5x (x - 4) = 0

5 x = 0 o x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Ang pagkakaroon ng natutunan upang malutas ang mga equation ng unang degree, siyempre, nais mong magtrabaho kasama ang iba, lalo na, sa mga equation ng pangalawang degree, na kung hindi man ay tinatawag na quadratic.

Ang mga quadratic equation ay mga equation tulad ng ax² + bx + c = 0, kung saan ang variable ay x, ang mga numero ay a, b, c, kung saan ang a ay hindi katumbas ng zero.

Kung sa isang quadratic equation ang isa o ang iba pang coefficient (c o b) ay katumbas ng zero, ang equation na ito ay mauuri bilang isang hindi kumpletong quadratic equation.

Paano lutasin ang isang hindi kumpletong quadratic equation kung ang mga mag-aaral ay hanggang ngayon ay nakapag-solve lang ng mga equation ng unang degree? Isaalang-alang ang mga hindi kumpletong quadratic equation iba't ibang uri at mga simpleng paraan upang malutas ang mga ito.

a) Kung ang coefficient c ay katumbas ng 0, at ang coefficient b ay hindi katumbas ng zero, ang ax ² + bx + 0 = 0 ay binabawasan sa isang equation ng form na ax ² + bx = 0.

Upang malutas ang naturang equation, kailangan mong malaman ang formula para sa paglutas ng isang hindi kumpletong quadratic equation, na: kaliwang bahagi i-factor ito at pagkatapos ay gamitin ang kundisyon na ang produkto ay katumbas ng zero.

Halimbawa, 5x² - 20x = 0. Isinasaalang-alang namin ang kaliwang bahagi ng equation, habang ginagawa ang karaniwan pagpapatakbo ng matematika: pag-alis ng kabuuang factor mula sa mga bracket

5x (x - 4) = 0

Ginagamit namin ang kundisyon na ang mga produkto ay katumbas ng zero.

5 x = 0 o x - 4 = 0

Ang sagot ay: ang unang ugat ay 0; ang pangalawang ugat ay 4.

b) Kung b = 0, at ang libreng termino ay hindi katumbas ng zero, kung gayon ang equation na ax ² + 0x + c = 0 ay binabawasan sa isang equation ng form na ax ² + c = 0. Ang mga equation ay nalutas sa dalawang paraan : a) sa pamamagitan ng factoring ang polynomial ng equation sa kaliwang bahagi ; b) gamit ang mga katangian ng arithmetic parisukat na ugat. Ang ganitong equation ay maaaring malutas gamit ang isa sa mga pamamaraan, halimbawa:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Ang magiging sagot ay: ang unang ugat ay 5/2; ang pangalawang ugat ay katumbas ng - 5/2.

c) Kung ang b ay katumbas ng 0 at ang c ay katumbas ng 0, kung gayon ang ax ² + 0 + 0 = 0 ay binabawasan sa isang equation ng anyong ax ² = 0. Sa naturang equation x ay magiging katumbas ng 0.

Tulad ng nakikita mo, ang mga hindi kumpletong quadratic equation ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa dalawang ugat.

Madalas na lumilitaw ang mga quadratic equation kapag nilulutas ang iba't ibang problema sa physics at mathematics. Sa artikulong ito titingnan natin kung paano lutasin ang mga pagkakapantay-pantay na ito sa isang unibersal na paraan "sa pamamagitan ng isang discriminant". Ang mga halimbawa ng paggamit ng nakuhang kaalaman ay ibinigay din sa artikulo.

Anong mga equation ang pag-uusapan natin?

Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang formula kung saan ang x ay isang hindi kilalang variable at ang mga Latin na simbolo na a, b, c ay kumakatawan sa ilang kilalang numero.

Ang bawat isa sa mga simbolong ito ay tinatawag na koepisyent. Tulad ng nakikita mo, ang numerong "a" ay lilitaw bago ang variable na x squared. Ito ang pinakamataas na kapangyarihan ng expression na kinakatawan, kaya naman tinawag itong quadratic equation. Ang ibang pangalan nito ay kadalasang ginagamit: second-order equation. Ang halaga mismo ay isang square coefficient (nakatayo kasama ang variable na squared), ang b ay isang linear coefficient (ito ay nasa tabi ng variable na itinaas sa unang kapangyarihan), at sa wakas, ang numero c ay ang libreng termino.

