Unang antas

Quadratic equation. Komprehensibong gabay (2019)

Sa katagang " quadratic equation"Ang pangunahing salita ay" parisukat. Nangangahulugan ito na ang equation ay dapat na naglalaman ng isang variable (na parehong x) squared, at hindi dapat magkaroon ng xes sa pangatlo (o mas mataas) na kapangyarihan.

Ang solusyon ng maraming equation ay bumaba sa paglutas ng mga quadratic equation.

Alamin natin na ito ay isang quadratic equation at hindi ibang equation.

Halimbawa 1.

Alisin natin ang denominator at i-multiply ang bawat termino ng equation sa

Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi at ayusin ang mga termino sa pababang pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng x

Ngayon ay maaari nating sabihin nang may kumpiyansa na ang equation na ito ay quadratic!

Halimbawa 2.

I-multiply ang kaliwa at kanang bahagi sa pamamagitan ng:

Ang equation na ito, kahit na ito ay orihinal na nasa loob nito, ay hindi quadratic!

Halimbawa 3.

I-multiply natin ang lahat sa pamamagitan ng:

Nakakatakot? Ang pang-apat at ikalawang degree... Gayunpaman, kung gagawa tayo ng kapalit, makikita natin na mayroon tayong simpleng quadratic equation:

Halimbawa 4.

Mukhang naroroon, ngunit tingnan natin nang maigi. Ilipat natin ang lahat sa kaliwang bahagi:

Tingnan, ito ay nabawasan - at ngayon ito ay isang simpleng linear equation!

Ngayon subukang tukuyin para sa iyong sarili kung alin sa mga sumusunod na equation ang quadratic at alin ang hindi:

Mga halimbawa:

Mga sagot:

1. parisukat;
2. parisukat;
3. hindi parisukat;
4. hindi parisukat;
5. hindi parisukat;
6. parisukat;
7. hindi parisukat;
8. parisukat.

Karaniwang hinahati ng mga mathematician ang lahat ng quadratic equation sa mga sumusunod na uri:

• Kumpletuhin ang mga quadratic equation- mga equation kung saan ang mga coefficient at, pati na rin ang libreng termino c, ay hindi katumbas ng zero (tulad ng sa halimbawa). Bilang karagdagan, sa mga kumpletong quadratic equation ay mayroong binigay- ito ay mga equation kung saan ang coefficient (ang equation mula sa halimbawa ng isa ay hindi lamang kumpleto, ngunit nabawasan din!)

• Hindi kumpletong quadratic equation- mga equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

  Hindi kumpleto ang mga ito dahil may nawawala silang elemento. Ngunit ang equation ay dapat palaging naglalaman ng x squared!!! Kung hindi man, hindi na ito magiging isang quadratic equation, ngunit ibang equation.

Bakit sila nagkaroon ng ganitong dibisyon? Mukhang may X squared, at okay. Ang paghahati na ito ay tinutukoy ng mga pamamaraan ng solusyon. Tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang mas detalyado.

Paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

Una, tumuon tayo sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito!

May mga uri ng hindi kumpletong quadratic equation:

1. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.
2. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.
3. , sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

1. i. Alam kasi namin kung paano mag-extract Kuwadrado na ugat, pagkatapos ay ipahayag natin mula sa equation na ito

Ang expression ay maaaring negatibo o positibo. Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nagpaparami ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging magiging positibong numero, kaya: kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon.

At kung, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang ugat. Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay ay dapat mong malaman at laging tandaan na hindi ito maaaring mas mababa.

Subukan nating lutasin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5:

Lutasin ang equation

Ngayon ang natitira na lang ay kunin ang ugat mula sa kaliwa at kanang bahagi. Pagkatapos ng lahat, naaalala mo kung paano kunin ang mga ugat?

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!!!

Halimbawa 6:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 7:

Lutasin ang equation

Oh! Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat!

Para sa mga naturang equation na walang mga ugat, ang mga mathematician ay nakabuo ng isang espesyal na icon - (empty set). At ang sagot ay maaaring isulat tulad nito:

Sagot:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat. Walang mga paghihigpit dito, dahil hindi namin kinuha ang ugat.
Halimbawa 8:

Lutasin ang equation

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

kaya,

Ang equation na ito ay may dalawang ugat.

Sagot:

Ang pinakasimpleng uri ng hindi kumpletong quadratic equation (bagama't lahat sila ay simple, tama?). Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Gagawin namin nang walang mga halimbawa dito.

Paglutas ng kumpletong quadratic equation

Ipinapaalala namin sa iyo na ang isang kumpletong quadratic equation ay isang equation ng form equation kung saan

Ang paglutas ng kumpletong quadratic equation ay medyo mas mahirap (konti lang) kaysa sa mga ito.

Tandaan, Anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Ang iba pang mga pamamaraan ay makakatulong sa iyo na gawin ito nang mas mabilis, ngunit kung mayroon kang mga problema sa mga quadratic equation, master muna ang solusyon gamit ang discriminant.

1. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang isang discriminant.

Ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang pamamaraang ito ay napakasimple;

Kung, kung gayon ang equation ay may ugat. Espesyal na atensyon humakbang. Sinasabi sa atin ng discriminant () ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, ang formula sa hakbang ay mababawasan sa. Kaya, ang equation ay magkakaroon lamang ng ugat.
• Kung, kung gayon, hindi namin ma-extract ang ugat ng discriminant sa hakbang. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bumalik tayo sa ating mga equation at tingnan ang ilang mga halimbawa.

Halimbawa 9:

Lutasin ang equation

Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakikita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may dalawang ugat.

Hakbang 3.

Sagot:

Halimbawa 10:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakikita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na ang equation ay may isang ugat.

Sagot:

Halimbawa 11:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ipinakita sa karaniwang anyo, kaya Hakbang 1 laktawan natin.

Hakbang 2.

Nakikita namin ang discriminant:

Nangangahulugan ito na hindi namin makukuha ang ugat ng discriminant. Walang mga ugat ng equation.

Ngayon alam na natin kung paano isulat nang tama ang mga ganoong sagot.

Sagot: walang ugat

2. Paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem.

Kung naaalala mo, mayroong isang uri ng equation na tinatawag na reduced (kapag ang coefficient a ay katumbas ng):

Ang ganitong mga equation ay napakadaling lutasin gamit ang Vieta's theorem:

Kabuuan ng mga ugat binigay ang quadratic equation ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay.

Halimbawa 12:

Lutasin ang equation

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay pantay, i.e. makuha namin ang unang equation:

At ang produkto ay katumbas ng:

Bumuo tayo at lutasin ang sistema:

• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Sagot: ; .

Halimbawa 13:

Lutasin ang equation

Sagot:

Halimbawa 14:

Lutasin ang equation

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Sagot:

QUADRATIC EQUATIONS. AVERAGE LEVEL

Ano ang isang quadratic equation?

Sa madaling salita, ang isang quadratic equation ay isang equation ng form, kung saan - ang hindi alam, - ilang mga numero, at.

Ang bilang ay tinatawag na pinakamataas o unang koepisyent quadratic equation, - pangalawang koepisyent, A - libreng miyembro.

Bakit? Kasi kung magiging linear agad ang equation, kasi mawawala.

Sa kasong ito, at maaaring katumbas ng zero. Sa upuan equation na ito ay tinatawag na hindi kumpleto. Kung ang lahat ng mga termino ay nasa lugar, iyon ay, ang equation ay kumpleto na.

Mga solusyon sa iba't ibang uri ng quadratic equation

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation:

Una, tingnan natin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation - mas simple ang mga ito.

Maaari nating makilala ang mga sumusunod na uri ng mga equation:

I., sa equation na ito ang coefficient at ang free term ay pantay.

II. , sa equation na ito ang coefficient ay pantay.

III. , sa equation na ito ang libreng termino ay katumbas ng.

Ngayon tingnan natin ang solusyon sa bawat isa sa mga subtype na ito.

Malinaw, ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang:

Ang isang parisukat na numero ay hindi maaaring negatibo, dahil kapag nag-multiply ka ng dalawang negatibo o dalawang positibong numero, ang resulta ay palaging isang positibong numero. kaya naman:

kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon;

kung mayroon tayong dalawang ugat

Ang mga formula na ito ay hindi kailangang isaulo. Ang pangunahing bagay na dapat tandaan ay hindi ito maaaring mas mababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Huwag kalimutan ang tungkol sa mga ugat na may negatibong tanda!

Ang parisukat ng isang numero ay hindi maaaring negatibo, na nangangahulugan na ang equation

walang ugat.

Upang maisulat sa madaling sabi na walang solusyon ang isang problema, ginagamit namin ang icon na walang laman na hanay.

Sagot:

Kaya, ang equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Sagot:

Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket:

Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Nangangahulugan ito na ang equation ay may solusyon kapag:

Kaya, ang quadratic equation na ito ay may dalawang ugat: at.

Halimbawa:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

I-factor natin ang kaliwang bahagi ng equation at hanapin ang mga ugat:

Sagot:

Mga pamamaraan para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation:

1. Diskriminasyon

Ang paglutas ng mga quadratic equation sa ganitong paraan ay madali, ang pangunahing bagay ay tandaan ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon at isang pares ng mga formula. Tandaan, anumang quadratic equation ay maaaring malutas gamit ang isang discriminant! Kahit hindi kumpleto.

Napansin mo ba ang ugat mula sa discriminant sa formula para sa mga ugat? Ngunit ang discriminant ay maaaring negatibo. Anong gagawin? Kailangan nating bigyang-pansin ang hakbang 2. Sinasabi sa atin ng discriminant ang bilang ng mga ugat ng equation.

• Kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat:
• Kung, kung gayon ang equation ay may parehong mga ugat, at sa katunayan, isang ugat:

  Ang ganitong mga ugat ay tinatawag na dobleng ugat.

• Kung, kung gayon ang ugat ng discriminant ay hindi nakuha. Ito ay nagpapahiwatig na ang equation ay walang mga ugat.

Bakit posible iba't ibang dami ugat? Bumaling tayo sa geometric na kahulugan ng quadratic equation. Ang graph ng function ay isang parabola:

Sa isang espesyal na kaso, na isang quadratic equation, . Nangangahulugan ito na ang mga ugat ng isang quadratic equation ay ang mga punto ng intersection sa abscissa axis (axis). Ang isang parabola ay maaaring hindi magsalubong sa axis, o maaaring magsalubong dito sa isa (kapag ang vertex ng parabola ay nasa axis) o dalawang punto.

Bilang karagdagan, ang koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga ng parabola. Kung, kung gayon ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas, at kung, pagkatapos ay pababa.

Mga halimbawa:

Mga solusyon:

Sagot:

Sagot: .

Sagot:

Nangangahulugan ito na walang mga solusyon.

Sagot: .

2. Vieta's theorem

Ang paggamit ng teorama ng Vieta ay napakadali: kailangan mo lamang pumili ng isang pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng libreng termino ng equation, at ang kabuuan ay katumbas ng pangalawang koepisyent, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda.

Mahalagang tandaan na ang theorem ni Vieta ay maaari lamang ilapat sa pinababang quadratic equation ().

Tingnan natin ang ilang halimbawa:

Halimbawa #1:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang Vieta's theorem dahil . Iba pang mga coefficient: ; .

Ang kabuuan ng mga ugat ng equation ay:

At ang produkto ay katumbas ng:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas at suriin kung ang kanilang kabuuan ay pantay:

• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas ng;
• At. Ang halaga ay katumbas.

at ang solusyon sa system:

Kaya, at ang mga ugat ng aming equation.

Sagot: ; .

Halimbawa #2:

Solusyon:

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at pagkatapos ay suriin kung pantay ang kanilang kabuuan:

at: nagbibigay sila sa kabuuan.

at: nagbibigay sila sa kabuuan. Upang makuha, ito ay sapat na upang baguhin lamang ang mga palatandaan ng dapat na mga ugat: at, pagkatapos ng lahat, ang produkto.

Sagot:

Halimbawa #3:

Solusyon:

Ang libreng termino ng equation ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay isang negatibong numero. Ito ay posible lamang kung ang isa sa mga ugat ay negatibo at ang isa ay positibo. Samakatuwid ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pagkakaiba ng kanilang mga module.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na nagbibigay sa produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng:

at: ang kanilang pagkakaiba ay pantay - hindi magkasya;

at: - hindi angkop;

at: - hindi angkop;

at: - angkop. Ang natitira na lang ay tandaan na ang isa sa mga ugat ay negatibo. Dahil ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, ang ugat na may mas maliit na modulus ay dapat na negatibo: . Sinusuri namin:

Sagot:

Halimbawa #4:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang libreng termino ay negatibo, at samakatuwid ang produkto ng mga ugat ay negatibo. At ito ay posible lamang kapag ang isang ugat ng equation ay negatibo at ang isa ay positibo.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas, at pagkatapos ay tukuyin kung aling mga ugat ang dapat magkaroon ng negatibong tanda:

Malinaw, ang mga ugat lamang at angkop para sa unang kondisyon:

Sagot:

Halimbawa #5:

Lutasin ang equation.

Solusyon:

Ang equation ay ibinigay, na nangangahulugang:

Ang kabuuan ng mga ugat ay negatibo, na nangangahulugan na kahit isa sa mga ugat ay negatibo. Pero dahil positive ang produkto nila, ibig sabihin may minus sign ang parehong ugat.

Pumili tayo ng mga pares ng mga numero na ang produkto ay katumbas ng:

Malinaw, ang mga ugat ay ang mga numero at.

Sagot:

Sumang-ayon, napaka-maginhawang bumuo ng mga ugat nang pasalita, sa halip na bilangin ang masamang diskriminasyong ito. Subukang gamitin ang theorem ni Vieta nang madalas hangga't maaari.

Ngunit kailangan ang teorama ni Vieta upang mapadali at mapabilis ang paghahanap ng mga ugat. Upang makinabang ka sa paggamit nito, dapat mong dalhin ang mga aksyon sa pagiging awtomatiko. At para dito, lutasin ang limang higit pang mga halimbawa. Ngunit huwag mandaya: hindi ka maaaring gumamit ng isang discriminant! Tanging ang teorama ni Vieta:

Mga solusyon sa mga gawain para sa malayang gawain:

Gawain 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Ayon sa teorama ni Vieta:

Gaya ng dati, sinisimulan namin ang pagpili sa piraso:

Hindi angkop dahil ang dami;

: ang dami mo lang kailangan.

Sagot: ; .

Gawain 2.

At muli ang aming paboritong Vieta theorem: ang kabuuan ay dapat na pantay, at ang produkto ay dapat na pantay.

Ngunit dahil ito ay dapat na hindi, ngunit, binago natin ang mga palatandaan ng mga ugat: at (sa kabuuan).

Sagot: ; .

Gawain 3.

Hmm... Nasaan na kaya yun?

Kailangan mong ilipat ang lahat ng mga termino sa isang bahagi:

Ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng produkto.

Okay, stop! Ang equation ay hindi ibinigay. Ngunit ang teorama ni Vieta ay naaangkop lamang sa mga ibinigay na equation. Kaya kailangan mo munang magbigay ng isang equation. Kung hindi ka makapamuno, talikuran ang ideyang ito at lutasin sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng discriminant). Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang pagbibigay ng quadratic equation ay nangangahulugan na gawing pantay ang nangungunang coefficient:

Malaki. Pagkatapos ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng at ang produkto.

Narito ito ay kasingdali ng paghihimay ng peras upang pumili: pagkatapos ng lahat, ito ay isang pangunahing numero (paumanhin para sa tautolohiya).

Sagot: ; .

Gawain 4.

Ang libreng miyembro ay negatibo. Ano ang espesyal dito? At ang katotohanan ay ang mga ugat ay magkakaroon ng iba't ibang mga palatandaan. At ngayon, sa panahon ng pagpili, hindi namin sinusuri ang kabuuan ng mga ugat, ngunit ang pagkakaiba sa kanilang mga module: ang pagkakaiba na ito ay pantay, ngunit isang produkto.

Kaya, ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. Sinasabi sa atin ng teorama ni Vieta na ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng pangalawang koepisyent na may kabaligtaran na tanda, iyon ay. Nangangahulugan ito na ang mas maliit na ugat ay magkakaroon ng minus: at, dahil.

Sagot: ; .

Gawain 5.

Ano ang dapat mong gawin muna? Tama iyon, ibigay ang equation:

Muli: pinipili namin ang mga kadahilanan ng numero, at ang kanilang pagkakaiba ay dapat na katumbas ng:

Ang mga ugat ay katumbas ng at, ngunit ang isa sa kanila ay minus. alin? Ang kanilang kabuuan ay dapat na pantay, na nangangahulugan na ang minus ay magkakaroon ng mas malaking ugat.

Sagot: ; .

Hayaan akong buod:

1. Ang theorem ni Vieta ay ginagamit lamang sa mga quadratic equation na ibinigay.
2. Gamit ang teorama ni Vieta, mahahanap mo ang mga ugat sa pamamagitan ng pagpili, pasalita.
3. Kung ang equation ay hindi ibinigay o walang angkop na pares ng mga salik ng libreng termino ay natagpuan, kung gayon walang mga buong ugat, at kailangan mong lutasin ito sa ibang paraan (halimbawa, sa pamamagitan ng isang diskriminasyon).

3. Paraan para sa pagpili ng kumpletong parisukat

Kung ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam ay kinakatawan sa anyo ng mga termino mula sa pinaikling mga formula ng multiplikasyon - ang parisukat ng kabuuan o pagkakaiba - pagkatapos ay pagkatapos palitan ang mga variable, ang equation ay maaaring iharap sa anyo ng isang hindi kumpletong quadratic equation ng uri.

Halimbawa:

Halimbawa 1:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

Halimbawa 2:

Lutasin ang equation: .

Solusyon:

Sagot:

SA pangkalahatang pananaw ang pagbabago ay magiging ganito:

Ito ay nagpapahiwatig: .

Hindi nagpapaalala sa iyo ng kahit ano? Ito ay isang bagay na may diskriminasyon! Iyan ay eksakto kung paano namin nakuha ang discriminant formula.

MGA PAQUADRATIC EQUATIONS. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Quadratic equation- ito ay isang equation ng anyo, kung saan - ang hindi alam, - ang mga coefficient ng quadratic equation, - ang libreng termino.

Kumpletuhin ang quadratic equation- isang equation kung saan ang mga coefficient ay hindi katumbas ng zero.

Pinababang quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient, iyon ay: .

Hindi kumpletong quadratic equation- isang equation kung saan ang coefficient at o ang libreng termino c ay katumbas ng zero:

• kung ang koepisyent, ang equation ay mukhang: ,
• kung mayroong isang libreng termino, ang equation ay may anyo: ,
• kung at, ang equation ay mukhang: .

1. Algorithm para sa paglutas ng mga hindi kumpletong quadratic equation

1.1. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Ipahayag natin ang hindi alam: ,

2) Suriin ang tanda ng expression:

• kung, kung gayon ang equation ay walang mga solusyon,
• kung, kung gayon ang equation ay may dalawang ugat.

1.2. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan, :

1) Alisin natin ang karaniwang salik sa mga bracket: ,

2) Ang produkto ay katumbas ng zero kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Samakatuwid, ang equation ay may dalawang ugat:

1.3. Isang hindi kumpletong quadratic equation ng form, kung saan:

Ang equation na ito ay palaging may isang ugat lamang: .

2. Algorithm para sa paglutas ng kumpletong quadratic equation ng form kung saan

2.1. Solusyon gamit ang discriminant

1) Dalhin natin ang equation sa karaniwang anyo: ,

2) Kalkulahin natin ang discriminant gamit ang formula: , na nagpapahiwatig ng bilang ng mga ugat ng equation:

3) Hanapin ang mga ugat ng equation:

• kung, kung gayon ang equation ay may mga ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay may ugat, na matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
• kung, kung gayon ang equation ay walang mga ugat.

2.2. Solusyon gamit ang teorama ni Vieta

Ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation (equation ng form kung saan) ay pantay, at ang produkto ng mga ugat ay pantay, i.e. , A.

2.3. Solusyon sa pamamagitan ng paraan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat

2.5 Ang formula ng Vieta para sa mga polynomial (equation) mas mataas na antas

Ang mga formula na hinango ni Viète para sa mga quadratic equation ay totoo din para sa mga polynomial na mas mataas ang degree.

Hayaan ang polynomial

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

May n magkakaibang ugat x 1, x 2..., x n.

Sa kasong ito, mayroon itong factorization ng form:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Hatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng 0 ≠ 0 at buksan ang mga bracket sa unang bahagi. Nakukuha namin ang pagkakapantay-pantay:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Ngunit ang dalawang polynomial ay magkapareho kung at kung ang mga coefficient ng parehong kapangyarihan ay pantay. Ito ay sumusunod na ang pagkakapantay-pantay

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Halimbawa, para sa mga polynomial ng ikatlong antas

isang 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

May mga pagkakakilanlan tayo

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Tulad ng para sa mga quadratic equation, ang formula na ito ay tinatawag na mga formula ng Vieta. Ang kaliwang bahagi ng mga formula na ito ay simetriko polynomial mula sa mga ugat x 1, x 2 ..., x n ng equation na ito, at ang kanang bahagi ay ipinahayag sa pamamagitan ng coefficient ng polynomial.

2.6 Mga equation na mababawasan sa quadratic (biquadratic)

Ang mga equation ng ikaapat na degree ay binabawasan sa mga quadratic equation:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

tinatawag na biquadratic, at isang ≠ 0.

Sapat na ilagay ang x 2 = y sa equation na ito, samakatuwid,

ay² + ni + c = 0

hanapin natin ang mga ugat ng resultang quadratic equation

y 1,2 =

Upang mahanap agad ang mga ugat x 1, x 2, x 3, x 4, palitan ang y ng x at kunin

x² =

x 1,2,3,4 = .

Kung ang isang fourth degree equation ay may x 1, kung gayon mayroon din itong root x 2 = -x 1,

Kung may x 3, kung gayon x 4 = - x 3. Ang kabuuan ng mga ugat ng naturang equation ay zero.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Ipalit natin ang equation sa formula para sa mga ugat ng biquadratic equation:

x 1,2,3,4 = ,

alam na x 1 = -x 2, at x 3 = -x 4, kung gayon:

x 3.4 =

Sagot: x 1.2 = ±2; x 1.2 =

2.7 Pag-aaral ng biquadratic equation

Kunin natin ang biquadratic equation

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kung saan ang a, b, c ay mga tunay na numero, at a > 0. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng auxiliary unknown y = x², sinusuri namin ang mga ugat ng equation na ito at ipinasok ang mga resulta sa talahanayan (tingnan ang Appendix No. 1)

2.8 Cardano formula

Kung gagamit tayo ng modernong simbolismo, ang derivation ng Cardano formula ay maaaring magmukhang ganito:

x =

Tinutukoy ng formula na ito ang mga ugat pangkalahatang equation ikatlong antas:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Ang pormula na ito ay napakahirap at kumplikado (naglalaman ito ng ilang mga kumplikadong radikal). Hindi ito palaging nalalapat, dahil... napakahirap punan.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Ilista o piliin ang mga pinakakawili-wiling lugar mula sa 2-3 teksto. Kaya, sinuri namin ang mga pangkalahatang probisyon para sa paglikha at pagsasagawa ng mga elective na kurso, na isasaalang-alang kapag bumubuo ng isang elective na kurso sa algebra para sa grade 9 "Quadratic equation and inequalities na may parameter." Kabanata II. Pamamaraan para sa pagsasagawa ng elective course na “Quadratic equation and inequalities with a parameter” 1.1. Karaniwang...

Mga solusyon mula sa mga pamamaraan ng pagkalkula ng numero. Upang matukoy ang mga ugat ng isang equation, hindi kinakailangan ang kaalaman sa mga teorya ng Abel, Galois, Lie, atbp. at ang paggamit ng mga espesyal na terminolohiya sa matematika: mga ring, field, ideals, isomorphism, atbp. Upang malutas ang isang algebraic equation ng nth degree, kailangan mo lamang ng kakayahang malutas ang mga quadratic equation at mag-extract ng mga ugat mula sa isang kumplikadong numero. Ang mga ugat ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng...

Sa mga yunit ng pagsukat ng mga pisikal na dami sa sistema ng MathCAD? 11. Ilarawan nang detalyado ang teksto, graphic at mathematical block. Lektura Blg. 2. Mga problema sa linear algebra at paglutas ng mga differential equation sa kapaligiran ng MathCAD Sa mga problema sa linear algebra, halos palaging kailangan na magsagawa ng iba't ibang mga operasyon na may mga matrice. Ang panel ng operator na may mga matrice ay matatagpuan sa panel ng Math. ...

Pagbubuo at patunay ng teorem ni Vieta para sa mga equation na parisukat. Ang converse theorem ni Vieta. Vieta's theorem para sa cubic equation at equation ng arbitrary order.

Quadratic equation

Ang teorama ni Vieta

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng pinababang quadratic equation
(1) .
Kung gayon ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng koepisyent ng , na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda. Ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino:
;
.

Isang tala tungkol sa maraming ugat

Kung ang discriminant ng equation (1) ay zero, ang equation na ito ay may isang ugat. Ngunit, upang maiwasan ang masalimuot na mga pormulasyon, karaniwang tinatanggap na sa kasong ito, ang equation (1) ay may dalawang maramihang, o pantay, na mga ugat:
.

Isang patunay

Hanapin natin ang mga ugat ng equation (1). Upang gawin ito, ilapat ang formula para sa mga ugat ng isang quadratic equation:
;
;
.

Hanapin ang kabuuan ng mga ugat:
.

Upang mahanap ang produkto, ilapat ang formula:
.
Pagkatapos

.

Ang teorama ay napatunayan.

Dalawang patunay

Kung ang mga numero ay ang mga ugat ng quadratic equation (1), kung gayon
.
Pagbubukas ng mga panaklong.

.
Kaya, ang equation (1) ay kukuha ng anyo:
.
Kung ihahambing sa (1) makikita natin:
;
.

Ang teorama ay napatunayan.

Ang converse theorem ni Vieta

Hayaang magkaroon ng mga arbitrary na numero. Pagkatapos at ang mga ugat ng quadratic equation
,
saan
(2) ;
(3) .

Patunay ng converse theorem ni Vieta

Isaalang-alang ang quadratic equation
(1) .
Kailangan nating patunayan na kung at , pagkatapos at ang mga ugat ng equation (1).

Palitan natin ang (2) at (3) sa (1):
.
Ipangkat namin ang mga termino sa kaliwang bahagi ng equation:
;
;
(4) .

Palitan natin sa (4):
;
.

Palitan natin sa (4):
;
.
Hawak ang equation. Ibig sabihin, ang numero ay ang ugat ng equation (1).

Ang teorama ay napatunayan.

Vieta's theorem para sa isang kumpletong quadratic equation

Ngayon isaalang-alang ang kumpletong quadratic equation
(5) ,
kung saan , at ilang mga numero. At saka.

Hatiin natin ang equation (5) sa pamamagitan ng:
.
Iyon ay, nakuha namin ang ibinigay na equation
,
saan ; .

Pagkatapos ang teorama ng Vieta para sa isang kumpletong quadratic equation ay may sumusunod na anyo.

Hayaan at tukuyin ang mga ugat ng kumpletong quadratic equation
.
Pagkatapos ang kabuuan at produkto ng mga ugat ay tinutukoy ng mga formula:
;
.

Vieta's theorem para sa cubic equation

Sa katulad na paraan, maaari tayong magtatag ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat ng isang cubic equation. Isaalang-alang ang cubic equation
(6) ,
kung saan ang , , , ay ilang numero. At saka.
Hatiin natin ang equation na ito sa pamamagitan ng:
(7) ,
Saan , , .
Hayaang , , ang mga ugat ng equation (7) (at equation (6)). Pagkatapos

.

Ang paghahambing sa equation (7) ay makikita natin:
;
;
.

Vieta's theorem para sa isang equation ng nth degree

Sa parehong paraan, makakahanap ka ng mga koneksyon sa pagitan ng mga ugat , , ... , , para sa isang equation ng nth degree
.

Ang theorem ng Vieta para sa isang equation ng ika-10 degree ay may sumusunod na anyo:
;
;
;

.

Upang makuha ang mga formula na ito, isinusulat namin ang equation tulad ng sumusunod:
.
Pagkatapos ay tinutumbasan natin ang mga koepisyent para sa , , , ... , at ihambing ang libreng termino.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon, Moscow, Edukasyon, 2006.

Sa matematika, may mga espesyal na pamamaraan kung saan maraming mga parisukat na equation ang malulutas nang napakabilis at walang anumang diskriminasyon. Bukod dito, sa wastong pagsasanay, marami ang nagsisimulang lutasin ang mga quadratic equation nang pasalita, literal na "sa unang tingin."

Sa kasamaang palad, sa modernong kurso ng matematika ng paaralan, ang mga naturang teknolohiya ay halos hindi pinag-aralan. Ngunit kailangan mong malaman! At ngayon ay titingnan natin ang isa sa mga pamamaraan na ito - ang teorama ni Vieta. Una, ipakilala natin ang isang bagong kahulugan.

Ang isang quadratic equation ng form x 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na reduced. Pakitandaan na ang coefficient para sa x 2 ay 1. Walang ibang mga paghihigpit sa mga coefficient.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 ay isang pinababang quadratic equation;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - nabawasan din;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ngunit hindi ito ibinigay sa lahat, dahil ang coefficient ng x 2 ay katumbas ng 2.

Siyempre, ang anumang quadratic equation ng form na ax 2 + bx + c = 0 ay maaaring bawasan - hatiin lamang ang lahat ng mga coefficient sa bilang na a. Magagawa natin ito palagi, dahil ang kahulugan ng isang quadratic equation ay nagpapahiwatig na ang isang ≠ 0.

Totoo, ang mga pagbabagong ito ay hindi palaging magiging kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga ugat. Sa ibaba ay titiyakin namin na ito ay dapat gawin lamang kapag sa huling equation na ibinigay ng parisukat ang lahat ng mga coefficient ay integer. Sa ngayon, tingnan natin ang pinakasimpleng mga halimbawa:

Gawain. I-convert ang quadratic equation sa pinababang equation:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Hatiin natin ang bawat equation sa coefficient ng variable x 2. Nakukuha namin:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - hinati ang lahat sa 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - hinati sa −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - hinati sa 1.5, naging integer ang lahat ng coefficient;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - hinati sa 2. Sa kasong ito, lumitaw ang mga fractional coefficient.

Tulad ng nakikita mo, ang mga quadratic equation sa itaas ay maaaring magkaroon ng mga integer coefficient kahit na ang orihinal na equation ay naglalaman ng mga fraction.

Ngayon ay bumalangkas tayo ng pangunahing teorama, kung saan, sa katunayan, ang konsepto ng isang pinababang quadratic equation ay ipinakilala:

Ang teorama ni Vieta. Isaalang-alang ang pinababang quadratic equation ng form na x 2 + bx + c = 0. Ipagpalagay na ang equation na ito ay may tunay na mga ugat x 1 at x 2. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

1. x 1 + x 2 = −b. Sa madaling salita, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng koepisyent ng variable x, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda;
2. x 1 x 2 = c. Ang produkto ng mga ugat ng isang quadratic equation ay katumbas ng free coefficient.

Mga halimbawa. Para sa pagiging simple, isasaalang-alang lamang namin ang mga quadratic equation sa itaas na hindi nangangailangan ng mga karagdagang pagbabago:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; mga ugat: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; mga ugat: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; mga ugat: x 1 = −1; x 2 = −4.

Ang theorem ng Vieta ay nagbibigay sa amin ng karagdagang impormasyon tungkol sa mga ugat ng isang quadratic equation. Sa unang sulyap, ito ay maaaring mukhang mahirap, ngunit kahit na may kaunting pagsasanay ay matututunan mong "makita" ang mga ugat at literal na hulaan ang mga ito sa loob ng ilang segundo.

Gawain. Lutasin ang quadratic equation:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Subukan nating isulat ang mga coefficient gamit ang theorem ni Vieta at "hulaan" ang mga ugat:

1. Ang x 2 − 9x + 14 = 0 ay isang pinababang quadratic equation.
   Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta mayroon tayong: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Madaling makita na ang mga ugat ay ang mga numero 2 at 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - nabawasan din.
   Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Kaya ang mga ugat: 3 at 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - hindi binabawasan ang equation na ito. Ngunit itatama natin ito ngayon sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa coefficient a = 3. Nakukuha natin ang: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Lutasin natin gamit ang teorama ng Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ugat: −10 at −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - muli ang koepisyent para sa x 2 ay hindi katumbas ng 1, i.e. hindi ibinigay ang equation. Hinahati namin ang lahat sa bilang na a = −7. Nakukuha namin ang: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Mula sa mga equation na ito ay madaling hulaan ang mga ugat: 5 at 6.

Mula sa pangangatwiran sa itaas ay malinaw kung paano pinapasimple ng theorem ni Vieta ang solusyon ng mga quadratic equation. Walang kumplikadong mga kalkulasyon, walang arithmetic roots at fractions. At hindi rin namin kailangan ng discriminant (tingnan ang aralin na "Paglutas ng mga quadratic equation").

Siyempre, sa lahat ng aming mga pagmumuni-muni ay nagpatuloy kami mula sa dalawang mahahalagang pagpapalagay, na, sa pangkalahatan, ay hindi palaging natutugunan sa mga tunay na problema:

1. Ang quadratic equation ay nabawasan, i.e. ang koepisyent para sa x 2 ay 1;
2. Ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Mula sa algebraic point of view, sa kasong ito ang discriminant ay D > 0 - sa katunayan, una naming ipinapalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo.

Gayunpaman, sa karaniwang mga problema sa matematika ang mga kundisyong ito ay natutugunan. Kung ang pagkalkula ay nagreresulta sa isang "masamang" quadratic equation (ang koepisyent ng x 2 ay iba sa 1), madali itong maitama - tingnan ang mga halimbawa sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pangkalahatan ay tahimik ako tungkol sa mga ugat: anong uri ng problema ito na walang sagot? Siyempre magkakaroon ng mga ugat.

kaya, pangkalahatang pamamaraan ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang teorem ni Vieta ay ganito ang hitsura:

1. Bawasan ang quadratic equation sa ibinigay na isa, kung hindi pa ito nagagawa sa pahayag ng problema;
2. Kung fractional ang mga coefficient sa quadratic equation sa itaas, nilulutas namin gamit ang discriminant. Maaari ka ring bumalik sa orihinal na equation upang gumana sa mas maraming "madaling gamitin" na numero;
3. Sa kaso ng mga integer coefficient, nilulutas namin ang equation gamit ang teorem ng Vieta;
4. Kung hindi mo mahulaan ang mga ugat sa loob ng ilang segundo, kalimutan ang tungkol sa teorama ni Vieta at lutasin gamit ang discriminant.

Gawain. Lutasin ang equation: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang equation na hindi nabawasan, dahil coefficient a = 5. Hatiin ang lahat sa 5, makuha natin ang: x 2 − 7x + 10 = 0.

Ang lahat ng mga coefficient ng isang quadratic equation ay integer - subukan nating lutasin ito gamit ang teorem ni Vieta. Mayroon kaming: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 = 10.V sa kasong ito ang mga ugat ay madaling hulaan - sila ay 2 at 5. Hindi na kailangang magbilang gamit ang discriminant.

Gawain. Lutasin ang equation: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0.

Tingnan natin: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - ang equation na ito ay hindi nababawasan, hatiin natin ang magkabilang panig ng coefficient a = −5. Nakukuha namin ang: x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - isang equation na may fractional coefficients.

Mas mainam na bumalik sa orihinal na equation at magbilang sa pamamagitan ng discriminant: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4.

Gawain. Lutasin ang equation: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Una, hatiin natin ang lahat sa pamamagitan ng coefficient a = 2. Nakukuha natin ang equation x 2 + 5x − 300 = 0.

Ito ang pinababang equation, ayon sa teorem ni Vieta mayroon tayo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Mahirap hulaan ang mga ugat ng quadratic equation sa kasong ito - sa personal, seryoso akong natigil kapag nilutas ang problemang ito.

Kakailanganin mong maghanap ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Kung hindi mo matandaan ang ugat ng discriminant, papansinin ko lang na 1225: 25 = 49. Samakatuwid, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Ngayong alam na ang ugat ng discriminant, hindi mahirap lutasin ang equation. Nakukuha namin ang: x 1 = 15; x 2 = −20.

Vieta's theorem (mas tiyak, ang theorem inverse sa Vieta's theorem) ay nagpapahintulot sa iyo na bawasan ang oras para sa paglutas ng mga quadratic equation. Kailangan mo lang malaman kung paano gamitin ito. Paano matututong lutasin ang mga quadratic equation gamit ang teorem ni Vieta? Hindi naman mahirap kung iisipin mo ng kaunti.

Ngayon ay pag-uusapan lamang natin ang paglutas ng pinababang quadratic equation gamit ang Vieta's theorem Ang isang pinababang quadratic equation ay isang equation kung saan ang a, iyon ay, ang coefficient ng x², ay katumbas ng isa. Posible rin na lutasin ang mga quadratic equation na hindi ibinigay gamit ang Vieta's theorem, ngunit hindi bababa sa isa sa mga ugat ay hindi isang integer. Mas mahirap silang hulaan.

Ang inverse theorem sa Vieta's theorem ay nagsasaad: kung ang mga numerong x1 at x2 ay ganoon

pagkatapos ang x1 at x2 ay ang mga ugat ng quadratic equation

Kapag nag-solve ng quadratic equation gamit ang Vieta's theorem, 4 na opsyon lang ang posible. Kung naaalala mo ang linya ng pangangatwiran, matututunan mong mahanap ang buong ugat nang napakabilis.

I. Kung ang q ay isang positibong numero,

nangangahulugan ito na ang mga ugat na x1 at x2 ay mga numero ng parehong tanda (dahil ang pagpaparami lamang ng mga numero na may parehong mga palatandaan ay gumagawa ng isang positibong numero).

I.a. Kung ang -p ay isang positibong numero, (ayon sa pagkakabanggit, p<0), то оба корня x1 и x2 — mga positibong numero(dahil nagdagdag kami ng mga numero ng parehong sign at nakakuha ng positibong numero).

I.b. Kung ang -p ay isang negatibong numero, (ayon sa pagkakabanggit, p>0), pagkatapos ang parehong mga ugat ay negatibong mga numero (nagdagdag kami ng mga numero ng parehong sign at nakakuha ng negatibong numero).

II. Kung ang q ay isang negatibong numero,

nangangahulugan ito na ang mga ugat na x1 at x2 ay may iba't ibang mga palatandaan (kapag nagpaparami ng mga numero, ang isang negatibong numero ay nakuha lamang kapag ang mga palatandaan ng mga kadahilanan ay naiiba). Sa kasong ito, ang x1+x2 ay hindi na isang kabuuan, ngunit isang pagkakaiba (pagkatapos ng lahat, kapag nagdaragdag ng mga numero sa iba't ibang palatandaan ibawas natin ang mas maliit sa mas malaki). Samakatuwid, ipinapakita ng x1+x2 kung magkano ang pagkakaiba ng mga ugat na x1 at x2, iyon ay, kung gaano kalaki ang isang ugat kaysa sa isa (sa ganap na halaga).

II.a. Kung ang -p ay isang positibong numero, (iyon ay, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Kung ang -p ay isang negatibong numero, (p>0), kung gayon ang mas malaking (modulo) na ugat ay negatibong numero.

Isaalang-alang natin ang paglutas ng mga quadratic equation gamit ang Vieta's theorem gamit ang mga halimbawa.

Lutasin ang ibinigay na quadratic equation gamit ang Vieta's theorem:

Dito q=12>0, kaya ang mga ugat na x1 at x2 ay mga numero ng parehong tanda. Ang kanilang kabuuan ay -p=7>0, kaya ang parehong mga ugat ay positibong numero. Pinipili namin ang mga integer na ang produkto ay katumbas ng 12. Ito ay 1 at 12, 2 at 6, 3 at 4. Ang kabuuan ay 7 para sa pares 3 at 4. Nangangahulugan ito na ang 3 at 4 ay ang mga ugat ng equation.

SA sa halimbawang ito q=16>0, na nangangahulugan na ang mga ugat na x1 at x2 ay mga numero ng parehong tanda. Ang kanilang kabuuan ay -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Dito q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, kung gayon ang mas malaking bilang ay positibo. Kaya ang mga ugat ay 5 at -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.