Սահմանում.Մեծագույն բնական թիվ, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար (GCD)այս թվերը.

Եկեք գտնենք ամենամեծը ընդհանուր բաժանարար 24 և 35 համարները։
24-ի բաժանարարներն են 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, իսկ 35-ի բաժանարարները՝ 1, 5, 7, 35 թվերն են։
Մենք տեսնում ենք, որ 24 և 35 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1: Նման թվերը կոչվում են. փոխադարձաբար առաջնային.

Սահմանում.Բնական թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային, եթե նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) 1 է։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD)կարելի է գտնել առանց տրված թվերի բոլոր բաժանարարները դուրս գրելու։

48 և 36 թվերը գործակցելով՝ ստանում ենք.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Այս թվերից առաջինի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից մենք գծում ենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ (այսինքն, երկու երկուսը):
Մնացած գործակիցները 2 * 2 * 3 են։ Նրանց արտադրյալը 12 է։ Այս թիվը 48 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Գտնվում է նաև երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

2) նշված թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից հատել դրանք, որոնք ներառված չեն այլ թվերի ընդլայնման մեջ.
3) գտնել մնացած գործոնների արտադրյալը.

Եթե ​​բոլոր տրված թվերը բաժանվում են դրանցից մեկի վրա, ապա այս թիվը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըտրված թվեր.
Օրինակ, 15, 45, 75 և 180 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 15 թիվն է, քանի որ մնացած բոլոր թվերը բաժանվում են նրա վրա՝ 45, 75 և 180։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM)

Սահմանում. Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) a և b բնական թվերը ամենափոքր բնական թիվն է, որը բազմապատիկ է և՛ a-ի, և՛ b-ի: 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկները անընդմեջ գրառելու։ Դա անելու համար եկեք 75-ը և 60-ը դասավորենք պարզ գործակիցների՝ 75 = 3 * 5 * 5 և 60 = 2 * 2 * 3 * 5:
Գրենք այս թվերից առաջինի ընդլայնման մեջ ընդգրկված գործոնները և դրանց ավելացնենք երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 2 գործակիցները (այսինքն՝ միավորում ենք գործակիցները):
Ստանում ենք հինգ գործակից 2 * 2 * 3 * 5 * 5, որոնց արտադրյալը 300 է։ Այս թիվը 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Նրանք նաև գտնում են երեք և ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Դեպի գտնել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի բնական թվեր, ձեզ հարկավոր է.
1) դրանք վերածել հիմնական գործոնների.
2) գրել թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները.
3) դրանց գումարել մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները.
4) գտնել ստացված գործոնների արտադրյալը.

Նկատի ունեցեք, որ եթե այս թվերից մեկը բաժանվում է մյուս բոլոր թվերի վրա, ապա այս թիվը այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։
Օրինակ, 12, 15, 20 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 60 է, քանի որ այն բաժանվում է բոլոր այդ թվերի վրա։

Պյութագորասը (մ.թ.ա. VI դ.) և նրա աշակերտները ուսումնասիրել են թվերի բաժանելիության հարցը։ Նրանք բոլոր բաժանարարների գումարին հավասար թվին (առանց բուն թվի) կատարյալ թիվ են անվանել։ Օրինակ՝ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) թվերը կատարյալ են։ Հաջորդ կատարյալ թվերն են՝ 496, 8128, 33,550,336 Պյութագորացիները գիտեին միայն առաջին երեք կատարյալ թվերը: Չորրորդը՝ 8128 թվականը, հայտնի է դարձել 1-ին դարում։ n. ե. Հինգերորդը՝ 33,550,336, հայտնաբերվել է 15-րդ դարում։ 1983 թվականին արդեն հայտնի էին 27 կատարյալ թվեր։ Բայց գիտնականները դեռ չգիտեն՝ կա՞ն կենտ կատարյալ թվեր, թե՞ ամենամեծ կատարյալ թիվ:
Հին մաթեմատիկոսների հետաքրքրությունը պարզ թվերի նկատմամբ բխում է նրանից, որ ցանկացած թիվ կամ պարզ է կամ կարող է ներկայացվել որպես արտադրյալ։ պարզ թվեր, այսինքն՝ պարզ թվերը նման են աղյուսների, որոնցից կառուցված են մնացած բնական թվերը։
Հավանաբար նկատել եք, որ բնական թվերի շարքում պարզ թվերը առաջանում են անհավասարաչափ՝ շարքի որոշ մասերում դրանք ավելի շատ են, որոշներում՝ ավելի քիչ: Բայց որքան առաջ ենք շարժվում թվերի շարքով, այնքան պարզ թվերը ավելի քիչ են տարածված: Հարց է առաջանում՝ կա՞ արդյոք վերջին (ամենամեծ) պարզ թիվ։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը (մ.թ.ա. 3-րդ դար) իր «Էլեմենտներ» գրքում, որը մաթեմատիկայի հիմնական դասագիրքն էր երկու հազար տարվա ընթացքում, ապացուցեց, որ կան անսահման շատ պարզ թվեր, այսինքն՝ յուրաքանչյուր պարզ թվի հետևում կա ավելի մեծ պարզ թվեր։ համարը։
Պարզ թվեր գտնելու համար նույն ժամանակի մեկ այլ հույն մաթեմատիկոս Էրատոստենեսը հայտնագործեց այս մեթոդը։ Նա գրեց բոլոր թվերը 1-ից մինչև ինչ-որ թիվ, այնուհետև հատեց մեկը, որը ոչ պարզ է, ոչ բաղադրյալ թիվ, այնուհետև հատեց մեկի միջով 2-ից հետո եկող բոլոր թվերը (թվերը, որոնք 2-ի բազմապատիկ են, այսինքն՝ 4-ի, 6, 8 և այլն): 2-ից հետո մնացած առաջին թիվը 3-ն էր: Այնուհետև, երկուսից հետո, 3-ից հետո եկող բոլոր թվերը (թվերը, որոնք 3-ի բազմապատիկ են, այսինքն՝ 6, 9, 12 և այլն) հատվեցին: վերջում չխաչված մնացին միայն պարզ թվերը։

Մաթեմատիկական արտահայտություններն ու խնդիրները պահանջում են շատ լրացուցիչ գիտելիքներ: ՀԱՕԿ-ը հիմնականներից է, հատկապես հաճախ օգտագործվում է Թեման ուսումնասիրվում է ավագ դպրոցում, և առանձնապես դժվար չէ նյութը հասկանալը, անձը, ով ծանոթ է հզորություններին և բազմապատկման աղյուսակին, չի դժվարանա բացահայտել անհրաժեշտ թվերը և հայտնաբերել արդյունք.

Սահմանում

Ընդհանուր բազմապատիկ այն թիվն է, որը կարելի է ամբողջությամբ բաժանել միաժամանակ երկու թվի (a և b): Ամենից հաճախ այս թիվը ստացվում է a և b սկզբնական թվերը բազմապատկելով: Թիվը պետք է բաժանվի երկու թվերի միանգամից՝ առանց շեղումների։

ՀԱՕԿ-ն ընդունված անվանումն է կարճ անուն, հավաքված առաջին տառերից։

Թիվ ստանալու ուղիներ

Թվերի բազմապատկման մեթոդը միշտ չէ, որ հարմար է LCM-ն գտնելու համար, այն շատ ավելի հարմար է պարզ միանիշ կամ երկնիշ թվերի համար: Ընդունված է բաժանել գործոնների.

Օրինակ #1

Ամենապարզ օրինակի համար դպրոցները սովորաբար օգտագործում են պարզ, միանիշ կամ երկնիշ թվեր: Օրինակ՝ պետք է լուծել հետևյալ առաջադրանքը, գտնել 7 և 3 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը, լուծումը բավականին պարզ է, պարզապես բազմապատկեք դրանք։ Արդյունքում կա 21 թիվ, ավելի փոքր թիվ պարզապես չկա։

Օրինակ թիվ 2

Առաջադրանքի երկրորդ տարբերակը շատ ավելի բարդ է։ Տրված են 300 և 1260 համարները, LOC գտնելը պարտադիր է։ Խնդիրը լուծելու համար ենթադրվում են հետևյալ գործողությունները.

Առաջին և երկրորդ թվերի տարրալուծումը պարզ գործոնների. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Առաջին փուլն ավարտված է.

Երկրորդ փուլը ներառում է արդեն ձեռք բերված տվյալների հետ աշխատանք։ Ստացված թվերից յուրաքանչյուրը պետք է մասնակցի վերջնական արդյունքի հաշվարկին։ Յուրաքանչյուր գործոնի համար երևույթների ամենամեծ թիվը վերցված է սկզբնական թվերից: ՀԱՕԿ-ն է ընդհանուր թիվըՀետևաբար, թվերի գործոնները պետք է կրկնվեն դրանում, յուրաքանչյուրը, նույնիսկ նրանք, որոնք առկա են մեկ օրինակում: Երկու սկզբնական համարներն էլ պարունակում են 2, 3 և 5 թվերը, տարբեր ուժերով 7-ը առկա է միայն մեկ դեպքում.

