Graph ng isang cubic parabola. Graph ng isang quadratic, cubic function, graph ng isang polynomial

Mga seksyon ng site

Pinili ng Editor:

Advertising

Bahay - Kusina

Parabola. Ang graph ng quadratic function () ay isang parabola. Isaalang-alang ang canonical case:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Ang domain ng kahulugan ay anumang tunay na numero (anumang halaga ng "x"). Ano ang ibig sabihin nito? Anumang punto sa axis ang pipiliin natin, para sa bawat "x" ay mayroong parabola point. Sa matematika ito ay nakasulat na ganito: . Ang domain ng kahulugan ng anumang function ay karaniwang tinutukoy ng o . Ang liham ay nagpapahiwatig ng isang hanay ng mga tunay na numero o, mas simple, "anumang X" (kapag ang trabaho ay nakasulat sa isang kuwaderno, hindi sila sumulat ng isang kulot na titik, ngunit isang naka-bold na titik R).

Ang hanay ay ang hanay ng lahat ng mga halaga na maaaring kunin ng variable na "y". Sa kasong ito: – ang hanay ng lahat mga positibong halaga, kabilang ang zero. Ang hanay ng mga halaga ay karaniwang tinutukoy ng o .

Ang function ay kahit Kung pantay ang function, ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis. Ito ay napaka kapaki-pakinabang na ari-arian, na makabuluhang pinapasimple ang pagbuo ng isang graph, gaya ng makikita natin sa lalong madaling panahon. Analytically, ang parity ng isang function ay ipinahayag ng kondisyon. Paano suriin ang anumang function para sa parity? Sa halip, kailangan mong palitan ang . Sa kaso ng isang parabola, ang tseke ay ganito ang hitsura: nangangahulugan ito na ang function ay pantay.

Function hindi limitado mula sa itaas. Analytically ang property ay nakasulat tulad ng sumusunod: . Dito, sa pamamagitan ng paraan, ay isang halimbawa ng geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function: kung pupunta tayo sa kahabaan ng axis (sa kaliwa o sa kanan) hanggang sa infinity, kung gayon ang mga sanga ng parabola (nangangahulugang "Y") ay tataas nang walang katiyakan sa "plus infinity".

Sa pag-aaral ng mga limitasyon ng mga pag-andar Maipapayo na maunawaan ang geometric na kahulugan ng limitasyon.

Ito ay hindi nagkataon na inilarawan ko ang mga katangian ng function sa ganoong detalye ang lahat ng mga bagay sa itaas ay kapaki-pakinabang na malaman at tandaan kapag gumagawa ng mga graph ng mga function, pati na rin kapag nag-aaral ng mga graph ng mga function.

Halimbawa 2

I-graph ang function .

Sa halimbawang ito titingnan natin ang isang mahalagang teknikal na isyu: Paano mabilis na bumuo ng isang parabola? Sa mga praktikal na gawain, ang pangangailangan na gumuhit ng isang parabola ay madalas na lumitaw, lalo na, kapag nagkalkula lugar ng figure na ginagamit tiyak na integral . Samakatuwid, ipinapayong matutunan kung paano kumpletuhin ang isang pagguhit nang mabilis, na may kaunting pagkawala ng oras. Iminumungkahi ko ang sumusunod na algorithm ng konstruksiyon.

Una nating mahanap ang vertex ng parabola. Upang gawin ito, kunin ang unang derivative at itumbas ito sa zero:

Kung mahina ka sa mga derivatives, dapat mong basahin ang aralin Paano mahahanap ang derivative?

Kaya, ang solusyon sa ating equation: – sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kinakalkula namin ang kaukulang halaga ng "Y":

Kaya, ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang walang pakundangan na gumagamit ng simetrya ng parabola. Dapat pansinin na ang pag-andar – ay hindi pantay, ngunit, gayunpaman, walang kinansela ang simetrya ng parabola.

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang algorithm ng konstruksiyon na ito ay matalinghagang matatawag na "shuttle". Marahil hindi lahat ay nauunawaan ang kakanyahan ng shuttle, kung gayon para sa paghahambing ay ipinaalala ko sa iyo ang sikat na palabas sa TV na "pabalik-balik kasama si Anfisa Chekhova."

Gawin natin ang pagguhit:

Mula sa mga graph na sinuri, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa quadratic function (), ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Kubiko parabola

Ang isang cubic parabola ay ibinibigay ng function. Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng function

Ang domain ng kahulugan ay anumang tunay na numero: .

Saklaw ng mga halaga – anumang tunay na numero: .

Ang function ay kakaiba. Kung ang isang function ay kakaiba, ang graph nito ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Analytically, ang oddness ng isang function ay ipinahayag ng kondisyon . Magsagawa tayo ng tseke para sa kubiko na pag-andar upang gawin ito, sa halip na "X" ay pinapalitan natin ang "minus X":
, na nangangahulugang kakaiba ang function.

Function hindi limitado. Sa wika ng mga limitasyon ng pag-andar, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

Ito rin ay mas mahusay na gumawa ng isang cubic parabola gamit ang shuttle algorithm ni Anfisa Chekhova:

Tiyak, napansin mo kung saan pa ang kakaiba ng pag-andar ay ipinakita. Kung nahanap natin yan , pagkatapos kapag nagkalkula ay hindi na kailangang magbilang ng anuman, awtomatiko naming isusulat iyon . Ang feature na ito ay totoo para sa anumang kakaibang function.

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa mga graph ng polynomial.

Graph ng anumang third degree polynomial () karaniwang mayroong sumusunod na anyo:

Sa halimbawang ito, ang coefficient para sa pinakamataas na degree ay , kaya ang graph ay naka-"inversely". Ang mga graph ng polynomials ng ika-5, ika-7, ika-9 at iba pang mga kakaibang degree ay may mahalagang parehong hitsura. Kung mas mataas ang antas, mas maraming intermediate na "zagibulins".

Ang mga polynomial ng ika-4, ika-6 at iba pang pantay na digri ay may graph sa panimula ng sumusunod na anyo:

Ang kaalamang ito ay kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng mga function graph.

Graph ng isang function

Gawin natin ang pagguhit:

Mga pangunahing katangian ng function:

Saklaw: .

Saklaw ng mga halaga: .

Iyon ay, ang graph ng function ay ganap na matatagpuan sa unang coordinate quadrant.

Function hindi limitado mula sa itaas. O gumagamit ng limitasyon:

Kapag nagtatayo ng pinakasimpleng mga graph na may mga ugat, ang paraan ng pagbuo ng point-wise ay angkop din, at ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga naturang "x" na halaga upang ang buong ugat ay nakuha:

Sa katunayan, gusto kong tumingin ng higit pang mga halimbawa na may mga ugat, halimbawa, ngunit hindi gaanong karaniwan ang mga ito. Nakatuon ako sa mas karaniwang mga kaso, at, tulad ng ipinapakita sa pagsasanay, ang isang bagay na tulad nito ay kailangang gawin nang mas madalas. Kung kailangan mong malaman kung ano ang hitsura ng mga graph sa iba pang mga ugat, pagkatapos ay inirerekumenda kong tingnan aklat-aralin sa paaralan o isang sangguniang libro sa matematika.

Hyperbola graph

Muli, naaalala natin ang walang kuwentang hyperbole na "paaralan".

Gawin natin ang pagguhit:

Mga pangunahing katangian ng function:

Saklaw: .

Saklaw ng mga halaga: .

Ang ibig sabihin ng notasyon ay: "anumang tunay na numero na hindi kasama ang zero"

Sa isang punto ang pag-andar ay dumaranas ng isang walang katapusang discontinuity. O gamit unilateral mga limitasyon: , . Pag-usapan natin nang kaunti ang tungkol sa mga one-sided na limitasyon. Ang ibig sabihin ng entry ay tayo malapit nang walang katapusan papalapit sa axis sa zero umalis. Paano gumagana ang iskedyul sa kasong ito? Ito ay bumaba sa minus infinity, malapit nang walang katapusan papalapit sa axis. Ito ang katotohanang ito na nakasulat bilang isang limitasyon. Gayundin, ang notasyon ay nangangahulugan na tayo malapit nang walang katapusan papalapit sa axis sa zero tama. Sa kasong ito, ang sangay ng hyperbola ay umaakyat sa plus infinity, malapit nang walang katapusan papalapit sa axis. O sa madaling sabi: .

$f: \mathbb(R) \to \mathbb(R)$ mabait

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad x \in \mathbb(R),$

saan $a\neq 0.$ Sa madaling salita, ang cubic function ay tinukoy ng isang polynomial ng ikatlong antas.

Mga katangian ng analitikal

Aplikasyon

Ang cubic parabola ay minsan ginagamit upang kalkulahin ang transition curve sa transportasyon, dahil ang pagkalkula nito ay mas simple kaysa sa paggawa ng clothoid.

Tingnan din

Sumulat ng pagsusuri tungkol sa artikulong "Cubic function"

Mga Tala

Panitikan

L. S. Pontryagin, // "Quantum", 1984, No. 3.
I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, "Handbook of Mathematics", publishing house "Nauka", M. 1967, p. 84

Sipi na nagpapakilala sa cubic function

- Well, para saan man ito...
Sa oras na ito, si Petya, kung kanino walang binibigyang pansin, ay lumapit sa kanyang ama at, lahat ay pula, sa isang basag na boses, kung minsan ay magaspang, kung minsan ay payat, ay nagsabi:
"Buweno, ngayon, papa, tiyak na sasabihin ko - at si mama rin, ayon sa gusto mo - tiyak kong sasabihin na papasukin mo ako." serbisyo militar, kasi hindi ko kaya... yun lang...
Ang Countess ay itinaas ang kanyang mga mata sa langit sa takot, niyakap ang kanyang mga kamay at galit na lumingon sa kanyang asawa.
- Kaya pumayag ako! - sabi niya.
Ngunit agad namang nakabawi ang bilangan sa kanyang pananabik.
"Well, well," sabi niya. - Narito ang isa pang mandirigma! Itigil ang katarantaduhan: kailangan mong mag-aral.
- Hindi ito kalokohan, daddy. Si Fedya Obolensky ay mas bata kaysa sa akin at darating din, at higit sa lahat, wala pa rin akong matutunan ngayon na ... - Huminto si Petya, namula hanggang sa pagpawisan siya at sinabing: - kapag ang amang bayan ay nasa panganib.
- Kumpleto, kumpleto, walang kapararakan...
- Ngunit ikaw mismo ang nagsabi na isasakripisyo namin ang lahat.
"Petya, sinasabi ko sa iyo, tumahimik ka," sigaw ng konte, na lumingon sa kanyang asawa, na, namumutla, ay tumingin nang may mga mata sa kanyang bunsong anak.
- At sinasabi ko sa iyo. Kaya sasabihin ni Pyotr Kirillovich...
"Sinasabi ko sa iyo, ito ay walang kapararakan, ang gatas ay hindi pa natutuyo, ngunit gusto niyang pumasok sa serbisyo militar!" Well, well, I’m telling you,” at ang konte, dala ang mga papel sa kanya, marahil para basahin muli ang mga ito sa opisina bago magpahinga, ay lumabas ng silid.
- Pyotr Kirillovich, sige, manigarilyo tayo...
Si Pierre ay nalilito at nag-aalinlangan. Ang hindi pangkaraniwang maliwanag at animated na mga mata ni Natasha, na patuloy na lumilingon sa kanya nang higit sa pagmamahal, ay nagdala sa kanya sa ganitong estado.
- Hindi, sa tingin ko ay uuwi ako ...
- Ito ay tulad ng pag-uwi, ngunit nais mong magpalipas ng gabi sa amin ... At pagkatapos ay bihira kang dumating. And this one of mine...” magiliw na sabi ng konte, sabay turo kay Natasha, “masayahin lang siya kapag kasama ka...”
“Yes, I forgot... I really need to go home... Things to do...” nagmamadaling sabi ni Pierre.
"Well, goodbye," sabi ng konte, tuluyang lumabas ng silid.
- Bakit ka aalis? bakit ka ba nagagalit? Bakit?..” tanong ni Natasha kay Pierre, nakatingin ng masama sa kanyang mga mata.
“Dahil mahal kita! - gusto niyang sabihin, ngunit hindi niya sinabi, namula siya hanggang sa umiyak siya at ibinaba ang kanyang mga mata.
- Kasi it’s better for me to visit you less often... Kasi... wala, may business lang ako.
- Bakit? hindi, sabihin mo sa akin," panimula ni Natasha at biglang tumahimik. Nagkatinginan silang dalawa sa takot at pagkalito. Sinubukan niyang ngumiti, ngunit hindi niya magawa: ang kanyang ngiti ay nagpahayag ng pagdurusa, at tahimik niyang hinalikan ang kamay nito at umalis.
Nagpasya si Pierre na huwag nang bisitahin ang mga Rostov kasama ang kanyang sarili.

Si Petya, pagkatapos makatanggap ng isang mapagpasyang pagtanggi, ay nagtungo sa kanyang silid at doon, ikinulong ang kanyang sarili mula sa lahat, umiyak ng mapait. Ginawa nila ang lahat na parang wala silang napansin, pagdating sa tsaa, tahimik at madilim, na may bahid ng luha sa mga mata.
Kinabukasan ay dumating ang soberanya. Ang ilan sa mga patyo ng Rostov ay humiling na pumunta at makita ang Tsar. Nang umagang iyon ay natagalan si Petya sa pagbibihis, pagsusuklay ng buhok at pag-aayos ng kanyang mga kuwelyo tulad ng mga malalaki. Sumimangot siya sa harap ng salamin, gumawa ng mga galaw, nagkibit balikat, at sa wakas, nang hindi sinasabi sa sinuman, isinuot niya ang kanyang sumbrero at lumabas ng bahay mula sa balkonahe sa likod, sinusubukang hindi mapansin. Nagpasya si Petya na dumiretso sa lugar kung saan naroroon ang soberanya at direktang ipaliwanag sa ilang chamberlain (para kay Petya na ang soberanya ay palaging napapalibutan ng mga chamberlain) na siya, si Count Rostov, sa kabila ng kanyang kabataan, ay nais na maglingkod sa ama, ang kabataang iyon. hindi maaaring maging hadlang para sa debosyon at siya ay handa na... Si Petya, habang siya ay naghahanda, ay naghanda ng maraming magagandang salita na kanyang sasabihin sa chamberlain.

Parabola. Ang graph ng quadratic function () ay isang parabola. Isaalang-alang ang canonical case:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Ang saklaw ay ang hanay ng lahat ng mga halaga na maaaring kunin ng variable na "y". Sa kasong ito: – ang hanay ng lahat ng positibong halaga, kabilang ang zero. Ang hanay ng mga halaga ay karaniwang tinutukoy ng o .

Ang function ay kahit Kung pantay ang function, ang graph nito ay simetriko tungkol sa axis. Ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na katangian na makabuluhang pinapasimple ang pagbuo ng isang graph, tulad ng makikita natin sa ilang sandali. Analytically, ang parity ng isang function ay ipinahayag ng kondisyon. Paano suriin ang anumang function para sa parity? Sa halip, kailangan mong palitan ang . Sa kaso ng isang parabola, ang tseke ay ganito ang hitsura: nangangahulugan ito na ang function ay pantay.

Sa pag-aaral ng mga limitasyon ng mga pag-andar Maipapayo na maunawaan ang geometric na kahulugan ng limitasyon.

Halimbawa 2

I-graph ang function .

Sa halimbawang ito titingnan natin ang isang mahalagang teknikal na isyu: Paano mabilis na bumuo ng isang parabola? Sa mga praktikal na gawain, ang pangangailangan na gumuhit ng isang parabola ay madalas na lumitaw, lalo na, kapag kinakalkula ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral. Samakatuwid, ipinapayong matutunan kung paano kumpletuhin ang isang pagguhit nang mabilis, na may kaunting pagkawala ng oras. Iminumungkahi ko ang sumusunod na algorithm ng konstruksiyon.

Una nating mahanap ang vertex ng parabola. Upang gawin ito, kunin ang unang derivative at itumbas ito sa zero:

Kung mahina ka sa mga derivatives, dapat mong basahin ang aralin Paano mahahanap ang derivative?

Kaya, ang solusyon sa ating equation: – sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kinakalkula namin ang kaukulang halaga ng "Y":

Kaya, ang vertex ay nasa punto

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Gawin natin ang pagguhit:

Mula sa mga graph na sinuri, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa quadratic function (), ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Kubiko parabola

Ang isang cubic parabola ay ibinibigay ng function. Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng function

Ang domain ng kahulugan ay anumang tunay na numero: .

Saklaw ng mga halaga – anumang tunay na numero: .

Function hindi limitado. Sa wika ng mga limitasyon ng pag-andar, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

Ito rin ay mas mahusay na gumawa ng isang cubic parabola gamit ang shuttle algorithm ni Anfisa Chekhova:

Ngayon ay pag-usapan natin ang tungkol sa mga graph ng polynomial.

Graph ng anumang third degree polynomial () karaniwang mayroong sumusunod na anyo:

Ang mga polynomial ng ika-4, ika-6 at iba pang pantay na digri ay may graph sa panimula ng sumusunod na anyo:

Ang kaalamang ito ay kapaki-pakinabang kapag nag-aaral ng mga function graph.

Graph ng isang function

Gawin natin ang pagguhit:

Mga pangunahing katangian ng function:

Saklaw: .

Saklaw ng mga halaga: .

Iyon ay, ang graph ng function ay ganap na matatagpuan sa unang coordinate quadrant.

Function hindi limitado mula sa itaas. O gumagamit ng limitasyon:

Ang function na y=x^2 ay tinatawag na quadratic function. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola. Pangkalahatang view Ang parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Quadratic function

Fig 1. Pangkalahatang view ng parabola

Tulad ng makikita mula sa graph, ito ay simetriko tungkol sa Oy axis. Ang Oy axis ay tinatawag na axis of symmetry ng parabola. Nangangahulugan ito na kung gumuhit ka ng isang tuwid na linya sa graph parallel sa axis ng Ox sa itaas ng axis na ito. Pagkatapos ay mag-intersect ito sa parabola sa dalawang punto. Magiging pareho ang distansya mula sa mga puntong ito hanggang sa Oy axis.

Hinahati ng axis ng symmetry ang graph ng isang parabola sa dalawang bahagi. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng parabola. At ang punto ng isang parabola na nasa axis ng symmetry ay tinatawag na vertex ng parabola. Iyon ay, ang axis ng symmetry ay dumadaan sa vertex ng parabola. Ang mga coordinate ng puntong ito ay (0;0).

Mga pangunahing katangian ng isang quadratic function

1. Sa x =0, y=0, at y>0 sa x0

2. Pinakamababang halaga ang quadratic function ay umabot sa tuktok nito. Ymin sa x=0; Dapat ding tandaan na pinakamataas na halaga wala ang function.

3. Bumababa ang function sa pagitan (-∞;0] at tumataas sa pagitan)

Ibinigay metodolohikal na materyal ay para sa sanggunian lamang at nalalapat sa isang malawak na hanay ng mga paksa. Ang artikulo ay nagbibigay ng pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya at tinutugunan ang pinakamahalagang isyu - paano gumawa ng graph ng tama at MABILIS. Sa kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika nang walang kaalaman sa mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ito ay magiging mahirap, kaya napakahalagang tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng isang parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, at tandaan ang ilan. ng mga kahulugan ng mga function. Pag-uusapan din natin ang ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ko inaangkin ang pagiging kumpleto at pang-agham na pagiging ganap ng mga materyales; literal na nakatagpo ang isa sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Masasabi ng isa.

Dahil sa maraming kahilingan mula sa mga mambabasa naki-click na talaan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling buod sa paksa
- master ang 16 na uri ng mga chart sa pamamagitan ng pag-aaral ng ANIM na pahina!

Grabe, six, kahit ako nagulat. Ang buod na ito ay naglalaman ng pinahusay na mga graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad ang isang demo na bersyon ay maaaring matingnan. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At simulan natin kaagad:

Paano gumawa ng mga coordinate axes nang tama?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsusulit ay halos palaging kinukumpleto ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook, na may linya sa isang parisukat. Bakit kailangan mo ng checkered markings? Pagkatapos ng lahat, ang trabaho, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. At ang hawla ay kinakailangan para lamang sa mataas na kalidad at tumpak na disenyo ng mga guhit.

Ang anumang pagguhit ng isang function graph ay nagsisimula sa mga coordinate axes.

Ang mga guhit ay maaaring two-dimensional o three-dimensional.

Isaalang-alang muna natin ang dalawang-dimensional na kaso Cartesian rectangular coordinate system:

1) Gumuhit coordinate axes. Ang axis ay tinatawag x-axis , at ang axis ay y-axis . Lagi naming sinusubukang iguhit ang mga ito maayos at hindi baluktot. Ang mga palaso ay hindi rin dapat katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Pinirmahan namin ang mga palakol na may malalaking titik na "X" at "Y". Huwag kalimutang lagyan ng label ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag gumagawa ng isang pagguhit, ang pinaka-maginhawa at madalas na ginagamit na sukat ay: 1 yunit = 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - kung maaari, manatili dito. Gayunpaman, paminsan-minsan ay nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa notebook sheet - pagkatapos ay binabawasan namin ang sukat: 1 yunit = 1 cell (pagguhit sa kanan). Ito ay bihira, ngunit nangyayari na ang sukat ng pagguhit ay kailangang bawasan (o dagdagan) pa

HINDI KAILANGAN ang “machine gun” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Para sa coordinate na eroplano ay hindi isang monumento kay Descartes, at ang estudyante ay hindi isang kalapati. Inilagay namin sero At dalawang yunit sa kahabaan ng mga palakol. Minsan sa halip na mga yunit, ito ay maginhawa upang "markahan" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa abscissa axis at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2 at 3) ay natatanging tukuyin ang coordinate grid.

Mas mainam na tantyahin ang tinantyang sukat ng pagguhit BAGO gawin ang pagguhit. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan ng pagguhit ng isang tatsulok na may mga vertex , , , kung gayon ay ganap na malinaw na ang sikat na sukat ng 1 yunit = 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - dito kailangan mong sukatin ang labinlimang sentimetro pababa, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o halos hindi magkasya) sa isang notebook sheet. Samakatuwid, agad kaming pumili ng mas maliit na sukat: 1 unit = 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo ba na ang 30 notebook cell ay naglalaman ng 15 sentimetro? Para masaya, sukatin ang 15 sentimetro sa iyong kuwaderno gamit ang ruler. Sa USSR, maaaring totoo ito... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susukatin mo ang parehong mga sentimetro nang pahalang at patayo, ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi checkered, ngunit hugis-parihaba. Ito ay maaaring mukhang walang kapararakan, ngunit ang pagguhit, halimbawa, ang isang bilog na may compass sa mga ganitong sitwasyon ay lubhang hindi maginhawa. Sa totoo lang, sa mga sandaling iyon ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Kasamang Stalin, na ipinadala sa mga kampo para sa pag-hack sa paggawa, hindi sa banggitin ang industriya ng domestic automobile, bumabagsak na mga eroplano o sumasabog na mga power plant.

Ang pagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa stationery. Ngayon, karamihan sa mga notebook na ibinebenta ay, kung tutuusin, kumpletong kalokohan. Para sa kadahilanang nabasa sila, at hindi lamang mula sa mga gel pen, kundi pati na rin mula sa mga bolpen! Nagtitipid sila sa papel. Para sa pagpaparehistro mga pagsubok Inirerekomenda ko ang paggamit ng mga notebook mula sa Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 sheet, square) o "Pyaterochka", bagaman ito ay mas mahal. Maipapayo na pumili ng isang gel pen; kahit na ang pinakamurang Chinese gel refill ay mas mahusay kaysa sa isang bolpen, na maaaring mabulok o mapunit ang papel. Ang tanging "mapagkumpitensya" bolpen sa aking alaala ay "Erich Krause". Malinaw, maganda, at tuluy-tuloy ang pagsusulat niya – may buong core man o halos walang laman.

Bukod pa rito: Ang pananaw ng isang rectangular coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytical geometry ay sakop sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector, detalyadong impormasyon tungkol sa coordinate quarters makikita sa ikalawang talata ng aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

3D na kaso

Halos pareho lang dito.

1) Gumuhit ng mga coordinate axes. Pamantayan: ilapat ang axis – nakadirekta pataas, axis – nakadirekta sa kanan, axis – nakadirekta pababa sa kaliwa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degrees.

2) Lagyan ng label ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol. Ang sukat sa kahabaan ng axis ay dalawang beses na mas maliit kaysa sa sukat sa iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit ay gumamit ako ng isang hindi karaniwang "bingaw" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit na sa itaas). Mula sa aking pananaw, ito ay mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetically kasiya-siya - hindi na kailangang hanapin ang gitna ng cell sa ilalim ng mikroskopyo at "i-sculpt" ang isang yunit na malapit sa pinagmulan ng mga coordinate.

Kapag gumagawa ng 3D na pagguhit, muli, bigyang-priyoridad ang sukat
1 unit = 2 cell (drawing sa kaliwa).

Para saan ang lahat ng mga patakarang ito? Ang mga patakaran ay ginawa upang masira. Yan ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin ko sa Excel, at ang mga coordinate axes ay magmumukhang hindi tama mula sa punto ng view tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga graph sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang nakakatakot na iguhit ang mga ito dahil ang Excel ay nag-aatubili na iguhit ang mga ito nang mas tumpak.

Mga graph at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Ang isang linear function ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng mga linear function ay direkta. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

Bumuo ng graph ng function. Maghanap tayo ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung , kung gayon

Kumuha tayo ng isa pang punto, halimbawa, 1.

Kung , kung gayon

Kapag kinukumpleto ang mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang ibinubuod sa isang talahanayan:

At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang draft, isang calculator.

Dalawang puntos ang natagpuan, gawin natin ang pagguhit:

Kapag naghahanda ng guhit, palagi naming pinipirmahan ang mga graphic.

Magiging kapaki-pakinabang na alalahanin ang mga espesyal na kaso ng isang linear function:

Pansinin kung paano ko inilagay ang mga pirma, hindi dapat pahintulutan ng mga lagda ang mga pagkakaiba kapag pinag-aaralan ang pagguhit. SA sa kasong ito Lubhang hindi kanais-nais na maglagay ng lagda sa tabi ng punto ng intersection ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear na function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa, . Ang isang direktang proporsyonal na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagbuo ng isang tuwid na linya ay pinasimple - sapat na upang makahanap ng isang punto lamang.

2) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay agad na binuo, nang hindi nakakahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang entry ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "ang y ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."

3) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay na-plot din kaagad. Ang entry ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x ay palaging, para sa anumang halaga ng y, katumbas ng 1."

May magtatanong, bakit naaalala ang grade 6?! Ganyan talaga, siguro nga, pero sa paglipas ng mga taon ng pagsasanay, nakilala ko ang isang dosenang estudyante na nalilito sa gawaing paggawa ng graph tulad ng o.

Ang pagbuo ng isang tuwid na linya ay ang pinakakaraniwang aksyon kapag gumagawa ng mga guhit.

Ang tuwid na linya ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng analytical geometry, at ang mga interesado ay maaaring sumangguni sa artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Graph ng isang quadratic, cubic function, graph ng isang polynomial

Parabola. Iskedyul quadratic function () ay kumakatawan sa isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Kaya, ang solusyon sa ating equation: – sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kung bakit ganito ay makikita sa theoretical na artikulo sa derivative at ang aralin sa extrema ng function. Pansamantala, kalkulahin natin ang katumbas na halaga ng "Y":

Kaya, ang vertex ay nasa punto

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang algorithm ng konstruksyon na ito ay matalinghagang matatawag na "shuttle" o ang "pabalik-balik" na prinsipyo sa Anfisa Chekhova.

Gawin natin ang pagguhit:

Mula sa mga graph na sinuri, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa isang quadratic function () ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Ang malalim na kaalaman tungkol sa kurba ay maaaring makuha sa aralin na Hyperbola at parabola.

Ang isang cubic parabola ay ibinibigay ng function. Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng function

Graph ng isang function

Ito ay kumakatawan sa isa sa mga sangay ng isang parabola. Gawin natin ang pagguhit:

Mga pangunahing katangian ng function:

Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng isang hyperbola sa .

Ito ay magiging isang GROSS na pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang guhit, walang ingat mong pinapayagan ang graph na mag-intersect sa isang asymptote.

Ang mga one-sided na limitasyon ay nagsasabi sa amin na ang hyperbola hindi limitado mula sa itaas At hindi limitado mula sa ibaba.

Suriin natin ang function sa infinity: , ibig sabihin, kung magsisimula tayong gumalaw sa kahabaan ng axis sa kaliwa (o kanan) hanggang sa infinity, kung gayon ang "mga laro" ay magiging isang maayos na hakbang. malapit nang walang katapusan lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola malapit nang walang katapusan lumapit sa axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote para sa graph ng isang function, kung ang "x" ay may posibilidad na plus o minus infinity.

Ang function ay kakaiba, at, samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Ang katotohanang ito ay halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, madali itong ma-verify nang analytical: .

Ang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sangay ng isang hyperbola.

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa una at pangatlong coordinate quarter(tingnan ang larawan sa itaas).

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa ikalawa at ikaapat na coordinate quarter.

Ang ipinahiwatig na pattern ng hyperbola residence ay madaling suriin mula sa punto ng view ng geometric transformations ng mga graph.

Halimbawa 3

Buuin ang tamang sangay ng hyperbola

Ginagamit namin ang point-wise na paraan ng pagtatayo, at ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga halaga upang ang mga ito ay mahahati sa kabuuan:

Gawin natin ang pagguhit:

Hindi magiging mahirap na buuin ang kaliwang sangay ng hyperbola na makakatulong dito. Sa halos pagsasalita, sa talahanayan ng pagtatayo ng point-by-point, nagdaragdag kami ng minus sa bawat numero, ilagay ang kaukulang mga puntos at iguhit ang pangalawang sangay.

Ang detalyadong geometric na impormasyon tungkol sa linyang isinasaalang-alang ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at parabola.

Graph ng Exponential Function

Sa seksyong ito, agad kong isasaalang-alang ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso ito ang exponential na lilitaw.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ito ay isang hindi makatwirang numero: , ito ay kinakailangan kapag gumagawa ng isang graph, na, sa katunayan, ako ay magtatayo nang walang seremonya. Marahil sapat na ang tatlong puntos:

Iwanan muna natin ang graph ng function sa ngayon, higit pa dito sa ibang pagkakataon.

Mga pangunahing katangian ng function:

Ang mga function graph, atbp., sa panimula ay pareho ang hitsura.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay nangyayari nang hindi gaanong madalas sa pagsasanay, ngunit ito ay nangyayari, kaya't itinuring kong kinakailangang isama ito sa artikulong ito.

Graph ng isang logarithmic function

Isaalang-alang ang isang function na may natural na logarithm.
Gumawa tayo ng point-by-point drawing:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa iyong mga aklat-aralin sa paaralan.

Mga pangunahing katangian ng function:

Domain ng kahulugan:

Saklaw ng mga halaga: .

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na mabagal, ngunit ang sangay ng logarithm ay umaakyat sa infinity.
Suriin natin ang pag-uugali ng function na malapit sa zero sa kanan: . Kaya ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng isang function bilang "x" ay may posibilidad na zero mula sa kanan.

Kinakailangang malaman at tandaan ang karaniwang halaga ng logarithm: .

Sa prinsipyo, ang graph ng logarithm sa base ay mukhang pareho: , , (decimal logarithm sa base 10), atbp. Bukod dito, mas malaki ang base, mas magiging flat ang graph.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso; hindi ko matandaan ang huling beses na gumawa ako ng graph na may ganoong batayan. At ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mga problema ng mas mataas na matematika.

Sa dulo ng talatang ito sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Exponential function at logarithmic function– ito ay dalawang magkabaligtaran na pag-andar. Kung titingnan mong mabuti ang graph ng logarithm, makikita mo na ito ang parehong exponent, medyo naiiba lang ang lokasyon nito.

Mga graph ng trigonometriko function

Saan nagsisimula ang trigonometric torment sa paaralan? Tama. Mula sa sine

I-plot natin ang function

Ang linyang ito ay tinatawag sinusoid.

Ipaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwirang numero: , at sa trigonometrya ay nakakasilaw ang iyong mga mata.

Mga pangunahing katangian ng function:

Ang function na ito ay pana-panahon may period . Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang segment. Sa kaliwa at kanan nito, ang eksaktong parehong piraso ng graph ay paulit-ulit na walang katapusang.

Domain ng kahulugan: , ibig sabihin, para sa anumang halaga ng “x” ay mayroong halaga ng sine.

Saklaw ng mga halaga: . Ang function ay limitado: , ibig sabihin, lahat ng "manlalaro" ay mahigpit na nakaupo sa segment .
Hindi ito nangyayari: o, mas tiyak, nangyayari ito, ngunit ang mga equation na ito ay walang solusyon.

Basahin:

Pagkakatugma ng Aries at Sagittarius: nagniningas na unyon sa pantasya Anong mga bulaklak ang dapat kong ibigay kay Aries? Pagpapasiya at pagtatasa ng pangkalahatang pisikal na pagganap Wobenzym - opisyal* na mga tagubilin para sa paggamit Kasama sa mga microelement