«Բազմակիներ» թեման ուսումնասիրվում է 5-րդ դասարանում միջնակարգ դպրոց. Դրա նպատակն է կատարելագործել գրավոր և բանավոր մաթեմատիկական հաշվարկների հմտությունները: Այս դասում ներդրվում են նոր հասկացություններ՝ «բազմակի թվեր» և «բաժանարարներ», բնական թվի բաժանարարներ և բազմապատիկներ գտնելու տեխնիկան և տարբեր ձևերով LCM գտնելու կարողությունը:

Այս թեման շատ կարևոր է։ Դրա մասին իմացությունը կարելի է կիրառել կոտորակներով օրինակներ լուծելիս։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել Ընդհանուր հայտարարամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) հաշվարկելով։

A-ի բազմապատիկը այն ամբողջ թիվն է, որը բաժանվում է A-ի առանց մնացորդի:

Յուրաքանչյուր բնական թիվ ունի իր բազմապատիկների անվերջ թիվը: Այն ինքնին համարվում է ամենափոքրը։ Բազմապատիկը չի կարող ինքնին թվից փոքր լինել։

Դուք պետք է ապացուցեք, որ 125 թիվը 5 թվի բազմապատիկն է: Դա անելու համար անհրաժեշտ է առաջին թիվը բաժանել երկրորդի: Եթե ​​125-ը առանց մնացորդի բաժանվում է 5-ի, ապա պատասխանը այո է։

Այս մեթոդը կիրառելի է փոքր թվերի համար:

LOC-ն հաշվարկելիս կան հատուկ դեպքեր.

1. Եթե ձեզ անհրաժեշտ է գտնել 2 թվերի ընդհանուր բազմապատիկ (օրինակ՝ 80 և 20), որտեղ նրանցից մեկը (80) բաժանվում է մյուսի (20) վրա, ապա այս թիվը (80) դրանցից ամենափոքր բազմապատիկն է։ երկու թիվ.

LCM(80, 20) = 80:

2. Եթե երկուսը չունեն ընդհանուր բաժանարար, ապա կարող ենք ասել, որ նրանց LCM-ն այս երկու թվերի արտադրյալն է։

LCM (6, 7) = 42:

Դիտարկենք վերջին օրինակը։ 6-ը և 7-ը 42-ի նկատմամբ բաժանարար են: Նրանք առանց մնացորդի բաժանում են թվի բազմապատիկ։

Այս օրինակում 6-ը և 7-ը զույգ գործոններ են: Նրանց արտադրյալը հավասար է ամենաբազմապատիկ թվին (42):

Թիվը կոչվում է պարզ, եթե այն բաժանվում է միայն իր վրա կամ 1-ի (3:1=3; 3:3=1): Մնացածը կոչվում են կոմպոզիտային:

Մեկ այլ օրինակ ներառում է որոշել, թե արդյոք 9-ը 42-ի բաժանարար է:

42:9=4 (մնացորդը՝ 6)

Պատասխան. 9-ը 42-ի բաժանարար չէ, քանի որ պատասխանն ունի մնացորդ:

Բաժանարարը բազմապատիկից տարբերվում է նրանով, որ բաժանարարը այն թիվն է, որով բաժանվում են բնական թվերը, իսկ բազմապատիկը ինքնին բաժանվում է այս թվի վրա։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարթվեր աԵվ բ, բազմապատկած նրանց ամենափոքր բազմապատիկով, կտա իրենց թվերի արտադրյալը աԵվ բ.

Մասնավորապես՝ gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.

Ավելի բարդ թվերի ընդհանուր բազմապատիկները կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

Օրինակ, գտեք LCM-ը 168, 180, 3024 համարի համար:

Մենք այս թվերը դասավորում ենք պարզ գործակիցների և գրում դրանք որպես հզորությունների արտադրյալ.

168=2³x3¹x7¹

24х3³х5¹х7¹=15120

LCM(168, 180, 3024) = 15120:

Բաժանելիության նշաններ բնական թվեր.

Առանց մնացորդի 2-ի բաժանվող թվերը կոչվում եննույնիսկ .

Այն թվերը, որոնք հավասարապես չեն բաժանվում 2-ի, կոչվում ենտարօրինակ .

2-ի բաժանելիության ստուգում

Եթե ​​բնական թիվն ավարտվում է զույգ թվանշանով, ապա այդ թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 2-ի, իսկ եթե թիվն ավարտվում է կենտ թվանշանով, ապա այդ թիվը հավասարապես չի բաժանվում 2-ի։

Օրինակ՝ 6 թվերը0 , 30 8 , 8 4 առանց մնացորդի բաժանվում են 2-ի, իսկ թվերը՝ 51 , 8 5 , 16 7 առանց մնացորդի չեն բաժանվում 2-ի:

3-ի բաժանելիության ստուգում

Եթե ​​թվի թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի, ապա թիվը բաժանվում է 3-ի; Եթե ​​թվի թվանշանների գումարը չի բաժանվում 3-ի, ապա այդ թիվը չի բաժանվում 3-ի։

Օրինակ՝ պարզենք, թե արդյոք 2772825 թիվը բաժանվում է 3-ի, դրա համար հաշվարկենք այս թվի թվանշանների գումարը՝ 2+7+7+2+8+2+5 = 33 – բաժանվում է 3-ի։ Սա նշանակում է, որ 2772825 թիվը բաժանվում է 3-ի։

Բաժանելիության թեստ 5-ի վրա

Եթե ​​բնական թվի գրառումն ավարտվում է 0 կամ 5 թվանշանով, ապա այս թիվը բաժանվում է 5-ի առանց մնացորդի, եթե թվի գրառումն ավարտվում է մեկ այլ թվանշանով, ապա այդ թիվը չի բաժանվում 5-ի առանց մնացորդի։

Օրինակ՝ 1 թվերը5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 առանց մնացորդի բաժանվում են 5-ի, իսկ թվերը 1 են7 , 37 8 , 9 1 մի կիսվեք.

Բաժանելիության ստուգում 9-ի վրա

Եթե ​​թվի թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի, ապա թիվը բաժանվում է 9-ի; Եթե ​​թվի թվանշանների գումարը չի բաժանվում 9-ի, ապա այդ թիվը չի բաժանվում 9-ի։

Օրինակ, եկեք պարզենք, թե արդյոք 5402070 թիվը բաժանվում է 9-ի: Դա անելու համար եկեք հաշվարկենք այս թվի թվանշանների գումարը՝ 5+4+0+2+0+7+0 = 16 – չի բաժանվում 9-ի: Սա նշանակում է, որ 5402070 թիվը չի բաժանվում 9-ի։

10-ի բաժանելիության թեստ

Եթե ​​բնական թիվն ավարտվում է 0 թվանշանով, ապա այս թիվը բաժանվում է 10-ի առանց մնացորդի։

Օրինակ՝ 4 թվերը0 , 17 0 , 1409 0 առանց մնացորդի բաժանվում են 10-ի, իսկ թվերը՝ 1-ի7 , 9 3 , 1430 7 - մի կիսվեք:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) գտնելու կանոնը.

Մի քանի բնական թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

2) նշված թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից հատել դրանք, որոնք ներառված չեն այլ թվերի ընդլայնման մեջ.

3) գտնել մնացած գործոնների արտադրյալը.

Օրինակ։ Գտնենք GCD (48;36): Եկեք օգտագործենք կանոնը.

1. 48 և 36 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. 48 թվի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից ջնջում ենք նրանք, որոնք ներառված չեն 36 թվի ընդլայնման մեջ։

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Մնացած գործոնները 2, 2 և 3 են:

3. Բազմապատկեք մնացած գործակիցները և ստացեք 12։ Այս թիվը 48 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

GCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու կանոնը (LCM).

Մի քանի բնական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1) դրանք վերածել հիմնական գործոնների.

2) գրել թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները.

3) դրանց գումարել մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները.

4) գտնել ստացված գործոնների արտադրյալը.

Օրինակ։Գտնենք LOC-ը (75;60): Եկեք օգտագործենք կանոնը.

1. 75 և 60 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Գրենք 75 թվի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները՝ 3, 5, 5։

LCM (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Դրանց ավելացրե՛ք 60 թվի ընդլայնումից բացակայող գործոնները, այսինքն. 2, 2.

LCM (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Գտի՛ր ստացված գործոնների արտադրյալը

LCM (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Սկսենք ուսումնասիրել երկու կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։ Այս բաժնում մենք կսահմանենք տերմինը, կդիտարկենք թեորեմը, որը կապ է հաստատում ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի և ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջև և կտանք խնդիրների լուծման օրինակներ։

Ընդհանուր բազմապատիկներ – սահմանում, օրինակներ

Այս թեմայում մեզ կհետաքրքրեն միայն զրոյից տարբեր ամբողջ թվերի ընդհանուր բազմապատիկները։

Սահմանում 1

Ամբողջ թվերի ընդհանուր բազմապատիկամբողջ թիվ է, որը տրված բոլոր թվերի բազմապատիկն է: Փաստորեն, դա ցանկացած ամբողջ թիվ է, որը կարելի է բաժանել տրված թվերից որևէ մեկով։

