ako. Ang mga ekspresyon kung saan maaaring gamitin ang mga numero, simbolo ng aritmetika at panaklong kasama ng mga titik ay tinatawag na mga algebraic na expression.

Mga halimbawa ng algebraic expression:

2m -n; 3 · (2a + b); 0.24x; 0.3a -b · (4a + 2b); isang 2 – 2ab;

Dahil ang isang titik sa isang algebraic na expression ay maaaring mapalitan ng ilang iba't ibang mga numero, ang titik ay tinatawag na isang variable, at ang algebraic expression mismo ay tinatawag na isang expression na may isang variable.

II. Kung sa isang algebraic expression ang mga titik (mga variable) ay pinalitan ng kanilang mga halaga at ang mga tinukoy na aksyon ay ginanap, kung gayon ang resultang numero ay tinatawag na halaga ng algebraic expression.

Mga halimbawa.

Hanapin ang kahulugan ng expression:

1) a + 2b -c na may a = -2; b = 10; c = -3.5.

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y = -5; z = 6..

Solusyon

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c na may a = -2; b = 10; c = -3.5. Sa halip na mga variable, palitan natin ang kanilang mga halaga. Nakukuha namin: 2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y = -5; z = 6. Palitan ang mga ipinahiwatig na halaga. Tandaan na ang modyul negatibong numero ay katumbas ng kabaligtaran na numero nito, at ang module positibong numero

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

katumbas ng numerong ito mismo. Nakukuha namin: III.

Ang mga halaga ng titik (variable) kung saan ang algebraic expression ay may katuturan ay tinatawag na mga pinahihintulutang halaga ng titik (variable).

Mga halimbawa. Para sa anong mga halaga ng variable ang expression ay walang kahulugan?

Sa halimbawa 1) ang halagang ito ay a = 0. Sa katunayan, kung papalitan mo ang 0 sa halip na a, kakailanganin mong hatiin ang numerong 6 sa 0, ngunit hindi ito magagawa. Sagot: expression 1) ay hindi makatwiran kapag a = 0.

Sa halimbawa 2) ang denominator ng x ay 4 = 0 sa x = 4, samakatuwid, ang halagang ito na x = 4 ay hindi maaaring kunin. Sagot: expression 2) ay walang kahulugan kapag x = 4.

Sa halimbawa 3) ang denominator ay x + 2 = 0 kapag x = -2. Sagot: expression 3) ay walang kahulugan kapag x = -2.

Sa halimbawa 4) ang denominator ay 5 -|x| = 0 para sa |x| = 5. At dahil |5| = 5 at |-5| = 5, pagkatapos ay hindi mo maaaring kunin ang x = 5 at x = -5. Sagot: expression 4) ay walang kahulugan sa x = -5 at sa x = 5.
IV. Ang dalawang expression ay sinasabing magkapareho kung, para sa anumang tinatanggap na mga halaga ng mga variable, ang mga katumbas na halaga ng mga expression na ito ay pantay.

Halimbawa: 5 (a – b) at 5a – 5b ay pantay din, dahil ang pagkakapantay-pantay 5 (a – b) = 5a – 5b ay magiging totoo para sa anumang halaga ng a at b. Ang pagkakapantay-pantay 5 (a – b) = 5a – 5b ay isang pagkakakilanlan.

Pagkakakilanlan ay isang pagkakapantay-pantay na wasto para sa lahat ng pinahihintulutang halaga ng mga variable na kasama dito. Ang mga halimbawa ng pagkakakilanlan na alam mo na ay, halimbawa, ang mga katangian ng karagdagan at pagpaparami, at ang distributive na ari-arian.

Ang pagpapalit ng isang ekspresyon sa isa pang magkaparehong ekspresyon ay tinatawag na pagbabago ng pagkakakilanlan o simpleng pagbabago ng isang ekspresyon. Ang mga magkatulad na pagbabagong-anyo ng mga expression na may mga variable ay ginagawa batay sa mga katangian ng mga operasyon sa mga numero.

Mga halimbawa.

a) i-convert ang expression sa magkaparehong pantay gamit ang distributive property ng multiplication:

1) 10·(1.2x + 2.3y); 2) 1.5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |y| -|z| sa x = -8; y = -5; z = 6.. Alalahanin natin ang distributive property (batas) ng multiplikasyon:

(a+b)c=ac+bc(distributive law of multiplication relative to addition: para ma-multiply ang kabuuan ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang bawat term sa numerong ito at idagdag ang mga resultang resulta).
(a-b) c=a c-b c(Pamamahagi ng batas ng multiplikasyon na may kaugnayan sa pagbabawas: upang i-multiply ang pagkakaiba ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang minuend at ibawas sa numerong ito nang hiwalay at ibawas ang pangalawa sa unang resulta).

1) 10·(1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y.

2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) baguhin ang expression sa magkatulad na pantay, gamit ang commutative at associative properties (mga batas) ng karagdagan:

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Mga halimbawa. Ilapat natin ang mga batas (properties) ng karagdagan:

a+b=b+a(commutative: ang muling pagsasaayos ng mga termino ay hindi nagbabago sa kabuuan).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinative: upang magdagdag ng ikatlong numero sa kabuuan ng dalawang termino, maaari mong idagdag ang kabuuan ng pangalawa at pangatlo sa unang numero).

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9.

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

V) I-convert ang expression sa identically equal gamit ang commutative at associative properties (mga batas) ng multiplication:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Mga halimbawa. Ilapat natin ang mga batas (properties) ng multiplikasyon:

a·b=b·a(commutative: ang muling pagsasaayos ng mga salik ay hindi nagbabago sa produkto).
(a b) c=a (b c)(combinative: upang i-multiply ang produkto ng dalawang numero sa ikatlong numero, maaari mong i-multiply ang unang numero sa produkto ng pangalawa at pangatlo).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Kung ang isang algebraic expression ay ibinigay sa anyo ng isang reducible fraction, pagkatapos ay gamit ang panuntunan ng pagbawas ng fraction maaari itong pasimplehin, i.e. palitan ito ng magkaparehong mas simpleng expression.

Mga halimbawa.

Mga halimbawa. Pasimplehin gamit ang pagbawas ng fraction. Upang bawasan ang isang fraction ay nangangahulugan na hatiin ang numerator at denominator nito sa parehong numero (expression) maliban sa zero. Fraction 10) ay mababawasan ng 3b ; fraction 11) ay mababawasan ng A at fraction 12) ay mababawasan ng 7n

. Nakukuha namin:

Ginagamit ang mga algebraic expression upang lumikha ng mga formula. Ang formula ay isang algebraic na expression na isinulat bilang isang pagkakapantay-pantay at nagpapahayag ng relasyon sa pagitan ng dalawa o higit pang mga variable. Halimbawa: path formula na alam mo s=v t

(s - distansyang nilakbay, v - bilis, t - oras). Tandaan kung ano ang iba pang mga formula na alam mo.

Pahina 1 ng 1 1 Ang isang expression ay ang pinakamalawak na termino sa matematika. Mahalaga, sa agham na ito ang lahat ay binubuo ng mga ito, at ang lahat ng mga operasyon ay isinasagawa din sa kanila. Ang isa pang tanong ay na, depende sa tiyak na uri, sila ay ganap na ginagamit iba't ibang pamamaraan at mga teknik. Kaya, ang pagtatrabaho sa trigonometrya, mga fraction o logarithms ay tatlo iba't ibang aksyon

. Ang isang expression na walang kahulugan ay maaaring isa sa dalawang uri: numerical o algebraic. Ngunit kung ano ang ibig sabihin ng konseptong ito, kung ano ang hitsura ng halimbawa nito at iba pang mga punto ay tatalakayin pa.

Mga Numeric na Ekspresyon

Kung ang isang expression ay binubuo ng mga numero, panaklong, plus at minus at iba pang mga simbolo ng mga operasyon ng aritmetika, maaari itong ligtas na matatawag na numeric. Alin ang lubos na lohikal: kailangan mo lamang tingnan ang unang pinangalanang bahagi nito. Ang isang numerical expression ay maaaring anuman: ang pangunahing bagay ay hindi ito naglalaman ng mga titik. At sa ilalim ng "kahit ano" sa lahat ay nauunawaan: mula sa isang simpleng numero na nakatayo nang mag-isa, sa kanyang sarili, sa isang malaking listahan ng mga ito at mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika na nangangailangan ng kasunod na pagkalkula ng huling resulta. Fraction din numeric na expression, kung wala itong anumang a, b, c, d, atbp., kung gayon isa itong ganap na kakaibang uri, na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Mga kundisyon para sa isang expression na walang kahulugan

Kapag nagsimula ang isang gawain sa salitang "kalkulahin", maaari nating pag-usapan ang pagbabago. Ang bagay ay ang pagkilos na ito ay hindi palaging ipinapayong: hindi ito ang labis na pangangailangan para dito kung ang isang pagpapahayag na walang katuturan ay nauuna. Ang mga halimbawa ay walang katapusang kahanga-hanga: kung minsan, upang maunawaan na ito ay naabutan na tayo, kailangan nating buksan ang mga bracket sa loob ng mahabang panahon at nakakapagod at mabibilang-bilang-bilang...

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay walang kahulugan sa mga expression na ang huling resulta ay bumagsak sa isang aksyon na ipinagbabawal sa matematika. Upang maging ganap na tapat, kung gayon ang pagbabagong-anyo mismo ay nagiging walang kabuluhan, ngunit upang malaman, kailangan mo munang isagawa ito. Isang kabalintunaan!

Ang pinakasikat, ngunit hindi gaanong mahalaga na ipinagbabawal pagpapatakbo ng matematika- ito ay dibisyon ng zero.

Samakatuwid, halimbawa, narito ang isang expression na walang kahulugan:

(17+11):(5+4-10+1).

Kung, gamit ang mga simpleng kalkulasyon, binabawasan namin ang pangalawang bracket sa isang digit, kung gayon ito ay magiging zero.

Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, ang isang "honorary na titulo" ay ibinibigay sa expression na ito:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraic expression

Ito ang parehong numerical expression kung ang mga ipinagbabawal na titik ay idinagdag dito. Pagkatapos ito ay magiging ganap na algebraic. Maaari rin itong dumating sa lahat ng laki at hugis. Ang isang algebraic expression ay isang mas malawak na konsepto na kinabibilangan ng nauna. Ngunit makatuwiran na simulan ang pag-uusap hindi dito, ngunit sa isang numero, upang ito ay maging mas malinaw at mas madaling maunawaan. Pagkatapos ng lahat, kung ang isang algebraic expression ay may katuturan ay hindi isang napaka-komplikadong tanong, ngunit isa na may higit pang mga paglilinaw.

Bakit ganito?

Ang literal na expression o isang expression na may mga variable ay kasingkahulugan. Ang unang termino ay madaling ipaliwanag: pagkatapos ng lahat, naglalaman ito ng mga titik! Ang pangalawa ay hindi rin ang misteryo ng siglo: sa halip na mga titik ay maaari mong palitan magkaibang numero, bilang isang resulta kung saan ang kahulugan ng expression ay magbabago. Hindi mahirap hulaan na ang mga titik sa kasong ito ay ang mga variable. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga numero ay pare-pareho.

At dito bumalik tayo sa pangunahing paksa: walang kabuluhan?

Mga halimbawa ng mga algebraic na expression na walang kahulugan

Ang kundisyon para sa kawalan ng kahulugan ng isang algebraic na expression ay kapareho ng para sa isang numerical, na may isang pagbubukod lamang, o, mas tiyak, isang karagdagan. Kapag nagko-convert at kinakalkula ang panghuling resulta, kailangan mong isaalang-alang ang mga variable, kaya ang tanong ay hindi ibinibigay bilang "aling expression ang hindi makatwiran?", ngunit "sa anong halaga ng variable ang hindi magkakaroon ng kahulugan ang expression na ito?" at "may halaga ba ang variable kung saan mawawala ang kahulugan ng expression?"

Halimbawa, (18-3):(a+11-9).

Ang expression sa itaas ay walang kahulugan kapag ang isang ay -2.

Ngunit tungkol sa (a+3):(12-4-8) ligtas nating masasabi na ito ay isang expression na hindi makatwiran para sa anumang a.

Sa parehong paraan, kahit anong b ang ipalit mo sa expression (b - 11): (12+1), magkakaroon pa rin ito ng kahulugan.

Mga karaniwang problema sa paksang "Isang expression na walang kahulugan"

Pinag-aaralan ng ika-7 baitang ang paksang ito sa matematika, bukod sa iba pa, at ang mga takdang-aralin tungkol dito ay madalas na matatagpuan nang direkta pagkatapos ng kaukulang aralin, at bilang isang "panlinlang" na tanong sa mga module at pagsusulit.

Narito kung bakit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang karaniwang mga gawain at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Halimbawa 1.

May katuturan ba ang expression:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kinakailangan na isagawa ang lahat ng mga kalkulasyon sa mga bracket at dalhin ang expression sa form:

Ang huling resulta ay naglalaman samakatuwid ang expression ay walang kahulugan.

Halimbawa 2.

Anong mga ekspresyon ang hindi makatuwiran?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Dapat kalkulahin panghuling halaga para sa bawat isa sa mga expression.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 3.

Hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa mga sumusunod na expression:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Ang saklaw ng mga pinahihintulutang halaga (APV) ay ang lahat ng mga numerong iyon, kapag pinapalitan ang mga ito sa halip variable na pagpapahayag magkakaroon ng kahulugan.

Iyon ay, ang gawain ay parang ganito: maghanap ng mga halaga kung saan walang dibisyon sa pamamagitan ng zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), o b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), o b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Halimbawa 4.

Sa anong mga halaga ang expression sa ibaba ay walang kahulugan?

Ang pangalawang bracket ay katumbas ng zero kapag ang laro ay katumbas ng -3.

Sagot: y=-3

Halimbawa 4.

Alin sa mga expression ang hindi makatuwiran sa x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 at 3, dahil sa unang kaso, kung papalitan mo ang x = -14, kung gayon ang pangalawang bracket ay magiging katumbas ng -28, at hindi zero, tulad ng tunog sa kahulugan ng isang walang kahulugan na expression.

Halimbawa 5.

Bumuo at isulat ang isang expression na walang kahulugan.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraic expression na may dalawang variable

Sa kabila ng katotohanan na ang lahat ng mga expression na walang kahulugan ay may parehong kakanyahan, may iba't ibang antas ng kanilang pagiging kumplikado. Kaya, maaari nating sabihin na ang mga numerical ay mga simpleng halimbawa, dahil mas madali ang mga ito kaysa sa algebraic. Ang bilang ng mga variable sa huli ay nagdaragdag sa kahirapan ng paglutas. Ngunit hindi sila dapat magmukhang pareho: ang pangunahing bagay ay tandaan ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon at ilapat ito, hindi alintana kung ang halimbawa ay katulad ng isang karaniwang problema o may ilang hindi kilalang mga karagdagan.

Halimbawa, maaaring lumitaw ang tanong kung paano lutasin ang gayong gawain.

Maghanap at isulat ang isang pares ng mga numero na hindi wasto para sa expression:

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y).

Mga posibleng sagot:

Ngunit kung tutuusin, mukhang nakakatakot at masalimuot lamang, dahil sa katunayan ay naglalaman ito ng matagal nang kilala: mga numerong squaring at cubed, ilang operasyong aritmetika tulad ng paghahati, pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag. Para sa kaginhawahan, sa pamamagitan ng paraan, maaari mong bawasan ang problema sa fractional form.

Ang numerator ng resultang fraction ay hindi masaya: (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y). Ito ay isang katotohanan. Ngunit may isa pang dahilan para sa kaligayahan: hindi mo na kailangang hawakan ito upang malutas ang gawain! Ayon sa kahulugan na tinalakay kanina, hindi mo maaaring hatiin sa zero, at kung ano ang eksaktong paghahatiin nito ay ganap na hindi mahalaga. Samakatuwid, iniiwan namin ang expression na ito na hindi nagbabago at pinapalitan ang mga pares ng mga numero mula sa mga pagpipiliang ito sa denominator. Tamang-tama na ang pangatlong punto, ginagawang zero ang isang maliit na bracket. Ngunit ang paghinto doon ay isang masamang rekomendasyon, dahil maaaring iba pa ang angkop. Sa katunayan: ang ikalimang punto ay angkop din at nababagay sa mga kondisyon.

Isulat namin ang sagot: 3 at 5.

Sa konklusyon

Tulad ng nakikita mo, ang paksang ito ay napaka-interesante at hindi partikular na kumplikado. Hindi ito magiging mahirap na malaman ito. Ngunit hindi kailanman masakit na magsanay ng ilang mga halimbawa!

Ang isang expression ay ang pinakamalawak na termino sa matematika. Mahalaga, sa agham na ito ang lahat ay binubuo ng mga ito, at ang lahat ng mga operasyon ay isinasagawa din sa kanila. Ang isa pang tanong ay, depende sa tiyak na uri, ganap na magkakaibang mga pamamaraan at pamamaraan ang ginagamit. Kaya, ang pagtatrabaho sa trigonometrya, mga fraction o logarithms ay tatlong magkakaibang aksyon. Ang isang expression na walang kahulugan ay maaaring isa sa dalawang uri: numerical o algebraic. Ngunit kung ano ang ibig sabihin ng konseptong ito, kung ano ang hitsura ng halimbawa nito at iba pang mga punto ay tatalakayin pa.

Mga Numeric na Ekspresyon

Mga Numeric na Ekspresyon

Ang isang numerical expression ay maaaring anuman: ang pangunahing bagay ay hindi ito naglalaman ng mga titik. At sa pamamagitan ng "anuman" sa kasong ito, ang ibig sabihin namin ay ang lahat: mula sa isang simpleng numero na nakatayo nang mag-isa, sa kanyang sarili, sa isang malaking listahan ng mga ito at mga palatandaan ng mga operasyon ng aritmetika na nangangailangan ng kasunod na pagkalkula ng huling resulta. Ang isang fraction ay isa ring numerical expression, kung wala itong anumang a, b, c, d, atbp., dahil ito ay ganap na naiibang uri, na tatalakayin sa ibang pagkakataon.

Mga kundisyon para sa isang expression na walang kahulugan

Kapag nagsimula ang isang gawain sa salitang "kalkulahin", maaari nating pag-usapan ang pagbabago. Ang bagay ay ang pagkilos na ito ay hindi palaging ipinapayong: hindi ito ang labis na pangangailangan para dito kung ang isang pagpapahayag na walang katuturan ay nauuna. Ang mga halimbawa ay walang katapusang kahanga-hanga: kung minsan, upang maunawaan na ito ay naabutan na tayo, kailangan nating buksan ang mga bracket sa loob ng mahabang panahon at nakakapagod at mabibilang-bilang-bilang...

Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay walang kahulugan sa mga expression na ang huling resulta ay bumagsak sa isang aksyon na ipinagbabawal sa matematika. Upang maging ganap na tapat, kung gayon ang pagbabagong-anyo mismo ay nagiging walang kabuluhan, ngunit upang malaman, kailangan mo munang isagawa ito. Isang kabalintunaan!

Ang pinakasikat, ngunit hindi gaanong mahalaga na ipinagbabawal na operasyon ng matematika ay paghahati ng zero.

Samakatuwid, halimbawa, narito ang isang expression na walang kahulugan:

(17+11):(5+4-10+1).

Kung, gamit ang mga simpleng kalkulasyon, binabawasan namin ang pangalawang bracket sa isang digit, kung gayon ito ay magiging zero.

Sa pamamagitan ng parehong prinsipyo, ang isang "honorary na titulo" ay ibinibigay sa expression na ito:

(5-18):(19-4-20+5).

Algebraic expression

Ito ang parehong numerical expression kung ang mga ipinagbabawal na titik ay idinagdag dito. Pagkatapos ito ay magiging ganap na algebraic. Maaari rin itong dumating sa lahat ng laki at hugis. Ang isang algebraic expression ay isang mas malawak na konsepto na kinabibilangan ng nauna. Ngunit makatuwiran na simulan ang pag-uusap hindi dito, ngunit sa isang numero, upang ito ay maging mas malinaw at mas madaling maunawaan. Pagkatapos ng lahat, kung ang isang algebraic expression ay may katuturan ay hindi isang napaka-komplikadong tanong, ngunit isa na may higit pang mga paglilinaw.

Bakit ganito?

Ang literal na expression o isang expression na may mga variable ay kasingkahulugan. Ang unang termino ay madaling ipaliwanag: pagkatapos ng lahat, naglalaman ito ng mga titik! Ang pangalawa ay hindi rin isang misteryo ng siglo: sa halip na mga titik, maaari mong palitan ang iba't ibang mga numero, bilang isang resulta kung saan ang kahulugan ng expression ay magbabago. Hindi mahirap hulaan na ang mga titik sa kasong ito ay ang mga variable. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang mga numero ay pare-pareho.

At dito bumalik tayo sa pangunahing paksa: ano ang isang expression na walang kahulugan?

Mga halimbawa ng mga algebraic na expression na walang kahulugan

Ang kundisyon para sa kawalan ng kahulugan ng isang algebraic na expression ay kapareho ng para sa isang numerical, na may isang pagbubukod lamang, o, mas tiyak, isang karagdagan. Kapag nagko-convert at kinakalkula ang panghuling resulta, kailangan mong isaalang-alang ang mga variable, kaya ang tanong ay hindi ibinibigay bilang "aling expression ang hindi makatwiran?", ngunit "sa anong halaga ng variable ang hindi magkakaroon ng kahulugan ang expression na ito?" at "may halaga ba ang variable kung saan mawawala ang kahulugan ng expression?"

Halimbawa, (18-3):(a+11-9).

Ang expression sa itaas ay walang kahulugan kapag ang isang ay -2.

Ngunit tungkol sa (a+3):(12-4-8) ligtas nating masasabi na ito ay isang expression na hindi makatwiran para sa anumang a.

Sa parehong paraan, kahit anong b ang ipalit mo sa expression (b - 11): (12+1), magkakaroon pa rin ito ng kahulugan.

Mga karaniwang problema sa paksang "Isang expression na walang kahulugan"

Pinag-aaralan ng ika-7 baitang ang paksang ito sa matematika, bukod sa iba pa, at ang mga takdang-aralin tungkol dito ay madalas na matatagpuan nang direkta pagkatapos ng kaukulang aralin, at bilang isang "panlinlang" na tanong sa mga module at pagsusulit.

Iyon ang dahilan kung bakit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang ng mga tipikal na problema at pamamaraan para sa paglutas ng mga ito.

Halimbawa 1.

May katuturan ba ang expression:

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Kinakailangan na isagawa ang lahat ng mga kalkulasyon sa mga bracket at dalhin ang expression sa form:

Ang huling resulta ay naglalaman ng dibisyon sa pamamagitan ng zero, kaya ang expression ay walang kahulugan.

Halimbawa 2.

Anong mga ekspresyon ang hindi makatuwiran?

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Dapat mong kalkulahin ang panghuling halaga para sa bawat expression.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 3.

Hanapin ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa mga sumusunod na expression:

1) (11-4)/(b+17);

2) 12/ (14-b+11).

Ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga (VA) ay ang lahat ng mga numero na, kapag pinalitan sa halip na mga variable, ang expression ay magkakaroon ng kahulugan.

Iyon ay, ang gawain ay parang ganito: maghanap ng mga halaga kung saan walang dibisyon sa pamamagitan ng zero.

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), o b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), o b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Halimbawa 4.

Sa anong mga halaga ang expression sa ibaba ay walang kahulugan?

Ang pangalawang bracket ay katumbas ng zero kapag ang laro ay katumbas ng -3.

Sagot: y=-3

Halimbawa 4.

Alin sa mga expression ang hindi makatuwiran sa x = -14?

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)).

2 at 3, dahil sa unang kaso, kung papalitan mo ang x = -14, kung gayon ang pangalawang bracket ay magiging katumbas ng -28, at hindi zero, tulad ng tunog sa kahulugan ng isang walang kahulugan na expression.

Halimbawa 5.

Bumuo at isulat ang isang expression na walang kahulugan.

18/(2-46+17-33+45+15).

Algebraic expression na may dalawang variable

Sa kabila ng katotohanan na ang lahat ng mga expression na walang kahulugan ay may parehong kakanyahan, may iba't ibang antas ng kanilang pagiging kumplikado. Kaya, maaari nating sabihin na ang mga numerical ay mga simpleng halimbawa, dahil mas madali ang mga ito kaysa sa algebraic. Ang bilang ng mga variable sa huli ay nagdaragdag sa kahirapan ng paglutas. Ngunit hindi sila dapat malito sa kanilang hitsura: ang pangunahing bagay ay tandaan ang pangkalahatang prinsipyo ng solusyon at ilapat ito, hindi alintana kung ang halimbawa ay katulad ng isang karaniwang problema o may ilang hindi kilalang mga karagdagan.

Halimbawa, maaaring lumitaw ang tanong kung paano lutasin ang gayong gawain.

Maghanap at isulat ang isang pares ng mga numero na hindi wasto para sa expression:

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y).

Mga posibleng sagot:

Ngunit kung tutuusin, mukhang nakakatakot at masalimuot lamang, dahil sa katunayan ay naglalaman ito ng matagal nang kilala: mga numerong squaring at cubed, ilang operasyong aritmetika tulad ng paghahati, pagpaparami, pagbabawas at pagdaragdag. Para sa kaginhawahan, sa pamamagitan ng paraan, maaari mong bawasan ang problema sa fractional form.

Ang numerator ng resultang fraction ay hindi masaya: (x3 - x2y3 + 13x - 38y). Ito ay isang katotohanan. Ngunit may isa pang dahilan para sa kaligayahan: hindi mo na kailangang hawakan ito upang malutas ang gawain! Ayon sa kahulugan na tinalakay kanina, hindi mo maaaring hatiin sa zero, at kung ano ang eksaktong paghahatiin nito ay ganap na hindi mahalaga. Samakatuwid, iniiwan namin ang expression na ito na hindi nagbabago at pinapalitan ang mga pares ng mga numero mula sa mga pagpipiliang ito sa denominator. Tamang-tama na ang ikatlong punto, na ginagawang zero ang isang maliit na bracket. Ngunit ang paghinto doon ay isang masamang rekomendasyon, dahil maaaring may ibang bagay na angkop. Sa katunayan: ang ikalimang punto ay angkop din at nababagay sa mga kondisyon.

Isulat namin ang sagot: 3 at 5.

Sa konklusyon

Tulad ng nakikita mo, ang paksang ito ay napaka-interesante at hindi partikular na kumplikado. Hindi ito magiging mahirap na malaman ito. Ngunit hindi kailanman masakit na magsanay ng ilang mga halimbawa!

Kapag pinag-aaralan ang paksa ng numeric, mga expression ng titik at mga expression na may mga variable, kailangan mong bigyang pansin ang konsepto halaga ng pagpapahayag. Sa artikulong ito sasagutin natin ang tanong kung ano ang halaga ng isang numeric na expression, at kung ano ang tinatawag na halaga ng isang literal na expression at isang expression na may mga variable para sa mga napiling variable na halaga. Upang linawin ang mga kahulugang ito, nagbibigay kami ng mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Ano ang halaga ng isang numeric na expression?

Ang pagkilala sa mga numerical expression ay nagsisimula halos mula sa unang mga aralin sa matematika sa paaralan. Halos kaagad ang konsepto ng "halaga ng isang numerical na expression" ay ipinakilala. Ito ay tumutukoy sa mga expression na binubuo ng mga numero na konektado sa pamamagitan ng arithmetic operations signs (+, −, ·, :). Ibigay natin ang kaukulang kahulugan.

Kahulugan.

Numeric na halaga ng expression– ito ang numerong nakukuha pagkatapos isagawa ang lahat ng aksyon sa orihinal na numerical expression.

Halimbawa, isaalang-alang ang numerical expression na 1+2. Matapos makumpleto, makuha namin ang numero 3, na siyang halaga ng numerical expression na 1+2.

Kadalasan sa pariralang "ang kahulugan ng isang numerical na expression" ang salitang "numerical" ay tinanggal at sinasabi lamang nila "ang kahulugan ng expression", dahil malinaw pa rin kung ano ang kahulugan ng expression na tinatalakay.

Ang kahulugan sa itaas ng kahulugan ng isang expression ay nalalapat din sa mga numerical na expression ng isang mas kumplikadong uri, na pinag-aaralan sa mataas na paaralan. Dapat tandaan dito na maaari kang makatagpo ng mga numerical na expression na ang mga halaga ay hindi matukoy. Ito ay dahil sa ilang mga expression ay hindi posible na isagawa ang mga naitalang aksyon. Halimbawa, ito ang dahilan kung bakit hindi natin matukoy ang halaga ng expression 3:(2−2) . Ang ganitong mga numerical expression ay tinatawag mga ekspresyong walang katuturan.

Kadalasan sa pagsasagawa, hindi ang numerical na expression ang interesado kundi ang kahulugan nito. Iyon ay, ang gawain ay lumitaw sa pagtukoy ng kahulugan ng isang naibigay na expression. Sa kasong ito, karaniwang sinasabi nila na kailangan mong hanapin ang halaga ng expression. Sinusuri ng artikulong ito nang detalyado ang proseso ng paghahanap ng halaga ng mga numerical na expression ng iba't ibang uri, at isinasaalang-alang ang maraming mga halimbawa na may mga detalyadong paglalarawan ng mga solusyon.

Kahulugan ng literal at variable na mga expression

Bilang karagdagan sa mga numerical na expression, ang mga literal na expression ay pinag-aaralan, iyon ay, mga expression kung saan ang isa o higit pang mga titik ay naroroon kasama ng mga numero. Ang mga titik sa isang literal na expression ay maaaring kumatawan sa iba't ibang mga numero, at kung ang mga titik ay papalitan ng mga numerong ito, ang literal na expression ay magiging isang numeric na expression.

Kahulugan.

Tinatawag ang mga numerong pumapalit sa mga titik sa literal na pagpapahayag ang mga kahulugan ng mga titik na ito, at ang halaga ng resultang numerical expression ay tinatawag ang halaga ng isang literal na expression para sa mga ibinigay na halaga ng titik.

Kaya, para sa mga literal na pagpapahayag ang isang tao ay nagsasalita hindi lamang tungkol sa kahulugan ng literal na pagpapahayag, ngunit tungkol sa kahulugan ng literal na pagpapahayag na ibinigay sa ibinigay (ibinigay, ipinahiwatig, atbp.) na mga halaga ng mga titik.

Magbigay tayo ng halimbawa. Kunin natin ang literal na ekspresyong 2·a+b. Hayaang ibigay ang mga halaga ng mga titik a at b, halimbawa, a=1 at b=6. Ang pagpapalit ng mga titik sa orihinal na expression ng kanilang mga halaga, makakakuha tayo ng numerical expression ng form na 2·1+6, ang value nito ay 8. Kaya, ang numero 8 ay ang halaga ng literal na expression na 2·a+b para sa mga ibinigay na halaga ng mga titik a=1 at b=6. Kung ang iba pang mga halaga ng titik ay ibinigay, pagkatapos ay makukuha natin ang halaga ng pagpapahayag ng titik para sa mga halaga ng titik na iyon. Halimbawa, na may a=5 at b=1 mayroon kaming value na 2·5+1=11.

Sa algebra ng mataas na paaralan, ang mga titik sa mga expression ng titik ay pinapayagan na magkaroon ng iba't ibang kahulugan, ang mga naturang titik ay tinatawag na mga variable, at ang mga expression ng titik ay tinatawag na mga expression na may mga variable. Para sa mga expression na ito, ang konsepto ng halaga ng isang expression na may mga variable ay ipinakilala para sa mga napiling halaga ng mga variable. Alamin natin kung ano ito.

Kahulugan.

Ang halaga ng isang expression na may mga variable para sa mga napiling value ng variable ay ang halaga ng isang numerical na expression na nakuha pagkatapos palitan ang mga napiling variable na halaga sa orihinal na expression.

Ipaliwanag natin ang nakasaad na kahulugan na may isang halimbawa. Isaalang-alang ang isang expression na may mga variable na x at y ng anyong 3·x·y+y. Kunin natin ang x=2 at y=4, palitan ang mga variable value na ito sa orihinal na expression, at kunin ang numerical expression na 3·2·4+4. Kalkulahin natin ang halaga ng expression na ito: 3·2·4+4=24+4=28. Ang nahanap na halaga 28 ay ang halaga ng orihinal na expression na may mga variable na 3·x·y+y para sa mga napiling value ng mga variable na x=2 at y=4.

Kung pipili ka ng iba pang variable na value, halimbawa, x=5 at y=0, ang mga napiling variable value na ito ay tutugon sa value ng variable na expression na katumbas ng 3·5·0+0=0.

Maaaring tandaan na kung minsan ang iba't ibang mga napiling halaga ng mga variable ay maaaring magresulta sa pantay na mga halaga ng pagpapahayag. Halimbawa, para sa x=9 at y=1, ang halaga ng expression na 3 x y+y ay 28 (mula noong 3 9 1+1=27+1=28), at sa itaas ay ipinakita namin na ang parehong halaga ay expression na may ang mga variable ay nasa x=2 at y=4 .

Maaaring mapili ang mga variable na halaga mula sa kanilang katumbas hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga. Kung hindi, kapag pinapalitan ang mga halaga ng mga variable na ito sa orihinal na expression, makakakuha ka ng isang numerical na expression na hindi makatwiran. Halimbawa, kung pipiliin mo ang x=0, at papalitan ang value na ito sa expression na 1/x, makukuha mo ang numeric na expression na 1/0, na walang saysay, dahil hindi tinukoy ang paghahati sa zero.

Nananatili lamang na idagdag na may mga expression na may mga variable na ang mga halaga ay hindi nakasalalay sa mga halaga ng mga variable na kasama sa kanila. Halimbawa, ang halaga ng isang expression na may variable na x ng form na 2+x−x ay hindi nakadepende sa halaga ng variable na ito ay katumbas ng 2 para sa anumang napiling value ng variable na x mula sa saklaw ng mga pinahihintulutang halaga nito; , na sa kasong ito ay ang set ng lahat ng tunay na numero.

Mga sanggunian.

• Mathematics: aklat-aralin para sa ika-5 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21st ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: may sakit. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: aklat-aralin para sa ika-7 baitang pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-17 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 240 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numeric na expression– ito ay anumang talaan ng mga numero, aritmetika na simbolo at panaklong. Ang isang numerical expression ay maaaring binubuo lamang ng isang numero. Alalahanin na ang mga pangunahing operasyon ng aritmetika ay "pagdaragdag", "pagbabawas", "pagpaparami" at "paghahati". Ang mga pagkilos na ito ay tumutugma sa mga palatandaan na "+", "-", "∙", ":".

Siyempre, para makakuha tayo ng numerical expression, dapat na makabuluhan ang pagtatala ng mga numero at aritmetika na simbolo. Kaya, halimbawa, ang naturang entry 5: + ∙ ay hindi matatawag na numeric na expression, dahil ito ay isang random na hanay ng mga simbolo na walang kahulugan. Sa kabilang banda, ang 5 + 8 ∙ 9 ay isa nang tunay na numerical expression.

Ang halaga ng isang numeric na expression.

Sabihin natin kaagad na kung gagawin natin ang mga aksyon na ipinahiwatig sa numerical expression, pagkatapos ay bilang isang resulta makakakuha tayo ng isang numero. Ang numerong ito ay tinatawag ang halaga ng isang numeric na expression.

Subukan nating kalkulahin kung ano ang makukuha natin bilang resulta ng pagsasagawa ng mga aksyon ng ating halimbawa. Ayon sa pagkakasunud-sunod kung saan isinasagawa ang mga pagpapatakbo ng aritmetika, ginagawa muna namin ang pagpaparami ng pagpaparami. I-multiply ang 8 sa 9. Nakukuha natin ang 72. Ngayon idagdag ang 72 at 5. Nakuha natin ang 77.
Kaya, 77 - ibig sabihin numerical expression 5 + 8 ∙ 9.

Pagkakapantay-pantay ng numero.

Maaari mo itong isulat sa ganitong paraan: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Dito ginamit namin ang “=” sign (“Katumbas”) sa unang pagkakataon. Ang nasabing notasyon kung saan ang dalawang numeric na expression ay pinaghihiwalay ng “=” sign ay tinatawag pagkakapantay-pantay ng numero. Bukod dito, kung ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nag-tutugma, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay tinatawag tapat. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – tamang pagkakapantay-pantay.
Kung isusulat natin ang 5 + 8 ∙ 9 = 100, magiging ganito na maling pagkakapantay-pantay, dahil ang mga halaga ng kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay hindi na nagtutugma.

Dapat pansinin na sa numerical expression maaari din tayong gumamit ng mga panaklong. Naaapektuhan ng mga panaklong ang pagkakasunud-sunod ng mga pagkilos. Kaya, halimbawa, baguhin natin ang ating halimbawa sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga panaklong: (5 + 8) ∙ 9. Ngayon kailangan mo munang magdagdag ng 5 at 8. Makukuha natin ang 13. At pagkatapos ay i-multiply ang 13 sa 9. Nakuha natin ang 117. Kaya, (5) + 8) ∙ 9 = 117.
117 – ibig sabihin numerical expression (5 + 8) ∙ 9.

Upang basahin nang tama ang isang expression, kailangan mong matukoy kung aling aksyon ang huling ginawa upang kalkulahin ang halaga ng isang ibinigay na numeric na expression. Kaya, kung ang huling aksyon ay pagbabawas, kung gayon ang expression ay tinatawag na "pagkakaiba". Alinsunod dito, kung ang huling aksyon ay sum - "sum", dibisyon - "quotient", multiplikasyon - "produkto", exponentiation - "kapangyarihan".

Halimbawa, ang numerical expression (1+5)(10-3) ay ganito: "ang produkto ng kabuuan ng mga numero 1 at 5 at ang pagkakaiba ng mga numero 10 at 3."

Mga halimbawa ng mga numeric na expression.

Narito ang isang halimbawa ng isang mas kumplikadong numerical expression:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Sa mga bracket mayroon kaming expression na $\frac(1)(4)+3.75$ . I-convert ang decimal fraction 3.75 sa isang common fraction.

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Kaya, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Susunod, sa numerator ng fraction \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] mayroon tayong expression na 1.25+3.47+4.75-1.47. Upang pasimplehin ang expression na ito, inilalapat namin ang commutative law ng karagdagan, na nagsasaad: "Ang kabuuan ay hindi nagbabago sa pamamagitan ng pagbabago ng mga lugar ng mga termino." Ibig sabihin, 1.25+3.47+4.75-1.47=1.25+4.75+3.47-1.47=6+2=8.

Sa denominator ng fraction ang expression $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Nakukuha namin $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

Kailan walang kahulugan ang mga numerical expression?

Tingnan natin ang isa pang halimbawa. Sa denominator ng fraction $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ang halaga ng expression na $3\centerdot 3-9$ ay 0. At, tulad ng alam natin, imposible ang paghahati sa zero. Samakatuwid, ang fraction na $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ ay walang kahulugan. Ang mga numerical expression na walang kahulugan ay sinasabing "walang kahulugan."

Kung gagamit tayo ng mga titik bilang karagdagan sa mga numero sa numerical expression, magkakaroon tayo