Ang modyul ay isa sa mga bagay na tila narinig na ng lahat, ngunit sa katotohanan ay wala talagang nakakaintindi. Samakatuwid, ngayon ay magkakaroon ng isang malaking aralin na nakatuon sa paglutas ng mga equation na may mga module.

Sasabihin ko kaagad: ang aralin ay hindi magiging mahirap. At sa pangkalahatan, ang mga module ay medyo simpleng paksa. "Oo, siyempre, hindi ito kumplikado! Nakakasira ng isip ko!" - maraming mga mag-aaral ang magsasabi, ngunit ang lahat ng mga brain break na ito ay nangyayari dahil sa katotohanan na karamihan sa mga tao ay walang kaalaman sa kanilang mga ulo, ngunit isang uri ng crap. At ang layunin ng araling ito ay gawing kaalaman :)

Isang maliit na teorya

So, tara na. Magsimula tayo sa pinakamahalagang bagay: ano ang modyul? Ipaalala ko sa iyo na ang modulus ng isang numero ay pareho lang ng numero, ngunit kinuha nang walang minus sign. Iyon ay, halimbawa, $\left| -5 \kanan|=5$. O kaya ay $\left| -129.5 \right|=$129.5.

Ganun ba kasimple? Oo, simple. Ano ang ganap na halaga ng isang positibong numero? Ito ay mas simple dito: ang modulus ng isang positibong numero ay katumbas ng numerong ito mismo: $\left| 5 \right|=5$; $\kaliwa| 129.5 \right|=$129.5, atbp.

Ito ay lumalabas na isang kakaibang bagay: magkaibang numero maaaring may parehong modyul. Halimbawa: $\left| -5 \kanan|=\kaliwa| 5 \right|=5$; $\kaliwa| -129.5 \kanan|=\kaliwa| 129.5\kanan|=$129.5. Madaling makita kung anong uri ng mga numero ito, na ang mga module ay pareho: ang mga numerong ito ay kabaligtaran. Kaya, tandaan namin para sa ating sarili na ang mga module ng kabaligtaran na mga numero ay pantay:

\[\kaliwa| -a \kanan|=\kaliwa| a\right|\]

Isa pa mahalagang katotohanan: Ang modulus ay hindi kailanman negatibo. Anuman ang bilang na kunin natin - ito man ay positibo o negatibo - ang modulus nito ay palaging lumalabas na positibo (o, sa matinding mga kaso, zero). Kaya naman ang modulus ay madalas na tinatawag na absolute value ng isang numero.

Bukod dito, kung pagsasamahin natin ang kahulugan ng modulus para sa positibo at negatibong numero, pagkatapos ay makakakuha tayo ng pandaigdigang kahulugan ng module para sa lahat ng numero. Namely: ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numero mismo kung ang numero ay positibo (o zero), o katumbas ng kabaligtaran na numero kung ang numero ay negatibo. Maaari mong isulat ito bilang isang pormula:

Mayroon ding modulus ng zero, ngunit ito ay palaging katumbas ng zero. Bilang karagdagan, ang zero ay ang tanging numero na walang kabaligtaran.

Kaya, kung isasaalang-alang natin ang function na $y=\left| x \right|$ at subukang iguhit ang graph nito, makakakuha ka ng ganito:

Modulus graph at halimbawa ng paglutas ng equation

Mula sa larawang ito ay agad na malinaw na ang $\left| -m \kanan|=\kaliwa| m \right|$, at ang modulus graph ay hindi kailanman bumabagsak sa ibaba ng x-axis. Ngunit hindi lang iyon: ang pulang linya ay nagmamarka ng tuwid na linya $y=a$, na, para sa positibong $a$, ay nagbibigay sa amin ng dalawang ugat nang sabay-sabay: $((x)_(1))$ at $((x) _(2)) $, ngunit pag-uusapan natin iyon mamaya.

Bilang karagdagan sa purong algebraic na kahulugan, mayroong isang geometriko. Sabihin nating mayroong dalawang puntos sa linya ng numero: $((x)_(1))$ at $((x)_(2))$. Sa kasong ito, ang expression na $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ ay simpleng distansya sa pagitan ng mga tinukoy na punto. O, kung gusto mo, ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga puntong ito:

Ang kahulugan na ito ay nagpapahiwatig din na ang modulus ay palaging hindi negatibo. Ngunit sapat na mga kahulugan at teorya - lumipat tayo sa mga tunay na equation :)

Pangunahing formula

Okay, inayos namin ang kahulugan. Ngunit hindi iyon naging mas madali. Paano lutasin ang mga equation na naglalaman ng mismong modyul na ito?

Kalmado, kalmado lang. Magsimula tayo sa mga pinakasimpleng bagay. Isaalang-alang ang isang bagay tulad nito:

\[\kaliwa| x\right|=3\]

Kaya ang modulus ng $x$ ay 3. Ano ang maaaring katumbas ng $x$? Well, sa paghusga sa kahulugan, medyo masaya kami sa $x=3$. Talaga:

\[\kaliwa| 3\kanan|=3\]

Mayroon bang iba pang mga numero? Parang nagpaparamdam si Cap na meron. Halimbawa, ang $x=-3$ ay $\left| -3 \right|=3$, ibig sabihin. nasiyahan ang kinakailangang pagkakapantay-pantay.

Kaya siguro kung hahanapin at iisipin natin, mas marami tayong makikitang numero? Ngunit aminin natin: wala nang mga numero. Equation $\left| x \right|=3$ ay may dalawang ugat lamang: $x=3$ at $x=-3$.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Hayaang lumabas ang function na $f\left(x \right)$ sa ilalim ng modulus sign sa halip na variable na $x$, at sa halip na ang triple sa kanan ay inilalagay namin arbitrary na numero$a$. Nakukuha namin ang equation:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=a\]

Kaya paano natin ito malulutas? Paalalahanan kita: Ang $f\left(x \right)$ ay isang arbitrary function, ang $a$ ay anumang numero. Yung. Kahit ano! Halimbawa:

\[\kaliwa| 2x+1 \right|=5\]

\[\kaliwa| 10x-5 \right|=-65\]

Bigyang-pansin natin ang pangalawang equation. Maaari mong agad na sabihin tungkol sa kanya: wala siyang mga ugat. Bakit? Tama ang lahat: dahil kailangan nito na ang modulus ay katumbas ng isang negatibong numero, na hindi mangyayari, dahil alam na natin na ang modulus ay palaging isang positibong numero o, sa matinding mga kaso, zero.

Ngunit sa unang equation ang lahat ay mas masaya. Mayroong dalawang mga opsyon: alinman ay may positibong expression sa ilalim ng modulus sign, at pagkatapos ay $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, o negatibo pa rin ang expression na ito, at pagkatapos ay $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Sa unang kaso, ang aming equation ay muling isusulat tulad ng sumusunod:

\[\kaliwa| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

At biglang lumalabas na ang submodular expression na $2x+1$ ay talagang positibo - ito ay katumbas ng numero 5. Iyon ay maaari nating ligtas na malutas ang equation na ito - ang resultang ugat ay magiging isang piraso ng sagot:

Ang mga partikular na hindi nagtitiwala ay maaaring subukang palitan ang natagpuang ugat sa orihinal na equation at tiyakin na talagang mayroong positibong numero sa ilalim ng modulus.

Ngayon tingnan natin ang kaso ng isang negatibong submodular na expression:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Oops! Muli, malinaw ang lahat: ipinapalagay namin na $2x+1 \lt 0$, at bilang resulta nakuha namin iyon $2x+1=-5$ - sa katunayan, ito ang expression mas mababa sa zero. Nilulutas namin ang nagresultang equation, habang alam na natin na ang nahanap na ugat ay angkop sa amin:

Sa kabuuan, muli kaming nakatanggap ng dalawang sagot: $x=2$ at $x=3$. Oo, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas malaki ng kaunti kaysa sa napakasimpleng equation na $\left| x \right|=3$, ngunit walang pagbabago sa panimula. Kaya siguro meron unibersal na algorithm?

Oo, umiiral ang gayong algorithm. At ngayon ay susuriin natin ito.

Pag-alis ng modulus sign

Bigyan tayo ng equation na $\left| f\left(x \right) \right|=a$, at $a\ge 0$ (kung hindi, tulad ng alam na natin, walang mga ugat). Pagkatapos ay maaari mong alisin ang modulus sign gamit ang sumusunod na panuntunan:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Kaya, ang aming equation na may isang modulus ay nahahati sa dalawa, ngunit walang isang modulus. Iyon lang ang teknolohiya! Subukan nating lutasin ang isang pares ng mga equation. Magsimula tayo dito

\[\kaliwa| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Isaalang-alang natin nang hiwalay kapag may sampung plus sa kanan, at hiwalay kapag may minus. Meron kami:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(align)\]

Iyon lang! Mayroon kaming dalawang ugat: $x=1.2$ at $x=-2.8$. Ang buong solusyon ay literal na kinuha ng dalawang linya.

Ok, walang tanong, tingnan natin ang isang bagay na mas seryoso:

\[\kaliwa| 7-5x\right|=13\]

Muli naming binuksan ang module na may plus at minus:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(align)\]

Isang pares ng mga linya muli - at ang sagot ay handa na! Tulad ng sinabi ko, walang kumplikado tungkol sa mga module. Kailangan mo lamang tandaan ang ilang mga patakaran. Samakatuwid, nagpapatuloy tayo at nagsisimula sa tunay na mas kumplikadong mga gawain.

Ang kaso ng isang variable sa kanang bahagi

Ngayon isaalang-alang ang equation na ito:

\[\kaliwa| 3x-2 \right|=2x\]

Ang equation na ito ay sa panimula ay naiiba sa lahat ng nauna. Paano? At ang katotohanan na sa kanan ng equal sign ay ang expression na $2x$ - at hindi natin malalaman nang maaga kung ito ay positibo o negatibo.

Ano ang gagawin sa kasong ito? Una, dapat nating maunawaan minsan at para sa lahat iyon kung ang kanang bahagi ng equation ay lumabas na negatibo, kung gayon ang equation ay walang mga ugat- alam na natin na ang module ay hindi maaaring katumbas ng isang negatibong numero.

At pangalawa, kung ang tamang bahagi ay positibo pa rin (o katumbas ng zero), maaari kang kumilos nang eksakto sa parehong paraan tulad ng dati: buksan lamang ang module nang hiwalay na may plus sign at hiwalay na may minus sign.

Kaya, bumubuo kami ng isang panuntunan para sa mga arbitrary na function $f\left(x \right)$ at $g\left(x \right)$ :

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Kaugnay ng aming equation nakukuha namin:

\[\kaliwa| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Well, kahit papaano ay makakayanan namin ang kinakailangan na $2x\ge 0$. Sa huli, maaari nating palitan ang mga ugat na nakuha natin mula sa unang equation at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak o hindi.

Kaya't lutasin natin ang equation mismo:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(align)\]

Well, alin sa dalawang ugat na ito ang nakakatugon sa kinakailangan $2x\ge 0$? Oo pareho! Samakatuwid, ang sagot ay dalawang numero: $x=(4)/(3)\;$ at $x=0$. Yan ang solusyon. :)

Inaasahan ko na ang ilan sa mga estudyante ay nagsisimula nang magsawa? Well, tingnan natin ang isang mas kumplikadong equation:

\[\kaliwa| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Kahit na ito ay mukhang masama, sa katunayan ito ay pareho pa rin ng equation ng form na "modulus equals function":

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

At ito ay malulutas sa eksaktong parehong paraan:

\[\kaliwa| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \kaliwa(x-((x)^(3)) \kanan), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Haharapin natin ang hindi pagkakapantay-pantay sa ibang pagkakataon - ito ay sa paanuman ay masyadong masama (sa katunayan, ito ay simple, ngunit hindi natin ito malulutas). Sa ngayon, mas mahusay na harapin ang mga resultang equation. Isaalang-alang natin ang unang kaso - ito ay kapag ang module ay pinalawak na may plus sign:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Well, ito ay walang utak na kailangan mong kolektahin ang lahat mula sa kaliwa, magdala ng mga katulad at tingnan kung ano ang mangyayari. At ito ang nangyayari:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(align)\]

Kinukuha namin ang karaniwang salik na $((x)^(2))$ mula sa mga bracket at kumuha ng napakasimpleng equation:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Dito namin sinamantala ang isang mahalagang pag-aari ng produkto, para sa kapakanan kung saan namin isinaalang-alang ang orihinal na polynomial: ang produkto ay katumbas ng zero kapag kahit isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero.

Ngayon harapin natin ang pangalawang equation sa eksaktong parehong paraan, na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalawak ng module na may minus sign:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(align)\]

Muli ang parehong bagay: ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero. Meron kami:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Well, nakakuha kami ng tatlong ugat: $x=0$, $x=1.5$ at $x=(2)/(3)\;$. Well, alin sa set na ito ang mapupunta sa huling sagot? Upang gawin ito, tandaan na mayroon tayong karagdagang hadlang sa anyo ng hindi pagkakapantay-pantay:

Paano isasaalang-alang ang kinakailangang ito? Palitan lang natin ang mga nahanap na ugat at suriin kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak sa mga $x$ na ito o hindi. Meron kami:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\Rightarrow x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(align)\]

Kaya, ang ugat na $x=1.5$ ay hindi angkop sa atin. At bilang tugon magkakaroon lamang ng dalawang ugat:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Tulad ng nakikita mo, kahit na sa kasong ito ay walang kumplikado - ang mga equation na may mga module ay palaging malulutas gamit ang isang algorithm. Kailangan mo lang magkaroon ng isang mahusay na pag-unawa sa mga polynomial at hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, nagpapatuloy kami sa mas kumplikadong mga gawain - hindi magkakaroon ng isa, ngunit dalawang mga module.

Mga equation na may dalawang module

Sa ngayon kami lang ang pinaka nag-aral simpleng equation— may isang module at iba pa. Ipinadala namin ang "iba pang bagay" na ito sa isa pang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay, malayo sa module, upang sa huli ang lahat ay mababawasan sa isang equation ng anyong $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ o mas simple $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Pero kindergarten natapos - oras na para isaalang-alang ang isang bagay na mas seryoso. Magsimula tayo sa mga equation tulad nito:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Ito ay isang equation ng form na "modulus equals modulus". Sa panimula mahalagang punto ay ang kawalan ng iba pang mga termino at salik: isang module lamang sa kaliwa, isa pang module sa kanan - at wala nang iba pa.

Iisipin ngayon ng isang tao na ang mga naturang equation ay mas mahirap lutasin kaysa sa napag-aralan natin sa ngayon. Ngunit hindi: mas madaling lutasin ang mga equation na ito. Narito ang formula:

\[\kaliwa| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Lahat! Tinutumbas lang namin ang mga submodular na expression sa pamamagitan ng paglalagay ng plus o minus sign sa harap ng isa sa mga ito. At pagkatapos ay malulutas namin ang nagresultang dalawang equation - at handa na ang mga ugat! Walang karagdagang mga paghihigpit, walang hindi pagkakapantay-pantay, atbp. Napakasimple ng lahat.

Subukan nating lutasin ang problemang ito:

\[\kaliwa| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \kanan|\]

Elementary Watson! Pagpapalawak ng mga module:

\[\kaliwa| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Isaalang-alang natin ang bawat kaso nang hiwalay:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(align)\]

Ang unang equation ay walang mga ugat. Dahil kailan ang $3=-7$? Sa anong mga halaga ng $x$? “Ano ba ang $x$? Binato ka ba? Walang $x$ doon," sabi mo. At tama ka. Nakakuha kami ng pagkakapantay-pantay na hindi nakadepende sa variable na $x$, at sa parehong oras ang pagkakapantay-pantay mismo ay hindi tama. Kaya lang walang ugat :)

Sa pangalawang equation, ang lahat ay medyo mas kawili-wili, ngunit napaka-simple din:

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay literal na nalutas sa isang pares ng mga linya - hindi namin inaasahan ang anumang bagay mula sa isang linear equation :)

Bilang resulta, ang huling sagot ay: $x=1$.

Kaya paano? Mahirap? Syempre hindi. Subukan natin ang iba pa:

\[\kaliwa| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|\]

Muli mayroon kaming equation ng form na $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Samakatuwid, agad naming muling isinulat ito, na inilalantad ang modulus sign:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Marahil ay may magtatanong ngayon: “Hoy, anong kalokohan? Bakit lumilitaw ang "plus-minus" sa kanang expression at hindi sa kaliwa?" Huminahon ka, ipapaliwanag ko ang lahat ngayon. Sa katunayan, sa isang mabuting paraan dapat nating isinulat muli ang ating equation gaya ng sumusunod:

Pagkatapos ay kailangan mong buksan ang mga bracket, ilipat ang lahat ng mga termino sa isang gilid ng pantay na tanda (dahil ang equation, malinaw naman, ay magiging parisukat sa parehong mga kaso), at pagkatapos ay hanapin ang mga ugat. Ngunit dapat mong aminin: kapag lumitaw ang "plus-minus" bago ang tatlong termino (lalo na kapag ang isa sa mga terminong ito ay isang parisukat na expression), kahit papaano ay mukhang mas kumplikado ito kaysa sa sitwasyon kung kailan ang "plus-minus" ay lilitaw bago ang dalawang termino lamang.

Ngunit walang pumipigil sa amin na muling isulat ang orihinal na equation gaya ng sumusunod:

\[\kaliwa| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \kanan|=\kaliwa| x-1 \right|\]

Anong nangyari? Walang espesyal: pinagpalit lang nila ang kaliwa at kanang bahagi. Isang maliit na bagay na sa huli ay magpapagaan ng ating buhay :).

Sa pangkalahatan, nilulutas namin ang equation na ito, isinasaalang-alang ang mga opsyon na may plus at minus:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(align)\]

Ang unang equation ay may mga ugat na $x=3$ at $x=1$. Ang pangalawa ay karaniwang isang eksaktong parisukat:

\[((x)^(2))-2x+1=((\kaliwa(x-1 \kanan))^(2))\]

Samakatuwid, mayroon lamang itong isang ugat: $x=1$. Ngunit nakuha na namin ang ugat na ito nang mas maaga. Kaya, dalawang numero lamang ang mapupunta sa huling sagot:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Kumpleto na ang Misyon! Maaari kang kumuha ng pie mula sa istante at kainin ito. May 2 sila, sa iyo ang gitna :)

Mahalagang paalaala. Ang pagkakaroon ng magkatulad na mga ugat para sa iba't ibang mga pagpipilian Ang pagpapalawak ng modulus ay nangangahulugan na ang mga orihinal na polynomial ay factorized, at kabilang sa mga salik na ito ay tiyak na magkakaroon ng karaniwan. Talaga:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \kaliwa| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(align)\]

Isa sa mga katangian ng module: $\left| a\cdot b \right|=\left| isang \kanan|\cdot \kaliwa| b \right|$ (ibig sabihin, ang modulus ng produkto ay katumbas ng produkto ng moduli), kaya't ang orihinal na equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

\[\kaliwa| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \kanan|\]

As you can see, meron talaga tayong common factor. Ngayon, kung kinokolekta mo ang lahat ng mga module sa isang gilid, maaari mong alisin ang salik na ito sa bracket:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \kanan|; \\& \kaliwa| x-1 \kanan|-\kaliwa| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \kaliwa| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(align)\]

Ngayon, tandaan na ang produkto ay katumbas ng zero kapag hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Kaya, ang orihinal na equation na may dalawang module ay nabawasan sa dalawang pinakasimpleng equation na napag-usapan natin sa simula ng aralin. Ang ganitong mga equation ay maaaring malutas nang literal sa isang pares ng mga linya :)

Ang pangungusap na ito ay maaaring mukhang hindi kinakailangang kumplikado at hindi naaangkop sa pagsasanay. Gayunpaman, sa katotohanan maaari kang makatagpo ng higit pa kumplikadong mga gawain, kaysa sa mga sinusuri natin ngayon. Sa kanila, ang mga module ay maaaring pagsamahin sa mga polynomial, arithmetic roots, logarithms, atbp. At sa ganitong mga sitwasyon, ang kakayahang babaan ang kabuuang antas ng equation sa pamamagitan ng pagkuha ng isang bagay mula sa mga bracket ay maaaring maging lubhang kapaki-pakinabang :)

Ngayon gusto kong tumingin sa isa pang equation, na sa unang tingin ay maaaring mukhang baliw. Maraming mga mag-aaral ang natigil dito, maging ang mga nag-iisip na sila ay may mahusay na pag-unawa sa mga modyul.

Gayunpaman, ang equation na ito ay mas madaling lutasin kaysa sa aming tiningnan kanina. At kung naiintindihan mo kung bakit, makakakuha ka ng isa pang trick para sa mabilis na paglutas ng mga equation gamit ang moduli.

Kaya ang equation ay:

\[\kaliwa| x-((x)^(3)) \kanan|+\kaliwa| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Hindi, hindi ito isang typo: ito ay isang plus sa pagitan ng mga module. At kailangan nating hanapin kung anong $x$ ang kabuuan ng dalawang module ay katumbas ng zero :)

Ano ba kasing problema? Ngunit ang problema ay ang bawat module ay isang positibong numero, o, sa matinding mga kaso, zero. Ano ang mangyayari kung magdagdag ka ng dalawang positibong numero? Malinaw na isang positibong numero muli:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Ang huling linya ay maaaring magbigay sa iyo ng ideya: ang tanging oras na ang kabuuan ng mga module ay zero ay kung ang bawat module ay zero:

\[\kaliwa| x-((x)^(3)) \kanan|+\kaliwa| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|. ((x)^(2))+x-2 \right|=0.

At kailan katumbas ng zero ang module? Sa isang kaso lamang - kapag ang submodular na expression ay katumbas ng zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Kaya, mayroon kaming tatlong punto kung saan ang unang module ay na-reset sa zero: 0, 1 at −1; pati na rin ang dalawang punto kung saan ang pangalawang module ay na-reset sa zero: −2 at 1. Gayunpaman, kailangan namin ang parehong mga module na i-reset sa zero sa parehong oras, kaya kabilang sa mga nahanap na numero kailangan naming piliin ang mga kasama sa parehong set. Malinaw, mayroon lamang isang ganoong numero: $x=1$ - ito ang magiging huling sagot.

Pamamaraan ng cleavage

Buweno, napag-usapan na namin ang isang grupo ng mga problema at natutunan ang maraming mga diskarte. Sa tingin mo yun lang? Pero hindi! Ngayon ay titingnan natin ang pangwakas na pamamaraan - at sa parehong oras ang pinakamahalaga. Pag-uusapan natin ang tungkol sa paghahati ng mga equation na may modulus. Ano nga ba ang pag-uusapan natin? Bumalik tayo ng kaunti at tingnan ang ilang simpleng equation. Halimbawa ito:

\[\kaliwa| 3x-5 \right|=5-3x\]

Sa prinsipyo, alam na natin kung paano lutasin ang naturang equation, dahil ito ay isang karaniwang konstruksyon ng form na $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Ngunit subukan nating tingnan ang equation na ito mula sa isang bahagyang naiibang anggulo. Mas tiyak, isaalang-alang ang expression sa ilalim ng modulus sign. Ipaalala ko sa iyo na ang modulus ng anumang numero ay maaaring katumbas ng numero mismo, o maaari itong kabaligtaran ng numerong ito:

\[\kaliwa| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Sa totoo lang, ang kalabuan na ito ay ang buong problema: dahil nagbabago ang numero sa ilalim ng modulus (depende ito sa variable), hindi malinaw sa atin kung ito ay positibo o negatibo.

Ngunit paano kung una mong hinihiling na ang numerong ito ay positibo? Halimbawa, hinihiling namin na $3x-5 \gt 0$ - sa kasong ito, ginagarantiyahan kaming makakuha ng positibong numero sa ilalim ng modulus sign, at maaari naming ganap na maalis ang mismong modulus na ito:

Kaya, ang aming equation ay magiging isang linear, na madaling malutas:

Totoo, lahat ng mga kaisipang ito ay may katuturan lamang sa ilalim ng kundisyong $3x-5 \gt 0$ - kami mismo ang nagpasimula ng pangangailangang ito upang malinaw na maihayag ang module. Samakatuwid, palitan natin ang nahanap na $x=\frac(5)(3)$ sa kundisyong ito at suriin:

Lumalabas na para sa tinukoy na halaga ng $x$ ang aming kinakailangan ay hindi natutugunan, dahil ang expression ay naging katumbas ng zero, at kailangan namin itong maging mahigpit na mas malaki kaysa sa zero. Nakakalungkot. :(

Pero ayos lang! Pagkatapos ng lahat, may isa pang pagpipilian $3x-5 \lt 0$. Bukod dito: mayroon ding kaso $3x-5=0$ - kailangan din itong isaalang-alang, kung hindi, ang solusyon ay hindi kumpleto. Kaya, isaalang-alang ang kaso $3x-5 \lt 0$:

Malinaw, magbubukas ang module na may minus sign. Ngunit pagkatapos ay lumitaw ang isang kakaibang sitwasyon: pareho sa kaliwa at sa kanan sa orihinal na equation ang parehong expression ay lalabas:

Nagtataka ako kung ano ang $x$ ang expression na $5-3x$ ay magiging katumbas ng expression na $5-3x$? Maging si Captain Obviousness ay masasakal ang kanyang laway mula sa mga naturang equation, ngunit alam natin: ang equation na ito ay isang pagkakakilanlan, i.e. ito ay totoo para sa anumang halaga ng variable!

Nangangahulugan ito na ang anumang $x$ ay babagay sa amin. Gayunpaman, mayroon kaming limitasyon:

Sa madaling salita, ang sagot ay hindi magiging isang numero, ngunit isang buong pagitan:

Sa wakas, may isa pang kaso na dapat isaalang-alang: $3x-5=0$. Ang lahat ay simple dito: sa ilalim ng modulus magkakaroon ng zero, at ang modulus ng zero ay katumbas din ng zero (ito ay sumusunod nang direkta mula sa kahulugan):

Ngunit pagkatapos ay ang orihinal na equation na $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ ay muling isusulat gaya ng sumusunod:

Nakuha na namin ang ugat na ito sa itaas nang isaalang-alang namin ang kaso na $3x-5 \gt 0$. Bukod dito, ang ugat na ito ay isang solusyon sa equation na $3x-5=0$ - ito ang limitasyon na ipinakilala namin mismo upang i-reset ang module.

Kaya, bilang karagdagan sa agwat, masisiyahan din tayo sa numerong nasa pinakadulo ng agwat na ito:

Kabuuang panghuling sagot: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Hindi masyadong pangkaraniwan na makita ang ganoong crap sa sagot sa isang medyo simple (esensyal na linear) equation na may modulus , Talaga, masanay ka na: ang hirap ng module ay ang mga sagot sa naturang mga equation ay maaaring maging ganap na hindi mahulaan.

May iba pang bagay na mas mahalaga: sinuri namin ang isang unibersal na algorithm para sa paglutas ng isang equation na may isang modulus! At ang algorithm na ito ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1. I-equate ang bawat modulus sa equation sa zero. Nakakakuha kami ng ilang mga equation;
2. Lutasin ang lahat ng mga equation na ito at markahan ang mga ugat sa linya ng numero. Bilang resulta, ang tuwid na linya ay mahahati sa ilang mga pagitan, sa bawat isa kung saan ang lahat ng mga module ay katangi-tanging inihayag;
3. Lutasin ang orihinal na equation para sa bawat pagitan at pagsamahin ang iyong mga sagot.

Iyon lang! Isang tanong na lang ang natitira: ano ang gagawin sa mga ugat na nakuha sa hakbang 1? Sabihin nating mayroon tayong dalawang ugat: $x=1$ at $x=5$. Hahatiin nila ang linya ng numero sa 3 piraso:

Kaya ano ang mga pagitan? Malinaw na mayroong tatlo sa kanila:

1. Ang pinakakaliwa: $x \lt 1$ — ang yunit mismo ay hindi kasama sa pagitan;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - dito ang isa ay kasama sa pagitan, ngunit ang lima ay hindi kasama;
3. Pinakakanan: $x\ge 5$ - lima lang ang kasama dito!

Sa tingin ko naiintindihan mo na ang pattern. Kasama sa bawat pagitan ang kaliwang dulo at hindi kasama ang kanan.

Sa unang tingin, ang ganitong entry ay maaaring mukhang hindi maginhawa, hindi makatwiran at sa pangkalahatan ay isang uri ng kabaliwan. Ngunit maniwala ka sa akin: pagkatapos ng isang maliit na pagsasanay, makikita mo na ang diskarte na ito ay ang pinaka-maaasahan at hindi makagambala sa hindi malabo na pagbubukas ng mga module. Mas mainam na gumamit ng gayong pamamaraan kaysa mag-isip sa bawat oras: bigyan ang kaliwa/kanang dulo sa kasalukuyang pagitan o "ihagis" ito sa susunod.

Sa artikulong ito susuriin natin nang detalyado ang ganap na halaga ng isang numero. Kami ay magbibigay iba't ibang kahulugan module ng isang numero, ipakilala ang notasyon at magbigay ng mga graphic na ilustrasyon. Sa parehong oras, isaalang-alang natin iba't ibang halimbawa paghahanap ng modulus ng isang numero sa pamamagitan ng kahulugan. Pagkatapos nito, ililista at bigyang-katwiran natin ang mga pangunahing katangian ng modyul. Sa dulo ng artikulo, pag-uusapan natin kung paano tinutukoy at nahanap ang modulus ng isang kumplikadong numero.

Pag-navigate sa pahina.

Number module - kahulugan, notasyon at mga halimbawa

Magpakilala muna kami pagtatalaga ng modulus ng numero. Isusulat natin ang modulus ng numero a bilang , ibig sabihin, sa kaliwa at kanan ng numero ay maglalagay tayo ng mga patayong gitling upang mabuo ang modulus sign. Magbigay tayo ng ilang halimbawa. Halimbawa, ang module −7 ay maaaring isulat bilang ; Ang module 4.125 ay nakasulat bilang , at ang module ay may notasyon ng form .

Ang sumusunod na kahulugan ng modulus ay tumutukoy sa , at samakatuwid ay sa , at sa mga integer, at sa rational, at sa mga hindi makatwiran na numero, bilang mga bahaging bumubuo sa hanay ng mga tunay na numero. Pag-uusapan natin ang tungkol sa modulus ng isang kumplikadong numero sa.

Kahulugan.

Modulus ng bilang a– ito ay alinman sa numero a mismo, kung ang a ay isang positibong numero, o ang numero −a, kabaligtaran na numero a kung a ay isang negatibong numero, o 0 kung a=0.

Ang tininigan na kahulugan ng modulus ng isang numero ay kadalasang isinusulat sa sumusunod na anyo , ang entry na ito ay nangangahulugan na kung a>0, kung a=0, at kung a<0 .

Ang rekord ay maaaring iharap sa isang mas compact na anyo . Ang notasyong ito ay nangangahulugan na kung (a ay mas malaki kaysa o katumbas ng 0), at kung a<0 .

May entry din . Dito dapat nating hiwalay na ipaliwanag ang kaso kapag a=0. Sa kasong ito mayroon tayong , ngunit −0=0, dahil ang zero ay itinuturing na isang numero na kabaligtaran sa sarili nito.

Pagbigyan natin mga halimbawa ng paghahanap ng modulus ng isang numero gamit ang nakasaad na kahulugan. Halimbawa, hanapin natin ang mga module ng mga numero 15 at . Magsimula tayo sa paghahanap. Dahil ang numero 15 ay positibo, ang modulus nito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay katumbas ng numerong ito mismo, iyon ay, . Ano ang modulus ng isang numero? Dahil isang negatibong numero, ang modulus nito ay katumbas ng bilang na kabaligtaran ng numero, iyon ay, ang numero . Kaya, .

Upang tapusin ang puntong ito, nagpapakita kami ng isang konklusyon na napaka-maginhawang gamitin sa pagsasanay kapag hinahanap ang modulus ng isang numero. Mula sa depinisyon ng modulus ng isang numero ito ay sumusunod na ang modulus ng isang numero ay katumbas ng numero sa ilalim ng modulus sign nang hindi isinasaalang-alang ang sign nito, at mula sa mga halimbawang tinalakay sa itaas ito ay napakalinaw na nakikita. Ang nakasaad na pahayag ay nagpapaliwanag kung bakit tinatawag din ang module ng isang numero ganap na halaga ng numero. Kaya ang modulus ng isang numero at ang absolute value ng isang numero ay iisa at pareho.

Modulus ng isang numero bilang distansya

Sa geometriko, ang modulus ng isang numero ay maaaring bigyang-kahulugan bilang distansya. Pagbigyan natin pagtukoy ng modulus ng isang numero sa pamamagitan ng distansya.

Kahulugan.

Modulus ng bilang a– ito ang distansya mula sa pinanggalingan sa linya ng coordinate hanggang sa puntong katumbas ng bilang a.

Ang kahulugan na ito ay naaayon sa kahulugan ng modulus ng isang numero na ibinigay sa unang talata. Linawin natin ang puntong ito. Ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na tumutugma sa isang positibong numero ay katumbas ng numerong ito. Ang zero ay tumutugma sa pinagmulan, samakatuwid ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na may coordinate 0 ay katumbas ng zero (hindi mo kailangang magtabi ng isang segment ng unit at hindi isang solong segment na bumubuo ng anumang bahagi ng isang segment ng unit sa pagkakasunud-sunod upang makakuha mula sa punto O sa isang punto na may coordinate 0). Ang distansya mula sa pinanggalingan sa isang punto na may negatibong coordinate ay katumbas ng bilang na kabaligtaran ng coordinate ng puntong ito, dahil ito ay katumbas ng distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na ang coordinate ay ang kabaligtaran na numero.

Halimbawa, ang modulus ng numero 9 ay katumbas ng 9, dahil ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto na may coordinate 9 ay katumbas ng siyam. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa. Ang punto na may coordinate −3.25 ay matatagpuan sa layong 3.25 mula sa punto O, kaya .

Ang nakasaad na kahulugan ng modulus ng isang numero ay isang espesyal na kaso ng kahulugan ng modulus ng pagkakaiba ng dalawang numero.

Kahulugan.

Modulus ng pagkakaiba ng dalawang numero Ang a at b ay katumbas ng distansya sa pagitan ng mga punto ng coordinate line na may mga coordinate a at b.

Iyon ay, kung ang mga punto sa coordinate line A(a) at B(b) ay ibinigay, kung gayon ang distansya mula sa punto A hanggang sa punto B ay katumbas ng modulus ng pagkakaiba sa pagitan ng mga numerong a at b. Kung kukunin natin ang point O (pinagmulan) bilang point B, pagkatapos ay makukuha natin ang kahulugan ng modulus ng isang numero na ibinigay sa simula ng talatang ito.

Pagtukoy sa modulus ng isang numero gamit ang arithmetic square root

Paminsan-minsan ay nangyayari pagtukoy ng modulus sa pamamagitan ng arithmetic square root.

Halimbawa, kalkulahin natin ang moduli ng mga numero −30 at batay sa kahulugang ito. Meron kami. Katulad nito, kinakalkula namin ang module ng dalawang-katlo: .

Ang kahulugan ng modulus ng isang numero sa pamamagitan ng arithmetic square root ay naaayon din sa kahulugang ibinigay sa unang talata ng artikulong ito. Ipakita natin. Hayaan ang isang positibong numero, at hayaang ang −a ay isang negatibong numero. Pagkatapos At , kung a=0 , kung gayon .

Mga katangian ng module

Ang module ay may ilang mga katangian na resulta - mga katangian ng module. Ngayon ay ipapakita namin ang pangunahing at pinakamadalas na ginagamit sa kanila. Kapag binibigyang-katwiran ang mga katangiang ito, aasa tayo sa kahulugan ng modulus ng isang numero sa mga tuntunin ng distansya.

Magsimula tayo sa pinaka-halatang pag-aari ng modyul - Ang modulus ng isang numero ay hindi maaaring negatibong numero. Sa literal na anyo, ang katangiang ito ay may anyo para sa anumang numerong a. Napakadaling bigyang-katwiran ang property na ito: ang modulus ng isang numero ay isang distansya, at ang distansya ay hindi maaaring ipahayag bilang isang negatibong numero.

Lumipat tayo sa susunod na katangian ng module. Ang modulus ng isang numero ay zero kung at kung ang numerong ito ay zero. Ang modulus ng zero ay zero sa pamamagitan ng kahulugan. Ang zero ay tumutugma sa pinagmulan; walang ibang punto sa linya ng coordinate na tumutugma sa zero, dahil ang bawat tunay na numero ay nauugnay sa isang solong punto sa linya ng coordinate. Para sa parehong dahilan, anumang numero maliban sa zero ay tumutugma sa isang puntong naiiba sa pinanggalingan. At ang distansya mula sa pinanggalingan sa anumang punto maliban sa punto O ay hindi zero, dahil ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay zero kung at kung ang mga puntong ito ay magkasabay. Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapatunay na ang modulus lamang ng zero ay katumbas ng zero.

Sige lang. Ang mga magkasalungat na numero ay may pantay na mga module, iyon ay, para sa anumang numero a. Sa katunayan, ang dalawang punto sa linya ng coordinate, ang mga coordinate na kung saan ay magkasalungat na mga numero, ay nasa parehong distansya mula sa pinanggalingan, na nangangahulugang ang mga module ng magkasalungat na mga numero ay pantay.

Ang sumusunod na katangian ng modyul ay: Ang modulus ng produkto ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng moduli ng mga numerong ito, yan ay, . Sa pamamagitan ng kahulugan, ang modulus ng produkto ng mga numero a at b ay katumbas ng alinman sa a·b kung , o −(a·b) kung . Mula sa mga alituntunin ng pagpaparami ng mga tunay na numero, sumusunod na ang produkto ng moduli ng mga numerong a at b ay katumbas ng alinman sa a·b, , o −(a·b) kung , na nagpapatunay sa pag-aari na pinag-uusapan.

Ang modulus ng quotient ng isang hinati sa b ay katumbas ng quotient ng modulus ng isang numero na hinati sa modulus ng b, yan ay, . Bigyan natin ng katwiran ang katangiang ito ng modyul. Dahil ang quotient ay katumbas ng produkto, kung gayon. Sa bisa ng dating ari-arian na meron tayo . Ang natitira na lang ay gamitin ang pagkakapantay-pantay , na wasto sa bisa ng kahulugan ng modulus ng isang numero.

Ang sumusunod na katangian ng isang module ay nakasulat bilang isang hindi pagkakapantay-pantay: Ang , a , b at c ay mga arbitrary na tunay na numero. Ang nakasulat na hindi pagkakapantay-pantay ay walang iba kundi hindi pagkakapantay-pantay ng tatsulok. Upang maging malinaw ito, kunin natin ang mga puntos A(a), B(b), C(c) sa linya ng coordinate, at isaalang-alang ang isang degenerate triangle ABC, na ang mga vertices ay nasa parehong linya. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang modulus ng pagkakaiba ay katumbas ng haba ng segment AB, - ang haba ng segment AC, at - ang haba ng segment CB. Dahil ang haba ng anumang panig ng isang tatsulok ay hindi lalampas sa kabuuan ng mga haba ng iba pang dalawang panig, ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay totoo: , samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo rin.

Ang hindi pagkakapantay-pantay na napatunayan ay mas karaniwan sa anyo . Ang nakasulat na hindi pagkakapantay-pantay ay karaniwang itinuturing bilang isang hiwalay na pag-aari ng modyul na may pormulasyon: " Ang modulus ng kabuuan ng dalawang numero ay hindi lalampas sa kabuuan ng moduli ng mga numerong ito" Ngunit ang hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod nang direkta mula sa hindi pagkakapantay-pantay kung ilalagay natin ang −b sa halip na b at kukuha ng c=0.

Modulus ng isang kumplikadong numero

Pagbigyan natin kahulugan ng modulus ng isang complex number. Nawa'y ibigay ito sa atin kumplikadong numero, nakasulat sa algebraic form, kung saan ang x at y ay ilang tunay na numero, na kumakatawan, ayon sa pagkakabanggit, ang tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang ibinigay na kumplikadong numero z, at ang haka-haka na yunit.

Isa sa pinakamahirap na paksa para sa mga mag-aaral ay ang paglutas ng mga equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng modulus sign. Alamin muna natin kung saan ito konektado? Bakit, halimbawa, ang karamihan sa mga bata ay pumutok ng mga quadratic equation tulad ng nuts, ngunit may napakaraming problema sa napakalayo mula sa kumplikadong konsepto bilang isang module?

Sa aking opinyon, ang lahat ng mga paghihirap na ito ay nauugnay sa kakulangan ng malinaw na nabalangkas na mga patakaran para sa paglutas ng mga equation na may isang modulus. Kaya, pagpapasya quadratic equation, siguradong alam ng mag-aaral na kailangan muna niyang ilapat ang discriminant formula, at pagkatapos ay ang mga formula para sa mga ugat ng quadratic equation. Ano ang gagawin kung ang isang modulus ay matatagpuan sa equation? Susubukan naming malinaw na ilarawan ang kinakailangang plano ng aksyon para sa kaso kapag ang equation ay naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng modulus sign. Magbibigay kami ng ilang mga halimbawa para sa bawat kaso.

Ngunit una, tandaan natin kahulugan ng modyul. Kaya, modulo ang numero a ang numerong ito mismo ay tinatawag na kung a di-negatibo at -a, kung numero a mas mababa sa zero. Maaari mong isulat ito tulad nito:

|a| = a kung a ≥ 0 at |a| = -a kung a< 0

Sa pagsasalita tungkol sa geometric na kahulugan ng module, dapat tandaan na ang bawat tunay na numero ay tumutugma sa isang tiyak na punto sa numero ng axis - nito coordinate. Kaya, ang module o absolute value ng isang numero ay ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa pinagmulan ng numerical axis. Ang distansya ay palaging tinukoy bilang isang positibong numero. Kaya, ang modulus ng anumang negatibong numero ay isang positibong numero. Sa pamamagitan ng paraan, kahit na sa yugtong ito, maraming mga mag-aaral ang nagsisimulang malito. Ang module ay maaaring maglaman ng anumang numero, ngunit ang resulta ng paggamit ng module ay palaging isang positibong numero.

Ngayon lumipat tayo nang direkta sa paglutas ng mga equation.

1. Isaalang-alang ang isang equation ng anyong |x| = c, kung saan ang c ay isang tunay na numero. Ang equation na ito ay maaaring malutas gamit ang modulus definition.

Hinahati namin ang lahat ng tunay na numero sa tatlong grupo: ang mga mas malaki sa zero, ang mas mababa sa zero, at ang pangatlong grupo ay ang numero 0. Isinulat namin ang solusyon sa anyo ng isang diagram:

(±c, kung c > 0

Kung |x| = c, pagkatapos x = (0, kung c = 0

(walang ugat kung may< 0

1) |x| = 5, dahil 5 > 0, pagkatapos x = ±5;

2) |x| = -5, kasi -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, pagkatapos x = 0.

2. Equation ng anyong |f(x)| = b, kung saan b > 0. Upang malutas ang equation na ito ay kinakailangan upang mapupuksa ang module. Ginagawa namin ito sa ganitong paraan: f(x) = b o f(x) = -b. Ngayon ay kailangan mong lutasin ang bawat isa sa mga resultang equation nang hiwalay. Kung sa orihinal na equation b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, dahil 4> 0, pagkatapos

x + 2 = 4 o x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, dahil 11 > 0, pagkatapos

x 2 – 5 = 11 o x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 walang ugat

3) |x 2 – 5x| = -8, kasi -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Isang equation ng anyong |f(x)| = g(x). Ayon sa kahulugan ng modyul, ang naturang equation ay magkakaroon ng mga solusyon kung ang kanang bahagi nito ay mas malaki sa o katumbas ng zero, i.e. g(x) ≥ 0. Pagkatapos ay magkakaroon tayo ng:

f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ang equation na ito ay magkakaroon ng mga ugat kung 5x – 10 ≥ 0. Dito magsisimula ang solusyon ng naturang mga equation.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solusyon:

2x – 1 = 5x – 10 o 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Pinagsasama namin ang O.D.Z. at ang solusyon, nakukuha namin:

Ang ugat na x = 11/7 ay hindi magkasya sa O.D.Z., ito ay mas mababa sa 2, ngunit x = 3 ay nakakatugon sa kundisyong ito.

Sagot: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito gamit ang interval method:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solusyon:

x – 1 = 1 – x 2 o x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 o x = 1 x = 0 o x = 1

3. Pinagsasama namin ang solusyon at O.D.Z.:

Ang mga ugat na x = 1 at x = 0 lamang ang angkop.

Sagot: x = 0, x = 1.

4. Equation ng anyong |f(x)| = |g(x)|. Ang nasabing equation ay katumbas ng sumusunod na dalawang equation f(x) = g(x) o f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ang equation na ito ay katumbas ng sumusunod na dalawa:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 o x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 o x = 4 x = 2 o x = 1

Sagot: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Nalutas ang mga equation sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit (variable replacement). Ang paraan ng solusyon na ito ay pinakamadaling ipaliwanag sa tiyak na halimbawa. Kaya, bigyan tayo ng isang quadratic equation na may modulus:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Sa pamamagitan ng modulus property x 2 = |x| 2, kaya ang equation ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Gawin natin ang kapalit na |x| = t ≥ 0, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng:

t 2 – 6t + 5 = 0. Ang paglutas ng equation na ito, makikita natin na t = 1 o t = 5. Bumalik tayo sa kapalit:

|x| = 1 o |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Sagot: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Tingnan natin ang isa pang halimbawa:

x 2 + |x| – 2 = 0. Sa pamamagitan ng modulus property x 2 = |x| 2, samakatuwid

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Gawin natin ang kapalit na |x| = t ≥ 0, kung gayon:

t 2 + t – 2 = 0. Ang paglutas ng equation na ito, makakakuha tayo ng t = -2 o t = 1. Bumalik tayo sa kapalit:

|x| = -2 o |x| = 1

Walang mga ugat x = ± 1

Sagot: x = -1, x = 1.

6. Ang isa pang uri ng mga equation ay ang mga equation na may "kumplikadong" modulus. Kasama sa mga naturang equation ang mga equation na mayroong "mga module sa loob ng isang module." Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring malutas gamit ang mga katangian ng module.

1) |3 – |x|| = 4. Kami ay kumilos sa parehong paraan tulad ng sa mga equation ng pangalawang uri. kasi 4> 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng dalawang equation:

3 – |x| = 4 o 3 – |x| = -4.

Ngayon ipahayag natin ang modulus x sa bawat equation, pagkatapos |x| = -1 o |x| = 7.

Nalulutas namin ang bawat isa sa mga resultang equation. Walang mga ugat sa unang equation, dahil -1< 0, а во втором x = ±7.

Sagot x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Nilulutas namin ang equation na ito sa katulad na paraan:

3 + |x + 1| = 5 o 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 o x + 1 = -2. Walang ugat.

Sagot: x = -3, x = 1.

Mayroon ding unibersal na paraan para sa paglutas ng mga equation na may modulus. Ito ang paraan ng pagitan. Pero titingnan natin mamaya.

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Ang ganap na halaga ng isang numero a ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto A(a).

Upang maunawaan ang kahulugang ito, palitan natin ang variable a anumang numero, halimbawa 3 at subukang basahin itong muli:

Ang ganap na halaga ng isang numero 3 ay ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto A(3 ).

Nagiging malinaw na ang module ay hindi hihigit sa isang ordinaryong distansya. Subukan nating makita ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong A( 3 )

Distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto A( 3 ) ay katumbas ng 3 (tatlong yunit o tatlong hakbang).

Ang module ng isang numero ay ipinahiwatig ng dalawang patayong linya, halimbawa:

Ang modulus ng numero 3 ay tinutukoy bilang mga sumusunod: |3|

Ang modulus ng numero 4 ay tinutukoy bilang mga sumusunod: |4|

Ang modulus ng bilang 5 ay ipinahiwatig bilang mga sumusunod: |5|

Hinanap namin ang modulus ng numero 3 at nalaman na ito ay katumbas ng 3. Kaya isinulat namin ito:

Nagbabasa tulad ng: "Ang modulus ng numero tatlo ay tatlo"

Ngayon subukan nating hanapin ang modulus ng numero -3. Muli, bumalik kami sa kahulugan at pinapalitan ang numero -3 dito. Lamang sa halip ng isang tuldok A gumamit ng bagong punto B. Lubusang paghinto A nagamit na natin sa unang halimbawa.

Modulus ng numero - 3 ay ang distansya mula sa pinanggalingan sa isang punto B(—3 ).

Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isa pa ay hindi maaaring negatibo. Samakatuwid, ang modulus ng anumang negatibong numero, bilang isang distansya, ay hindi rin magiging negatibo. Ang modulus ng numerong -3 ay magiging numero 3. Ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa puntong B(-3) ay katumbas din ng tatlong unit:

Nagbabasa tulad ng: "Ang modulus ng minus three ay tatlo."

Ang modulus ng numero 0 ay katumbas ng 0, dahil ang punto na may coordinate 0 ay tumutugma sa pinagmulan, i.e. distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto O(0) katumbas ng zero:

"Ang modulus ng zero ay zero"

Gumagawa kami ng mga konklusyon:

• Ang modulus ng isang numero ay hindi maaaring negatibo;
• Para sa isang positibong numero at zero, ang modulus ay katumbas ng numero mismo, at para sa isang negatibong numero - ang kabaligtaran na numero;
• Ang mga magkasalungat na numero ay may pantay na mga module.

Kabaligtaran na mga numero

Ang mga numero na naiiba lamang sa mga palatandaan ay tinatawag kabaligtaran. Halimbawa, ang mga numero −2 at 2 ay magkasalungat. Sila ay naiiba lamang sa mga palatandaan. Ang numero −2 ay may minus sign, at 2 ay may plus sign, ngunit hindi namin ito nakikita, dahil ang plus, tulad ng sinabi namin kanina, ay tradisyonal na hindi nakasulat.

Higit pang mga halimbawa ng magkasalungat na numero:

Ang mga magkasalungat na numero ay may pantay na mga module. Halimbawa, hanapin natin ang mga module para sa −2 at 2

Ipinapakita ng figure na ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa mga punto A(−2) At B(2) pantay na katumbas ng dalawang hakbang.

Nagustuhan mo ba ang aralin?
Sumali sa aming bagong grupo VKontakte at magsimulang makatanggap ng mga abiso tungkol sa mga bagong aralin

Ang A ay kinakalkula alinsunod sa mga sumusunod na patakaran:

Para sa kaiklian, ginagamit ang mga notasyon |a|. Kaya, |10| = 10; - 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100, atbp.

Bawat sukat X tumutugma sa isang medyo tumpak na halaga | X|. At ang kahulugan niyan ay pagkakakilanlan sa= |X| set sa tulad ng ilan function ng argumento X.

Iskedyul ito mga function ipinakita sa ibaba.

Para sa x > 0 |x| = x, at para sa x< 0 |x|= -x; sa bagay na ito, ang linyang y = | x| sa x> 0 na pinagsama sa isang tuwid na linya y = x(bisector ng unang anggulo ng coordinate), at kung kailan X< 0 - с прямой y = -x(bisector ng pangalawang anggulo ng coordinate).

Hiwalay mga equation isama ang mga hindi alam sa ilalim ng karatula modyul.

Mga di-makatwirang halimbawa ng naturang mga equation - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1, atbp.

Paglutas ng mga equation na naglalaman ng hindi alam sa ilalim ng modulus sign ay batay sa katotohanan na kung ang ganap na halaga ng hindi kilalang numero x ay katumbas ng positibong numero a, kung gayon ang numerong x na ito mismo ay katumbas ng alinman sa a o -a.

Halimbawa:, kung | X| = 10, pagkatapos ay o X=10, o X = -10.

Isaalang-alang natin paglutas ng mga indibidwal na equation.

Suriin natin ang solusyon sa equation | X- 1| = 2.

Palawakin natin ang modyul pagkatapos ay ang pagkakaiba X- 1 ay maaaring katumbas ng alinman sa + 2 o - 2. Kung x - 1 = 2, kung gayon X= 3; kung X- 1 = - 2, pagkatapos X= - 1. Gumagawa kami ng pagpapalit at nalaman na pareho sa mga halagang ito ay nakakatugon sa equation.

Sagot. Ang equation sa itaas ay may dalawang ugat: x 1 = 3, x 2 = - 1.

Pag-aralan natin solusyon sa equation | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Pagkatapos pagpapalawak ng modyul nakukuha natin: o 6 - 2 X= 3X+ 1, o 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Sa unang kaso X= 1, at sa pangalawa X= - 7.

Pagsusulit. Sa X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; ito ay sumusunod mula sa korte, X = 1 - ugat binigay mga equation.

Sa x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1= - 20; mula noong 20 ≠ -20, pagkatapos X Ang = - 7 ay hindi ugat ng equation na ito.

Sagot. U Ang equation ay may isang ugat lamang: X = 1.

Ang mga equation ng ganitong uri ay maaaring lutasin at graphical.

Kaya magdesisyon tayo Halimbawa, graphically equation | X- 1| = 2.

Magtatayo muna tayo function na graphics sa = |x- 1|. Una, gumuhit tayo ng graph ng function sa=X- 1:

Yung part na yun sining ng grapiko, na matatagpuan sa itaas ng axis X Hindi natin ito babaguhin. Para sa kanya X- 1 > 0 at samakatuwid | X-1|=X-1.

Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng axis X, ilarawan natin simetriko kaugnay sa axis na ito. Dahil para sa bahaging ito X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Ang resulta linya(solid na linya) at kalooban function graph y = | X—1|.

Ang linyang ito ay magsa-intersect sa tuwid sa= 2 sa dalawang puntos: M 1 na may abscissa -1 at M 2 na may abscissa 3. At, nang naaayon, ang equation | X- 1| =2 magkakaroon ng dalawang ugat: X 1 = - 1, X 2 = 3.