Tandaan na ang uri ng equation na ipinapakita sa figure sa itaas ay isang pangkalahatang classical quadratic expression. Bilang karagdagan dito, mayroong iba pang mga equation ng pangalawang order kung saan ang mga coefficient b at c ay maaaring maging zero.

Kapag ang gawain ay nakatakda upang malutas ang pagkakapantay-pantay na pinag-uusapan, nangangahulugan ito na ang mga naturang halaga ng variable na x ay kailangang mahanap na makakatugon dito. Dito, ang unang bagay na kailangan mong tandaan ay ang sumusunod na bagay: dahil ang pinakamataas na antas ng X ay 2, kung gayon ang ganitong uri ng pagpapahayag ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa 2 solusyon. Nangangahulugan ito na kung, kapag nilulutas ang isang equation, natagpuan ang 2 mga halaga ng x na nakakatugon dito, maaari mong tiyakin na walang ika-3 numero, na pinapalitan ito para sa x, ang pagkakapantay-pantay ay magiging totoo din. Ang mga solusyon sa isang equation sa matematika ay tinatawag na mga ugat nito.

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng pangalawang order

Ang paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay nangangailangan ng kaalaman sa ilang teorya tungkol sa kanila. SA kurso sa paaralan isaalang-alang ang algebras 4 iba't ibang pamamaraan mga solusyon. Ilista natin sila:

• gamit ang factorization;
• gamit ang formula para sa isang perpektong parisukat;
• sa pamamagitan ng paglalapat ng graph ng kaukulang quadratic function;
• gamit ang discriminant equation.

Ang bentahe ng unang paraan ay ang pagiging simple nito, gayunpaman, hindi ito magagamit para sa lahat ng mga equation. Ang pangalawang paraan ay pangkalahatan, ngunit medyo mahirap. Ang ikatlong paraan ay nakikilala sa pamamagitan ng kalinawan nito, ngunit hindi ito palaging maginhawa at naaangkop. At sa wakas, ang paggamit ng discriminant equation ay isang unibersal at medyo simpleng paraan upang mahanap ang mga ugat ng ganap na anumang second-order equation. Samakatuwid, sa artikulo ay isasaalang-alang lamang natin ito.

Formula para sa pagkuha ng mga ugat ng equation

Lumiko tayo sa pangkalahatang hitsura quadratic equation. Isulat natin ito: a*x²+ b*x + c =0. Bago gamitin ang paraan ng paglutas nito "sa pamamagitan ng isang diskriminasyon," dapat mong palaging dalhin ang pagkakapantay-pantay sa nakasulat na anyo nito. Ibig sabihin, dapat itong binubuo ng tatlong termino (o mas kaunti kung ang b o c ay 0).

Halimbawa, kung mayroong expression: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², dapat mo munang ilipat ang lahat ng termino nito sa isang gilid ng pagkakapantay-pantay at idagdag ang mga terminong naglalaman ng variable x sa parehong kapangyarihan.

SA sa kasong ito hahantong ang operasyong ito sa sumusunod na expression: -6*x²-4*x+8=0, na katumbas ng equation na 6*x²+4*x-8=0 (dito pinarami namin ang kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ng -1).

Sa halimbawa sa itaas, a = 6, b=4, c=-8. Tandaan na ang lahat ng mga termino ng pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang ay palaging pinagsama-sama, kaya kung ang "-" na palatandaan ay lilitaw, nangangahulugan ito na ang kaukulang koepisyent ay negatibo, tulad ng numero c sa kasong ito.

Matapos suriin ang puntong ito, lumipat tayo ngayon sa mismong formula, na ginagawang posible upang makuha ang mga ugat ng isang quadratic equation. Kamukha ng ipinapakita sa larawan sa ibaba.

Tulad ng makikita mula sa expression na ito, pinapayagan ka nitong makakuha ng dalawang ugat (pansinin ang "±" sign). Upang gawin ito, sapat na upang palitan ang mga coefficient b, c, at a dito.

