Sa artikulong ito ay malalaman natin kung ano ito antas ng. Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng kapangyarihan ng isang numero, habang isasaalang-alang namin nang detalyado ang lahat ng posibleng exponent, simula sa natural na exponent at nagtatapos sa hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree, na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Power na may natural na exponent, square ng isang numero, cube ng isang numero

Magsimula tayo sa . Sa hinaharap, sabihin natin na ang kahulugan ng kapangyarihan ng isang numero a na may natural na exponent n ay ibinigay para sa a, na tatawagin natin batayan ng degree, at n, na tatawagin natin exponent. Tandaan din namin na ang isang degree na may natural na exponent ay tinutukoy sa pamamagitan ng isang produkto, kaya para maunawaan ang materyal sa ibaba kailangan mong magkaroon ng pang-unawa sa pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyong a n, ang halaga nito ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a, iyon ay, .
Sa partikular, ang kapangyarihan ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 =a.

Ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit kaagad tungkol sa mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Ang unibersal na paraan upang basahin ang notasyon a n ay: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, ang mga sumusunod na opsyon ay katanggap-tanggap din: "a to the nth power" at "nth power of a". Halimbawa, kunin natin ang kapangyarihan 8 12, ito ay "walo sa kapangyarihan ng labindalawa", o "walo hanggang sa ikalabindalawang kapangyarihan", o "ikalabindalawang kapangyarihan ng walo".

Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero, pati na rin ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag parisukat ang numero, halimbawa, ang 7 2 ay binabasa bilang “pitong parisukat” o “ang parisukat ng bilang na pito.” Ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag mga cubed na numero, halimbawa, ang 5 3 ay maaaring basahin bilang "limang kubo" o maaari mong sabihing "kubo ng numero 5".

Oras na para magdala mga halimbawa ng mga degree na may natural na exponent. Magsimula tayo sa degree na 5 7, dito 5 ang base ng degree, at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at ang natural na numero 9 ay ang exponent (4.32) 9 .

Pakitandaan na sa huling halimbawa, ang base ng power 4.32 ay nakasulat sa panaklong: upang maiwasan ang mga pagkakaiba, ilalagay namin sa panaklong ang lahat ng mga base ng kapangyarihan na iba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na exponent , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Buweno, para sa kumpletong kalinawan, sa puntong ito ay ipapakita namin ang pagkakaiba na nilalaman sa mga talaan ng form (−2) 3 at −2 3. Ang expression (−2) 3 ay isang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent na 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang −(2 3) ) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa kapangyarihan ng isang numerong a na may exponent n ng anyong a^n. Bukod dito, kung ang n ay isang multi-valued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga bracket. Halimbawa, ang 4^9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9 . At narito ang ilan pang halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolo na “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin namin ang notasyon ng degree ng form a n .

Ang isa sa mga problema na kabaligtaran sa pagtaas sa isang kapangyarihan na may natural na exponent ay ang problema sa paghahanap ng base ng isang kapangyarihan mula sa isang kilalang halaga ng kapangyarihan at isang kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa .

Alam na marami mga rational na numero binubuo ng buo at fractional na mga numero, bawat isa isang fractional number maaaring ilarawan bilang positibo o negatibo karaniwang fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may makatwirang tagapagpahiwatig, kailangan mong bigyan ng kahulugan ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m/n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang natin ang isang degree na may fractional exponent ng form . Para manatiling wasto ang power-to-power na ari-arian, dapat manatili ang pagkakapantay-pantay . Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay at kung paano natin natukoy ang , lohikal na tanggapin ito, sa kondisyon na ibinigay ang m, n at a, ang expression ay may katuturan.

Madaling suriin na para sa lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto (ginawa ito sa mga katangian ng seksyon ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung bibigyan ng m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng a na may fractional exponent m/n ay tinatawag na nth root ng a sa kapangyarihan ng m.

Ang pahayag na ito ay naglalapit sa atin sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ang natitira na lang ay ilarawan kung ano ang kahulugan ng m, n at a ng expression. Depende sa mga paghihigpit na inilagay sa m, n at a, mayroong dalawang pangunahing diskarte.

Ang pinakamadaling paraan ay ang magpataw ng hadlang sa isang sa pamamagitan ng pagkuha ng a≥0 para sa positibong m at a>0 para sa negatibong m (dahil para sa m≤0 ang degree 0 ng m ay hindi tinukoy). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng isang degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng isang positibong numero a na may fractional exponent m/n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero, ay tinatawag na nth root ng numero a sa kapangyarihan m, iyon ay, .

Ang fractional power ng zero ay tinutukoy din gamit ang tanging caveat na ang indicator ay dapat na positibo.

Kahulugan.

Power ng zero na may fractional positive exponent m/n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
Kapag hindi natukoy ang antas, iyon ay, ang antas ng numerong zero na may isang fraction negatibong tagapagpahiwatig walang saysay.

Dapat tandaan na sa ganitong kahulugan ng isang degree na may fractional exponent, mayroong isang caveat: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kundisyon a≥0. Halimbawa, may katuturan ang mga entry o , at pinipilit tayo ng kahulugang ibinigay sa itaas na sabihin na ang mga kapangyarihan na may fractional exponent ng form huwag magkaroon ng kahulugan, dahil ang base ay hindi dapat negatibo.

Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m/n ay ang hiwalay na isaalang-alang ang even at odd exponents ng root. Nangangailangan ang diskarteng ito ng karagdagang kundisyon: ang kapangyarihan ng numero a, ang exponent nito ay , ay itinuturing na kapangyarihan ng numero a, ang exponent nito ay ang katumbas na hindi mababawasang bahagi (ipapaliwanag namin ang kahalagahan ng kundisyong ito sa ibaba ). Iyon ay, kung ang m/n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k ang degree ay unang pinalitan ng .

Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang di-negatibong a (ang pantay na ugat ng negatibong numero ay walang kahulugan); ng zero). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na hindi zero (upang walang paghahati sa pamamagitan ng zero).

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa kahulugang ito ng isang degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaang ang m/n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang reducible fraction, ang degree ay pinapalitan ng . Ang kapangyarihan ng isang numero na may hindi mababawasan na fractional exponent m/n ay para sa



Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may isang reducible fractional exponent ay unang pinalitan ng isang degree na may isang hindi mababawasan exponent. Kung tinukoy lang natin ang degree bilang , at hindi gumawa ng reserbasyon tungkol sa irreducibility ng fraction m/n, haharapin natin ang mga sitwasyong katulad ng sumusunod: dahil 6/10 = 3/5, kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay dapat hawakan , Ngunit , A .

BAHAGI II. KABANATA 6
MGA PAGSUNOD NG MGA BILANG

Ang konsepto ng isang degree na may hindi makatwirang exponent

Hayaan ang isang positibong numero at isang hindi makatwiran na numero.
Anong kahulugan ang dapat ibigay sa ekspresyong a*?
Upang maging mas malinaw ang presentasyon, isasagawa namin ito nang pribado
halimbawa. Ibig sabihin, ilagay natin ang a - 2 at a = 1, 624121121112. . . .
Dito, at - walang katapusang decimal, pinagsama-sama ayon dito
batas: simula sa ikaapat na decimal place, para sa larawan a
Mga numero 1 at 2 lamang ang ginagamit, at ang bilang ng mga numero ay 1,
nakasulat sa isang hilera bago ang numero 2, sa lahat ng oras na tumataas ng
isa. Ang fraction a ay hindi pana-panahon, dahil kung hindi, ang bilang ng mga digit ay 1,
na naitala sa isang hilera sa kanyang larawan ay magiging limitado.
Samakatuwid, ang a ay isang hindi makatwirang numero.
Kaya, anong kahulugan ang dapat ibigay sa pagpapahayag
21,v2Ш1Ш1Ш11Ш11Ш. . . R
Para masagot ang tanong na ito, gumawa tayo ng sequence ng mga value
at may kakulangan at labis na may katumpakan na (0.1)*. Nakukuha namin
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
Gumawa tayo ng kaukulang mga pagkakasunud-sunod ng mga kapangyarihan ng numero 2:
2M. 2M*; 21*624; 21’62*1; ..., (3)
21D. 21"63; 2*»62Wu 21.6Sh; . (4)
Ang sequence (3) ay tumataas habang tumataas ang sequence
(1) (Teorama 2 § 6).
Ang sequence (4) ay bumababa dahil ang sequence ay bumababa
(2).
Ang bawat termino ng sequence (3) ay mas mababa sa bawat termino ng sequence
(4), at sa gayon ang sequence (3) ay limitado
mula sa itaas, at ang sequence (4) ay nasa ibaba.
Batay sa monotone bounded sequence theorem
bawat isa sa mga sequence (3) at (4) ay may limitasyon. Kung

384 Konsepto ng digri c hindi makatwiran na tagapagpahiwatig. .

ngayon ay lumalabas na ang pagkakaiba sa pagitan ng mga sequence (4) at (3) ay nagtatagpo
sa zero, pagkatapos ay susundan na ang parehong mga pagkakasunud-sunod na ito,
may karaniwang limitasyon.
Pagkakaiba ng mga unang termino ng mga sequence (3) at (4)
21-7 - 21’* = 2|, sa (20*1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
Pagkakaiba ng pangalawang termino
21’63 - 21.62 = 21.62 (2°’01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
Pagkakaiba ng n-th terms
0,0000. ..0 1
2>.««…(2" - 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
Batay sa Theorem 3 § 6
lim 10″ / 2 = 1.
Kaya, ang mga sequence (3) at (4) ay may karaniwang limitasyon. Ito
limitasyon ay ang tanging tunay na bilang na mas malaki
lahat ng miyembro ng sequence (3) at mas mababa sa lahat ng miyembro ng sequence
(4), ipinapayong isaalang-alang ito ang eksaktong halaga ng 2*.
Mula sa kung ano ang sinabi ito ay sumusunod na ito ay karaniwang ipinapayong tanggapin
sumusunod na kahulugan:
Kahulugan. Kung a^> 1, kung gayon ang kapangyarihan ng a ay may hindi makatwiran
Ang exponent a ay isang tunay na numero
na mas malaki kaysa sa lahat ng kapangyarihan ng bilang na ito na ang mga exponent ay
rational approximations a na may disadvantage, at mas mababa sa lahat ng degree
ang numerong ito, ang mga exponent nito ay mga makatwirang pagtatantya at may
sobra.
Kung ang<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
ay ang tunay na bilang na mas malaki kaysa sa lahat ng kapangyarihan
ang numerong ito, ang mga exponent nito ay mga makatwirang pagtatantya at
na may labis, at mas mababa sa lahat ng kapangyarihan ng numerong ito, ang mga tagapagpahiwatig kung saan
- rational approximations a na may disadvantage.
.Kung a- 1, kung gayon ang antas nito sa hindi makatwirang exponent a
ay 1.
Gamit ang konsepto ng limitasyon, mabubuo ang kahulugang ito
Kaya:
Kapangyarihan ng isang positibong numero na may hindi makatwirang exponent
at ang limitasyon kung saan ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag
makatwirang kapangyarihan ng bilang na ito, sa kondisyon na ang pagkakasunod-sunod
ang mga exponents ng mga degree na ito ay may posibilidad na a, i.e.
аа = lim аЧ
b — *
13 D, K. Fatsheev, I. S. Sominsky

Isang degree na may rational exponent, ang mga katangian nito.

Pagpapahayag a n tinukoy para sa lahat ng a at n, maliban sa kaso ng a=0 para sa n≤0. Alalahanin natin ang mga katangian ng gayong mga kapangyarihan.

Para sa anumang mga numero a, b at anumang integers m at n ang mga pagkakapantay-pantay ay wasto:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = isang mn ; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Tandaan din ang sumusunod na ari-arian:

Kung m>n, pagkatapos ay a m >a n para sa a>1 at a m<а n при 0<а<1.

Sa seksyong ito ay gagawin nating pangkalahatan ang konsepto ng mga kapangyarihan ng isang numero, na nagbibigay ng kahulugan sa mga expression ng uri 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 atbp. Natural na magbigay ng kahulugan sa paraang ang mga kapangyarihan na may mga rational exponent ay may parehong mga katangian (o kahit man lang bahagi ng mga ito) bilang mga kapangyarihan na may integer exponent. Pagkatapos, sa partikular, ang ika-n na kapangyarihan ng numerodapat katumbas ng a m . Sa katunayan, kung ang ari-arian

(a p) q =a pq

ay pinaandar, pagkatapos

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan (sa pamamagitan ng kahulugan ng nth root) na ang numerodapat ay ang ika-na-ugat ng a m.

Kahulugan.

Ang kapangyarihan ng isang numerong a>0 na may rational exponent r=, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero (n > 1), ay ang numero

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan

(1)

Ang kapangyarihan ng 0 ay tinukoy lamang para sa mga positibong exponent; sa pamamagitan ng kahulugan 0 r = 0 para sa anumang r>0.

Degree na may hindi makatwirang exponent.

Hindi makatwiran na numeromaaaring katawanin sa anyolimitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero: .

Hayaan mong . Pagkatapos ay may mga kapangyarihan na may makatwirang exponent. Mapapatunayan na ang pagkakasunod-sunod ng mga kapangyarihang ito ay nagtatagpo. Ang limitasyon ng sequence na ito ay tinatawag degree na may base at hindi makatwirang exponent: .

Mag-plot tayo ng ilang puntos sa graph ng function na y = 2 x na dati nang nakalkula ang halaga 2 gamit ang isang calculator x sa bahagi [—2; 3] na may isang hakbang na 1/4 (Larawan 1, a), at pagkatapos ay may isang hakbang na 1/8 (Larawan 1, b). atbp. nakikita natin na ang mga resultang punto ay maaaring konektado sa pamamagitan ng isang makinis na kurba, na natural na maituturing na graph ng ilang function, tinukoy at tumataas kasama ang buong linya ng numero at pagkuha ng mga halagasa mga makatwirang punto(Larawan 1, c). Ang pagkakaroon ng sapat na binuo malaking numero function graph point, maaari mong tiyakin na ang function na ito ay may mga katulad na katangian (ang pagkakaiba ay ang function bumababa sa R).

Iminumungkahi ng mga obserbasyong ito na ang mga numero 2 ay maaaring tukuyin sa ganitong paraanα at para sa bawat hindi makatwiran α, na ang mga function na ibinigay ng mga formula y=2 x at ay magiging tuluy-tuloy, at ang function na y=2 x tumataas, at ang pag-andarbumababa sa buong linya ng numero.

Ilarawan natin sa pangkalahatang mga termino kung paano tinutukoy ang bilang a α para sa hindi makatwiran α para sa a>1. Gusto naming tiyakin na ang function na y = a x ay tumataas. Pagkatapos para sa anumang makatwirang r 1 at r 2 na ang r 1<αdapat matugunan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a r 1<а α <а r 1 .

Pagpili ng mga halaga ng r 1 at r2 papalapit sa x, mapapansin ng isa na ang mga katumbas na halaga ng a r 1 at a r 2 mag-iiba ng kaunti. Mapapatunayan na mayroong, at isa lamang, bilang y, na mas malaki kaysa sa lahat a r 1 para sa lahat ng makatwiran r 1 at hindi bababa sa isang r 2 para sa lahat ng makatwiran r 2 . Ang bilang na ito y ayon sa kahulugan ay a α .

Halimbawa, ang paggamit ng calculator upang kalkulahin ang halaga 2 x sa mga puntong x n at x` n, kung saan x n at x` n - decimal na pagtatantya ng mga numeromalalaman natin na ang mas malapit na x n at x`n k , mas kaunti ang pagkakaiba ng 2 x n at 2 x` n .

Simula noon

at, samakatuwid,

Katulad nito, isinasaalang-alang ang mga sumusunod na pagtatantya ng decimalayon sa kakulangan at labis, dumarating tayo sa mga relasyon

;

;

;

;

.

Ibig sabihin kinakalkula sa calculator ay:

.

Ang bilang a ay tinutukoy nang katulad α para sa 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 para sa alinmang α at 0α =0 para sa α>0.

Exponential function.

Sa a > 0, a = 1, tinukoy ang function y = a x, iba sa pare-pareho. Ang function na ito ay tinatawag exponential function may basea.

y= a x sa a> 1:

Mga graph ng exponential function na may base 0< a < 1 и a> 1 ay ipinapakita sa figure.

Mga pangunahing katangian ng exponential function y= a x sa 0< a < 1:

• Ang domain ng kahulugan ng function ay ang buong linya ng numero.
• Saklaw ng pag-andar - pagitan (0; + ) .
• Ang pag-andar ay mahigpit na tumataas nang monotonically sa buong linya ng numero, iyon ay, kung x 1 < x 2, pagkatapos isang x 1 >isang x 2 .
• Sa x= 0 ang halaga ng function ay 1.
• Kung x> 0, pagkatapos ay 0< a < 1 at kung x < 0, то isang x > 1.
SA Pangkalahatang pag-aari exponential function bilang sa 0< a < 1, так и при a > 1 kasama ang:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, para sa lahat x 1 At x 2.
• a − x= ( a x) − 1 = 1 ax para kahit kanino x.
• na x= a

Isang degree na may rational exponent, ang mga katangian nito.

Pagpapahayag a n tinukoy para sa lahat ng a at n, maliban sa kaso ng a=0 para sa n≤0. Alalahanin natin ang mga katangian ng gayong mga kapangyarihan.

Para sa anumang mga numero a, b at anumang integers m at n ang mga pagkakapantay-pantay ay wasto:

A m *a n =a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = isang mn ; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

Tandaan din ang sumusunod na ari-arian:

Kung m>n, pagkatapos ay a m >a n para sa a>1 at a m<а n при 0<а<1.

Sa seksyong ito ay gagawin nating pangkalahatan ang konsepto ng mga kapangyarihan ng isang numero, na nagbibigay ng kahulugan sa mga expression ng uri 2 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 atbp. Natural na magbigay ng kahulugan sa paraang ang mga kapangyarihan na may mga rational exponent ay may parehong mga katangian (o kahit man lang bahagi ng mga ito) bilang mga kapangyarihan na may integer exponent. Pagkatapos, sa partikular, ang ika-n na kapangyarihan ng numerodapat katumbas ng a m . Sa katunayan, kung ang ari-arian

(a p) q =a pq

ay pinaandar, pagkatapos

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nangangahulugan (sa pamamagitan ng kahulugan ng nth root) na ang numerodapat ay ang ika-na-ugat ng a m.

Kahulugan.

Ang kapangyarihan ng isang numerong a>0 na may rational exponent r=, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero (n > 1), ay ang numero

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan

(1)

Ang kapangyarihan ng 0 ay tinukoy lamang para sa mga positibong exponent; sa pamamagitan ng kahulugan 0 r = 0 para sa anumang r>0.

Degree na may hindi makatwirang exponent.

Hindi makatwiran na numeromaaaring katawanin sa anyolimitasyon ng pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero: .

Hayaan mong . Pagkatapos ay may mga kapangyarihan na may makatwirang exponent. Mapapatunayan na ang pagkakasunod-sunod ng mga kapangyarihang ito ay nagtatagpo. Ang limitasyon ng sequence na ito ay tinatawag degree na may base at hindi makatwirang exponent: .

Mag-plot tayo ng ilang puntos sa graph ng function na y = 2 x na dati nang nakalkula ang halaga 2 gamit ang isang calculator x sa bahagi [—2; 3] na may isang hakbang na 1/4 (Larawan 1, a), at pagkatapos ay may isang hakbang na 1/8 (Larawan 1, b). atbp. nakikita natin na ang mga resultang punto ay maaaring konektado sa pamamagitan ng isang makinis na kurba, na natural na maituturing na graph ng ilang function, tinukoy at tumataas kasama ang buong linya ng numero at pagkuha ng mga halagasa mga makatwirang punto(Larawan 1, c). Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang sapat na malaking bilang ng mga puntos sa graph ng function, maaari mong tiyakin na ang function na ito ay may mga katulad na katangian (ang pagkakaiba ay ang function bumababa sa R).

Iminumungkahi ng mga obserbasyong ito na ang mga numero 2 ay maaaring tukuyin sa ganitong paraanα at para sa bawat hindi makatwiran α, na ang mga function na ibinigay ng mga formula y=2 x at ay magiging tuluy-tuloy, at ang function na y=2 x tumataas, at ang pag-andarbumababa sa buong linya ng numero.

Ilarawan natin sa pangkalahatang mga termino kung paano tinutukoy ang bilang a α para sa hindi makatwiran α para sa a>1. Gusto naming tiyakin na ang function na y = a x ay tumataas. Pagkatapos para sa anumang makatwirang r 1 at r 2 na ang r 1<αdapat matugunan ang mga hindi pagkakapantay-pantay a r 1<а α <а r 1 .

Pagpili ng mga halaga ng r 1 at r2 papalapit sa x, mapapansin ng isa na ang mga katumbas na halaga ng a r 1 at a r 2 mag-iiba ng kaunti. Mapapatunayan na mayroong, at isa lamang, bilang y, na mas malaki kaysa sa lahat a r 1 para sa lahat ng makatwiran r 1 at hindi bababa sa isang r 2 para sa lahat ng makatwiran r 2 . Ang bilang na ito y ayon sa kahulugan ay a α .

Halimbawa, ang paggamit ng calculator upang kalkulahin ang halaga 2 x sa mga puntong x n at x` n, kung saan x n at x` n - decimal na pagtatantya ng mga numeromalalaman natin na ang mas malapit na x n at x`n k , mas kaunti ang pagkakaiba ng 2 x n at 2 x` n .

Simula noon

at, samakatuwid,

Katulad nito, isinasaalang-alang ang mga sumusunod na pagtatantya ng decimalayon sa kakulangan at labis, dumarating tayo sa mga relasyon

;

;

;

;

.

Ibig sabihin kinakalkula sa calculator ay:

.

Ang bilang a ay tinutukoy nang katulad α para sa 0<α<1. Кроме того полагают 1 α =1 para sa alinmang α at 0α =0 para sa α>0.

Exponential function.

Sa a > 0, a = 1, tinukoy ang function y = a x, iba sa pare-pareho. Ang function na ito ay tinatawag exponential function may basea.

y= a x sa a> 1:

Mga graph ng exponential function na may base 0< a < 1 и a> 1 ay ipinapakita sa figure.

Mga pangunahing katangian ng exponential function y= a x sa 0< a < 1:

• Ang domain ng kahulugan ng function ay ang buong linya ng numero.
• Saklaw ng pag-andar - pagitan (0; + ) .
• Ang pag-andar ay mahigpit na tumataas nang monotonically sa buong linya ng numero, iyon ay, kung x 1 < x 2, pagkatapos isang x 1 >isang x 2 .
• Sa x= 0 ang halaga ng function ay 1.
• Kung x> 0, pagkatapos ay 0< a < 1 at kung x < 0, то isang x > 1.
Sa mga pangkalahatang katangian ng exponential function bilang sa 0< a < 1, так и при a > 1 kasama ang:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, para sa lahat x 1 At x 2.
• a − x= ( a x) − 1 = 1 ax para kahit kanino x.
• na x= a

Information boom Sa biology - mga kolonya ng microbes sa isang Petri dish Mga kuneho sa Australia Mga chain reaction - sa chemistry Sa physics - radioactive decay, pagbabago presyon ng atmospera na may pagbabago sa altitude, paglamig ng katawan Sa physics - radioactive decay, pagbabago sa atmospheric pressure na may pagbabago sa altitude, paglamig ng katawan. Ang paglabas ng adrenaline sa dugo at ang pagkasira nito Inaangkin din nila na ang dami ng impormasyon ay doble bawat 10 taon.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

Pagpapahayag 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1.7 1.73; 1.732;1.73205; 1, ;… tumataas ang pagkakasunod-sunod 2 1 ; 2 1.7; 2 1.73 ;2 1.732 ; 2 1.73205 ; 2 1, ;… tumataas ang pagkakasunod-sunod Bounded, na nangangahulugang ito ay nagtatagpo sa isang limitasyon - ang halaga 2 3

Maaaring tukuyin ng isa ang π 0

10 10 18 Properties ng function y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title="Properties of the function y = a x n \ n a >10 21

Ang dami ng impormasyon ay dumodoble bawat 10 taon Sa kahabaan ng axis ng Ox - ayon sa batas ng pag-unlad ng arithmetic: 1,2,3,4…. Sa kahabaan ng Oy axis - ayon sa batas geometric na pag-unlad: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... Graph ng exponential function, ito ay tinatawag na exponent (mula sa Latin na exponere - para magpakitang gilas)