Տասնորդական մաս- բազմազանություն կոտորակները, որը հայտարարում ունի «կլոր» թիվ՝ 10, 100, 1000 և այլն, օրինակ. մաս 5/10-ն ունի 0,5 տասնորդական նշում: Ելնելով այս սկզբունքից՝ մասկարող է ներկայացված լինել ձևըտասնորդական կոտորակները.

Հրահանգներ

Ենթադրենք, պետք է պատկերացնել ձևըտասնորդական մաս 18/25.
Նախ պետք է համոզվեք, որ «կլոր» թվերից մեկը հայտնվի հայտարարի մեջ՝ 100, 1000 և այլն։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել հայտարարը 4-ով, սակայն պետք է բազմապատկել և՛ համարիչը, և՛ հայտարարը 4-ով:

Բազմապատկելով համարիչը և հայտարարը կոտորակները 18/25 4-ով, ստացվում է 72/100: Սա արձանագրված է մաստասնորդականով ձևըայսպես՝ 0,72:

Մաթեմատիկայի մեջ կոտորակը ռացիոնալ թիվ է, որը հավասար է մեկ կամ մի քանի մասերին, որոնց բաժանվում է միավորը։ Այս դեպքում կոտորակի գրառումը պետք է պարունակի երկու թվի նշում. դրանցից մեկը ցույց է տալիս, թե կոնկրետ քանի բաժնետոմսի է բաժանվել միավորը այս կոտորակը ստեղծելիս, իսկ մյուսը ցույց է տալիս, թե այդ բաժնետոմսերից քանիսն է ներառում կոտորակը: Եթե ​​այս երկու թվերը գրվում են որպես համարիչ և հայտարար՝ բաժանված տողով, ապա ձայնագրման այս ձևաչափը կոչվում է «ընդհանուր» կոտորակ։ Այնուամենայնիվ, կա կոտորակներ գրելու մեկ այլ ձևաչափ, որը կոչվում է «տասնորդական»:

Թվեր գրելու եռահարկ ձևը, որում հայտարարը գտնվում է համարիչից վերև, և նրանց միջև կա նաև բաժանարար գիծ, ​​միշտ չէ, որ հարմար է։ Այս անհարմարությունը հատկապես սկսեց դրսևորվել անհատական ​​համակարգիչների զանգվածային տարածմամբ։ Կոտորակներ ներկայացնելու տասնորդական ձևը չունի այս թերությունը. այն չի պահանջում համարիչ նշել, քանի որ ըստ սահմանման այն միշտ հավասար է տասի բացասական հզորությանը: Հետևաբար, կոտորակային թիվը կարելի է գրել մեկ տողի վրա, թեև դրա երկարությունը շատ դեպքերում շատ ավելի մեծ կլինի, քան համապատասխան սովորական կոտորակի երկարությունը։

Թվերը որպես տասնորդական թվեր գրելու մյուս առավելությունն այն է, որ դրանք համեմատելը շատ ավելի հեշտ է: Քանի որ երկու նման թվերի յուրաքանչյուր թվանշանի հայտարարը նույնն է, բավական է համեմատել համապատասխան թվանշանների միայն երկու թվանշանները, մինչդեռ սովորական կոտորակները համեմատելիս անհրաժեշտ է հաշվի առնել դրանցից յուրաքանչյուրի համարիչը և հայտարարը։ Այս առավելությունը կարևոր է ոչ միայն մարդկանց, այլև համակարգիչների համար՝ տասնորդական ձևաչափով թվերը համեմատելը բավականին հեշտ է ծրագրավորել։

Գոյություն ունեն գումարման, բազմապատկման և այլ մաթեմատիկական գործողություններ կատարելու դարավոր կանոններ, որոնք թույլ են տալիս թղթի վրա կամ ձեր գլխում հաշվարկներ կատարել տասնորդական ձևաչափով թվերով։ Սա այս ձևաչափի ևս մեկ առավելություն է սովորական կոտորակների նկատմամբ: Թեեւ համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման հետ մեկտեղ, երբ նույնիսկ ժամացույցներն ունեն հաշվիչ, դա գնալով ավելի քիչ նկատելի է դառնում։

Կոտորակի թվերի գրանցման տասնորդական ձևաչափի նկարագրված առավելությունները ցույց են տալիս, որ դրա հիմնական նպատակը մաթեմատիկական մեծությունների հետ աշխատանքը պարզեցնելն է։ Այս ձևաչափն ունի նաև թերություններ. օրինակ, տասնորդական կոտորակի վրա պարբերական կոտորակներ գրելու համար պետք է նաև թիվ ավելացնել փակագծերում, իսկ տասնորդական ձևաչափով ոչ ռացիոնալ թվերը միշտ ունեն մոտավոր արժեք։ Այնուամենայնիվ, մարդկանց և նրանց տեխնոլոգիաների զարգացման ներկա մակարդակում այն ​​շատ ավելի հարմար է օգտագործել, քան կոտորակներ գրելու սովորական ձևաչափը։

Տասնորդական կոտորակը այն կոտորակն է, որի հայտարարը 10-ի բնական ուժն է: Սա, օրինակ, կոտորակն է: դրանք աջ ստորակետով, քանի որ հայտարարում զրոներ կան, մասնավորապես.

Նման նշումով տասնորդականից ձախ թվերը կազմում են ամբողջ մասը, իսկ տասնորդականից աջ թվերը՝ տվյալ տասնորդական կոտորակի կոտորակային մասը։

Թող p/q լինի ինչ-որ դրական ռացիոնալ թիվ: Թվաբանությունից հայտնի է բաժանման գործընթացը, որը թույլ է տալիս թիվը ներկայացնել որպես տասնորդական կոտորակ: Բաժանման գործընթացի էությունը կայանում է նրանում, որ նախ գտնենք p-ում պարունակվող թվերի մեծագույն ամբողջ թիվը։ եթե p-ն q-ի բազմապատիկն է, ապա այստեղ ավարտվում է բաժանման գործընթացը: Հակառակ դեպքում մնացորդ է հայտնվում: Այնուհետև նրանք գտնում են, թե քանի տասներորդ q է պարունակում այս մնացորդը, և այս քայլում գործընթացը կարող է ավարտվել, կամ նոր մնացորդ կհայտնվի: Վերջին դեպքում գտե՛ք, թե q-ի քանի հարյուրերորդական է այն պարունակում և այլն։

Եթե ​​q հայտարարը 2-ից կամ 5-ից բացի այլ պարզ գործակից չունի, ապա վերջավոր թվով քայլերից հետո մնացորդը հավասար կլինի զրոյի, բաժանման գործընթացը կավարտվի և տրված սովորական կոտորակը կվերածվի վերջնական տասնորդական կոտորակի: Փաստորեն, այս դեպքում միշտ հնարավոր է այնպիսի ամբողջ թիվ ընտրել, որ տրված կոտորակի համարիչն ու հայտարարը դրանով բազմապատկելուց հետո ստացվի հավասար կոտորակ, որում հայտարարը կներկայացնի տասի բնական ուժ։ Օրինակ՝ սա կոտորակն է

որը կարելի է ներկայացնել այսպես.

Այնուամենայնիվ, առանց այս փոխակերպումները կատարելու, համարիչը բաժանելով հայտարարի վրա, ընթերցողը կստանա նույն արդյունքը.

Եթե ​​անկրճատելի կոտորակի հայտարարն ունի առնվազն մեկ պարզ բաժանարար, բացի 2-ից կամ 5-ից, ապա q-ի բաժանման գործընթացը երբեք չի ավարտվի (հետագա մնացորդներից ոչ մեկը չի գնա զրոյի):

Կատարելով բաժանումը, մենք գտնում ենք

Այս օրինակում ստացված արդյունքը գրելու համար պարբերաբար կրկնվող 0 և 6 թվերը փակցվում են փակագծերում և գրվում.

