Կոտորակների կրճատումն անհրաժեշտ է կոտորակը ավելի պարզ ձևի հասցնելու համար, օրինակ՝ արտահայտության լուծման արդյունքում ստացված պատասխանում։

Կոտորակների կրճատում, սահմանում և բանաձև:

Ի՞նչ է կրճատվող կոտորակները: Ի՞նչ է նշանակում կրճատել կոտորակը:

Սահմանում:
Նվազեցնող կոտորակներ- սա կոտորակի համարիչի և հայտարարի բաժանումն է նույն բանի դրական թիվհավասար չէ զրոյի և մեկին: Կրճատման արդյունքում ստացվում է ավելի փոքր համարիչ և հայտարար ունեցող կոտորակ՝ ըստ նախորդ կոտորակի հավասար.

Կոտորակների կրճատման բանաձևռացիոնալ թվերի հիմնական հատկությունները.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Դիտարկենք օրինակ.
Կրճատել կոտորակը \(\frac(9)(15)\)

Լուծում:
Մենք կարող ենք ընդլայնել կոտորակը հիմնական գործոններըև նվազեցնել ընդհանուր գործոնները:

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \անգամ 1=\frac(3)(5)\)

Պատասխան՝ կրճատումից հետո ստացանք \(\frac(3)(5)\) կոտորակը։ Ըստ ռացիոնալ թվերի հիմնական հատկության՝ սկզբնական և ստացված կոտորակները հավասար են։

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Ինչպե՞ս կրճատել կոտորակները: Կոտորակը հասցնելով իր անկրճատելի ձևին:

Արդյունքում անկրճատելի կոտորակ ստանալու համար մեզ անհրաժեշտ է գտնել ամենամեծը ընդհանուր բաժանարար(ՆՈԴ)կոտորակի համարիչի և հայտարարի համար.

Գոյություն ունեն GCD-ն գտնելու մի քանի եղանակ, օրինակ, մենք կօգտագործենք թվերի տարրալուծումը պարզ գործակիցների.

Ստացեք անկրճատելի կոտորակը \(\frac(48)(136)\):

Լուծում:
Գտնենք GCD(48, 136): 48 և 136 թվերը գրենք պարզ գործակիցների մեջ։
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(կարմիր) (2 \ անգամ 2 \ անգամ 2) \անգամ 2 \ անգամ 3) (\color(կարմիր) (2 \ անգամ 2 \ անգամ 2) \ անգամ 17)=\frac(\color(կարմիր) (6) \անգամ 2 \անգամ 3)(\color(կարմիր) (6) \time 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ ֆրակ(6)(17)\)

Կոտորակը անկրճատելի ձևի վերածելու կանոն.

1. Պետք է գտնել համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:
2. Անհրաժեշտ է համարիչը և հայտարարը բաժանել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա՝ բաժանման արդյունքում անկրճատելի կոտորակ ստանալու համար։

Օրինակ՝
Կրճատել կոտորակը \(\frac(152)(168)\):

Լուծում:
Գտնենք GCD(152, 168): 152 և 168 թվերը գրենք պարզ գործակիցների մեջ։
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(\color(red)(21)\)

Պատասխան՝ \(\frac(19)(21)\) անկրճատելի կոտորակ է:

Անպատշաճ կոտորակների կրճատում:

Ինչպե՞ս նվազեցնել ոչ պատշաճ կոտորակը:
Կոտորակների կրճատման կանոնները նույնն են պատշաճ և ոչ պատշաճ կոտորակների համար:

Դիտարկենք օրինակ.
Կրճատել ոչ պատշաճ կոտորակը \(\frac(44)(32)\):

Լուծում:
Գրենք համարիչն ու հայտարարը պարզ գործակիցների մեջ։ Եվ հետո մենք կնվազեցնենք ընդհանուր գործոնները:

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(կարմիր) (2 \ անգամ 2) \անգամ 11)(\color(կարմիր) (2 \ անգամ 2) \անգամ 2 \ անգամ 2 \ անգամ 2 անգամ )=\frac(11)(2 \անգամ 2 \անգամ 2)=\frac(11)(8)\)

Խառը ֆրակցիաների կրճատում:

Խառը կոտորակները հետևում են նույն կանոններին, ինչ սովորական կոտորակները: Միակ տարբերությունն այն է, որ մենք կարող ենք մի դիպչեք ամբողջ մասին, այլ փոքրացրեք կոտորակային մասըկամ Խառը կոտորակը դարձրեք ոչ պատշաճ կոտորակի, փոքրացրեք այն և դարձրեք այն պատշաճ կոտորակի:

Դիտարկենք օրինակ.
Չեղարկել խառը կոտորակը \(2\frac(30)(45)\):

Լուծում:
Եկեք լուծենք այն երկու եղանակով.
Առաջին ճանապարհը.
Եկեք կոտորակային մասը գրենք պարզ գործակիցներով, բայց ամբողջ մասին չենք դիպչի։

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ անգամ \գույն (կարմիր) (5 \անգամ 3))(3 \անգամ \գույն (կարմիր) (5 \անգամ 3))=2\ ֆրակ (2) (3)\)

Երկրորդ ճանապարհը.
Նախ փոխարկենք այն ոչ պատշաճ կոտորակի, իսկ հետո գրենք պարզ գործակիցների և փոքրացնենք: Ստացված ոչ պատշաճ կոտորակը վերածենք պատշաճ կոտորակի։

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \անգամ 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \ անգամ \գույն (կարմիր) (5 \անգամ 3) \անգամ 2 \անգամ 2)(3 \անգամ \գույն(կարմիր) (3 \անգամ 5))=\frac(2 \անգամ 2 \անգամ 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Առնչվող հարցեր.
Կարո՞ղ եք կրճատել կոտորակները գումարել կամ հանելիս:
Պատասխան՝ ոչ, նախ պետք է կանոնների համաձայն կոտորակներ գումարել կամ հանել, հետո միայն կրճատել։ Դիտարկենք օրինակ.

Գնահատեք \(\frac(50+20-10)(20)\) արտահայտությունը:

Լուծում:
Նրանք հաճախ սխալվում են՝ կրճատելով նույն թվերը համարիչի և հայտարարի մեջ, մեր դեպքում՝ 20 թիվը, բայց դրանք չեն կարող կրճատվել, քանի դեռ չեք ավարտել գումարումն ու հանումը։

\(\frac(50+\color(կարմիր) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Ի՞նչ թվերով կարող եք կրճատել կոտորակը:
Պատասխան. Դուք կարող եք կոտորակը փոքրացնել ամենամեծ ընդհանուր գործակցով կամ համարիչի և հայտարարի ընդհանուր բաժանարարով: Օրինակ, կոտորակը \(\frac(100)(150)\):

100 և 150 թվերը գրենք պարզ գործակիցների մեջ։
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը կլինի gcd թիվը (100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ անգամ 50)(3 \ անգամ 50)=\frac(2)(3)\)

Ստացանք անկրճատելի կոտորակը \(\frac(2)(3)\):

Բայց միշտ չէ, որ պետք է բաժանել gcd-ով. Օրինակ՝ 100 և 150 թիվը ունեն 2-ի ընդհանուր բաժանարար, \(\frac(100)(150)\) կոտորակը փոքրացնենք 2-ով։

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \ անգամ 50)(2 \անգամ 75)=\frac(50)(75)\)

Ստացանք կրճատվող կոտորակը \(\frac(50)(75)\):

Ո՞ր կոտորակները կարելի է կրճատել:
Պատասխան. Դուք կարող եք կրճատել այն կոտորակները, որոնցում համարիչն ու հայտարարն ունեն ընդհանուր բաժանարար: Օրինակ, կոտորակը \(\frac(4)(8)\): 4-ը և 8-ը ունեն մի թիվ, որով նրանք երկուսն էլ բաժանվում են՝ թիվը 2։ Հետևաբար, նման կոտորակը կարող է կրճատվել 2 թվով։

