang F(x) ng isa o higit pang trigonometriko function .

Ang isang halimbawa ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko ay: sin x ‹ 1/2. Nakaugalian na lutasin ang mga ganitong problema sa pamamagitan ng graphical na paraan;

Paraan 1 - Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng pag-graph ng isang function

Upang makahanap ng pagitan na nakakatugon sa mga kundisyon ng hindi pagkakapantay-pantay sin x ‹ 1/2, dapat mong gawin ang mga sumusunod na hakbang:

1. Naka-on coordinate axis bumuo ng sinusoid y = sin x.
2. Sa parehong axis, gumuhit ng graph ng numerical argument ng hindi pagkakapantay-pantay, ibig sabihin, isang tuwid na linya na dumadaan sa punto ½ ng ordinate OY.
3. Markahan ang mga intersection point ng dalawang graph.
4. I-shade ang segment na solusyon sa halimbawa.

Kapag ang mga mahigpit na palatandaan ay naroroon sa isang expression, ang mga intersection point ay hindi mga solusyon. Dahil ang pinakamaliit na positibong panahon ng isang sinusoid ay 2π, isinusulat namin ang sagot bilang mga sumusunod:

Kung ang mga palatandaan ng expression ay hindi mahigpit, kung gayon ang pagitan ng solusyon ay dapat na nakapaloob sa mga square bracket - . Ang sagot sa problema ay maaari ding isulat bilang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Paraan 2 - Paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko gamit ang bilog ng yunit

Ang mga katulad na problema ay madaling malutas gamit ang isang trigonometriko na bilog. Ang algorithm para sa paghahanap ng mga sagot ay napaka-simple:

1. Una kailangan mong gumuhit ng bilog ng yunit.
2. Pagkatapos ay kailangan mong tandaan ang halaga ng arc function ng argumento ng kanang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa arc ng bilog.
3. Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang tuwid na linya na dumadaan sa halaga ng arc function na kahanay sa abscissa axis (OX).
4. Pagkatapos nito, ang natitira lamang ay piliin ang arko ng isang bilog, na siyang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.
5. Isulat ang sagot sa kinakailangang form.

Suriin natin ang mga yugto ng solusyon gamit ang halimbawa ng hindi pagkakapantay-pantay na sin x › 1/2. Ang mga puntos na α at β ay minarkahan sa bilog - mga halaga

Ang mga punto ng arko na matatagpuan sa itaas ng α at β ay ang pagitan para sa paglutas ng ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay.

Kung kailangan mong lutasin ang isang halimbawa para sa cos, ang sagot arc ay matatagpuan simetriko sa OX axis, hindi OY. Maaari mong isaalang-alang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga pagitan ng solusyon para sa kasalanan at cos sa mga diagram sa ibaba sa teksto.

Ang mga graphical na solusyon para sa tangent at cotangent na hindi pagkakapantay-pantay ay mag-iiba mula sa parehong sine at cosine. Ito ay dahil sa mga katangian ng mga pag-andar.

Ang Arctangent at arccotangent ay mga tangent sa isang trigonometric na bilog, at ang minimum na positibong panahon para sa parehong mga function ay π. Upang mabilis at tama na gamitin ang pangalawang paraan, kailangan mong tandaan kung aling axis ang mga halaga ng kasalanan, cos, tg at ctg ay naka-plot.

Ang tangent tangent ay tumatakbo parallel sa OY axis. Kung i-plot namin ang halaga ng arctan a sa bilog ng yunit, kung gayon ang pangalawang kinakailangang punto ay matatagpuan sa diagonal quarter. Mga anggulo

Ang mga ito ay mga break point para sa function, dahil ang graph ay may gawi sa kanila, ngunit hindi kailanman umabot sa kanila.

Sa kaso ng cotangent, ang padaplis ay tumatakbo parallel sa OX axis, at ang function ay nagambala sa mga puntong π at 2π.

Mga kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko

Kung ang argumento ng hindi pagkakapantay-pantay na pag-andar ay kinakatawan hindi lamang ng isang variable, ngunit sa pamamagitan ng isang buong expression na naglalaman ng isang hindi kilalang, pagkatapos ay pinag-uusapan natin ang isang kumplikadong hindi pagkakapantay-pantay. Ang proseso at pamamaraan para sa paglutas nito ay medyo naiiba sa mga pamamaraan na inilarawan sa itaas. Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng solusyon sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Ang graphical na solusyon ay nagsasangkot ng pagbuo ng isang ordinaryong sinusoid y = sin x gamit ang arbitraryong napiling mga halaga ng x. Kalkulahin natin ang isang talahanayan na may mga coordinate para sa mga control point ng graph:

Ang resulta ay dapat na isang magandang kurba.

Upang gawing mas madali ang paghahanap ng solusyon, palitan natin ang argumento ng kumplikadong function

Karamihan sa mga mag-aaral ay hindi gusto ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Ngunit walang kabuluhan. Tulad ng sinabi ng isang karakter,

"Hindi mo lang alam kung paano lutuin ang mga ito"

Kaya kung paano "magluto" at kung ano ang magsumite ng hindi pagkakapantay-pantay sa sine ay malalaman natin sa artikulong ito. Kami ang magpapasya sa simpleng paraan– gamit ang unit circle.

Kaya, una sa lahat, kailangan namin ang sumusunod na algorithm.

Algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa sine:

1. sa sine axis ay inilalagay namin ang numerong $a$ at gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa cosine axis hanggang sa mag-intersect ito sa bilog;
2. ang mga punto ng intersection ng linyang ito sa bilog ay lilim kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, at hindi lilim kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit;
3. ang solusyon sa lugar ng hindi pagkakapantay-pantay ay matatagpuan sa itaas ng linya at hanggang sa bilog kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng sign na "$>$", at sa ibaba ng linya at hanggang sa bilog kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay naglalaman ng sign na "$<$”;
4. upang mahanap ang mga intersection point, lutasin natin ang trigonometric equation na $\sin(x)=a$, nakukuha natin ang $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. pagtatakda ng $n=0$, nakita namin ang unang intersection point (ito ay matatagpuan alinman sa una o ikaapat na quarter);
6. upang mahanap ang pangalawang punto, tinitingnan natin kung saang direksyon tayo dumaan sa lugar patungo sa pangalawang intersection point: kung nasa positibong direksyon, dapat nating kunin ang $n=1$, at kung nasa negatibong direksyon, $n=- 1$;
7. bilang tugon, ang pagitan ay isinusulat mula sa mas maliit na intersection point na $+ 2\pi n$ hanggang sa mas malaking $+ 2\pi n$.

Limitasyon ng algorithm

Mahalaga: d ibinigay na algorithm hindi gumagana para sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng anyong $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Mga espesyal na kaso kapag nilulutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa sine

Mahalaga rin na tandaan ang mga sumusunod na kaso, na mas maginhawa upang malutas nang lohikal nang hindi ginagamit ang algorithm sa itaas.

Espesyal na kaso 1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

$\sin(x)\leq 1.$

Dahil sa ang katunayan na ang hanay ng mga halaga trigonometriko function$y=\sin(x)$ ay hindi hihigit sa modulo $1$, kung gayon kaliwang bahagi hindi pagkakapantay-pantay sa anumang$x$ mula sa domain ng kahulugan (at ang domain ng kahulugan ng sine ay lahat ng tunay na numero) ay hindi hihigit sa $1$. At, samakatuwid, sa sagot ay isinusulat namin: $x \in R$.

Bunga:

$\sin(x)\geq -1.$

Espesyal na kaso 2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

$\sin(x)< 1.$

Ang paglalapat ng pangangatwiran na katulad ng espesyal na kaso 1, nakita namin na ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay ay mas mababa sa $1$ para sa lahat ng $x \in R$, maliban sa mga puntos na solusyon sa equation na $\sin(x) = 1$. Ang paglutas ng equation na ito, magkakaroon tayo ng:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

At, samakatuwid, sa sagot ay isinusulat namin: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Bunga: ang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas nang katulad

$\sin(x) > -1.$

Mga halimbawa ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay gamit ang isang algorithm.

Halimbawa 1: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Markahan natin ang coordinate na $\frac(1)(2)$ sa sine axis.
2. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya parallel sa cosine axis at dumaan sa puntong ito.
3. Markahan natin ang mga intersection point. Magiging shades sila dahil hindi mahigpit ang inequality.
4. Ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay $\geq$, na nangangahulugang pinipinta namin ang lugar sa itaas ng linya, i.e. mas maliit na kalahating bilog.
5. Nahanap namin ang unang intersection point. Upang gawin ito, gagawin nating pagkakapantay-pantay ang hindi pagkakapantay-pantay at lutasin ito: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Itinakda pa namin ang $n=0$ at hanapin ang unang intersection point: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Natagpuan namin ang pangalawang punto. Ang aming lugar ay papunta sa positibong direksyon mula sa unang punto, na nangangahulugang itinakda namin ang $n$ katumbas ng $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Kaya, ang solusyon ay kukuha ng anyo:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan], \n \sa Z.$

Halimbawa 2: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Markahan natin ang coordinate na $-\frac(1)(2)$ sa sine axis at gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa cosine axis at dumadaan sa puntong ito. Markahan natin ang mga intersection point. Hindi sila malilim, dahil mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay. Ang inequality sign $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\kaliwa(-\frac(1)(2)\kanan))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Sa karagdagang pag-aakalang $n=0$, makikita natin ang unang intersection point: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Ang aming lugar ay papunta sa negatibong direksyon mula sa unang punto, na nangangahulugang itinakda namin ang $n$ katumbas ng $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Kaya, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay ang pagitan:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \n \in Z.$

Halimbawa 3: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

$1 – 2\sin(\kaliwa(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq 0.$

Ang halimbawang ito ay hindi malulutas kaagad gamit ang isang algorithm. Una kailangan mong baguhin ito. Ginagawa namin ang eksaktong gagawin namin sa isang equation, ngunit huwag kalimutan ang tungkol sa sign. Ang paghahati o pagpaparami sa isang negatibong numero ay binabaligtad ito!

Kaya, ilipat natin ang lahat ng bagay na hindi naglalaman ng trigonometriko function sa kanang bahagi. Nakukuha namin:

$- 2\sin(\kaliwa(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq -1.$

Hatiin natin ang kaliwa at kanang bahagi ng $-2$ (huwag kalimutan ang sign!). Magkakaroon:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Muli ay mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay na hindi natin malulutas gamit ang isang algorithm. Ngunit narito sapat na upang baguhin ang variable:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Nakukuha namin ang hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko na maaaring malutas gamit ang algorithm:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay nalutas sa Halimbawa 1, kaya hiramin natin ang sagot mula doon:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Gayunpaman, hindi pa tapos ang desisyon. Kailangan nating bumalik sa orihinal na variable.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Isipin natin ang agwat bilang isang sistema:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n

Sa kaliwang bahagi ng system mayroong isang expression ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), na kabilang sa interval. Ang kaliwang hangganan ng pagitan ay responsable para sa unang hindi pagkakapantay-pantay, at ang kanang hangganan ay responsable para sa pangalawa. Bukod dito, ang mga bracket ay may mahalagang papel: kung ang bracket ay parisukat, kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging lundo, at kung ito ay bilog, kung gayon ito ay magiging mahigpit. ang aming gawain ay makakuha ng $x$ mula sa kaliwa sa parehong hindi pagkakapantay-pantay.

Ilipat natin ang $\frac(\pi)(6)$ mula sa kaliwang bahagi patungo sa kanang bahagi, makukuha natin:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.

Pinapasimple, mayroon kaming:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(array) \right.$

Ang pag-multiply ng kaliwa at kanang bahagi ng $4$, makukuha natin ang:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Ang pagsasama-sama ng system sa pagitan, nakuha namin ang sagot:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\kanan], \n \sa Z.$

1. Kung kumplikado ang argumento (iba sa X), pagkatapos ay palitan ito ng t.

2. Bumubuo kami sa isang coordinate plane toOy mga function graph y=gastos At y=a.

3. Nakikita natin ang ganyan dalawang magkatabing punto ng intersection ng mga graph, sa pagitan ng kung saan ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya y=a. Natagpuan namin ang abscissas ng mga puntong ito.

4. Sumulat ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay para sa argumento t, isinasaalang-alang ang panahon ng cosine ( t ay nasa pagitan ng mga natagpuang abscissas).

5. Gumawa ng reverse substitution (bumalik sa orihinal na argumento) at ipahayag ang halaga X mula sa dobleng hindi pagkakapantay-pantay, isinusulat namin ang sagot sa anyo ng isang numerical interval.

Halimbawa 1.

Susunod, ayon sa algorithm, tinutukoy namin ang mga halaga ng argumento t, kung saan matatagpuan ang sinusoid mas mataas tuwid. Isulat natin ang mga halagang ito bilang isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay, na isinasaalang-alang ang periodicity ng cosine function, at pagkatapos ay bumalik sa orihinal na argumento X.

Halimbawa 2.

Pagpili ng hanay ng mga halaga t, kung saan ang sinusoid ay nasa itaas ng tuwid na linya.

Isinulat namin ang mga halaga sa anyo ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay t, nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon. Huwag kalimutan na ang pinakamaliit na panahon ng pag-andar y=gastos katumbas 2π. Pagbabalik sa variable X, unti-unting pinapasimple ang lahat ng bahagi ng double inequality.

Isinulat namin ang sagot sa anyo ng isang closed numerical interval, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit.

Halimbawa 3.

Magiging interesado tayo sa hanay ng mga halaga t, kung saan ang mga punto ng sinusoid ay nasa itaas ng tuwid na linya.

Mga halaga t isulat ito sa anyo ng isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay, muling isulat ang parehong mga halaga para sa 2x at ipahayag X. Isulat natin ang sagot sa anyong numerical interval.

At muli pormula gastos>a.

Kung gastos>a, (-1≤A≤1), pagkatapos - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Mag-apply ng mga formula upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko at makakatipid ka ng oras sa pagsusulit sa pagsusulit.

At ngayon pormula , na dapat mong gamitin sa UNT o Unified State Examination kapag nilulutas ang isang trigonometric inequality ng form gastos

Kung gastos , (-1≤A≤1), pagkatapos arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Ilapat ang formula na ito upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay na tinalakay sa artikulong ito, at mas mabilis mong makukuha ang sagot at nang walang anumang mga graph!

Isinasaalang-alang ang periodicity ng sine function, nagsusulat kami ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay para sa mga halaga ng argumento t, nagbibigay-kasiyahan sa huling hindi pagkakapantay-pantay. Bumalik tayo sa orihinal na variable. Ibahin natin ang nagresultang dobleng hindi pagkakapantay-pantay at ipahayag ang variable X. Isulat natin ang sagot sa anyong pagitan.

Lutasin natin ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay:

Kapag nilulutas ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, kinailangan naming baguhin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay na ito gamit ang double argument sine formula upang makakuha ng hindi pagkakapantay-pantay ng form: sint≥a. Susunod na sinundan namin ang algorithm.

Nalutas namin ang ikatlong hindi pagkakapantay-pantay:

Mahal na mga nagtapos at mga aplikante! Tandaan na ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, tulad ng paraang graphical na ibinigay sa itaas at, malamang na alam mo, ang paraan ng paglutas gamit ang isang yunit ng trigonometric na bilog (trigonometric na bilog) ay naaangkop lamang sa mga unang yugto ng pag-aaral ng seksyon ng trigonometrya. "Paglutas ng mga trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay." Sa palagay ko ay maaalala mo na una mong nalutas ang pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko gamit ang mga graph o isang bilog. Gayunpaman, ngayon ay hindi mo maiisip na lutasin ang mga trigonometrikong equation sa ganitong paraan. Paano mo sila malulutas? Tama iyon, ayon sa mga formula. Kaya dapat lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko gamit ang mga formula, lalo na sa panahon ng pagsubok, kung kailan bawat minuto ay mahalaga. Kaya, lutasin ang tatlong hindi pagkakapantay-pantay ng araling ito gamit ang angkop na pormula.

Kung sint>a, kung saan -1≤ a≤1, pagkatapos arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Matuto ng mga formula!

At panghuli: alam mo ba na ang matematika ay mga kahulugan, tuntunin at FORMULA?!

Syempre ginagawa mo! At ang pinaka-mausisa, na pinag-aralan ang artikulong ito at napanood ang video, ay bumulalas: "Gaano katagal at mahirap! Mayroon bang formula na nagbibigay-daan sa iyong lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay nang walang anumang mga graph o bilog?" Oo, siyempre meron!

SA PAGSOLUSYON NG MGA HINDI PAGKAKATAYO NG FORM: kasalanan (-1≤A≤1) valid ang formula:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Ilapat ito sa mga halimbawang tinalakay at mas mabilis mong makukuha ang sagot!

Konklusyon: MATUTUNAN ANG MGA FORMULA, MGA KAIBIGAN!

Pahina 1 ng 1 1

Sa panahon ng praktikal na aralin, uulitin namin ang mga pangunahing uri ng mga gawain mula sa paksang "Trigonometry", bilang karagdagan sa pag-aaral ng mga problema ng pagtaas ng pagiging kumplikado at isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko at ang kanilang mga sistema.

Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng gawain B5, B7, C1 at C3.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagrepaso sa mga pangunahing uri ng mga gawain na tinakpan natin sa paksang "Trigonometry" at lutasin ang ilang hindi karaniwang mga problema.

Gawain Blg. 1. I-convert ang mga anggulo sa radians at degrees: a) ; b) .

a) Gamitin natin ang formula para sa pag-convert ng mga degree sa radian

Palitan natin ang tinukoy na halaga dito.

b) Ilapat ang formula para sa pag-convert ng mga radian sa mga degree

Gawin natin ang pagpapalit .

Sagot. A); b) .

Gawain Blg. 2. Kalkulahin: a); b) .

a) Dahil ang anggulo ay lumampas sa talahanayan, babawasan natin ito sa pamamagitan ng pagbabawas ng sinus period. kasi Ang anggulo ay ipinahiwatig sa radians, pagkatapos ay isasaalang-alang namin ang panahon bilang .

b) Sa kasong ito ang sitwasyon ay magkatulad. Dahil ang anggulo ay ipinahiwatig sa mga degree, isasaalang-alang namin ang panahon ng tangent bilang .

Ang resultang anggulo, kahit na mas maliit kaysa sa tuldok, ay mas malaki, na nangangahulugang hindi na ito tumutukoy sa pangunahing, ngunit sa pinalawak na bahagi ng talahanayan. Upang hindi na muling sanayin ang iyong memorya sa pamamagitan ng pagsasaulo ng pinahabang talahanayan ng mga halaga ng trigofunction, ibawas natin muli ang tangent period:

Sinamantala namin ang kakaiba ng padaplis na function.

Sagot. a) 1; b) .

Gawain Blg. 3. Kalkulahin , Kung .

Bawasan natin ang buong expression sa tangents sa pamamagitan ng paghahati sa numerator at denominator ng fraction sa . Sa parehong oras, hindi namin maaaring matakot na, dahil sa kasong ito, hindi iiral ang tangent value.

Gawain Blg. 4. Pasimplehin ang expression.

Ang mga tinukoy na expression ay kino-convert gamit ang mga formula ng pagbabawas. Ang mga ito ay hindi karaniwang nakasulat gamit ang mga degree. Ang unang expression sa pangkalahatan ay kumakatawan sa isang numero. Pasimplehin natin ang lahat ng mga trigofunction nang paisa-isa:

kasi , pagkatapos ay nagbabago ang function sa isang cofunction, i.e. sa cotangent, at ang anggulo ay bumagsak sa ikalawang quarter, kung saan ang orihinal na tangent ay may negatibong tanda.

Para sa parehong mga kadahilanan tulad ng sa nakaraang expression, ang function ay nagbabago sa isang cofunction, i.e. sa cotangent, at ang anggulo ay bumagsak sa unang quarter, kung saan ang orihinal na tangent ay may positibong tanda.

Ipalit natin ang lahat sa isang pinasimpleng expression:

Problema #5. Pasimplehin ang expression.

Isulat natin ang tangent ng double angle gamit ang naaangkop na formula at pasimplehin ang expression:

Ang huling pagkakakilanlan ay isa sa mga pangkalahatang kapalit na formula para sa cosine.

Problema #6. Kalkulahin.

Ang pangunahing bagay ay hindi gumawa ng karaniwang pagkakamali ng hindi pagbibigay ng sagot na ang expression ay katumbas ng . Hindi mo maaaring gamitin ang pangunahing pag-aari ng arctangent hangga't mayroong isang kadahilanan sa anyo ng dalawa sa tabi nito. Upang mapupuksa ito, isusulat namin ang expression ayon sa formula para sa tangent ng isang dobleng anggulo, habang tinatrato ang , bilang isang ordinaryong argumento.

Ngayon ay maaari nating ilapat ang pangunahing katangian ng arctangent;

Problema Blg. 7. Lutasin ang equation.

Kapag nilulutas ang isang fractional equation na katumbas ng zero, palaging ipinapahiwatig na ang numerator ay katumbas ng zero, ngunit ang denominator ay hindi, dahil Hindi mo maaaring hatiin sa zero.

Ang unang equation ay isang espesyal na kaso ng pinakasimpleng equation na maaaring malutas gamit ang isang trigonometric na bilog. Tandaan ang solusyon na ito sa iyong sarili. Ang pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ay nalulutas bilang ang pinakasimpleng equation gamit ang pangkalahatang pormula para sa mga ugat ng tangent, ngunit lamang sa sign na hindi katumbas ng.

Tulad ng nakikita natin, ang isang pamilya ng mga ugat ay hindi kasama ang isa pang pamilya ng eksaktong parehong uri ng mga ugat na hindi nakakatugon sa equation. Yung. walang ugat.

Sagot. Walang mga ugat.

Problema Blg. 8. Lutasin ang equation.

Agad nating tandaan na maaari nating alisin ang karaniwang kadahilanan at gawin natin ito:

Ang equation ay nabawasan sa isa sa mga karaniwang anyo, kung saan ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Alam na natin na sa kasong ito, alinman sa mga ito ay katumbas ng zero, o ang isa, o ang pangatlo. Isulat natin ito sa anyo ng isang hanay ng mga equation:

Ang unang dalawang equation ay mga espesyal na kaso ng pinakasimpleng mga equation nang maraming beses, kaya agad naming ipahiwatig ang kanilang mga solusyon. Binabawasan namin ang ikatlong equation sa isang function gamit ang double angle sine formula.

Lutasin natin ang huling equation nang hiwalay:

Ang equation na ito ay walang mga ugat, dahil ang halaga ng sine ay hindi maaaring lumampas .

Kaya, ang solusyon ay ang unang dalawang pamilya ng mga ugat lamang;

Ito ay isang pamilya ng lahat ng kalahati, i.e.

Lumipat tayo sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko. Una, susuriin natin ang diskarte sa paglutas ng halimbawa nang hindi gumagamit ng mga pangkalahatang formula ng solusyon, ngunit gamit ang trigonometriko na bilog.

Problema Blg. 9. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Gumuhit tayo ng pantulong na linya sa trigonometriko na bilog na katumbas ng halaga ng sine na katumbas ng , at ipakita ang hanay ng mga anggulo na sumasagot sa hindi pagkakapantay-pantay.

Napakahalaga na maunawaan nang eksakto kung paano ipahiwatig ang nagresultang pagitan ng mga anggulo, i.e. ano ang simula at kung ano ang wakas nito. Ang simula ng agwat ay ang anggulo na tumutugma sa punto na papasok tayo sa pinakadulo simula ng agwat kung kikilos tayo nang pakaliwa. Sa aming kaso, ito ang punto na nasa kaliwa, dahil paglipat ng pakaliwa at pagpasa sa tamang punto, kami, sa kabaligtaran, ay iniiwan ang kinakailangang hanay ng mga anggulo. Samakatuwid, ang tamang punto ay tumutugma sa dulo ng puwang.

Ngayon kailangan nating maunawaan ang mga anggulo ng simula at pagtatapos ng ating pagitan ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Ang isang karaniwang pagkakamali ay agad na ipahiwatig na ang tamang punto ay tumutugma sa anggulo, ang kaliwa at ibigay ang sagot. Hindi ito totoo! Mangyaring tandaan na ipinahiwatig lamang namin ang pagitan na naaayon sa itaas na bahagi ng bilog, bagaman interesado kami sa ibabang bahagi, sa madaling salita, pinaghalo namin ang simula at pagtatapos ng agwat ng solusyon na kailangan namin.

Upang magsimula ang pagitan mula sa sulok ng kanang punto at magtapos sa sulok ng kaliwang punto, kinakailangan na ang unang tinukoy na anggulo ay mas mababa kaysa sa pangalawa. Upang gawin ito, kakailanganin nating sukatin ang anggulo ng tamang punto sa negatibong direksyon ng sanggunian, i.e. clockwise at ito ay magiging katumbas ng . Pagkatapos, simulang lumipat mula dito sa isang positibong direksyon sa clockwise, pupunta tayo sa tamang punto pagkatapos ng kaliwang punto at makuha ang halaga ng anggulo para dito. Ngayon ang simula ng pagitan ng mga anggulo ay mas mababa kaysa sa dulo, at maaari naming isulat ang pagitan ng mga solusyon nang hindi isinasaalang-alang ang panahon:

Isinasaalang-alang na ang mga naturang agwat ay mauulit ng walang katapusang bilang ng mga beses pagkatapos ng anumang integer na bilang ng mga pag-ikot, nakakakuha kami ng pangkalahatang solusyon na isinasaalang-alang ang sinus period:

Naglalagay kami ng mga panaklong dahil mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay, at pinipili namin ang mga punto sa bilog na tumutugma sa mga dulo ng pagitan.

Ihambing ang sagot na natanggap mo sa pormula para sa pangkalahatang solusyon na ibinigay namin sa panayam.

Sagot. .

Ang pamamaraang ito ay mabuti para sa pag-unawa kung saan nagmumula ang mga formula para sa mga pangkalahatang solusyon ng pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigon. Bilang karagdagan, ito ay kapaki-pakinabang para sa mga masyadong tamad na matutunan ang lahat ng mga masalimuot na formula na ito. Gayunpaman, ang pamamaraan mismo ay hindi rin madali;

Upang malutas ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko, maaari ka ring gumamit ng mga graph ng mga function kung saan itinayo ang isang pantulong na linya, katulad ng pamamaraang ipinakita gamit ang isang bilog na yunit. Kung interesado ka, subukang alamin ang diskarte sa solusyon sa iyong sarili. Sa sumusunod ay gagamitin natin ang mga pangkalahatang formula upang malutas ang mga simpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.

Problema Blg. 10. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Gamitin natin ang formula para sa pangkalahatang solusyon, na isinasaalang-alang na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit:

Sa aming kaso, nakukuha namin:

Sagot.

Problema Blg. 11. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.

Gamitin natin ang pangkalahatang formula ng solusyon para sa kaukulang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay:

Sagot. .

Problema Blg. 12. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a) ; b) .

Sa mga hindi pagkakapantay-pantay na ito, hindi na kailangang magmadali upang gumamit ng mga formula para sa mga pangkalahatang solusyon o ang trigonometriko na bilog, sapat na upang matandaan lamang ang hanay ng mga halaga ng sine at cosine.

a) Mula noon , kung gayon ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang saysay. Samakatuwid, walang mga solusyon.

b) Dahil gayundin, ang sine ng anumang argumento ay palaging nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na tinukoy sa kundisyon. Samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa lahat ng tunay na halaga ng argumento.

Sagot. a) walang mga solusyon; b) .

Suliranin 13. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay .