Ի. Այն արտահայտությունները, որոնցում թվերը, թվաբանական նշանները և փակագծերը կարող են օգտագործվել տառերի հետ միասին, կոչվում են հանրահաշվական արտահայտություններ։

Հանրահաշվական արտահայտությունների օրինակներ.

2m -n; 3 · (2a + b); 0,24x; 0.3a -b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Քանի որ հանրահաշվական արտահայտության տառը կարող է փոխարինվել որոշ տարբեր թվերով, տառը կոչվում է փոփոխական, իսկ հանրահաշվական արտահայտությունն ինքնին կոչվում է փոփոխականով արտահայտություն:

II. Եթե ​​հանրահաշվական արտահայտության մեջ տառերը (փոփոխականները) փոխարինվում են իրենց արժեքներով և կատարվում են նշված գործողությունները, ապա ստացված թիվը կոչվում է հանրահաշվական արտահայտության արժեք:

Օրինակներ.

Գտեք արտահայտության իմաստը.

1) a + 2b -c a = -2-ով; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |ը| -|զ| ժամը x = -8; y = -5; z = 6..

Լուծում

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

1) a + 2b -c a = -2-ով; b = 10; c = -3,5. Փոփոխականների փոխարեն փոխարինենք դրանց արժեքները։ Մենք ստանում ենք. 2) |x| + |ը| -|զ| ժամը x = -8; y = -5; z = 6. Փոխարինեք նշված արժեքները: Հիշեք, որ մոդուլըբացասական թիվ հավասար է իր հակառակ թվին, իսկ մոդուլըդրական թիվ

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

հավասար է հենց այս թվին: Մենք ստանում ենք. III.

Տառի (փոփոխականի) արժեքները, որոնց համար իմաստ ունի հանրահաշվական արտահայտությունը, կոչվում են տառի թույլատրելի արժեքներ (փոփոխական):

Օրինակներ.Մենք գիտենք, որ դուք չեք կարող բաժանել զրոյի, հետևաբար, այս արտահայտություններից յուրաքանչյուրը իմաստ չի ունենա՝ հաշվի առնելով այն տառի (փոփոխականի) արժեքը, որը կոտորակի հայտարարը դարձնում է զրո:

Օրինակ 1-ում այս արժեքը a = 0 է: Իրոք, եթե փոխարինեք 0-ը a-ի փոխարեն, ապա ձեզ հարկավոր կլինի 6 թիվը բաժանել 0-ի, բայց դա հնարավոր չէ անել: Պատասխան՝ 1) արտահայտությունը իմաստ չունի, երբ a = 0:

Օրինակ 2) x-ի հայտարարը 4 = 0 է x = 4-ում, հետևաբար, x = 4 այս արժեքը չի կարող ընդունվել: Պատասխան՝ 2) արտահայտությունը իմաստ չունի, երբ x = 4:

Օրինակ 3) հայտարարը x + 2 = 0 է, երբ x = -2: Պատասխան՝ 3) արտահայտությունը իմաստ չունի, երբ x = -2:

Օրինակ 4-ում հայտարարը 5 է -|x| = 0 |x|-ի համար = 5. Եվ քանի որ |5| = 5 և |-5| = 5, ապա դուք չեք կարող վերցնել x = 5 և x = -5: Պատասխան. 4) արտահայտությունը իմաստ չունի x = -5 և x = 5-ում:
IV. Երկու արտահայտություններ համարվում են նույնական հավասար, եթե փոփոխականների ցանկացած թույլատրելի արժեքի դեպքում այդ արտահայտությունների համապատասխան արժեքները հավասար են:

Օրինակ՝ 5 (a – b) և 5a – 5b-ը նույնպես հավասար են, քանի որ 5 (a – b) = 5a – 5b հավասարությունը ճիշտ կլինի a և b-ի ցանկացած արժեքի համար: 5 (a – b) = 5a – 5b հավասարությունը ինքնություն է:

Ինքնություն հավասարություն է, որը վավեր է դրանում ներառված փոփոխականների բոլոր թույլատրելի արժեքների համար: Ձեզ արդեն հայտնի նույնականությունների օրինակներ են, օրինակ, գումարման և բազմապատկման հատկությունները և բաշխիչ հատկությունը:

Մեկ արտահայտությունը մեկ այլ նույնական հավասար արտահայտությամբ փոխարինելը կոչվում է ինքնության փոխակերպում կամ պարզապես արտահայտության փոխակերպում: Փոփոխականներով արտահայտությունների նույնական փոխակերպումները կատարվում են թվերի վրա կատարվող գործողությունների հատկությունների հիման վրա։

Օրինակներ.

ա)դարձրեք արտահայտությունը նույնական հավասարի` օգտագործելով բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը.

1) 10 · (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 · (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

2) |x| + |ը| -|զ| ժամը x = -8; y = -5; z = 6.. Հիշենք բազմապատկման բաշխիչ հատկությունը (օրենքը).

(a+b)c=ac+bc(գումարման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ օրենքը. երկու թվերի գումարը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարող եք յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել այս թվով և ավելացնել ստացված արդյունքները):
(a-b) c=a c-b գ(Հանման նկատմամբ բազմապատկման բաշխիչ օրենքը. երկու թվերի տարբերությունը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարելի է մինուենդը բազմապատկել և հանել այս թվով առանձին, իսկ երկրորդը հանել առաջին արդյունքից):

1) 10 · (1.2x + 2.3y) = 10 · 1.2x + 10 · 2.3y = 12x + 23y:

2) 1.5·(a -2b + 4c) = 1.5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

բ)արտահայտությունը վերածել նույնական հավասարի՝ օգտագործելով գումարման փոխադարձ և ասոցիատիվ հատկությունները (օրենքները).

4) x + 4.5 +2x + 6.5; 5) (3a + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s.

Օրինակներ.Կիրառենք ավելացման օրենքները (հատկությունները).

ա+բ=բ+ա(փոխադարձ. տերմինների վերադասավորումը չի փոխում գումարը):
(ա+բ)+գ=ա+(բ+գ)(համակցված. երկու անդամների գումարին երրորդ թիվ ավելացնելու համար կարող եք առաջին թվին ավելացնել երկրորդի և երրորդի գումարը):

4) x + 4.5 +2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11:

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9:

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5.

V)Արտահայտությունը դարձրեք նույնական հավասարի` օգտագործելով բազմապատկման փոխադարձ և ասոցիատիվ հատկությունները (օրենքները).

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2ու · (-1); 9) 3ա · (-3) · 2 վրկ.

Օրինակներ.Կիրառենք բազմապատկման օրենքները (հատկությունները).

a·b=b·a(փոխադարձ. գործոնների վերադասավորումը չի փոխում արտադրյալը):
(ա բ) c=a (բ գ)(համակցված. երկու թվերի արտադրյալը երրորդ թվով բազմապատկելու համար կարող եք առաջին թիվը բազմապատկել երկրորդի և երրորդի արտադրյալով):

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2ու · (-1) = 7у.

9) 3ա · (-3) · 2c = -18ac.

Եթե ​​հանրահաշվական արտահայտությունը տրված է կրճատվող կոտորակի տեսքով, ապա կոտորակի կրճատման կանոնի կիրառմամբ այն կարելի է պարզեցնել, այսինքն. փոխարինել այն նույնքան ավելի պարզ արտահայտությամբ:

Օրինակներ.

Օրինակներ.Պարզեցրեք՝ օգտագործելով կոտորակի կրճատումը: Կրճատել կոտորակը նշանակում է նրա համարիչը և հայտարարը բաժանել նույն թվի (արտահայտության) վրա, բացի զրոյից: Կոտորակ 10) կկրճատվի 3բ ; կոտորակ 11) կկրճատվիԱ և կոտորակը 12) կկրճատվի 7n

. Մենք ստանում ենք.

