Այս հոդվածի տեղեկատվությունը տալիս է ընդհանուր պատկերացում ամբողջ թվեր. Նախ տրված է ամբողջ թվերի սահմանումը և բերվում են օրինակներ։ Հաջորդիվ դիտարկում ենք թվային տողի վրա գտնվող ամբողջ թվերը, որտեղից պարզ է դառնում, թե որ թվերն են կոչվում դրական ամբողջ թվեր, որոնք՝ բացասական: Սրանից հետո ցույց է տրվում, թե ինչպես են նկարագրվում քանակների փոփոխությունները՝ օգտագործելով ամբողջ թվերը, և դիտարկվում են ամբողջ թվերը բացասական թվերպարտքի իմաստով։

Էջի նավարկություն.

Ամբողջ թվեր - Սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Ամբողջ թվեր– դրանք բնական թվեր են, զրո թիվը, ինչպես նաև բնական թվերին հակառակ թվեր։

Ամբողջ թվերի սահմանման մեջ նշվում է, որ 1, 2, 3, … թվերից որևէ մեկը, 0 թիվը, ինչպես նաև −1, −2, −3, … թվերից որևէ մեկը ամբողջ թիվ է։ Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք բերել ամբողջ թվերի օրինակներ. Օրինակ՝ 38 թիվը ամբողջ թիվ է, 70,040 թիվը նույնպես ամբողջ թիվ է, զրոն ամբողջ թիվ է (հիշենք, որ զրոն բնական թիվ ՉԻ, զրոն ամբողջ թիվ է), −999, −1, −8,934,832 թվերը նույնպես։ ամբողջ թվերի օրինակներ.

Հարմար է բոլոր ամբողջ թվերը ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի հաջորդականություն, որն ունի հետևյալ ձևը՝ 0, ±1, ±2, ±3, ... Ամբողջ թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել այսպես. …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Ամբողջ թվերի սահմանումից բխում է, որ բնական թվերի բազմությունը ամբողջ թվերի բազմության ենթաբազմություն է։ Հետևաբար, յուրաքանչյուր բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ամեն մի ամբողջ թիվ չէ:

Ամբողջ թվեր կոորդինատային գծի վրա

Սահմանում.

Դրական ամբողջ թվերամբողջ թվեր են զրոյից մեծ։

Սահմանում.

Բացասական ամբողջ թվերամբողջ թվեր են, որ զրոյից պակաս.

Դրական և բացասական ամբողջ թվերը կարող են որոշվել նաև կոորդինատային գծի վրա նրանց դիրքով: Հորիզոնական կոորդինատային գծի վրա կետերը, որոնց կոորդինատները դրական ամբողջ թվեր են, գտնվում են սկզբնակետից աջ: Իր հերթին բացասական ամբողջ կոորդինատներով կետերը գտնվում են O կետից ձախ:

Պարզ է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերի բազմությունն է։ Իր հերթին, բոլոր բացասական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերին հակադիր բոլոր թվերի բազմությունն է։

Առանձին-առանձին, եկեք ձեր ուշադրությունը հրավիրենք այն փաստի վրա, որ մենք կարող ենք ապահով կերպով ցանկացած բնական թիվ անվանել ամբողջ թիվ, բայց ոչ մի ամբողջ թիվ չենք կարող անվանել բնական թիվ: Մենք կարող ենք միայն ցանկացած դրական ամբողջ թիվ անվանել բնական թիվ, քանի որ բացասական ամբողջ թվերը և զրոն բնական թվեր չեն:

Ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվեր

Տանք ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվերի սահմանումները:

Սահմանում.

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը՝ զրո թվի հետ միասին, կոչվում են ոչ բացասական ամբողջ թվեր.

Սահմանում.

Ոչ դրական ամբողջ թվեր- սրանք բոլորը բացասական ամբողջ թվեր են 0 թվի հետ միասին:

Այլ կերպ ասած, ոչ բացասական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը մեծ է զրոյից կամ հավասար է զրոյի, իսկ ոչ դրական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը փոքր է զրոյից կամ հավասար է զրոյի:

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ են −511, −10,030, 0, −2 թվերը, իսկ որպես ոչ բացասական ամբողջ թվերի օրինակ՝ տալիս ենք 45, 506, 0, 900,321 թվերը։

Ամենից հաճախ հակիրճության համար օգտագործվում են «ոչ դրական ամբողջ թվեր» և «ոչ բացասական ամբողջ թվեր» տերմինները: Օրինակ, «a թիվը ամբողջ թիվ է, իսկ a-ն մեծ է զրոյից կամ հավասար է զրոյի» արտահայտության փոխարեն կարող եք ասել «a-ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է»:

Ամբողջ թվերի միջոցով քանակների փոփոխության նկարագրում

Ժամանակն է խոսել այն մասին, թե ինչու են առաջին հերթին անհրաժեշտ ամբողջ թվերը:

Ամբողջ թվերի հիմնական նպատակն այն է, որ նրանց օգնությամբ հարմար է նկարագրել ցանկացած օբյեկտի քանակի փոփոխությունները: Սա հասկանանք օրինակներով։

Պահեստում թող լինի որոշակի քանակությամբ մասեր: Եթե, օրինակ, պահեստ բերվի ևս 400 դետալ, ապա պահեստում պահեստամասերի թիվը կավելանա, իսկ 400 թիվը արտահայտում է քանակի այս փոփոխությունը. դրական կողմ(աճող): Եթե, օրինակ, պահեստից վերցվի 100 դետալ, ապա պահեստում դետալների թիվը կնվազի, իսկ 100 թիվը բացասական ուղղությամբ (ներքև) արտահայտի քանակի փոփոխություն։ Պահեստամասերը չեն բերվի պահեստ, իսկ մասերը պահեստից չեն հանվի, այնուհետև կարելի է խոսել մասերի մշտական ​​քանակի մասին (այսինքն՝ կարելի է խոսել քանակի զրոյական փոփոխության մասին)։

Բերված օրինակներում մասերի քանակի փոփոխությունը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով համապատասխանաբար 400, −100 և 0 ամբողջ թվերը։ Դրական 400 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս քանակի փոփոխություն դրական ուղղությամբ (ավելացում): Բացասական −100 ամբողջ թիվն արտահայտում է քանակի փոփոխություն բացասական ուղղությամբ (նվազում): 0 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս, որ քանակը մնում է անփոփոխ:

Ամբողջ թվերի օգտագործման հարմարավետությունը բնական թվերի օգտագործման համեմատությամբ կայանում է նրանում, որ պետք չէ հստակ նշել, թե քանակն աճում է, թե նվազում. ամբողջ թիվը քանակականացնում է փոփոխությունը, իսկ ամբողջ թվի նշանը ցույց է տալիս փոփոխության ուղղությունը:

Ամբողջ թվերը կարող են նաև արտահայտել ոչ միայն քանակի փոփոխություն, այլև որոշ քանակի փոփոխություն։ Եկեք հասկանանք սա՝ օգտագործելով ջերմաստիճանի փոփոխությունների օրինակը։

Ջերմաստիճանի բարձրացումը, ասենք, 4 աստիճանով արտահայտվում է որպես դրական ամբողջ թիվ 4: Ջերմաստիճանի նվազումը, օրինակ, 12 աստիճանով կարելի է բնութագրել −12 բացասական ամբողջ թվով։ Իսկ ջերմաստիճանի անփոփոխությունը նրա փոփոխությունն է՝ որոշված ​​0 ամբողջ թվով։

Առանձին-առանձին անհրաժեշտ է ասել բացասական ամբողջ թվերի մեկնաբանման մասին՝ որպես պարտքի չափ։ Օրինակ, եթե մենք ունենք 3 խնձոր, ապա դրական ամբողջ թիվը 3-ը ներկայացնում է մեր ունեցած խնձորների քանակը: Մյուս կողմից, եթե մենք պետք է ինչ-որ մեկին 5 խնձոր տանք, բայց դրանք պահեստում չունենք, ապա այս իրավիճակը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով −5 բացասական ամբողջ թիվը: Այս դեպքում մենք «սեփական» ենք −5 խնձորի, մինուս նշանը ցույց է տալիս պարտքը, իսկ 5 թիվը՝ քանակական պարտքը:

Բացասական ամբողջ թիվը որպես պարտք հասկանալը թույլ է տալիս, օրինակ, հիմնավորել բացասական ամբողջ թվերի ավելացման կանոնը։ Օրինակ բերենք. Եթե ​​ինչ-որ մեկը մեկին պարտք է 2 խնձոր, մյուսին՝ 1 խնձոր, ապա ընդհանուր պարտքը կազմում է 2+1=3 խնձոր, ուրեմն −2+(−1)=−3։

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա. և այլն։Մաթեմատիկա։ 6-րդ դասարան՝ դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների համար.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, ինչ Աքիլեսից կպահանջվի այս տարածությունը վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Երբ Աքիլեսը վազում է հարյուր քայլ, կրիան սողում է ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային:

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Հիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն ​​կերպ դիտարկում էին Զենոնի ապորիան։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « ... քննարկումները շարունակվում են մինչ օրս, գիտական ​​հանրությունը դեռ չի կարողացել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության վերաբերյալ ... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, ֆիզիկական և փիլիսոփայական նոր մոտեցումներ: ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի ընդհանուր ընդունված լուծում...«[Wikipedia, «Zeno's Aporia». Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե ինչից է բաղկացած խաբեությունը։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը քանակից դեպի ։ Այս անցումը ենթադրում է մշտականի փոխարեն կիրառում։ Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների օգտագործման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ: Մենք, մտածողության իներցիայի շնորհիվ, փոխադարձ արժեքին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից սա կարծես թե ժամանակն է դանդաղում, մինչև այն ամբողջովին դադարի այն պահին, երբ Աքիլլեսը կհասնի կրիային: Եթե ​​ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:

Եթե ​​շրջենք մեր սովորական տրամաբանությունը, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը տասն անգամ պակաս է նախորդից։ Եթե ​​այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել՝ «Աքիլլեսը անսահման արագ կհասնի կրիային»։

Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի մշտական ​​միավորների մեջ և մի անցեք փոխադարձ միավորների: Զենոնի լեզվով դա հետևյալն է.

Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին կպահանջվի հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ կսողա նույն ուղղությամբ։ Առաջինին հավասար հաջորդ ժամանակամիջոցում Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց սա խնդրի ամբողջական լուծում չէ։ Էյնշտեյնի հայտարարությունը լույսի արագության անդիմադրելիության մասին շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք ու լուծենք այս խնդիրը։ Իսկ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անսահման մեծ թվով, այլ չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող նետը անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն հանգստի վիճակում է, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահի, այն միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է: Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Որոշելու համար, թե արդյոք մեքենան շարժվում է, ձեզ անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, բայց դուք չեք կարող որոշել դրանցից հեռավորությունը: Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ժամանակի մեկ կետում տարածության տարբեր կետերից արված երկու լուսանկար, բայց դրանցից դուք չեք կարող որոշել շարժման փաստը (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի ձեզ ) Այն, ինչ ուզում եմ նշել Հատուկ ուշադրություն, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետը տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք տարբեր հնարավորություններ են տալիս հետազոտության համար։

չորեքշաբթի, 4 հուլիսի, 2018 թ

Set-ի և multiset-ի միջև եղած տարբերությունները շատ լավ նկարագրված են Վիքիպեդիայում։ Եկեք տեսնենք.

Ինչպես տեսնում եք, «կոմպլեկտում չի կարող լինել երկու նույնական տարր», բայց եթե մի շարքում կան նույնական տարրեր, ապա այդպիսի հավաքածուն կոչվում է «բազմաթիվ»: Ողջամիտ էակները երբեք չեն հասկանա նման անհեթեթ տրամաբանությունը։ Սա խոսող թութակների և վարժեցված կապիկների մակարդակն է, որոնք խելք չունեն «ամբողջովին» բառից։ Մաթեմատիկոսները հանդես են գալիս որպես սովորական մարզիչներ՝ մեզ քարոզելով իրենց անհեթեթ գաղափարները։

Ժամանակին կամուրջը կառուցած ինժեներները կամուրջը փորձարկելիս նավակի մեջ էին կամրջի տակ։ Եթե ​​կամուրջը փլվեր, միջակ ինժեները մահացավ իր ստեղծագործության փլատակների տակ։ Եթե ​​կամուրջը կարող էր դիմակայել ծանրաբեռնվածությանը, տաղանդավոր ինժեները կառուցեց այլ կամուրջներ:

Անկախ նրանից, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները թաքնվում «իմացիր ինձ, ես տանն եմ» արտահայտության հետևում, ավելի ճիշտ՝ «մաթեմատիկան ուսումնասիրում է վերացական հասկացությունները», կա մեկ պորտալար, որն անքակտելիորեն կապում է դրանք իրականության հետ: Այս պորտալարը փող է։ Եկեք կիրառենք մաթեմատիկական բազմությունների տեսությունը հենց մաթեմատիկոսների վրա:

Մաթեմատիկան շատ լավ ենք սովորել, հիմա էլ նստած ենք դրամարկղի մոտ, աշխատավարձ ենք տալիս։ Այսպիսով, մի մաթեմատիկոս գալիս է մեզ մոտ իր փողի համար: Մենք նրան հաշվում ենք ամբողջ գումարը և այն դնում մեր սեղանի վրա տարբեր կույտերով, որոնց մեջ դնում ենք նույն անվանական թղթադրամներ։ Այնուհետև յուրաքանչյուր կույտից վերցնում ենք մեկական թղթադրամ և մաթեմատիկոսին տալիս իր «աշխատավարձի մաթեմատիկական հավաքածուն»։ Եկեք բացատրենք մաթեմատիկոսին, որ նա կստանա մնացած հաշիվները միայն այն ժամանակ, երբ ապացուցի, որ առանց նույնական տարրերի հավաքածուն հավասար չէ նույն տարրերով բազմությանը: Այստեղից է սկսվում զվարճանքը:

Առաջին հերթին գործելու է պատգամավորների տրամաբանությունը. «Սա կարող է վերաբերվել ուրիշներին, իսկ ինձ՝ ոչ»։ Այնուհետև նրանք կսկսեն մեզ հանգստացնել, որ նույն անվանական արժեքի թղթադրամները տարբեր թղթադրամների համարներ ունեն, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն կարող համարվել նույն տարրերը: Լավ, եկեք հաշվարկենք աշխատավարձերը մետաղադրամներով. մետաղադրամների վրա թվեր չկան: Այստեղ մաթեմատիկոսը կսկսի խելագարորեն հիշել ֆիզիկան. տարբեր մետաղադրամների վրա կա տարբեր քանակությամբՅուրաքանչյուր մետաղադրամի կեղտը, բյուրեղային կառուցվածքը և ատոմային դասավորությունը յուրահատուկ է...

Իսկ հիմա ես ամենաշատն ունեմ հետաքրքրություն Հարցրեքորտե՞ղ է այն գիծը, որից այն կողմ բազմաբնույթ տարրերը վերածվում են բազմության տարրերի և հակառակը: Նման գիծ գոյություն չունի՝ ամեն ինչ որոշում են շամանները, գիտությունն այստեղ նույնիսկ մոտ չէ ստելուն։

Նայեք այստեղ։ Մենք ընտրում ենք նույն դաշտի տարածքով ֆուտբոլային մարզադաշտեր: Դաշտերի տարածքները նույնն են, ինչը նշանակում է, որ մենք ունենք բազմաբնույթ: Բայց եթե նայենք այս նույն մարզադաշտերի անուններին, շատ ենք ստանում, քանի որ անունները տարբեր են։ Ինչպես տեսնում եք, տարրերի նույն հավաքածուն և՛ բազմություն է, և՛ բազմաբնույթ: Ո՞րն է ճիշտ: Եվ ահա մաթեմատիկոս-շաման-սրախոսը թևից հանում է հաղթաթուղթ և սկսում պատմել մեզ կա՛մ կոմպլեկտի, կա՛մ բազմահավաքի մասին: Ամեն դեպքում նա մեզ կհամոզի, որ ճիշտ է։

Հասկանալու համար, թե ինչպես են ժամանակակից շամանները գործում բազմությունների տեսության հետ՝ կապելով այն իրականության հետ, բավական է պատասխանել մի հարցի՝ ինչո՞վ են մի բազմության տարրերը տարբերվում մյուս բազմության տարրերից։ Ես ձեզ ցույց կտամ՝ առանց որևէ «պատկերացնելի որպես ոչ մի ամբողջություն» կամ «անընկալելի որպես մեկ ամբողջություն»։

կիրակի, 18 մարտի, 2018 թ

Թվի թվանշանների գումարը դափի հետ շամանների պար է, որը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Այո, մաթեմատիկայի դասերին մեզ սովորեցնում են գտնել թվերի թվանշանների գումարը և օգտագործել այն, բայց դրա համար էլ նրանք շամաններ են, որպեսզի իրենց ժառանգներին սովորեցնեն իրենց հմտություններն ու իմաստությունը, այլապես շամանները պարզապես կմահանան:

Դուք ապացույցի կարիք ունե՞ք։ Բացեք Վիքիպեդիան և փորձեք գտնել «Թվի թվանշանների գումարը» էջը։ Նա գոյություն չունի: Մաթեմատիկայում չկա որևէ բանաձև, որը կարող է օգտագործվել ցանկացած թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար: Ի վերջո, թվերն են գրաֆիկական նշաններ, որի օգնությամբ գրում ենք թվեր, իսկ մաթեմատիկայի լեզվով առաջադրանքը հնչում է այսպես՝ «Գտե՛ք ցանկացած թիվ ներկայացնող գրաֆիկական նշանների գումարը»։ Մաթեմատիկոսները չեն կարող լուծել այս խնդիրը, բայց շամանները կարող են դա անել հեշտությամբ:

Եկեք պարզենք, թե ինչ և ինչպես ենք անում, որպեսզի գտնենք տվյալ թվի թվանշանների գումարը: Եվ այսպես, եկեք ունենանք 12345 թիվը։ Ի՞նչ է պետք անել այս թվի թվանշանների գումարը գտնելու համար։ Դիտարկենք բոլոր քայլերը հերթականությամբ։

1. Թղթի վրա գրի՛ր թիվը: Ի՞նչ ենք մենք արել։ Մենք թիվը վերածել ենք գրաֆիկական թվանշանի։ Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

2. Ստացված մեկ նկարը կտրում ենք առանձին թվեր պարունակող մի քանի նկարների։ Նկար կտրելը մաթեմատիկական գործողություն չէ։

3. Անհատական ​​գրաֆիկական նշանները վերածել թվերի: Սա մաթեմատիկական գործողություն չէ։

4.Ավելացրե՛ք ստացված թվերը։ Հիմա սա մաթեմատիկա է։

12345 թվի թվանշանների գումարը 15 է։ Սրանք շամանների կողմից ուսուցանվող «կտրելու և կարելու դասընթացներն» են, որոնք օգտագործում են մաթեմատիկոսները։ Բայց սա դեռ ամենը չէ։

Մաթեմատիկական տեսանկյունից նշանակություն չունի, թե որ թվային համակարգում ենք թիվ գրում։ Այսպիսով, ներս տարբեր համակարգերՀաշվարկում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր կլինի։ Մաթեմատիկայի մեջ թվային համակարգը նշվում է որպես թվի աջ կողմում գտնվող բաժանորդ: 12345 մեծ թվով ես չեմ ուզում գլուխս խաբել, եկեք դիտարկենք 26 համարը հոդվածի մասին։ Գրենք այս թիվը երկուական, օկտալ, տասնորդական և տասնվեցական թվային համակարգերով։ Մենք ամեն քայլը մանրադիտակի տակ չենք նայելու, մենք դա արդեն արել ենք: Եկեք նայենք արդյունքին:

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր թվային համակարգերում նույն թվի թվանշանների գումարը տարբեր է։ Այս արդյունքը ոչ մի կապ չունի մաթեմատիկայի հետ։ Դա նույնն է, որ եթե ուղղանկյունի մակերեսը որոշեիր մետրերով և սանտիմետրերով, բոլորովին այլ արդյունքներ կստանաս:

Զրոն բոլոր թվային համակարգերում նույն տեսքն ունի և չունի թվանշանների գումար: Սա ևս մեկ փաստարկ է այն փաստի օգտին, որ. Հարց մաթեմատիկոսներին. ինչպե՞ս է մաթեմատիկայում նշանակված մի բան, որը թիվ չէ: Ի՞նչ է, մաթեմատիկոսների համար բացի թվերից ոչինչ գոյություն չունի: Ես կարող եմ սա թույլ տալ շամաններին, բայց ոչ գիտնականներին: Իրականությունը միայն թվերով չէ:

Ստացված արդյունքը պետք է համարել որպես ապացույց, որ թվային համակարգերը թվերի չափման միավորներ են։ Ի վերջո, մենք չենք կարող թվերը համեմատել տարբեր չափման միավորների հետ։ Եթե ​​նույն մեծության տարբեր չափման միավորներով նույն գործողությունները հանգեցնում են տարբեր արդյունքներդրանք համեմատելուց հետո նշանակում է՝ դա մաթեմատիկայի հետ կապ չունի։

Ի՞նչ է իրական մաթեմատիկան: Սա այն դեպքում, երբ արդյունքը մաթեմատիկական գործողությունկախված չէ թվի չափից, օգտագործված չափման միավորից և գործողությունը կատարողից։