Օրինակ՝
Համեմատեք երկու կոտորակները \(\frac(2)(3)\) և \(\frac(8)(12)\):

Այս երկու կոտորակները հավասար են։ Եկեք մանրամասն նայենք \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \անգամ 1=\frac(2)(3)\)

Այստեղից մենք ստանում ենք \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Երկու կոտորակները հավասար են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ դրանցից մեկը ստացվում է մյուս կոտորակը համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակցով փոքրացնելով:

Օրինակ՝
Հնարավորության դեպքում կրճատեք հետևյալ կոտորակները. ա) \(\frac(90)(65)\) բ) \(\frac(27)(63)\) գ) \(\frac(17)(100)\) դ) \(\frac(100)(250)\)

Լուծում:
ա) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \անգամ 3 \անգամ 3)(13)=\frac(18)(13)\)
բ) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(կարմիր) (3 \ անգամ 3) \ անգամ 3)(\color(կարմիր) (3 \ անգամ 3) \անգամ 7)=\frac (3) (7)\)
գ) \(\frac(17)(100)\) անկրճատելի կոտորակ
դ) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(կարմիր) (2 \ անգամ 5 \ անգամ 5) \ անգամ 2) (\color(կարմիր) (2 \ անգամ 5 \ անգամ 5) \ անգամ 5)=\frac(2)(5)\)

Չիմանալով, թե ինչպես կրճատել կոտորակը և չունենալով լուծելու հետևողական հմտություն նմանատիպ օրինակներԴպրոցում հանրահաշիվ սովորելը շատ դժվար է։ Որքան առաջ եք գնում, այնքան դա խանգարում է կոտորակների կրճատման ձեր հիմնական գիտելիքներին: նոր տեղեկություններ. Սկզբում հայտնվում են ուժեր, հետո գործոններ, որոնք հետագայում դառնում են բազմանդամներ։

Ինչպե՞ս կարող եք խուսափել այստեղ շփոթվելուց: Մանրակրկիտ համախմբեք նախորդ թեմաների հմտությունները և աստիճանաբար պատրաստվեք գիտելիքին, թե ինչպես նվազեցնել կոտորակը, որը տարեցտարի ավելի բարդ է դառնում:

Հիմնական գիտելիքներ

Առանց նրանց դուք չեք կարողանա գլուխ հանել որևէ մակարդակի առաջադրանքներից։ Հասկանալու համար պետք է հասկանալ երկու բան պարզ պահեր. Առաջին. դուք կարող եք միայն նվազեցնել գործոնները: Այս նրբերանգը շատ կարևոր է դառնում, երբ բազմանդամները հայտնվում են համարիչում կամ հայտարարում։ Այնուհետև պետք է հստակ տարբերակել, թե որտեղ է բազմապատկիչը և որտեղ է հավելումը:

Երկրորդ կետն ասում է, որ ցանկացած թիվ կարելի է ներկայացնել գործոնների տեսքով։ Ընդ որում, կրճատման արդյունքը կոտորակն է, որի համարիչն ու հայտարարն այլևս չեն կարող կրճատվել։

Ընդհանուր կոտորակների կրճատման կանոններ

Նախ պետք է ստուգել՝ արդյոք համարիչը բաժանվում է հայտարարի վրա, թե հակառակը։ Հետո հենց այս թիվն է, որ պետք է կրճատվի։ Սա ամենապարզ տարբերակն է։

Երկրորդը վերլուծությունն է տեսքըթվեր։ Եթե ​​երկուսն էլ ավարտվում են մեկ կամ մի քանի զրոյով, ապա դրանք կարող են կրճատվել 10-ով, 100-ով կամ հազարով: Այստեղ դուք կարող եք նկատել, թե արդյոք թվերը զույգ են։ Եթե ​​այո, ապա դուք կարող եք ապահով կերպով կրճատել այն երկուով:

Կոտորակի կրճատման երրորդ կանոնը համարիչն ու հայտարարը պարզ գործոնների վերածելն է: Այս պահին դուք պետք է ակտիվորեն օգտագործեք ձեր բոլոր գիտելիքները թվերի բաժանելիության նշանների մասին: Այս տարրալուծումից հետո մնում է գտնել բոլոր կրկնվողները, բազմապատկել և կրճատել ստացված թվով։

Իսկ եթե կոտորակի մեջ հանրահաշվական արտահայտություն կա:

Հենց այստեղ են ի հայտ գալիս առաջին դժվարությունները։ Քանի որ այստեղ հայտնվում են տերմիններ, որոնք կարող են նույնական լինել գործոններին: Ես իսկապես ուզում եմ նվազեցնել դրանք, բայց չեմ կարող: Նախքան հանրահաշվական կոտորակը կրճատելը, այն պետք է փոխակերպվի այնպես, որ այն ունենա գործակիցներ:

Դա անելու համար ձեզ հարկավոր է մի քանի քայլ կատարել. Հնարավոր է, որ ձեզ անհրաժեշտ լինի անցնել բոլորի միջով, կամ գուցե առաջինը համապատասխան տարբերակ տա:

Ստուգեք՝ արդյոք համարիչն ու հայտարարը կամ դրանցում եղած որևէ արտահայտություն տարբերվում են ըստ նշանի։ Այս դեպքում պարզապես անհրաժեշտ է փակագծերից դուրս դնել մինուս մեկը: Սա առաջացնում է հավասար գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել:

Տեսեք՝ հնարավո՞ր է փակագծերից դուրս հանել ընդհանուր գործակիցը բազմանդամից: Միգուցե դա կհանգեցնի փակագծերի, որը նույնպես կարող է կրճատվել, կամ դա կլինի հեռացված միանուն:

Փորձեք խմբավորել միանունները, որպեսզի այնուհետև ավելացնեք ընդհանուր գործոնը: Սրանից հետո կարող է պարզվել, որ կլինեն գործոններ, որոնք կարող են կրճատվել, կամ ընդհանուր տարրերի փակագծումը կարող է նորից կրկնվել։

Փորձեք գրավոր դիտարկել կրճատված բազմապատկման բանաձևերը: Նրանց օգնությամբ դուք հեշտությամբ կարող եք բազմանդամները վերածել գործոնների:

Հզորությամբ կոտորակների հետ գործողությունների հաջորդականությունը

Որպեսզի հեշտությամբ հասկանաք այն հարցը, թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակը հզորությամբ, դուք պետք է ամուր հիշեք դրանց հետ կապված հիմնական գործողությունները: Դրանցից առաջինը կապված է ուժերի բազմապատկման հետ։ Այս դեպքում, եթե հիմքերը նույնն են, ցուցանիշները պետք է ավելացվեն:

Երկրորդը բաժանումն է. Կրկին, նրանց համար, ովքեր ունեն նույն պատճառները, ցուցանիշները պետք է հանվեն: Ընդ որում, պետք է հանել այն թվից, որը կա դիվիդենտում, և ոչ հակառակը։

Երրորդը հզորացումն է: Այս իրավիճակում ցուցանիշները բազմապատկվում են։

Հաջող կրճատումը կպահանջի նաև լիազորությունները հավասար հիմքերի իջեցնելու ունակություն: Այսինքն՝ տեսնել, որ չորսը երկու քառակուսի է։ Կամ 27 - երեքի խորանարդը: Քանի որ 9 քառակուսի և 3 խորանարդ կրճատելը դժվար է: Բայց եթե առաջին արտահայտությունը փոխակերպենք որպես (3 2) 2, ապա կրճատումը հաջող կլինի:

Առցանց հաշվիչը գործում է հանրահաշվական կոտորակների կրճատումԿոտորակների կրճատման կանոնի համաձայն՝ սկզբնական կոտորակը փոխարինել հավասար կոտորակով, բայց ավելի փոքր համարիչով և հայտարարով, այսինքն. Կոտորակի համարիչի և հայտարարի միաժամանակ բաժանումը նրանց ընդհանուր մեծագույն ընդհանուր գործակցի վրա (GCD): Հաշվիչը ցուցադրում է նաև մանրամասն լուծում, որը կօգնի ձեզ հասկանալ կրճատման հաջորդականությունը:

Տրված է.

Լուծում:

Կոտորակի կրճատման կատարում

ստուգելով հանրահաշվական կոտորակի կրճատման հնարավորությունը

1) կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեծագույն ընդհանուր բաժանարարի (GCD) որոշումը.

Հանրահաշվական կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի (GCD) որոշումը

2) կոտորակի համարիչի և հայտարարի կրճատում

փոքրացնելով հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը

3) Կոտորակի ամբողջ մասի ընտրություն

բաժանելով հանրահաշվական կոտորակի ամբողջ մասը

4) Հանրահաշվական կոտորակի վերածումը տասնորդական կոտորակի

հանրահաշվական կոտորակը վերածելով տասնորդական

Օգնեք նախագծի կայք մշակելու համար

Կայքի հարգելի այցելու.
Եթե ​​չկարողացաք գտնել այն, ինչ փնտրում էիք, անպայման գրեք դրա մասին մեկնաբանություններում, այն, ինչ ներկայումս բացակայում է կայքում։ Սա կօգնի մեզ հասկանալ, թե որ ուղղությամբ պետք է առաջ շարժվենք, իսկ մյուս այցելուները շուտով կկարողանան ստանալ անհրաժեշտ նյութը։
Եթե ​​պարզվեց, որ կայքը օգտակար է ձեզ համար, նվիրեք կայքը նախագծին ընդամենը 2 ₽և մենք կիմանանք, որ շարժվում ենք ճիշտ ուղղությամբ:

Շնորհակալություն կանգնելու համար:

I. Առցանց հաշվիչի միջոցով հանրահաշվական կոտորակի կրճատման կարգը.

1. Հանրահաշվական կոտորակը նվազեցնելու համար համապատասխան դաշտերում մուտքագրեք կոտորակի համարիչի և հայտարարի արժեքները: Եթե ​​կոտորակը խառնված է, ապա լրացրե՛ք նաև կոտորակի ամբողջ մասին համապատասխան դաշտը։ Եթե ​​կոտորակը պարզ է, ապա թողեք ամբողջ մասի դաշտը դատարկ:
2. Բացասական կոտորակ նշելու համար կոտորակի ամբողջ մասի վրա դրեք մինուս նշան:
3. Կախված նշված հանրահաշվական կոտորակից, ավտոմատ կերպով կատարվում է գործողությունների հետևյալ հաջորդականությունը.

• Կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի (GCD) որոշումը;
• կոտորակի համարիչն ու հայտարարը փոքրացնելով gcd-ով;
• ընդգծելով կոտորակի ամբողջ մասը, եթե վերջնական կոտորակի համարիչը մեծ է հայտարարից։
• վերջնական հանրահաշվական կոտորակը վերածելով տասնորդական կոտորակիկլորացվում է մինչև հարյուրերորդականը:

II. Հղման համար.

Կոտորակը միավորի մեկ կամ մի քանի մասերից (կոտորակներից) բաղկացած թիվ է։ Ընդհանուր կոտորակ(պարզ կոտորակը) գրվում է որպես երկու թվեր (կոտորակի համարիչ և կոտորակի հայտարար), որոնք բաժանված են բաժանման նշանը ցույց տվող հորիզոնական տողով (կոտորակային տող): Կոտորակի համարիչը կոտորակի գծից վերեւ գտնվող թիվն է: Համարիչը ցույց է տալիս, թե քանի բաժնետոմս է վերցվել ամբողջից:, ուստի ճիշտ կոտորակը միշտ մեկից փոքր է: Պատշաճ կոտորակների օրինակ՝ 8/7, 11/19, 16/17:

Անպատշաճ կոտորակը այն կոտորակն է, որի համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին, ուստի անպատշաճ կոտորակը միշտ մեծ է կամ հավասար է մեկին: Անպատշաճ կոտորակների օրինակ՝ 7/6, 8/7, 13/13:

1. խառը կոտորակը այն թիվն է, որը պարունակում է ամբողջ թիվ և պատշաճ կոտորակ և նշանակում է այդ ամբողջ թվի և պատշաճ կոտորակի գումարը: Ցանկացած խառը կոտորակ կարող է վերածվել ոչ պատշաճ կոտորակի: Խառը կոտորակների օրինակ՝ 1¼, 2½, 4¾: III. Նշում. , Աղբյուրի տվյալների բլոկը ընդգծված է, դեղին.
2. միջանկյալ հաշվարկների բլոկը ընդգծված է կապույտով

լուծման բլոկը ընդգծված է կանաչով Ընդհանուր կամ խառը կոտորակները գումարելու, հանելու, բազմապատկելու և բաժանելու համար օգտագործեք կոտորակների առցանց հաշվիչը մանրամասն լուծումներով:Անցյալ անգամ մենք պլան կազմեցինք, որից հետո դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես արագ կրճատել կոտորակները: Հիմա դիտարկենք

կոնկրետ օրինակներ

կոտորակների կրճատում.

Օրինակներ.

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք մեծ թիվը բաժանվում է փոքր թվի վրա (համարիչ առ հայտարար, թե հայտարար առ համար): Այո, այս երեք օրինակներում էլ ավելի մեծ թիվը բաժանվում է փոքր թվի: Այսպիսով, յուրաքանչյուր կոտորակ փոքրացնում ենք թվերից փոքրով (համարով կամ հայտարարով): Մենք ունենք.

Եկեք ստուգենք, արդյոք մեծ թիվը բաժանվում է փոքր թվի վրա: Չէ, չի կիսում:

Այնուհետև անցնում ենք հաջորդ կետի ստուգմանը` և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի մուտքն ավարտվում է մեկ, երկու կամ ավելի զրոյով: Առաջին օրինակում համարիչն ու հայտարարը վերջանում են զրոյով, երկրորդում՝ երկու զրո, երրորդում՝ երեք զրո։ Սա նշանակում է, որ առաջին կոտորակը կրճատում ենք 10-ով, երկրորդը՝ 100-ով, իսկ երրորդը՝ 1000-ով.

Ստացանք անկրճատելի կոտորակներ։

Ավելի մեծ թիվը չի կարելի բաժանել փոքր թվի, իսկ թվերը չեն ավարտվում զրոներով։

Հիմա եկեք ստուգենք, թե արդյոք համարիչն ու հայտարարը բազմապատկման աղյուսակի նույն սյունակում են: 36-ը և 81-ը երկուսն էլ բաժանվում են 9-ի, 28-ը և 63-ը բաժանվում են 7-ի, իսկ 32-ը և 40-ը բաժանվում են 8-ի (նրանք նույնպես բաժանվում են 4-ի, բայց եթե ընտրություն լինի, մենք միշտ կնվազեցնենք ավելի մեծով): Այսպիսով, մենք գալիս ենք պատասխաններին.

Ստացված բոլոր թվերն անկրճատելի կոտորակներ են։

Ավելի մեծ թիվը չի կարելի բաժանել փոքր թվի: Բայց և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի գրառումն ավարտվում է զրոյով։ Այսպիսով, մենք կրճատում ենք կոտորակը 10-ով.

Այս մասնաբաժինը դեռ կարող է կրճատվել: Մենք ստուգում ենք բազմապատկման աղյուսակը՝ և՛ 48-ը, և՛ 72-ը բաժանվում են 8-ի: Կոտորակը փոքրացնում ենք 8-ով.

Մեծ թիվը չի բաժանվում փոքր թվի վրա։ Համարիչն ու հայտարարը վերջանում են զրոյով: Սա նշանակում է, որ մենք կրճատում ենք կոտորակը 10-ով:

Ստուգում ենք համարիչով և հայտարարով ստացված թվերը և. Քանի որ և՛ 27, և՛ 531 թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի և 9-ի, այս կոտորակը կարող է կրճատվել կամ 3-ով կամ 9-ով: Ընտրում ենք ավելի մեծը և փոքրացնում 9-ով:

Առաջին հայացքից հանրահաշվական կոտորակները շատ բարդ են թվում, և անպատրաստ ուսանողը կարող է մտածել, որ դրանցով ոչինչ հնարավոր չէ անել: Փոփոխականների, թվերի և նույնիսկ աստիճանների խառնաշփոթը վախ է առաջացնում: Այնուամենայնիվ, նույն կանոններն օգտագործվում են սովորական (օրինակ՝ 15/25) և հանրահաշվական կոտորակները կրճատելու համար։

Քայլեր

Նվազեցնող կոտորակներ

Ստուգեք գործողությունները պարզ կոտորակներ. Սովորական և հանրահաշվական կոտորակներով գործողությունները նման են։ Օրինակ՝ վերցնենք 15/35 կոտորակը։ Այս կոտորակը պարզեցնելու համար պետք է գտնել ընդհանուր բաժանարար. Երկու թվերն էլ բաժանվում են հինգի, ուստի մենք կարող ենք 5-ը առանձնացնել համարիչում և հայտարարում.

Այժմ դուք կարող եք նվազեցնել ընդհանուր գործոնները, այսինքն՝ համարիչի և հայտարարի մեջ 5 հատ հատիր։ Արդյունքում ստանում ենք պարզեցված կոտորակը 3/7 . IN հանրահաշվական արտահայտություններընդհանուր գործոնները բաշխվում են այնպես, ինչպես սովորականները: Նախորդ օրինակում մենք կարողացանք հեշտությամբ մեկուսացնել 5-ը 15-ից. նույն սկզբունքը վերաբերում է ավելի բարդ արտահայտություններին, ինչպիսիք են 15x – 5: Եկեք գտնենք ընդհանուր գործակիցը: IN այս դեպքումսա կլինի 5, քանի որ երկու անդամներն էլ (15x և -5) բաժանվում են 5-ի: Ինչպես նախկինում, մեկուսացրեք ընդհանուր գործակիցը և տեղափոխեք այն: ձախ.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Ստուգելու համար, թե արդյոք ամեն ինչ ճիշտ է, պարզապես փակագծերի արտահայտությունը բազմապատկեք 5-ով, արդյունքը կլինի նույն թվերը, ինչ սկզբում: Կոմպլեքս անդամները կարող են մեկուսացվել այնպես, ինչպես պարզները: Հանրահաշվական կոտորակների նկատմամբ կիրառվում են նույն սկզբունքները, ինչ սովորականների դեպքում։ Սա կոտորակի կրճատման ամենահեշտ ձևն է: Դիտարկենք հետևյալ կոտորակը.

Նկատի ունեցեք, որ և՛ համարիչը (վերևում), և՛ հայտարարը (ներքևում) պարունակում են անդամ (x+2), ուստի այն կարող է կրճատվել այնպես, ինչպես ընդհանուր գործակիցը 5-ը 15/35 կոտորակի մեջ.

Արդյունքում մենք ստանում ենք պարզեցված արտահայտություն՝ (x-3)/(x+10)

Հանրահաշվական կոտորակների կրճատում

Գտե՛ք ընդհանուր գործակիցը համարիչում, այսինքն՝ կոտորակի վերևում: Հանրահաշվական կոտորակը կրճատելիս առաջին քայլը երկու կողմերն էլ պարզեցնելն է: Սկսեք համարիչից և փորձեք այն չափել հնարավորինս շատ գործոնների մեջ: Դիտարկենք այս բաժնում հետևյալ կոտորակը.

Սկսենք համարիչից՝ 9x – 3: 9x-ի և -3-ի համար ընդհանուր գործակիցը 3 թիվն է: Փակագծերից հանենք 3-ը, ինչպես դա արվում է սովորական թվերի դեպքում՝ 3 * (3x-1): Այս փոխակերպման արդյունքը հետևյալ կոտորակն է.

Գտեք համարիչի ընդհանուր գործակիցը: Շարունակենք վերը նշված օրինակով և գրենք հայտարարը՝ 15x+6: Ինչպես նախկինում, եկեք պարզենք, թե ինչ թվի են բաժանվում երկու մասերը։ Եվ այս դեպքում ընդհանուր գործակիցը 3-ն է, ուստի կարող ենք գրել՝ 3 * (5x +2): Վերաշարադրենք կոտորակը հետևյալ ձևով.

Կրճատել նույն տերմինները: Այս քայլով դուք կարող եք պարզեցնել կոտորակը: Չեղարկել համարիչի և հայտարարի նույն անդամները: Մեր օրինակում այս թիվը 3 է:

Որոշեք, որ կոտորակն ունի ամենապարզ ձևը. Կոտորակը լիովին պարզեցվում է, երբ համարիչում և հայտարարում ընդհանուր գործակիցներ չեն մնում։ Նկատի ունեցեք, որ դուք չեք կարող չեղարկել փակագծերում հայտնված տերմինները. վերևի օրինակում x-ը 3x-ից և 5x-ից առանձնացնելու միջոց չկա, քանի որ ամբողջական տերմիններն են (3x -1) և (5x + 2): Այսպիսով, կոտորակը չի կարող ավելի պարզեցնել, և վերջնական պատասխանը հետևյալն է.

Ինքնուրույն պրակտիկա փոքրացնելով կոտորակները: Լավագույն միջոցըսովորել մեթոդն է անկախ որոշումառաջադրանքներ. Ճիշտ պատասխանները տրված են օրինակների տակ:

Պատասխան.(x=13)

Պատասխան.(2x-1)/5

Հատուկ շարժումներ

Դուրս հանեք բացասական նշանկոտորակից դուրս։ Ենթադրենք ձեզ տրված է հետևյալ կոտորակը.

Ուշադրություն դարձրեք, որ (x-4) և (4-x) «գրեթե» նույնական են, բայց դրանք չեն կարող անմիջապես կրճատվել, քանի որ դրանք «շրջված են»: Այնուամենայնիվ, (x - 4) կարող է գրվել որպես -1 * (4 - x), ճիշտ այնպես, ինչպես (4 + 2x) կարող է գրվել որպես 2 * (2 + x): Սա կոչվում է «նշանի հակադարձում»:

Այժմ դուք կարող եք կրճատել նույնական տերմինները (4-x):

Այսպիսով, մենք ստանում ենք վերջնական պատասխանը. -3/5 . Սովորեք ճանաչել քառակուսիների միջև եղած տարբերությունը: Քառակուսիների տարբերությունն այն է, երբ մի թվի քառակուսին հանվում է մեկ այլ թվի քառակուսուց, ինչպես արտահայտության մեջ (a 2 - b 2): Կատարյալ քառակուսիների տարբերությունը միշտ կարելի է բաժանել երկու մասի՝ համապատասխանի գումարի և տարբերության քառակուսի արմատներ. Այնուհետև արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

A 2 - b 2 = (a+b) (a-b)

Այս տեխնիկան շատ օգտակար է հանրահաշվական կոտորակներում ընդհանուր տերմիններ գտնելիս:

• Ստուգեք՝ արդյոք ճիշտ եք հաշվի առել այս կամ այն ​​արտահայտությունը։ Դա անելու համար բազմապատկեք գործոնները. արդյունքը պետք է լինի նույն արտահայտությունը:
• Կոտորակն ամբողջությամբ պարզեցնելու համար միշտ առանձնացրեք ամենամեծ գործոնները: