Եկեք հասկանանք, թե ինչ է կոտորակների կրճատումը, ինչու և ինչպես կրճատել կոտորակները, կտանք կոտորակների կրճատման կանոնը և դրա օգտագործման օրինակները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ի՞նչ է «նվազեցնող կոտորակները»

Կոտորակը փոքրացնելը նշանակում է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել ընդհանուր գործակցի վրա, որը դրական է և տարբերվում է մեկից:

Այս գործողության արդյունքում կստացվի նոր համարիչով և հայտարարով կոտորակ, որը հավասար է սկզբնական կոտորակին։

Օրինակ՝ վերցնենք 6 24 ընդհանուր կոտորակը և փոքրացնենք այն։ Համարը և հայտարարը բաժանեք 2-ի, ստացվում է 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12: Այս օրինակում սկզբնական կոտորակը կրճատեցինք 2-ով:

Կոտորակները վերածելով անկրճատելի ձևի

Նախորդ օրինակում մենք կրճատեցինք 6 24 կոտորակը 2-ով, արդյունքում ստացվեց 3 12 կոտորակը: Հեշտ է տեսնել, որ այս մասնաբաժինը կարող է էլ ավելի կրճատվել: Սովորաբար, կոտորակների կրճատման նպատակն է վերջանալ անկրճատելի կոտորակի հետ: Ինչպե՞ս կրճատել կոտորակը մինչև իր անկրճատելի ձևը:

Դա կարելի է անել՝ համարիչն ու հայտարարը նվազեցնելով իրենց ամենամեծ ընդհանուր գործակցով (GCD): Հետո՝ մեծագույնի ունեցվածքով ընդհանուր բաժանարար, համարիչն ու հայտարարը փոխադարձաբար պարզ թվեր կլինեն, իսկ կոտորակը՝ անկրճատելի։

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Կոտորակը վերածելով անկրճատելի ձևի

Կոտորակը անկրճատելի ձևի վերածելու համար անհրաժեշտ է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել իրենց gcd-ի վրա:

Վերադառնանք 6 24 կոտորակին առաջին օրինակից և բերենք իր անկրճատելի ձևին։ 6 և 24 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 6-ն է։ Կրճատենք կոտորակը.

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Կրճատող կոտորակները հարմար է օգտագործել, որպեսզի չաշխատենք մեծ թվերի հետ։ Ընդհանրապես, մաթեմատիկայի մեջ կա չասված կանոն՝ եթե դուք կարող եք պարզեցնել ցանկացած արտահայտություն, ապա պետք է դա անել։ Կոտորակի կրճատումն ամենից հաճախ նշանակում է այն վերածել անկրճատելի ձևի, այլ ոչ թե պարզապես կրճատել համարիչի և հայտարարի ընդհանուր բաժանարարով:

Կոտորակների կրճատման կանոն

Կոտորակները նվազեցնելու համար պարզապես հիշեք կանոնը, որը բաղկացած է երկու քայլից.

Կոտորակների կրճատման կանոն

Կոտորակը նվազեցնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Գտե՛ք համարիչի և հայտարարի gcd-ն:
2. Բաժանե՛ք համարիչն ու հայտարարը իրենց gcd-ի վրա:

Դիտարկենք գործնական օրինակներ։

Օրինակ 1. Փոքրացնենք կոտորակը:

Տրված է 182 195 կոտորակը։ Եկեք կրճատենք այն:

Գտնենք համարիչի և հայտարարի gcd-ն։ Դա անելու համար այս դեպքումԱռավել հարմար է օգտագործել Էվկլիդեսյան ալգորիթմը։

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Համարը և հայտարարը բաժանե՛ք 13-ի։ Մենք ստանում ենք.

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Պատրաստ. Մենք ստացել ենք անկրճատելի կոտորակ, որը հավասար է սկզբնական կոտորակին:

Ուրիշ ինչպե՞ս կարող եք կրճատել կոտորակները: Որոշ դեպքերում հարմար է համարիչն ու հայտարարը դասավորել պարզ գործակիցների, իսկ հետո կոտորակի վերին և ստորին մասերից հեռացնել բոլոր ընդհանուր գործակիցները։

Օրինակ 2. Կրճատի՛ր կոտորակը

Տրված է 360 2940 կոտորակը։ Եկեք կրճատենք այն:

Դա անելու համար պատկերացրեք սկզբնական կոտորակը հետևյալ ձևով.

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 2 3 5 7 7

Եկեք ձերբազատվենք համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործոններից, ինչի արդյունքում.

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Ի վերջո, եկեք դիտարկենք կոտորակները կրճատելու մեկ այլ եղանակ: Սա այսպես կոչված հաջորդական կրճատումն է։ Այս մեթոդի կիրառմամբ կրճատումն իրականացվում է մի քանի փուլով, որոնցից յուրաքանչյուրում մասնաբաժինը կրճատվում է ակնհայտ ընդհանուր գործոնով։

Օրինակ 3. Կրճատի՛ր կոտորակը

Կրճատենք 2000 4400 կոտորակը։

Միանգամից պարզ է դառնում, որ համարիչն ու հայտարարն ունեն 100 ընդհանուր գործակից: Կոտորակը կրճատում ենք 100-ով և ստանում.

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Ստացված արդյունքը կրկին կրճատում ենք 2-ով և ստանում անկրճատելի կոտորակ.

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակները, նախ նայենք մի օրինակի:

Կոտորակը փոքրացնել նշանակում է համարիչն ու հայտարարը բաժանել նույն բանի վրա։ Ե՛վ 360, և՛ 420-ը վերջանում են թվանշանով, ուստի մենք կարող ենք այս կոտորակը փոքրացնել 2-ով: Նոր կոտորակի դեպքում և՛ 180-ը, և՛ 210-ը նույնպես բաժանվում են 2-ի, ուստի այս կոտորակը կրճատում ենք 2-ով: 90 և 105 թվերում գումարը թվանշանները բաժանվում են 3-ի, հետևաբար այս երկու թվերն էլ բաժանվում են 3-ի, մենք կոտորակը փոքրացնում ենք 3-ով: Նոր կոտորակի դեպքում 30-ը և 35-ը ավարտվում են 0-ով և 5-ով, ինչը նշանակում է, որ երկու թվերն էլ բաժանվում են 5-ի, ուստի մենք կրճատում ենք: կոտորակը 5-ով. Ստացված վեց յոթերորդ կոտորակն անկրճատելի է։ Սա վերջնական պատասխանն է։

Նույն պատասխանին կարող ենք հանգել այլ կերպ։

Ե՛վ 360, և՛ 420-ն ավարտվում են զրոյով, ինչը նշանակում է, որ դրանք բաժանվում են 10-ի: Մենք կոտորակը փոքրացնում ենք 10-ով: Հաջորդ կոտորակը և՛ 18-ը, և՛ հայտարարը 21-ը բաժանվում են 3-ի, ինչը նշանակում է, որ մենք կրճատում ենք կոտորակը 3-ով: Մենք եկանք արդյունքի՝ վեց յոթերորդ:

Եվ ևս մեկ լուծում.

Հաջորդ անգամ մենք կանդրադառնանք կոտորակների կրճատման օրինակներին:

Առցանց հաշվիչը գործում է կրճատում հանրահաշվական կոտորակներ Կոտորակների կրճատման կանոնի համաձայն՝ սկզբնական կոտորակը փոխարինել հավասար կոտորակով, բայց ավելի փոքր համարիչով և հայտարարով, այսինքն. Կոտորակի համարիչի և հայտարարի միաժամանակ բաժանումը նրանց ընդհանուր մեծագույն ընդհանուր գործակցի վրա (GCD): Հաշվիչը ցուցադրում է նաև մանրամասն լուծում, որը կօգնի ձեզ հասկանալ կրճատման հաջորդականությունը:

Տրված է.

Լուծում:

Կոտորակի կրճատման կատարում

ստուգելով հանրահաշվական կոտորակի կրճատման հնարավորությունը

1) կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեծագույն ընդհանուր բաժանարարի (GCD) որոշումը.

Հանրահաշվական կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի (GCD) որոշումը

2) կոտորակի համարիչի և հայտարարի կրճատում

փոքրացնելով հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը

3) Կոտորակի ամբողջ մասի ընտրություն

բաժանելով հանրահաշվական կոտորակի ամբողջ մասը

4) Հանրահաշվական կոտորակի վերածումը տասնորդական կոտորակի

հանրահաշվական կոտորակը վերածելով տասնորդական

Օգնեք նախագծի կայք մշակելու համար

Կայքի հարգելի այցելու.
Եթե ​​չկարողացաք գտնել այն, ինչ փնտրում էիք, ապա անպայման գրեք դրա մասին մեկնաբանություններում, այն, ինչ ներկայումս բացակայում է կայքում։ Սա կօգնի մեզ հասկանալ, թե որ ուղղությամբ պետք է առաջ շարժվենք, իսկ մյուս այցելուները շուտով կկարողանան ստանալ անհրաժեշտ նյութը։
Եթե ​​պարզվեց, որ կայքը օգտակար է ձեզ համար, նվիրեք կայքը նախագծին ընդամենը 2 ₽և մենք կիմանանք, որ շարժվում ենք ճիշտ ուղղությամբ:

Շնորհակալություն կանգնելու համար:

I. Առցանց հաշվիչի միջոցով հանրահաշվական կոտորակի կրճատման կարգը.

1. Հանրահաշվական կոտորակը նվազեցնելու համար համապատասխան դաշտերում մուտքագրեք կոտորակի համարիչի և հայտարարի արժեքները: Եթե ​​կոտորակը խառնված է, ապա լրացրե՛ք նաև կոտորակի ամբողջ մասին համապատասխան դաշտը։ Եթե ​​կոտորակը պարզ է, ապա թողեք ամբողջ մասի դաշտը դատարկ:
2. Բացասական կոտորակ նշելու համար կոտորակի ամբողջ մասի վրա դրեք մինուս նշան:
3. Կախված նշված հանրահաշվական կոտորակից, ավտոմատ կերպով կատարվում է գործողությունների հետևյալ հաջորդականությունը.

• Կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի (GCD) որոշումը;
• կոտորակի համարիչն ու հայտարարը փոքրացնելով gcd-ով;
• ընդգծելով կոտորակի ամբողջ մասը, եթե վերջնական կոտորակի համարիչը մեծ է հայտարարից։
• վերջնական հանրահաշվական կոտորակը վերածելով տասնորդական կոտորակիկլորացվում է մինչև հարյուրերորդականը:

II. Հղման համար:

Կոտորակը միավորի մեկ կամ մի քանի մասերից (կոտորակներից) բաղկացած թիվ է։ Ընդհանուր կոտորակ(պարզ կոտորակը) գրվում է որպես երկու թվեր (կոտորակի համարիչ և կոտորակի հայտարար), որոնք բաժանված են բաժանման նշանը ցույց տվող հորիզոնական տողով (կոտորակային տող): Կոտորակի համարիչը կոտորակի գծից վերեւ գտնվող թիվն է: Համարիչը ցույց է տալիս, թե քանի բաժնետոմս է վերցվել ամբողջից: Կոտորակի հայտարարը կոտորակի գծից ներքեւ գտնվող թիվն է: Հայտարարը ցույց է տալիս, թե քանի հավասար մասերի է բաժանված ամբողջը: Պարզ կոտորակը այն կոտորակն է, որը չունի ամբողջ մաս: Պարզ կոտորակը կարող է լինել պատշաճ կամ ոչ պատշաճ: պատշաճ կոտորակ - կոտորակ, որի համարիչն է պակաս է հայտարարից, ուստի ճիշտ կոտորակը միշտ մեկից փոքր է: Պատշաճ կոտորակների օրինակ՝ 8/7, 11/19, 16/17: Անպատշաճ կոտորակը այն կոտորակն է, որի համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին, ուստի անպատշաճ կոտորակը միշտ մեծ է կամ հավասար է մեկին: Անպատշաճ կոտորակների օրինակ՝ 7/6, 8/7, 13/13: խառը կոտորակը այն թիվն է, որը պարունակում է ամբողջ թիվ և պատշաճ կոտորակ և նշանակում է այդ ամբողջ թվի և պատշաճ կոտորակի գումարը: Ցանկացած խառը կոտորակ կարող է վերածվել ոչ պատշաճ կոտորակի պարզ կոտորակ. Օրինակ խառը կոտորակներ 1¼, 2½, 4¾:

III. Նշում:

1. Աղբյուրի տվյալների բլոկը ընդգծված է դեղին , միջանկյալ հաշվարկների բլոկը ընդգծված է կապույտով, լուծման բլոկը ընդգծված է կանաչով.
2. Ընդհանուր կամ խառը կոտորակները գումարելու, հանելու, բազմապատկելու և բաժանելու համար օգտագործեք առցանց կոտորակի հաշվիչմանրամասն լուծումով։

Շատ ուսանողներ նույն սխալներն են թույլ տալիս կոտորակների հետ աշխատելիս: Եվ բոլորը, քանի որ նրանք մոռանում են հիմնական կանոնները թվաբանություն. Այսօր մենք կկրկնենք այս կանոնները կոնկրետ առաջադրանքներորը ես տալիս եմ իմ դասերին։

Ահա այն առաջադրանքը, որը ես առաջարկում եմ բոլորին, ովքեր պատրաստվում են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը.

Առաջադրանք. Խոզապուխտը օրական ուտում է 150 գրամ կեր։ Բայց նա մեծացավ և սկսեց 20%-ով ավելի ուտել: Քանի՞ գրամ կեր է հիմա խոզն ուտում:

Ոչ ճիշտ լուծում. Սա տոկոսային խնդիր է, որը հանգում է հավասարմանը.

Շատերը (շատերը) կրճատում են 100 թիվը կոտորակի համարիչում և հայտարարում.

Սա այն սխալն է, որ թույլ տվեց իմ ուսանողը հենց այս հոդվածը գրելու օրը: Կարմիրով նշվում են կրճատված թվերը:

Ավելորդ է ասել, որ պատասխանը սխալ էր։ Դատեք ինքներդ՝ խոզը կերավ 150 գրամ, բայց սկսեց ուտել 3150 գրամ։ Աճը ոչ թե 20 տոկոս է, այլ 21 անգամ, այսինքն. 2000%-ով։

Նման թյուրիմացություններից խուսափելու համար հիշեք հիմնական կանոնը.

Միայն բազմապատկիչները կարող են կրճատվել: Պայմանները չեն կարող կրճատվել!

Այսպիսով, նախորդ խնդրի ճիշտ լուծումն ունի հետևյալ տեսքը.

Կարմիրով նշվում են այն թվերը, որոնք կրճատված են համարիչով և հայտարարով: Ինչպես տեսնում եք, համարիչը արտադրյալն է, հայտարարը՝ սովորական համարը. Հետեւաբար, կրճատումը լիովին օրինական է։

Համամասնությունների հետ աշխատելը

Մեկ այլ խնդրահարույց տարածք — համամասնությունները. Հատկապես, երբ փոփոխականը գտնվում է երկու կողմերում: Օրինակ:

Առաջադրանք. Լուծե՛ք հավասարումը.

Սխալ լուծում. որոշ մարդիկ բառացիորեն քորում են ամեն ինչ կրճատել մ.

Կրճատված փոփոխականները ցուցադրվում են կարմիրով: 1/4 = 1/5 արտահայտությունը լրիվ անհեթեթություն է ստացվում, այս թվերը երբեք հավասար չեն։

Իսկ հիմա՝ ճիշտ որոշում։ Ըստ էության, դա սովորական է գծային հավասարում . Այն կարող է լուծվել կամ բոլոր տարրերը մի կողմ տեղափոխելով, կամ համամասնության հիմնական հատկությամբ.

Շատ ընթերցողներ կառարկեն. «Ո՞ւր է սխալը առաջին լուծման մեջ»: Դե, եկեք պարզենք: Հիշենք հավասարումների հետ աշխատելու կանոնը.

Ցանկացած հավասարում կարելի է բաժանել և բազմապատկել ցանկացած թվով, ոչ զրոյական.

Դուք բաց թողե՞լ եք հնարքը: Դուք կարող եք բաժանել միայն թվերով ոչ զրոյական. Մասնավորապես, դուք կարող եք բաժանել m փոփոխականի միայն այն դեպքում, եթե m != 0: Բայց ի՞նչ, եթե m = 0: Եկեք փոխարինենք և ստուգենք.

Մենք ստացել ենք ճիշտ թվային հավասարություն, այսինքն. m = 0 հավասարման արմատն է: Մնացած m != 0-ի համար մենք ստանում ենք 1/4 = 1/5 ձևի արտահայտություն, որը բնականաբար սխալ է: Այսպիսով, չկան ոչ զրոյական արմատներ:

Եզրակացություններ. բոլորը միասին դնելով

Այսպիսով, լուծելու համար կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներհիշեք երեք կանոն.

1. Միայն բազմապատկիչները կարող են կրճատվել: Հավելումներ հնարավոր չեն։ Հետևաբար, սովորեք գործակցել համարիչը և հայտարարը;
2. Համամասնության հիմնական հատկությունը. ծայրահեղ տարրերի արտադրյալը հավասար է միջինների արտադրյալին.
3. Հավասարումները կարելի է բազմապատկել և բաժանել միայն զրոյից տարբեր k թվերով: k = 0 դեպքը պետք է ստուգվի առանձին:

Հիշեք այս կանոնները և մի սխալվեք։