Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք տասնորդական թվերի բազմապատկման գործողություններին: Սկսենք նշելով ընդհանուր սկզբունքները, ապա ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է մեկ տասնորդական կոտորակը բազմապատկել մյուսով և դիտարկել սյունակով բազմապատկման եղանակը: Բոլոր սահմանումները կներկայացվեն օրինակներով: Այնուհետև մենք կնայենք, թե ինչպես ճիշտ բազմապատկել տասնորդական կոտորակները սովորական, ինչպես նաև խառը և բնական թվերով (ներառյալ 100, 10 և այլն):

Այս նյութում կանդրադառնանք միայն դրական կոտորակների բազմապատկման կանոններին։ Բացասական թվերով դեպքերը քննարկվում են ռացիոնալ և իրական թվերի բազմապատկման հոդվածներում առանձին։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Եկեք ձևակերպենք ընդհանուր սկզբունքներ, որին պետք է հետևել տասնորդական կոտորակների բազմապատկման վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս։

Սկզբի համար հիշենք, որ տասնորդական կոտորակները ոչ այլ ինչ են, քան սովորական կոտորակներ գրելու հատուկ ձև, հետևաբար, դրանց բազմապատկման գործընթացը կարող է կրճատվել սովորական կոտորակների համար: Այս կանոնը գործում է ինչպես վերջավոր, այնպես էլ անվերջ կոտորակների համար. դրանք սովորական կոտորակների վերածելուց հետո հեշտ է նրանցով բազմապատկել արդեն սովորած կանոններով։

Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Օրինակ 1

Հաշվե՛ք 1,5-ի և 0,75-ի արտադրյալը։

Լուծում. Նախ, եկեք տասնորդական կոտորակները փոխարինենք սովորականներով: Մենք գիտենք, որ 0,75-ը 75/100 է, իսկ 1,5-ը՝ 15/10: Մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը և ընտրել ամբողջ մասը։ Ստացված 125 1000 արդյունքը կգրենք որպես 1, 125։

Պատասխան. 1 , 125 .

Մենք կարող ենք օգտագործել սյունակների հաշվման մեթոդը, ինչպես բնական թվերի դեպքում։

Օրինակ 2

Մի պարբերական կոտորակը 0, (3) բազմապատկեք մեկ այլ 2-ով (36):

Նախ, եկեք կրճատենք սկզբնական կոտորակները սովորականների: Մենք կստանանք.

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

Հետևաբար, 0, (3) · 2, (36) = 1 3 · 26 11 = 26 33:

Ստացվածը ընդհանուր կոտորակկարող է հանգեցնել տասնորդական ձև, սյունակի համարիչը բաժանելով հայտարարի վրա.

Պատասխան. 0 , (3) · 2 , (36) = 0 , (78) .

Եթե ​​խնդրի դրույթում ունենք անվերջ ոչ պարբերական կոտորակներ, ապա մենք պետք է կատարենք նախնական կլորացում (տե՛ս հոդվածը թվերի կլորացման մասին, եթե մոռացել եք, թե ինչպես դա անել): Դրանից հետո դուք կարող եք կատարել բազմապատկման գործողություն արդեն կլորացված տասնորդական կոտորակներով: Օրինակ բերենք.

Օրինակ 3

Հաշվի՛ր 5, 382... և 0, 2-ի արտադրյալը։

Լուծում

Մեր խնդրի մեջ մենք ունենք անվերջ կոտորակ, որը նախ պետք է կլորացվի հարյուրերորդական: Ստացվում է, որ 5.382... ≈ 5.38: Երկրորդ գործոնը հարյուրերորդականի կլորացնելն անիմաստ է։ Այժմ կարող եք հաշվարկել պահանջվող արտադրյալը և գրել պատասխանը՝ 5,38 0,2 = 538 100 2 10 = 1 076 1000 = 1,076:

Պատասխան. 5,382…·0,2 ≈ 1,076:

Սյունակների հաշվման մեթոդը կարող է օգտագործվել ոչ միայն բնական թվերի համար։ Եթե ​​ունենք տասնորդականներ, կարող ենք դրանք բազմապատկել ճիշտ նույն կերպ։ Բերենք կանոնը.

Սահմանում 1

Տասնորդական կոտորակները սյունակով բազմապատկելը կատարվում է 2 քայլով.

1. Կատարե՛ք սյունակի բազմապատկում՝ ուշադրություն չդարձնելով ստորակետերին։

2. Վերջնական թվի մեջ տեղադրեք տասնորդական կետ՝ այն բաժանելով աջ կողմում այնքան թվանշաններով, որքան երկու գործակիցները միասին պարունակում են տասնորդական թվեր: Եթե ​​արդյունքը դրա համար բավարար թվեր չէ, ձախ կողմում ավելացրեք զրոներ:

Դիտարկենք նման հաշվարկների օրինակներ գործնականում:

Օրինակ 4

63, 37 և 0, 12 տասնորդականները բազմապատկեք սյունակներով:

Լուծում

Նախ, եկեք բազմապատկենք թվերը՝ անտեսելով տասնորդական միավորները:

Այժմ մենք պետք է ստորակետը դնենք ճիշտ տեղում: Այն կառանձնացնի աջ կողմի չորս թվանշանները, քանի որ երկու գործակիցների տասնորդական թվերի գումարը 4 է: Զրոներ ավելացնելու կարիք չկա, քանի որ բավարար նշաններ.

Պատասխան. 3,37 0,12 = 7,6044:

Օրինակ 5

Հաշվիր, թե որքան է 3,2601 անգամ 0,0254-ը:

Լուծում

Մենք հաշվում ենք առանց ստորակետերի։ Մենք ստանում ենք հետևյալ համարը.

Աջ կողմում կդնենք 8 թվանշան բաժանող ստորակետ, քանի որ սկզբնական կոտորակները միասին ունեն 8 տասնորդական տեղ։ Բայց մեր արդյունքն ունի ընդամենը յոթ նիշ, և մենք չենք կարող անել առանց լրացուցիչ զրոների.

Պատասխան. 3,2601 0,0254 = 0,08280654:

Ինչպես բազմապատկել տասնորդականը 0,001, 0,01, 01 և այլն:

Տասնորդական թվերը նման թվերով բազմապատկելը սովորական բան է, ուստի կարևոր է դա անել արագ և ճշգրիտ: Եկեք գրենք հատուկ կանոն, որը մենք կօգտագործենք այս բազմապատկման համար.

Սահմանում 2

Եթե ​​տասնորդական թիվը բազմապատկենք 0-ով, 1-ով, 0-ով, 01-ով և այլն, ապա ստացվում է սկզբնական կոտորակի նման մի թիվ, որի տասնորդական կետը տեղափոխվում է ձախ: պահանջվող քանակնշաններ. Եթե ​​փոխանցելու համար բավարար թվեր չկան, ձախ կողմում պետք է ավելացնել զրոներ:

Այսպիսով, 45, 34-ը 0, 1-ով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է այն փոխանցել բնօրինակին տասնորդականստորակետ մեկ նիշով: Մենք կհայտնվենք 4534-ով:

Օրինակ 6

9.4-ը բազմապատկեք 0.0001-ով:

Լուծում

Մենք ստիպված կլինենք տասնորդական կետը տեղափոխել չորս տեղ՝ ըստ երկրորդ գործոնի զրոների թվի, սակայն առաջին գործոնի թվերը դրա համար բավարար չեն։ Մենք նշանակում ենք անհրաժեշտ զրոներ և գտնում ենք, որ 9,4 · 0,0001 = 0,00094:

Պատասխան. 0 , 00094 .

Անսահման տասնորդականների համար մենք օգտագործում ենք նույն կանոնը. Այսպիսով, օրինակ, 0, (18) · 0, 01 = 0, 00 (18) կամ 94, 938... · 0, 1 = 9, 4938.... և այլն:

Նման բազմապատկման գործընթացը ոչնչով չի տարբերվում երկու տասնորդական կոտորակների բազմապատկման գործողությունից։ Հարմար է օգտագործել սյունակի բազմապատկման մեթոդը, եթե խնդրի հայտարարությունը պարունակում է վերջնական տասնորդական կոտորակ: Այս դեպքում անհրաժեշտ է հաշվի առնել բոլոր այն կանոնները, որոնց մասին մենք խոսեցինք նախորդ պարբերությունում:

Օրինակ 7

Հաշվիր, թե որքան է 15 · 2,27:

Լուծում

Բնօրինակ թվերը բազմապատկենք սյունակով և առանձնացնենք երկու ստորակետ։

Պատասխան. 15 · 2,27 = 34,05:

Եթե ​​կատարենք պարբերական տասնորդական բազմապատկում բնական թիվ, նախ պետք է տասնորդական կոտորակը փոխել սովորական կոտորակի։

Օրինակ 8

Հաշվե՛ք 0-ի, (42) և 22-ի արտադրյալը:

Եկեք կրճատենք պարբերական կոտորակը սովորական ձևի:

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

Վերջնական արդյունքը կարող ենք գրել պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով 9, (3):

Պատասխան. 0 , (42) 22 = 9 , (3) .

Անսահման կոտորակները նախ պետք է կլորացվեն նախքան հաշվարկները:

Օրինակ 9

Հաշվի՛ր, թե որքան կլինի 4 · 2, 145...:

Լուծում

Եկեք կլորացնենք սկզբնական անվերջ տասնորդական կոտորակը մինչև հարյուրերորդական: Դրանից հետո մենք գալիս ենք բնական թվի և վերջնական տասնորդական կոտորակի բազմապատկմանը.

4 2,145… ≈ 4 2,15 = 8,60:

Պատասխան. 4 · 2, 145… ≈ 8, 60:

Ինչպես բազմապատկել տասնորդական թիվը 1000-ով, 100-ով, 10-ով և այլն:

Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով և այլն բազմապատկելը հաճախ հանդիպում է խնդիրներում, ուստի այս դեպքը կվերլուծենք առանձին: Բազմապատկման հիմնական կանոնն է.

Սահմանում 3

Տասնորդական կոտորակը 1000-ով, 100-ով, 10-ով և այլն բազմապատկելու համար հարկավոր է նրա ստորակետը տեղափոխել 3, 2, 1 նիշ՝ կախված բազմապատկիչից, իսկ ձախ կողմում գտնվող ավելորդ զրոները: Եթե ​​ստորակետը տեղափոխելու համար բավարար թվեր չկան, ավելացրեք այնքան զրո դեպի աջ, որքան անհրաժեշտ է:

Եկեք օրինակով ցույց տանք, թե կոնկրետ ինչպես դա անել:

Օրինակ 10

Բազմապատկել 100-ը և 0,0783-ը:

Լուծում

Դա անելու համար մենք պետք է տասնորդական կետը տեղափոխենք 2 թվանշանով դեպի աջ: Մենք կվերջացնենք 007, 83 Ձախ կողմում գտնվող զրոները կարելի է հեռացնել, իսկ արդյունքը գրել 7, 38:

Պատասխան. 0,0783 100 = 7,83:

Օրինակ 11

0,02-ը բազմապատկել 10 հազարով:

Լուծում. Ստորակետը չորս նիշ կտեղափոխենք աջ: Մենք դրա համար բավարար նշաններ չունենք սկզբնական տասնորդական կոտորակի մեջ, այնպես որ մենք պետք է ավելացնենք զրոներ: Այս դեպքում բավարար կլինի երեք 0: Արդյունքը 0, 02000 է, տեղափոխեք ստորակետը և ստացեք 00200, 0: Անտեսելով ձախ կողմի զրոները՝ պատասխանը կարող ենք գրել որպես 200։

Պատասխան. 0,02 · 10000 = 200:

Մեր տված կանոնը նույն կերպ կգործի անվերջ տասնորդական կոտորակների դեպքում, բայց այստեղ պետք է շատ զգույշ լինել վերջնական կոտորակի պարբերության նկատմամբ, քանի որ դրանում հեշտ է սխալվել։

Օրինակ 12

Հաշվե՛ք 5,32 (672) 1000-ի արտադրյալը։

Լուծում` նախ պարբերական կոտորակը կգրենք 5, 32672672672 ..., ուստի սխալվելու հավանականությունը փոքր կլինի: Դրանից հետո մենք կարող ենք ստորակետը տեղափոխել անհրաժեշտ թվով նիշ (երեք): Արդյունքը կլինի 5326, 726726... Կետը փակցնենք փակագծերում և պատասխանը գրենք 5,326, (726):

Պատասխան. 5, 32 (672) · 1,000 = 5,326, (726) .

Եթե ​​խնդրի պայմանները պարունակում են անսահման ոչ պարբերական կոտորակներ, որոնք պետք է բազմապատկվեն տասը, հարյուրը, հազարը և այլն, մի մոռացեք կլորացնել դրանք բազմապատկելուց առաջ։

Այս տեսակի բազմապատկում իրականացնելու համար անհրաժեշտ է տասնորդական կոտորակը ներկայացնել որպես սովորական կոտորակ, այնուհետև շարունակել արդեն ծանոթ կանոններով:

Օրինակ 13

0, 4-ը բազմապատկեք 3 5 6-ով

Լուծում

Նախ, եկեք տասնորդական կոտորակը վերածենք սովորական կոտորակի: Մենք ունենք՝ 0, 4 = 4 10 = 2 5:

Պատասխանը ստացել ենք խառը թվի տեսքով։ Դուք կարող եք այն գրել որպես պարբերական կոտորակ 1, 5 (3):

Պատասխան. 1 , 5 (3) .

Եթե ​​հաշվարկում ներգրավված է անսահման ոչ պարբերական կոտորակ, ապա պետք է այն կլորացնեք որոշակի թվով, ապա բազմապատկեք այն:

Օրինակ 14

Հաշվի՛ր 3, 5678 արտադրյալը։ . . · 2 3

Լուծում

Երկրորդ գործոնը կարող ենք ներկայացնել որպես 2 3 = 0, 6666… Այնուհետև երկու գործոնները կլորացրեք մինչև հազարերորդ տեղը: Դրանից հետո մենք պետք է հաշվարկենք երկու վերջնական տասնորդական կոտորակների արտադրյալը՝ 3,568 և 0,667: Եկեք հաշվենք սյունակով և ստանանք պատասխանը.

Վերջնական արդյունքը պետք է կլորացվի հազարերորդականի, քանի որ հենց այս թվանշանով մենք կլորացրինք սկզբնական թվերը: Ստացվում է, որ 2,379856 ≈ 2,380:

Պատասխան. 3, 5678։ . . · 2 3 ≈ 2, 380

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել տասնորդականները, եկեք դիտարկենք կոնկրետ օրինակներ:

Տասնորդական թվերի բազմապատկման կանոն

1) Բազմապատկել առանց ստորակետին ուշադրություն դարձնելու:

2) Արդյունքում մենք տասնորդական կետից հետո առանձնացնում ենք այնքան թվանշան, որքան տասնորդական կետերից հետո երկու գործակիցները միասին:

Օրինակներ.

Գտե՛ք տասնորդական կոտորակների արտադրյալը.

Տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու համար մենք բազմապատկում ենք առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու: Այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք ոչ թե 6,8 և 3,4, այլ 68 և 34: Արդյունքում, տասնորդական կետից հետո մենք առանձնացնում ենք այնքան թվանշան, որքան տասնորդական կետերից հետո երկու գործակիցների հետ միասին: Առաջին գործոնում տասնորդական կետից հետո մեկ նիշ է, երկրորդում՝ նույնպես մեկը։ Ընդհանուր առմամբ տասնորդական կետից հետո առանձնացնում ենք երկու թիվ Այսպիսով, ստացանք վերջնական պատասխանը՝ 6.8∙3.4=23.12։

Մենք բազմապատկում ենք տասնորդականները՝ առանց տասնորդական կետը հաշվի առնելու։ Այսինքն, ըստ էության, 36,85-ը 1,14-ով բազմապատկելու փոխարեն, մենք 3685-ը բազմապատկում ենք 14-ով: Ստանում ենք 51590: Այժմ այս արդյունքում մենք պետք է ստորակետով առանձնացնենք այնքան թվանշան, որքան երկու գործակիցները միասին կան: Առաջին թիվը տասնորդական կետից հետո ունի երկու նիշ, երկրորդը՝ մեկ։ Ընդհանուր առմամբ մենք երեք նիշ ենք առանձնացնում ստորակետով։ Քանի որ մուտքի վերջում տասնորդական կետից հետո զրո կա, պատասխանում այն ​​չենք գրում՝ 36.85∙1.4=51.59։

Այս տասնորդականները բազմապատկելու համար եկեք բազմապատկենք թվերը՝ առանց ստորակետերին ուշադրություն դարձնելու։ Այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք 2315 և 7 բնական թվերը։ Ստանում ենք 16205։ Այս թվի մեջ տասնորդական կետից հետո պետք է առանձնացնել չորս նիշ՝ այնքան, որքան երկու գործակիցները միասին են (յուրաքանչյուրում երկուսը)։ Վերջնական պատասխան՝ 23.15∙0.07=1.6205:

Տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելը կատարվում է նույն կերպ։ Մենք բազմապատկում ենք թվերը՝ առանց ուշադրություն դարձնելու տասնորդական կետին, այսինքն՝ 75-ը բազմապատկում ենք 16-ով: Ստացված արդյունքը պետք է պարունակի նույն թվով նշաններ տասնորդական կետից հետո, ինչ երկու գործոններում միասին՝ մեկը: Այսպիսով, 75∙1.6=120.0=120։

Մենք սկսում ենք տասնորդական կոտորակները բազմապատկել բնական թվերը բազմապատկելով, քանի որ ուշադրություն չենք դարձնում ստորակետներին: Դրանից հետո մենք տասնորդական կետից հետո առանձնացնում ենք այնքան թվանշան, որքան երկու գործակիցները միասին են: Առաջին համարն ունի երկու տասնորդական տեղ, երկրորդը՝ նույնպես երկու։ Ընդհանուր առմամբ, արդյունքը պետք է լինի չորս նիշ տասնորդական կետից հետո՝ 4.72∙5.04=23.7888։

Անցնենք տասնորդական կոտորակներով հաջորդ գործողության ուսումնասիրությանը, այժմ համապարփակ հայացք կդնենք տասնորդական թվերի բազմապատկում. Նախ, եկեք քննարկենք տասնորդականների բազմապատկման ընդհանուր սկզբունքները: Դրանից հետո մենք կանցնենք տասնորդական կոտորակը տասնորդական կոտորակի վրա բազմապատկելուն, ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել տասնորդական կոտորակները սյունակով և կդիտարկենք օրինակների լուծումները: Հաջորդիվ կդիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը բնական թվերով, մասնավորապես՝ 10, 100 և այլն։ Վերջում խոսենք տասնորդականները կոտորակներով և խառը թվերով բազմապատկելու մասին։

Միանգամից ասենք, որ այս հոդվածում կխոսենք միայն դրական տասնորդական կոտորակների բազմապատկման մասին (տես դրական և բացասական թվեր)։ Մնացած դեպքերը քննարկվում են ռացիոնալ թվերի բազմապատկում և իրական թվերի բազմապատկում.

Էջի նավարկություն.

Տասնորդական թվերի բազմապատկման ընդհանուր սկզբունքներ

Եկեք քննարկենք այն ընդհանուր սկզբունքները, որոնք պետք է հետևել տասնորդական թվերով բազմապատկելիս:

Քանի որ վերջավոր տասնորդականները և անվերջ պարբերական կոտորակները սովորական կոտորակների տասնորդական ձևն են, այդպիսի տասնորդականների բազմապատկումն ըստ էության սովորական կոտորակների բազմապատկում է: Այլ կերպ ասած, վերջավոր տասնորդականների բազմապատկում, վերջավոր և պարբերական տասնորդական կոտորակների բազմապատկում, և նաև Պարբերական տասնորդականների բազմապատկումհանգում է սովորական կոտորակների բազմապատկմանը տասնորդական կոտորակները սովորականի վերածելուց հետո:

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկման նշված սկզբունքի կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

Բազմապատկեք տասնորդականները 1,5 և 0,75:

Լուծում.

Բազմապատկվող տասնորդական կոտորակները փոխարինենք համապատասխան սովորական կոտորակներով։ Քանի որ 1.5=15/10 և 0.75=75/100, ապա . Դուք կարող եք կրճատել կոտորակը, ապա մեկուսացնել ամբողջ մասը ոչ պատշաճ կոտորակից, և ստացված սովորական կոտորակը ավելի հարմար է գրել 1 125/1 000 որպես տասնորդական կոտորակ 1.125:

Պատասխան.

1,5·0,75=1,125։

Հարկ է նշել, որ հարմար է վերջնական տասնորդական կոտորակները բազմապատկել սյունակում, մենք կխոսենք տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու այս մեթոդի մասին:

Դիտարկենք պարբերական տասնորդական կոտորակների բազմապատկման օրինակ:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք 0,(3) և 2,(36) պարբերական տասնորդական կոտորակների արտադրյալը:

Լուծում.

Պարբերական տասնորդական կոտորակները վերածենք սովորական կոտորակների.

Հետո . Ստացված սովորական կոտորակը կարող եք վերածել տասնորդական կոտորակի.

Պատասխան.

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Եթե ​​բազմապատկված տասնորդական կոտորակների մեջ կան անվերջ ոչ պարբերականներ, ապա բոլոր բազմապատկված կոտորակները, ներառյալ վերջավոր և պարբերականները, պետք է կլորացվեն մինչև որոշակի թվանշան (տես. կլորացնելով թվերը), այնուհետև բազմապատկել կլորացումից հետո ստացված վերջնական տասնորդական կոտորակները։

Օրինակ.

Բազմապատկեք տասնորդականները 5,382... և 0,2:

Լուծում.

Նախ կլորացնենք անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը, կլորացում կարելի է անել մինչև հարյուրերորդական, ունենք 5,382...≈5,38։ 0.2 վերջնական տասնորդական կոտորակը պետք չէ կլորացնել մինչև հարյուրերորդականը: Այսպիսով, 5,382...·0,2≈5,38·0,2: Մնում է հաշվարկել վերջնական տասնորդական կոտորակների արտադրյալը՝ 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076:

Պատասխան.

5.382…·0.2≈1.076.

Տասնորդական կոտորակները սյունակներով բազմապատկելը

Վերջավոր տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը կարող է իրականացվել սյունակում, ինչպես բնական թվերը սյունակում բազմապատկելը:

Եկեք ձևակերպենք տասնորդական կոտորակները սյունակով բազմապատկելու կանոն. Տասնորդական կոտորակները սյունակով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է.

• առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու, բազմապատկեք բնական թվերի սյունակով բազմապատկման բոլոր կանոնների համաձայն.
• ստացված թվի մեջ տասնորդական կետով առանձնացրե՛ք աջ կողմում այնքան թվանշան, որքան տասնորդական թվանշաններ կան երկու գործակիցների մեջ միասին, և եթե արտադրյալում թվանշանները բավարար չեն, ապա անհրաժեշտ թվով զրոները պետք է ավելացվեն ձախ կողմում:

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակները սյունակներով բազմապատկելու օրինակներ։

Օրինակ.

Բազմապատկեք տասնորդականները 63,37 և 0,12:

Լուծում.

Եկեք բազմապատկենք տասնորդական կոտորակները սյունակում: Նախ, մենք բազմապատկում ենք թվերը՝ անտեսելով ստորակետները.

Մնում է ստացված արտադրանքին ստորակետ ավելացնել: Նա պետք է առանձնացնի 4 թվանշան դեպի աջ, քանի որ գործակիցները ունեն ընդհանուր չորս տասնորդական տեղ (երկուսը 3.37 կոտորակի մեջ և երկուսը 0.12 կոտորակի մեջ): Այնտեղ բավականաչափ թվեր կան, այնպես որ դուք պետք չէ ձախ կողմում զրոներ ավելացնել: Ավարտենք ձայնագրությունը.

Արդյունքում ունենք 3.37·0.12=7.6044։

Պատասխան.

3.37·0.12=7.6044:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք 3,2601 և 0,0254 տասնորդականների արտադրյալը։

Լուծում.

Կատարելով բազմապատկում սյունակում՝ առանց ստորակետերը հաշվի առնելու, ստանում ենք հետևյալ պատկերը.

Այժմ արտադրյալում անհրաժեշտ է ստորակետով առանձնացնել աջ կողմում գտնվող 8 թվանշանները, քանի որ բազմապատկված կոտորակների տասնորդական վայրերի ընդհանուր թիվը ութ է: Բայց արտադրանքի մեջ կա ընդամենը 7 նիշ, հետևաբար, ձախ կողմում պետք է ավելացնել այնքան զրո, որպեսզի կարողանաք 8 նիշ առանձնացնել ստորակետով: Մեր դեպքում մենք պետք է նշանակենք երկու զրո.

Սա ավարտում է տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը սյունակներով:

Պատասխան.

3.2601·0.0254=0.08280654.

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը 0,1-ով, 0,01-ով և այլն:

Շատ հաճախ պետք է տասնորդական կոտորակները բազմապատկել 0,1-ով, 0,01-ով և այլն: Ուստի նպատակահարմար է ձևակերպել տասնորդական կոտորակի այս թվերով բազմապատկելու կանոն, որը բխում է վերը քննարկված տասնորդական կոտորակի բազմապատկման սկզբունքներից։

Այսպիսով, տրված տասնորդականը բազմապատկելով 0,1-ով, 0,01-ով, 0,001-ով և այլնտալիս է մի կոտորակ, որը ստացվում է բնօրինակից, եթե իր նշագրման մեջ ստորակետը տեղափոխվում է ձախ համապատասխանաբար 1, 2, 3 և այլն թվանշաններով, իսկ եթե ստորակետը տեղափոխելու համար բավարար թվանշաններ չկան, ապա պետք է. ձախ կողմում ավելացրեք անհրաժեշտ թվով զրոներ:

Օրինակ՝ 54,34 տասնորդական կոտորակը 0,1-ով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է 54,34 կոտորակի տասնորդական կետը տեղափոխել ձախ 1 նիշով, որը ձեզ կտա 5,434 կոտորակը, այսինքն՝ 54,34·0,1=5,434։ Բերենք ևս մեկ օրինակ. 9,3 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 0,0001-ով: Դա անելու համար մենք պետք է 9.3 բազմապատկված տասնորդական կոտորակի մեջ տասնորդական կետի 4 նիշը տեղափոխենք ձախ, սակայն 9.3 կոտորակի նշումն այդքան թվանշան չի պարունակում: Ուստի պետք է 9.3 կոտորակից ձախ վերագրել այնքան զրո, որ տասնորդական կետը հեշտությամբ տեղափոխենք 4 նիշ, ունենք 9.3·0.0001=0.00093։

Նկատի ունեցեք, որ տասնորդական կոտորակը 0,1, 0,01, ... բազմապատկելու կանոնը գործում է նաև անվերջ տասնորդական կոտորակների համար: Օրինակ՝ 0.(18)·0.01=0.00(18) կամ 93.938…·0.1=9.3938…:

Տասնորդականի բազմապատկում բնական թվով

Նրա հիմքում տասնորդականները բազմապատկելով բնական թվերովոչնչով չի տարբերվում տասնորդականը տասնորդականով բազմապատկելուց:

Առավել հարմար է վերջնական տասնորդական կոտորակը բազմապատկել բնական թվով սյունակում, այս դեպքում դուք պետք է հետևեք սյունակում տասնորդական կոտորակների բազմապատկման կանոններին, որոնք քննարկվել են նախորդ պարբերություններից մեկում:

Օրինակ.

Հաշվի՛ր 15·2.27 արտադրյալը։

Լուծում.

Եկեք բազմապատկենք բնական թիվը սյունակի տասնորդական կոտորակի վրա.

Պատասխան.

15·2.27=34.05.

Պարբերական տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս պարբերական կոտորակը պետք է փոխարինվի սովորական կոտորակով:

Օրինակ.

0.(42) տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 22 բնական թվով։

Լուծում.

Նախ՝ եկեք պարբերական տասնորդական կոտորակը վերածենք սովորական կոտորակի.

Հիմա կատարենք բազմապատկումը՝ . Որպես տասնորդական այս արդյունքը 9, (3) է:

Պատասխան.

0,(42)·22=9,(3) .

Իսկ անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս նախ պետք է կատարել կլորացում։

Օրինակ.

Բազմապատկել 4·2,145….

Լուծում.

Կլորացնելով սկզբնական անվերջ տասնորդական կոտորակը մինչև հարյուրերորդական, մենք հասնում ենք բնական թվի և վերջնական տասնորդական կոտորակի բազմապատկմանը: Մենք ունենք 4·2,145…≈4·2,15=8,60:

Պատասխան.

4·2,145…≈8,60:

Տասնորդականը բազմապատկելով 10, 100, ...

Բավականին հաճախ պետք է տասնորդական կոտորակները բազմապատկել 10-ով, 100-ով,... Հետևաբար, խորհուրդ է տրվում մանրամասն անդրադառնալ այս դեպքերին:

Եկեք բարձրաձայնենք այն տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով և այլն բազմապատկելու կանոն.Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, ...-ով բազմապատկելիս իր նշագրման մեջ պետք է տասնորդական կետը տեղափոխել աջ համապատասխանաբար 1, 2, 3, ... թվանշաններ, իսկ ձախ կողմում գտնվող ավելորդ զրոները հեռացնել; Եթե ​​բազմապատկվող կոտորակի նշումը չունի բավարար թվեր տասնորդական կետը տեղափոխելու համար, ապա պետք է աջ կողմում ավելացնել անհրաժեշտ թվով զրոներ:

Օրինակ.

0,0783 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 100-ով:

Լուծում.

Եկեք 0,0783 կոտորակը երկու թվանշան տեղափոխենք աջ, և կստանանք 007,83։ Երկու զրոները ձախից գցելով, ստացվում է տասնորդական կոտորակը 7.38: Այսպիսով, 0,0783·100=7,83:

Պատասխան.

0,0783·100=7,83.

Օրինակ.

0,02 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 10000-ով:

Լուծում.

0.02-ը 10000-ով բազմապատկելու համար մենք պետք է տասնորդական կետը 4 նիշ տեղափոխենք աջ: Ակնհայտ է, որ 0.02 կոտորակի նշման մեջ տասնորդական կետը 4 նիշով տեղափոխելու համար բավարար թվանշաններ չկան, ուստի մենք մի քանի զրո կավելացնենք դեպի աջ, որպեսզի տասնորդական կետը տեղափոխվի: Մեր օրինակում բավական է ավելացնել երեք զրո, ունենք 0,02000։ Ստորակետը տեղափոխելուց հետո մենք ստանում ենք 00200.0 մուտքը: Ձախ կողմի զրոները դեն նետելով՝ ունենում ենք 200,0 թիվը, որը հավասար է 200 բնական թվին, որը 0,02 տասնորդական կոտորակը 10000-ով բազմապատկելու արդյունք է։

Միջին և ավագ դպրոցի դասընթացներում ուսանողները լուսաբանում էին «Կոտորակներ» թեման: Այնուամենայնիվ, այս հայեցակարգը շատ ավելի լայն է, քան այն, ինչ տրված է ուսումնական գործընթացում: Այսօր կոտորակ հասկացությունը բավականին հաճախ է հանդիպում, և ոչ բոլորը կարող են հաշվարկել որևէ արտահայտություն, օրինակ՝ կոտորակների բազմապատկում։

Ի՞նչ է կոտորակը:

Պատմականորեն կոտորակային թվերն առաջացել են չափման անհրաժեշտությունից: Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, հաճախ կան հատվածի երկարությունը և ուղղանկյուն ուղղանկյունի ծավալը որոշելու օրինակներ:

Սկզբում ուսանողներին ներկայացվում է բաժնետոմս հասկացությունը: Օրինակ, եթե ձմերուկը բաժանեք 8 մասի, ապա յուրաքանչյուր մարդու բաժին կհասնի ձմերուկի մեկ ութերորդը։ Ութի այս մի մասը կոչվում է բաժնետոմս։

Ցանկացած արժեքի ½-ին հավասար բաժնետոմս կոչվում է կես; ⅓ - երրորդ; ¼ - քառորդ. 5/8, 4/5, 2/4 ձևի գրառումները կոչվում են սովորական կոտորակներ։ Ընդհանուր կոտորակը բաժանվում է համարիչի և հայտարարի։ Դրանց միջև կոտորակային կամ կոտորակի բարն է: Կոտորակի գիծը կարելի է գծել ինչպես հորիզոնական, այնպես էլ թեք գիծ: IN այս դեպքումայն ներկայացնում է բաժանման նշանը:

Հայտարարը ներկայացնում է, թե քանի հավասար մասերի է բաժանված մեծությունը կամ առարկան. իսկ համարիչն այն է, թե քանի միանման բաժնետոմս է վերցված: Կոտորակի տողի վերևում գրվում է համարիչը, ներքևում՝ հայտարարը։

Առավել հարմար է սովորական կոտորակները ցույց տալ կոորդինատային ճառագայթի վրա։ Եթե ​​միավոր հատվածը բաժանված է 4 հավասար մասերի, ապա նշեք յուրաքանչյուր մասի վրա Լատինական տառ, ապա արդյունքը կարող է լինել հիանալի տեսողական օգնություն։ Այսպիսով, A կետը ցույց է տալիս մասնաբաժինը, որը հավասար է ամբողջ միավորի հատվածի 1/4-ին, իսկ B կետը նշում է տվյալ հատվածի 2/8-ը:

Կոտորակների տեսակները

Կոտորակները կարող են լինել սովորական, տասնորդական և խառը թվեր: Բացի այդ, կոտորակները կարելի է բաժանել պատշաճ և ոչ պատշաճ: Այս դասակարգումն ավելի հարմար է սովորական ֆրակցիաների համար։

Պատշաճ կոտորակ այն թիվն է, որի համարիչը պակաս է հայտարարից. Համապատասխանաբար, ոչ պատշաճ կոտորակ- թիվ, որի համարիչը մեծ է հայտարարից. Երկրորդ տեսակը սովորաբար գրվում է խառը թվով։ Այս արտահայտությունը բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից։ Օրինակ՝ 1½։ 1 - ամբողջ մասը, ½ - կոտորակային: Այնուամենայնիվ, եթե դուք պետք է որոշ մանիպուլյացիաներ կատարեք արտահայտությամբ (կոտորակների բաժանում կամ բազմապատկում, դրանք կրճատում կամ փոխակերպում), խառը թիվը վերածվում է ոչ պատշաճ կոտորակի:

Ճիշտ կոտորակային արտահայտությունը միշտ մեկից փոքր է, իսկ սխալը միշտ մեծ է կամ հավասար է 1-ի:

Ինչ վերաբերում է այս արտահայտությանը, ապա մենք նկատի ունենք ռեկորդ, որտեղ ներկայացված է ցանկացած թիվ, որի կոտորակային արտահայտության հայտարարը կարող է արտահայտվել մի քանի զրո ունեցող մեկով։ Եթե ​​կոտորակը ճիշտ է, ապա տասնորդական նշումով ամբողջ թվային մասը հավասար կլինի զրոյի:

Տասնորդական կոտորակ գրելու համար նախ պետք է գրել ամբողջ մասը, այն բաժանել կոտորակից՝ օգտագործելով ստորակետ, ապա գրել կոտորակի արտահայտությունը: Պետք է հիշել, որ տասնորդական կետից հետո համարիչը պետք է պարունակի նույն թվով թվային նիշեր, որքան զրոները հայտարարում:

Օրինակ. Արտահայտե՛ք 7 21 / 1000 կոտորակը տասնորդական նշումով:

Անպատշաճ կոտորակը խառը թվի փոխարկելու ալգորիթմ և հակառակը

Խնդրի պատասխանում սխալ կոտորակ գրելը սխալ է, ուստի այն պետք է վերածել խառը թվի.

• բաժանել համարիչը գոյություն ունեցող հայտարարի վրա.
• Վ կոնկրետ օրինակթերի գործակից - ամբողջ;
• իսկ մնացորդը կոտորակային մասի համարիչն է, հայտարարը մնում է անփոփոխ։

Օրինակ. Անպատշաճ կոտորակը դարձրեք խառը թվի՝ 47/5:

Լուծում. 47: 5. Մասնակի գործակիցը 9 է, մնացորդը = 2: Այսպիսով, 47 / 5 = 9 2 / 5:

Երբեմն անհրաժեշտ է խառը թիվը ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ: Այնուհետև անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալ ալգորիթմը.

• ամբողջ թիվը բազմապատկվում է կոտորակային արտահայտության հայտարարով.
• արդյունքում ստացված արտադրանքը ավելացվում է համարիչին.
• արդյունքը գրվում է համարիչով, հայտարարը մնում է անփոփոխ։

Օրինակ. Խառը թիվը ներկայացրու որպես ոչ պատշաճ կոտորակ՝ 9 8 / 10:

Լուծում. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 համարիչն է:

Պատասխանել: 98 / 10.

Կոտորակների բազմապատկում

Սովորական կոտորակների վրա կարելի է կատարել տարբեր հանրահաշվական գործողություններ։ Երկու թվեր բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով։ Ավելին, տարբեր հայտարարներով կոտորակները բազմապատկելը ոչնչով չի տարբերվում արտադրյալից կոտորակային թվերնույն հայտարարներով։

Պատահում է, որ արդյունքը գտնելուց հետո պետք է կրճատել ֆրակցիան։ Ստացված արտահայտությունը հնարավորինս պարզեցնելը հրամայական է։ Իհարկե, չի կարելի ասել, որ պատասխանում ոչ պատշաճ կոտորակը սխալ է, բայց նաև դժվար է այն ճիշտ պատասխան անվանել։

Օրինակ. Գտե՛ք երկու սովորական կոտորակների արտադրյալը՝ ½ և 20/18:

Ինչպես երևում է օրինակից, արտադրյալը գտնելուց հետո ստացվում է կրճատվող կոտորակային նշում։ Ե՛վ համարիչը, և՛ հայտարարը այս դեպքում բաժանվում են 4-ի, և ստացվում է 5/9 պատասխանը:

Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում

Տասնորդական կոտորակների արտադրյալն իր սկզբունքով բավականին տարբերվում է սովորական կոտորակների արտադրյալից։ Այսպիսով, կոտորակների բազմապատկումը հետևյալն է.

• երկու տասնորդական կոտորակ պետք է գրվեն մեկը մյուսի տակ, որպեսզի ամենաաջ թվանշանները լինեն մեկը մյուսի տակ.
• պետք է բազմապատկել գրված թվերը՝ չնայած ստորակետներին, այսինքն՝ որպես բնական թվեր.
• հաշվել յուրաքանչյուր թվի տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը.
• Բազմապատկելուց հետո ստացված արդյունքի մեջ դուք պետք է աջից հաշվեք այնքան թվային նշաններ, որոնք պարունակվում են երկու գործակիցների գումարում տասնորդական կետից հետո և դնել բաժանարար նշան.
• եթե արտադրյալում ավելի քիչ թվեր կան, ապա դրանց դիմաց պետք է գրել այնքան զրո, որպեսզի ծածկվի այս թիվը, դնել ստորակետ և ավելացնել զրոյի հավասար ամբողջ մասը։

Օրինակ. Հաշվի՛ր երկու տասնորդական կոտորակի արտադրյալը՝ 2,25 և 3,6։

Լուծում.

Խառը կոտորակների բազմապատկում

Երկուսի արտադրյալը հաշվարկելու համար խառը կոտորակներ, դուք պետք է օգտագործեք կոտորակները բազմապատկելու կանոնը.

• խառը թվերը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակների.
• գտնել համարիչների արտադրյալը;
• գտնել հայտարարների արտադրյալը;
• գրեք արդյունքը;
• հնարավորինս պարզեցնել արտահայտությունը.

Օրինակ. Գտե՛ք 4½ և 6 2/5-ի արտադրյալը:

Թիվը կոտորակով բազմապատկելը (կոտորակները թվով)

Բացի երկու կոտորակների և խառը թվերի արտադրյալը գտնելուց, կան առաջադրանքներ, որտեղ պետք է բազմապատկել կոտորակի վրա:

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակի և բնական թվի արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• Գրե՛ք թիվը կոտորակի տակ այնպես, որ ամենաաջ թվանշանները մեկը մյուսից վեր լինեն.
• գտնել ապրանքը, չնայած ստորակետին;
• Ստացված արդյունքում ստորակետով բաժանեք ամբողջ մասը կոտորակայինից՝ աջից հաշվելով այն թվանշանների թիվը, որոնք գտնվում են կոտորակի տասնորդական կետից հետո:

Ընդհանուր կոտորակը թվով բազմապատկելու համար պետք է գտնել համարիչի և բնական գործոնի արտադրյալը: Եթե ​​պատասխանից ստացվում է կոտորակ, որը կարող է կրճատվել, այն պետք է փոխարկվի:

Օրինակ. Հաշվե՛ք 5/8-ի և 12-ի արտադրյալը:

Լուծում. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Պատասխանել: 7 1 / 2.

Ինչպես տեսնում եք նախորդ օրինակից, անհրաժեշտ էր կրճատել ստացված արդյունքը և սխալ կոտորակային արտահայտությունը վերածել խառը թվի։

Կոտորակների բազմապատկումը վերաբերում է նաև խառը և բնական գործակից թվի արտադրյալը գտնելուն։ Այս երկու թվերը բազմապատկելու համար պետք է խառը գործակիցի ամբողջ մասը բազմապատկել թվով, համարիչը բազմապատկել նույն արժեքով, իսկ հայտարարը թողնել անփոփոխ։ Անհրաժեշտության դեպքում անհրաժեշտ է հնարավորինս պարզեցնել ստացված արդյունքը։

Օրինակ. Գտե՛ք 9 5/6 և 9 թվերի արտադրյալը:

Լուծում. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2:

Պատասխանել: 88 1 / 2.

Բազմապատկում 10, 100, 1000 կամ 0,1 գործակիցներով; 0,01; 0,001

Նախորդ պարբերությունից բխում է հետևյալ կանոնը. Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով, 10000-ով և այլն բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է տասնորդական կետը տեղափոխել աջ այնքան թվանշանով, որքան զրոները գործակցի մեկից հետո:

Օրինակ 1. Գտե՛ք 0,065 և 1000-ի արտադրյալը։

Լուծում. 0,065 x 1000 = 0065 = 65:

Պատասխանել: 65.

Օրինակ 2. Գտե՛ք 3,9 և 1000 թվերի արտադրյալը։

Լուծում. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900:

Պատասխանել: 3900.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել բնական թիվը և 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 և այլն, ստացված արտադրանքի ստորակետը պետք է տեղափոխեք ձախ՝ այնքան թվանշաններով, որքան մեկից առաջ զրոներ կան: Անհրաժեշտության դեպքում բնական թվից առաջ գրվում են բավարար թվով զրոներ։

Օրինակ 1. Գտե՛ք 56-ի և 0,01-ի արտադրյալը:

Լուծում. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56:

Պատասխանել: 0,56.

Օրինակ 2. Գտե՛ք 4-ի և 0,001-ի արտադրյալը:

Լուծում. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004:

Պատասխանել: 0,004.

Այսպիսով, տարբեր կոտորակների արտադրյալը գտնելը չպետք է դժվարություններ առաջացնի, բացառությամբ միգուցե արդյունքի հաշվարկի. այս դեպքում դուք պարզապես չեք կարող անել առանց հաշվիչի:

Վերջին դասին մենք սովորեցինք, թե ինչպես գումարել և հանել տասնորդականները (տե՛ս «Տասնորդականների գումարում և հանում» դասը): Միաժամանակ մենք գնահատեցինք, թե որքանով են պարզեցված հաշվարկները սովորական «երկհարկանի» կոտորակների համեմատ։

Ցավոք, այս էֆեկտը չի առաջանում տասնորդական թվերի բազմապատկման և բաժանման դեպքում: Որոշ դեպքերում տասնորդական նշումը նույնիսկ բարդացնում է այդ գործողությունները:

Նախ, եկեք ներկայացնենք նոր սահմանում. Մենք նրան բավականին հաճախ կտեսնենք, և ոչ միայն այս դասում:

Թվի զգալի մասն այն ամենն է, ինչ առաջին և վերջին ոչ զրոյական թվանշանների միջև, ներառյալ ծայրերը: Խոսքը վերաբերում էմիայն թվերի մասին, տասնորդական կետը հաշվի չի առնվում։

Թվի նշանակալի մասում ներառված թվանշանները կոչվում են նշանակալի թվանշաններ։ Դրանք կարող են կրկնվել և նույնիսկ հավասար լինել զրոյի։

Օրինակ, հաշվի առեք մի քանի տասնորդական կոտորակներ և դուրս գրեք համապատասխան նշանակալից մասերը.

1. 91.25 → 9125 (զգալի թվեր՝ 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (զգալի թվեր՝ 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (զգալի թվեր՝ 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (զգալի թվեր՝ 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (կա միայն մեկ նշանակալի թիվ. 3):

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. թվի զգալի մասի ներսում գտնվող զրոները ոչ մի տեղ չեն գնում: Մենք արդեն հանդիպել ենք նման բանի, երբ սովորեցինք տասնորդական կոտորակները վերածել սովորականի (տե՛ս «Տասնորդականներ» դասը):

Այս կետն այնքան կարևոր է, և այստեղ այնքան հաճախ են սխալներ թույլ տալիս, որ մոտ ապագայում ես կհրապարակեմ թեստ այս թեմայով։ Համոզվեք, որ պարապեք: Իսկ մենք, զգալի մասի հայեցակարգով զինված, կանցնենք, ըստ էության, դասի թեմային։

Տասնորդական թվերի բազմապատկում

Բազմապատկման գործողությունը բաղկացած է երեք հաջորդական քայլերից.

1. Յուրաքանչյուր կոտորակի համար գրի՛ր նշանակալի մասը: Դուք կստանաք երկու սովորական ամբողջ թիվ՝ առանց որևէ հայտարարի և տասնորդական միավորների;
2. Բազմապատկեք այս թվերը ցանկացած հարմար եղանակով: Ուղիղ, եթե թվերը փոքր են, կամ սյունակում: Մենք ստանում ենք ցանկալի մասնաբաժնի զգալի մասը.
3. Պարզեք, թե որտեղ և քանի թվանշանով է տեղաշարժվել սկզբնական կոտորակների տասնորդական կետը՝ ստանալով համապատասխան նշանակալի մասը: Կատարեք հակառակ տեղաշարժեր նախորդ քայլում ձեռք բերված զգալի մասի համար:

Եվս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ զգալի մասի կողմերում զրոները երբեք հաշվի չեն առնվում։ Այս կանոնի անտեսումը հանգեցնում է սխալների:

1. 0,28 12,5;
2. 6.3 · 1.08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 · 10,000.

Աշխատում ենք առաջին արտահայտությամբ՝ 0,28 · 12,5:

1. Դուրս գրենք այս արտահայտությունից թվերի նշանակալի մասերը՝ 28 և 125;
2. Նրանց արտադրանքը `28 · 125 = 3500;
3. Առաջին գործոնում տասնորդական կետը տեղափոխվում է 2 նիշ դեպի աջ (0,28 → 28), իսկ երկրորդում այն ​​տեղափոխվում է ևս 1 թվանշանով։ Ընդհանուր առմամբ, ձեզ անհրաժեշտ է երեք նիշով անցում դեպի ձախ՝ 3500 → 3500 = 3.5:

Այժմ նայենք 6.3 · 1.08 արտահայտությանը:

1. Դուրս գրենք էական մասերը՝ 63 և 108;
2. Նրանց արտադրյալը՝ 63 · 108 = 6804;
3. Կրկին երկու տեղաշարժ դեպի աջ՝ համապատասխանաբար 2 և 1 թվանշաններով: Ընդհանուր - կրկին 3 նիշ դեպի աջ, այնպես որ հակառակ տեղաշարժը կլինի 3 նիշ դեպի ձախ՝ 6804 → 6.804: Այս անգամ հետին զրոներ չկան:

Հասանք երրորդ արտահայտությանը` 132,5 · 0,0034:

1. Նշանակալից մասեր՝ 1325 և 34;
2. Նրանց արտադրությունը՝ 1325 · 34 = 45,050;
3. Առաջին կոտորակի մեջ տասնորդական կետը շարժվում է աջ 1 նիշով, իսկ երկրորդում՝ 4-ով: Ընդհանուր՝ 5 աջ: Մենք տեղափոխվում ենք 5-ով դեպի ձախ՝ 45,050 → .45050 = 0,4505: Զրոն հեռացվեց վերջում և ավելացվեց առջևում՝ «մերկ» տասնորդական կետ չթողնելու համար:

Հետևյալ արտահայտությունն է՝ 0,0108 · 1600,5:

1. Նշանակալի մասերը գրում ենք՝ 108 և 16 005;
2. Մենք բազմապատկում ենք դրանք՝ 108 · 16,005 = 1,728,540;
3. Թվերը հաշվում ենք տասնորդական կետից հետո՝ առաջին թվի մեջ կա 4, երկրորդում՝ 1։ Ընդհանուրը կրկին 5 է։ Ունենք՝ 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854։ Վերջում հանվեց «լրացուցիչ» զրոն։

Վերջապես, վերջին արտահայտությունը՝ 5,25 10,000։

1. Նշանակալից մասեր՝ 525 և 1;
2. Մենք բազմապատկում ենք դրանք՝ 525 · 1 = 525;
3. Առաջին կոտորակը 2 նիշով տեղափոխվում է աջ, իսկ երկրորդ կոտորակը 4 նիշով տեղափոխվում է ձախ (10000 → 1.0000 = 1): Ընդհանուր 4 − 2 = 2 նիշ դեպի ձախ: Մենք կատարում ենք հակադարձ տեղաշարժ 2 նիշով դեպի աջ՝ 525, → 52,500 (պետք է ավելացնեինք զրոներ)։

Նշում վերջին օրինակում. քանի որ տասնորդական կետը շարժվում է տարբեր ուղղություններով, ընդհանուր տեղաշարժը հայտնաբերվում է տարբերության միջոցով: Սա շատ կարևոր կետ! Ահա ևս մեկ օրինակ.

Դիտարկենք 1,5 և 12,500 թվերը. 12,500 → 125 (2-րդ տեղաշարժ դեպի ձախ): Մենք «քայլ» ենք անում 1 թվանշանով աջ, իսկ հետո 2-ը՝ ձախ։ Արդյունքում մենք 2 − 1 = 1 նիշ քայլ արեցինք դեպի ձախ։

Տասնորդական բաժանում

Բաժանումը, թերեւս, ամենադժվար գործողությունն է։ Իհարկե, այստեղ դուք կարող եք գործել անալոգիայով բազմապատկման հետ՝ բաժանել նշանակալի մասերը, այնուհետև «տեղափոխել» տասնորդական կետը: Բայց այս դեպքում կան բազմաթիվ նրբություններ, որոնք ժխտում են հնարավոր խնայողությունները:

Այսպիսով, եկեք նայենք ունիվերսալ ալգորիթմ, որը մի փոքր ավելի երկար է, բայց շատ ավելի հուսալի.

1. Բոլոր տասնորդական կոտորակները վերածեք սովորական կոտորակների: Մի փոքր պրակտիկայի դեպքում այս քայլը ձեզ մի քանի վայրկյան կտանի.
2. Ստացված կոտորակները բաժանե՛ք դասական եղանակով։ Այլ կերպ ասած, առաջին կոտորակը բազմապատկեք «շրջված» երկրորդով (տե՛ս «Թվային կոտորակների բազմապատկում և բաժանում» դասը);
3. Հնարավորության դեպքում արդյունքը կրկին ներկայացրեք որպես տասնորդական կոտորակ: Այս քայլը նույնպես արագ է, քանի որ հայտարարը հաճախ արդեն տասի ուժ է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Դիտարկենք առաջին արտահայտությունը. Նախ, եկեք կոտորակները վերածենք տասնորդականների.

Նույնն անենք երկրորդ արտահայտության հետ. Առաջին կոտորակի համարիչը կրկին գործոնացվելու է.

Երրորդ և չորրորդ օրինակներում մի կարևոր կետ կա՝ տասնորդական նշումից ազատվելուց հետո հայտնվում են կրճատվող կոտորակներ։ Սակայն մենք այս կրճատումը չենք կատարի։

Վերջին օրինակը հետաքրքիր է, քանի որ երկրորդ կոտորակի համարիչը պարունակում է պարզ թիվ։ Այստեղ պարզապես ֆակտորիզացնելու ոչինչ չկա, ուստի մենք դա համարում ենք ուղիղ առաջ.

Երբեմն բաժանման արդյունքում ստացվում է ամբողջ թիվ (խոսքս վերջին օրինակի մասին է): Այս դեպքում երրորդ քայլն ընդհանրապես չի կատարվում։

Բացի այդ, բաժանելիս հաճախ առաջանում են «տգեղ» կոտորակներ, որոնք չեն կարող վերածվել տասնորդականների։ Սա տարբերում է բաժանումը բազմապատկումից, որտեղ արդյունքները միշտ ներկայացված են տասնորդական տեսքով: Իհարկե, այս դեպքում վերջին քայլը կրկին չի կատարվում։

Ուշադրություն դարձրեք նաև 3-րդ և 4-րդ օրինակներին. Դրանցում մենք միտումնավոր չենք կրճատում տասնորդական թվերից ստացված սովորական կոտորակները։ Հակառակ դեպքում, դա կբարդացնի հակադարձ առաջադրանքը՝ վերջնական պատասխանը կրկին տասնորդական տեսքով ներկայացնելը:

Հիշեք. կոտորակի հիմնական հատկությունը (ինչպես մաթեմատիկայի ցանկացած այլ կանոն) ինքնին չի նշանակում, որ այն պետք է կիրառվի ամենուր և միշտ, ամեն հնարավորության դեպքում: