Pagbati, mga pusa! Huling oras na tinalakay namin nang detalyado kung ano ang mga ugat (kung hindi mo matandaan, inirerekumenda kong basahin ito). Ang pangunahing takeaway mula sa araling iyon: mayroon lamang isang pangkalahatang kahulugan ng mga ugat, na kung ano ang kailangan mong malaman. Ang natitira ay kalokohan at pag-aaksaya ng oras.

Ngayon ay higit pa tayo. Matututo tayong magparami ng mga ugat, pag-aaralan natin ang ilang problemang nauugnay sa multiplication (kung hindi nalutas ang mga problemang ito, maaari silang maging fatal sa pagsusulit) at magsasanay tayo ng maayos. Kaya mag-stock ng popcorn, maging komportable ka, at magsimula na tayo.

Hindi ka pa rin naninigarilyo, di ba?

Ang aralin ay naging medyo mahaba, kaya hinati ko ito sa dalawang bahagi:

1. Una ay titingnan natin ang mga patakaran ng pagpaparami. Ang cap ay tila nagpapahiwatig: ito ay kapag mayroong dalawang ugat, sa pagitan ng mga ito ay may isang "multiply" na senyales - at gusto naming gawin ang isang bagay dito.
2. Pagkatapos ay tingnan natin ang kabaligtaran na sitwasyon: mayroong isang malaking ugat, ngunit sabik kaming kumatawan dito bilang isang produkto ng dalawang mas simpleng ugat. Bakit ito kinakailangan, ay isang hiwalay na tanong. Susuriin lamang namin ang algorithm.

Para sa mga hindi makapaghintay na agad na lumipat sa ikalawang bahagi, malugod ka. Magsimula tayo sa natitira sa pagkakasunud-sunod.

Pangunahing Tuntunin ng Multiplikasyon

Magsimula tayo sa pinakasimpleng bagay - classic square roots. Ang parehong mga na tinutukoy ng $\sqrt(a)$ at $\sqrt(b)$. Ang lahat ay halata sa kanila:

Panuntunan sa pagpaparami. Upang i-multiply ang isang square root sa isa pa, paramihin mo lang ang kanilang mga radical expression, at isulat ang resulta sa ilalim ng karaniwang radical:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Walang karagdagang mga paghihigpit na ipinapataw sa mga numero sa kanan o kaliwa: kung ang mga ugat na kadahilanan ay umiiral, kung gayon ang produkto ay umiiral din.

Mga halimbawa. Tingnan natin ang apat na halimbawa na may mga numero nang sabay-sabay:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahulugan ng panuntunang ito ay upang gawing simple ang mga hindi makatwiran na expression. At kung sa unang halimbawa tayo mismo ay nakuha ang mga ugat ng 25 at 4 nang walang anumang mga bagong panuntunan, kung gayon ang mga bagay ay magiging matigas: $\sqrt(32)$ at $\sqrt(2)$ ay hindi isinasaalang-alang ng kanilang mga sarili, ngunit ang kanilang produkto ay lumabas na isang perpektong parisukat, kaya ang ugat nito ay katumbas ng isang rational na numero.

Gusto ko lalo na i-highlight ang huling linya. Doon, ang parehong mga radikal na expression ay mga fraction. Salamat sa produkto, maraming mga kadahilanan ang nakansela, at ang buong expression ay nagiging isang sapat na numero.

Siyempre, ang mga bagay ay hindi palaging magiging napakaganda. Minsan magkakaroon ng kumpletong gulo sa ilalim ng mga ugat - hindi malinaw kung ano ang gagawin dito at kung paano baguhin ito pagkatapos ng multiplikasyon. Maya-maya, kapag sinimulan mong pag-aralan ang mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay, magkakaroon ng lahat ng uri ng mga variable at function. At napakadalas, umaasa ang mga manunulat ng problema sa katotohanan na matutuklasan mo ang ilang mga termino o salik sa pagkansela, pagkatapos nito ang problema ay pasimplehin nang maraming beses.

Bilang karagdagan, hindi kinakailangan na magparami ng eksaktong dalawang ugat. Maaari kang magparami ng tatlo, apat, o kahit sampu nang sabay-sabay! Hindi nito babaguhin ang panuntunan. Tingnan mo:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

At muli maliit na tala ayon sa pangalawang halimbawa. Tulad ng nakikita mo, sa ikatlong kadahilanan sa ilalim ng ugat mayroong isang decimal na bahagi - sa proseso ng mga kalkulasyon pinapalitan namin ito ng isang regular, pagkatapos nito ang lahat ay madaling nabawasan. Kaya: Lubos kong inirerekumenda na alisin ang mga decimal fraction sa anumang hindi makatwiran na mga expression (ibig sabihin, naglalaman ng hindi bababa sa isang radikal na simbolo). Makakatipid ito sa iyo ng maraming oras at nerbiyos sa hinaharap.

Ngunit ito ay isang lyrical digression. Ngayon tingnan natin ang higit pa pangkalahatang kaso- kapag ang root indicator ay arbitrary na numero$n$, at hindi lang ang "classic" na dalawa.

Ang kaso ng isang di-makatwirang tagapagpahiwatig

Kaya, kasama parisukat na ugat naisip ito. Ano ang gagawin sa mga kubiko? O kahit na may mga ugat ng di-makatwirang degree na $n$? Oo, ang lahat ay pareho. Ang panuntunan ay nananatiling pareho:

Upang i-multiply ang dalawang ugat ng degree $n$, sapat na upang i-multiply ang kanilang mga radical expression, at pagkatapos ay isulat ang resulta sa ilalim ng isang radical.

Sa pangkalahatan, walang kumplikado. Maliban na ang halaga ng mga kalkulasyon ay maaaring mas malaki. Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Mga halimbawa. Kalkulahin ang mga produkto:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

At muli, pansin ang pangalawang ekspresyon. Kami ay dumami mga ugat ng kubo, tanggalin mo na decimal at bilang isang resulta nakuha namin ang produkto ng mga numero 625 at 25 sa denominator malaking bilang- Sa personal, hindi ko makalkula kaagad kung ano ang katumbas nito.

Kaya't ibinukod lang namin ang eksaktong cube sa numerator at denominator, at pagkatapos ay ginamit ang isa sa mga pangunahing katangian (o, kung gusto mo, kahulugan) ng $n$th na ugat:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\kaliwa| isang\kanan|. \\ \end(align)\]

Ang ganitong mga "machinations" ay maaaring makatipid sa iyo ng maraming oras sa pagsusulit o pagsubok na gawain, kaya tandaan:

Huwag magmadali sa pagpaparami ng mga numero gamit ang mga radikal na expression. Una, suriin: paano kung ang eksaktong antas ng anumang expression ay "naka-encrypt" doon?

Sa kabila ng kaliwanagan ng pangungusap na ito, dapat kong aminin na ang karamihan sa mga hindi handa na mga mag-aaral ay hindi nakikita ang eksaktong mga antas sa point-blank na hanay. Sa halip, pinarami nila ang lahat, at pagkatapos ay nagtataka: bakit sila nakakuha ng mga brutal na numero :)

Gayunpaman, ang lahat ng ito ay baby talk kumpara sa pag-aaralan natin ngayon.

Pagpaparami ng mga ugat na may iba't ibang exponents

Okay, ngayon ay maaari nating i-multiply ang mga ugat na may parehong mga tagapagpahiwatig. Paano kung magkaiba ang mga indicator? Sabihin natin, kung paano i-multiply ang isang ordinaryong $\sqrt(2)$ ng ilang crap tulad ng $\sqrt(23)$? Posible bang gawin ito?

Oo syempre kaya mo. Ang lahat ay ginagawa ayon sa formula na ito:

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga ugat. Upang i-multiply ang $\sqrt[n](a)$ sa $\sqrt[p](b)$, sapat na upang isagawa ang sumusunod na pagbabago:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Gayunpaman, ang formula na ito ay gagana lamang kung Ang mga radikal na ekspresyon ay hindi negatibo. Ito ay isang napakahalagang tala na babalikan natin mamaya.

Sa ngayon, tingnan natin ang ilang halimbawa:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado. Ngayon, alamin natin kung saan nanggaling ang non-negativity requirement, at ano ang mangyayari kung lalabag tayo dito :)

Bakit dapat hindi negatibo ang mga radikal na pagpapahayag?

Syempre pwede kang maging katulad mga guro sa paaralan at may matalinong hitsura, sipiin ang aklat-aralin:

Ang pangangailangan ng di-negatibiti ay nauugnay sa iba't ibang mga kahulugan ng mga ugat ng pantay at kakaibang antas (ayon dito, ang kanilang mga domain ng kahulugan ay magkakaiba din).

Well, naging mas malinaw ba? Sa personal, noong binasa ko ang kalokohang ito noong ika-8 baitang, naunawaan ko ang isang bagay tulad ng sumusunod: "Ang kinakailangan ng hindi negatibo ay nauugnay sa *#&^@(*#@^#)~%" - sa madaling salita, ginawa ko Hindi ko maintindihan ang isang bagay sa oras na iyon. :)

Kaya ngayon ipapaliwanag ko ang lahat sa normal na paraan.

Una, alamin natin kung saan nagmula ang multiplication formula sa itaas. Upang gawin ito, hayaan mong ipaalala ko sa iyo ang isang mahalagang katangian ng ugat:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Sa madaling salita, madali nating itaas ang radikal na ekspresyon sa alinman natural na antas$k$ - sa kasong ito, ang root exponent ay kailangang i-multiply sa parehong kapangyarihan. Samakatuwid, madali nating bawasan ang anumang mga ugat sa isang karaniwang exponent, at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito. Dito nagmula ang multiplication formula:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ngunit mayroong isang problema na mahigpit na naglilimita sa paggamit ng lahat ng mga formula na ito. Isaalang-alang ang numerong ito:

Ayon sa ibinigay na formula, maaari tayong magdagdag ng anumang antas. Subukan nating magdagdag ng $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Inalis namin ang minus nang tumpak dahil sinusunog ng parisukat ang minus (tulad ng anumang iba pang kahit na antas). Ngayon gawin natin ang reverse transformation: "bawasan" ang dalawa sa exponent at power. Pagkatapos ng lahat, ang anumang pagkakapantay-pantay ay mababasa mula kaliwa hanggang kanan at mula kanan pakaliwa:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Ngunit pagkatapos ito ay naging isang uri ng kalokohan:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Hindi ito maaaring mangyari, dahil $\sqrt(-5) \lt 0$, at $\sqrt(5) \gt 0$. Nangangahulugan ito na para sa kahit na mga kapangyarihan at negatibong mga numero ang aming formula ay hindi na gumagana. Pagkatapos nito, mayroon kaming dalawang pagpipilian:

1. Upang tumama sa pader at sabihin na ang matematika ay isang hangal na agham, kung saan "may ilang mga patakaran, ngunit ang mga ito ay hindi tumpak";
2. Ipakilala ang mga karagdagang paghihigpit kung saan ang formula ay magiging 100% gumagana.

Sa unang pagpipilian, kailangan nating patuloy na mahuli ang mga "hindi gumagana" na mga kaso - ito ay mahirap, nakakaubos ng oras at sa pangkalahatan ay ugh. Samakatuwid, ginusto ng mga mathematician ang pangalawang opsyon :)

Ngunit huwag mag-alala! Sa pagsasagawa, ang limitasyong ito ay hindi nakakaapekto sa mga kalkulasyon sa anumang paraan, dahil ang lahat ng mga problema na inilarawan ay nag-aalala lamang sa mga ugat ng kakaibang antas, at ang mga minus ay maaaring makuha mula sa kanila.

Samakatuwid, bumalangkas tayo ng isa pang panuntunan, na karaniwang nalalapat sa lahat ng mga aksyon na may mga ugat:

Bago magparami ng mga ugat, siguraduhin na ang mga radikal na expression ay hindi negatibo.

Halimbawa. Sa numerong $\sqrt(-5)$ maaari mong alisin ang minus mula sa ilalim ng root sign - kung gayon ang lahat ay magiging normal:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Nararamdaman mo ba ang pagkakaiba? Kung mag-iiwan ka ng minus sa ilalim ng ugat, pagkatapos ay kapag ang radikal na expression ay squared, ito ay mawawala, at crap ay magsisimula. At kung aalisin mo muna ang minus, maaari mong kuwadrado/alisin hanggang sa maging asul ang mukha mo - mananatiling negatibo ang numero :)

Kaya, ang pinaka tama at pinaka maaasahang paraan Ang pagpaparami ng mga ugat ay ang mga sumusunod:

1. Alisin ang lahat ng mga negatibo mula sa mga radikal. Ang mga minus ay umiiral lamang sa mga ugat ng kakaibang multiplicity - maaari silang ilagay sa harap ng ugat at, kung kinakailangan, bawasan (halimbawa, kung mayroong dalawa sa mga minus na ito).
2. Magsagawa ng multiplikasyon ayon sa mga tuntuning tinalakay sa itaas sa aralin ngayon. Kung ang mga tagapagpahiwatig ng mga ugat ay pareho, pinaparami lang natin ang mga radikal na expression. At kung magkaiba sila, ginagamit namin ang masamang formula na \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Tangkilikin ang resulta at magagandang marka. :)

Well? Magpractice ba tayo?

Halimbawa 1: Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(align)\]

Ito ang pinakasimpleng opsyon: ang mga ugat ay pareho at kakaiba, ang tanging problema ay ang pangalawang kadahilanan ay negatibo. Kinukuha namin ang minus na ito sa larawan, pagkatapos ay madaling kalkulahin ang lahat.

Halimbawa 2: Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ihanay)\]

Dito, marami ang malito sa katotohanan na ang output ay naging isang hindi makatwiran na numero. Oo, nangyayari ito: hindi namin ganap na maalis ang ugat, ngunit hindi bababa sa pinasimple namin ang expression.

Halimbawa 3: Pasimplehin ang expression:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \kanan))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa gawaing ito. Mayroong dalawang puntos dito:

1. Ang ugat ay hindi isang tiyak na numero o kapangyarihan, ngunit ang variable na $a$. Sa unang sulyap, ito ay medyo hindi pangkaraniwan, ngunit sa katotohanan, kapag nilutas ang mga problema sa matematika, madalas mong kailangang harapin ang mga variable.
2. Sa huli, nagawa naming "bawasan" ang radikal na tagapagpahiwatig at ang antas ng radikal na pagpapahayag. Madalas itong nangyayari. At nangangahulugan ito na posible na makabuluhang gawing simple ang mga kalkulasyon kung hindi mo ginamit ang pangunahing formula.

Halimbawa, maaari mong gawin ito:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\end(align)\]

Sa katunayan, ang lahat ng mga pagbabago ay ginanap lamang sa pangalawang radikal. At kung hindi mo inilalarawan nang detalyado ang lahat ng mga intermediate na hakbang, pagkatapos ay sa dulo ang halaga ng mga kalkulasyon ay makabuluhang bawasan.

Sa katunayan, nakatagpo na kami ng katulad na gawain sa itaas nang malutas namin ang halimbawang $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Ngayon ay maaari itong isulat nang mas simple:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Buweno, inayos namin ang pagpaparami ng mga ugat. Ngayon isaalang-alang natin ang reverse operation: ano ang gagawin kapag may produkto sa ilalim ng ugat?

Ang pag-extract ng quadrant root ng isang numero ay hindi lamang ang operasyon na maaaring gawin sa mathematical phenomenon na ito. Tulad ng mga regular na numero, ang mga square root ay nagdaragdag at nagbawas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga square root

Ang mga operasyon tulad ng pagdaragdag at pagbabawas ng mga square root ay posible lamang kung ang radikal na expression ay pareho.

Halimbawa 1

Maaari kang magdagdag o magbawas ng mga expression 2 3 at 6 3, ngunit hindi 56 At 9 4. Kung posible na gawing simple ang expression at bawasan ito sa mga ugat na may parehong radikal, pagkatapos ay pasimplehin at pagkatapos ay idagdag o ibawas.

Mga aksyon na may ugat: mga pangunahing kaalaman

6 50 - 2 8 + 5 12

Algoritmo ng pagkilos:

1. Pasimplehin ang radikal na pagpapahayag. Upang gawin ito, kinakailangang i-decompose ang radikal na expression sa 2 mga kadahilanan, ang isa ay isang parisukat na numero (ang numero kung saan nakuha ang buong square root, halimbawa, 25 o 9).
2. Pagkatapos ay kailangan mong kunin ang ugat ng parisukat na numero at isulat ang resultang halaga bago ang root sign. Mangyaring tandaan na ang pangalawang kadahilanan ay ipinasok sa ilalim ng tanda ng ugat.
3. Pagkatapos ng proseso ng pagpapasimple, kinakailangang bigyang-diin ang mga ugat na may parehong mga radikal na expression - maaari lamang silang idagdag at ibawas.
4. Para sa mga ugat na may parehong mga radikal na expression, kinakailangan upang idagdag o ibawas ang mga kadahilanan na lumilitaw bago ang root sign. Ang radikal na ekspresyon ay nananatiling hindi nagbabago. Hindi ka maaaring magdagdag o magbawas ng mga radikal na numero!

Tip 1

Kung mayroon kang isang halimbawa na may isang malaking bilang magkaparehong mga radikal na expression, pagkatapos ay salungguhitan ang mga naturang expression na may isa, dalawahan at triple na linya upang mapadali ang proseso ng pagkalkula.

Halimbawa 3

Subukan nating lutasin ang halimbawang ito:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Una kailangan mong i-decompose ang 50 sa 2 salik 25 at 2, pagkatapos ay kunin ang ugat ng 25, na katumbas ng 5, at kunin ang 5 mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang 5 sa 6 (ang salik sa ugat) at makakuha ng 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Una kailangan mong i-decompose ang 8 sa 2 salik: 4 at 2. Pagkatapos ay kunin ang ugat mula sa 4, na katumbas ng 2, at kunin ang 2 mula sa ilalim ng ugat. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang 2 sa 2 (ang salik sa ugat) at makakuha ng 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Una kailangan mong i-decompose ang 12 sa 2 salik: 4 at 3. Pagkatapos ay kunin ang ugat ng 4, na katumbas ng 2, at alisin ito sa ilalim ng ugat. Pagkatapos nito, kailangan mong i-multiply ang 2 sa 5 (ang salik sa ugat) at makakuha ng 10 3.

Resulta ng pagpapasimple: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Bilang resulta, nakita namin kung gaano karaming magkakahawig na mga radikal na expression ang nakapaloob sa halimbawang ito. Ngayon ay magsanay tayo sa iba pang mga halimbawa.

Halimbawa 4

• Pasimplehin natin (45). Salik 45: (45) = (9 × 5) ;
• Kumuha kami ng 3 mula sa ilalim ng ugat (9 = 3): 45 = 3 5;
• Idagdag ang mga salik sa mga ugat: 3 5 + 4 5 = 7 5.

Halimbawa 5

6 40 - 3 10 + 5:

• Pasimplehin natin ang 6 40. Salik namin ang 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Kumuha kami ng 2 mula sa ilalim ng ugat (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Pinaparami namin ang mga salik na lumilitaw sa harap ng ugat: 12 10 ;
• Isinulat namin ang expression sa isang pinasimpleng anyo: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Dahil ang unang dalawang termino ay may parehong mga radikal na numero, maaari nating ibawas ang mga ito: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Halimbawa 6

Tulad ng nakikita natin, hindi posible na pasimplehin ang mga radikal na numero, kaya naghahanap kami ng mga termino na may parehong mga radikal na numero sa halimbawa, isagawa ang mga operasyong matematika (idagdag, ibawas, atbp.) at isulat ang resulta:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

Payo:

• Bago magdagdag o magbawas, kailangang gawing simple (kung maaari) ang mga radikal na ekspresyon.
• Ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ugat na may iba't ibang mga radikal na expression ay mahigpit na ipinagbabawal.
• Hindi ka dapat magdagdag o magbawas ng buong numero o ugat: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Kapag nagsasagawa ng mga operasyon na may mga fraction, kailangan mong humanap ng numero na mahahati sa bawat denominator, pagkatapos ay bawasan ang mga fraction sa karaniwang denominador, pagkatapos ay idagdag ang mga numerator at iwanan ang mga denominador na hindi nagbabago.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa pagsubok, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Paggalang sa iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang pinakamadaling paraan upang ibawas ang isang ugat mula sa isang numero ay gamit ang isang calculator. Ngunit, kung wala kang calculator, kailangan mong malaman ang algorithm para sa pagkalkula ng square root. Ang katotohanan ay sa ilalim ng ugat mayroong isang parisukat na numero. Halimbawa, ang 4 squared ay 16. Iyon ay, ang square root ng 16 ay magiging katumbas ng apat. Gayundin, ang 5 squared ay 25. Samakatuwid, ang ugat ng 25 ay magiging 5. At iba pa.

Kung maliit ang bilang, madali itong ibawas sa salita, halimbawa, ang ugat ng 25 ay magiging katumbas ng 5, at ang ugat ng 144-12. Maaari mo ring kalkulahin sa calculator mayroong isang espesyal na icon ng ugat na kailangan mong ipasok ang numero at mag-click sa icon.

Ang isang talahanayan ng mga square root ay makakatulong din:

Mayroon ding mga pamamaraan na mas kumplikado, ngunit napaka-epektibo:

Ang ugat ng anumang numero ay maaaring ibawas gamit ang isang calculator, lalo na dahil ang mga ito ay magagamit sa bawat telepono ngayon.

Maaari mong subukang halos tantiyahin kung paano maaaring lumabas ang isang naibigay na numero sa pamamagitan ng pag-multiply ng isang numero nang mag-isa.



Ang pagkalkula ng square root ng isang numero ay hindi mahirap, lalo na kung mayroon kang isang espesyal na talahanayan. Isang kilalang talahanayan mula sa mga aralin sa algebra. Ang operasyong ito ay tinatawag na pagkuha ng square root ng isang numero, sa madaling salita paglutas ng isang equation. Halos lahat ng mga calculator sa mga smartphone ay may function para sa pagtukoy ng square root.



Ang resulta ng pagkuha ng square root ng isang kilalang numero ay isa pang numero, na, kapag itinaas sa pangalawang kapangyarihan (square), ay magbibigay ng parehong numero na alam natin. Tingnan natin ang isa sa mga paglalarawan ng pagkalkula, na tila maikli at malinaw:







Narito ang isang video sa paksa:

Mayroong ilang mga paraan upang makalkula ang square root ng isang numero.

Ang pinakasikat na paraan ay ang paggamit ng espesyal na root table (tingnan sa ibaba).

Gayundin, ang bawat calculator ay may isang function kung saan maaari mong malaman ang ugat.

O gamit ang isang espesyal na formula.



Mayroong ilang mga paraan upang kunin ang square root ng isang numero. Isa sa mga ito ang pinakamabilis, gamit ang calculator.

Ngunit kung wala kang calculator, maaari mo itong gawin nang manu-mano.

Ang resulta ay magiging tumpak.

Ang prinsipyo ay halos kapareho ng paghahati sa isang haligi:



















Subukan nating hanapin ang square root ng isang numero na walang calculator, halimbawa, 190969.







Kaya, ang lahat ay sobrang simple. Sa mga kalkulasyon, ang pangunahing bagay ay ang sumunod sa tiyak mga simpleng tuntunin at mag-isip ng lohikal.

Para sa mga ito kailangan mo ng isang talahanayan ng mga parisukat



Halimbawa, ang ugat ng 100 = 10, ng 20 = 400 ng 43 = 1849

Ngayon halos lahat ng mga calculator, kabilang ang mga nasa smartphone, ay maaaring kalkulahin ang square root ng isang numero. PERO kung wala kang calculator, mahahanap mo ang ugat ng isang numero sa ilang simpleng paraan:

Pagkabulok sa pangunahing mga kadahilanan



I-factor ang radical number sa mga factor na square number. Depende sa radikal na numero, makakakuha ka ng tinatayang o eksaktong sagot. Ang mga square number ay mga numero kung saan maaaring kunin ang buong square root. Mga kadahilanan ng isang numero na, kapag pinarami, ay nagbibigay ng orihinal na numero. Halimbawa, ang mga salik ng numerong 8 ay 2 at 4, dahil ang 2 x 4 = 8, ang mga numerong 25, 36, 49 ay mga numerong parisukat, dahil ang 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Ang mga salik na parisukat ay mga salik na ay mga parisukat na numero. Una, subukang i-factor ang radical number sa square factor.

Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 400 (sa pamamagitan ng kamay). Subukan munang i-factor ang 400 sa square factor. Ang 400 ay isang multiple ng 100, ibig sabihin, ang mahahati ng 25 ay isang parisukat na numero. Ang paghahati ng 400 sa 25 ay magbibigay sa iyo ng 16, na isa ring parisukat na numero. Kaya, ang 400 ay maaaring i-factor sa square factor ng 25 at 16, iyon ay, 25 x 16 = 400.

Isulat ito bilang: 400 = (25 x 16).



Ang square root ng produkto ng ilang termino ay katumbas ng produkto ng square roots ng bawat term, iyon ay (a x b) = a x b. Gamit ang panuntunang ito, kunin ang square root ng bawat square factor at i-multiply ang mga resulta upang mahanap ang sagot.

Sa aming halimbawa, kunin ang ugat ng 25 at 16.



Kung ang radical number ay hindi nabulok sa dalawa square factor(at nangyayari ito sa karamihan ng mga kaso), hindi mo mahahanap ang eksaktong sagot sa anyo ng isang integer. Ngunit maaari mong gawing simple ang problema sa pamamagitan ng pag-decomposing ng radikal na numero sa isang square factor at isang ordinaryong kadahilanan (isang numero kung saan ang buong square root ay hindi maaaring kunin). Pagkatapos ay kukunin mo ang square root ng square factor at kukunin ang root ng common factor.

Halimbawa, kalkulahin ang square root ng numero 147. Ang numero 147 ay hindi maaaring i-factor sa dalawang square factor, ngunit maaari itong i-factor sa mga sumusunod na salik: 49 at 3. Lutasin ang problema tulad ng sumusunod:



Ngayon ay maaari mong tantiyahin ang halaga ng ugat (makahanap ng tinatayang halaga) sa pamamagitan ng paghahambing nito sa mga halaga ng mga ugat ng mga parisukat na numero na pinakamalapit (sa magkabilang panig ng linya ng numero) sa radikal na numero. Matatanggap mo ang root value bilang decimal fraction, na dapat i-multiply sa numero sa likod ng root sign.

Bumalik tayo sa ating halimbawa. Ang radikal na numero ay 3. Ang mga parisukat na numero na pinakamalapit dito ay ang mga numerong 1 (1 = 1) at 4 (4 = 2). Kaya, ang halaga ng 3 ay matatagpuan sa pagitan ng 1 at 2. Dahil ang halaga ng 3 ay malamang na mas malapit sa 2 kaysa sa 1, ang aming pagtatantya ay: 3 = 1.7. I-multiply namin ang value na ito sa numero sa root sign: 7 x 1.7 = 11.9. Kung gagawin mo ang matematika sa isang calculator, makakakuha ka ng 12.13, na medyo malapit sa aming sagot.

Gumagana rin ang pamamaraang ito sa malalaking numero. Halimbawa, isaalang-alang ang 35. Ang radikal na numero ay 35. Ang pinakamalapit na square number dito ay ang mga numerong 25 (25 = 5) at 36 (36 = 6). Kaya, ang halaga ng 35 ay matatagpuan sa pagitan ng 5 at 6. Dahil ang halaga ng 35 ay mas malapit sa 6 kaysa sa 5 (dahil ang 35 ay 1 lamang na mas mababa sa 36), maaari nating sabihin na ang 35 ay bahagyang mas mababa sa 6. Pagsusuri sa binibigyan kami ng calculator ng sagot 5.92 - tama kami.



Ang isa pang paraan ay ang pagsasaliksik ng radikal na numero sa mga pangunahing kadahilanan. Mga pangunahing kadahilanan ng mga numero na nahahati lamang ng 1 at ng kanilang mga sarili. Isulat ang mga pangunahing salik sa isang serye at maghanap ng mga pares ng magkaparehong salik. Ang ganitong mga kadahilanan ay maaaring alisin sa root sign.

Halimbawa, kalkulahin ang square root ng 45. Isinasaalang-alang namin ang radical number sa prime factor: 45 = 9 x 5, at 9 = 3 x 3. Kaya, 45 = (3 x 3 x 5). Maaaring kunin ang 3 bilang root sign: 45 = 35. Ngayon ay maaari nating suriin ang 5.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Nakatanggap ka ng tatlong multiplier ng 2; kumuha ng ilang mga ito at ilipat ang mga ito sa kabila ng root sign.

2(2 x 11) = 22 x 11. Ngayon ay maaari mong suriin ang 2 at 11 at maghanap ng tinatayang sagot.

Ang video ng pagsasanay na ito ay maaari ding maging kapaki-pakinabang:

Upang kunin ang ugat ng isang numero, dapat kang gumamit ng calculator, o kung wala kang angkop, ipinapayo ko sa iyo na pumunta sa site na ito at lutasin ang problema gamit ang online na calculator, na magbibigay ng tamang halaga sa ilang segundo.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga ugat- isa sa mga pinakakaraniwang “stumbling blocks” para sa mga kumukuha ng mga kurso sa matematika (algebra) sa high school. Gayunpaman, ang pag-aaral na tama ang pagdaragdag at pagbabawas ng mga ito ay napakahalaga, dahil ang mga halimbawa sa kabuuan o pagkakaiba ng mga ugat ay kasama sa programa ng pangunahing Unified State Exam sa disiplina na "matematika".

Upang makabisado ang paglutas ng mga naturang halimbawa, kailangan mo ng dalawang bagay - upang maunawaan ang mga patakaran, at upang makakuha din ng pagsasanay. Ang pagkakaroon ng paglutas ng isa o dalawang dosenang tipikal na halimbawa, dadalhin ng mag-aaral ang kasanayang ito sa automatismo, at pagkatapos ay wala na siyang dapat ikatakot sa Unified State Exam. Inirerekomenda na simulan ang pag-master ng mga operasyon sa aritmetika na may karagdagan, dahil ang pagdaragdag ng mga ito ay medyo mas madali kaysa sa pagbabawas ng mga ito.

Ang pinakamadaling paraan upang ipaliwanag ito ay ang paggamit ng square root bilang isang halimbawa. Sa matematika mayroong isang mahusay na itinatag na terminong "squaring". Ang ibig sabihin ng "pag-squaring" ay pag-multiply ng isang partikular na numero nang isang beses.. Halimbawa, kung parisukat mo ang 2, makakakuha ka ng 4. Kung parisukat mo ang 7, makakakuha ka ng 49. Ang parisukat ng 9 ay 81. Kaya ang square root ng 4 ay 2, ng 49 ay 7, at ng 81 ay 9.

Bilang isang patakaran, ang pagtuturo ng paksang ito sa matematika ay nagsisimula sa mga square root. Upang agad na matukoy ito, ang mag-aaral mataas na paaralan dapat malaman ang multiplication table sa pamamagitan ng puso. Ang mga hindi nakakaalam ng talahanayang ito ay kailangang gumamit ng mga pahiwatig. Karaniwan ang proseso ng pagkuha ng root square mula sa isang numero ay ibinibigay sa anyo ng isang talahanayan sa mga pabalat ng maraming mga notebook sa matematika ng paaralan.

Ang mga ugat ay may mga sumusunod na uri:

• parisukat;
• kubiko (o tinatawag na ikatlong antas);
• ikaapat na antas;
• ikalimang antas.

Mga panuntunan sa pagdaragdag

Upang matagumpay na malutas tipikal na halimbawa, kailangang tandaan na hindi lahat ng root number maaaring isalansan sa isa't isa. Upang ang mga ito ay nakatiklop, dapat silang dalhin sa pare-parehong pattern. Kung ito ay imposible, kung gayon ang problema ay walang solusyon. Ang ganitong mga problema ay madalas ding matatagpuan sa mga aklat-aralin sa matematika bilang isang uri ng bitag para sa mga mag-aaral.

Ang pagdaragdag ay hindi pinapayagan sa mga gawain kapag ang mga radikal na expression ay naiiba sa bawat isa. Ito ay maaaring ilarawan sa isang malinaw na halimbawa:

• Ang mag-aaral ay nahaharap sa gawain: idagdag ang square root ng 4 at 9;
• isang walang karanasan na mag-aaral na hindi alam ang panuntunan ay karaniwang nagsusulat: "ugat ng 4 + ugat ng 9 = ugat ng 13."
• Napakadaling patunayan na ang solusyong ito ay hindi tama. Upang gawin ito, kailangan mong hanapin ang square root ng 13 at suriin kung ang halimbawa ay nalutas nang tama;
• gamit ang isang microcalculator maaari mong matukoy na ito ay humigit-kumulang 3.6. Ngayon ang lahat na natitira ay upang suriin ang solusyon;
• ugat ng 4=2, at ugat ng 9=3;
• Ang kabuuan ng mga numerong "dalawa" at "tatlo" ay katumbas ng lima. Kaya, ang algorithm ng solusyon na ito ay maaaring ituring na hindi tama.

Kung ang mga ugat ay may parehong antas ngunit magkaiba mga numeric na expression, ito ay inalis sa mga bracket, at inilalagay sa mga bracket kabuuan ng dalawang radikal na expression. Kaya, ito ay nakuha na mula sa halagang ito.

Pagdaragdag ng algorithm

Para makapagdesisyon ng tama pinakasimpleng gawain, kailangan:

1. Tukuyin kung ano ang eksaktong nangangailangan ng karagdagan.
2. Alamin kung posible na magdagdag ng mga halaga sa bawat isa, na ginagabayan ng umiiral na mga panuntunan sa matematika.
3. Kung ang mga ito ay hindi natitiklop, kailangan mong ibahin ang anyo ng mga ito upang sila ay matiklop.
4. Nang maisagawa ang lahat ng kinakailangang pagbabago, kailangan mong isagawa ang karagdagan at isulat ang natapos na sagot. Maaari kang magsagawa ng karagdagan sa iyong ulo o gamit ang isang microcalculator, depende sa pagiging kumplikado ng halimbawa.

Ano ang mga katulad na ugat

Upang maayos na malutas ang isang halimbawa ng karagdagan, dapat mo munang isipin kung paano mo ito mapapasimple. Upang gawin ito, kailangan mong magkaroon ng pangunahing kaalaman kung ano ang pagkakatulad.

Ang kakayahang makilala ang mga katulad ay nakakatulong upang mabilis na malutas ang mga katulad na halimbawa ng karagdagan, na nagdadala sa kanila sa isang pinasimpleng anyo. Upang gawing simple ang isang karaniwang halimbawa ng karagdagan, kailangan mong:

1. Maghanap ng mga katulad at paghiwalayin ang mga ito sa isang grupo (o ilang grupo).
2. Muling isulat ang umiiral na halimbawa sa paraang ang mga ugat na may parehong tagapagpahiwatig ay malinaw na sumusunod sa isa't isa (ito ay tinatawag na "pagpapangkat").
3. Susunod, dapat mong isulat muli ang expression, sa pagkakataong ito sa paraan na ang mga katulad (na may parehong tagapagpahiwatig at parehong radikal na pigura) ay sumunod din sa isa't isa.

Pagkatapos nito, ang pinasimpleng halimbawa ay kadalasang madaling lutasin.

Upang maayos na malutas ang anumang halimbawa ng karagdagan, kailangan mong malinaw na maunawaan ang mga pangunahing patakaran ng karagdagan, pati na rin malaman kung ano ang ugat at kung ano ito.

Minsan ang gayong mga problema ay mukhang napakahirap sa unang sulyap, ngunit kadalasan ang mga ito ay madaling malutas sa pamamagitan ng pagpapangkat ng mga katulad. Ang pinakamahalagang bagay ay ang pagsasanay, at pagkatapos ay magsisimula ang mag-aaral na "magbasag ng mga problema tulad ng mga mani." Ang pagdaragdag ng mga ugat ay isa sa pinakamahalagang bahagi ng matematika, kaya ang mga guro ay dapat gumugol ng sapat na oras sa pag-aaral nito.

Video

Tutulungan ka ng video na ito na maunawaan ang mga equation na may square roots.