Վերջնական արդյունքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հավասարման մեջ ներդնել յուրաքանչյուր թիվը՝ ներկայացված հզորություններից ամենամեծով: Մնում է միայն բազմապատկել և ստանալ պատասխանը ճիշտ լրացման դեպքում, առաջադրանքը տեղավորվում է երկու քայլի մեջ՝ առանց բացատրության.

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Սա է ամբողջ խնդիրը, եթե փորձեք հաշվարկել անհրաժեշտ թիվը բազմապատկելով, ապա պատասխանը հաստատ ճիշտ չի լինի, քանի որ 300 * 1260 = 378,000:

Փորձաքննություն:

6300 / 300 = 21 - ճիշտ;

6300 / 1260 = 5 - ճիշտ:

Ստացված արդյունքի ճիշտությունը որոշվում է ստուգելով՝ բաժանելով LCM-ն երկու սկզբնական թվերի վրա, եթե թիվը երկու դեպքում էլ ամբողջ թիվ է, ապա պատասխանը ճիշտ է։

Ի՞նչ է նշանակում ԱՕԿ մաթեմատիկայի մեջ:

Ինչպես գիտեք, մաթեմատիկայի մեջ չկա ոչ մի անօգուտ ֆունկցիա, սա բացառություն չէ։ Այս թվի ամենատարածված նպատակը կոտորակները կրճատելն է ընդհանուր հայտարար. Այն, ինչ սովորաբար սովորում են 5-6-րդ դասարաններում ավագ դպրոց. Այն նաև ընդհանուր բաժանարար է բոլոր բազմապատիկների համար, եթե խնդրի մեջ առկա են այդպիսի պայմաններ: Նման արտահայտությունը կարող է գտնել ոչ միայն երկու թվերի, այլև շատերի բազմապատիկները ավելին- երեք, հինգ և այլն: Որքան շատ թվեր, այնքան շատ գործողություններ առաջադրանքի մեջ, բայց դա չի մեծացնում բարդությունը:

Օրինակ, հաշվի առնելով 250, 600 և 1500 թվերը, դուք պետք է գտնեք դրանց ընդհանուր LCM.

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - այս օրինակը մանրամասն նկարագրում է ֆակտորիզացիան, առանց կրճատման:

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Արտահայտություն կազմելու համար անհրաժեշտ է նշել բոլոր գործոնները, այս դեպքում տրված են 2, 5, 3 - այս բոլոր թվերի համար անհրաժեշտ է որոշել առավելագույն աստիճանը։

Ուշադրություն. բոլոր գործոնները պետք է հասցվեն լրիվ պարզեցման, հնարավորության դեպքում տարրալուծվեն միանիշ մակարդակի:

Փորձաքննություն:

1) 3000 / 250 = 12 - ճիշտ;

2) 3000 / 600 = 5 - ճշմարիտ;

3) 3000 / 1500 = 2 - ճիշտ:

Այս մեթոդը չի պահանջում որևէ հնարք կամ հանճարեղ մակարդակի ունակություններ, ամեն ինչ պարզ է և պարզ։

Մեկ այլ ճանապարհ

Մաթեմատիկայի մեջ շատ բաներ կապված են, շատ բաներ կարելի է լուծել երկու կամ ավելի եղանակներով, նույնը վերաբերում է ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու՝ LCM-ին։ Պարզ երկնիշ և միանիշ թվերի դեպքում կարելի է կիրառել հետևյալ մեթոդը. Կազմվում է աղյուսակ, որի մեջ բազմապատկիչը մուտքագրվում է ուղղահայաց, բազմապատկիչը՝ հորիզոնական, իսկ արտադրյալը նշվում է սյունակի հատվող բջիջներում։ Աղյուսակը կարող եք արտացոլել տողի միջոցով, վերցնել մի թիվ և գրել այս թիվը ամբողջ թվերով բազմապատկելու արդյունքները՝ 1-ից մինչև անվերջություն, երբեմն 3-5 միավորը բավական է, երկրորդ և հաջորդ թվերն անցնում են նույն հաշվողական գործընթացին։ Ամեն ինչ տեղի է ունենում այնքան ժամանակ, քանի դեռ չի գտնվել ընդհանուր բազմապատիկ:

Հաշվի առնելով 30, 35, 42 թվերը, դուք պետք է գտնեք բոլոր թվերը միացնող LCM-ը.

1) 30-ի բազմապատիկները՝ 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 և այլն:

2) 35-ի բազմապատիկները՝ 70, 105, 140, 175, 210, 245 և այլն:

3) 42-ի բազմապատիկները՝ 84, 126, 168, 210, 252 և այլն:

Նկատելի է, որ բոլոր թվերը միանգամայն տարբեր են, նրանց մեջ միակ ընդհանուր թիվը 210-ն է, ուստի այն կլինի ՀԱՕԿ-ը։ Այս հաշվարկում ներգրավված գործընթացների թվում կա նաև ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, որը հաշվարկվում է համանման սկզբունքներով և հաճախ հանդիպում է հարևան խնդիրներում: Տարբերությունը փոքր է, բայց բավականին նշանակալի, LCM-ն ներառում է թվի հաշվարկ, որը բաժանված է բոլոր տրված սկզբնական արժեքներով, իսկ GCD-ն ներառում է հաշվարկ ամենաբարձր արժեքըորով բաժանվում են սկզբնական թվերը։

Երկրորդ համարը. b=

Հազար բաժանարարԱռանց տիեզերական բաժանարարի «'

Արդյունք:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար gcd( ա,բ)=6

LCM-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ( ա,բ)=468

Ամենամեծ բնական թիվը, որը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել a և b թվերով, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը(GCD) այս թվերի. Նշվում է gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) կամ hcf(a,b):

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըԵրկու a և b թվերի LCM-ն ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է a-ի և b-ի առանց մնացորդի։ Նշվում է LCM(a,b) կամ lcm(a,b):

A և b ամբողջ թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային, եթե +1-ից և −1-ից բացի այլ ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Թող տրվի երկու դրական թիվ ա 1 և ա 2 1). Պահանջվում է գտնել այս թվերի ընդհանուր բաժանարարը, այսինքն. գտնել այդպիսի թիվ λ , որը բաժանում է թվերը ա 1 և ա 2 միաժամանակ. Եկեք նկարագրենք ալգորիթմը.

1) Այս հոդվածում թիվ բառը կհասկանա որպես ամբողջ թիվ:

Թող ա 1 ≥ ա 2 և թող

Որտեղ մ 1 , ա 3-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ա 3 <ա 2 (բաժանման մնացորդը ա 1 հատ ա 2-ը պետք է պակաս լինի ա 2).

Ենթադրենք, որ λ բաժանում է ա 1 և ա 2 ապա λ բաժանում է մ 1 ա 2 և λ բաժանում է ա 1 −մ 1 ա 2 =ա 3 («Թվերի բաժանելիություն. բաժանելիության թեստ» հոդվածի 2-րդ դրույթ): Դրանից բխում է, որ յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար ա 1 և ա 2-ը ընդհանուր բաժանարարն է ա 2 և ա 3. Հակառակը նույնպես ճիշտ է, եթե λ ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3 ապա մ 1 ա 2 և ա 1 =մ 1 ա 2 +ա 3-ը նույնպես բաժանվում է λ . Հետևաբար ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3-ը նույնպես ընդհանուր բաժանարար է ա 1 և ա 2. Որովհետև ա 3 <ա 2 ≤ա 1, ապա կարելի է ասել, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու խնդրի լուծումը ա 1 և ա 2-ը կրճատվել է թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ավելի պարզ խնդրի ա 2 և ա 3 .

Եթե ա 3 ≠0, ապա մենք կարող ենք բաժանել ա 2 վրա ա 3. Հետո

,

Որտեղ մ 1 և ա 4-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ( ա 4 մնաց բաժանումից ա 2 վրա ա 3 (ա 4 <ա 3)): Նմանատիպ պատճառաբանությամբ գալիս ենք այն եզրակացության, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա 3 և ա 4-ը համընկնում է թվերի ընդհանուր բաժանարարների հետ ա 2 և ա 3, ինչպես նաև ընդհանուր բաժանարարներով ա 1 և ա 2. Որովհետև ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4, ... թվեր են, որոնք անընդհատ նվազում են, և քանի որ դրանց միջև կա վերջավոր թվով ամբողջ թվեր. ա 2 և 0, ապա ինչ-որ քայլի n, բաժանման մնացորդը ա n վրա ա n+1 հավասար կլինի զրոյի ( ա n+2 =0):

.

Յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար λ թվեր ա 1 և ա 2-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 2 և ա 3 , ա 3 և ա 4 , .... ա n և ա n+1 . Ճիշտ է նաև հակառակը՝ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա n և ա n+1-ը նույնպես թվերի բաժանարարներ են ա n−1 և ա n, ...., ա 2 և ա 3 , ա 1 և ա 2. Բայց թվերի ընդհանուր բաժանարարը ա n և ա n+1-ը թիվ է ա n+1, քանի որ ա n և ա n+1-ը բաժանվում են ա n+1 (հիշեք, որ ա n+2 =0): Ուստի ա n+1-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 1 և ա 2 .

Նշենք, որ համարը ա n+1 թվերի ամենամեծ բաժանարարն է ա n և ա n+1, քանի որ ամենամեծ բաժանարարը ա n+1-ն ինքն է ա n+1 . Եթե ա n+1-ը կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի արտադրյալ, ապա այս թվերը նույնպես թվերի ընդհանուր բաժանարարներ են։ ա 1 և ա 2. Համար ա n+1 կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըթվեր ա 1 և ա 2 .

Թվեր ա 1 և ա 2-ը կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական թվեր: Եթե ​​թվերից մեկը հավասար է զրոյի, ապա այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար կլինի մյուս թվի բացարձակ արժեքին։ Զրո թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն անորոշ է:

Վերոնշյալ ալգորիթմը կոչվում է Էվկլիդեսյան ալգորիթմգտնել երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու օրինակ

Գտե՛ք 630 և 434 երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

• Քայլ 1. 630 թիվը բաժանեք 434-ի, մնացածը 196 է։
• Քայլ 2. 434 թիվը բաժանեք 196-ի, մնացածը 42 է։
• Քայլ 3. 196 թիվը բաժանեք 42-ի, մնացածը 28 է։
• Քայլ 4. 42 թիվը բաժանեք 28-ի, մնացածը 14 է։
• Քայլ 5. 28 թիվը բաժանեք 14-ի, մնացորդը 0 է։

5-րդ քայլում բաժանման մնացորդը 0 է։ Հետևաբար, 630 և 434 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 14-ն է։ Նկատի ունեցեք, որ 2 և 7 թվերը նույնպես 630 և 434 թվերի բաժանարարներն են։

Համապարփակ թվեր

Սահմանում 1. Թող թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2-ը հավասար է մեկի: Այնուհետև այս թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր, չունենալով ընդհանուր բաժանարար։

Թեորեմ 1. Եթե ա 1 և ա 2 համապարփակ թվեր և λ ինչ-որ թիվ, ապա թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար λa 1 և ա 2-ը նաև թվերի ընդհանուր բաժանարար է λ Եվ ա 2 .

Ապացույց. Դիտարկենք թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու Էվկլիդեսյան ալգորիթմը ա 1 և ա 2 (տես վերևում):

.

Թեորեմի պայմաններից հետևում է, որ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2 և հետևաբար ա n և ա n+1-ը 1 է. Այսինքն ա n+1 =1.

Եկեք այս բոլոր հավասարությունները բազմապատկենք λ , Հետո

.

Թող ընդհանուր բաժանարարը ա 1 λ Եվ ա 2 այո δ . Հետո δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 1 λ , մ 1 ա 2 λ և մեջ ա 1 λ -մ 1 ա 2 λ =ա 3 λ (տե՛ս «Թվերի բաժանելիությունը», հայտարարությունը 2): Հաջորդը δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 2 λ Եվ մ 2 ա 3 λ , և, հետևաբար, ներառված է որպես գործոն ա 2 λ -մ 2 ա 3 λ =ա 4 λ .

Այսպես պատճառաբանելով՝ մենք համոզված ենք, որ δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա n−1 λ Եվ մ n−1 ա n λ , և հետևաբար ներս ա n−1 λ −մ n−1 ա n λ =ա n+1 λ . Որովհետև ա n+1 =1, ապա δ ներառված է որպես բազմապատկիչ λ . Հետևաբար թիվը δ թվերի ընդհանուր բաժանարարն է λ Եվ ա 2 .

Դիտարկենք թեորեմ 1-ի հատուկ դեպքերը:

Հետևանք 1. Թող աԵվ գՊարզ թվերը համեմատաբար են բ. Հետո նրանց արտադրանքը ակ-ի նկատմամբ պարզ թիվ է բ.

Իսկապես։ Թեորեմ 1-ից ակԵվ բունեն նույն ընդհանուր բաժանարարները, ինչ գԵվ բ. Բայց թվերը գԵվ բհամեմատաբար պարզ, այսինքն. ունեն մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետո ակԵվ բունեն նաև մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետևաբար ակԵվ բփոխադարձաբար պարզ.

Հետևանք 2. Թող աԵվ բհամապարփակ թվեր և թող բբաժանում է ակ. Հետո բբաժանում է և կ.

Իսկապես։ Հաստատման պայմանից ակԵվ բունեն ընդհանուր բաժանարար բ. Թեորեմ 1-ի ուժով. բպետք է լինի ընդհանուր բաժանարար բԵվ կ. Ուստի բբաժանում է կ.

Եզրակացություն 1-ը կարելի է ընդհանրացնել.

Հետևանք 3. 1. Թող թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 , ..., ա m-ը թվի համեմատ պարզ է բ. Հետո ա 1 ա 2 , ա 1 ա 2 · ա 3 , ..., ա 1 ա 2 ա 3 ··· ա m, այս թվերի արտադրյալը թվի նկատմամբ պարզ է բ.

2. Եկեք ունենանք թվերի երկու շարք

այնպես, որ առաջին շարքի յուրաքանչյուր թիվ պարզ է երկրորդ շարքի յուրաքանչյուր թվի հարաբերությամբ: Այնուհետեւ ապրանքը

Պետք է գտնել թվեր, որոնք բաժանվում են այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա:

Եթե ​​թիվը բաժանվում է ա 1, ապա այն ունի ձևը սա 1 որտեղ սինչ-որ թիվ. Եթե քթվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է ա 1 և ա 2, ապա

Որտեղ ս 1-ը որոշ ամբողջ թիվ է: Հետո

է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկները ա 1 և ա 2 .

ա 1 և ա 2-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 և ա 2:

Մենք պետք է գտնենք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Վերոնշյալից հետևում է, որ թվերի ցանկացած բազմապատիկ ա 1 , ա 2 , ա 3-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε Եվ ա 3 և ետ: Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε Եվ ա 3 այո ε 1. Հաջորդը, թվերի բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε 1 և ա 4. Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε 1 և ա 4 այո ε 2. Այսպիսով, մենք պարզեցինք, որ թվերի բոլոր բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համընկնում է որոշակի թվի բազմապատիկներին ε n, որը կոչվում է տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Այն հատուկ դեպքում, երբ թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2-ը, ինչպես ցույց է տրված վերևում, ունի (3) ձևը: Հաջորդը, քանի որ ա 3 պարզ թվերի նկատմամբ ա 1 , ա 2 ապա ա 3 պարզ թիվ ա 1 · ա 2 (Հետևանք 1): Նշանակում է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 ,ա 2 ,ա 3-ը թիվ է ա 1 · ա 2 · ա 3. Նմանապես պատճառաբանելով՝ հանգում ենք հետևյալ պնդումներին.

Հայտարարություն 1. Համապարփակ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը հավասար է նրանց արտադրյալին ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.

Հայտարարություն 2. Ցանկացած թիվ, որը բաժանվում է համապարփակ թվերից յուրաքանչյուրի վրա ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը նույնպես բաժանվում է նրանց արտադրյալի վրա ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.

Ինչպես գտնել LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ)

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բոլոր ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, որը բաժանվում է երկու տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդ թողնելու։

Մեթոդ 1. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն, իր հերթին, տրված թվերից յուրաքանչյուրի համար՝ աճման կարգով գրելով բոլոր այն թվերը, որոնք ստացվում են դրանք 1-ով, 2-ով, 3-ով, 4-ով և այլն բազմապատկելով:

Օրինակ 6 և 9 համարների համար։
Մենք 6 թիվը հաջորդաբար բազմապատկում ենք 1, 2, 3, 4, 5-ով։
Մենք ստանում ենք՝ 6, 12, 18 , 24, 30
Մենք 9 թիվը բազմապատկում ենք հաջորդաբար 1, 2, 3, 4, 5-ով:
Մենք ստանում ենք՝ 9, 18 , 27, 36, 45
Ինչպես տեսնում եք, 6-րդ և 9-րդ համարների LCM-ը հավասար կլինի 18-ի:

Այս մեթոդը հարմար է, երբ երկու թվերն էլ փոքր են, և հեշտ է դրանք բազմապատկել ամբողջ թվերի հաջորդականությամբ։ Այնուամենայնիվ, կան դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է գտնել LCM երկնիշ կամ եռանիշ թվերի համար, ինչպես նաև, երբ կան երեք կամ նույնիսկ ավելի սկզբնական թվեր:

Մեթոդ 2. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն՝ սկզբնական թվերը պարզեցնելով պարզ գործակիցների:
Քայքայվելուց հետո անհրաժեշտ է առաջացած պարզ գործոնների շարքից միանման թվերը հատել։ Առաջին թվի մնացած թվերը երկրորդի համար կլինեն բազմապատկիչ, իսկ երկրորդի մնացած թվերը՝ առաջինի համար:

Օրինակ 75 և 60 համարների համար։
75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկները անընդմեջ գրառելու։ Դա անելու համար 75-ը և 60-ը դասավորենք պարզ գործոնների.
75 = 3 * 5 * 5, ա
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ինչպես տեսնում եք, 3-րդ և 5-րդ գործոնները հայտնվում են երկու տողերում: Մտավորապես մենք «հատում ենք» դրանք։
Եկեք գրենք այս թվերից յուրաքանչյուրի ընդլայնման մեջ ներառված մնացած գործոնները: 75 թիվը քայքայելիս մեզ մնում է 5 թիվը, իսկ 60 թիվը քայքայելիս՝ 2 * 2։
Սա նշանակում է, որ 75 և 60 թվերի LCM-ն որոշելու համար մենք պետք է 75-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 5-ն է) բազմապատկենք 60-ով և 60-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 2 է) * 2) 75-ով: Այսինքն, հասկանալու համար մենք ասում ենք, որ բազմապատկվում ենք «խաչաձև»:
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Այսպես մենք գտանք LCM-ը 60 և 75 թվերի համար։ Սա 300 թիվն է։

Օրինակ. Որոշե՛ք LCM 12, 16, 24 թվերի համար
Այս դեպքում մեր գործողությունները որոշ չափով ավելի բարդ կլինեն։ Բայց նախ, ինչպես միշտ, եկեք ֆակտորիզացնենք բոլոր թվերը
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM-ը ճիշտ որոշելու համար մենք ընտրում ենք բոլոր թվերից ամենափոքրը (սա 12-րդ թիվն է) և հաջորդաբար անցնում ենք դրա գործակիցները՝ հատելով դրանք, եթե թվերի մյուս շարքերից գոնե մեկում հանդիպենք նույն գործոնին, որը դեռևս չի եղել։ խաչվել է.

Քայլ 1. Մենք տեսնում ենք, որ 2 * 2-ը տեղի է ունենում թվերի բոլոր շարքերում: Եկեք դրանք խաչ քաշենք:
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Քայլ 2. 12 թվի պարզ գործակիցներում մնում է միայն 3 թիվը, սակայն այն առկա է 24 թվի պարզ գործակիցներում: Մենք 3-րդ համարը խաչում ենք երկու տողերից, մինչդեռ 16-ի համար գործողություններ չեն սպասվում: .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ինչպես տեսնում եք, 12 թիվը քայքայելիս մենք «հատեցինք» բոլոր թվերը։ Սա նշանակում է, որ ԼՕԿ-ի բացահայտումն ավարտված է։ Մնում է միայն հաշվարկել դրա արժեքը։
12 թվի համար վերցրեք 16 թվի մնացած գործակիցները (հաջորդը՝ աճման կարգով)
12 * 2 * 2 = 48
Սա ՀԱՕԿ-ն է

Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում LCM-ը գտնելը որոշ չափով ավելի դժվար էր, բայց երբ անհրաժեշտ է գտնել այն երեք և ավելի թվերի համար, այս մեթոդը թույլ է տալիս դա անել ավելի արագ: Այնուամենայնիվ, LCM-ն գտնելու երկու մեթոդներն էլ ճիշտ են:

Բայց շատ բնական թվեր բաժանվում են նաև այլ բնական թվերի։

Օրինակ:

12 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի;

36 թիվը բաժանվում է 1-ի, 2-ի, 3-ի, 4-ի, 6-ի, 12-ի, 18-ի, 36-ի։

Այն թվերը, որոնցով թիվը բաժանվում է ամբողջի (12-ի համար դրանք 1, 2, 3, 4, 6 և 12 են) կոչվում են. թվերի բաժանարարներ. Բնական թվի բաժանարար ա- բնական թիվ է, որը բաժանում է տրված թիվը աառանց հետքի. Այն բնական թիվը, որն ունի երկուից ավելի բաժանարար, կոչվում է կոմպոզիտային .

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 12 և 36 թվերն ունեն ընդհանուր գործոններ: Այս թվերն են՝ 1, 2, 3, 4, 6, 12։ Այս թվերի ամենամեծ բաժանարարը 12-ն է։ Այս երկու թվերի ընդհանուր բաժանարարը։ աԵվ բ- սա այն թիվն է, որով տրված երկու թվերն էլ բաժանվում են առանց մնացորդի աԵվ բ.

Ընդհանուր բազմապատիկմի քանի թվեր այն թիվն է, որը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա: Օրինակ 9, 18 և 45 թվերն ունեն 180-ի ընդհանուր բազմապատիկ: Բայց 90-ը և 360-ը նաև նրանց ընդհանուր բազմապատիկն են: Բոլոր ընդհանուր բազմապատիկների մեջ միշտ կա ամենափոքրը, այս դեպքում այն ​​90 է։ Այս թիվը կոչվում է ամենափոքրըընդհանուր բազմապատիկ (CMM).

LCM-ն միշտ բնական թիվ է, որը պետք է մեծ լինի այն թվերից ամենամեծից, որոնց համար այն սահմանված է:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM): Հատկություններ.

Փոխատեղելիություն:

Ասոցիատիվություն:

Մասնավորապես, եթե և են համապարփակ թվեր, ապա.

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը մԵվ nբոլոր մյուս ընդհանուր բազմապատիկների բաժանարարն է մԵվ n. Ընդ որում՝ ընդհանուր բազմապատիկների բազմությունը m, nհամընկնում է LCM-ի բազմապատիկների բազմության հետ ( m, n).

Համար ասիմպտոտիկները կարող են արտահայտվել որոշ թվային-տեսական ֆունկցիաներով:

Այսպիսով, Չեբիշևի գործառույթը. Եվ նաև.

Սա բխում է Landau ֆունկցիայի սահմանումից և հատկություններից g(n).

Ինչ է բխում պարզ թվերի բաշխման օրենքից.

Գտնելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

ԱՕԿ ( ա, բ) կարելի է հաշվարկել մի քանի եղանակով.

1. Եթե հայտնի է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը, կարող եք օգտագործել դրա կապը LCM-ի հետ.

2. Թող հայտնի լինի երկու թվերի կանոնական տարրալուծումը պարզ գործոնների.

Որտեղ p 1,...,p k- տարբեր պարզ թվեր, և դ 1,...,դ կԵվ e 1 ,...,e k— ոչ բացասական ամբողջ թվեր (դրանք կարող են լինել զրո, եթե համապատասխան պարզը ընդլայնման մեջ չէ):

Այնուհետև ՀԱՕԿ ( ա,բ) հաշվարկվում է բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, LCM տարրալուծումը պարունակում է բոլոր պարզ գործոնները, որոնք ներառված են թվերի տարրալուծումներից առնվազն մեկում ա, բ, և վերցված է այս բազմապատկիչի երկու ցուցանիշներից ամենամեծը։

Օրինակ:

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հաշվարկելը կարող է կրճատվել երկու թվերի LCM-ի մի քանի հաջորդական հաշվարկների.

Կանոն.Մի շարք թվերի LCM-ն գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

- թվերը տարրալուծել պարզ գործոնների.

- ամենամեծ տարրալուծումը (տվյալների ամենամեծ թվի գործակիցների արտադրյալը) փոխանցել ցանկալի արտադրյալի գործակիցներին, այնուհետև գումարել առաջին թվի մեջ չհայտնված կամ դրանում չհայտնված այլ թվերի տարրալուծումից։ ավելի քիչ անգամ;

— պարզ գործակիցների ստացված արտադրյալը կլինի տվյալ թվերի LCM:

Ցանկացած երկու կամ ավելի բնական թվեր ունեն իրենց LCM-ն: Եթե ​​թվերը միմյանց բազմապատիկ չեն կամ չունեն ընդլայնման նույն գործակիցները, ապա դրանց LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին։

28 թվի պարզ գործակիցները (2, 2, 7) լրացվում են 3 գործակցով (թիվ 21), ստացված արտադրյալը (84) կլինի ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է 21-ի և 28-ի։

Ամենամեծ 30 թվի պարզ գործակիցները լրացվում են 25 թվի 5 գործակցով, ստացված 150 արտադրյալը մեծ է 30 ամենամեծ թվից և բաժանվում է բոլոր տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդի։ Սա ամենափոքր հնարավոր արտադրյալն է (150, 250, 300...), որը տրված բոլոր թվերի բազմապատիկն է։

2,3,11,37 թվերը պարզ թվեր են, ուստի դրանց LCM-ն հավասար է տրված թվերի արտադրյալին։

Կանոն. Պարզ թվերի LCM-ը հաշվարկելու համար հարկավոր է այս բոլոր թվերը միասին բազմապատկել:

Մեկ այլ տարբերակ.

Մի քանի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) գտնելու համար անհրաժեշտ է.

1) յուրաքանչյուր թիվ ներկայացնել որպես իր պարզ գործակիցների արտադրյալ, օրինակ.

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) գրեք բոլոր պարզ գործոնների հզորությունները.

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) գրի՛ր այս թվերից յուրաքանչյուրի բոլոր պարզ բաժանարարները (բազմապատկիչները).

4) ընտրել դրանցից յուրաքանչյուրի ամենամեծ աստիճանը, որը գտնվել է այս թվերի բոլոր ընդլայնումների մեջ.

5) բազմապատկել այս ուժերը.

Օրինակ. Գտե՛ք 168, 180 և 3024 թվերի LCM:

Լուծում. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1:

Մենք գրում ենք բոլոր պարզ բաժանարարների ամենամեծ հզորությունները և բազմապատկում դրանք.

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120: