Մաս- թիվ, որը բաղկացած է միավորի կոտորակների ամբողջ թվից և ներկայացված է ա/բ ձևով.

Կոտորակի համարիչը (a)- կոտորակի գծի վերևում գտնվող թիվը և ցույց է տալիս բաժնետոմսերի քանակը, որոնց բաժանվել է միավորը:

Կոտորակի հայտարար (բ)- կոտորակի գծի տակ գտնվող թիվը և ցույց է տալիս, թե քանի մասի է բաժանված միավորը:

2. Կոտորակների կրճատում մինչև Ընդհանուր հայտարար

3. Թվաբանական գործողություններ են սովորական կոտորակներ

3.1. Սովորական կոտորակների գումարում

3.2. Կոտորակների հանում

3.3. Ընդհանուր կոտորակների բազմապատկում

3.4. Կոտորակներ բաժանող

4. Փոխադարձ թվեր

5. Տասնորդականներ

6. Թվաբանական գործողություններ տասնորդականների վրա

6.1. Տասնորդական թվերի ավելացում

6.2. Տասնորդական թվերի հանում

6.3. Տասնորդական թվերի բազմապատկում

6.4. Տասնորդական բաժանում

#1. Կոտորակի հիմնական հատկությունը

Եթե ​​կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում կամ բաժանվում են միևնույն թվով, որը հավասար չէ զրոյի, ստացվում է տրվածին հավասար կոտորակ։

3/7=3*3/7*3=9/21, այսինքն՝ 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m - ահա թե ինչ տեսք ունի կոտորակի հիմնական հատկությունը։

Այսինքն՝ սկզբնական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը նույնով բազմապատկելով կամ բաժանելով ստանում ենք տրվածին հավասար կոտորակ։ բնական թիվ.

Եթե ad=մ.թ.ա, ապա երկու կոտորակ a/b =c /d-ը համարվում են հավասար:

Օրինակ՝ 3/5 և 9/15 կոտորակները հավասար կլինեն, քանի որ 3*15=5*9, այսինքն՝ 45=45։

Կոտորակի կրճատումԿոտորակի փոխարինման գործընթացն է, որտեղ նոր կոտորակը հավասար է սկզբնականին, բայց ավելի փոքր համարիչով և հայտարարով:

Ընդունված է կոտորակները կրճատել՝ ելնելով կոտորակի հիմնական հատկությունից։

Օրինակ, 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (համարը և հայտարարը բաժանվում են 3 թվի, 5-ի և 15-ի):

Անկրճատելի կոտորակձևի կոտորակ է 3/4 ​ ​ , որտեղ համարիչն ու հայտարարը փոխադարձ են պարզ թվեր. Կոտորակի կրճատման հիմնական նպատակը կոտորակն անկրճատելի դարձնելն է։

2. Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Երկու կոտորակ ընդհանուր հայտարարի բերելու համար անհրաժեշտ է.

1) ընդլայնել յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարը հիմնական գործոնները;

2) առաջին կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել բաց թողնվածներով

Երկրորդ հայտարարի ընդլայնման գործոնները.

3) երկրորդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել առաջին ընդլայնման բացակայող գործակիցներով:

Օրինակներ. Կոտորակներն իջեցնել ընդհանուր հայտարարի:

Հայտարարները դասավորենք պարզ գործոնների` 18=3∙3∙2, 15=3∙5:

Բազմապատկենք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը երկրորդ ընդլայնումից բացակայող 5 գործակցով:

կոտորակի համարիչն ու հայտարարը առաջին ընդլայնումից բացակայող 3 և 2 գործակիցների մեջ:

= , 90 – կոտորակների ընդհանուր հայտարար:

3. Թվաբանական գործողություններ սովորական կոտորակների վրա

3.1. Սովորական կոտորակների գումարում

ա) Եթե հայտարարները նույնն են, ապա առաջին կոտորակի համարիչը գումարվում է երկրորդ կոտորակի համարիչին՝ թողնելով հայտարարը նույնը: Ինչպես տեսնում եք օրինակում.

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

բ) Տարբեր հայտարարների դեպքում կոտորակները սկզբում կրճատվում են ընդհանուր հայտարարի, այնուհետև համարիչները գումարվում են ըստ ա կանոնի.

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Կոտորակների հանում

ա) Եթե հայտարարները նույնն են, ապա հանեք երկրորդ կոտորակի համարիչը առաջին կոտորակի համարիչից՝ թողնելով հայտարարը նույնը.

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

բ) Եթե կոտորակների հայտարարները տարբեր են, ապա նախ կոտորակները բերվում են ընդհանուր հայտարարի, ապա կրկնվում են գործողությունները, ինչպես ա կետում է.

3.3. Ընդհանուր կոտորակների բազմապատկում

Կոտորակները բազմապատկելը հետևում է հետևյալ կանոնին.

a/b*c/d=a*c/b*d,

այսինքն՝ համարիչներն ու հայտարարներն առանձին-առանձին բազմապատկում են։

Օրինակ:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Կոտորակներ բաժանող

Կոտորակները բաժանվում են հետևյալ կերպ.

a/b:c/d=a*d/b*c,

այսինքն՝ a/b կոտորակը բազմապատկվում է տրվածի հակադարձ կոտորակի վրա, այսինքն՝ բազմապատկվում է d/c-ով։

Օրինակ՝ 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Փոխադարձ թվեր

Եթե a*b=1,ապա b թիվը փոխադարձ համարըա թվի համար.

Օրինակ՝ 9 թվի համար փոխադարձ է 1/9 ​ ​ , 9*1/9-ից = 1 , 5 թվի համար՝ հակադարձ թիվը 1/5 ​ ​ , որովհետեւ 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Տասնորդականներ

Տասնորդականպատշաճ կոտորակ է, որի հայտարարը հավասար է 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Օրինակ՝ 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Նույն կերպ են գրվում նաեւ հայտարար ունեցող սխալները 10^նկամ խառը թվեր։

Օրինակ՝ 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Ցանկացած սովորական կոտորակ, որի հայտարարը 10-ի որոշակի աստիճանի բաժանարար է, ներկայացված է որպես տասնորդական կոտորակ:

փոփոխիչ, որը 10 թվի որոշակի աստիճանի բաժանարար է։

Օրինակ՝ 5-ը 100-ի բաժանարարն է, ուստի այն կոտորակ է 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Թվաբանական գործողություններ տասնորդականների վրա

6.1. Տասնորդական թվերի ավելացում

Երկու տասնորդական կոտորակ ավելացնելու համար պետք է դրանք դասավորել այնպես, որ իրար տակ լինեն նույնական թվանշաններ, իսկ ստորակետի տակ՝ ստորակետ, իսկ հետո սովորական թվերի նման կոտորակները գումարենք։

6.2. Տասնորդական թվերի հանում

Այն կատարվում է այնպես, ինչպես հավելումը։

6.3. Տասնորդական թվերի բազմապատկում

Բազմապատկելիս տասնորդական թվերԲավական է բազմապատկել տրված թվերը՝ ուշադրություն չդարձնելով ստորակետներին (ինչպես բնական թվերը), և ստացված պատասխանում աջ կողմում ստորակետը բաժանում է այնքան թվանշան, որքան տասնորդական կետից հետո կա ընդհանուր երկու գործոնների մեջ։

Եկեք 2,7-ը բազմապատկենք 1,3-ով։ Մենք ունենք 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Մենք աջ կողմում բաժանում ենք երկու նիշ ստորակետով (առաջին և երկրորդ թվերն ունեն մեկ նիշ տասնորդական կետից հետո. 1+1=2 1 + 1 = 2 ) Արդյունքում մենք ստանում ենք 2.7\cdot 1.3=3.51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Եթե ​​ստացված արդյունքը պարունակում է ավելի քիչ թվեր, քան պետք է բաժանել ստորակետով, ապա բացակայող զրոները գրվում են առջևում, օրինակ.

10, 100, 1000-ով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է տասնորդական 1, 2, 3 թվանշանը տեղափոխել աջ (անհրաժեշտության դեպքում աջին վերագրվում են որոշակի թվով զրոներ):

Օրինակ: 1,47\cdot 10,000 = 14,700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Տասնորդական բաժանում

Տասնորդական կոտորակը բնական թվի վրա բաժանելը կատարվում է այնպես, ինչպես բնական թիվը բնական թվի վրա բաժանելը։ Ստորակետը քանորդի մեջ դրվում է ամբողջ մասի բաժանումն ավարտելուց հետո։

Եթե ամբողջ մասըբաժանելի բաժանարարից պակաս, ապա պատասխանը ստացվում է զրոյական ամբողջ թվեր, օրինակ.

Դիտարկենք տասնորդականի բաժանումը տասնորդականի վրա: Ենթադրենք, պետք է 2.576-ը բաժանենք 1.12-ի: Նախ, եկեք կոտորակի բաժանարարն ու բաժանարարը բազմապատկենք 100-ով, այսինքն՝ տասնորդական կետը դիվիդենտում տեղափոխենք աջ, իսկ բաժանարարը՝ այնքան տասնորդական թվերով, որքան կան տասնորդական կետից հետո բաժանարարում ( այս օրինակումերկուսով): Այնուհետև պետք է 257.6 կոտորակը բաժանել 112 բնական թվի վրա, այսինքն՝ խնդիրը հասցվում է արդեն դիտարկված դեպքի.

Պատահում է, որ վերջնական արդյունքը միշտ չէ, որ ստացվում է տասնորդականմի թիվը մյուսի վրա բաժանելիս. Արդյունքը անսահման տասնորդական կոտորակն է: Նման դեպքերում անցնում ենք սովորական կոտորակներին։

Օրինակ՝ 2.8: 0.09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Կոտորակներով օրինակները մաթեմատիկայի հիմնական տարրերից են։ Կան բազմաթիվ տարբեր տեսակներհավասարումներ կոտորակներով. Ստորև ներկայացված է մանրամասն հրահանգներայս տեսակի օրինակների լուծման համար.

Ինչպես լուծել օրինակներ կոտորակներով - ընդհանուր կանոններ

Ցանկացած տեսակի կոտորակներով օրինակներ լուծելու համար՝ լինի դա գումարում, հանում, բազմապատկում կամ բաժանում, դուք պետք է իմանաք հիմնական կանոնները.

• Նույն հայտարարով կոտորակային արտահայտություններ ավելացնելու համար (հայտարարը կոտորակի ներքևում գտնվող թիվն է, համարիչը՝ վերևում), պետք է ավելացնել դրանց համարիչները, իսկ հայտարարը թողնել նույնը։
• Երկրորդ կոտորակային արտահայտությունը (նույն հայտարարով) մեկ կոտորակից հանելու համար պետք է հանել դրանց համարիչները և թողնել հայտարարը նույնը:
• հետ կոտորակային արտահայտություններ ավելացնելու կամ հանելու համար տարբեր հայտարարներ, պետք է գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարը։
• Կոտորակի արտադրյալ գտնելու համար պետք է բազմապատկել համարիչները և հայտարարները, իսկ հնարավորության դեպքում՝ կրճատել:
• Կոտորակը կոտորակի վրա բաժանելու համար պետք է առաջին կոտորակը բազմապատկել հակադարձված երկրորդ կոտորակի վրա:

Ինչպես լուծել օրինակներ կոտորակներով - պրակտիկա

Կանոն 1, օրինակ 1.

Հաշվեք 3/4 +1/4:

Համաձայն 1-ին կանոնի, եթե երկու (կամ ավելի) կոտորակներ ունեն նույն հայտարարը, դուք պարզապես ավելացնում եք դրանց համարիչները: Մենք ստանում ենք՝ 3/4 + 1/4 = 4/4: Եթե ​​կոտորակն ունի նույն համարիչն ու հայտարարը, ապա կոտորակը հավասար կլինի 1-ի:

Պատասխան՝ 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1:

Կանոն 2, օրինակ 1.

Հաշվիր՝ 3/4 – 1/4

Օգտագործելով թիվ 2 կանոնը, այս հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է 3-ից հանել 1-ը և թողնել նույնը: Մենք ստանում ենք 2/4: Քանի որ երկու 2-ը և 4-ը կարող են կրճատվել, մենք կրճատում ենք և ստանում ենք 1/2:

Պատասխան՝ 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2:

Կանոն 3, Օրինակ 1

Հաշվիր՝ 3/4 + 1/6

Լուծում՝ օգտագործելով 3-րդ կանոնը, գտնում ենք ամենացածր ընդհանուր հայտարարը։ Ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը այն թիվն է, որը բաժանվում է օրինակի բոլոր կոտորակային արտահայտությունների հայտարարների վրա: Այսպիսով, մենք պետք է գտնենք այն նվազագույն թիվը, որը կբաժանվի և՛ 4-ի, և՛ 6-ի: Այս թիվը 12 է: 12-ը բաժանում ենք առաջին կոտորակի հայտարարի վրա, ստանում ենք 3, բազմապատկում ենք 3-ով, գրում ենք: 3 համարիչում *3 և + նշան: 12-ը բաժանում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարի վրա, ստանում ենք 2, 2-ը բազմապատկում ենք 1-ով, համարիչում գրում 2*1։ Այսպիսով, ստանում ենք նոր կոտորակ, որի հայտարարը հավասար է 12-ի, իսկ համարիչը՝ 3*3+2*1=11: 11/12.

Պատասխան՝ 11/12

Կանոն 3, Օրինակ 2.

Հաշվեք 3/4 – 1/6: Այս օրինակը շատ նման է նախորդին. Մենք անում ենք բոլոր քայլերը, բայց համարիչում + նշանի փոխարեն գրում ենք մինուս նշան։ Մենք ստանում ենք՝ 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12:

Պատասխան՝ 7/12

Կանոն 4, Օրինակ 1.

Հաշվել՝ 3/4 * 1/4

Օգտագործելով չորրորդ կանոնը՝ մենք առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկում ենք երկրորդի հայտարարով, իսկ առաջին կոտորակի համարիչը՝ երկրորդի համարիչով։ 3*1/4*4 = 3/16:

Պատասխան՝ 3/16

Կանոն 4, Օրինակ 2.

Հաշվեք 2/5 * 10/4:

Այս մասնաբաժինը կարող է կրճատվել: Արտադրյալի դեպքում առաջին կոտորակի համարիչը և երկրորդի հայտարարը և երկրորդ կոտորակի համարիչը և առաջինի հայտարարը չեղարկվում են:

2-ը չեղարկում է 4-ից 10-ը չեղարկում 5-ից: Ստանում ենք 1 * 2/2 = 1*1 = 1:

Պատասխան՝ 2/5 * 10/4 = 1

Կանոն 5, Օրինակ 1.

Հաշվել՝ 3/4: 5/6

Օգտագործելով 5-րդ կանոնը՝ ստանում ենք՝ 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5: Կոտորակը կրճատում ենք նախորդ օրինակի սկզբունքով և ստանում 9/10։

Պատասխան՝ 9/10։

Ինչպես լուծել օրինակներ կոտորակներով - կոտորակային հավասարումներ

Կոտորակային հավասարումները օրինակներ են, որտեղ հայտարարը պարունակում է անհայտ: Նման հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել որոշակի կանոններ.

Դիտարկենք օրինակ.

Լուծե՛ք 15/3x+5 = 3 հավասարումը

Հիշենք, որ դուք չեք կարող բաժանել զրոյի, այսինքն. հայտարարի արժեքը չպետք է զրո լինի: Նման օրինակներ լուծելիս սա պետք է նշվի։ Այդ նպատակով կա OA (թույլատրելի արժեքների միջակայք):

Այսպիսով, 3x+5 ≠ 0:
Հետևաբար՝ 3x ≠ 5:
x ≠ 5/3

x = 5/3-ի դեպքում հավասարումը պարզապես լուծում չունի:

Նշելով ODZ-ը, հնարավոր լավագույն ձևովԱյս հավասարումը լուծելով՝ կազատվեն կոտորակները։ Դա անելու համար մենք նախ ներկայացնում ենք բոլոր ոչ կոտորակային արժեքները կոտորակի տեսքով, մեջ այս դեպքումթիվ 3. Ստանում ենք՝ 15/(3x+5) = 3/1։ Կոտորակներից ազատվելու համար անհրաժեշտ է նրանցից յուրաքանչյուրը բազմապատկել ամենացածր ընդհանուր հայտարարով: Այս դեպքում կլինի (3x+5)*1։ Հաջորդականություն:

1. 15/(3x+5) բազմապատկել (3x+5)*1 = 15*(3x+5):
2. Բացեք փակագծերը՝ 15*(3x+5) = 45x + 75։
3. Նույնը անում ենք հավասարման աջ կողմի հետ՝ 3*(3x+5) = 9x + 15։
4. Հավասարեք ձախ և աջ կողմերը՝ 45x + 75 = 9x +15
5. X-երը տեղափոխե՛ք ձախ, թվերը՝ աջ՝ 36x = – 50
6. Գտեք x՝ x = -50/36:
7. Կրճատում ենք՝ -50/36 = -25/18

Պատասխան՝ ODZ x ≠ 5/3: x = -25/18.

