Ang axis ay ang direksyon. Nangangahulugan ito na ang projection sa isang axis o papunta sa isang direktang linya ay itinuturing na pareho. Ang projection ay maaaring algebraic o geometric. Sa mga geometric na termino, ang projection ng isang vector sa isang axis ay nauunawaan bilang isang vector, at sa algebraic terms, ito ay nauunawaan bilang isang numero. Iyon ay, ang mga konsepto ng projection ng isang vector sa isang axis at numerical projection ng isang vector sa isang axis ay ginagamit.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kung mayroon tayong L axis at non-zero vector A B →, maaari tayong bumuo ng vector A 1 B 1 ⇀, na nagsasaad ng mga projection ng mga puntos nito A 1 at B 1.

A 1 B → 1 ang magiging projection ng vector A B → papunta sa L.

Kahulugan 1

Projection ng vector papunta sa axis ay isang vector na ang simula at wakas ay mga projection ng simula at pagtatapos ng isang naibigay na vector. n p L A B → → kaugalian na tukuyin ang projection A B → papunta sa L. Upang makabuo ng projection sa L, ang mga perpendicular ay ibinaba sa L.

Halimbawa 1

Isang halimbawa ng projection ng vector sa isang axis.

Naka-on coordinate na eroplano Tungkol sa x y ang puntong M 1 (x 1 , y 1) ay tinukoy. Kinakailangang bumuo ng mga projection sa O x at O ​​y upang imahen ang radius vector ng punto M 1. Nakukuha namin ang mga coordinate ng mga vectors (x 1, 0) at (0, y 1).

Kung pinag-uusapan natin tungkol sa projection ng a → papunta sa isang di-zero b → o ang projection ng a → papunta sa direksyon b → , pagkatapos ay ibig sabihin namin ang projection ng a → papunta sa axis kung saan ang direksyon b → coincides. Ang projection ng a → papunta sa linyang tinukoy ng b → ay itinalaga n p b → a → → . Alam na kapag ang anggulo sa pagitan ng a → at b → , n p b → a → → at b → ay maituturing na codirectional. Sa kaso kung saan ang anggulo ay mahina, n p b → a → → at b → ay nasa magkasalungat na direksyon. Sa isang sitwasyon ng perpendicularity a → at b →, at a → ay zero, ang projection ng a → sa direksyon b → ay ang zero vector.

Ang numerical na katangian ng projection ng isang vector sa isang axis ay ang numerical na projection ng isang vector sa isang ibinigay na axis.

Kahulugan 2

Numerical projection ng vector papunta sa axis ay isang numero na katumbas ng produkto ng haba ng isang naibigay na vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng ibinigay na vector at ng vector na tumutukoy sa direksyon ng axis.

Ang numerical projection ng A B → papunta sa L ay ipinapahiwatig n p L A B → , at a → sa b → - n p b → a → .

Batay sa formula, nakukuha natin ang n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , mula sa kung saan ang a → ay ang haba ng vector a → , a ⇀ , b → ^ ay ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a → at b → .

Nakukuha namin ang formula para sa pagkalkula ng numerical projection: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Naaangkop ito para sa mga kilalang haba a → at b → at ang anggulo sa pagitan ng mga ito. Naaangkop ang formula para sa mga kilalang coordinate a → at b →, ngunit mayroong pinasimpleng anyo.

Halimbawa 2

Alamin ang numerical projection ng a → papunta sa isang tuwid na linya sa direksyon b → na may haba a → katumbas ng 8 at isang anggulo sa pagitan ng mga ito na 60 degrees. Sa pamamagitan ng kundisyon mayroon tayong ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. So, palitan natin mga numerong halaga sa formula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Sagot: 4.

Sa kilalang cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mayroon tayong → , b → bilang scalar product ng a → at b → . Kasunod mula sa formula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , mahahanap natin ang numerical projection a → nakadirekta kasama ang vector b → at makuha ang n p b → a → = a → , b → b → . Ang pormula ay katumbas ng kahulugang ibinigay sa simula ng talata.

Kahulugan 3

Ang numerical projection ng vector a → papunta sa isang axis na tumutugma sa direksyon ng b → ay ang ratio ng scalar product ng mga vectors a → at b → sa haba b → . Ang formula n p b → a → = a → , b → b → ay naaangkop upang mahanap ang numerical projection ng a → papunta sa isang linya na tumutugma sa direksyon ng b → , na may kilala na a → at b → coordinate.

Halimbawa 3

Ibinigay b → = (- 3 , 4) . Hanapin ang numerical projection a → = (1, 7) sa L.

Solusyon

Sa coordinate plane n p b → a → = a → , b → b → ay may anyo n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , na may → = (a x , a y ) at b → = b x , b y . Upang mahanap ang numerical projection ng vector a → papunta sa L axis, kailangan mo: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Sagot: 5.

Halimbawa 4

Hanapin ang projection ng a → sa L, na tumutugma sa direksyon b →, kung saan mayroong → = - 2, 3, 1 at b → = (3, - 2, 6). Tinukoy ang three-dimensional na espasyo.

Solusyon

Dahil sa a → = a x , a y , a z at b → = b x , b y , b z , kinakalkula namin ang scalar product: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Ang haba b → ay matatagpuan gamit ang formula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Kasunod nito na ang formula para sa pagtukoy ng numerical projection a → ay magiging: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Palitan ang mga numerical values: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Sagot: - 6 7.

Tingnan natin ang koneksyon sa pagitan ng isang → sa L at ang haba ng projection a → sa L. Gumuhit tayo ng isang axis L, pagdaragdag ng isang → at b → mula sa isang punto sa L, pagkatapos nito ay gumuhit tayo ng isang patayo na linya mula sa dulo a → hanggang L at gumuhit ng projection sa L. Mayroong 5 pagkakaiba-iba ng larawan:

Una ang kaso na may → = n p b → a → → ay nangangahulugang a → = n p b → a → → , kaya n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Pangalawa ang kaso ay nagpapahiwatig ng paggamit ng n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , na nangangahulugang n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Pangatlo ipinapaliwanag ng kaso na kapag n p b → a → → = 0 → nakuha natin ang n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , pagkatapos ay n p b → a → → = 0 at n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Pang-apat ang kaso ay nagpapakita ng n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , sumusunod sa n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Panglima ang kaso ay nagpapakita ng a → = n p b → a → →, na nangangahulugang a → = n p b → a → →, kaya mayroon tayong n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Kahulugan 4

Ang numerical projection ng vector a → papunta sa L axis, na nakadirekta sa parehong paraan tulad ng b →, ay may sumusunod na halaga:

• ang haba ng projection ng vector a → papunta sa L, sa kondisyon na ang anggulo sa pagitan ng a → at b → ay mas mababa sa 90 degrees o katumbas ng 0: n p b → a → = n p b → a → → na may kondisyon na 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zero sa kondisyon na ang a → at b → ay patayo: n p b → a → = 0, kapag (a → , b → ^) = 90 °;
• haba ng projection a → papunta sa L, pinarami ng -1, kapag may mahina o umiikot na anggulo ng mga vectors a → at b →: n p b → a → = - n p b → a → → na may kondisyon na 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Halimbawa 5

Dahil sa haba ng projection a → papunta sa L, katumbas ng 2. Hanapin ang numerical projection a → sa kondisyon na ang anggulo ay 5 π 6 radians.

Solusyon

Mula sa kundisyon ay malinaw na ang anggulong ito ay malabo: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Sagot: - 2.

Halimbawa 6

Ibinigay ang isang eroplanong O x y z na may haba ng vector a → katumbas ng 6 3, b → (- 2, 1, 2) na may anggulo na 30 degrees. Hanapin ang mga coordinate ng projection a → papunta sa L axis.

Solusyon

Una, kinakalkula namin ang numerical projection ng vector a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Sa kondisyon, ang anggulo ay talamak, pagkatapos ay ang numerical projection a → = ang haba ng projection ng vector a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ang kasong ito ay nagpapakita na ang mga vectors n p L a → → at b → ay co-directed, na nangangahulugang mayroong isang numerong t kung saan ang pagkakapantay-pantay ay totoo: n p L a → → = t · b → . Mula dito makikita natin na n p L a → → = t · b → , na nangangahulugang mahahanap natin ang halaga ng parameter t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Pagkatapos n p L a → → = 3 · b → na may mga coordinate ng projection ng vector a → papunta sa L axis na katumbas ng b → = (- 2 , 1 , 2) , kung saan kinakailangan upang i-multiply ang mga halaga sa pamamagitan ng 3. Mayroon kaming n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Sagot: (- 6, 3, 6).

Kinakailangan na ulitin ang naunang natutunan na impormasyon tungkol sa kondisyon ng collinearity ng mga vectors.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Hayaan ang dalawang vector at ibigay sa espasyo. Ipagpaliban natin mula sa isang arbitrary na punto O mga vector at . anggulo sa pagitan ng mga vector ay tinatawag na pinakamaliit sa mga anggulo. Itinalaga .

Isaalang-alang ang axis l at mag-plot ng unit vector dito (i.e., isang vector na ang haba ay katumbas ng isa).

Sa isang anggulo sa pagitan ng vector at ng axis l maunawaan ang anggulo sa pagitan ng mga vector at .

Kaya hayaan l ay ilang axis at isang vector.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A 1 At B 1 projection papunta sa axis l ayon sa pagkakabanggit ng mga puntos A At B. Magpanggap na tayo A 1 may coordinate x 1, A B 1– coordinate x 2 sa axis l.

Pagkatapos projection vector bawat axis l tinatawag na pagkakaiba x 1 – x 2 sa pagitan ng mga coordinate ng mga projection ng dulo at simula ng vector papunta sa axis na ito.

Projection ng vector papunta sa axis l magsasaad tayo ng .

Ito ay malinaw na kung ang anggulo sa pagitan ng vector at ang axis l maanghang noon x 2> x 1, at projection x 2 – x 1> 0; kung ang anggulong ito ay malabo, kung gayon x 2< x 1 at projection x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Iyon x 2= x 1 At x 2– x 1=0.

Kaya, ang projection ng vector papunta sa axis l ay ang haba ng segment A 1 B 1, kinuha gamit ang isang tiyak na tanda. Samakatuwid, ang projection ng vector sa axis ay isang numero o isang scalar.

Parehong tinutukoy ang projection ng isang vector papunta sa isa pa. Sa kasong ito, ang mga projection ng mga dulo ng vector na ito sa linya kung saan matatagpuan ang 2nd vector.

Tingnan natin ang ilang basic katangian ng mga projection.

LINEARLY DEPENDENT AT LINEARLY INDEPENDENT VECTOR SYSTEMS

Isaalang-alang natin ang ilang mga vectors.

Linear na kumbinasyon ng mga vector na ito ay anumang vector ng anyo , kung saan may ilang mga numero. Ang mga numero ay tinatawag na linear combination coefficients. Sinasabi rin nila na sa kasong ito ito ay linearly na ipinahayag sa pamamagitan ng mga vectors na ito, i.e. ay nakuha mula sa kanila gamit ang mga linear na aksyon.

Halimbawa, kung tatlong vector ang ibinigay, ang mga sumusunod na vector ay maaaring ituring bilang kanilang linear na kumbinasyon:

Kung ang isang vector ay kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng ilang mga vector, kung gayon ito ay sinasabing inilatag kasama ang mga vectors na ito.

Ang mga vector ay tinatawag nakadepende sa linear, kung may mga numero, hindi lahat ay katumbas ng zero, ganoon . Malinaw na ang mga binigay na vector ay magiging linearly dependent kung alinman sa mga vectors na ito ay linearly na ipinahayag sa mga tuntunin ng iba.

Kung hindi, i.e. kapag ang ratio ginanap lamang kapag , ang mga vector na ito ay tinatawag linearly independent.

Teorama 1. Anumang dalawang vectors ay linearly dependent kung at kung sila ay collinear.

Patunay:

Ang sumusunod na teorama ay maaaring mapatunayang katulad.

Teorama 2. Tatlong vector ang linearly na umaasa kung at kung sila ay coplanar.

Patunay.

BASEHAN

Batayan ay isang koleksyon ng mga non-zero linearly independent vectors. Ipatukoy natin ang mga elemento ng batayan sa pamamagitan ng .

Sa nakaraang talata, nakita namin na ang dalawang non-collinear vectors sa isang eroplano ay linearly independent. Samakatuwid, ayon sa Theorem 1 mula sa nakaraang talata, ang isang batayan sa isang eroplano ay anumang dalawang non-collinear vectors sa eroplanong ito.

Katulad nito, ang anumang tatlong non-coplanar vectors ay linearly independent sa espasyo. Dahil dito, tinatawag namin ang tatlong non-coplanar vectors bilang batayan sa espasyo.

Ang sumusunod na pahayag ay totoo.

Teorama. Hayaang magbigay ng batayan sa kalawakan. Kung gayon ang anumang vector ay maaaring katawanin bilang isang linear na kumbinasyon , Saan x, y, z- ilang mga numero. Ito ang tanging agnas.

Patunay.

Kaya, ang batayan ay nagbibigay-daan sa bawat vector na natatanging nauugnay sa isang triple ng mga numero - ang mga coefficient ng pagpapalawak ng vector na ito sa mga batayang vectors: . Totoo rin ang kabaligtaran, para sa bawat tatlong numero x, y, z gamit ang batayan, maaari mong ihambing ang vector kung gumawa ka ng isang linear na kumbinasyon .

Kung ang pagbabatayan at , pagkatapos ay ang mga numero x, y, z ay tinatawag mga coordinate vector sa isang ibinigay na batayan. Ang mga coordinate ng vector ay tinutukoy ng .

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM

Hayaang magbigay ng punto sa espasyo O at tatlong non-coplanar vectors.

Cartesian coordinate system sa espasyo (sa eroplano) ay ang koleksyon ng isang punto at isang batayan, i.e. isang koleksyon ng isang punto at tatlong non-coplanar vectors (2 non-collinear vectors) na nagmumula sa puntong ito.

Dot O tinatawag na pinagmulan; Ang mga tuwid na linya na dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate sa direksyon ng mga batayang vector ay tinatawag na coordinate axes - ang abscissa, ordinate at applicate axis. Ang mga eroplanong dumadaan sa coordinate axes ay tinatawag na coordinate planes.

Isaalang-alang ang isang arbitrary na punto sa napiling coordinate system M. Ipakilala natin ang konsepto ng mga coordinate ng punto M. Vector na nagkokonekta sa pinanggalingan sa isang punto M. tinawag radius vector puntos M.

Ang isang vector sa napiling batayan ay maaaring iugnay sa isang triple ng mga numero - ang mga coordinate nito: .

Mga coordinate ng radius vector ng punto M. ay tinatawag mga coordinate ng point M. sa coordinate system na isinasaalang-alang. M(x,y,z). Ang unang coordinate ay tinatawag na abscissa, ang pangalawa ay ang ordinate, at ang pangatlo ay ang applicate.

Parehong tinutukoy ang mga coordinate ng Cartesian sa eroplano. Narito ang punto ay mayroon lamang dalawang coordinate - abscissa at ordinate.

Madaling makita na para sa isang ibinigay na sistema ng coordinate, ang bawat punto ay may ilang mga coordinate. Sa kabilang banda, para sa bawat triple ng mga numero mayroong isang natatanging punto na mayroong mga bilang na ito bilang mga coordinate.

Kung ang mga vector na kinuha bilang batayan sa napiling sistema ng coordinate ay may haba ng yunit at pares na patayo, kung gayon ang sistema ng coordinate ay tinatawag na Cartesian na hugis-parihaba.

Madaling ipakita iyon.

Ang mga cosine ng direksyon ng isang vector ay ganap na tumutukoy sa direksyon nito, ngunit walang sinasabi tungkol sa haba nito.

at sa isang axis o ilang iba pang vector mayroong mga konsepto ng geometric projection nito at numerical (o algebraic) projection. Ang resulta ng isang geometric projection ay magiging isang vector, at ang resulta ng isang algebraic projection ay isang hindi negatibong real number. Ngunit bago magpatuloy sa mga konseptong ito, tandaan natin ang kinakailangang impormasyon.

Paunang impormasyon

Ang pangunahing konsepto ay ang konsepto ng isang vector mismo. Upang maipakilala ang kahulugan ng isang geometric vector, tandaan natin kung ano ang isang segment. Ipakilala natin ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 1

Ang segment ay bahagi ng isang tuwid na linya na may dalawang hangganan sa anyo ng mga puntos.

Maaaring magkaroon ng 2 direksyon ang isang segment. Upang tukuyin ang direksyon, tatawagin natin ang isa sa mga hangganan ng segment na simula nito, at ang kabilang hangganan ay ang dulo nito. Ang direksyon ay ipinahiwatig mula sa simula nito hanggang sa katapusan ng segment.

Kahulugan 2

Ang isang vector o nakadirekta na segment ay magiging isang segment kung saan alam kung alin sa mga hangganan ng segment ang itinuturing na simula at kung alin ang wakas nito.

Pagtatalaga: Sa dalawang titik: $\overline(AB)$ – (kung saan ang $A$ ang simula nito, at ang $B$ ang wakas nito).

Sa isang maliit na titik: $\overline(a)$ (Fig. 1).

Ipakilala natin ang ilan pang mga konsepto na nauugnay sa konsepto ng isang vector.

Kahulugan 3

Tatawagin natin ang dalawang di-zero na vector na collinear kung nakahiga sila sa parehong linya o sa mga linyang parallel sa isa't isa (Fig. 2).

Kahulugan 4

Tatawagin namin ang dalawang di-zero na vector na codirectional kung matutugunan nila ang dalawang kundisyon:

1. Ang mga vector na ito ay collinear.
2. Kung sila ay nakadirekta sa isang direksyon (Larawan 3).

Notasyon: $\overline(a)\overline(b)$

Kahulugan 5

Tatawagan namin ang dalawang di-zero na vector na magkasalungat na nakadirekta kung natutugunan nila ang dalawang kundisyon:

1. Ang mga vector na ito ay collinear.
2. Kung sila ay nakadirekta sa iba't ibang direksyon (Larawan 4).

Notasyon: $\overline(a)↓\overline(d)$

Kahulugan 6

Ang haba ng vector na $\overline(a)$ ay magiging haba ng segment na $a$.

Notasyon: $|\overline(a)|$

Magpatuloy tayo sa pagtukoy sa pagkakapantay-pantay ng dalawang vectors

Kahulugan 7

Tatawagin namin ang dalawang vector na pantay-pantay kung natutugunan nila ang dalawang kundisyon:

1. Sila ay co-directional;
2. Ang kanilang mga haba ay pantay (Larawan 5).

Geometric projection

Tulad ng sinabi namin kanina, ang resulta ng isang geometric projection ay magiging isang vector.

Kahulugan 8

Ang geometric na projection ng vector na $\overline(AB)$ papunta sa isang axis ay isang vector na nakuha tulad ng sumusunod: Ang pinanggalingan na punto ng vector na $A$ ay naka-project sa axis na ito. Nakukuha namin ang puntong $A"$ - ang simula ng gustong vector. Ang dulong punto ng vector na $B$ ay inaasahang papunta sa axis na ito. Nakukuha namin ang puntong $B"$ - ang dulo ng gustong vector. Ang vector na $\overline(A"B")$ ang magiging ninanais na vector.

Isaalang-alang natin ang problema:

Halimbawa 1

Bumuo ng geometric projection na $\overline(AB)$ papunta sa $l$ axis na ipinapakita sa Figure 6.

Gumuhit tayo ng patayo mula sa puntong $A$ hanggang sa axis $l$, nakakuha tayo ng puntong $A"$ dito. Susunod, gumuhit tayo ng patayo mula sa puntong $B$ hanggang sa axis $l$, nakakuha tayo ng puntong $B "$ dito (Larawan 7).

Ang pag-project ng iba't ibang linya at ibabaw sa isang eroplano ay nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng isang visual na imahe ng mga bagay sa anyo ng isang guhit. Isasaalang-alang namin ang rectangular projection, kung saan ang projecting ray ay patayo sa projection plane. PROJECTION NG ISANG VECTOR SA ISANG EROPLO isaalang-alang ang vector = (Larawan 3.22), na nakapaloob sa pagitan ng mga perpendicular na tinanggal mula sa simula at pagtatapos nito.

kanin. 3.23. Vector projection ng isang vector papunta sa isang axis.

Sa vector algebra, madalas na kinakailangan na i-project ang isang vector sa isang AXIS, iyon ay, sa isang tuwid na linya na may isang tiyak na oryentasyon. Ang ganitong disenyo ay madali kung ang vector at ang L axis ay nasa parehong eroplano (Larawan 3.23). Gayunpaman, ang gawain ay nagiging mas mahirap kapag ang kundisyong ito ay hindi natutugunan. Bumuo tayo ng projection ng vector papunta sa axis kapag ang vector at ang axis ay hindi nakahiga sa parehong eroplano (Larawan 3.24).

kanin. 3.24. Pag-project ng vector sa isang axis
sa pangkalahatan.

Sa pamamagitan ng mga dulo ng vector gumuhit kami ng mga eroplano na patayo sa linyang L. Sa intersection sa linyang ito, ang mga eroplanong ito ay tumutukoy sa dalawang puntos na A1 at B1 - isang vector, na tatawagin nating vector projection ng vector na ito. Ang problema sa paghahanap ng vector projection ay mas madaling malutas kung ang vector ay dinadala sa parehong eroplano bilang ang axis, na maaaring gawin dahil ang mga libreng vector ay isinasaalang-alang sa vector algebra.

Kasama ng vector projection, mayroon ding SCALAR PROJECTION, na katumbas ng modulus ng vector projection kung ang vector projection ay tumutugma sa oryentasyon ng L axis, at katumbas ng kabaligtaran na halaga nito kung ang vector projection at ang L axis ay may kabaligtaran na oryentasyon. Ipapahiwatig namin ang scalar projection:

Ang mga projection ng vector at scalar ay hindi palaging mahigpit na pinaghihiwalay ng terminolohikal sa pagsasanay. Ang terminong "vector projection" ay karaniwang ginagamit, ibig sabihin ay isang scalar projection ng isang vector. Kapag gumagawa ng desisyon, kinakailangan na malinaw na makilala ang mga konseptong ito. Kasunod ng itinatag na tradisyon, gagamitin namin ang mga terminong "vector projection", ibig sabihin ay scalar projection, at "vector projection" - alinsunod sa itinatag na kahulugan.

Patunayan natin ang isang theorem na nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang scalar projection ng isang naibigay na vector.

THEOREM 5. Ang projection ng isang vector papunta sa L axis ay katumbas ng produkto ng modulus nito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng vector at ng axis, iyon ay

(3.5)

kanin. 3.25. Paghahanap ng vector at scalar
Mga projection ng vector papunta sa L axis
(at ang L axis ay pantay na nakatuon).

PATUNAY. Magsagawa muna tayo ng mga konstruksyon na nagpapahintulot sa atin na mahanap ang anggulo G Sa pagitan ng vector at ng L axis Upang gawin ito, gagawa kami ng isang tuwid na linya MN, parallel sa L axis at dumadaan sa punto O - ang simula ng vector (Larawan 3.25). Ang anggulo ay ang nais na anggulo. Gumuhit tayo ng dalawang eroplano sa pamamagitan ng mga punto A at O, patayo sa L axis.

Dahil ang L axis at ang tuwid na linya MN ay parallel.

I-highlight natin ang dalawang kaso ng relatibong posisyon ng vector at ng L axis.

1. Hayaang ang vector projection at ang L axis ay pantay na nakatuon (Larawan 3.25). Pagkatapos ay ang kaukulang scalar projection .

2. Hayaan at L ay naka-orient sa iba't ibang direksyon (Larawan 3.26).

kanin. 3.26. Paghahanap ng vector at scalar projection ng vector papunta sa L axis (at ang L axis ay naka-orient sa magkasalungat na direksyon).

Kaya, sa parehong mga kaso ang teorama ay totoo.

THEOREM 6. Kung ang pinagmulan ng vector ay dinadala sa isang tiyak na punto sa L axis, at ang axis na ito ay matatagpuan sa s plane, ang vector ay bumubuo ng isang anggulo na may vector projection sa s plane, at isang anggulo sa vector projection sa L axis, bilang karagdagan, ang mga vector projection mismo ay bumubuo ng isang anggulo sa isa't isa , That