Ang kapangyarihan ay ginagamit upang pasimplehin ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng isang numero nang mag-isa. Halimbawa, sa halip na magsulat, maaari kang magsulat 4 5 (\displaystyle 4^(5))(isang paliwanag para sa paglipat na ito ay ibinigay sa unang seksyon ng artikulong ito). Pinapadali ng mga degree ang pagsulat ng mahaba o kumplikadong mga expression o equation; Ang mga kapangyarihan ay madaling idagdag at ibinabawas, na nagreresulta sa isang pinasimpleng expression o equation (halimbawa, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Tandaan: kung kailangan mong lutasin ang isang exponential equation (sa naturang equation ang hindi alam ay nasa exponent), basahin.

Mga hakbang

Paglutas ng mga simpleng problema sa mga degree

I-multiply ang base ng exponent sa sarili nitong ilang beses na katumbas ng exponent. Kung kailangan mong lutasin ang isang problema sa kapangyarihan sa pamamagitan ng kamay, muling isulat ang kapangyarihan bilang isang pagpaparami ng pagpaparami, kung saan ang base ng kapangyarihan ay pinarami ng sarili nito. Halimbawa, binigyan ng degree 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Sa kasong ito, ang base ng kapangyarihan 3 ay dapat na i-multiply sa sarili nitong 4 na beses: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Narito ang iba pang mga halimbawa:

Una, i-multiply ang unang dalawang numero. Halimbawa, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Huwag mag-alala - ang proseso ng pagkalkula ay hindi kasing kumplikado na tila sa unang tingin. I-multiply muna ang unang dalawang apat at pagkatapos ay palitan ang mga ito ng resulta. ganito:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. I-multiply ang resulta (16 sa ating halimbawa) sa susunod na numero. Ang bawat kasunod na resulta ay tataas nang proporsyonal. Sa aming halimbawa, i-multiply ang 16 sa 4. Tulad nito:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Ipagpatuloy ang pagpaparami ng resulta ng unang dalawang numero sa susunod na numero hanggang sa makuha mo ang iyong huling sagot. Upang gawin ito, i-multiply ang unang dalawang numero, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang resulta sa susunod na numero sa sequence. Ang pamamaraang ito ay wasto para sa anumang antas. Sa aming halimbawa dapat kang makakuha ng: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Lutasin ang mga sumusunod na problema. Suriin ang iyong sagot gamit ang isang calculator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Sa iyong calculator, hanapin ang key na may label na "exp" o " x n (\displaystyle x^(n))", o "^". Gamit ang key na ito, itataas mo ang isang numero sa isang kapangyarihan. Halos imposibleng kalkulahin nang manu-mano ang isang degree na may malaking indicator (halimbawa, ang degree 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ngunit ang calculator ay madaling makayanan ang gawaing ito. Sa Windows 7, ang karaniwang calculator ay maaaring ilipat sa engineering mode; Upang gawin ito, i-click ang "View" -> "Engineering". Upang lumipat sa normal na mode, i-click ang “View” -> “Normal”.

   • Suriin ang sagot na natanggap mo gamit ang isang search engine (Google o Yandex). Gamit ang "^" key sa keyboard ng iyong computer, ilagay ang expression sa search engine, na agad na magpapakita ng tamang sagot (at posibleng magmungkahi ng mga katulad na expression para pag-aralan mo).

   Pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami ng mga kapangyarihan

   1. Maaari kang magdagdag at magbawas ng mga degree lamang kung mayroon silang parehong mga base. Kung kailangan mong magdagdag ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at exponents, pagkatapos ay maaari mong palitan ang pagpapatakbo ng karagdagan sa pagpaparami ng operasyon. Halimbawa, ibinigay ang expression 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Tandaan na ang degree 4 5 (\displaystyle 4^(5)) maaaring katawanin sa anyo 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); kaya, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kung saan 1 +1 =2). Iyon ay, bilangin ang bilang ng mga katulad na degree, at pagkatapos ay i-multiply ang degree na iyon at ang numerong ito. Sa aming halimbawa, itaas ang 4 sa ikalimang kapangyarihan, at pagkatapos ay i-multiply ang resultang resulta sa 2. Tandaan na ang pagpapatakbo ng karagdagan ay maaaring mapalitan ng pagpaparami ng pagpaparami, halimbawa, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Narito ang iba pang mga halimbawa:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay idinagdag (ang base ay hindi nagbabago). Halimbawa, ibinigay ang expression x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Sa kasong ito, kailangan mo lamang idagdag ang mga tagapagpahiwatig, na iniiwan ang base na hindi nagbabago. kaya, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Narito ang isang visual na paliwanag ng panuntunang ito:

      Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami. Halimbawa, binibigyan ng degree. Dahil ang mga exponent ay pinarami, kung gayon (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Ang punto ng panuntunang ito ay nagpaparami ka sa pamamagitan ng mga kapangyarihan (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sa sarili ng limang beses. ganito:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Dahil ang base ay pareho, ang mga exponent ay nagdaragdag lamang: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Ang isang kapangyarihan na may negatibong exponent ay dapat i-convert sa isang fraction (reverse power). Hindi mahalaga kung hindi mo alam kung ano ang reciprocal degree. Kung bibigyan ka ng degree na may negatibong exponent, hal. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), isulat ang degree na ito sa denominator ng fraction (ilagay ang 1 sa numerator), at gawing positibo ang exponent. Sa aming halimbawa: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Narito ang iba pang mga halimbawa:

      Kapag hinahati ang mga degree na may parehong base, ang kanilang mga exponents ay ibinabawas (ang base ay hindi nagbabago). Ang operasyon ng paghahati ay ang kabaligtaran ng pagpaparami. Halimbawa, ibinigay ang expression 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Ibawas ang exponent sa denominator mula sa exponent sa numerator (huwag baguhin ang base). kaya, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Ang kapangyarihan sa denominator ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Tandaan na ang fraction ay isang numero (power, expression) na may negatibong exponent.

   4. Nasa ibaba ang ilang expression na makakatulong sa iyong matutong lutasin ang mga problema sa mga exponent. Ang mga ekspresyong ibinigay ay sumasaklaw sa materyal na ipinakita sa seksyong ito. Para makita ang sagot, i-highlight lang ang bakanteng espasyo pagkatapos ng equals sign.

   Paglutas ng mga problema sa fractional exponents

   Ang power na may fractional exponent (halimbawa, ) ay na-convert sa root operation. Sa aming halimbawa: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Dito hindi mahalaga kung anong numero ang nasa denominator ng fractional exponent. Halimbawa, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- ay ang ikaapat na ugat ng “x”, ibig sabihin x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Kung ang exponent ay isang hindi tamang fraction, kung gayon ang exponent ay maaaring mabulok sa dalawang kapangyarihan upang gawing simple ang solusyon ng problema. Walang kumplikado tungkol dito - tandaan lamang ang panuntunan ng pagpaparami ng mga kapangyarihan. Halimbawa, binibigyan ng degree. I-convert ang gayong kapangyarihan sa isang ugat na ang kapangyarihan ay katumbas ng denominator ng fractional exponent, at pagkatapos ay itaas ang ugat na ito sa isang kapangyarihan na katumbas ng numerator ng fractional exponent. Upang gawin ito, tandaan iyon = 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3)))(1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5)

      • . Sa aming halimbawa:
      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x))) = x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3)))
   2. (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   3. Ang ilang mga calculator ay may isang pindutan upang makalkula ang mga exponent (kailangan mo munang ipasok ang base, pagkatapos ay pindutin ang pindutan, at pagkatapos ay ilagay ang exponent). Ito ay tinutukoy bilang ^ o x^y. Tandaan na ang anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito, halimbawa, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Bukod dito, ang anumang numero na pinarami o hinati sa isa ay katumbas ng sarili nito, hal. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) At.
   4. 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5) Alamin na ang kapangyarihan 0 0 ay hindi umiiral (ang gayong kapangyarihan ay walang solusyon). Kung susubukan mong lutasin ang gayong antas sa isang calculator o sa isang computer, makakatanggap ka ng isang error. Ngunit tandaan na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay 1, halimbawa,
   5. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.) Sa mas mataas na matematika, na gumagana sa mga haka-haka na numero: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax) , Saan; e ay isang pare-pareho na humigit-kumulang katumbas ng 2.7; a ay isang arbitrary na pare-pareho. Ang patunay ng pagkakapantay-pantay na ito ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin sa mas mataas na matematika.

   Mga babala

   • Habang tumataas ang exponent, tumataas nang husto ang halaga nito. Kaya kung ang sagot ay tila mali sa iyo, maaaring ito ay talagang tama. Maaari mong suriin ito sa pamamagitan ng paglalagay ng anuman exponential function hal 2 x .

Ang pagtaas sa negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika at kadalasang nakakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang mga detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag itinaas natin ang isang numero sa isang ordinaryong kapangyarihan, pinarami natin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa isang negatibong fraction ang kabaligtaran ay totoo. Pangkalahatang view ayon sa formula magiging ganito ang hitsura: a -n = 1/a n. Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Kapag isinasaisip ang panuntunan sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Sagot -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang mga sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag nagtatayo negatibong numero sa pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), nagiging positibo ang tanda. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay mananatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga numero mula 0 hanggang 1

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pagsusuri (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Nagsasalin kami decimal 0.5 hanggang fractional 1/2. Mas madali sa ganoong paraan.
  Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2, makakakuha tayo ng 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin ang -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, makakagawa tayo ng ilang konklusyon:

• Para sa isang positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Bukod dito, mas mataas ang antas, mas malaki ang halaga.
• Para sa isang negatibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 5), ​​itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - isang kapangyarihan sa anyo ng isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n, kung saan ang a ay isang regular na numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Tingnan natin ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Tandaan natin ang panuntunan para sa pagtaas ng numero sa negatibong kapangyarihan. Nakukuha namin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Pansinin na ang denominator ay may numerong 8 sa isang fractional power. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional power ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m.
• Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha namin ugat ng kubo sa walo, na katumbas ng 2. Mula dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Sagot: 8 -1/3 = 2

Mula sa paaralan, alam nating lahat ang panuntunan tungkol sa exponentiation: anumang numero na may exponent N ay katumbas ng resulta ng pagpaparami ng numerong ito sa sarili nitong N bilang ng beses. Sa madaling salita, ang 7 sa kapangyarihan ng 3 ay 7 na pinarami ng sarili nitong tatlong beses, iyon ay, 343. Ang isa pang tuntunin ay ang pagtaas ng anumang dami sa kapangyarihan ng 0 ay nagbibigay ng isa, at ang pagtaas ng negatibong dami ay resulta ng ordinaryong pagtaas sa ang kapangyarihan kung ito ay kahit na, at ang parehong resulta na may isang minus sign kung ito ay kakaiba.

Ang mga patakaran ay nagbibigay din ng sagot sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan. Upang gawin ito, kailangan mong itaas ang kinakailangang halaga sa pamamagitan ng modulus ng indicator sa karaniwang paraan, at pagkatapos ay hatiin ang yunit sa resulta.

Mula sa mga panuntunang ito ay nagiging malinaw na ang pagsasagawa ng mga tunay na gawain na kinasasangkutan ng malalaking dami ay mangangailangan ng pagkakaroon ng teknikal na paraan. Manu-manong maaari mong i-multiply sa iyong sarili ang isang maximum na hanay ng mga numero hanggang dalawampu't tatlumpu, at pagkatapos ay hindi hihigit sa tatlo o apat na beses. Ito ay hindi banggitin pagkatapos ay hatiin ang isa sa resulta. Samakatuwid, para sa mga walang espesyal na calculator ng engineering, sasabihin namin sa iyo kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan sa Excel.

Paglutas ng mga problema sa Excel

Upang malutas ang mga problema sa konstruksiyon sa Excel degree nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng isa sa dalawang opsyon.

Ang una ay ang paggamit ng isang formula na may karaniwang tanda na "takip". Ipasok ang sumusunod na data sa mga cell ng worksheet:

Sa parehong paraan, maaari mong itaas ang nais na halaga sa anumang kapangyarihan - negatibo, fractional. Gawin natin susunod na hakbang at sagutin ang tanong kung paano itaas ang isang numero sa negatibong kapangyarihan. Halimbawa:

Maaari mong itama ang =B2^-C2 nang direkta sa formula.

Ang pangalawang opsyon ay ang paggamit ng yari na function na "Degree", na tumatagal ng dalawang kinakailangang argumento - isang numero at isang exponent. Upang simulan ang paggamit nito, ilagay lamang ang equal sign (=) sa anumang libreng cell, na nagpapahiwatig ng simula ng formula, at ilagay ang mga salita sa itaas. Ang natitira na lang ay pumili ng dalawang cell na lalahok sa operasyon (o manu-manong tukuyin ang mga partikular na numero) at pindutin ang Enter key. Tingnan natin ang ilang simpleng halimbawa.

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan at sa isang regular na kapangyarihan gamit ang Excel. Pagkatapos ng lahat, upang malutas ang problemang ito, maaari mong gamitin ang parehong pamilyar na simbolo ng "takip" at ang built-in na function ng programa, na madaling matandaan. Ito ay isang tiyak na plus!

Lumipat tayo sa mas kumplikadong mga halimbawa. Tandaan natin ang panuntunan tungkol sa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong fractional power, at makikita natin na ang problemang ito ay napakadaling malutas sa Excel.

Fractional indicator

Sa madaling salita, ang algorithm para sa pagkalkula ng isang numero na may fractional exponent ay ang mga sumusunod.

1. I-convert ang isang fraction sa tamang o di-wastong fraction.
2. Itaas ang aming numero sa numerator ng resultang na-convert na fraction.
3. Mula sa bilang na nakuha sa nakaraang talata, kalkulahin ang ugat, na may kondisyon na ang exponent ng ugat ang magiging denominator ng fraction na nakuha sa unang yugto.

Sumang-ayon na kahit na kapag tumatakbo sa maliit na numero at tamang fractions Ang ganitong mga kalkulasyon ay maaaring tumagal ng maraming oras. Mabuti na ang Excel spreadsheet processor ay walang pakialam kung anong numero ang itataas sa kung anong kapangyarihan. Subukang lutasin ang sumusunod na halimbawa sa isang worksheet ng Excel:

Gamit ang mga panuntunan sa itaas, maaari mong suriin at tiyakin na ang pagkalkula ay ginawa nang tama.

Sa dulo ng aming artikulo, ipapakita namin sa anyo ng isang talahanayan na may mga formula at mga resulta ng ilang mga halimbawa kung paano itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, pati na rin ang ilang mga halimbawa ng pagpapatakbo gamit ang mga fractional na numero at kapangyarihan.

Halimbawang talahanayan

Tingnan ang mga sumusunod na halimbawa sa iyong Excel worksheet. Para gumana nang tama ang lahat, kailangan mong gumamit ng halo-halong sanggunian kapag kinokopya ang formula. Ayusin ang numero ng column na naglalaman ng numerong itinataas at ang numero ng row na naglalaman ng indicator. Dapat ganito ang hitsura ng iyong formula: “=$B4^C$3.”

Pakitandaan na ang mga positibong numero (kahit na hindi integer) ay maaaring kalkulahin nang walang mga problema para sa anumang exponent. Walang mga problema sa pagpapataas ng anumang mga numero sa mga integer. Ngunit ang pagtaas ng negatibong numero sa isang fractional na kapangyarihan ay magiging isang pagkakamali para sa iyo, dahil imposibleng sundin ang panuntunang ipinahiwatig sa simula ng aming artikulo tungkol sa pagtaas ng mga negatibong numero, dahil ang parity ay isang katangian na eksklusibo ng isang BUONG numero.

Isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan Tumawag sila sa isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses.

Kapangyarihan ng isang numero na may negatibong halaga (a - n) ay maaaring matukoy sa katulad na paraan kung paano tinutukoy ang kapangyarihan ng parehong numero na may positibong exponent (a n) . Gayunpaman, nangangailangan din ito ng karagdagang kahulugan. Ang formula ay tinukoy bilang:

a-n = (1/a n)

Ang mga katangian ng mga negatibong kapangyarihan ng mga numero ay katulad ng mga kapangyarihan na may positibong exponent. Iniharap na equation a m/a n= isang m-n maaaring maging patas bilang

« Wala kahit saan, tulad ng sa matematika, na ang kalinawan at katumpakan ng konklusyon ay nagpapahintulot sa isang tao na mamilipit sa isang sagot sa pamamagitan ng pakikipag-usap sa paligid ng tanong.».

A. D. Alexandrov

sa n higit pa m , at kasama ng m higit pa n . Tingnan natin ang isang halimbawa: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Una kailangan mong matukoy ang numero na gumaganap bilang isang kahulugan ng antas. b=a(-n) . Sa halimbawang ito -n ay isang exponent b - ang nais na halaga ng numero, a - ang batayan ng antas sa anyo ng isang natural numerical value. Pagkatapos ay tukuyin ang module, iyon ay, ang ganap na halaga ng isang negatibong numero, na gumaganap bilang isang exponent. Kalkulahin ang kapangyarihan ng isang ibinigay na kamag-anak na numero ganap na numero, bilang tagapagpahiwatig. Ang halaga ng antas ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa resultang numero.

kanin. 1

Isaalang-alang ang kapangyarihan ng isang numero na may negatibong fractional exponent. Isipin natin na ang numero a ay anumang positibong numero, mga numero n At m - natural na mga numero. Ayon sa kahulugan a , na itinataas sa kapangyarihan - katumbas ng isang hinati sa parehong numero na may positibong kapangyarihan (Figure 1). Kapag ang kapangyarihan ng isang numero ay isang fraction, kung gayon sa mga ganitong kaso ay mga numero lamang na may positibong exponent ang ginagamit.

Worth remembering na ang zero ay hindi kailanman maaaring maging isang exponent ng isang numero (ang panuntunan ng paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pagkalat ng naturang konsepto bilang isang numero ay naging mga manipulasyon gaya ng mga kalkulasyon ng pagsukat, gayundin ang pag-unlad ng matematika bilang isang agham. Ang pagpapakilala ng mga negatibong halaga ay dahil sa pag-unlad ng algebra, na nagbigay pangkalahatang solusyon mga problema sa aritmetika, anuman ang kanilang partikular na kahulugan at paunang numerical data. Sa India, noong ika-6 hanggang ika-11 na siglo, sistematikong ginamit ang mga negatibong numero sa paglutas ng mga problema at binibigyang-kahulugan sa parehong paraan tulad ng ngayon. Sa agham ng Europa, nagsimulang malawakang gamitin ang mga negatibong numero salamat kay R. Descartes, na nagbigay ng geometriko na interpretasyon ng mga negatibong numero bilang mga direksyon ng mga segment. Si Descartes ang nagmungkahi ng pagtatalaga ng isang numero na itinaas sa isang kapangyarihan upang ipakita bilang isang dalawang palapag na formula isang n .

ay matatagpuan gamit ang multiplikasyon. Halimbawa: 5+5+5+5+5+5=5x6. Ang ganitong pagpapahayag ay sinasabing ang kabuuan ng pantay na mga termino ay nakatiklop sa isang produkto. At sa kabaligtaran, kung babasahin natin ang pagkakapantay-pantay na ito mula kanan hanggang kaliwa, makikita natin na pinalawak natin ang kabuuan ng mga katumbas na termino. Katulad nito, maaari mong i-collapse ang produkto ng ilang pantay na salik 5x5x5x5x5x5=5 6.

Iyon ay, sa halip na i-multiply ang anim na magkaparehong salik na 5x5x5x5x5x5, isinusulat nila ang 5 6 at sinasabing "lima hanggang ikaanim na kapangyarihan."

Ang expression na 5 6 ay isang kapangyarihan ng isang numero, kung saan:

5 - base ng degree;

6 - exponent.

Ang mga aksyon kung saan ang produkto ng pantay na mga kadahilanan ay nabawasan sa isang kapangyarihan ay tinatawag pagtataas sa isang kapangyarihan.

Sa pangkalahatan, ang isang degree na may base na "a" at exponent "n" ay nakasulat bilang mga sumusunod

Ang pagtaas ng bilang a sa kapangyarihan n ay nangangahulugan ng paghahanap ng produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a

Kung ang base ng degree na "a" ay katumbas ng 1, ang halaga ng degree para sa anumang natural na n ay magiging katumbas ng 1. Halimbawa, 1 5 =1, 1 256 =1

Kung itataas mo ang bilang na "a" sa unang degree, pagkatapos ay makuha natin ang numero mismo: a 1 = a

Kung magtataas ka ng anumang numero sa zero degree, pagkatapos bilang resulta ng mga kalkulasyon ay nakakakuha kami ng isa. a 0 = 1

Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng isang numero ay itinuturing na espesyal. Nakabuo sila ng mga pangalan para sa kanila: ang pangalawang degree ay tinatawag parisukat ang numero, pangatlo - kubo ang numerong ito.

Anumang numero ay maaaring itaas sa isang kapangyarihan - positibo, negatibo o zero. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na patakaran ay hindi nalalapat:

Kapag nahanap ang kapangyarihan ng isang positibong numero, ang resulta ay isang positibong numero.

Kapag kinakalkula ang zero sa natural na kapangyarihan, makakakuha tayo ng zero.

x m · x n = x m + n

halimbawa: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

Upang hatiin ang mga kapangyarihan na may parehong mga batayan Hindi namin binabago ang base, ngunit ibawas ang mga exponent:

x m / x n = x m - n , Saan, m > n,

halimbawa: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

Kapag nagkalkula pagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan Hindi namin binabago ang base, ngunit i-multiply ang mga exponents sa bawat isa.

(sa m ) n = y m n

halimbawa: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

halimbawa:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ayon sa pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan itinataas natin ang numerator at denominator ng fraction sa isang ibinigay na kapangyarihan

(x/y)n = x n / y n

halimbawa: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

Ang pagkakasunud-sunod ng mga kalkulasyon kapag nagtatrabaho sa mga expression na naglalaman ng isang degree.

Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ng mga expression na walang panaklong, ngunit naglalaman ng mga kapangyarihan, una sa lahat, nagsasagawa sila ng exponentiation, pagkatapos ay pagpaparami at paghahati, at pagkatapos lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas.

Kung kailangan mong kalkulahin ang isang expression na naglalaman ng mga bracket, pagkatapos ay gawin muna ang mga kalkulasyon sa mga bracket sa pagkakasunud-sunod na ipinahiwatig sa itaas, at pagkatapos ay ang natitirang mga aksyon sa parehong pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan.

Napakalawak sa mga praktikal na kalkulasyon, ang mga handa na talahanayan ng mga kapangyarihan ay ginagamit upang pasimplehin ang mga kalkulasyon.

Aralin at presentasyon sa paksa: "Exponent na may negatibong exponent. Kahulugan at mga halimbawa ng paglutas ng problema"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, pagsusuri, kagustuhan. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang anti-virus program.

Mga tulong na pang-edukasyon at simulator sa Integral online na tindahan para sa grade 8
Manwal para sa aklat-aralin na Muravin G.K.   

Isang manwal para sa aklat-aralin ni Alimov Sh.A.

Halimbawa: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.
Alam nating mabuti na ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. $a^0=1$, $a≠0$.
Ang tanong ay lumitaw, ano ang mangyayari kung itataas mo ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan? Halimbawa, ano ang magiging katumbas ng numerong $2^(-2)$?
Ang mga unang mathematician na nagtanong sa tanong na ito ay nagpasya na hindi ito nagkakahalaga ng muling pag-imbento ng gulong, at mabuti na ang lahat ng mga katangian ng mga degree ay nanatiling pareho. Iyon ay, kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay nagdaragdag.
Isaalang-alang natin ang kasong ito: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.

Nalaman namin na ang produkto ng naturang mga numero ay dapat magbigay ng isa. Ang yunit sa produkto ay nakukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga katumbas na numero, iyon ay, $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.
Ang ganitong pangangatwiran ay humantong sa sumusunod na kahulugan. Kahulugan. Kung $n$ – natural na numero

at $a≠0$, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay mayroong: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.
Isang mahalagang pagkakakilanlan na kadalasang ginagamit ay: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.

Sa partikular, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Kalkulahin: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Solusyon.
Isaalang-alang natin ang bawat termino nang hiwalay.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Nananatili itong magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Sagot: $6\frac(1)(4)$.

Halimbawa 2.
Kinakatawan ang isang ibinigay na numero bilang isang kapangyarihan pangunahing numero$\frac(1)(729)$.

Kalkulahin: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.
Malinaw, $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ngunit ang 729 ay hindi isang prime number na nagtatapos sa 9. Maaaring ipagpalagay na ang numerong ito ay isang kapangyarihan ng tatlo. Pare-parehong hatiin ang 729 sa 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Anim na operasyon ang isinagawa at ang ibig sabihin ay: $729=3^6$.
Para sa aming gawain:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Sagot: $3^(-6)$.

Halimbawa 3. Ipahayag ang expression bilang isang kapangyarihan: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Solusyon. Ang unang aksyon ay palaging ginagawa sa loob ng mga panaklong, pagkatapos ay multiplikasyon $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))= \frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)))= a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Sagot: $a$.

Halimbawa 4. Patunayan ang pagkakakilanlan:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y)):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 ) +1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Solusyon.
Sa kaliwang bahagi, isinasaalang-alang namin ang bawat salik sa mga bracket nang hiwalay.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Lumipat tayo sa fraction na hinahati natin.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Gawin natin ang paghahati.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Nakuha namin ang tamang pagkakakilanlan, na kung ano ang kailangan naming patunayan.

Sa pagtatapos ng aralin, muli nating isusulat ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga kapangyarihan, dito ang exponent ay isang integer.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Mga problema upang malutas nang nakapag-iisa

Ang pagtaas sa negatibong kapangyarihan ay isa sa mga pangunahing elemento ng matematika at kadalasang nakakaharap sa paglutas ng mga problema sa algebraic. Nasa ibaba ang mga detalyadong tagubilin.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - teorya

Kapag itinaas natin ang isang numero sa isang ordinaryong kapangyarihan, pinarami natin ang halaga nito nang maraming beses. Halimbawa, 3 3 = 3×3×3 = 27. Sa isang negatibong fraction ang kabaligtaran ay totoo. Ang pangkalahatang anyo ng formula ay ang mga sumusunod: a -n = 1/a n. Kaya, upang itaas ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan, kailangan mong hatiin ang isa sa ibinigay na numero, ngunit sa isang positibong kapangyarihan.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - mga halimbawa sa mga ordinaryong numero

Kapag isinasaisip ang panuntunan sa itaas, lutasin natin ang ilang halimbawa.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Sagot: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Sagot -4 -2 = 1/16.

Ngunit bakit pareho ang mga sagot sa una at pangalawang halimbawa? Ang katotohanan ay kapag ang isang negatibong numero ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan (2, 4, 6, atbp.), ang tanda ay nagiging positibo. Kung ang antas ay pantay, kung gayon ang minus ay mananatili:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Paano itaas ang mga numero mula 0 hanggang 1 sa isang negatibong kapangyarihan

Alalahanin na kapag ang isang numero sa pagitan ng 0 at 1 ay itinaas sa isang positibong kapangyarihan, ang halaga ay bumababa habang tumataas ang kapangyarihan. Kaya halimbawa, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Halimbawa 3: Kalkulahin ang 0.5 -2
Solusyon: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Sagot: 0.5 -2 = 4

Pagsusuri (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• I-convert ang decimal fraction 0.5 sa fractional fraction 1/2. Mas madali sa ganoong paraan.
  Itaas ang 1/2 sa isang negatibong kapangyarihan. 1/(2) -2 . Hatiin ang 1 sa 1/(2) 2, makakakuha tayo ng 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Halimbawa 4: Kalkulahin ang 0.5 -3
Solusyon: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Halimbawa 5: Kalkulahin ang -0.5 -3
Solusyon: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Sagot: -0.5 -3 = -8

Batay sa ika-4 at ika-5 na halimbawa, makakagawa tayo ng ilang konklusyon:

• Para sa isang positibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 4), itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging positibo. Bukod dito, mas mataas ang antas, mas malaki ang halaga.
• Para sa isang negatibong numero sa hanay mula 0 hanggang 1 (halimbawa 5), ​​itinaas sa isang negatibong kapangyarihan, kahit na ang kapangyarihan ay kahit o kakaiba ay hindi mahalaga, ang halaga ng expression ay magiging negatibo. Sa kasong ito, mas mataas ang antas, mas mababa ang halaga.

Paano itaas sa isang negatibong kapangyarihan - isang kapangyarihan sa anyo ng isang fractional na numero

Ang mga expression ng ganitong uri ay may sumusunod na anyo: a -m/n, kung saan ang a ay isang regular na numero, m ang numerator ng degree, n ang denominator ng degree.

Tingnan natin ang isang halimbawa:
Kalkulahin: 8 -1/3

Solusyon (pagkakasunod-sunod ng mga aksyon):

• Tandaan natin ang panuntunan para sa pagtaas ng numero sa negatibong kapangyarihan. Nakukuha namin ang: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Pansinin na ang denominator ay may numerong 8 sa isang fractional power. Ang pangkalahatang anyo ng pagkalkula ng fractional power ay ang mga sumusunod: a m/n = n √8 m.
• Kaya, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nakukuha namin ang cube root ng walo, na katumbas ng 2. Mula dito, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Sagot: 8 -1/3 = 2