Ինչպես լուծել օրինակներ կոտորակներով՝ կոտորակային անհավասարություններ

(3x-5)/(2-x)≥0 տիպի կոտորակային անհավասարությունները լուծվում են թվային առանցքի միջոցով: Եկեք նայենք այս օրինակին:

Հաջորդականություն:

• Համարը և հայտարարը հավասարեցնում ենք զրոյի՝ 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Մենք գծում ենք թվային առանցք՝ դրա վրա գրելով ստացված արժեքները։
• Շրջանակ նկարեք արժեքի տակ: Կան երկու տեսակի շրջանակներ՝ լցված և դատարկ: Լցված շրջանակը նշանակում է, որ տրված արժեքը գտնվում է լուծման տիրույթում։ Դատարկ շրջանակը ցույց է տալիս, որ այս արժեքը ներառված չէ լուծման տիրույթում:
• Քանի որ հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի, 2-ի տակ կլինի դատարկ շրջան:

• Նշանները որոշելու համար հավասարման մեջ փոխարինում ենք երկուսից մեծ ցանկացած թիվ, օրինակ 3. (3*3-5)/(2-3)= -4: արժեքը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ երկուսից հետո մենք մինուս ենք գրում տարածքի վերևում: Այնուհետև X-ով փոխարինեք 5/3-ից մինչև 2 միջակայքի ցանկացած արժեք, օրինակ 1: Արժեքը կրկին բացասական է: Մենք գրում ենք մինուս. Նույնը կրկնում ենք մինչև 5/3-ը տեղակայված տարածքի հետ։ Մենք փոխարինում ենք 5/3-ից փոքր ցանկացած թիվ, օրինակ 1. Կրկին մինուս:

• Քանի որ մեզ հետաքրքրում են x-ի այն արժեքները, որոնց դեպքում արտահայտությունը կլինի 0-ից մեծ կամ հավասար, և այդպիսի արժեքներ չկան (ամենուր կան մինուսներ), այս անհավասարությունը լուծում չունի, այսինքն՝ x = Ø (դատարկ հավաքածու):

Պատասխան՝ x = Ø

Կոտորակի հաշվիչՆախատեսված է կոտորակների հետ գործողություններ արագ հաշվարկելու համար, այն կօգնի ձեզ հեշտությամբ ավելացնել, բազմապատկել, բաժանել կամ հանել կոտորակները:

Ժամանակակից դպրոցականները կոտորակներ են սկսում սովորել արդեն 5-րդ դասարանում, և նրանց հետ վարժությունները տարեցտարի ավելի են բարդանում։ Մաթեմատիկական տերմիններն ու քանակները, որոնք մենք սովորում ենք դպրոցում, հազվադեպ կարող են օգտակար լինել մեզ կյանքում: չափահաս կյանք. Այնուամենայնիվ, կոտորակները, ի տարբերություն լոգարիթմների և հզորությունների, բավականին հաճախ են հանդիպում առօրյա կյանքում (հեռավորությունների չափում, ապրանքների կշռում և այլն): Մեր հաշվիչը նախատեսված է կոտորակների հետ արագ գործողությունների համար:

Նախ, եկեք սահմանենք, թե ինչ են կոտորակները և ինչ են դրանք: Կոտորակները մի թվի հարաբերակցությունն են մյուսին, այն միավորի կոտորակների ամբողջ թվից բաղկացած թիվ է:

Կոտորակների տեսակները.

• Սովորական
• Տասնորդական
• Խառը

Օրինակ սովորական կոտորակներ.

Վերևի արժեքը համարիչն է, ներքևումը՝ հայտարարը: Գծը ցույց է տալիս, որ վերին թիվը բաժանվում է ներքևի վրա: Գրելու այս ձևաչափի փոխարեն, երբ գծիկը հորիզոնական է, կարող ես այլ կերպ գրել։ Կարող եք թեք գիծ դնել, օրինակ.

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Տասնորդականներկոտորակների ամենատարածված տեսակներն են։ Դրանք կազմված են ստորակետով բաժանված ամբողջ և կոտորակային մասից։

Տասնորդական կոտորակների օրինակ.

0.2 կամ 6.71 կամ 0.125

Կազմված է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից: Այս կոտորակի արժեքը պարզելու համար պետք է գումարել ամբողջ թիվը և կոտորակը:

Խառը կոտորակների օրինակ.

Կոտորակի հաշվիչը մեր կայքում կարող է արագ կատարել ցանկացած առաջադրանք առցանց: մաթեմատիկական գործողություններկոտորակներով:

• Հավելում
• Հանում
• Բազմապատկում
• Բաժանում

Հաշվարկն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է դաշտերում թվեր մուտքագրել և ընտրել գործողություն: Կոտորակների համար անհրաժեշտ է լրացնել համարիչը և հայտարարը, հնարավոր է, որ ամբողջ թիվը չգրվի (եթե կոտորակը սովորական է): Մի մոռացեք սեղմել «հավասար» կոճակը:

Հարմար է, որ հաշվիչը անմիջապես տրամադրի կոտորակներով օրինակ լուծելու գործընթացը, և ոչ միայն պատրաստի պատասխանը: Մանրամասն լուծման շնորհիվ է, որ դուք կարող եք օգտագործել այս նյութը դպրոցի խնդիրները լուծելու և լուսաբանված նյութը ավելի լավ տիրապետելու համար:

Դուք պետք է կատարեք օրինակի հաշվարկ.

Ցուցանիշները ձևի դաշտերում մուտքագրելուց հետո մենք ստանում ենք.

Ձեր սեփական հաշվարկը կատարելու համար մուտքագրեք տվյալները ձևաթղթում:

Կոտորակի հաշվիչ

Առնչվող բաժիններ.

Աշակերտներին 5-րդ դասարանում ծանոթացնում են կոտորակներին: Նախկինում շատ խելացի էին համարվում այն ​​մարդիկ, ովքեր գիտեին կոտորակներով գործողություններ կատարել։ Առաջին կոտորակը 1/2 էր, այսինքն՝ կեսը, հետո հայտնվեց 1/3-ը և այլն։ Մի քանի դար շարունակ օրինակները չափազանց բարդ էին համարվում։ Այժմ մշակված մանրամասն կանոններԿոտորակների փոխակերպման, գումարման, բազմապատկման և այլ գործողություններ: Բավական է մի փոքր հասկանալ նյութը, և լուծումը հեշտ կլինի։

Սովորական կոտորակը, որը կոչվում է պարզ կոտորակ, գրվում է որպես երկու թվերի բաժանում՝ m և n:

M-ը դիվիդենտն է, այսինքն՝ կոտորակի համարիչը, իսկ n բաժանարարը կոչվում է հայտարար։

Որոշե՛ք ճիշտ կոտորակները (մ< n) а также неправильные (m >n).

Ճիշտ կոտորակը մեկից փոքր է (օրինակ՝ 5/6 - սա նշանակում է, որ մեկից վերցված է 5 մաս, մեկից վերցված է 2/8 - 2 մաս)։ Անպատշաճ կոտորակը հավասար է կամ մեծ է 1-ից (8/7 - միավորը 7/7 է, և ևս մեկ մաս վերցվում է որպես գումարած):

Այսպիսով, մեկն այն է, երբ համարիչը և հայտարարը համընկնում են (3/3, 12/12, 100/100 և այլն):

Գործողություններ սովորական կոտորակներով, դասարան 6

Պարզ կոտորակներով կարող եք անել հետևյալը.

• Ընդարձակեք մի կոտորակ: Եթե ​​կոտորակի վերին և ստորին մասերը բազմապատկեք որևէ նույնական թվով (միայն ոչ զրոյով), ապա կոտորակի արժեքը չի փոխվի (3/5 = 6/10 (ուղղակի բազմապատկվում է 2-ով):
• Կոտորակների կրճատումը նման է ընդլայնմանը, բայց այստեղ նրանք բաժանվում են թվի:
• Համեմատեք. Եթե ​​երկու կոտորակ ունեն նույն համարիչները, ապա ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակը ավելի մեծ կլինի։ Եթե ​​հայտարարները նույնն են, ապա ամենամեծ համարիչ ունեցող կոտորակը ավելի մեծ կլինի։
• Կատարել գումարում և հանում: Նույն հայտարարներով դա հեշտ է անել (մենք ամփոփում ենք վերին մասերը, բայց ստորին մասը չի փոխվում): Եթե ​​դրանք տարբեր են, ապա ստիպված կլինեք գտնել ընդհանուր հայտարար և լրացուցիչ գործոններ։
• Բազմապատկել և բաժանել կոտորակները:

Դիտարկենք ստորև բերված կոտորակների հետ գործողությունների օրինակները:

Կրճատված կոտորակներ 6-րդ դասարան

Կրճատել նշանակում է կոտորակի վերին և ներքևի մասը բաժանել ինչ-որ հավասար թվով:

Նկարը ցույց է տալիս կրճատման պարզ օրինակներ: Առաջին տարբերակում կարող եք անմիջապես կռահել, որ համարիչը և հայտարարը բաժանվում են 2-ի։

Մի նոտայի վրա! Եթե ​​թիվը զույգ է, ապա այն ամեն կերպ բաժանվում է 2-ի, զույգ թվերը 2, 4, 6...32 են 8 (ավարտվում է զույգ թվով) և այլն:

Երկրորդ դեպքում 6-ը 18-ի բաժանելիս անմիջապես պարզ է դառնում, որ թվերը բաժանվում են 2-ի։Բաժանելով՝ ստանում ենք 3/9։ Այս կոտորակը հետագայում բաժանվում է 3-ի: Այնուհետև պատասխանը 1/3 է: Եթե ​​երկու բաժանարարները բազմապատկեք 2-ը 3-ով, կստանաք 6: Ստացվում է, որ կոտորակը բաժանվել է վեցի: Այս աստիճանական բաժանումը կոչվում է կոտորակի հաջորդական կրճատում ըստ ընդհանուր բաժանարարներ.

Որոշ մարդիկ անմիջապես կբաժանեն 6-ի, մյուսներին անհրաժեշտ կլինի բաժանել մասերի: Գլխավորն այն է, որ վերջում մնում է մի կոտորակ, որը ոչ մի կերպ հնարավոր չէ կրճատել։

Նկատի ունեցեք, որ եթե թիվը բաղկացած է թվանշաններից, որոնց գումարումից ստացվում է 3-ի բաժանվող թիվ, ապա սկզբնականը նույնպես կարող է կրճատվել 3-ով։ Օրինակ՝ թիվ 341։ Ավելացրե՛ք թվերը՝ 3 + 4 + 1 = 8 (8) չի բաժանվում 3-ի, Սա նշանակում է, որ 341 թիվը չի կարող կրճատվել 3-ով առանց մնացորդի): Մեկ այլ օրինակ՝ 264. Ավելացնել՝ 2 + 6 + 4 = 12 (բաժանվում է 3-ի): Մենք ստանում ենք՝ 264: 3 = 88: Դա կհեշտացնի մեծ թվերի կրճատումը:

Բացի ընդհանուր բաժանարարներով կոտորակների հաջորդական կրճատման մեթոդից, կան նաև այլ մեթոդներ.

GCD-ն թվի ամենամեծ բաժանարարն է: Գտնելով gcd հայտարարի և համարիչի համար, դուք կարող եք անմիջապես կրճատել կոտորակը ցանկալի թվին: Որոնումն իրականացվում է յուրաքանչյուր թիվ աստիճանաբար բաժանելով։ Հաջորդը, նրանք նայում են, թե որ բաժանարարները համընկնում են, եթե դրանցից մի քանիսը կան (ինչպես ստորև նկարում), ապա դուք պետք է բազմապատկեք:

Խառը կոտորակներ 6-րդ դասարան

Բոլոր ոչ պատշաճ կոտորակները կարող են վերածվել խառը կոտորակների՝ դրանցից ամբողջ մասն առանձնացնելով: Ձախ կողմում գրված է ամբողջ թիվը։

Հաճախ սխալ կոտորակից պետք է խառը թիվ կազմել։ Փոխակերպման գործընթացը ներկայացված է ստորև բերված օրինակում. 22/4 = 22 բաժանված 4-ի, մենք ստանում ենք 5 ամբողջ թիվ (5 * 4 = 20): 22 - 20 = 2. Ստանում ենք 5 ամբողջ թիվ և 2/4 (հայտարարը չի փոխվում): Քանի որ կոտորակը կարող է կրճատվել, վերին և ստորին մասերը բաժանում ենք 2-ի։

Հեշտ է խառը թիվը վերածել ոչ պատշաճ կոտորակի (սա անհրաժեշտ է կոտորակները բաժանելիս և բազմապատկելիս): Դա անելու համար ամբողջ թիվը բազմապատկեք կոտորակի ստորին մասով և դրան ավելացրեք համարիչը: Պատրաստ. Հայտարարը չի փոխվում.

Հաշվարկներ կոտորակներով 6-րդ դասարան

Խառը թվեր կարող են ավելացվել։ Եթե ​​հայտարարները նույնն են, ապա դա հեշտ է անել՝ ավելացրեք ամբողջ մասերը և համարիչները, հայտարարը մնում է տեղում:

Տարբեր հայտարարներով թվեր գումարելիս գործընթացն ավելի բարդ է։ Սկզբում թվերը կրճատում ենք ինքնին մեկին փոքր հայտարար(NOZ):

Ստորև բերված օրինակում 9 և 6 թվերի համար հայտարարը կլինի 18։ Դրանից հետո անհրաժեշտ են լրացուցիչ գործոններ։ Դրանք գտնելու համար պետք է 18-ը բաժանել 9-ի, այսպես գտնում ենք հավելյալ թիվը՝ 2։ Այն բազմապատկում ենք 4 համարիչով՝ ստանալով 8/18 կոտորակը)։ Նույնն անում են երկրորդ կոտորակի հետ։ Արդեն ավելացնում ենք փոխարկված կոտորակները (ամբողջ թվերն ու համարիչները առանձին, հայտարարը չենք փոխում)։ Օրինակում պատասխանը պետք է վերածվեր պատշաճ կոտորակի (սկզբում համարիչը մեծ էր հայտարարից)։

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երբ կոտորակները տարբերվում են, գործողությունների ալգորիթմը նույնն է:

Կոտորակները բազմապատկելիս կարևոր է երկուսն էլ նույն գծի տակ դնել: Եթե ​​թիվը խառնվում է, ապա այն վերածում ենք պարզ կոտորակի։ Այնուհետև բազմապատկեք վերին և ստորին մասերը և գրեք պատասխանը: Եթե ​​պարզ է, որ կոտորակները կարելի է կրճատել, ապա անմիջապես կրճատում ենք։

Վերոնշյալ օրինակում ձեզ հարկավոր չէր որևէ բան կտրել, պարզապես գրել եք պատասխանը և ընդգծել ամբողջ մասը:

Այս օրինակում մենք պետք է կրճատեինք թվերը մեկ տողի տակ։ Թեեւ կարող եք կրճատել պատրաստի պատասխանը։

Բաժանելիս ալգորիթմը գրեթե նույնն է։ Նախ խառը կոտորակը վերածում ենք ոչ պատշաճ կոտորակի, ապա թվերը գրում ենք մեկ տողի տակ՝ բաժանումը փոխարինելով բազմապատկմամբ։ Մի մոռացեք փոխանակել երկրորդ կոտորակի վերևի և ներքևի մասերը (սա կոտորակների բաժանման կանոնն է):

Անհրաժեշտության դեպքում կրճատում ենք թվերը (ներքևի օրինակում դրանք կրճատել ենք հինգով և երկուսով): Անպատշաճ կոտորակը փոխակերպում ենք՝ ընդգծելով ամբողջ մասը։

Հիմնական կոտորակային խնդիրներ 6-րդ դասարան

Տեսանյութում ներկայացված են ևս մի քանի առաջադրանքներ։ Օգտագործվում է պարզության համար գրաֆիկական պատկերներլուծումներ, որոնք կօգնեն ձեզ պատկերացնել կոտորակները:

6-րդ դասարանի կոտորակների բազմապատկման օրինակներ՝ բացատրություններով

Բազմապատկվող կոտորակները գրվում են մեկ տողի տակ։ Այնուհետև դրանք կրճատվում են՝ բաժանելով նույն թվերի վրա (օրինակ, հայտարարի մեջ 15-ը և համարիչի 5-ը կարելի է բաժանել հինգի):

6-րդ դասարանի կոտորակների համեմատում

Կոտորակները համեմատելու համար հարկավոր է հիշել երկու պարզ կանոն.

Կանոն 1. Եթե հայտարարները տարբեր են

Կանոն 2. Երբ հայտարարները նույնն են

Օրինակ՝ համեմատի՛ր 7/12 և 2/3 կոտորակները։

1. Մենք նայում ենք հայտարարներին, դրանք չեն համընկնում: Այսպիսով, դուք պետք է ընդհանուր մեկը գտնեք:
2. Կոտորակների համար ընդհանուր հայտարարը 12 է:
3. Սկզբում 12-ը բաժանում ենք առաջին կոտորակի ստորին մասի վրա՝ 12: 12 = 1 (սա լրացուցիչ գործակից է 1-ին կոտորակի համար):
4. Այժմ մենք 12-ը բաժանում ենք 3-ի, ստանում ենք 4՝ հավելյալ։ 2-րդ կոտորակի գործակից.
5. Ստացված թվերը բազմապատկում ենք համարիչներով՝ կոտորակները փոխարկելու համար՝ 1 x 7 = 7 (առաջին կոտորակը՝ 7/12); 4 x 2 = 8 (երկրորդ կոտորակը` 8/12):
6. Այժմ կարող ենք համեմատել՝ 7/12 և 8/12: Պարզվեց՝ 7/12< 8/12.

Կոտորակներն ավելի լավ ներկայացնելու համար պարզության համար կարող եք օգտագործել նկարներ, որտեղ առարկան բաժանված է մասերի (օրինակ՝ տորթ): Եթե ​​ցանկանում եք համեմատել 4/7-ը և 2/3-ը, ապա առաջին դեպքում տորթը բաժանվում է 7 մասի և ընտրվում է 4-ը։ Երկրորդում բաժանում են 3 մասի և վերցնում 2-ը։ Անզեն աչքով պարզ կլինի, որ 2/3-ը մեծ կլինի 4/7-ից։

6-րդ դասարանի կոտորակներով օրինակներ մարզման համար

Դուք կարող եք կատարել հետևյալ առաջադրանքները որպես պրակտիկա.

• Համեմատեք կոտորակները

• կատարել բազմապատկում

Հուշում․ եթե դժվար է կոտորակների համար ամենացածր ընդհանուր հայտարարը գտնել (հատկապես եթե դրանց արժեքները փոքր են), ապա կարող եք բազմապատկել առաջին և երկրորդ կոտորակների հայտարարը։ Օրինակ՝ 2/8 և 5/9։ Նրանց հայտարարը գտնելը պարզ է՝ 8-ը բազմապատկեք 9-ով, կստանաք 72:

Կոտորակներով հավասարումների լուծում 6-րդ դասարան

Հավասարումներ լուծելու համար անհրաժեշտ է հիշել կոտորակներով գործողությունները՝ բազմապատկում, բաժանում, հանում և գումարում: Եթե ​​գործոններից մեկն անհայտ է, ապա արտադրյալը (ընդհանուրը) բաժանվում է հայտնի գործակցի վրա, այսինքն՝ կոտորակները բազմապատկվում են (երկրորդը շրջվում է)։

Եթե ​​շահաբաժինն անհայտ է, ապա հայտարարը բազմապատկվում է բաժանարարով, իսկ բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է բաժանել բաժանարարը քանորդի վրա:

Եկեք պատկերացնենք պարզ օրինակներհավասարումների լուծումներ.

Այստեղ պետք է միայն արտադրել կոտորակների տարբերությունը՝ առանց ընդհանուր հայտարարի տանելու։

Պատասխանը դուրս եկավ ոչ պատշաճ կոտորակի տեսքով. Այն կարող է փոխակերպվել 1 ամբողջության և 3/5-ի։

Երկրորդ մեթոդում համարիչը և հայտարարը բազմապատկվում էին 4-ով, որպեսզի չեղարկվեն ներքևի մասը, քան հայտարարը շրջելու համար:

Կոտորակները սովորական թվեր են և կարող են նաև գումարվել և հանվել: Բայց քանի որ նրանք ունեն հայտարար, նրանք պահանջում են ավելի բարդ կանոններ, քան ամբողջ թվերի համար:

Դիտարկենք ամենապարզ դեպքը, երբ կան երկու կոտորակներ նույն հայտարարները. Ապա.

Նույն հայտարարներով կոտորակներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել նրանց համարիչները և թողնել անփոփոխ:

Նույն հայտարար ունեցող կոտորակները հանելու համար պետք է առաջին կոտորակի համարիչից հանել երկրորդի համարիչը և դարձյալ թողնել հայտարարը անփոփոխ։

Յուրաքանչյուր արտահայտության մեջ կոտորակների հայտարարները հավասար են: Կոտորակներ գումարելու և հանելու սահմանմամբ մենք ստանում ենք.

Ինչպես տեսնում եք, դա ոչ մի բարդ բան չէ. մենք պարզապես ավելացնում կամ հանում ենք համարիչները և վերջ:

Բայց նույնիսկ նման պարզ գործողություններմարդկանց հաջողվում է սխալվել. Ամենից հաճախ մոռացվում է այն, որ հայտարարը չի փոխվում: Օրինակ, դրանք գումարելիս նրանք նույնպես սկսում են գումարել, և դա սկզբունքորեն սխալ է։

Ազատվել վատ սովորությունՀայտարարների գումարումը բավականին պարզ է. Նույն բանը փորձեք հանելիս: Արդյունքում հայտարարը կլինի զրո, իսկ կոտորակը (հանկարծ!) կկորցնի իր նշանակությունը։

Հետևաբար, մեկընդմիշտ հիշեք. գումարել-հանելիս հայտարարը չի փոխվում:

Շատերը սխալվում են նաև մի քանի բացասական կոտորակներ ավելացնելիս։ Նշանների հետ շփոթություն կա՝ որտեղ դնել մինուս և որտեղ գումարած:

Այս խնդիրը նույնպես շատ հեշտ է լուծել։ Բավական է հիշել, որ կոտորակի նշանից առաջ մինուսը միշտ կարող է փոխանցվել համարիչին, և հակառակը։ Եվ, իհարկե, մի մոռացեք երկու պարզ կանոն.

1. Գումարած մինուս տալիս է մինուս;
2. Երկու բացասական կողմը հաստատում է:

Այս ամենին նայենք կոնկրետ օրինակներով.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

Առաջին դեպքում ամեն ինչ պարզ է, բայց երկրորդում մենք մինուսներ ենք ներմուծում կոտորակների համարիչների մեջ.

Ինչ անել, եթե հայտարարները տարբեր են

Դուք չեք կարող ուղղակիորեն ավելացնել տարբեր հայտարարներով կոտորակներ: Համենայն դեպս, այս մեթոդն ինձ անհայտ է: Այնուամենայնիվ, բնօրինակ կոտորակները միշտ կարող են վերաշարադրվել այնպես, որ հայտարարները դառնան նույնը:

Կոտորակները փոխակերպելու բազմաթիվ եղանակներ կան: Դրանցից երեքը քննարկվում են «Կոտորակները վերածել ընդհանուր հայտարարի» դասում, ուստի մենք այստեղ չենք անդրադառնա դրանց վրա: Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

Առաջին դեպքում կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի` օգտագործելով «խաչաձեւ» մեթոդը: Երկրորդում մենք կփնտրենք ՀԱՕԿ-ը։ Նշենք, որ 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Այս ընդարձակումների վերջին գործոնները հավասար են, իսկ առաջինները՝ համեմատաբար պարզ: Հետևաբար, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18:

Ինչ անել, եթե կոտորակն ունի ամբողջ թվային մաս

Ես կարող եմ ձեզ գոհացնել. կոտորակներում տարբեր հայտարարները ամենամեծ չարիքը չեն: շատ ավելի շատ սխալներտեղի է ունենում, երբ մի ամբողջ մասը մեկուսացված է կոտորակի տերմիններով:

Իհարկե, նման կոտորակների համար կան սեփական գումարման և հանման ալգորիթմներ, բայց դրանք բավականին բարդ են և պահանջում են երկար ուսումնասիրություն։ Ավելի լավ օգտագործում պարզ դիագրամ, տրված ստորև.

1. Ամբողջ թվով մաս պարունակող բոլոր կոտորակները փոխարկե՛ք ոչ պատշաճների: Մենք ստանում ենք նորմալ պայմաններ (նույնիսկ տարբեր հայտարարներով), որոնք հաշվարկվում են վերը քննարկված կանոնների համաձայն.
2. Փաստորեն, հաշվարկեք ստացված կոտորակների գումարը կամ տարբերությունը: Արդյունքում մենք գործնականում կգտնենք պատասխանը.
3. Եթե ​​սա այն ամենն է, ինչ պահանջվում էր խնդրի մեջ, մենք կատարում ենք հակադարձ փոխակերպումը, այսինքն. Մենք ազատվում ենք ոչ պատշաճ կոտորակից՝ ընդգծելով ամբողջ մասը։

Անցման կանոններ ոչ պատշաճ կոտորակներ«Ի՞նչ է թվային կոտորակը» դասում մանրամասն նկարագրված է մի ամբողջ մասի ընդգծում։ Եթե ​​չես հիշում, անպայման կրկնիր։ Օրինակներ.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.

Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Յուրաքանչյուր արտահայտության մեջ հայտարարողները հավասար են, ուստի մնում է բոլոր կոտորակները վերածել ոչ պատշաճի և հաշվել: Մենք ունենք:

Հաշվարկները պարզեցնելու համար ես բաց եմ թողել մի քանի ակնհայտ քայլեր վերջին օրինակներում:

Մի փոքրիկ նշում վերջին երկու օրինակների մասին, որտեղ հանվում են ամբողջ թվով ընդգծված կոտորակները: Երկրորդ կոտորակի առաջ մինուսը նշանակում է, որ հանվում է ամբողջ կոտորակը, և ոչ միայն դրա ամբողջ մասը:

Կրկին կարդացեք այս նախադասությունը, նայեք օրինակներին և մտածեք դրա մասին: Այստեղ սկսնակները մեծ թվով սխալներ են թույլ տալիս: Նրանք սիրում են նման առաջադրանքներ տալ թեստեր. Նրանց մի քանի անգամ կհանդիպեք նաև այս դասի թեստերում, որոնք շուտով կհրապարակվեն։

Ամփոփում՝ ընդհանուր հաշվարկային սխեմա

Եզրափակելով, ես կտամ ընդհանուր ալգորիթմ, որը կօգնի ձեզ գտնել երկու կամ ավելի կոտորակների գումարը կամ տարբերությունը.

1. Եթե ​​մեկ կամ մի քանի կոտորակներ ունեն ամբողջ թվային մաս, ապա այս կոտորակները դարձրեք ոչ պատշաճի.
2. Բոլոր կոտորակները ձեզ հարմար ցանկացած ձևով բերեք ընդհանուր հայտարարի (եթե, իհարկե, խնդիրները գրողները դա չեն արել);
3. Ստացված թվերը գումարել կամ հանել՝ համաձայն համանման հայտարարներով կոտորակների գումարման և հանման կանոնների.
4. Հնարավորության դեպքում կրճատեք արդյունքը։ Եթե ​​կոտորակը սխալ է, ապա ընտրեք ամբողջ մասը:

Հիշեք, որ ավելի լավ է ամբողջ մասը ընդգծել առաջադրանքի հենց վերջում՝ պատասխանը գրելուց անմիջապես առաջ։