Ang konsepto ng isang discriminant

Sa nakaraang talata, ibinigay ang isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilis na malutas ang anumang equation ng pangalawang-order. Sa loob nito, ang radikal na expression ay tinatawag na discriminant, iyon ay, D = b²-4*a*c.

Bakit naka-highlight ang bahaging ito ng formula, at mayroon pa itong tamang pangalan? Ang katotohanan ay ang discriminant ay nag-uugnay sa lahat ng tatlong coefficient ng equation sa isang solong expression. Ang huling katotohanan ay nangangahulugan na ito ay ganap na nagdadala ng impormasyon tungkol sa mga ugat, na maaaring ipahayag sa sumusunod na listahan:

1. D>0: Ang pagkakapantay-pantay ay may 2 magkakaibang solusyon, na parehong mga tunay na numero.
2. D=0: Ang equation ay may isang ugat lamang, at ito ay isang tunay na numero.

Gawaing may diskriminasyon sa pagpapasiya

Magbigay tayo ng isang simpleng halimbawa kung paano maghanap ng discriminant. Hayaang ibigay ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Dalhin natin ito sa karaniwang anyo, makakakuha tayo ng: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, kung saan tayo nagmula sa pagkakapantay-pantay : -2*x² +2*x-11 = 0. Dito a=-2, b=2, c=-11.

Ngayon ay maaari mong gamitin ang formula sa itaas para sa discriminant: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Ang resultang numero ay ang sagot sa gawain. Dahil sa halimbawa ang discriminant mas mababa sa zero, pagkatapos ay maaari nating sabihin na ang quadratic equation na ito ay walang tunay na mga ugat. Ang solusyon nito ay mga bilang lamang ng kumplikadong uri.

Isang halimbawa ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng isang discriminant

Lutasin natin ang mga problema na may bahagyang naiibang uri: ibinigay ang pagkakapantay-pantay -3*x²-6*x+c = 0. Kinakailangang hanapin ang mga halaga ng c kung saan ang D>0.

Sa kasong ito, 2 lamang sa 3 coefficient ang alam, kaya hindi posibleng kalkulahin ang eksaktong halaga ng discriminant, ngunit alam na ito ay positibo. Ginagamit namin ang huling katotohanan kapag binubuo ang hindi pagkakapantay-pantay: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Ang paglutas sa nagresultang hindi pagkakapantay-pantay ay humahantong sa resulta: c>-3.

Suriin natin ang resultang numero. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang D para sa 2 kaso: c=-2 at c=-4. Ang bilang na -2 ay nakakatugon sa nakuhang resulta (-2>-3), ang katumbas na discriminant ay magkakaroon ng halaga: D = 12>0. Sa turn, ang numero -4 ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay (-4. Kaya, anumang mga numero c na mas malaki kaysa sa -3 ay makakatugon sa kundisyon.

Isang halimbawa ng paglutas ng isang equation

Ipakita natin ang isang problema na nagsasangkot hindi lamang sa paghahanap ng discriminant, ngunit din sa paglutas ng equation. Kinakailangang hanapin ang mga ugat para sa pagkakapantay-pantay -2*x²+7-9*x = 0.

Sa halimbawang ito, ang discriminant ay susunod na halaga: D = 81-4*(-2)*7= 137. Pagkatapos ay matutukoy ang mga ugat ng equation tulad ng sumusunod: x = (9±√137)/(-4). Ito ang eksaktong mga halaga ng mga ugat; kung kalkulahin mo ang ugat ng humigit-kumulang, pagkatapos ay makukuha mo ang mga numero: x = -5.176 at x = 0.676.

Geometric na problema

Malutas natin ang isang problema na mangangailangan hindi lamang ng kakayahang kalkulahin ang discriminant, kundi pati na rin ang paggamit ng abstract na mga kasanayan sa pag-iisip at kaalaman sa kung paano sumulat ng mga quadratic equation.

Si Bob ay may 5 x 4 na metrong duvet. Gusto ng batang lalaki na manahi ng tuluy-tuloy na strip ng magandang tela. Gaano kakapal ang strip na ito kung alam nating may 10 m² na tela si Bob.

Hayaang ang strip ay may kapal na x m, pagkatapos ay ang lugar ng tela ay mahabang bahagi ang kumot ay magiging (5+2*x)*x, at dahil mayroong 2 mahabang gilid, mayroon kaming: 2*x*(5+2*x). Sa maikling bahagi, ang lugar ng tinahi na tela ay magiging 4*x, dahil mayroong 2 sa mga panig na ito, nakukuha namin ang halaga na 8*x. Tandaan na ang value na 2*x ay idinagdag sa mahabang bahagi dahil ang haba ng kumot ay tumaas ng bilang na iyon. Ang kabuuang lugar ng tela na natahi sa kumot ay 10 m². Samakatuwid, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Para sa halimbawang ito, ang discriminant ay katumbas ng: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Ang ugat nito ay 22. Gamit ang formula, hinahanap natin ang mga kinakailangang ugat: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). Malinaw, sa dalawang ugat, ang numerong 0.5 lamang ang angkop ayon sa mga kondisyon ng problema.

Kaya, ang strip ng tela na tinahi ni Bob sa kanyang kumot ay magiging 50 cm ang lapad.

Ang isang hindi kumpletong quadratic equation ay naiiba sa mga klasikal (kumpleto) na equation dahil ang mga kadahilanan o libreng term nito ay katumbas ng zero. Ang mga graph ng naturang mga function ay parabolas. Depende sa kanilang pangkalahatang hitsura, nahahati sila sa 3 grupo. Ang mga prinsipyo ng solusyon para sa lahat ng uri ng mga equation ay pareho.

Walang kumplikado sa pagtukoy sa uri ng isang hindi kumpletong polynomial. Pinakamainam na isaalang-alang ang mga pangunahing pagkakaiba gamit ang mga visual na halimbawa:

1. Kung b = 0, ang equation ay ax 2 + c = 0.
2. Kung c = 0, dapat lutasin ang expression na ax 2 + bx = 0.
3. Kung b = 0 at c = 0, ang polynomial ay nagiging equality tulad ng ax 2 = 0.

Ang huling kaso ay higit pa sa isang teoretikal na posibilidad at hindi kailanman nangyayari sa mga gawain sa pagsubok ng kaalaman, dahil ang tanging tamang halaga ng variable na x sa expression ay zero. Sa hinaharap, isasaalang-alang ang mga pamamaraan at halimbawa ng paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation ng 1) at 2) na uri.

Pangkalahatang algorithm para sa paghahanap ng mga variable at mga halimbawa na may mga solusyon

Anuman ang uri ng equation, ang algorithm ng solusyon ay binabawasan sa mga sumusunod na hakbang:

1. Bawasan ang expression sa isang form na maginhawa para sa paghahanap ng mga ugat.
2. Magsagawa ng mga kalkulasyon.
3. Isulat ang sagot.

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang mga hindi kumpletong equation ay ang pag-factor sa kaliwang bahagi at mag-iwan ng zero sa kanan. Kaya, ang formula para sa isang hindi kumpletong quadratic equation para sa paghahanap ng mga ugat ay nabawasan sa pagkalkula ng halaga ng x para sa bawat isa sa mga kadahilanan.

Maaari mo lamang matutunan kung paano lutasin ito sa pagsasanay, kaya isaalang-alang natin tiyak na halimbawa paghahanap ng mga ugat ng isang hindi kumpletong equation:

Tulad ng nakikita mo, sa kasong ito b = 0. I-factorize natin ang kaliwang bahagi at makuha ang expression:

4(x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

Malinaw, ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Ang mga halaga ng variable na x1 = 0.5 at (o) x2 = -0.5 ay nakakatugon sa mga katulad na kinakailangan.

Upang madali at mabilis na makayanan ang gawain ng agnas quadratic trinomial sa mga kadahilanan, tandaan ang sumusunod na formula:

Kung walang libreng termino sa expression, ang problema ay lubos na pinasimple. Ito ay sapat na upang mahanap at i-bracket ang karaniwang denominator. Para sa kalinawan, isaalang-alang ang isang halimbawa kung paano lutasin ang mga hindi kumpletong quadratic equation ng form na ax2 + bx = 0.

Alisin natin ang variable x sa mga bracket at kunin ang sumusunod na expression:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Ginagabayan ng lohika, dumating tayo sa konklusyon na x1 = 0, at x2 = -3.

Tradisyunal na paraan ng solusyon at hindi kumpletong quadratic equation

Ano ang mangyayari kung ilalapat mo ang discriminant formula at susubukan mong hanapin ang mga ugat ng isang polynomial na may mga coefficient na katumbas ng zero? Kumuha tayo ng isang halimbawa mula sa koleksyon tipikal na gawain para sa Unified State Examination in Mathematics 2017, lulutasin natin ito gamit ang mga karaniwang formula at ang paraan ng factorization.

7x 2 – 3x = 0.

Kalkulahin natin ang discriminant value: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Lumalabas na ang polynomial ay may dalawang ugat:

Ngayon, lutasin natin ang equation sa pamamagitan ng factoring at ihambing ang mga resulta.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Tulad ng nakikita mo, ang parehong mga pamamaraan ay nagbibigay ng parehong resulta, ngunit ang paglutas ng equation gamit ang pangalawang pamamaraan ay mas madali at mas mabilis.

Ang teorama ni Vieta

Ngunit ano ang gagawin sa paboritong teorama ni Vieta? Maaari bang gamitin ang pamamaraang ito kapag hindi kumpleto ang trinomial? Subukan nating maunawaan ang mga aspeto ng paghahagis kumpletong equation Upang klasikong hitsura ax2 + bx + c = 0.

Sa katunayan, posibleng ilapat ang teorama ni Vieta sa kasong ito. Kinakailangan lamang na dalhin ang expression sa pangkalahatang anyo nito, na pinapalitan ang mga nawawalang termino ng zero.

Halimbawa, na may b = 0 at a = 1, upang maalis ang posibilidad ng pagkalito, ang gawain ay dapat na nakasulat sa anyo: ax2 + 0 + c = 0. Pagkatapos ay ang ratio ng kabuuan at produkto ng mga ugat at Ang mga kadahilanan ng polynomial ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:

Ang mga teoretikal na kalkulasyon ay tumutulong upang makilala ang kakanyahan ng isyu, at palaging nangangailangan ng mga kasanayan sa pagsasanay kapag nagresolba mga tiyak na gawain. Muli nating buksan ang sangguniang aklat ng mga karaniwang gawain para sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado at humanap ng angkop na halimbawa:

Isulat natin ang expression sa isang form na maginhawa para sa paglalapat ng teorama ni Vieta:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Ang susunod na hakbang ay upang lumikha ng isang sistema ng mga kondisyon:

Malinaw, ang mga ugat ng quadratic polynomial ay magiging x 1 = 4 at x 2 = -4.

Ngayon, magsanay tayo na dalhin ang equation sa pangkalahatang anyo nito. Kunin natin ang sumusunod na halimbawa: 1/4× x 2 – 1 = 0

Upang mailapat ang teorama ni Vieta sa isang pagpapahayag, kinakailangan na alisin ang fraction. I-multiply natin ang kaliwa at kanang panig sa 4, at tingnan ang resulta: x2– 4 = 0. Ang resultang pagkakapantay-pantay ay handa nang lutasin ng teorama ni Vieta, ngunit mas madali at mas mabilis na makuha ang sagot sa pamamagitan lamang ng paglipat ng c = 4 sa kanang bahagi ng equation: x2 = 4.

Upang buod, dapat itong sabihin na ang pinakamahusay na paraan mga solusyon hindi kumpletong equation ay isang factorization, ay ang pinakasimpleng at mabilis na paraan. Kung ang mga paghihirap ay lumitaw sa proseso ng paghahanap ng mga ugat, maaari kang makipag-ugnay tradisyonal na pamamaraan paghahanap ng mga ugat sa pamamagitan ng isang discriminant.

Mga formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation. Ang mga kaso ng tunay, maramihang at kumplikadong mga ugat ay isinasaalang-alang. Pag-factor ng isang quadratic trinomial. Geometric na interpretasyon. Mga halimbawa ng pagtukoy ng mga ugat at factoring.

Mga pangunahing formula

Isaalang-alang ang quadratic equation:
(1) .
Mga ugat ng isang quadratic equation(1) ay tinutukoy ng mga formula:
; .
Ang mga formula na ito ay maaaring pagsamahin tulad nito:
.
Kapag ang mga ugat ng isang quadratic equation ay kilala, ang isang polynomial ng pangalawang degree ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga kadahilanan (factored):
.

Susunod na ipinapalagay namin na mga tunay na numero.
Isaalang-alang natin discriminant ng isang quadratic equation:
.
Kung positibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang magkaibang tunay na ugat:
; .
Pagkatapos ang factorization ng quadratic trinomial ay may anyo:
.
Kung ang discriminant ay katumbas ng zero, kung gayon ang quadratic equation (1) ay mayroong dalawang multiple (equal) real roots:
.
Factorization:
.
Kung negatibo ang discriminant, ang quadratic equation (1) ay may dalawang kumplikadong conjugate roots:
;
.
Narito ang haka-haka na yunit, ;
at ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng mga ugat:
; .
Pagkatapos

.

Graphic na interpretasyon

Kung magtatayo ka graph ng isang function
,
na isang parabola, kung gayon ang mga punto ng intersection ng graph na may axis ay magiging mga ugat ng equation
.
Sa , ang graph ay nag-intersect sa x-axis (axis) sa dalawang punto.
Kapag , hinawakan ng graph ang x-axis sa isang punto.
Kapag , ang graph ay hindi tumatawid sa x-axis.

Nasa ibaba ang mga halimbawa ng naturang mga graph.

Mga kapaki-pakinabang na formula na nauugnay sa quadratic equation

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivation ng formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation

Nagsasagawa kami ng mga pagbabagong-anyo at naglalapat ng mga formula (f.1) at (f.3):




,
saan
; .

Kaya, nakuha namin ang formula para sa isang polynomial ng pangalawang degree sa form:
.
Ito ay nagpapakita na ang equation

ginanap sa
At .
Iyon ay, at ang mga ugat ng quadratic equation
.

Mga halimbawa ng pagtukoy sa mga ugat ng isang quadratic equation

Halimbawa 1

(1.1) .

Solusyon

.
Ang paghahambing sa aming equation (1.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay positibo, ang equation ay may dalawang tunay na ugat:
;
;
.

Mula dito nakukuha natin ang factorization ng quadratic trinomial:

.

Graph ng function na y = 2 x 2 + 7 x + 3 nag-intersect sa x-axis sa dalawang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Tinatawid nito ang abscissa axis (axis) sa dalawang punto:
At .
Ang mga puntong ito ay ang mga ugat ng orihinal na equation (1.1).

Sagot

;
;
.

Halimbawa 2

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(2.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
.
Ang paghahambing sa orihinal na equation (2.1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Dahil ang discriminant ay zero, ang equation ay may dalawang maramihang (pantay) na ugat:
;
.

Pagkatapos ang factorization ng trinomial ay may anyo:
.

Graph ng function na y = x 2 - 4 x + 4 hinawakan ang x-axis sa isang punto.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hinahawakan nito ang x-axis (axis) sa isang punto:
.
Ang puntong ito ay ang ugat ng orihinal na equation (2.1). Dahil ang ugat na ito ay naka-factor nang dalawang beses:
,
kung gayon ang gayong ugat ay karaniwang tinatawag na maramihan. Iyon ay, naniniwala sila na mayroong dalawang pantay na ugat:
.

Sagot

;
.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga ugat ng isang quadratic equation:
(3.1) .

Solusyon

Isulat natin ang quadratic equation sa pangkalahatang anyo:
(1) .
Isulat muli natin ang orihinal na equation (3.1):
.
Ang paghahambing sa (1), nakita namin ang mga halaga ng mga coefficient:
.
Nakita namin ang discriminant:
.
Ang discriminant ay negatibo, . Samakatuwid walang tunay na mga ugat.

Makakahanap ka ng mga kumplikadong ugat:
;
;
.

Pagkatapos


.

Ang graph ng function ay hindi tumatawid sa x-axis. Walang tunay na ugat.

I-plot natin ang function
.
Ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hindi ito bumalandra sa x-axis (axis). Samakatuwid walang tunay na mga ugat.

Sagot

Walang tunay na ugat. Mga kumplikadong ugat:
;
;
.