Այս օրինակում և նմանատիպ այլ դեպքերում բաժանման գործողությունը չի հանգեցնում վերջնական արդյունքի՝ որպես տասնորդական: Կարելի է ընդհանրացնելով տասնորդական կոտորակի հայեցակարգը, դեռևս ասել, որ 965/132 քանորդը ներկայացված է անվերջ պարբերական կոտորակով: Կրկնվող 06 թվերը կոչվում են այս կոտորակի պարբերաշրջան, իսկ նրանց թիվը հավասար է մեր օրինակում. ժամանակահատվածի երկարությունն է:

Կոտորակի պարբերականության երևույթի պատճառը հասկանալու համար քննենք, օրինակ, 7-ի բաժանման գործընթացը։ Եթե բաժանումն ամբողջությամբ չի կատարվում, ապա հայտնվում է մնացորդ, որը կարող է ունենալ հետևյալ արժեքներից միայն մեկը. 1, 2, 3, 4, 5, 6: Եվ հաջորդ քայլերից յուրաքանչյուրի վրա մնացորդը կրկին կունենա այս վեց արժեքներից մեկը: Հետևաբար, ոչ ուշ, քան յոթերորդ քայլը, մենք անխուսափելիորեն կհանդիպենք նախկինում արդեն հայտնված մնացած արժեքներից մեկին: Այս պահից սկսած բաժանման գործընթացը կդառնա պարբերական: Պարբերաբար կրկնվելու են ինչպես մնացորդների արժեքները, այնպես էլ գործակիցի թվերը: Նույն պատճառաբանությունը վերաբերում է ցանկացած այլ բաժանարարի:

Այսպիսով, յուրաքանչյուր սովորական կոտորակ ներկայացված է որպես վերջավոր կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ։ Հատկանշական է, որ, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր պարբերական տասնորդական կոտորակ կարող է ներկայացվել որպես սովորական կոտորակ։ Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է կատարվում այս գործողությունը: Այս դեպքում օգտագործվում է անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը (կետ 92):

կարելի է հասկանալ այսպես.

այստեղ աջ կողմի անդամները, սկսած երկրորդից, հայտարարի և առաջին անդամի հետ կազմում են անսահման երկրաչափական առաջընթաց.

Օգտագործելով բանաձևը (92.2):

Հասկանալի է, որ նույն գործընթացը թույլ կտա ցանկացած անսահման պարբերական կոտորակ ներկայացնել սովորական կոտորակի տեսքով (և, ինչպես կարելի է ցույց տալ, հենց այն կոտորակը, որից բաժանման գործընթացում տրված է տրված անվերջ պարբերական կոտորակը. հերթ է ստացվել): Այնուամենայնիվ, այստեղ կա մեկ բացառություն. Դիտարկենք կոտորակը

և կիրառել այն ընդհանուր կոտորակի վերածելու գործընթացը.

Մենք հասել ենք 1/2 թվին, որը կարծես վերջավոր տասնորդական կոտորակ է

Նմանատիպ արդյունք կստացվի, երբ տրված անվերջ կոտորակի պարբերությունն ունի (9) ձևը։ Հետևաբար, մենք նույնացնում ենք թվերի զույգեր, ինչպիսիք են, օրինակ.

Երբեմն օգտակար է նաև թույլատրել ձևի գրառումները

վերջավոր տասնորդական կոտորակները պաշտոնապես ներկայացնելով որպես անվերջ (0) կետով:

Այն ամենը, ինչ ասվեց սովորական կոտորակը պարբերական տասնորդական կոտորակի և հակառակը վերածելու մասին, վերաբերում էր դրական ռացիոնալ թվերին: Բացասական թվի դեպքում կարելի է դա անել երկու եղանակով.

1) Վերցրեք տրված բացասական թվին հակառակ դրական թիվը, դարձրեք այն տասնորդականի, ապա դրա դիմաց դրեք մինուս նշան: Օրինակ, - 5/3-ի համար մենք ստանում ենք

2) Տրված բացասական ռացիոնալ թիվը ներկայացրեք որպես նրա ամբողջ թվային մասի (բացասական) և կոտորակային մասի (ոչ բացասական) գումար, այնուհետև թվի միայն այս կոտորակային մասը վերածեք տասնորդական կոտորակի: Օրինակ:

Որպես դրանց բացասական ամբողջ մասի և վերջավոր կամ անվերջ տասնորդական կոտորակի գումար, ներկայացված թվերը գրելու համար ընդունվում է հետևյալ նշումը (բացասական թիվ գրելու արհեստական ​​ձև).

Այստեղ մինուս նշանը դրվում է ոչ թե ամբողջ կոտորակի դիմաց, այլ նրա ամբողջ մասի վերևում, որպեսզի ընդգծվի, որ միայն ամբողջ մասն է բացասական, իսկ տասնորդական կետին հաջորդող կոտորակային մասը՝ դրական։

Այս նշումը միատեսակություն է ստեղծում դրական և բացասական տասնորդական կոտորակների նշումներում և հետագայում կօգտագործվի տասնորդական լոգարիթմների տեսության մեջ (բաժին 28): Պրակտիկայի համար ընթերցողին հրավիրում ենք ստուգել անցումը մի գրառումից մյուսին օրինակներում.

Այժմ մենք կարող ենք ձևակերպել վերջնական եզրակացությունը. յուրաքանչյուր ռացիոնալ թիվ կարող է ներկայացվել անվերջ տասնորդական պարբերական կոտորակով, և, ընդհակառակը, յուրաքանչյուր այդպիսի կոտորակ նշում է ռացիոնալ թիվ: Վերջավոր տասնորդական կոտորակը թույլ է տալիս նաև գրել երկու ձև անվերջ տասնորդական կոտորակի տեսքով՝ կետով (0) և կետով (9):

Արդեն տարրական դպրոցում աշակերտները ենթարկվում են կոտորակների: Իսկ հետո ամեն թեմայում հայտնվում են։ Դուք չեք կարող մոռանալ այս թվերով գործողությունները: Հետեւաբար, դուք պետք է իմանաք բոլոր տեղեկությունները սովորական և տասնորդական կոտորակների մասին: Այս հասկացությունները բարդ չեն, գլխավորը ամեն ինչ կարգով հասկանալն է։

Ինչու են անհրաժեշտ կոտորակները:

Մեզ շրջապատող աշխարհը բաղկացած է ամբողջական առարկաներից: Ուստի բաժնետոմսերի կարիք չկա։ Բայց առօրյան մարդկանց անընդհատ դրդում է աշխատել առարկաների ու իրերի մասերի հետ։

Օրինակ՝ շոկոլադը բաղկացած է մի քանի կտորից։ Մտածեք մի իրավիճակ, երբ նրա կղմինդրը ձևավորվում է տասներկու ուղղանկյուններով: Երկու մասի բաժանելու դեպքում ստացվում է 6 մաս։ Այն հեշտությամբ կարելի է բաժանել երեքի. Բայց հինգ հոգու ամբողջ քանակությամբ շոկոլադե կտորներ տալ հնարավոր չի լինի։

Ի դեպ, այս կտորներն արդեն կոտորակներ են։ Իսկ դրանց հետագա բաժանումը հանգեցնում է ավելի բարդ թվերի ի հայտ գալուն։

Ի՞նչ է «կոտորակը»:

Սա միավորի մասերից կազմված թիվ է: Արտաքնապես այն նման է երկու թվերի, որոնք իրարից բաժանված են հորիզոնական կամ շեղ: Այս հատկանիշը կոչվում է կոտորակային: Վերևում (ձախ) գրված թիվը կոչվում է համարիչ։ Այն, ինչ գտնվում է ներքևում (աջից), հայտարարն է:

Ըստ էության, շեղը ստացվում է բաժանման նշան: Այսինքն՝ համարիչը կարելի է անվանել դիվիդենտ, իսկ հայտարարը՝ բաժանարար։

Ի՞նչ կոտորակներ կան:

Մաթեմատիկայի մեջ կա միայն երկու տեսակ՝ սովորական և տասնորդական կոտորակներ։ Դպրոցականներն առաջինների հետ ծանոթանում են տարրական դպրոցում՝ նրանց անվանելով պարզապես «կոտորակներ»։ Վերջինս կսովորեն 5-րդ դասարանում։ Հենց այդ ժամանակ էլ հայտնվում են այս անունները։

Ընդհանուր կոտորակներ են համարվում այն ​​բոլորը, որոնք գրվում են որպես երկու թվեր, որոնք բաժանված են տողով: Օրինակ՝ 4/7։ Տասնորդականը այն թիվն է, որի կոտորակային մասն ունի դիրքային նշում և ամբողջ թվից բաժանվում է ստորակետով։ Օրինակ, 4.7. Աշակերտները պետք է հստակ հասկանան, որ բերված երկու օրինակները բոլորովին տարբեր թվեր են:

Յուրաքանչյուր պարզ կոտորակ կարող է գրվել որպես տասնորդական: Այս հայտարարությունը գրեթե միշտ ճիշտ է հակառակը: Կան կանոններ, որոնք թույլ են տալիս գրել տասնորդական կոտորակը որպես ընդհանուր կոտորակ:

Ի՞նչ ենթատեսակներ ունեն այս տեսակի կոտորակները:

Ավելի լավ է սկսել ժամանակագրական հաջորդականությամբ, քանի որ դրանք ուսումնասիրվում են։ Ընդհանուր կոտորակները առաջին տեղում են: Դրանցից կարելի է առանձնացնել 5 ենթատեսակ.

Ճիշտ է. Նրա համարիչը միշտ փոքր է հայտարարից։

Սխալ. Դրա համարիչը մեծ է կամ հավասար է նրա հայտարարին:

Կրճատվող/անկրճատվող. Կարող է պարզվել, որ կա՛մ ճիշտ է, կա՛մ սխալ: Մեկ այլ կարևոր բան այն է, թե արդյոք համարիչն ու հայտարարը ընդհանուր գործակիցներ ունեն։ Եթե ​​կան, ապա պետք է կոտորակի երկու մասերն էլ բաժանել դրանցով, այսինքն՝ փոքրացնել։

Խառը. Ամբողջ թիվը վերագրվում է իր սովորական կանոնավոր (անկանոն) կոտորակային մասին։ Ընդ որում, այն միշտ ձախ կողմում է։

Կոմպոզիտային. Կազմվում է իրար բաժանված երկու կոտորակներից։ Այսինքն, այն պարունակում է միանգամից երեք կոտորակային տող:

Տասնորդական կոտորակներն ունեն միայն երկու ենթատեսակ.

վերջավոր, այսինքն՝ մեկը, որի կոտորակային մասը սահմանափակ է (ունի վերջ);

անսահման - թիվ, որի թվանշանները տասնորդական կետից հետո չեն ավարտվում (դրանք կարելի է անվերջ գրել):

Ինչպե՞ս տասնորդական կոտորակը վերածել ընդհանուր կոտորակի:

Եթե ​​սա վերջավոր թիվ է, ապա ասոցիացիա է կիրառվում կանոնի հիման վրա՝ ինչպես լսում եմ, այնպես էլ գրում եմ։ Այսինքն՝ պետք է ճիշտ կարդալ ու գրել, բայց առանց ստորակետի, բայց կոտորակային տողով։

Որպես ակնարկ պահանջվող հայտարարի մասին, պետք է հիշել, որ այն միշտ մեկ և մի քանի զրո է: Վերջիններից պետք է գրել այնքան, որքան թվանշան կա տվյալ թվի կոտորակային մասում։

Ինչպե՞ս տասնորդական կոտորակները վերածել սովորական կոտորակների, եթե դրանց ամբողջական մասը բացակայում է, այսինքն՝ հավասար է զրոյի: Օրինակ, 0.9 կամ 0.05: Նշված կանոնը կիրառելուց հետո պարզվում է, որ պետք է գրել զրո ամբողջ թվեր։ Բայց դա նշված չէ։ Մնում է միայն կոտորակային մասերը գրել։ Առաջին թիվը կունենա հայտարար 10, երկրորդը՝ 100։ Այսինքն՝ տրված օրինակները որպես պատասխան կունենան հետևյալ թվերը՝ 9/10, 5/100։ Ավելին, ստացվում է, որ վերջինս կարող է կրճատվել 5-ով։ Հետևաբար, դրա համար արդյունքը պետք է գրվի որպես 1/20։

Ինչպե՞ս կարելի է տասնորդական կոտորակը վերածել սովորական կոտորակի, եթե նրա ամբողջ մասը տարբերվում է զրոյից: Օրինակ՝ 5.23 կամ 13.00108։ Երկու օրինակներում էլ կարդացվում է ամբողջ մասը և գրվում դրա արժեքը։ Առաջին դեպքում 5 է, երկրորդում՝ 13։ Այնուհետև պետք է անցնել կոտորակային մասին։ Ենթադրվում է, որ նույն գործողությունն իրականացվի նրանց հետ։ Առաջին թիվը հայտնվում է 23/100, երկրորդը՝ 108/100000։ Երկրորդ արժեքը կրկին պետք է կրճատվի: Պատասխանը տալիս է հետևյալ խառը կոտորակները՝ 5 23/100 և 13 27/25000։

Ինչպե՞ս անվերջ տասնորդական կոտորակը վերածել սովորական կոտորակի:

Եթե ​​դա ոչ պարբերական է, ապա նման վիրահատություն հնարավոր չի լինի։ Այս փաստը պայմանավորված է նրանով, որ յուրաքանչյուր տասնորդական կոտորակ միշտ փոխարկվում է կամ վերջավոր կամ պարբերական կոտորակի:

Միակ բանը, որ դուք կարող եք անել նման կոտորակի հետ, դա կլորացնելն է: Բայց հետո տասնորդականը մոտավորապես հավասար կլինի այդ անսահմանությանը։ Այն արդեն կարելի է սովորականի վերածել։ Բայց հակառակ գործընթացը՝ տասնորդականի վերածելը երբեք նախնական արժեքը չի տա: Այսինքն՝ անվերջ ոչ պարբերական կոտորակները սովորական կոտորակների չեն վերածվում։ Սա պետք է հիշել:

Ինչպե՞ս գրել անվերջ պարբերական կոտորակը որպես սովորական կոտորակ:

Այս թվերում տասնորդական կետից հետո միշտ կա մեկ կամ մի քանի թվանշան, որոնք կրկնվում են: Դրանք կոչվում են շրջան։ Օրինակ, 0.3 (3): Ահա «3»-ն ընկած ժամանակահատվածում է. Դրանք դասակարգվում են որպես ռացիոնալ, քանի որ դրանք կարող են վերածվել սովորական կոտորակների:

Նրանք, ովքեր հանդիպել են պարբերական կոտորակների, գիտեն, որ դրանք կարող են լինել մաքուր կամ խառը: Առաջին դեպքում կետը սկսվում է անմիջապես ստորակետից։ Երկրորդում կոտորակային մասը սկսվում է որոշ թվերով, իսկ հետո սկսվում է կրկնությունը։

Կանոնը, որով դուք պետք է անվերջ տասնորդական գրեք որպես ընդհանուր կոտորակ, տարբեր կլինի նշված երկու տեսակի թվերի համար: Մաքուր պարբերական կոտորակները որպես սովորական կոտորակներ գրելը բավականին հեշտ է։ Ինչպես վերջավորների դեպքում, դրանք պետք է փոխարկվեն. գրեք կետը համարիչում, և հայտարարը կլինի 9 թիվը, որը կկրկնվի այնքան անգամ, որքան նշված թվանշանների թիվը:

Օրինակ՝ 0, (5): Թիվը չունի ամբողջ թիվ, ուստի պետք է անմիջապես սկսել կոտորակային մասից: Գրի՛ր 5-ը որպես համարիչ, իսկ 9-ը՝ որպես հայտարար, այսինքն՝ պատասխանը կլինի 5/9 կոտորակը:

Կանոն, թե ինչպես գրել սովորական տասնորդական պարբերական կոտորակ, որը խառնված է:

Նայեք ժամանակահատվածի երկարությանը: Ահա թե քանի 9 կունենա հայտարարը:

Դուրս գրի՛ր հայտարարը՝ սկզբում ինը, հետո զրո:

Համարիչը որոշելու համար հարկավոր է գրել երկու թվերի տարբերությունը։ Տասնորդական կետից հետո բոլոր թվերը կփոքրացվեն՝ կետի հետ միասին: Նվազեցվող - դա առանց ժամկետի:

Օրինակ՝ 0.5(8) - պարբերական տասնորդական կոտորակը գրեք որպես ընդհանուր կոտորակ: Ժամանակահատվածից առաջ կոտորակային մասը պարունակում է մեկ թվանշան: Այսպիսով, կլինի մեկ զրո: Ժամանակահատվածում կա նաև միայն մեկ թիվ՝ 8։ Այսինքն՝ կա ընդամենը մեկ ինը։ Այսինքն՝ հայտարարի մեջ պետք է գրել 90։

Համարիչը որոշելու համար պետք է 58-ից հանել 5-ը։ Ստացվում է 53։ Օրինակ՝ պատասխանը պետք է գրել 53/90։

Ինչպե՞ս են կոտորակները վերածվում տասնորդականների:

Ամենապարզ տարբերակը այն թիվն է, որի հայտարարը 10, 100 և այլն թիվն է։ Այնուհետև հայտարարը պարզապես հանվում է, և կոտորակային և ամբողջական մասերի միջև դրվում է ստորակետ։

Կան իրավիճակներ, երբ հայտարարը հեշտությամբ վերածվում է 10-ի, 100-ի և այլն, օրինակ՝ 5, 20, 25 թվերը։ Բավական է դրանք բազմապատկել համապատասխանաբար 2-ով, 5-ով և 4-ով։ Պարզապես պետք է բազմապատկել ոչ միայն հայտարարը, այլև համարիչը նույն թվով։

Մնացած բոլոր դեպքերի համար օգտակար է մի պարզ կանոն՝ համարիչը բաժանել հայտարարի վրա։ Այս դեպքում կարող եք ստանալ երկու հնարավոր պատասխան՝ վերջավոր կամ պարբերական տասնորդական կոտորակ:

Գործողություններ սովորական կոտորակներով

Գումարում և հանում

Ուսանողները դրանց հետ ծանոթանում են ավելի վաղ, քան մյուսները: Ընդ որում, կոտորակները սկզբում ունեն նույն հայտարարները, իսկ հետո՝ տարբեր։ Ընդհանուր կանոնները կարող են կրճատվել այս պլանի վրա:

Գտե՛ք հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Բոլոր սովորական կոտորակների համար գրի՛ր լրացուցիչ գործակիցներ:

Բազմապատկեք համարիչները և հայտարարները նրանց համար նախատեսված գործոններով:

Գումարե՛ք (հանեք) կոտորակների համարիչները և թողե՛ք ընդհանուր հայտարարը անփոփոխ։

Եթե ​​մինուենդի համարիչը փոքր է ենթակետից, ապա մենք պետք է պարզենք՝ ունենք խառը թիվ, թե ճիշտ կոտորակ:

Առաջին դեպքում պետք է ամբողջ մասից պարտք վերցնել։ Կոտորակի համարիչին ավելացրեք հայտարարը: Եվ հետո կատարեք հանումը:

Երկրորդում անհրաժեշտ է կիրառել ավելի մեծ թիվ փոքր թվից հանելու կանոնը։ Այսինքն՝ ենթակառուցվածքի մոդուլից հանել մինուենդի մոդուլը և ի պատասխան դնել «-» նշանը։

Ուշադիր նայեք գումարման (հանման) արդյունքին: Եթե ​​դուք ստանում եք ոչ պատշաճ կոտորակ, ապա դուք պետք է ընտրեք ամբողջ մասը: Այսինքն՝ համարիչը բաժանեք հայտարարի վրա։

Բազմապատկում և բաժանում

Դրանք կատարելու համար կոտորակները պետք չէ կրճատել ընդհանուր հայտարարի։ Սա հեշտացնում է գործողություններ կատարելը: Բայց նրանք դեռ պահանջում են, որ դուք հետևեք կանոններին:

Կոտորակները բազմապատկելիս պետք է դիտարկել թվերը համարիչներում և հայտարարներում: Եթե ​​որևէ համարիչ և հայտարար ունեն ընդհանուր գործակից, ապա դրանք կարող են կրճատվել:

Բազմապատկել համարիչները:

Բազմապատկեք հայտարարները:

Եթե ​​արդյունքը կրճատվող կոտորակ է, ապա այն պետք է նորից պարզեցվի։

Բաժանելիս նախ պետք է բաժանումը փոխարինել բազմապատկմամբ, իսկ բաժանարարը (երկրորդ կոտորակը) փոխադարձ կոտորակով (փոխանակել համարիչն ու հայտարարը)։

Այնուհետև շարունակեք այնպես, ինչպես բազմապատկվելով (սկսած 1-ին կետից):

Այն առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է բազմապատկել (բաժանել) ամբողջ թվով, վերջինս պետք է գրել ոչ պատշաճ կոտորակի տեսքով: Այսինքն՝ 1-ի հայտարարով: Ապա գործեք այնպես, ինչպես նկարագրված է վերևում:



Գործողություններ տասնորդական թվերով

Գումարում և հանում

Իհարկե, դուք միշտ կարող եք տասնորդականը վերածել կոտորակի: Եվ գործեք արդեն նկարագրված պլանի համաձայն: Բայց երբեմն ավելի հարմար է գործել առանց այս թարգմանության։ Այնուհետև դրանց գումարման և հանման կանոնները կլինեն նույնը:

Հավասարեցրեք թվանշանների թիվը թվի կոտորակային մասում, այսինքն՝ տասնորդական կետից հետո։ Դրան ավելացրե՛ք բացակայող զրոների թիվը։

Կոտորակներն այնպես գրի՛ր, որ ստորակետը ստորակետից ներքև լինի:

Բնական թվերի նման գումարել (հանել):

Հեռացրեք ստորակետը:

Բազմապատկում և բաժանում

Կարևոր է, որ այստեղ զրոներ ավելացնելու կարիք չկա: Կոտորակները պետք է թողնել այնպես, ինչպես տրված են օրինակում: Եվ հետո գնացեք ըստ պլանի:

Բազմապատկելու համար պետք է կոտորակները գրել մեկը մյուսի տակ՝ անտեսելով ստորակետերը։

Բազմապատկել բնական թվերի նման:

Պատասխանի մեջ դրեք ստորակետ՝ պատասխանի աջ ծայրից հաշվելով այնքան թվանշան, որքան դրանք երկու գործակիցների կոտորակային մասերում են:

Բաժանելու համար նախ պետք է փոխակերպել բաժանարարը՝ այն դարձնել բնական թիվ: Այսինքն՝ բազմապատկեք այն 10-ով, 100-ով և այլն՝ կախված նրանից, թե քանի թվանշան կա բաժանարարի կոտորակային մասում։

Բաժնետոմսը բազմապատկեք նույն թվով:

Տասնորդական կոտորակը բաժանեք բնական թվի:

Պատասխանումդ ստորակետ դրիր այն պահին, երբ ավարտվում է ամբողջ մասի բաժանումը։



Իսկ եթե օրինակներից մեկը պարունակում է երկու տեսակի կոտորակներ:

Այո, մաթեմատիկայի մեջ հաճախ կան օրինակներ, որոնցում պետք է գործողություններ կատարել սովորական և տասնորդական կոտորակների վրա: Նման առաջադրանքների դեպքում հնարավոր է երկու լուծում. Պետք է օբյեկտիվորեն կշռել թվերը և ընտրել օպտիմալը:

Առաջին ճանապարհը. ներկայացնել սովորական տասնորդականները

Այն հարմար է, եթե բաժանումը կամ թարգմանությունը հանգեցնում է վերջավոր կոտորակների: Եթե ​​առնվազն մեկ համարը տալիս է պարբերական մաս, ապա այս տեխնիկան արգելված է: Հետևաբար, նույնիսկ եթե չեք սիրում աշխատել սովորական կոտորակների հետ, ստիպված կլինեք հաշվել դրանք:

Երկրորդ եղանակ. տասնորդական կոտորակները գրել սովորական

Այս տեխնիկան հարմար է ստացվում, եթե տասնորդական կետից հետո հատվածը պարունակում է 1-2 նիշ։ Եթե ​​դրանք ավելի շատ լինեն, դուք կարող եք հայտնվել շատ մեծ ընդհանուր կոտորակի հետ, իսկ տասնորդական նշումը կդարձնի առաջադրանքն ավելի արագ և հեշտ հաշվարկելը: Ուստի միշտ պետք է սթափ գնահատել առաջադրանքը և ընտրել լուծման ամենապարզ մեթոդը։

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես կոտորակները տասնորդականների վերածելը, և նաև հաշվի առեք հակադարձ գործընթացը՝ տասնորդական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելը: Այստեղ մենք կուրվագծենք կոտորակների փոխակերպման կանոնները և մանրամասն լուծումներ կտանք բնորոշ օրինակներին:

Էջի նավարկություն.

Կոտորակների վերածումը տասնորդականների

Նշենք այն հաջորդականությունը, որով կզբաղվենք կոտորակները տասնորդականների վերածելը.

Նախ, մենք կնայենք, թե ինչպես ներկայացնել 10, 100, 1000, ... հայտարար ունեցող կոտորակները որպես տասնորդականներ: Սա բացատրվում է նրանով, որ տասնորդական կոտորակները ըստ էության 10, 100, ... հայտարարներով սովորական կոտորակներ գրելու կոմպակտ ձև են:

Դրանից հետո մենք ավելի հեռուն կգնանք և ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է գրել ցանկացած սովորական կոտորակ (ոչ միայն 10, 100, ... հայտարար ունեցողները) որպես տասնորդական կոտորակ: Երբ սովորական կոտորակները նման կերպ են վերաբերվում, ստացվում են ինչպես վերջավոր տասնորդական, այնպես էլ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակներ:

Հիմա եկեք ամեն ինչի մասին խոսենք հերթականությամբ։

10, 100, ... հայտարարներով ընդհանուր կոտորակների վերածումը տասնորդականների

Որոշ պատշաճ կոտորակներ պահանջում են «նախնական նախապատրաստում» նախքան տասնորդականների վերածվելը: Սա վերաբերում է սովորական կոտորակներին, որոնց համարիչում թվանշանների թիվը պակաս է հայտարարի զրոների թվից։ Օրինակ՝ 2/100 ընդհանուր կոտորակը նախ պետք է պատրաստվի տասնորդական կոտորակի վերածելու համար, սակայն 9/10 կոտորակը նախապատրաստման կարիք չունի։

Տասնորդական կոտորակների վերածելու համար պատշաճ սովորական կոտորակների «նախնական նախապատրաստումը» բաղկացած է համարիչի ձախ կողմում այնքան զրոներ ավելացնելուց, որ այնտեղ թվանշանների ընդհանուր թիվը հավասարվի հայտարարի զրոների թվին: Օրինակ՝ զրոներ ավելացնելուց հետո կոտորակը նման կլինի .

Երբ դուք պատրաստում եք պատշաճ կոտորակ, կարող եք սկսել այն վերածել տասնորդականի:

Եկեք տանք 10, կամ 100, կամ 1000, ... ճիշտ ընդհանուր կոտորակը տասնորդական կոտորակի վերածելու կանոն. Այն բաղկացած է երեք քայլից.

• գրել 0;
• դրանից հետո մենք դնում ենք տասնորդական կետ;
• Թիվը գրում ենք համարիչից (ավելացված զրոների հետ միասին, եթե ավելացրել ենք)։

Դիտարկենք այս կանոնի կիրառումը օրինակներ լուծելիս։

Օրինակ.

37/100 ճիշտ կոտորակը դարձրեք տասնորդականի:

Լուծում.

Հայտարարը պարունակում է 100 թիվը, որն ունի երկու զրո։ Համարիչը պարունակում է 37 թիվը, դրա նշումը ունի երկու նիշ, հետևաբար, այս կոտորակը պետք չէ պատրաստվել տասնորդական կոտորակի վերածելու համար:

Այժմ գրում ենք 0, դնում ենք տասնորդական կետ և համարիչից գրում ենք 37 թիվը և ստանում ենք 0,37 տասնորդական կոտորակը։

Պատասխան.

0,37 .

10, 100, ... համարիչներով ճիշտ սովորական կոտորակները տասնորդական կոտորակների վերածելու հմտությունները ամրապնդելու համար մենք կվերլուծենք մեկ այլ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

107/10.000.000 ճիշտ կոտորակը գրի՛ր տասնորդական թվով:

Լուծում.

Թվանշանների թիվը համարիչում 3 է, իսկ զրոների թիվը հայտարարում՝ 7, ուստի այս ընդհանուր կոտորակը պետք է պատրաստվի տասնորդականի վերածելու համար։ Հարկավոր է համարիչի ձախ կողմում ավելացնել 7-3=4 զրո, որպեսզի այնտեղ թվանշանների ընդհանուր թիվը հավասարվի հայտարարի զրոների թվին։ Մենք ստանում ենք.

Մնում է միայն ստեղծել անհրաժեշտ տասնորդական կոտորակը: Դա անելու համար նախ գրում ենք 0, երկրորդ՝ դնում ենք ստորակետ, երրորդ՝ համարիչից թիվը գրում ենք 0000107 զրոների հետ միասին, արդյունքում ունենում ենք տասնորդական կոտորակ 0,0000107։

Պատասխան.

0,0000107 .

Անպատշաճ կոտորակները տասնորդականների վերածելիս որևէ նախապատրաստություն չեն պահանջում: Պետք է պահպանել հետևյալը 10, 100, ... հայտարարներով ոչ պատշաճ կոտորակները տասնորդականների վերածելու կանոններ:

• Գրեք համարը համարիչից;
• Մենք օգտագործում ենք տասնորդական կետ՝ աջ կողմում այնքան թվանշան առանձնացնելու համար, որքան զրոներ կան սկզբնական կոտորակի հայտարարում:

Օրինակ լուծելիս նայենք այս կանոնի կիրառմանը։

Օրինակ.

Անպատշաճ 56,888,038,009/100,000 կոտորակը փոխարկե՛ք տասնորդականի:

Լուծում.

Նախ՝ 56888038009 համարիչից գրում ենք համարը, իսկ երկրորդը՝ աջ կողմի 5 նիշերն առանձնացնում ենք տասնորդական կետով, քանի որ սկզբնական կոտորակի հայտարարն ունի 5 զրո։ Արդյունքում ունենք 568880.38009 տասնորդական կոտորակը:

Պատասխան.

568 880,38009 .

Խառը թիվը տասնորդական կոտորակի վերածելու համար, որի կոտորակային մասի հայտարարը 10, կամ 100, կամ 1000, ... թիվն է, կարող եք խառը թիվը վերածել ոչ պատշաճ սովորական կոտորակի, այնուհետև վերածել ստացվածը։ կոտորակը տասնորդական կոտորակի մեջ: Բայց դուք կարող եք նաև օգտագործել հետևյալը 10, կամ 100, կամ 1000, ... կոտորակային հայտարար ունեցող խառը թվերը տասնորդական կոտորակների վերածելու կանոն.:

• անհրաժեշտության դեպքում մենք կատարում ենք սկզբնական խառը թվի կոտորակային մասի «նախնական պատրաստում»՝ համարիչի ձախ կողմում ավելացնելով անհրաժեշտ թվով զրոներ.
• գրի առեք բնօրինակ խառը թվի ամբողջական մասը.
• դնել տասնորդական կետ;
• Թիվը համարիչից գրում ենք ավելացված զրոների հետ միասին։

Դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ մենք լրացնում ենք բոլոր անհրաժեշտ քայլերը՝ խառը թիվը տասնորդական կոտորակի տեսքով ներկայացնելու համար:

Օրինակ.

Խառը թիվը վերածիր տասնորդականի:

Լուծում.

Կոտորակային մասի հայտարարն ունի 4 զրո, բայց համարիչը պարունակում է 17 թիվը՝ բաղկացած 2 նիշից, հետևաբար, պետք է համարիչի ձախ կողմում ավելացնել երկու զրո, որպեսզի այնտեղ թվանշանների թիվը հավասար լինի թվին։ զրոները հայտարարի մեջ: Դա անելուց հետո համարիչը կլինի 0017:

Այժմ գրում ենք սկզբնական թվի ամբողջ մասը, այսինքն՝ 23 թիվը, դնում ենք տասնորդական կետ, որից հետո համարիչից գրում ենք թիվը ավելացված զրոների հետ միասին, այսինքն՝ 0017, և ստանում ենք ցանկալի տասնորդականը։ կոտորակ 23.0017.

Համառոտ գրենք ամբողջ լուծումը. .

Իհարկե, հնարավոր էր նախ խառնված թիվը ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ, ապա այն վերածել տասնորդական կոտորակի։ Այս մոտեցմամբ լուծումն ունի հետևյալ տեսքը.

Պատասխան.

23,0017 .

Կոտորակների վերածումը վերջավոր և անվերջ պարբերական տասնորդականների

Դուք կարող եք տասնորդական կոտորակի վերածել ոչ միայն 10, 100, ... հայտարար ունեցող սովորական կոտորակները, այլև այլ հայտարարներով սովորական կոտորակները։ Այժմ մենք պարզելու ենք, թե ինչպես է դա արվում:

Որոշ դեպքերում սկզբնական սովորական կոտորակը հեշտությամբ կրճատվում է մինչև 10, կամ 100, կամ 1000, ... (տես սովորական կոտորակի նոր հայտարարի բերելը), որից հետո ստացված կոտորակը ներկայացնելը դժվար չէ։ որպես տասնորդական կոտորակ: Օրինակ, ակնհայտ է, որ 2/5 կոտորակը կարող է կրճատվել 10 հայտարար ունեցող կոտորակի, դրա համար անհրաժեշտ է համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել 2-ով, ինչը կստացվի 4/10 կոտորակը, որը, ըստ Նախորդ պարբերությունում քննարկված կանոնները հեշտությամբ փոխարկվում են 0, 4 տասնորդական կոտորակի:

Այլ դեպքերում, դուք պետք է օգտագործեք սովորական կոտորակը տասնորդականի փոխարկելու այլ մեթոդ, որը մենք այժմ անցնում ենք դիտարկմանը:

Սովորական կոտորակը տասնորդական կոտորակի վերածելու համար կոտորակի համարիչը բաժանվում է հայտարարի վրա, համարիչը նախ փոխարինվում է տասնորդական կետից հետո ցանկացած թվով զրոյով հավասար տասնորդական կոտորակով (այս մասին խոսեցինք հավասար և հավասար բաժնում։ անհավասար տասնորդական կոտորակներ): Այս դեպքում բաժանումը կատարվում է այնպես, ինչպես բաժանումը բնական թվերի սյունակով, իսկ քանորդում տեղադրվում է տասնորդական կետ, երբ ավարտվում է դիվիդենտի ամբողջ մասի բաժանումը։ Այս ամենը պարզ կդառնա ստորև բերված օրինակների լուծումներից։

Օրինակ.

621/4 կոտորակը փոխարկե՛ք տասնորդականի։

Լուծում.

Ներկայացնենք 621 համարիչի թիվը որպես տասնորդական կոտորակ՝ դրանից հետո ավելացնելով տասնորդական կետ և մի քանի զրո։ Նախ, եկեք ավելացնենք 2 նիշ 0, ավելի ուշ, անհրաժեշտության դեպքում, միշտ կարող ենք ավելացնել ավելի շատ զրոներ: Այսպիսով, մենք ունենք 621.00:

Այժմ 621000 թիվը սյունակով բաժանենք 4-ի։ Առաջին երեք քայլերը ոչնչով չեն տարբերվում բնական թվերը սյունակի վրա բաժանելուց, որից հետո հանգում ենք հետևյալ պատկերին.

Այսպես մենք հասնում ենք դիվիդենտի տասնորդական կետին, իսկ մնացորդը տարբերվում է զրոյից: Այս դեպքում մենք տասնորդական կետ ենք դնում քանորդում և շարունակում ենք բաժանումը սյունակում՝ ուշադրություն չդարձնելով ստորակետերին.

Սա ավարտում է բաժանումը, և արդյունքում ստանում ենք 155.25 տասնորդական կոտորակը, որը համապատասխանում է սկզբնական սովորական կոտորակին։

Պատասխան.

155,25 .

Նյութը համախմբելու համար հաշվի առեք մեկ այլ օրինակի լուծումը:

Օրինակ.

21/800 կոտորակը փոխարկե՛ք տասնորդականի։

Լուծում.

Այս ընդհանուր կոտորակը տասնորդականի վերածելու համար տասնորդական կոտորակի սյունակով 21000... բաժանում ենք 800-ի: Առաջին քայլից հետո մենք պետք է տասնորդական կետ դնենք քանորդի մեջ, այնուհետև շարունակենք բաժանումը.

Ի վերջո, մենք ստացանք մնացած 0-ը, սա ավարտում է 21/400 ընդհանուր կոտորակի փոխարկումը տասնորդական կոտորակի, և մենք հասանք 0,02625 տասնորդական կոտորակի:

Պատասխան.

0,02625 .

Կարող է պատահել, որ համարիչը սովորական կոտորակի հայտարարի վրա բաժանելիս, այնուամենայնիվ, 0-ի մնացորդ չստացվի։ Այս դեպքերում բաժանումը կարող է շարունակվել անորոշ ժամանակով։ Սակայն որոշակի քայլից սկսած մնացորդները սկսում են պարբերաբար կրկնվել, իսկ քանորդի թվերը նույնպես կրկնվում են։ Սա նշանակում է, որ սկզբնական կոտորակը վերածվում է անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակի: Սա ցույց տանք օրինակով։

Օրինակ.

19/44 կոտորակը գրի՛ր տասնորդական թվով:

Լուծում.

Սովորական կոտորակը տասնորդականի վերածելու համար կատարեք բաժանում ըստ սյունակի.

Արդեն պարզ է, որ բաժանման ժամանակ սկսեցին կրկնվել 8-րդ և 36-ի մնացորդները, մինչդեռ քանորդում կրկնվում են 1-ին և 8-րդ թվերը։ Այսպիսով, սկզբնական ընդհանուր կոտորակը 19/44 վերածվում է պարբերական տասնորդական կոտորակի 0,43181818...=0,43(18):

Պատասխան.

0,43(18) .

Այս կետը եզրափակելու համար մենք կպարզենք, թե որ սովորական կոտորակները կարող են վերածվել վերջավոր տասնորդական կոտորակների, և որոնք կարող են վերածվել միայն պարբերականների:

Եկեք մեր առջև ունենանք անկրճատելի սովորական կոտորակ (եթե կոտորակը կրճատելի է, ապա նախ փոքրացնում ենք կոտորակը), և պետք է պարզենք, թե որ տասնորդական կոտորակի կարող է այն վերածվել՝ վերջավոր, թե պարբերական։

Հասկանալի է, որ եթե սովորական կոտորակը կարող է կրճատվել 10, 100, 1000, ... հայտարարներից մեկին, ապա ստացված կոտորակը հեշտությամբ կարելի է վերածել վերջնական տասնորդական կոտորակի՝ համաձայն նախորդ պարբերությունում քննարկված կանոնների։ Բայց հայտարարներին՝ 10, 100, 1000 և այլն։ Ոչ բոլոր սովորական կոտորակներն են տրված։ Միայն այն կոտորակները, որոնց հայտարարը 10, 100, ... թվերից գոնե մեկն է, կարող են կրճատվել այդպիսի հայտարարների, իսկ ո՞ր թվերը կարող են լինել 10, 100, ... բաժանարարներ: 10, 100, ... թվերը մեզ թույլ կտան պատասխանել այս հարցին, և դրանք հետևյալն են՝ 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Հետևում է, որ բաժանարարներն են 10, 100, 1000 և այլն։ Կարող են լինել միայն թվեր, որոնց տարրալուծումը պարզ գործոնների պարունակում է միայն 2 և (կամ) 5 թվերը:

Այժմ մենք կարող ենք ընդհանուր եզրակացություն անել սովորական կոտորակները տասնորդականների վերածելու վերաբերյալ.

• եթե հայտարարի պարզ գործոնների տարրալուծման ժամանակ առկա են միայն 2 և (կամ) 5 թվերը, ապա այս կոտորակը կարող է վերածվել վերջնական տասնորդական կոտորակի.
• եթե, բացի երկուսից և հինգից, հայտարարի ընդլայնման մեջ կան նաև այլ պարզ թվեր, ապա այս կոտորակը վերածվում է անվերջ տասնորդական պարբերական կոտորակի։

Օրինակ.

Առանց սովորական կոտորակները տասնորդականների փոխարկելու, ասա ինձ, թե 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 կոտորակներից որը կարելի է վերածել վերջնական տասնորդական կոտորակի, իսկ որոնք՝ միայն պարբերական կոտորակի։

Լուծում.

47/20 կոտորակի հայտարարը գործոնացվում է պարզ գործակիցների՝ 20=2·2·5: Այս ընդլայնման մեջ կան միայն երկու և հինգերորդներ, ուստի այս կոտորակը կարող է կրճատվել մինչև 10, 100, 1000, ... հայտարարներից մեկին (այս օրինակում՝ 100 հայտարարի), հետևաբար, կարող է փոխարկվել վերջնական տասնորդականի։ մաս.

7/12 կոտորակի հայտարարի տարրալուծումը պարզ գործակիցների ունի 12=2·2·3 ձև: Քանի որ այն պարունակում է 3-ի պարզ գործակից, որը տարբերվում է 2-ից և 5-ից, այս կոտորակը չի կարող ներկայացվել որպես վերջավոր տասնորդական, բայց կարող է փոխարկվել պարբերական տասնորդականի:

Մաս 21/56 – կծկվող, կծկվելուց հետո ստանում է 3/8 ձև։ Հայտարարը պարզ գործակիցների վերածելը պարունակում է երեք գործակից, որը հավասար է 2-ի, հետևաբար, ընդհանուր 3/8 կոտորակը և, հետևաբար, հավասար կոտորակը 21/56, կարող է վերածվել վերջնական տասնորդական կոտորակի:

Վերջապես, 31/17 կոտորակի հայտարարի ընդլայնումը ինքնին 17 է, հետևաբար այս կոտորակը չի կարող վերածվել վերջավոր տասնորդական կոտորակի, այլ կարող է վերածվել անվերջ պարբերական կոտորակի։

Պատասխան.

47/20-ը և 21/56-ը կարող են վերածվել վերջավոր տասնորդական կոտորակի, բայց 7/12 և 31/17-ը կարող են փոխարկվել միայն պարբերական կոտորակի:

Սովորական կոտորակները չեն վերածվում անվերջ ոչ պարբերական տասնորդականների

Նախորդ պարբերության տեղեկատվությունը առաջացնում է հարց. «Կոտորակի համարիչը հայտարարի վրա բաժանելը կարո՞ղ է հանգեցնել անվերջ ոչ պարբերական կոտորակի»:

Պատասխան՝ ոչ։ Ընդհանուր կոտորակը փոխարկելիս արդյունքը կարող է լինել կամ վերջավոր տասնորդական կոտորակ կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ: Եկեք բացատրենք, թե ինչու է դա այդպես:

Մնացորդով բաժանելիության թեորեմից պարզ է դառնում, որ մնացորդը միշտ փոքր է բաժանարարից, այսինքն՝ եթե որոշ ամբողջ թիվ բաժանենք q ամբողջ թվի վրա, ապա մնացորդը կարող է լինել միայն 0, 1, 2 թվերից մեկը։ , ..., q−1. Հետևում է, որ սյունակի ավարտից հետո սովորական կոտորակի համարիչի ամբողջ մասը բաժանելը q հայտարարի վրա, q քայլերից ոչ ավելի, կառաջանա հետևյալ երկու իրավիճակներից մեկը.

• կամ մենք կստանանք 0-ի մնացորդ, սա կավարտի բաժանումը, և մենք կստանանք վերջնական տասնորդական կոտորակը.
• կամ կստանանք նախկինում արդեն հայտնված մնացորդ, որից հետո մնացորդները կսկսեն կրկնվել ինչպես նախորդ օրինակում (քանի որ հավասար թվերը q-ի բաժանելիս ստացվում են հավասար մնացորդներ, որը բխում է արդեն նշված բաժանելիության թեորեմից), սա. կստացվի անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակ:

Այլ տարբերակներ լինել չեն կարող, հետևաբար սովորական կոտորակը տասնորդական կոտորակի վերածելիս չի կարելի ստանալ անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակ։

Այս պարբերությունում բերված պատճառաբանությունից հետևում է նաև, որ տասնորդական կոտորակի պարբերության երկարությունը միշտ փոքր է համապատասխան սովորական կոտորակի հայտարարի արժեքից:

Տասնորդական թվերը կոտորակների վերածելը

Հիմա եկեք պարզենք, թե ինչպես կարելի է տասնորդական կոտորակը վերածել սովորական կոտորակի: Սկսենք վերջնական տասնորդական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելուց: Դրանից հետո մենք կդիտարկենք անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակները շրջելու մեթոդ: Եզրափակելով, ասենք անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակները սովորական կոտորակների վերածելու անհնարինության մասին։

Հետևյալ տասնորդականների վերածումը կոտորակների

Կոտորակի ստացումը, որը գրված է որպես վերջնական տասնորդական, բավականին պարզ է: Վերջնական տասնորդական կոտորակը սովորական կոտորակի վերածելու կանոնբաղկացած է երեք քայլից.

• նախ գրեք տրված տասնորդական կոտորակը համարիչի մեջ՝ նախապես հրաժարվելով տասնորդական կետից և ձախ կողմում գտնվող բոլոր զրոներից, եթե այդպիսիք կան.
• երկրորդ, հայտարարի մեջ գրեք մեկը և դրան ավելացրեք այնքան զրո, որքան թվանշաններ կան սկզբնական տասնորդական կոտորակի տասնորդական կետից հետո.
• երրորդը, անհրաժեշտության դեպքում, կրճատեք ստացված ֆրակցիան:

Դիտարկենք օրինակների լուծումները։

Օրինակ.

Տասնորդական 3.025-ը փոխարկեք կոտորակի:

Լուծում.

Եթե ​​սկզբնական տասնորդական կոտորակից հանենք տասնորդական կետը, կստանանք 3025 թիվը։ Ձախ կողմում չկան զրոներ, որոնք մենք կթողնենք: Այսպիսով, ցանկալի կոտորակի համարիչում գրում ենք 3025։

Մենք 1 թիվը գրում ենք հայտարարի մեջ և աջում ավելացնում ենք 3 զրո, քանի որ սկզբնական տասնորդական կոտորակի մեջ տասնորդական կետից հետո կա 3 նիշ։

Այսպիսով, մենք ստացանք ընդհանուր կոտորակը 3,025/1,000: Այս կոտորակը կարելի է կրճատել 25-ով, ստանում ենք .

Պատասխան.

.

Օրինակ.

0,0017 տասնորդական կոտորակը փոխարկեք կոտորակի:

Լուծում.

Առանց տասնորդական կետի, սկզբնական տասնորդական կոտորակը նման է 00017-ին, ձախ կողմում գտնվող զրոներից հրաժարվելով՝ ստանում ենք 17 թիվը, որը ցանկալի սովորական կոտորակի համարիչն է։

Մեկը գրում ենք չորս զրոներով, քանի որ սկզբնական տասնորդական կոտորակը տասնորդական կետից հետո ունի 4 նիշ։

Արդյունքում ունենք սովորական կոտորակ 17/10000։ Այս կոտորակն անկրճատելի է, և տասնորդական կոտորակի վերածումը սովորական կոտորակի ավարտված է։

Պատասխան.

.

Երբ սկզբնական վերջնական տասնորդական կոտորակի ամբողջական մասը զրոյական չէ, այն կարող է անմիջապես վերածվել խառը թվի՝ շրջանցելով ընդհանուր կոտորակը։ Եկեք տանք վերջնական տասնորդական կոտորակը խառը թվի վերածելու կանոն:

• տասնորդական կետից առաջ թիվը պետք է գրվի որպես ցանկալի խառը թվի ամբողջական մաս.
• կոտորակային մասի համարիչում պետք է գրել սկզբնական տասնորդական կոտորակի կոտորակային մասից ստացված թիվը ձախ կողմում գտնվող բոլոր զրոները հեռացնելուց հետո.
• կոտորակային մասի հայտարարի մեջ պետք է գրել 1 թիվը, որին աջ գումարել այնքան զրո, որքան թվանշաններ կան սկզբնական տասնորդական կոտորակի տասնորդական կետից հետո.
• անհրաժեշտության դեպքում կրճատեք ստացված խառը թվի կոտորակային մասը։

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակը խառը թվի վերածելու օրինակ։

Օրինակ.

152.06005 տասնորդական կոտորակն արտահայտե՛ք խառը թվով

Ռացիոնալ m/n թիվը որպես տասնորդական կոտորակ գրելու համար անհրաժեշտ է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա։ Այս դեպքում քանորդը գրվում է որպես վերջավոր կամ անվերջ տասնորդական կոտորակ։

Գրի՛ր այս թիվը տասնորդական կոտորակի տեսքով:

Լուծում. Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչը բաժանեք սյունակի՝ ըստ նրա հայտարարի. Ա) 6-ը բաժանել 25-ի; բ)բաժանել 2-ը 3-ի; V) 1-ը բաժանեք 2-ի և ստացված կոտորակը ավելացրեք մեկին՝ այս խառը թվի ամբողջ թվին:

Անկրճատելի սովորական կոտորակներ, որոնց հայտարարները չեն պարունակում պարզ գործոններ, բացի 2 Եվ 5 , գրվում են որպես վերջնական տասնորդական կոտորակ։

IN օրինակ 1երբ Ա)հայտարար 25=5·5; երբ V)հայտարարը 2 է, ուստի մենք ստանում ենք վերջնական տասնորդականները 0,24 և 1,5: Երբ բ)հայտարարը 3 է, ուստի արդյունքը չի կարող գրվել որպես վերջավոր տասնորդական:

Հնարավո՞ր է, առանց երկար բաժանման, տասնորդական կոտորակի վերածել այնպիսի սովորական կոտորակը, որի հայտարարը 2-ից և 5-ից բացի այլ բաժանարարներ չի պարունակում։ Եկեք պարզենք այն: Ո՞ր կոտորակն է կոչվում տասնորդական և գրվում է առանց կոտորակի: Պատասխան՝ 10 հայտարարով կոտորակ; 100; 1000 և այլն: Եվ այս թվերից յուրաքանչյուրը արտադրյալ է հավասարերկուսի և հինգերի թիվը. Փաստորեն՝ 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 և այլն:

Հետևաբար, անկրճատելի սովորական կոտորակի հայտարարը պետք է ներկայացվի որպես «երկուսի» և «հինգի» արտադրյալ, այնուհետև բազմապատկվի 2-ով և (կամ) 5-ով, որպեսզի «երկուսը» և «հինգը» դառնան հավասար: Այդ դեպքում կոտորակի հայտարարը հավասար կլինի 10-ի կամ 100-ի կամ 1000-ի և այլն։ Որպեսզի կոտորակի արժեքը չփոխվի, կոտորակի համարիչը բազմապատկում ենք նույն թվով, որով բազմապատկել ենք հայտարարը։

Հետևյալ ընդհանուր կոտորակները արտահայտե՛ք տասնորդականներով.

Լուծում. Այս կոտորակներից յուրաքանչյուրն անկրճատելի է: Յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը դասավորենք պարզ գործոնների:

20=2·2·5։ Եզրակացություն. մեկ «Ա» բացակայում է:

8=2·2·2. Եզրակացություն. երեք «Ա» բացակայում է:

25=5·5. Եզրակացություն. երկու «երկուսը» բացակայում են։

Մեկնաբանություն.Գործնականում հաճախ չեն օգտագործում հայտարարի ֆակտորիզացիա, այլ ուղղակի հարց են տալիս՝ ինչքա՞նով պետք է բազմապատկել հայտարարը, որպեսզի արդյունքը լինի մեկ զրոներով (10 կամ 100 կամ 1000 և այլն)։ Եվ հետո համարիչը բազմապատկվում է նույն թվով։

Այսպիսով, դեպքում Ա)(օրինակ 2) 20 թվից 5-ով բազմապատկելով կարող եք ստանալ 100, հետևաբար համարիչը և հայտարարը պետք է բազմապատկել 5-ով։

Երբ բ)(օրինակ 2) 8 թվից 100 թիվը չի ստացվի, բայց 125-ով բազմապատկելով 1000 թիվը, կոտորակի և համարիչը (3), և հայտարարը (8) բազմապատկվում են 125-ով:

Երբ V)(օրինակ 2) 25-ից կստանաք 100, եթե բազմապատկեք 4-ով: Սա նշանակում է, որ 8 համարիչը պետք է բազմապատկվի 4-ով:

Անվերջ տասնորդական կոտորակը, որտեղ մեկ կամ մի քանի թվեր անընդհատ կրկնվում են նույն հաջորդականությամբ, կոչվում է. պարբերականորպես տասնորդական: Կրկնվող թվանշանների բազմությունը կոչվում է այս կոտորակի ժամանակաշրջան: Հակիրճության համար կոտորակի կետը գրվում է մեկ անգամ՝ փակագծերում փակցված։

Երբ բ)(օրինակ 1) կա միայն մեկ կրկնվող թվանշան և հավասար է 6-ի: Հետևաբար, մեր արդյունքը 0,66... ​​կգրվի այսպես՝ 0,(6) : Կարդում են՝ զրոյական կետ, վեցը՝ ժամկետով:

Եթե ​​տասնորդական կետի և առաջին կետի միջև կան մեկ կամ մի քանի չկրկնվող թվեր, ապա այդպիսի պարբերական կոտորակը կոչվում է խառը պարբերական կոտորակ։

Անկրճատելի ընդհանուր կոտորակ, որի հայտարարն է մյուսների հետ միասինբազմապատկիչը պարունակում է բազմապատկիչ 2 կամ 5 , դառնում է խառըպարբերական կոտորակ.

Թվերը գրեք տասնորդական թվերով: