Ang impormasyon sa artikulong ito ay nagbibigay ng pangkalahatang pag-unawa sa mga integer. Una, ang isang kahulugan ng integer ay ibinigay at mga halimbawa ay ibinigay. Susunod, isinasaalang-alang namin ang mga integer sa linya ng numero, mula kung saan nagiging malinaw kung aling mga numero ang tinatawag na positive integer at alin ang tinatawag na mga negatibong integer. Pagkatapos nito, ipinapakita kung paano inilalarawan ang mga pagbabago sa dami gamit ang mga integer, at isinasaalang-alang ang mga integer mga negatibong numero sa kahulugan ng utang.

Pag-navigate sa pahina.

Mga Integer - Kahulugan at Mga Halimbawa

Kahulugan.

Mga integer– ito ay mga natural na numero, ang numerong zero, pati na rin ang mga numerong kabaligtaran ng mga natural.

Ang kahulugan ng mga integer ay nagsasaad na alinman sa mga numero 1, 2, 3, …, ang numero 0, gayundin ang alinman sa mga numerong −1, −2, −3, … ay isang integer. Ngayon ay madali na nating dalhin mga halimbawa ng integer. Halimbawa, ang numerong 38 ay isang integer, ang numerong 70,040 ay isang integer din, ang zero ay isang integer (tandaan na ang zero ay HINDI natural na numero, ang zero ay isang integer), ang mga numerong −999, −1, −8,934,832 ay din mga halimbawa ng mga integer na numero.

Ito ay maginhawa upang kumatawan sa lahat ng mga integer bilang isang pagkakasunud-sunod ng mga integer, na may sumusunod na anyo: 0, ±1, ±2, ±3, ... Ang isang pagkakasunud-sunod ng mga integer ay maaaring isulat tulad nito: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Mula sa kahulugan ng mga integer, sumusunod na ang hanay ng mga natural na numero ay isang subset ng hanay ng mga integer. Samakatuwid, ang bawat natural na numero ay isang integer, ngunit hindi lahat ng integer ay isang natural na numero.

Mga integer sa isang linya ng coordinate

Kahulugan.

Mga positibong integer ay mga integer na mas malaki sa zero.

Kahulugan.

Mga negatibong integer ay mga integer na mas mababa sa zero.

Ang mga positibo at negatibong integer ay maaari ding matukoy sa pamamagitan ng kanilang posisyon sa linya ng coordinate. Sa isang pahalang na linya ng coordinate, ang mga punto na ang mga coordinate ay positive integer ay nasa kanan ng pinanggalingan. Sa turn, ang mga puntos na may negatibong integer na mga coordinate ay matatagpuan sa kaliwa ng point O.

Malinaw na ang set ng lahat ng positive integer ay ang set ng natural na mga numero. Sa turn, ang hanay ng lahat ng mga negatibong integer ay ang hanay ng lahat ng mga numero na kabaligtaran ng mga natural na numero.

Hiwalay, ituon namin ang iyong pansin sa katotohanan na maaari naming ligtas na matatawag ang anumang natural na numero bilang isang integer, ngunit hindi namin matatawag ang anumang integer bilang isang natural na numero. Maaari lamang nating tawagan ang anumang positibong integer bilang isang natural na numero, dahil ang mga negatibong integer at zero ay hindi natural na mga numero.

Non-positive at non-negative integers

Magbigay tayo ng mga kahulugan ng mga hindi positibong integer at hindi negatibong integer.

Kahulugan.

Ang lahat ng mga positibong integer, kasama ang numerong zero, ay tinatawag mga di-negatibong integer.

Kahulugan.

Mga hindi positibong integer– lahat ito ay mga negatibong integer kasama ang numero 0.

Sa madaling salita, ang non-negative integer ay isang integer na mas malaki sa zero o katumbas ng zero, at ang non-positive integer ay isang integer na mas mababa sa zero o katumbas ng zero.

Ang mga halimbawa ng mga hindi positibong integer ay ang mga numerong −511, −10,030, 0, −2, at bilang mga halimbawa ng mga hindi negatibong integer ay ibinibigay namin ang mga numerong 45, 506, 0, 900,321.

Kadalasan, ang mga terminong "non-positive integers" at "non-negative integers" ay ginagamit para sa maikli. Halimbawa, sa halip na ang pariralang "ang numero a ay isang integer, at ang a ay mas malaki kaysa sa zero o katumbas ng zero," maaari mong sabihin ang "a ay isang hindi negatibong integer."

Naglalarawan ng mga pagbabago sa mga dami gamit ang mga integer

Oras na para pag-usapan kung bakit kailangan ang mga integer sa una.

Ang pangunahing layunin ng mga integer ay na sa kanilang tulong ito ay maginhawa upang ilarawan ang mga pagbabago sa dami ng anumang mga bagay. Unawain natin ito gamit ang mga halimbawa.

Hayaang mayroong isang tiyak na bilang ng mga bahagi sa bodega. Kung, halimbawa, 400 pang bahagi ang dadalhin sa bodega, tataas ang bilang ng mga bahagi sa bodega, at ang bilang na 400 ay nagpapahayag ng pagbabagong ito sa dami sa positibong panig(tumataas). Kung, halimbawa, ang 100 na bahagi ay kinuha mula sa bodega, kung gayon ang bilang ng mga bahagi sa bodega ay bababa, at ang bilang na 100 ay magpapahayag ng pagbabago sa dami sa negatibong direksyon (pababa). Ang mga bahagi ay hindi dadalhin sa bodega, at ang mga bahagi ay hindi kukunin mula sa bodega, pagkatapos ay maaari nating pag-usapan ang patuloy na dami ng mga bahagi (iyon ay, maaari nating pag-usapan ang tungkol sa zero na pagbabago sa dami).

Sa mga halimbawang ibinigay, ang pagbabago sa bilang ng mga bahagi ay maaaring ilarawan gamit ang mga integer na 400, −100 at 0, ayon sa pagkakabanggit. Ang isang positibong integer 400 ay nagpapahiwatig ng pagbabago sa dami sa isang positibong direksyon (pagtaas). Ang isang negatibong integer −100 ay nagpapahayag ng pagbabago sa dami sa isang negatibong direksyon (pagbaba). Ang integer 0 ay nagpapahiwatig na ang dami ay nananatiling hindi nagbabago.

Ang kaginhawahan ng paggamit ng mga integer kumpara sa paggamit ng mga natural na numero ay hindi mo kailangang tahasang ipahiwatig kung ang dami ay tumataas o bumababa - binibilang ng integer ang pagbabago, at ang tanda ng integer ay nagpapahiwatig ng direksyon ng pagbabago.

Ang mga integer ay maaari ding magpahayag ng hindi lamang pagbabago sa dami, kundi pati na rin sa pagbabago sa ilang dami. Unawain natin ito gamit ang halimbawa ng mga pagbabago sa temperatura.

Ang pagtaas ng temperatura ng, sabihin nating, 4 degrees ay ipinahayag bilang isang positibong integer 4. Ang pagbaba sa temperatura, halimbawa, ng 12 degrees ay maaaring ilarawan ng isang negatibong integer −12. At ang invariance ng temperatura ay ang pagbabago nito, na tinutukoy ng integer 0.

Hiwalay, kinakailangang sabihin ang tungkol sa interpretasyon ng mga negatibong integer bilang halaga ng utang. Halimbawa, kung mayroon tayong 3 mansanas, ang positive integer 3 ay kumakatawan sa bilang ng mga mansanas na pagmamay-ari natin. Sa kabilang banda, kung kailangan nating magbigay ng 5 mansanas sa isang tao, ngunit wala kaming mga ito sa stock, maaaring ilarawan ang sitwasyong ito gamit ang isang negatibong integer −5. Sa kasong ito, "pagmamay-ari" namin ang −5 na mansanas, ang minus sign ay nagpapahiwatig ng utang, at ang numero 5 ay binibilang ang utang.

Ang pag-unawa sa isang negatibong integer bilang isang utang ay nagbibigay-daan, halimbawa, upang bigyang-katwiran ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga negatibong integer. Magbigay tayo ng halimbawa. Kung ang isang tao ay may utang ng 2 mansanas sa isang tao at 1 mansanas sa isa pa, ang kabuuang utang ay 2+1=3 mansanas, kaya −2+(−1)=−3.

Mga sanggunian.

• Vilenkin N.Ya. at iba pa. Ika-6 na baitang: aklat-aralin para sa mga institusyong pangkalahatang edukasyon.

Sabihin nating tumakbo si Achilles ng sampung beses na mas mabilis kaysa sa pagong at isang libong hakbang sa likod nito. Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo sa distansyang ito, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Kapag si Achilles ay tumakbo ng isang daang hakbang, ang pagong ay gumagapang ng isa pang sampung hakbang, at iba pa. Ang proseso ay magpapatuloy sa ad infinitum, hindi na maaabutan ni Achilles ang pagong.

Ang pangangatwiran na ito ay naging isang lohikal na pagkabigla para sa lahat ng kasunod na henerasyon. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Itinuring nilang lahat ang aporia ni Zeno sa isang paraan o iba pa. Napakalakas ng shock kaya" ... nagpapatuloy ang mga talakayan hanggang sa araw na ito; ; wala sa kanila ang naging pangkalahatang tinatanggap na solusyon sa problema..."[Wikipedia, "Aporia of Zeno"]. Naiintindihan ng lahat na niloloko sila, ngunit walang nakakaintindi kung ano ang binubuo ng panlilinlang.

Mula sa isang mathematical point of view, si Zeno sa kanyang aporia ay malinaw na nagpakita ng paglipat mula sa dami sa . Ang paglipat na ito ay nagpapahiwatig ng aplikasyon sa halip na mga permanenteng. Sa pagkakaintindi ko, ang mathematical apparatus para sa paggamit ng mga variable na unit ng pagsukat ay hindi pa nabubuo, o hindi pa ito nailapat sa aporia ni Zeno. Ang paglalapat ng ating karaniwang lohika ay humahantong sa atin sa isang bitag. Kami, dahil sa pagkawalang-kilos ng pag-iisip, ay naglalapat ng pare-parehong mga yunit ng oras sa katumbas na halaga. Mula sa pisikal na pananaw, mukhang bumagal ang oras hanggang sa tuluyang huminto sa sandaling maabutan ni Achilles ang pagong. Kung titigil ang oras, hindi na kayang malampasan ni Achilles ang pagong.

Kung iikot natin ang ating karaniwang lohika, ang lahat ay nahuhulog sa lugar. Tumatakbo si Achilles sa patuloy na bilis. Ang bawat kasunod na bahagi ng kanyang landas ay sampung beses na mas maikli kaysa sa nauna. Alinsunod dito, ang oras na ginugol sa pagtagumpayan ito ay sampung beses na mas mababa kaysa sa nauna. Kung ilalapat natin ang konsepto ng "infinity" sa sitwasyong ito, tama na sabihing "Mabilis na maaabutan ni Achilles ang pagong."

Paano maiiwasan ang lohikal na bitag na ito? Manatili sa pare-parehong mga yunit ng oras at huwag lumipat sa reciprocal na mga yunit. Sa wika ni Zeno, ganito ang hitsura:

Sa oras na kailangan ni Achilles upang tumakbo ng isang libong hakbang, ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang sa parehong direksyon. Sa susunod na agwat ng oras na katumbas ng una, tatakbo si Achilles ng isa pang libong hakbang, at ang pagong ay gagapang ng isang daang hakbang. Ngayon si Achilles ay walong daang hakbang sa unahan ng pagong.

Ang diskarte na ito ay sapat na naglalarawan sa katotohanan nang walang anumang mga lohikal na kabalintunaan. Ngunit hindi ito kumpletong solusyon sa problema. Ang pahayag ni Einstein tungkol sa hindi mapaglabanan ng bilis ng liwanag ay halos kapareho sa aporia ni Zeno na "Achilles and the Tortoise". Kailangan pa nating pag-aralan, pag-isipang muli at lutasin ang problemang ito. At ang solusyon ay dapat hanapin hindi sa walang katapusang malalaking numero, ngunit sa mga yunit ng pagsukat.

Ang isa pang kawili-wiling aporia ng Zeno ay nagsasabi tungkol sa isang lumilipad na palaso:

Ang lumilipad na palaso ay hindi gumagalaw, dahil sa bawat sandali ng oras ito ay nagpapahinga, at dahil ito ay nakapahinga sa bawat sandali ng oras, ito ay palaging nasa pahinga.

Sa aporia na ito, ang lohikal na kabalintunaan ay napagtagumpayan nang napakasimple - sapat na upang linawin na sa bawat sandali ng oras ang isang lumilipad na arrow ay nagpapahinga sa iba't ibang mga punto sa kalawakan, na, sa katunayan, ay paggalaw. Ang isa pang punto ay kailangang tandaan dito. Mula sa isang larawan ng isang kotse sa kalsada imposibleng matukoy ang alinman sa katotohanan ng paggalaw nito o ang distansya dito. Upang matukoy kung ang isang kotse ay gumagalaw, kailangan mo ng dalawang larawan na kinunan mula sa parehong punto sa magkaibang mga punto ng oras, ngunit hindi mo matukoy ang distansya mula sa kanila. Upang matukoy ang distansya sa isang kotse, kailangan mo ng dalawang litrato na kinuha mula sa iba't ibang mga punto sa espasyo sa isang punto sa oras, ngunit mula sa kanila hindi mo matukoy ang katotohanan ng paggalaw (siyempre, kailangan mo pa rin ng karagdagang data para sa mga kalkulasyon, makakatulong sa iyo ang trigonometrya. ). Ang gusto kong ipahiwatig espesyal na atensyon, ay ang dalawang punto sa oras at dalawang punto sa kalawakan ay magkaibang mga bagay na hindi dapat malito, dahil nagbibigay sila ng magkakaibang pagkakataon para sa pananaliksik.

Miyerkules, Hulyo 4, 2018

Ang mga pagkakaiba sa pagitan ng set at multiset ay inilarawan nang mahusay sa Wikipedia. Tingnan natin.

Tulad ng makikita mo, "hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaparehong elemento sa isang set," ngunit kung mayroong magkaparehong elemento sa isang set, ang naturang set ay tinatawag na "multiset." Hindi kailanman mauunawaan ng mga makatwirang nilalang ang gayong walang katotohanan na lohika. Ito ang antas ng pagsasalita ng mga parrot at sinanay na unggoy, na walang katalinuhan mula sa salitang "ganap". Ang mga mathematician ay kumikilos bilang mga ordinaryong tagapagsanay, na ipinangangaral sa amin ang kanilang mga walang katotohanan na ideya.

Noong unang panahon, ang mga inhinyero na gumawa ng tulay ay nasa isang bangka sa ilalim ng tulay habang sinusuri ang tulay. Kung ang tulay ay gumuho, ang pangkaraniwang inhinyero ay namatay sa ilalim ng mga durog na bato ng kanyang nilikha. Kung ang tulay ay makatiis sa karga, ang mahuhusay na inhinyero ay gumawa ng iba pang mga tulay.

Gaano man magtago ang mga mathematician sa likod ng pariralang "isipin mo ako, nasa bahay ako," o sa halip, "pag-aaral ng matematika ng mga abstract na konsepto," mayroong isang pusod na hindi mapaghihiwalay na nag-uugnay sa kanila sa katotohanan. Ang pusod na ito ay pera. Ilapat natin ang mathematical set theory sa mga mathematician mismo.

Nag-aral kami ng mabuti sa matematika at ngayon ay nakaupo kami sa cash register, nagbibigay ng suweldo. Kaya isang mathematician ang pumunta sa amin para sa kanyang pera. Binibilang namin ang buong halaga sa kanya at inilalatag ito sa aming mesa sa iba't ibang mga tambak, kung saan naglalagay kami ng mga bill ng parehong denominasyon. Pagkatapos ay kukuha kami ng isang kuwenta mula sa bawat tumpok at ibibigay sa mathematician ang kanyang "mathematical set of salary." Ipaliwanag natin sa mathematician na matatanggap lamang niya ang natitirang mga bayarin kapag napatunayan niya na ang isang set na walang magkatulad na elemento ay hindi katumbas ng isang set na may magkaparehong elemento. Dito nagsisimula ang saya.

Una sa lahat, gagana ang lohika ng mga kinatawan: "Maaari itong mailapat sa iba, ngunit hindi sa akin!" Pagkatapos ay magsisimula silang tiyakin sa amin na ang mga bill ng parehong denominasyon ay may iba't ibang mga numero ng bill, na nangangahulugang hindi sila maituturing na parehong mga elemento. Okay, bilangin natin ang mga suweldo sa mga barya - walang mga numero sa mga barya. Dito magsisimulang maalala ng mathematician ang pisika: sa iba't ibang mga barya mayroong iba't ibang dami natatangi ang dumi, kristal na istraktura at atomic arrangement ng bawat barya...

At ngayon ako ang may pinakamarami kawili-wiling tanong: nasaan ang linyang lampas kung saan ang mga elemento ng isang multiset ay nagiging mga elemento ng isang set at vice versa? Ang ganitong linya ay hindi umiiral - ang lahat ay napagpasyahan ng mga shaman, ang agham ay hindi malapit sa pagsisinungaling dito.

Tumingin dito. Pumili kami ng mga football stadium na may parehong lugar ng field. Ang mga lugar ng mga field ay pareho - ibig sabihin mayroon kaming multiset. Ngunit kung titingnan natin ang mga pangalan ng parehong mga istadyum, makakakuha tayo ng marami, dahil magkaiba ang mga pangalan. Gaya ng nakikita mo, ang parehong hanay ng mga elemento ay parehong set at multiset. Alin ang tama? At dito ang mathematician-shaman-sharpist ay naglabas ng isang ace of trumps mula sa kanyang manggas at nagsimulang sabihin sa amin ang tungkol sa isang set o isang multiset. Sa anumang kaso, kukumbinsihin niya tayo na tama siya.

Upang maunawaan kung paano gumagana ang mga modernong shaman gamit ang teorya ng set, tinali ito sa katotohanan, sapat na upang sagutin ang isang tanong: paano naiiba ang mga elemento ng isang set mula sa mga elemento ng isa pang set? Ipapakita ko sa iyo, nang walang anumang "maiisip bilang hindi isang solong kabuuan" o "hindi maiisip bilang isang solong kabuuan."

Linggo, Marso 18, 2018

Ang kabuuan ng mga digit ng isang numero ay isang sayaw ng mga shaman na may tamburin, na walang kinalaman sa matematika. Oo, sa mga aralin sa matematika ay tinuturuan tayong hanapin ang kabuuan ng mga digit ng isang numero at gamitin ito, ngunit iyan ang dahilan kung bakit sila ay mga shaman, upang turuan ang kanilang mga inapo ng kanilang mga kasanayan at karunungan, kung hindi, ang mga shaman ay mamamatay lamang.

Kailangan mo ba ng patunay? Buksan ang Wikipedia at subukang hanapin ang pahinang "Kabuuan ng mga digit ng isang numero." Wala siya. Walang formula sa matematika na magagamit upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng anumang numero. Pagkatapos ng lahat, ang mga numero ay mga graphic na simbolo, sa tulong kung saan nagsusulat kami ng mga numero at sa wika ng matematika ang gawain ay ganito ang tunog: "Hanapin ang kabuuan ng mga graphic na simbolo na kumakatawan sa anumang numero." Hindi malulutas ng mga matematiko ang problemang ito, ngunit madali itong magagawa ng mga shaman.

Alamin natin kung ano at paano natin gagawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng isang naibigay na numero. At sa gayon, magkaroon tayo ng numerong 12345. Ano ang kailangang gawin upang mahanap ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito? Isaalang-alang natin ang lahat ng mga hakbang sa pagkakasunud-sunod.

1. Isulat ang numero sa isang papel. Ano ang nagawa natin? Na-convert namin ang numero sa isang simbolo ng graphical na numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

2. Pinutol namin ang isang nagresultang larawan sa ilang mga larawan na naglalaman ng mga indibidwal na numero. Ang pagputol ng larawan ay hindi isang mathematical operation.

3. I-convert ang mga indibidwal na graphic na simbolo sa mga numero. Ito ay hindi isang mathematical operation.

4. Idagdag ang mga resultang numero. Ngayon ay matematika na.

Ang kabuuan ng mga digit ng bilang na 12345 ay 15. Ito ang mga "kurso sa pagputol at pananahi" na itinuro ng mga shaman na ginagamit ng mga mathematician. Ngunit hindi lang iyon.

Mula sa isang mathematical point of view, hindi mahalaga kung saang sistema ng numero tayo nagsusulat ng isang numero. Kaya, sa iba't ibang sistema Sa calculus, mag-iiba ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero. Sa matematika, ang sistema ng numero ay ipinahiwatig bilang isang subscript sa kanan ng numero. Sa malaking bilang na 12345, hindi ko nais na lokohin ang aking ulo, isaalang-alang natin ang numero 26 mula sa artikulo tungkol sa. Isulat natin ang numerong ito sa binary, octal, decimal at hexadecimal number system. Hindi natin titingnan ang bawat hakbang sa ilalim ng mikroskopyo; Tingnan natin ang resulta.

Tulad ng nakikita mo, sa iba't ibang mga sistema ng numero ang kabuuan ng mga digit ng parehong numero ay iba. Ang resultang ito ay walang kinalaman sa matematika. Ito ay katulad ng kung tinukoy mo ang lugar ng isang parihaba sa metro at sentimetro, makakakuha ka ng ganap na magkakaibang mga resulta.

Pareho ang hitsura ng Zero sa lahat ng sistema ng numero at walang kabuuan ng mga digit. Ito ay isa pang argumento na pabor sa katotohanang iyon. Tanong para sa mga mathematician: paano itinalaga sa matematika ang isang bagay na hindi isang numero? Ano, para sa mga mathematician walang umiiral maliban sa mga numero? Maaari kong payagan ito para sa mga shaman, ngunit hindi para sa mga siyentipiko. Ang katotohanan ay hindi lamang tungkol sa mga numero.

Ang resulta na nakuha ay dapat isaalang-alang bilang patunay na ang mga sistema ng numero ay mga yunit ng pagsukat para sa mga numero. Pagkatapos ng lahat, hindi natin maihahambing ang mga numero sa iba't ibang mga yunit ng pagsukat. Kung ang parehong mga aksyon na may iba't ibang mga yunit ng pagsukat ng parehong dami ay humantong sa iba't ibang resulta pagkatapos ikumpara ang mga ito, nangangahulugan ito na wala itong kinalaman sa matematika.

Ano ang tunay na matematika? Ito ay kapag ang resulta pagpapatakbo ng matematika ay hindi nakasalalay sa laki ng numero, ang yunit ng pagsukat na ginamit at kung sino ang nagsasagawa ng aksyon.