Ընդհանուր բազմապատիկների սահմանումը վերաբերում է երկու, երեք կամ ավելի ամբողջ թվերին:

Օրինակ 1

Համաձայն վերը տրված սահմանման՝ 12 թվի ընդհանուր բազմապատիկները 3 և 2 են։ Նաև 12 թիվը կլինի 2, 3 և 4 թվերի ընդհանուր բազմապատիկը: 12 և -12 թվերը ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 թվերի ընդհանուր բազմապատիկն են։

Միևնույն ժամանակ, 2 և 3 թվերի ընդհանուր բազմապատիկը կլինեն 12, 6, − 24, 72, 468, − 100,010,004 թվերը և մի շարք այլ թվեր։

Եթե ​​վերցնենք թվեր, որոնք բաժանվում են զույգի առաջին թվի վրա և չեն բաժանվում երկրորդի վրա, ապա այդպիսի թվերը ընդհանուր բազմապատիկ չեն լինի։ Այսպիսով, 2 և 3 թվերի համար 16, − 27, 5009, 27001 թվերը ընդհանուր բազմապատիկ չեն լինի։

0-ը զրոյից բացի ցանկացած ամբողջ թվերի բազմապատիկն է:

Եթե ​​հիշենք բաժանելիության հատկությունը հակադիր թվեր, ապա պարզվում է, որ k-ի մի ամբողջ թիվ կլինի այս թվերի ընդհանուր բազմապատիկը, ինչպես k թիվը։ Սա նշանակում է, որ ընդհանուր բաժանարարները կարող են լինել կամ դրական կամ բացասական:

Հնարավո՞ր է արդյոք գտնել LCM-ն բոլոր թվերի համար:

Ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել ցանկացած ամբողջ թվի համար:

Օրինակ 2

Ենթադրենք մեզ տրված է կամբողջ թվեր a 1, a 2, …, a k. Թիվը, որը մենք ստանում ենք թվերը բազմապատկելիս a 1 · a 2 · … · a kըստ բաժանելիության հատկության՝ այն կբաժանվի այն գործոններից յուրաքանչյուրի, որոնք ներառված են եղել սկզբնական արտադրյալում։ Սա նշանակում է, որ թվերի արտադրյալը a 1, a 2, …, a kայս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Քանի՞ ընդհանուր բազմապատիկ կարող են ունենալ այս ամբողջ թվերը:

Ամբողջ թվերի խումբը կարող է ունենալ մեծ թվով ընդհանուր բազմապատիկներ: Իրականում նրանց թիվն անսահման է։

Օրինակ 3

Ենթադրենք, մենք ունենք մի քանի k թիվ: Այնուհետև k · z թվերի արտադրյալը, որտեղ z-ն ամբողջ թիվ է, կլինի k և z թվերի ընդհանուր բազմապատիկը: Հաշվի առնելով, որ թվերի թիվն անվերջ է, ընդհանուր բազմապատիկների թիվը անվերջ է։

Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM) – Սահմանում, նշում և օրինակներ

Հիշենք ամենափոքր թվի հայեցակարգը տրված հավաքածութվեր, որոնք մենք նայեցինք «Համեմատելով ամբողջ թվերը» բաժնում: Հաշվի առնելով այս հայեցակարգը՝ մենք ձևակերպում ենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի սահմանումը, որն ամենամեծ գործնական նշանակությունն ունի բոլոր ընդհանուր բազմապատիկների միջև։

Սահմանում 2

Տրված ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըայս թվերի ամենափոքր ընդհանուր դրական բազմապատիկն է:

Տրված թվերի ցանկացած քանակի համար գոյություն ունի նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ: Տեղեկատվական գրականության մեջ հայեցակարգի առավել հաճախ օգտագործվող հապավումը NOC-ն է: Կարճ նշում թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար a 1, a 2, …, a kկունենա LOC ձևը (a 1, a 2, ..., a k).

Օրինակ 4

6-ի և 7-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 42-ն է: Նրանք. LCM (6, 7) = 42: 2, 12, 15 և 3 չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 60-ն է։ Կարճ նշումը նման կլինի LCM (- 2, 12, 15, 3) = 60:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ակնհայտ չէ տրված թվերի բոլոր խմբերի համար: Հաճախ այն պետք է հաշվարկվի:

ԱՕԿ-ի և GCD-ի միջև հարաբերությունները

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կապված են: Հասկացությունների միջև կապը հաստատվում է թեորեմով.

Թեորեմ 1

Երկու դրական ամբողջ թվերի a և b ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է a և b արտադրյալին, որը բաժանվում է a և b ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա, այսինքն՝ LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b )

Ապացույց 1

Ենթադրենք, մենք ունենք մի քանի M թիվ, որը a և b թվերի բազմապատիկն է: Եթե ​​M ​​թիվը բաժանվում է a-ի, ապա կա նաև մի ամբողջ z , որի դեպքում հավասարությունը ճշմարիտ է M = a k. Ըստ բաժանելիության սահմանման, եթե M-ը բաժանվում է բ, Ուրեմն a · kբաժանված բ.

Եթե ​​ներմուծենք gcd (a, b) as-ի նոր նշում դ, ապա կարող ենք օգտագործել հավասարությունները a = a 1 դև b = b 1 · դ. Այս դեպքում երկու հավասարություններն էլ համեմատաբար պարզ թվեր կլինեն:

Դրանից վեր մենք արդեն հաստատել ենք a · kբաժանված բ. Այժմ այս պայմանը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
ա 1 դ կբաժանված բ 1 դ, որը համարժեք է պայմանին ա 1 կբաժանված բ 1ըստ բաժանելիության հատկությունների.

Համաձայն համապարփակ թվերի հատկության, եթե ա 1Եվ բ 1- համապարփակ թվեր, ա 1չի բաժանվում բ 1չնայած այն հանգամանքին, որ ա 1 կբաժանված բ 1, Դա բ 1պետք է կիսվել կ.

Այս դեպքում տեղին կլինի ենթադրել, որ կա թիվ տ, ինչի համար k = b 1 տ, և քանի որ b 1 = b: d, Դա k = b: d t.

Հիմա փոխարեն կեկեք փոխարինենք հավասարությամբ M = a kձևի արտահայտություն բ՝ դ տ. Սա մեզ թույլ է տալիս հասնել հավասարության M = a b: d t. ժամը t = 1մենք կարող ենք ստանալ a-ի և b-ի նվազագույն դրական ընդհանուր բազմապատիկը , հավասար ա բ. դ, պայմանով, որ a և b թվերը դրական.

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ LCM (a, b) = a · b: GCD (ա, բ).

LCM-ի և GCD-ի միջև կապ հաստատելը թույլ է տալիս գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը երկու կամ ավելի տրված թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով:

Սահմանում 3

Թեորեմն ունի երկու կարևոր հետևանք.

• Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկները նույնն են, ինչ այդ երկու թվերի ընդհանուր բազմապատիկները.
• a և b փոխադարձաբար պարզ դրական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է դրանց արտադրյալին:

Դժվար չէ հիմնավորել այս երկու փաստերը։ a և b թվերի M-ի ցանկացած ընդհանուր բազմապատիկ սահմանվում է M = LCM (a, b) · t հավասարությամբ t որոշ ամբողջական արժեքի համար: Քանի որ a-ն և b-ն համեմատաբար պարզ են, ապա gcd (a, b) = 1, հետևաբար, gcd (a, b) = a · b: gcd (a, b) = a · b: 1 = a · b:

Երեք կամ ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաջորդաբար գտնել երկու թվերի LCM:

Թեորեմ 2

Եկեք այդպես ձևացնենք a 1, a 2, …, a kորոշ դրական ամբողջ թվեր են: LCM-ն հաշվարկելու համար մ կայս թվերը, մենք պետք է հաջորդաբար հաշվարկենք մ 2 = LCM(a 1, a 2), m 3 = ՀԱՕԿ(m 2, a 3), …, m k = ՀԱՕԿ(m k - 1, a k) .

Ապացույց 2

Այս թեորեմում քննարկված առաջին թեորեմի առաջին հետևանքը կօգնի մեզ ապացուցել երկրորդ թեորեմի վավերականությունը: Պատճառաբանությունը հիմնված է հետևյալ ալգորիթմի վրա.

• թվերի ընդհանուր բազմապատիկները ա 1Եվ ա 2համընկնում են իրենց LCM-ի բազմապատիկներին, իրականում դրանք համընկնում են թվի բազմապատիկներին մ 2;
• թվերի ընդհանուր բազմապատիկները ա 1, ա 2Եվ ա 3 մ 2Եվ ա 3 մ 3;
• թվերի ընդհանուր բազմապատիկները a 1, a 2, …, a kհամընկնում են թվերի ընդհանուր բազմապատիկներին m k - 1Եվ ա կ, հետևաբար, համընկնում է թվի բազմապատիկի հետ մ կ;
• պայմանավորված է այն հանգամանքով, որ թվի ամենափոքր դրական բազմապատիկը մ կինքնին թիվն է մ կ, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը a 1, a 2, …, a kէ մ կ.

Այսպես մենք ապացուցեցինք թեորեմը.

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Առցանց հաշվիչը թույլ է տալիս արագ գտնել երկու կամ ցանկացած այլ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Հաշվիչ GCD և LCM գտնելու համար

Գտեք GCD և LOC

Գտնվել է GCD և LOC՝ 6433

Ինչպես օգտագործել հաշվիչը

• Մուտքագրեք թվերը մուտքագրման դաշտում
• Եթե ​​մուտքագրեք սխալ նիշեր, մուտքագրման դաշտը կնշվի կարմիրով
• սեղմեք «Գտեք GCD և LOC» կոճակը

Ինչպես մուտքագրել թվեր

• Թվերը մուտքագրվում են՝ բաժանված բացատով, կետով կամ ստորակետով
• Մուտքագրված թվերի երկարությունը սահմանափակված չէ, ուստի երկար թվերի GCD և LCM գտնելը դժվար չէ

Ի՞նչ են GCD-ն և NOC-ը:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըմի քանի թվեր ամենամեծ բնական ամբողջ թիվն է, որով բոլոր սկզբնական թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի: Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կրճատվում է որպես GCD.
Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի թվեր են ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է սկզբնական թվերից յուրաքանչյուրի վրա՝ առանց մնացորդի։ Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կրճատվում է որպես ՀԱՕԿ.

Ինչպե՞ս ստուգել, ​​որ թիվն առանց մնացորդի բաժանվում է մեկ այլ թվի:

Պարզելու համար, թե արդյոք մի թիվ բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի, կարող եք օգտագործել թվերի բաժանելիության որոշ հատկություններ։ Այնուհետև դրանք համադրելով կարող եք ստուգել դրանցից մի քանիսի բաժանելիությունը և դրանց համակցությունները։

Թվերի բաժանելիության որոշ նշաններ

1. Թվի բաժանելիության թեստ 2-ի վրա
Որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է երկուսի (լինի այն զույգ), բավական է նայել այս թվի վերջին թվանշանին. եթե այն հավասար է 0-ի, 2-ի, 4-ի, 6-ի կամ 8-ի, ապա թիվը զույգ է, ինչը նշանակում է, որ այն բաժանվում է 2-ի:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 2-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը բաժանվում է երկուսի:

2. Թվի բաժանելիության թեստ 3-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 3-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի։ Այսպիսով, որոշելու համար, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3-ի, դուք պետք է հաշվարկեք թվանշանների գումարը և ստուգեք, թե արդյոք այն բաժանվում է 3-ի: Նույնիսկ եթե թվանշանների գումարը շատ մեծ է, կարող եք նորից կրկնել նույն գործընթացը:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 3-ի։
Լուծում:Թվերի գումարը հաշվում ենք՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 3-ի, այսինքն՝ թիվը բաժանվում է երեքի։

3. Թվի բաժանելիության թեստ 5-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 5-ի, երբ նրա վերջին թվանշանը զրո կամ հինգ է:
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 5-ի։
Լուծում:նայեք վերջին թվանշանին. 8 նշանակում է, որ թիվը ՉԻ բաժանվում հինգի:

4. Թվի բաժանելիության թեստ 9-ի վրա
Այս նշանը շատ նման է երեքի բաժանելիության նշանին. թիվը բաժանվում է 9-ի, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։
Օրինակ:որոշեք, թե արդյոք 34938 թիվը բաժանվում է 9-ի։
Լուծում:Թվերի գումարը հաշվում ենք՝ 3+4+9+3+8 = 27։ 27-ը բաժանվում է 9-ի, այսինքն՝ թիվը բաժանվում է իննի։

Ինչպես գտնել երկու թվերի GCD և LCM

Ինչպես գտնել երկու թվերի gcd-ն

Մեծ մասը պարզ ձևովԵրկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի հաշվարկը նշանակում է գտնել այս թվերի բոլոր հնարավոր բաժանարարները և ընտրել դրանցից ամենամեծը:

Դիտարկենք այս մեթոդը՝ օգտագործելով GCD(28, 36) գտնելու օրինակը.

1. Մենք գործակցում ենք երկու թվերն էլ՝ 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Մենք գտնում ենք ընդհանուր գործոններ, այսինքն՝ նրանք, որոնք ունեն երկու թվերն էլ՝ 1, 2 և 2։
3. Մենք հաշվարկում ենք այս գործոնների արտադրյալը՝ 1 2 2 = 4 - սա 28 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Ինչպես գտնել երկու թվերի LCM

Երկու թվերի ամենափոքր բազմապատիկը գտնելու երկու ամենատարածված եղանակ կա: Առաջին մեթոդն այն է, որ դուք կարող եք գրել երկու թվերի առաջին բազմապատիկները, այնուհետև դրանցից ընտրել մի թիվ, որը կլինի ընդհանուր երկու թվերի և միևնույն ժամանակ ամենափոքրը: Եվ երկրորդը՝ գտնել այս թվերի gcd-ն։ Դիտարկենք միայն այն։

LCM-ը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել սկզբնական թվերի արտադրյալը և այն բաժանել նախկինում գտնված GCD-ի վրա: Գտնենք LCM-ն նույն 28 և 36 թվերի համար.

1. Գտե՛ք 28 և 36 թվերի արտադրյալը՝ 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), ինչպես արդեն հայտնի է, հավասար է 4-ի
3. LCM (28, 36) = 1008 / 4 = 252:

Գտնելով GCD և LCM մի քանի թվերի համար

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կարելի է գտնել ոչ թե երկու, այլ մի քանի թվերի համար: Այդ նպատակով ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի համար գտնվելիք թվերը վերցվում են պարզ գործակիցների, այնուհետև գտնում են ընդհանուր գործակիցների արտադրյալը: հիմնական գործոններըայս թվերը. Կարող եք նաև օգտագործել հետևյալ կապը մի քանի թվերի gcd-ն գտնելու համար. GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Նման հարաբերությունը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին. LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Օրինակ:Գտեք GCD և LCM 12, 32 և 36 համարների համար:

1. Նախ, եկեք գործոնացնենք թվերը՝ 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3:
2. Գտնենք ընդհանուր գործոնները՝ 1, 2 և 2։
3. Նրանց արտադրանքը կտա GCD՝ 1·2·2 = 4
4. Հիմա եկեք գտնենք LCM-ը. դա անելու համար նախ գտնենք LCM (12, 32): 12·32 / 4 = 96:
5. Բոլոր երեք թվերի LCM-ն գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3, 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2· 2 3 = 12:
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288:

Շարունակենք զրույցը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի մասին, որը սկսել ենք «LCM. ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, սահմանում, օրինակներ» բաժնում։ Այս թեմայում մենք կքննարկենք երեք և ավելի թվերի համար LCM-ն գտնելու ուղիները և կանդրադառնանք այն հարցին, թե ինչպես գտնել բացասական թվի LCM:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Նվազագույն ընդհանուր բազմակի (LCM) հաշվարկը GCD-ի միջոցով

Մենք արդեն հաստատել ենք կապը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի և ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջև: Այժմ եկեք սովորենք, թե ինչպես որոշել LCM-ն GCD-ի միջոցով: Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչպես դա անել դրական թվերի համար:

Սահմանում 1

Դուք կարող եք գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով՝ օգտագործելով LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) բանաձևը:

Օրինակ 1

Պետք է գտնել 126 և 70 համարների LCM-ն։

Լուծում

Վերցնենք a = 126, b = 70: Եկեք փոխարինենք արժեքները ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի միջոցով նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի հաշվարկման բանաձևում LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Գտնում է 70 և 126 թվերի gcd-ն։ Դրա համար մեզ անհրաժեշտ է Էվկլիդեսյան ալգորիթմը՝ 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, հետևաբար GCD (126 , 70) = 14 .

Եկեք հաշվարկենք LCM. LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630:

Պատասխան. LCM(126, 70) = 630:

Օրինակ 2

Գտե՛ք 68 և 34 թիվը։

Լուծում

GCD ներս այս դեպքումՍա դժվար չէ, քանի որ 68-ը բաժանվում է 34-ի։ Եկեք հաշվարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը` օգտագործելով բանաձևը` LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68:

Պատասխան. LCM(68, 34) = 68:

Այս օրինակում մենք օգտագործել ենք a և b դրական ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու կանոնը. եթե առաջին թիվը բաժանվում է երկրորդի վրա, ապա այդ թվերի LCM-ն հավասար կլինի առաջին թվին։

Գտնել LCM-ն՝ թվերը պարզ գործոնների վերածելով

Հիմա եկեք նայենք LCM-ի հայտնաբերման մեթոդին, որը հիմնված է թվերը պարզ գործակիցների վերածելու վրա:

Սահմանում 2

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար մենք պետք է կատարենք մի շարք պարզ քայլեր.

• մենք կազմում ենք այն թվերի բոլոր պարզ գործակիցների արտադրյալը, որոնց համար պետք է գտնել LCM.
• մենք բացառում ենք բոլոր հիմնական գործոնները դրանց արդյունքում ստացված արտադրանքներից.
• Ընդհանուր պարզ գործակիցները վերացնելուց հետո ստացված արտադրյալը հավասար կլինի տվյալ թվերի LCM-ին։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու այս մեթոդը հիմնված է LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) հավասարության վրա: Եթե ​​նայեք բանաձևին, պարզ կդառնա՝ a և b թվերի արտադրյալը հավասար է բոլոր այն գործոնների արտադրյալին, որոնք մասնակցում են այս երկու թվերի տարրալուծմանը։ Այս դեպքում երկու թվերի gcd-ն հավասար է բոլոր պարզ գործակիցների արտադրյալին, որոնք միաժամանակ առկա են տվյալ երկու թվերի ֆակտորիզացիաներում։

Օրինակ 3

Մենք ունենք երկու թիվ 75 և 210: Մենք կարող ենք դրանք գործոնավորել հետևյալ կերպ. 75 = 3 5 5Եվ 210 = 2 3 5 7. Եթե ​​կազմեք երկու սկզբնական թվերի բոլոր գործակիցների արտադրյալը, կստանաք. 2 3 3 5 5 5 5 7.

Եթե ​​բացառենք և՛ 3, և՛ 5 թվերի համար ընդհանուր գործոնները, ապա կստանանք հետևյալ ձևի արտադրյալը. 2 3 5 5 7 = 1050. Այս ապրանքը կլինի մեր LCM-ն 75 և 210 համարների համար:

Օրինակ 4

Գտեք թվերի LCM 441 Եվ 700 , երկու թվերը ֆակտորելով պարզ գործակիցների:

Լուծում

Գտնենք պայմանում տրված թվերի բոլոր պարզ գործակիցները.

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Մենք ստանում ենք թվերի երկու շղթա՝ 441 = 3 3 7 7 և 700 = 2 2 5 5 7:

Այս թվերի տարրալուծմանը մասնակցած բոլոր գործոնների արտադրյալը կունենա հետևյալ ձևը. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Եկեք գտնենք ընդհանուր գործոններ. Սա 7 թիվն է։ Եկեք բացառենք այն ընդհանուր արտադրանքից. 2 2 3 3 5 5 7 7. Պարզվում է, որ ՀԱՕԿ (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Պատասխան. LOC(441, 700) = 44,100:

Եկեք մեկ այլ ձևակերպում տանք LCM-ն գտնելու մեթոդի՝ թվերը պարզ գործակիցների տարրալուծելու միջոցով:

Սահմանում 3

Նախկինում մենք բացառում էինք երկու թվերի համար ընդհանուր գործոնների ընդհանուր թվից: Այժմ մենք դա այլ կերպ կանենք.

• Եկեք երկու թվերն էլ դասավորենք պարզ գործոնների.
• Առաջին թվի պարզ գործակիցների արտադրյալին ավելացնել երկրորդ թվի բացակայող գործակիցները.
• մենք ստանում ենք արտադրյալը, որը կլինի երկու թվերի ցանկալի LCM:

Օրինակ 5

Վերադառնանք 75 և 210 թվերին, որոնց համար մենք արդեն փնտրել ենք LCM-ն նախորդ օրինակներից մեկում։ Եկեք դրանք բաժանենք պարզ գործոնների. 75 = 3 5 5Եվ 210 = 2 3 5 7. 3, 5 և գործակիցների արտադրյալին 5 75 համարները ավելացնում են բացակայող գործոնները 2 Եվ 7 210 համարներ։ Մենք ստանում ենք. 2 · 3 · 5 · 5 · 7.Սա 75 և 210 թվերի LCM-ն է։

Օրինակ 6

Անհրաժեշտ է հաշվարկել 84 և 648 թվերի LCM-ն։

Լուծում

Պայմանից թվերը դասավորենք պարզ գործոնների. 84 = 2 2 3 7Եվ 648 = 2 2 2 3 3 3 3 3. Արտադրանքին ավելացնենք 2, 2, 3 և 7 թվեր 84 բացակայող գործոններ 2, 3, 3 և
3 648 համարներ։ Մենք ստանում ենք ապրանքը 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536:Սա 84-ի և 648-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Պատասխան. LCM (84, 648) = 4,536:

Գտնելով երեք և ավելի թվերի LCM

Անկախ նրանից, թե քանի թվի հետ գործ ունենք, մեր գործողությունների ալգորիթմը միշտ նույնն է լինելու. մենք հաջորդաբար կգտնենք երկու թվերի LCM: Այս դեպքի համար կա թեորեմա.

Թեորեմ 1

Ենթադրենք, որ ունենք ամբողջ թվեր a 1, a 2, …, a k. ՀԱՕԿ մ կայս թվերը հայտնաբերվում են հաջորդականորեն հաշվարկելով m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k):

Այժմ տեսնենք, թե ինչպես կարող է թեորեմը կիրառվել կոնկրետ խնդիրներ լուծելու համար։

Օրինակ 7

Դուք պետք է հաշվարկեք չորս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 140, 9, 54 և 250 .

Լուծում

Ներկայացնենք նշումը՝ a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250:

Եկեք սկսենք հաշվարկելով m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9): Եկեք կիրառենք Էվկլիդեսի ալգորիթմը 140 և 9 թվերի GCD-ն հաշվարկելու համար՝ 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4: Մենք ստանում ենք. Հետեւաբար, մ 2 = 1260:

Հիմա եկեք հաշվարկենք՝ օգտագործելով նույն ալգորիթմը m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54): Հաշվարկների ընթացքում մենք ստանում ենք m 3 = 3 780:

Մեզ մնում է միայն հաշվարկել m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250): Մենք հետևում ենք նույն ալգորիթմին. Մենք ստանում ենք m 4 = 94 500:

Օրինակի պայմանից չորս թվերի LCM-ն 94500 է:

Պատասխան.ԱՕԿ (140, 9, 54, 250) = 94,500:

Ինչպես տեսնում եք, հաշվարկները պարզ են, բայց բավականին աշխատատար: Ժամանակ խնայելու համար կարող եք այլ ճանապարհով գնալ։

Սահմանում 4

Մենք ձեզ առաջարկում ենք գործողությունների հետևյալ ալգորիթմը.

• մենք բոլոր թվերը տարրալուծում ենք պարզ գործակիցների.
• Առաջին թվի գործակիցների արտադրյալին ավելացնում ենք բաց թողնված գործակիցները երկրորդ թվի արտադրյալից.
• նախորդ փուլում ստացված արտադրանքին ավելացնում ենք երրորդ թվի բացակայող գործակիցները և այլն.
• ստացված արտադրյալը կլինի պայմանի բոլոր թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Օրինակ 8

Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել 84, 6, 48, 7, 143 հինգ թվերի LCM:

Լուծում

Եկեք բոլոր հինգ թվերը չափենք պարզ գործակիցների՝ 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13: Պարզ թվեր, որը 7 թիվն է, չի կարող գործոնացվել պարզ գործոնների։ Նման թվերը համընկնում են դրանց տարրալուծման հետ պարզ գործոնների։

Հիմա վերցնենք 84 թվի 2, 2, 3 և 7 պարզ գործակիցների արտադրյալը և գումարենք երկրորդ թվի բացակայող գործակիցները։ Մենք 6 թիվը բաժանեցինք 2-ի և 3-ի։ Այս գործոններն արդեն առաջին թվի արտադրյալում են։ Հետեւաբար, մենք դրանք բաց ենք թողնում։

Մենք շարունակում ենք ավելացնել բաց թողնված բազմապատկիչները: Անցնենք 48 թվին, որի պարզ գործակիցների արտադրյալից վերցնում ենք 2-ը և 2-ը։ Այնուհետև չորրորդ թվից գումարում ենք 7-ի պարզ գործակիցը և հինգերորդի 11-ի և 13-ի գործակիցները։ Մենք ստանում ենք՝ 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048: Սա սկզբնական հինգ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է:

Պատասխան. LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048:

Գտնել բացասական թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար բացասական թվեր, այս թվերը նախ պետք է փոխարինել թվերով հակառակ նշան, այնուհետև կատարեք հաշվարկներ՝ օգտագործելով վերը նշված ալգորիթմները։

Օրինակ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) և LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888)։

Նման գործողությունները թույլատրելի են այն պատճառով, որ եթե ընդունենք դա աԵվ − ա- հակադիր թվեր,
ապա թվի բազմապատիկների բազմությունը ահամապատասխանում է թվի բազմապատիկների բազմությանը − ա.

Օրինակ 10

Անհրաժեշտ է հաշվել բացասական թվերի LCM-ն − 145 Եվ − 45 .

Լուծում

Փոխարինենք թվերը − 145 Եվ − 45 իրենց հակառակ թվերին 145 Եվ 45 . Այժմ, օգտագործելով ալգորիթմը, մենք հաշվարկում ենք LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, նախապես որոշելով GCD-ն՝ օգտագործելով Էվկլիդեսյան ալգորիթմը:

Ստանում ենք, որ թվերի LCM-ն − 145 է և − 45 հավասար է 1 305 .

Պատասխան. LCM (− 145, − 45) = 1305։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter