Ang ika-na-ugat ng isang numerong x ay isang hindi-negatibong numerong z na, kapag itinaas sa ika-n na kapangyarihan, ay nagiging x. Ang pagtukoy sa ugat ay kasama sa listahan ng mga pangunahing operasyon ng aritmetika na naging pamilyar tayo sa pagkabata.

matematikal na notasyon

Ang "Root" ay nagmula sa salitang Latin na radix at ngayon ang salitang "radical" ay ginagamit bilang isang kasingkahulugan para sa mathematical term na ito. Mula noong ika-13 siglo, tinukoy ng mga mathematician ang root operation ng letrang r na may pahalang na bar sa radical expression. Noong ika-16 na siglo, ipinakilala ang pagtatalaga na V, na unti-unting pinalitan ang tanda r, ngunit nanatili ang pahalang na linya. Madaling mag-type sa isang printing house o magsulat sa pamamagitan ng kamay, ngunit sa mga elektronikong publikasyon at kumalat ang programming pagtatalaga ng liham ugat - sqrt. Ito ay kung paano namin tukuyin ang mga square root sa artikulong ito.

Kuwadrado na ugat

Ang square radical ng isang numerong x ay isang numerong z na, kapag pinarami sa sarili nito, ay nagiging x. Halimbawa, kung i-multiply natin ang 2 sa 2, makakakuha tayo ng 4. Dalawa sa kasong ito ang square root ng apat. I-multiply ang 5 sa 5, makakakuha tayo ng 25 at ngayon alam na natin ang halaga ng expression na sqrt(25). Maaari nating i-multiply at – 12 sa −12 upang makakuha ng 144, at ang radical ng 144 ay parehong 12 at −12. Malinaw, ang mga square root ay maaaring maging positibo o negatibong mga numero.

Ang kakaibang dualismo ng gayong mga ugat ay mahalaga para sa paglutas quadratic equation, samakatuwid, kapag naghahanap ng mga sagot sa naturang mga problema, kinakailangang ipahiwatig ang parehong mga ugat. Kapag nagpapasya algebraic expression Ginagamit ang mga arithmetic square root, iyon ay, ang kanilang mga positibong halaga lamang.

Ang mga numero na ang mga square root ay integer ay tinatawag na perpektong parisukat. Mayroong isang buong pagkakasunud-sunod ng mga naturang numero, ang simula nito ay mukhang:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Ang mga square root ng iba pang mga numero ay hindi makatwiran na mga numero. Halimbawa, sqrt(3) = 1.73205080757... at iba pa. Ang numerong ito ay walang hanggan at hindi pana-panahon, na nagdudulot ng ilang kahirapan sa pagkalkula ng mga naturang radikal.

Ang kurso sa matematika ng paaralan ay nagsasaad na hindi ka maaaring kumuha ng square roots ng mga negatibong numero. Habang natututo tayo sa isang kurso sa unibersidad sa pagsusuri sa matematika, maaari at dapat itong gawin - ito ang dahilan kung bakit kailangan ang mga kumplikadong numero. Gayunpaman, ang aming programa ay idinisenyo upang kunin tunay na mga halaga mga ugat, kaya hindi nito kinakalkula ang mga radikal ng kahit na antas mula sa mga negatibong numero.

ugat ng kubo

Ang cubic radical ng isang numerong x ay isang numerong z na, kapag pinarami sa sarili nitong tatlong beses, ay nagbibigay ng bilang na x. Halimbawa, kung magpaparami tayo ng 2 × 2 × 2, makakakuha tayo ng 8. Samakatuwid, dalawa ang cube root ng walo. I-multiply ang quadruple sa sarili nitong tatlong beses at makakuha ng 4 × 4 × 4 = 64. Malinaw, ang quadruple ay ang cube root ng numero 64. Mayroong walang katapusang pagkakasunod-sunod ng mga numero na ang mga cubic radical ay integer. Ang simula nito ay mukhang:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Para sa iba pang mga numero, ang mga ugat ng kubo ay hindi makatwiran na mga numero. Hindi tulad ng mga square radical, ang mga cube root, tulad ng anumang kakaibang ugat, ay maaaring makuha mula sa mga negatibong numero. Ito ay tungkol sa produkto ng mga numero mas mababa sa zero. Ang minus para sa minus ay nagbibigay ng plus - isang panuntunang kilala mula sa paaralan. At ang isang minus para sa isang plus ay nagbibigay ng isang minus. Kung magpaparami ka ng mga negatibong numero ng kakaibang bilang ng beses, magiging negatibo rin ang resulta, samakatuwid, kunin ang kakaibang radikal mula sa negatibong numero walang bumabagabag sa amin.

Gayunpaman, iba ang gumagana ng calculator program. Sa esensya, ang pagkuha ng ugat ay itinataas ito sa kabaligtaran na kapangyarihan. Ang square root ay itinuturing na nakataas sa kapangyarihan ng 1/2, at ang cubic root ay itinuturing na nakataas sa kapangyarihan ng 1/3. Ang formula para sa pagtaas sa kapangyarihan ng 1/3 ay maaaring muling ayusin at ipahayag bilang 2/6. Ang resulta ay pareho, ngunit hindi mo maaaring kunin ang gayong ugat mula sa isang negatibong numero. Kaya, ang aming calculator ay kinakalkula ang mga ugat ng aritmetika mula lamang sa mga positibong numero.

nth ugat

Ang gayong isang gayak na paraan ng pagkalkula ng mga radikal ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang mga ugat ng anumang antas mula sa anumang pagpapahayag. Maaari mong kunin ang ikalimang ugat ng isang kubo ng isang numero o ang ika-19 na radikal ng isang numero sa ika-12 na kapangyarihan. Ang lahat ng ito ay eleganteng ipinatupad sa anyo ng pagtaas sa kapangyarihan ng 3/5 o 12/19, ayon sa pagkakabanggit.

Tingnan natin ang isang halimbawa

Diagonal ng isang parisukat

Ang hindi makatwiran ng dayagonal ng isang parisukat ay kilala sa mga sinaunang Griyego. Sila ay nahaharap sa problema ng pagkalkula ng dayagonal ng isang patag na parisukat, dahil ang haba nito ay palaging proporsyonal sa ugat ng dalawa. Ang pormula para sa pagtukoy ng haba ng dayagonal ay nagmula sa at sa huli ay kinuha ang anyo:

d = a × sqrt(2).

Tukuyin natin ang square radical ng dalawa gamit ang ating calculator. Ilagay natin ang value 2 sa "Number(x)" cell, at 2 din sa "Degree(n)" cell. Bilang resulta, nakukuha natin ang expression na sqrt(2) = 1.4142. Kaya, upang halos tantiyahin ang dayagonal ng isang parisukat, sapat na upang i-multiply ang panig nito sa 1.4142.

Konklusyon

Ang paghahanap ng radikal ay isang karaniwang operasyon ng aritmetika, kung wala ang mga kalkulasyon ng siyentipiko o disenyo ay kailangang-kailangan. Siyempre, hindi namin kailangang matukoy ang mga ugat upang malutas ang mga pang-araw-araw na problema, ngunit ang aming online na calculator ay tiyak na magiging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral o mag-aaral na suriin ang araling-bahay sa algebra o calculus.

Oras na para ayusin ito mga paraan ng pagkuha ng ugat. Ang mga ito ay batay sa mga katangian ng mga ugat, sa partikular, sa pagkakapantay-pantay, na totoo para sa anumang hindi negatibong numero b.

Sa ibaba ay titingnan natin ang mga pangunahing pamamaraan ng pagkuha ng mga ugat nang paisa-isa.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso - ang pagkuha ng mga ugat mula sa mga natural na numero gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang talahanayan ng mga cube, atbp.

Kung ang mga talahanayan ng mga parisukat, kubo, atbp. Kung wala ka nito, lohikal na gamitin ang paraan ng pagkuha ng ugat, na kinabibilangan ng pag-decomposing ng radikal na numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Ito ay nagkakahalaga ng espesyal na pagbanggit kung ano ang posible para sa mga ugat na may kakaibang exponents.

Sa wakas, isaalang-alang natin ang isang paraan na nagbibigay-daan sa amin upang sunud-sunod na mahanap ang mga digit ng root value.

Magsimula na tayo.

Gamit ang isang talahanayan ng mga parisukat, isang talahanayan ng mga cube, atbp.

Sa pinakasimpleng mga kaso, ang mga talahanayan ng mga parisukat, cube, atbp ay nagbibigay-daan sa iyo upang kunin ang mga ugat. Ano ang mga talahanayan na ito?

Ang talahanayan ng mga parisukat ng mga integer mula 0 hanggang 99 kasama (ipinapakita sa ibaba) ay binubuo ng dalawang zone. Ang unang zone ng talahanayan ay matatagpuan sa isang kulay-abo na background sa pamamagitan ng pagpili ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na hanay, pinapayagan ka nitong bumuo ng isang numero mula 0 hanggang 99. Halimbawa, pumili tayo ng isang hilera ng 8 sampu at isang haligi ng 3 mga yunit, kasama nito naayos namin ang bilang na 83. Ang pangalawang zone ay sumasakop sa natitirang bahagi ng talahanayan. Ang bawat cell ay matatagpuan sa intersection ng isang tiyak na hilera at isang tiyak na haligi, at naglalaman ng parisukat ng kaukulang numero mula 0 hanggang 99. Sa intersection ng aming napiling hilera ng 8 sampu at column 3 ng isa ay mayroong isang cell na may bilang na 6,889, na siyang parisukat ng bilang na 83.

Ang mga talahanayan ng mga cube, mga talahanayan ng ika-apat na kapangyarihan ng mga numero mula 0 hanggang 99, at iba pa ay katulad ng talahanayan ng mga parisukat, tanging ang mga ito ay naglalaman ng mga cube, ikaapat na kapangyarihan, atbp. sa pangalawang zone. kaukulang mga numero.

Mga talahanayan ng mga parisukat, cube, ikaapat na kapangyarihan, atbp. pinapayagan kang mag-extract ng square roots, cube roots, fourth roots, atbp. nang naaayon mula sa mga numero sa mga talahanayang ito. Ipaliwanag natin ang prinsipyo ng kanilang paggamit kapag kumukuha ng mga ugat.

Sabihin nating kailangan nating i-extract ang nth root ng number a, habang ang number a ay nakapaloob sa table ng nth powers. Gamit ang talahanayang ito, makikita natin ang bilang b na ang a=b n. Pagkatapos , samakatuwid, ang bilang b ang magiging ninanais na ugat ng ika-n degree.

Bilang halimbawa, ipakita natin kung paano gumamit ng cube table para kunin ang cube root na 19,683. Natagpuan namin ang bilang na 19,683 sa talahanayan ng mga cubes, mula dito nalaman namin na ang numerong ito ay ang kubo ng numerong 27, samakatuwid, .

Ito ay malinaw na ang mga talahanayan ng nth kapangyarihan ay napaka-maginhawa para sa pagkuha ng mga ugat. Gayunpaman, ang mga ito ay madalas na wala sa kamay, at ang pag-compile ng mga ito ay nangangailangan ng ilang oras. Bukod dito, madalas na kinakailangan upang kunin ang mga ugat mula sa mga numero na hindi nakapaloob sa kaukulang mga talahanayan. Sa mga kasong ito, kailangan mong gumamit ng iba pang mga paraan ng pagkuha ng ugat.

Pag-factor ng isang radikal na numero sa mga pangunahing kadahilanan

Ang isang medyo maginhawang paraan upang kunin ang ugat ng isang natural na numero (kung, siyempre, ang ugat ay nakuha) ay upang mabulok ang radikal na numero sa mga pangunahing kadahilanan. Ang kanyang ang punto ay ito: pagkatapos nito ay medyo madaling irepresenta ito bilang isang kapangyarihan na may nais na exponent, na nagpapahintulot sa iyo na makuha ang halaga ng ugat. Linawin natin ang puntong ito.

Hayaang kunin ang nth root ng isang natural na bilang a at ang halaga nito ay katumbas ng b. Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay a=b n ay totoo. Ang numero b, tulad ng anumang natural na numero, ay maaaring katawanin bilang produkto ng lahat ng prime factor nito p 1 , p 2 , …, p m sa anyong p 1 ·p 2 ·…·p m , at ang radical number a sa kasong ito ay kinakatawan bilang (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Dahil ang decomposition ng isang numero sa prime factor ay kakaiba, ang decomposition ng radical number a sa prime factor ay magkakaroon ng form (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, na ginagawang posible upang makalkula ang halaga ng root bilang.

Tandaan na kung ang decomposition sa prime factor ng isang radical number a ay hindi maaaring katawanin sa anyo (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, kung gayon ang nth root ng naturang numero a ay hindi ganap na nakuha.

Alamin natin ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Halimbawa.

Kunin ang square root ng 144.

Solusyon.

Kung titingnan mo ang talahanayan ng mga parisukat na ibinigay sa nakaraang talata, malinaw mong makikita na 144 = 12 2, kung saan malinaw na ang square root ng 144 ay 12.

Ngunit sa liwanag ng puntong ito, kami ay interesado sa kung paano ang ugat ay nakuha sa pamamagitan ng decomposing ang radikal na numero 144 sa pangunahing mga kadahilanan. Tingnan natin ang solusyong ito.

Mag-decompose tayo 144 hanggang sa pangunahing mga kadahilanan:

Ibig sabihin, 144=2·2·2·2·3·3. Batay sa nagresultang pagkabulok, ang mga sumusunod na pagbabago ay maaaring isagawa: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Kaya naman, .

Gamit ang mga katangian ng antas at ang mga katangian ng mga ugat, ang solusyon ay maaaring mabuo nang medyo naiiba: .

Sagot:

Upang pagsama-samahin ang materyal, isaalang-alang ang mga solusyon sa dalawa pang halimbawa.

Halimbawa.

Kalkulahin ang halaga ng ugat.

Solusyon.

Ang prime factorization ng radical number 243 ay may anyo 243=3 5 . kaya, .

Sagot:

Halimbawa.

Ang root value ba ay isang integer?

Solusyon.

Upang masagot ang tanong na ito, i-factor natin ang radical number sa mga prime factor at tingnan kung maaari itong katawanin bilang isang cube ng isang integer.

Mayroon kaming 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2. Ang resultang pagpapalawak ay hindi kinakatawan bilang isang cube ng isang integer, dahil ang degree pangunahing kadahilanan Ang 7 ay hindi multiple ng tatlo. Samakatuwid, ang cube root ng 285,768 ay hindi maaaring makuha nang buo.

Sagot:

Hindi.

Pagkuha ng mga ugat mula sa mga fractional na numero

Panahon na upang malaman kung paano kunin ang ugat mula sa praksyonal na numero. Hayaang isulat ang fractional radical number bilang p/q. Ayon sa pag-aari ng ugat ng isang quotient, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo. Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod panuntunan para sa pagkuha ng ugat ng isang fraction: Ang ugat ng isang fraction ay katumbas ng quotient ng ugat ng numerator na hinati sa ugat ng denominator.

Tingnan natin ang isang halimbawa ng pagkuha ng ugat mula sa isang fraction.

Halimbawa.

Ano ang square root ng karaniwang fraction 25/169 .

Solusyon.

Gamit ang talahanayan ng mga parisukat, nakita namin na ang square root ng numerator ng orihinal na fraction ay katumbas ng 5, at ang square root ng denominator ay katumbas ng 13. Pagkatapos . Kinukumpleto nito ang pagkuha ng ugat ng karaniwang fraction 25/169.

Sagot:

Ang ugat ng isang decimal fraction o mixed number ay kinukuha pagkatapos palitan ang mga radical na numero ng mga ordinaryong fraction.

Halimbawa.

Kunin ang cube root ng decimal fraction na 474.552.

Solusyon.

Isipin natin ang orihinal decimal bilang karaniwang fraction: 474.552=474552/1000. Pagkatapos . Nananatili itong kunin ang mga ugat ng kubo na nasa numerator at denominator ng resultang fraction. kasi 474 552=2·2·2·3·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 at 1 000 = 10 3, pagkatapos At . Ang natitira na lang ay kumpletuhin ang mga kalkulasyon .

Sagot:

.

Kinukuha ang ugat ng isang negatibong numero

Ito ay kapaki-pakinabang upang manatili sa pagkuha ng mga ugat mula sa mga negatibong numero. Kapag nag-aaral ng mga ugat, sinabi namin na kapag ang root exponent ay isang kakaibang numero, maaaring mayroong negatibong numero sa ilalim ng root sign. Ibinigay namin ang mga entry na ito ng sumusunod na kahulugan: para sa isang negatibong numero −a at isang kakaibang exponent ng ugat 2 n−1, . Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagbibigay panuntunan para sa pagkuha ng mga kakaibang ugat mula sa mga negatibong numero: upang kunin ang ugat ng negatibong numero, kailangan mong kunin ang ugat ng kabaligtaran na positibong numero, at maglagay ng minus sign sa harap ng resulta.

Tingnan natin ang halimbawang solusyon.

Halimbawa.

Hanapin ang halaga ng ugat.

Solusyon.

Ibahin natin ang orihinal na expression upang sa ilalim ng root sign ay lilitaw ito positibong numero: . Ngayon halo-halong numero palitan ito ng ordinaryong fraction: . Inilapat namin ang panuntunan para sa pagkuha ng ugat ng isang ordinaryong fraction: . Ito ay nananatiling kalkulahin ang mga ugat sa numerator at denominator ng resultang fraction: .

Narito ang isang maikling buod ng solusyon: .

Sagot:

.

Bitwise na pagpapasiya ng root value

SA pangkalahatang kaso sa ilalim ng ugat mayroong isang numero na, gamit ang mga diskarteng tinalakay sa itaas, ay hindi maaaring katawanin bilang ika-n na kapangyarihan ng anumang numero. Ngunit sa kasong ito ay kailangang malaman ang kahulugan ng isang ibinigay na ugat, kahit hanggang sa isang tiyak na tanda. Sa kasong ito, upang kunin ang ugat, maaari kang gumamit ng isang algorithm na nagbibigay-daan sa iyo upang makakuha ng sunud-sunod sapat na dami mga halaga ng mga digit ng kinakailangang numero.

Ang unang hakbang ng algorithm na ito ay upang malaman kung ano ang pinakamahalagang bit ng root value. Upang gawin ito, ang mga numero 0, 10, 100, ... ay sunud-sunod na itinataas sa kapangyarihan n hanggang sa sandaling ang isang numero ay lumampas sa radikal na numero ay nakuha. Pagkatapos ay ang numero na itinaas namin sa kapangyarihan n sa nakaraang yugto ay magsasaad ng katumbas na pinakamahalagang digit.

Halimbawa, isaalang-alang ang hakbang na ito ng algorithm kapag kumukuha parisukat na ugat sa lima. Kunin ang mga numerong 0, 10, 100, ... at parisukat ang mga ito hanggang sa makakuha tayo ng numerong higit sa 5. Mayroon kaming 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, na nangangahulugang ang pinakamahalagang digit ay ang mga digit. Ang halaga ng bit na ito, pati na rin ang mga mas mababa, ay makikita sa mga susunod na hakbang ng root extraction algorithm.

Ang lahat ng mga sumusunod na hakbang ng algorithm ay naglalayong sunud-sunod na linawin ang halaga ng ugat sa pamamagitan ng paghahanap ng mga halaga ng susunod na mga piraso ng nais na halaga ng ugat, simula sa pinakamataas at paglipat sa pinakamababa. Halimbawa, ang halaga ng ugat sa unang hakbang ay lumalabas na 2, sa pangalawa - 2.2, sa pangatlo - 2.23, at iba pa 2.236067977…. Ilarawan natin kung paano matatagpuan ang mga halaga ng mga digit.

Ang mga digit ay matatagpuan sa pamamagitan ng paghahanap sa kanilang mga posibleng halaga 0, 1, 2, ..., 9. Sa kasong ito, ang ika-n na kapangyarihan ng mga kaukulang numero ay kinakalkula nang magkatulad, at inihahambing ang mga ito sa radikal na numero. Kung sa ilang yugto ang halaga ng antas ay lumampas sa radikal na numero, kung gayon ang halaga ng digit na tumutugma sa nakaraang halaga ay itinuturing na natagpuan, at ang paglipat ay ginawa sa susunod na hakbang ng algorithm ng pagkuha ng ugat kung hindi ito nangyari; kung gayon ang halaga ng digit na ito ay katumbas ng 9.

Ipaliwanag natin ang mga puntong ito gamit ang parehong halimbawa ng pagkuha ng square root ng lima.

Una naming mahanap ang halaga ng mga yunit ng digit. Daan tayo sa mga halaga 0, 1, 2, ..., 9, pagkalkula ng 0 2, 1 2, ..., 9 2, ayon sa pagkakabanggit, hanggang sa makakuha tayo ng isang halaga na mas malaki kaysa sa radikal na numero 5. Ito ay maginhawa upang ipakita ang lahat ng mga kalkulasyong ito sa anyo ng isang talahanayan:

Kaya ang halaga ng digit ng mga yunit ay 2 (mula noong 2 2<5 , а 2 3 >5). Lumipat tayo sa paghahanap ng halaga ng tenths place. Sa kasong ito, i-square namin ang mga numero 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, paghahambing ng mga resultang halaga sa radikal na numero 5:

Mula noong 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, kung gayon ang halaga ng tenths place ay 2. Maaari kang magpatuloy sa paghahanap ng halaga ng hundredths na lugar:

Kaya natagpuan susunod na halaga ugat ng lima, ito ay katumbas ng 2.23. At para patuloy kang makahanap ng mga halaga: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Upang pagsama-samahin ang materyal, susuriin namin ang pagkuha ng ugat na may katumpakan ng hundredths gamit ang isinasaalang-alang na algorithm.

Una naming tinutukoy ang pinaka makabuluhang digit. Upang gawin ito, i-cube namin ang mga numero 0, 10, 100, atbp. hanggang sa makakuha tayo ng numerong higit sa 2,151,186. Mayroon kaming 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , kaya ang pinaka makabuluhang digit ay ang tens digit.

Tukuyin natin ang halaga nito.

Mula noong 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, kung gayon ang halaga ng sampu na lugar ay 1. Lumipat tayo sa mga yunit.

Kaya, ang halaga ng isang digit ay 2. Lumipat tayo sa tenths.

Dahil kahit na ang 12.9 3 ay mas mababa sa radikal na numero 2 151.186, kung gayon ang halaga ng ika-sampung lugar ay 9. Ito ay nananatiling gawin ang huling hakbang ng algorithm; ito ay magbibigay sa amin ng halaga ng ugat na may kinakailangang katumpakan.

Sa yugtong ito, ang halaga ng ugat ay makikitang tumpak sa daan-daang: .

Sa pagtatapos ng artikulong ito, nais kong sabihin na maraming iba pang mga paraan upang kunin ang mga ugat. Ngunit para sa karamihan ng mga gawain, ang mga pinag-aralan natin sa itaas ay sapat na.

Mga sanggunian.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. mga institusyong pang-edukasyon.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa Algebra at ang simula ng pagsusuri: Teksbuk para sa mga baitang 10 - 11 ng mga pangkalahatang institusyong pang-edukasyon.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga pumapasok sa mga teknikal na paaralan).

online na calculator ng engineering

Ikinagagalak naming ipakita sa lahat ang isang libreng engineering calculator. Sa tulong nito, ang sinumang mag-aaral ay mabilis at, higit sa lahat, madaling makapagsagawa ng iba't ibang uri ng mga kalkulasyon sa matematika online.

Ang isang simple at madaling gamitin na calculator ng engineering na may hindi nakakagambala at madaling gamitin na interface ay talagang magiging kapaki-pakinabang sa isang malawak na hanay ng mga gumagamit ng Internet. Ngayon, sa tuwing kailangan mo ng calculator, pumunta sa aming website at gamitin ang libreng engineering calculator.

Ang isang calculator ng engineering ay maaaring magsagawa ng parehong mga simpleng operasyon ng arithmetic at medyo kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika.

Ang Web20calc ay isang engineering calculator na may malaking bilang ng mga function, halimbawa, kung paano kalkulahin ang lahat ng elementarya na function. Sinusuportahan din ng calculator ang mga trigonometric function, matrice, logarithms, at maging ang graphing.

Walang alinlangan, ang Web20calc ay magiging interesado sa pangkat na iyon ng mga tao na, sa paghahanap ng mga simpleng solusyon, i-type sa mga search engine ang query: online na mathematical calculator. Ang isang libreng web application ay makakatulong sa iyo na agad na kalkulahin ang resulta ng ilang mathematical expression, halimbawa, ibawas, idagdag, hatiin, i-extract ang ugat, itaas sa isang kapangyarihan, atbp.

Sa expression, maaari mong gamitin ang mga operasyon ng exponentiation, karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, dibisyon, porsyento, at ang PI constant. Para sa mga kumplikadong kalkulasyon, dapat isama ang mga panaklong.

Mga tampok ng calculator ng engineering:

1. pangunahing mga operasyon sa aritmetika;
2. nagtatrabaho sa mga numero sa isang karaniwang anyo;
3. pagkalkula ng trigonometric roots, function, logarithms, exponentiation;
4. statistical calculations: karagdagan, arithmetic mean o standard deviation;
5. paggamit ng mga memory cell at custom na function ng 2 variable;
6. gumana sa mga anggulo sa radian at degree na mga sukat.

Ang engineering calculator ay nagbibigay-daan sa paggamit ng iba't ibang mga mathematical function:

Pag-extract ng mga ugat (parisukat, kubiko, at ika-na ugat);
ex (e sa x power), exponential;
trigonometriko function: sine - sin, cosine - cos, tangent - tan;
inverse trigonometriko function: arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
hyperbolic function: sine - sinh, cosine - cosh, tangent - tanh;
logarithms: binary logarithm hanggang base two - log2x, decimal logarithm hanggang base ten - log, natural logarithm - ln.

Kasama rin sa calculator ng engineering na ito ang isang calculator ng dami na may kakayahang mag-convert ng mga pisikal na dami para sa iba't ibang mga sistema ng pagsukat - mga yunit ng computer, distansya, timbang, oras, atbp. Gamit ang function na ito, maaari mong agad na i-convert ang milya sa kilometro, pounds sa kilo, segundo sa oras, atbp.

Upang gumawa ng mga kalkulasyon sa matematika, maglagay muna ng pagkakasunud-sunod ng mga ekspresyong matematika sa naaangkop na field, pagkatapos ay mag-click sa equal sign at tingnan ang resulta. Maaari kang magpasok ng mga halaga nang direkta mula sa keyboard (para dito, ang calculator area ay dapat na aktibo, samakatuwid, magiging kapaki-pakinabang na ilagay ang cursor sa input field). Sa iba pang mga bagay, ang data ay maaaring maipasok gamit ang mga pindutan ng calculator mismo.

Upang bumuo ng mga graph, dapat mong isulat ang function sa input field tulad ng ipinahiwatig sa field na may mga halimbawa o gamitin ang toolbar na espesyal na idinisenyo para dito (upang pumunta dito, mag-click sa pindutan na may icon ng graph). Upang mag-convert ng mga halaga, i-click ang Unit upang gumana sa mga matrice, i-click ang Matrix.

Bago ang mga calculator, kinakalkula ng mga mag-aaral at guro ang mga square root sa pamamagitan ng kamay. Mayroong ilang mga paraan upang manu-manong kalkulahin ang square root ng isang numero. Ang ilan sa kanila ay nag-aalok lamang ng isang tinatayang solusyon, ang iba ay nagbibigay ng eksaktong sagot.

Mga hakbang

Prime factorization

I-factor ang radical number sa mga factor na square number. Depende sa radikal na numero, makakakuha ka ng tinatayang o eksaktong sagot. Ang mga square number ay mga numero kung saan maaaring kunin ang buong square root. Ang mga kadahilanan ay mga numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga salik ng numerong 8 ay 2 at 4, dahil 2 x 4 = 8, ang mga numerong 25, 36, 49 ay mga numerong parisukat, dahil √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Mga salik na parisukat ay mga kadahilanan , na mga parisukat na numero. Una, subukang i-factor ang radical number sa square factor.

• Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 400 (sa pamamagitan ng kamay). Subukan munang i-factor ang 400 sa square factor. Ang 400 ay isang multiple ng 100, iyon ay, nahahati ng 25 - ito ay isang parisukat na numero. Ang paghahati ng 400 sa 25 ay magbibigay sa iyo ng 16. Ang bilang na 16 ay parisukat din na numero. Kaya, ang 400 ay maaaring i-factor sa square factor ng 25 at 16, iyon ay, 25 x 16 = 400.
• Ito ay maaaring isulat ng mga sumusunod: √400 = √(25 x 16).

1. Ang square root ng produkto ng ilang termino ay katumbas ng produkto ng square roots ng bawat termino, iyon ay, √(a x b) = √a x √b.

   • Gamitin ang panuntunang ito upang kunin ang square root ng bawat square factor at i-multiply ang mga resulta upang mahanap ang sagot.
     • Sa aming halimbawa, kunin ang ugat ng 25 at 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 x 4 = 20

   • Kung ang radikal na numero ay hindi nagsasaliksik sa dalawang parisukat na mga kadahilanan (at nangyayari ito sa karamihan ng mga kaso), hindi mo mahahanap ang eksaktong sagot sa anyo ng isang buong numero.
     • Ngunit maaari mong gawing simple ang problema sa pamamagitan ng pag-decomposing ng radikal na numero sa isang square factor at isang ordinaryong kadahilanan (isang numero kung saan ang buong square root ay hindi maaaring kunin). Pagkatapos ay kukunin mo ang square root ng square factor at kukunin ang root ng common factor.
     • Halimbawa, kalkulahin ang square root ng numero 147. Ang numero 147 ay hindi maaaring i-factor sa dalawang square factor, ngunit maaari itong i-factor sa mga sumusunod na salik: 49 at 3. Lutasin ang problema tulad ng sumusunod:
     • = 7√3

3. = √(49 x 3)= √49 x √3

   • Bumalik tayo sa ating halimbawa. Ang radikal na numero ay 3. Ang mga parisukat na numero na pinakamalapit dito ay ang mga numero 1 (√1 = 1) at 4 (√4 = 2). Kaya, ang halaga ng √3 ay matatagpuan sa pagitan ng 1 at 2. Dahil ang halaga ng √3 ay malamang na mas malapit sa 2 kaysa sa 1, ang aming pagtatantya ay: √3 = 1.7. I-multiply namin ang value na ito sa numero sa root sign: 7 x 1.7 = 11.9. Kung gagawin mo ang matematika sa isang calculator, makakakuha ka ng 12.13, na medyo malapit sa aming sagot.
     • Gumagana rin ang pamamaraang ito sa malalaking numero. Halimbawa, isaalang-alang ang √35. Ang radikal na numero ay 35. Ang pinakamalapit na square number dito ay ang mga numerong 25 (√25 = 5) at 36 (√36 = 6). Kaya, ang halaga ng √35 ay matatagpuan sa pagitan ng 5 at 6. Dahil ang halaga ng √35 ay mas malapit sa 6 kaysa sa 5 (dahil ang 35 ay 1 mas mababa lamang sa 36), maaari nating sabihin na ang √35 ay bahagyang mas mababa sa 6 . Ang tseke sa calculator ay nagbibigay sa amin ng sagot 5.92 - tama kami.

4. Ang isa pang paraan ay ang pagsasaliksik ng radikal na numero sa mga pangunahing kadahilanan. Ang mga pangunahing kadahilanan ay mga numero na nahahati lamang ng 1 at ng kanilang mga sarili. Isulat ang mga pangunahing salik sa isang serye at maghanap ng mga pares ng magkaparehong salik. Ang ganitong mga kadahilanan ay maaaring alisin sa root sign.

   • Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 45. Isinasaalang-alang namin ang radical number sa prime factor: 45 = 9 x 5, at 9 = 3 x 3. Kaya, √45 = √(3 x 3 x 5). Maaaring kunin ang 3 bilang root sign: √45 = 3√5. Ngayon ay maaari nating tantyahin ang √5.
   • Tingnan natin ang isa pang halimbawa: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Nakatanggap ka ng tatlong multiplier ng 2; kumuha ng ilang mga ito at ilipat ang mga ito sa kabila ng root sign.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Ngayon ay maaari mong suriin ang √2 at √11 at maghanap ng tinatayang sagot.

   Manu-manong pagkalkula ng square root

   Gamit ang mahabang dibisyon

   1. Ang pamamaraang ito ay nagsasangkot ng isang proseso na katulad ng mahabang paghahati at nagbibigay ng tumpak na sagot. Una, gumuhit ng isang patayong linya na naghahati sa sheet sa dalawang halves, at pagkatapos ay sa kanan at bahagyang sa ibaba ng tuktok na gilid ng sheet, gumuhit ng isang pahalang na linya sa patayong linya. Ngayon hatiin ang radikal na numero sa mga pares ng mga numero, simula sa fractional na bahagi pagkatapos ng decimal point. Kaya, ang numerong 79520789182.47897 ay nakasulat bilang "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Halimbawa, kalkulahin natin ang square root ng numerong 780.14. Gumuhit ng dalawang linya (tulad ng ipinapakita sa larawan) at isulat ang ibinigay na numero sa anyong “7 80, 14” sa kaliwang tuktok. Normal na ang unang digit mula sa kaliwa ay isang unpared digit. Isusulat mo ang sagot (ang ugat ng numerong ito) sa kanang tuktok.

   2. Para sa unang pares ng mga numero (o solong numero) mula sa kaliwa, hanapin ang pinakamalaking integer n na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng pares ng mga numero (o solong numero) na pinag-uusapan.

      • Sa madaling salita, hanapin ang parisukat na numero na pinakamalapit sa, ngunit mas maliit kaysa, sa unang pares ng mga numero (o solong numero) mula sa kaliwa, at kunin ang square root ng square number na iyon; makukuha mo ang numero n. Isulat ang n nahanap mo sa kanang itaas, at isulat ang parisukat ng n sa kanang ibaba.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Sa aming kaso, ang unang numero sa kaliwa ay magiging 7. Susunod, 4 Ibawas ang parisukat ng numero n nakita mo lang mula sa unang pares ng mga numero (o solong numero) sa kaliwa.

      • Isulat ang resulta ng pagkalkula sa ilalim ng subtrahend (ang parisukat ng bilang n).

   4. Sa aming halimbawa, ibawas ang 4 sa 7 at makakuha ng 3. Ibaba ang pangalawang pares ng mga numero at isulat ito sa tabi ng halaga na nakuha sa nakaraang hakbang.

      • Pagkatapos ay i-double ang numero sa kanang tuktok at isulat ang resulta sa kanang ibaba na may pagdaragdag ng "_×_=".

   5. Sa aming halimbawa, ang pangalawang pares ng mga numero ay "80". Isulat ang "80" pagkatapos ng 3. Pagkatapos, dalawang beses ang numero sa kanang tuktok ay nagbibigay ng 4. Isulat ang "4_×_=" sa kanang ibaba.

      • Punan ang mga patlang sa kanan.

   6. Sa aming kaso, kung ilalagay namin ang numero 8 sa halip na mga gitling, pagkatapos ay 48 x 8 = 384, na higit sa 380. Samakatuwid, ang 8 ay masyadong malaki ang isang numero, ngunit gagawin ng 7. Sumulat ng 7 sa halip na mga gitling at makakuha ng: 47 x 7 = 329. Isulat ang 7 sa kanang itaas - ito ang pangalawang digit sa gustong square root ng numerong 780.14. Ibawas ang resultang numero mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa.

      • Isulat ang resulta mula sa nakaraang hakbang sa ilalim ng kasalukuyang numero sa kaliwa, hanapin ang pagkakaiba at isulat ito sa ilalim ng subtrahend.

   7. Sa aming halimbawa, ibawas ang 329 mula sa 380, na katumbas ng 51. Ulitin ang hakbang 4.

      • Kung ang pares ng mga numerong inililipat ay ang fractional na bahagi ng orihinal na numero, pagkatapos ay maglagay ng separator (comma) sa pagitan ng integer at fractional na bahagi sa kinakailangang square root sa kanang tuktok. Sa kaliwa, ibaba ang susunod na pares ng mga numero. Doblehin ang numero sa kanang itaas at isulat ang resulta sa kanang ibaba na may pagdaragdag ng "_×_=".

   8. Sa aming halimbawa, ang susunod na pares ng mga numero na aalisin ay ang fractional na bahagi ng numerong 780.14, kaya ilagay ang separator ng integer at fractional na mga bahagi sa nais na square root sa kanang itaas. Ibaba ang 14 at isulat ito sa kaliwang ibaba. Doblehin ang numero sa kanang itaas (27) ay 54, kaya isulat ang "54_×_=" sa kanang ibaba. Ulitin ang hakbang 5 at 6.

      • Sa aming halimbawa, 549 x 9 = 4941, na mas mababa sa kasalukuyang numero sa kaliwa (5114). Isulat ang 9 sa kanang tuktok at ibawas ang resulta ng multiplikasyon mula sa kasalukuyang numero sa kaliwa: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kung kailangan mong maghanap ng higit pang mga decimal na lugar para sa square root, sumulat ng ilang mga zero sa kaliwa ng kasalukuyang numero at ulitin ang mga hakbang 4, 5, at 6. Ulitin ang mga hakbang hanggang sa makuha mo ang katumpakan ng sagot (bilang ng mga decimal na lugar) sa iyo kailangan.

   Pag-unawa sa Proseso

   Upang makabisado ang pamamaraang ito, isipin ang numero kung saan ang square root ay kailangan mong hanapin bilang ang lugar ng square S. Sa kasong ito, hahanapin mo ang haba ng gilid L ng naturang parisukat. Kinakalkula namin ang halaga ng L na ang L² = S.

   Bigyan ng titik ang bawat bilang sa sagot. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng A ang unang digit sa halaga ng L (ang gustong square root). Ang B ang magiging pangalawang digit, C ang pangatlo at iba pa.

   Tukuyin ang isang titik para sa bawat pares ng unang digit. Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng S a ang unang pares ng mga digit sa halaga ng S, sa pamamagitan ng S b ang pangalawang pares ng mga digit, at iba pa.

   Unawain ang koneksyon sa pagitan ng pamamaraang ito at mahabang paghahati. Tulad ng sa dibisyon, kung saan interesado lamang kami sa susunod na digit ng numero na hinahati namin sa bawat oras, kapag kinakalkula ang isang square root, ginagawa namin ang isang pares ng mga digit nang sunud-sunod (upang makuha ang susunod na isang digit sa square root value) .

   1. Isaalang-alang ang unang pares ng mga digit na Sa ng numerong S (Sa = 7 sa ating halimbawa) at hanapin ang square root nito. Sa kasong ito, ang unang digit na A ng nais na halaga ng square root ay isang digit na ang parisukat ay mas mababa sa o katumbas ng S a (iyon ay, naghahanap kami ng isang A na ang hindi pagkakapantay-pantay A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 88962 sa 7; dito ang unang hakbang ay magiging katulad: isinasaalang-alang namin ang unang digit ng mahahati na numero 88962 (8) at piliin ang pinakamalaking numero na, kapag pinarami ng 7, ay nagbibigay ng halagang mas mababa sa o katumbas ng 8. Ibig sabihin, hinahanap namin isang numerong d kung saan totoo ang hindi pagkakapantay-pantay: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Isipin sa isip ang isang parisukat na ang lugar ay kailangan mong kalkulahin. Hinahanap mo ang L, ibig sabihin, ang haba ng gilid ng isang parisukat na ang lawak ay katumbas ng S. A, B, C ang mga numero sa numerong L. Maaari mo itong isulat nang iba: 10A + B = L (para sa isang dalawang-digit na numero) o 100A + 10B + C = L (para sa tatlong-digit na numero) at iba pa.

      • Hayaan (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Tandaan na ang 10A+B ay isang numero kung saan ang digit B ay kumakatawan sa mga unit at ang digit A ay nangangahulugang sampu. Halimbawa, kung A=1 at B=2, ang 10A+B ay katumbas ng numero 12. (10A+B)²- ito ang lugar ng buong parisukat, 100A²- lugar ng malaking panloob na parisukat, B²- lugar ng maliit na panloob na parisukat, 10A×B- ang lugar ng bawat isa sa dalawang parihaba. Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng inilarawan na mga figure, makikita mo ang lugar ng orihinal na parisukat.

Mga tagubilin

Upang itaas ang isang numero sa 1/3 na kapangyarihan, ipasok ang numero, pagkatapos ay i-click ang pindutan ng exponentiation at ilagay ang tinatayang halaga na 1/3 - 0.333. Ang katumpakan na ito ay sapat na para sa karamihan ng mga kalkulasyon. Gayunpaman, ang katumpakan ng mga kalkulasyon ay napakadaling taasan - magdagdag lamang ng maraming triplet na kasya sa indicator ng calculator (halimbawa, 0.3333333333333333). Pagkatapos ay i-click ang "=" button.

Upang kalkulahin ang ikatlong ugat gamit ang isang computer, patakbuhin ang Windows calculator program. Ang pamamaraan para sa pagkalkula ng ikatlong ugat ay ganap na katulad ng inilarawan sa itaas. Ang pagkakaiba lang ay nasa disenyo ng exponentiation button. Sa virtual na keyboard ng calculator ito ay ipinahiwatig bilang "x^y".

Ang ikatlong ugat ay maaari ding kalkulahin sa MS Excel. Upang gawin ito, ipasok ang "=" sa anumang cell at piliin ang icon na "insert" (fx). Piliin ang function na "DEGREE" sa window na lilitaw at i-click ang pindutang "OK". Sa window na lilitaw, ipasok ang halaga ng numero kung saan nais mong kalkulahin ang ikatlong ugat. Sa "Degree" ipasok ang numerong "1/3". I-type ang numerong 1/3 nang eksakto sa form na ito - tulad ng isang ordinaryong. Pagkatapos nito, i-click ang pindutang "Ok". Ang cube root ng ibinigay na numero ay lilitaw sa cell ng talahanayan kung saan ito ginawa.

Kung ang ikatlong ugat ay kailangang kalkulahin nang palagian, pagkatapos ay bahagyang pagbutihin ang pamamaraan na inilarawan sa itaas. Para sa numero kung saan mo gustong kunin ang ugat, ipahiwatig hindi ang numero mismo, ngunit isang table cell. Pagkatapos nito, ipasok lamang ang orihinal na numero sa cell na ito sa bawat oras - lalabas ang cube root nito sa cell na may formula.

Video sa paksa

Mangyaring tandaan

Konklusyon. Sinuri ng papel na ito ang iba't ibang paraan para sa pagkalkula ng mga halaga ng ugat ng cube. Ito ay lumabas na ang mga halaga ng cube root ay matatagpuan gamit ang paraan ng pag-ulit, maaari mo ring tantiyahin ang cube root, itaas ang numero sa kapangyarihan ng 1/3, hanapin ang mga halaga ng ikatlong ugat gamit Microsoft Office Ecxel, nagtatakda ng mga formula sa mga cell.

Kapaki-pakinabang na payo

Ang mga ugat ng pangalawa at pangatlong degree ay ginagamit lalo na madalas at samakatuwid ay may mga espesyal na pangalan. Square root: Sa kasong ito, ang exponent ay karaniwang inalis, at ang terminong "root" nang hindi tinukoy ang exponent ay kadalasang nagpapahiwatig ng square root. Praktikal na pagkalkula ng mga ugat Algorithm para sa paghahanap ng ugat ng ika-n degree. Ang mga square at cube root ay karaniwang ibinibigay sa lahat ng calculators.

Mga Pinagmulan:

• ikatlong ugat
• Paano dalhin ang square root sa Nth power sa Excel

Ang operasyon ng paghahanap ng ugat pangatlo digri ay karaniwang tinatawag na pagkuha ng "kubiko" na ugat, at binubuo ito sa paghahanap ng isang tunay na numero, ang kubo kung saan ay magbibigay ng halaga na katumbas ng radikal na numero. Ang operasyon ng pagkuha ng anumang ugat ng arithmetic digri n ay katumbas ng operasyon ng pagtaas sa kapangyarihan 1/n. Mayroong ilang mga paraan na maaari mong gamitin upang praktikal na kalkulahin ang mga ugat ng kubo.