Բանաձևեր ստեղծելու համար օգտագործվում են հանրահաշվական արտահայտություններ:Բանաձևը հանրահաշվական արտահայտություն է, որը գրված է որպես հավասարություն և արտահայտում է փոխհարաբերությունները երկու կամ ավելի փոփոխականների միջև: Օրինակ՝ ուղու բանաձև, որը դուք գիտեք s=v տ

(s - անցած հեռավորությունը, v - արագությունը, t - ժամանակ): Հիշեք, թե ինչ այլ բանաձևեր գիտեք:

Էջ 1 1-ից 1 Արտահայտությունը ամենալայն մաթեմատիկական տերմինն է։ Ըստ էության, այս գիտության մեջ ամեն ինչ բաղկացած է դրանցից, և բոլոր գործողությունները նույնպես կատարվում են նրանց վրա։ Այլ հարց է, որ կախված կոնկրետ տեսակից, դրանք ամբողջությամբ օգտագործվում ենտարբեր մեթոդներ և տեխնիկա։ Այսպիսով, եռանկյունաչափության, կոտորակների կամ լոգարիթմների հետ աշխատելը երեքն էտարբեր գործողություններ

. Անիմաստ արտահայտությունը կարող է լինել երկու տեսակից մեկը՝ թվային կամ հանրահաշվական: Բայց թե ինչ է նշանակում այս հայեցակարգը, ինչպիսին է դրա օրինակը և այլ կետեր, կքննարկվեն հետագա:

Եթե ​​արտահայտությունը բաղկացած է թվերից, փակագծերից, գումարած և մինուսներից և թվաբանական գործողությունների այլ նշաններից, այն կարելի է ապահով անվանել թվային: Ինչը միանգամայն տրամաբանական է. պարզապես պետք է ևս մեկ անգամ նայել դրա առաջին անվանումով բաղադրիչին:

Թվային արտահայտությունը կարող է լինել ցանկացած բան. գլխավորն այն է, որ այն տառեր չի պարունակում: Եվ «ինչ-որ բանի» տակ այս դեպքումամեն ինչ հասկանալի է՝ միայնակ կանգնած պարզ թվից մինչև դրանց հսկայական ցանկը և թվաբանական գործողությունների նշանները, որոնք պահանջում են վերջնական արդյունքի հետագա հաշվարկ: Կոտորակը նույնպես թվային արտահայտություն, եթե այն չունի a, b, c, d և այլն, ապա դա բոլորովին այլ տեսակ է, որը կքննարկվի մի փոքր ուշ:

Անիմաստ արտահայտության պայմաններ

Երբ առաջադրանքը սկսվում է «հաշվարկել» բառով, կարելի է խոսել փոխակերպման մասին: Բանն այն է, որ այս գործողությունը միշտ չէ, որ նպատակահարմար է. այնպես չէ, որ դրա կարիքը մեծ է, եթե առաջին պլան է մղվում անիմաստ արտահայտությունը։ Օրինակներն անվերջ ապշեցուցիչ են՝ երբեմն, որպեսզի հասկանանք, որ այն անցել է մեզ, պետք է երկար ու հոգնեցուցիչ բացել փակագծերը ու հաշվել-հաշվել...

Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ իմաստ չկա արտահայտությունների մեջ, որոնց վերջնական արդյունքը հանգում է մաթեմատիկայում արգելված գործողությանը: Լիովին անկեղծ ասած, այդ դեպքում փոխակերպումն ինքնին դառնում է անիմաստ, բայց պարզելու համար նախ պետք է այն կատարել։ Նման պարադոքս.

Ամենահայտնի, բայց ոչ պակաս կարևոր արգելվածը մաթեմատիկական գործողություն- սա բաժանում է զրոյի:

Հետևաբար, օրինակ, այստեղ կա մի արտահայտություն, որն անիմաստ է.

(17+11):(5+4-10+1).

Եթե ​​պարզ հաշվարկներով երկրորդ փակագիծը դարձնենք մեկ նիշ, ապա այն կլինի զրո։

Նույն սկզբունքով այս արտահայտությանը տրվում է «պատվավոր կոչում».

(5-18):(19-4-20+5).

Հանրահաշվական արտահայտություններ

Սա նույն թվային արտահայտությունն է, եթե դրան ավելացվեն արգելված տառեր։ Հետո այն դառնում է լիարժեք հանրահաշվական։ Այն կարող է լինել նաև բոլոր չափերի և ձևերի: Հանրահաշվական արտահայտությունը ավելի լայն հասկացություն է, որը ներառում է նախորդը: Բայց իմաստ ուներ զրույցը սկսել ոչ թե դրանով, այլ թվով, որպեսզի ավելի պարզ ու հասկանալի լինի։ Ի վերջո, հանրահաշվական արտահայտությունը իմաստ ունի՞, այնքան էլ բարդ հարց չէ, այլ ավելի շատ պարզաբանումներ ունեցող հարց:

Ինչո՞ւ է սա այդպես։

Բառացի արտահայտությունը կամ փոփոխականներով արտահայտությունը հոմանիշներ են: Առաջին տերմինը հեշտ է բացատրել. ի վերջո, այն պարունակում է տառեր: Երկրորդը նույնպես դարի առեղծվածը չէ. տառերի փոխարեն կարելի է փոխարինել տարբեր թվեր, որի արդյունքում կփոխվի արտահայտության իմաստը։ Դժվար չէ կռահել, որ տառերն այս դեպքում փոփոխականներն են։ Համեմատաբար թվերը հաստատուններ են։

Եվ ահա վերադառնում ենք բուն թեմային՝ անիմաստ.

Անիմաստ հանրահաշվական արտահայտությունների օրինակներ

Հանրահաշվական արտահայտության անիմաստության պայմանը նույնն է, ինչ թվայինը, միայն մեկ բացառությամբ, ավելի ճիշտ՝ հավելումով։ Վերջնական արդյունքը փոխակերպելիս և հաշվարկելիս պետք է հաշվի առնել փոփոխականները, ուստի հարցը դրվում է ոչ թե «որ արտահայտությունն իմաստ չունի», այլ «փոփոխականի ո՞ր արժեքով այս արտահայտությունը իմաստ չի ունենա»: և «Կա՞ փոփոխականի արժեք, որի դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր իմաստը»:

Օրինակ՝ (18-3):(a+11-9):

Վերոնշյալ արտահայտությունը իմաստ չունի, երբ a-ն -2 է:

Բայց (a+3):(12-4-8) մասին մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա արտահայտություն է, որն իմաստ չունի որևէ ա-ի համար:

Նույն կերպ, ինչ b-ն էլ փոխարինեք (b - 11) արտահայտությամբ՝ (12+1), այն դեռ իմաստ կունենա։

Տիպիկ խնդիրներ «Անիմաստ արտահայտություն» թեմայով.

7-րդ դասարանը, ի թիվս այլոց, ուսումնասիրում է այս թեման մաթեմատիկայից, և դրա վերաբերյալ առաջադրանքները հաճախ հանդիպում են ինչպես համապատասխան դասից անմիջապես հետո, այնպես էլ որպես «հնարք» հարց մոդուլների և քննությունների ժամանակ:

Ահա թե ինչու է դա արժե հաշվի առնել բնորոշ առաջադրանքներև դրանց լուծման մեթոդները:

Օրինակ 1.

Արդյո՞ք արտահայտությունը իմաստ ունի.

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Անհրաժեշտ է բոլոր հաշվարկները կատարել փակագծերում և արտահայտությունը բերել ձևի.

Վերջնական արդյունքը պարունակում է, հետևաբար արտահայտությունն անիմաստ է:

Օրինակ 2.

Ո՞ր արտահայտություններն են անիմաստ:

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Պետք է հաշվարկել վերջնական արժեքըարտահայտություններից յուրաքանչյուրի համար.

Պատասխան՝ 1; 2.

Օրինակ 3.

Գտեք ընդունելի արժեքների շրջանակը հետևյալ արտահայտությունների համար.

1) (11-4)/(բ+17);

2) 12/ (14-բ+11).

Թույլատրելի արժեքների միջակայքը (APV) բոլոր այդ թվերն են, երբ դրանք փոխարինվում են փոփոխական արտահայտությունիմաստ կունենա.

Այսինքն, առաջադրանքը հնչում է այսպես. գտեք արժեքներ, որոնցում զրոյի բաժանում չի լինի:

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), կամ b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), կամ b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Օրինակ 4.

Ո՞ր արժեքներով ստորև բերված արտահայտությունը իմաստ չի ունենա:

Երկրորդ փակագիծը հավասար է զրոյի, երբ խաղը հավասար է -3-ի:

Պատասխան՝ y=-3

Օրինակ 4.

Արտահայտություններից ո՞ր մեկն իմաստ չունի միայն x = -14 դեպքում:

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)):

2 և 3, քանի որ առաջին դեպքում, եթե փոխարինեք x = -14, ապա երկրորդ փակագիծը կհավասարվի -28, և ոչ թե զրո, ինչպես դա հնչում է անիմաստ արտահայտության սահմանման մեջ:

Օրինակ 5.

Մտածեք և գրեք մի արտահայտություն, որն անիմաստ է:

18/(2-46+17-33+45+15).

Երկու փոփոխականով հանրահաշվական արտահայտություններ

Չնայած այն հանգամանքին, որ բոլոր անիմաստ արտահայտություններն ունեն նույն էությունը, կան դրանց բարդության տարբեր աստիճաններ։ Այսպիսով, կարելի է ասել, որ թվայինները պարզ օրինակներ են, քանի որ դրանք ավելի հեշտ են, քան հանրահաշվականները։ Վերջինում փոփոխականների քանակը ավելացնում է լուծման դժվարությունը։ Բայց դրանք չպետք է նույն տեսք ունենան. գլխավորն այն է, որ հիշել լուծման ընդհանուր սկզբունքը և կիրառել այն, անկախ նրանից, օրինակը նման է ստանդարտ խնդրին, թե ունի որոշ անհայտ հավելումներ:

Օրինակ, կարող է հարց առաջանալ, թե ինչպես լուծել նման խնդիր:

Գտեք և գրեք մի զույգ թվեր, որոնք անվավեր են արտահայտության համար.

(x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y)/(12x 2 - y):

Հնարավոր պատասխաններ.

Բայց իրականում այն ​​միայն սարսափելի և ծանր է թվում, քանի որ իրականում այն ​​պարունակում է այն, ինչ հայտնի է վաղուց՝ քառակուսի և խորանարդ թվեր, որոշ թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են բաժանումը, բազմապատկումը, հանումը և գումարումը: Հարմարության համար, ի դեպ, կարող եք խնդիրը նվազեցնել կոտորակային ձևի:

Ստացված կոտորակի համարիչը երջանիկ չէ՝ (x 3 - x 2 y 3 + 13x - 38y): Սա փաստ է։ Բայց երջանկության ևս մեկ պատճառ կա. խնդիրը լուծելու համար նույնիսկ պետք չէ դիպչել դրան: Նախկինում քննարկված սահմանման համաձայն, դուք չեք կարող բաժանել զրոյի, և թե կոնկրետ ինչ կբաժանվի դրա վրա, բացարձակապես կարևոր չէ: Հետևաբար, մենք այս արտահայտությունը թողնում ենք անփոփոխ և թվերի զույգերը փոխարինում ենք այս տարբերակներից հայտարարի մեջ: Արդեն երրորդ կետը հիանալի տեղավորվում է՝ փոքր փակագիծը վերածելով զրոյի։ Բայց այնտեղ կանգ առնելը վատ խորհուրդ է, քանի որ այլ բան կարող է հարմար լինել: Իրոք, հինգերորդ կետը նույնպես լավ տեղավորվում է և համապատասխանում է պայմաններին:

Գրում ենք պատասխանը՝ 3 և 5:

Եզրափակելով

Ինչպես տեսնում եք, այս թեման շատ հետաքրքիր է և առանձնապես բարդ չէ: Դա պարզելը դժվար չի լինի: Բայց երբեք չի խանգարում կիրառել մի քանի օրինակ:

Արտահայտությունը ամենալայն մաթեմատիկական տերմինն է։ Ըստ էության, այս գիտության մեջ ամեն ինչ բաղկացած է դրանցից, և բոլոր գործողությունները նույնպես կատարվում են նրանց վրա։ Այլ հարց է, որ կախված կոնկրետ տեսակից, կիրառվում են բոլորովին այլ մեթոդներ և տեխնիկա։ Այսպիսով, եռանկյունաչափության, կոտորակների կամ լոգարիթմների հետ աշխատելը երեք տարբեր գործողություններ են: Անիմաստ արտահայտությունը կարող է լինել երկու տեսակից մեկը՝ թվային կամ հանրահաշվական: Բայց թե ինչ է նշանակում այս հայեցակարգը, ինչպիսին է դրա օրինակը և այլ կետեր, կքննարկվեն հետագա:

Թվային արտահայտություններ

Եթե ​​արտահայտությունը բաղկացած է թվերից, փակագծերից, գումարած և մինուսներից և թվաբանական գործողությունների այլ նշաններից, այն կարելի է ապահով անվանել թվային: Ինչը միանգամայն տրամաբանական է. պարզապես պետք է ևս մեկ անգամ նայել դրա առաջին անվանումով բաղադրիչին:

Թվային արտահայտությունը կարող է լինել ցանկացած բան. գլխավորն այն է, որ այն տառեր չի պարունակում: Եվ այս դեպքում «ինչ-որ բան» ասելով մենք հասկանում ենք ամեն ինչ՝ մենակ կանգնած պարզ թվից մինչև դրանց հսկայական ցանկը և թվաբանական գործողությունների նշանները, որոնք պահանջում են վերջնական արդյունքի հետագա հաշվարկ: Կոտորակը նույնպես թվային արտահայտություն է, եթե այն չի պարունակում որևէ a, b, c, d և այլն, քանի որ այն բոլորովին այլ տեսակ է, որը կքննարկվի մի փոքր ուշ։

Անիմաստ արտահայտության պայմաններ

Երբ առաջադրանքը սկսվում է «հաշվարկել» բառով, կարելի է խոսել փոխակերպման մասին: Բանն այն է, որ այս գործողությունը միշտ չէ, որ նպատակահարմար է. այնպես չէ, որ դրա կարիքը մեծ է, եթե առաջին պլան է մղվում անիմաստ արտահայտությունը։ Օրինակներն անվերջ ապշեցուցիչ են՝ երբեմն, որպեսզի հասկանանք, որ այն անցել է մեզ, պետք է երկար ու հոգնեցուցիչ բացել փակագծերը ու հաշվել-հաշվել...

Հիմնական բանը հիշելն այն է, որ իմաստ չկա արտահայտությունների մեջ, որոնց վերջնական արդյունքը հանգում է մաթեմատիկայում արգելված գործողությանը: Լիովին անկեղծ ասած, այդ դեպքում փոխակերպումն ինքնին դառնում է անիմաստ, բայց պարզելու համար նախ պետք է այն կատարել։ Նման պարադոքս.

Ամենահայտնի, բայց ոչ պակաս կարևոր արգելված մաթեմատիկական գործողությունը զրոյի բաժանումն է։

Հետևաբար, օրինակ, այստեղ կա մի արտահայտություն, որն անիմաստ է.

(17+11):(5+4-10+1).

Եթե ​​պարզ հաշվարկներով երկրորդ փակագիծը դարձնենք մեկ նիշ, ապա այն կլինի զրո։

Նույն սկզբունքով այս արտահայտությանը տրվում է «պատվավոր կոչում».

(5-18):(19-4-20+5).

Հանրահաշվական արտահայտություններ

Սա նույն թվային արտահայտությունն է, եթե դրան ավելացվեն արգելված տառեր։ Հետո այն դառնում է լիարժեք հանրահաշվական։ Այն կարող է լինել նաև բոլոր չափերի և ձևերի: Հանրահաշվական արտահայտությունը ավելի լայն հասկացություն է, որը ներառում է նախորդը: Բայց իմաստ ուներ զրույցը սկսել ոչ թե դրանով, այլ թվով, որպեսզի ավելի պարզ ու հասկանալի լինի։ Ի վերջո, հանրահաշվական արտահայտությունը իմաստ ունի՞, այնքան էլ բարդ հարց չէ, այլ ավելի շատ պարզաբանումներ ունեցող հարց:

Ինչո՞ւ է սա այդպես։

Բառացի արտահայտությունը կամ փոփոխականներով արտահայտությունը հոմանիշներ են: Առաջին տերմինը հեշտ է բացատրել. ի վերջո, այն պարունակում է տառեր: Երկրորդը նույնպես դարի առեղծված չէ՝ տառերի փոխարեն կարելի է տարբեր թվեր փոխարինել, ինչի արդյունքում արտահայտության իմաստը կփոխվի։ Դժվար չէ կռահել, որ տառերն այս դեպքում փոփոխականներն են։ Համեմատաբար թվերը հաստատուններ են։

Եվ ահա մենք վերադառնում ենք բուն թեմային՝ ի՞նչ է նշանակում անիմաստ արտահայտությունը։

Անիմաստ հանրահաշվական արտահայտությունների օրինակներ

Հանրահաշվական արտահայտության անիմաստության պայմանը նույնն է, ինչ թվայինը, միայն մեկ բացառությամբ, ավելի ճիշտ՝ հավելումով։ Վերջնական արդյունքը փոխակերպելիս և հաշվարկելիս պետք է հաշվի առնել փոփոխականները, ուստի հարցը դրվում է ոչ թե «որ արտահայտությունն իմաստ չունի», այլ «փոփոխականի ո՞ր արժեքով այս արտահայտությունը իմաստ չի ունենա»: և «Կա՞ փոփոխականի արժեք, որի դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր իմաստը»:

Օրինակ՝ (18-3):(a+11-9):

Վերոնշյալ արտահայտությունը իմաստ չունի, երբ a-ն -2 է:

Բայց (a+3):(12-4-8) մասին մենք կարող ենք վստահորեն ասել, որ սա արտահայտություն է, որն իմաստ չունի որևէ ա-ի համար:

Նույն կերպ, ինչ b-ն էլ փոխարինեք (b - 11) արտահայտությամբ՝ (12+1), այն դեռ իմաստ կունենա։

Տիպիկ խնդիրներ «Անիմաստ արտահայտություն» թեմայով.

7-րդ դասարանը, ի թիվս այլոց, ուսումնասիրում է այս թեման մաթեմատիկայից, և դրա վերաբերյալ առաջադրանքները հաճախ հանդիպում են ինչպես համապատասխան դասից անմիջապես հետո, այնպես էլ որպես «հնարք» հարց մոդուլների և քննությունների ժամանակ:

Այդ իսկ պատճառով արժե դիտարկել բնորոշ խնդիրներն ու դրանց լուծման մեթոդները։

Օրինակ 1.

Արդյո՞ք արտահայտությունը իմաստ ունի.

(23+11):(43-17+24-11-39)?

Անհրաժեշտ է բոլոր հաշվարկները կատարել փակագծերում և արտահայտությունը բերել ձևի.

Վերջնական արդյունքը պարունակում է բաժանում զրոյի, ուստի արտահայտությունն անիմաստ է։

Օրինակ 2.

Ո՞ր արտահայտություններն են անիմաստ:

1) (9+3)/(4+5+3-12);

2) 44/(12-19+7);

3) (6+45)/(12+55-73).

Դուք պետք է հաշվարկեք վերջնական արժեքը յուրաքանչյուր արտահայտության համար:

Պատասխան՝ 1; 2.

Օրինակ 3.

Գտեք ընդունելի արժեքների շրջանակը հետևյալ արտահայտությունների համար.

1) (11-4)/(բ+17);

2) 12/ (14-բ+11).

Թույլատրելի արժեքների միջակայքը (VA) այն բոլոր թվերն են, որոնք փոփոխականների փոխարեն փոխարինելու դեպքում արտահայտությունը իմաստ կունենա:

Այսինքն, առաջադրանքը հնչում է այսպես. գտեք արժեքներ, որոնցում զրոյի բաժանում չի լինի:

1) b є (-∞;-17) & (-17; + ∞), կամ b>-17 & b<-17, или b≠-17, что значит - выражение имеет смысл при всех b, кроме -17.

2) b є (-∞;25) & (25; + ∞), կամ b>25 & b<25, или b≠25, что значит - выражение имеет смысл при всех b кроме 25.

Օրինակ 4.

Ո՞ր արժեքներով ստորև բերված արտահայտությունը իմաստ չի ունենա:

Երկրորդ փակագիծը հավասար է զրոյի, երբ խաղը հավասար է -3-ի:

Պատասխան՝ y=-3

Օրինակ 4.

Արտահայտություններից ո՞ր մեկն իմաստ չունի միայն x = -14 դեպքում:

1) 14:(x - 14);

2) (3+8x):(14+x);

3) (x/(14+x)):(7/8)):

2 և 3, քանի որ առաջին դեպքում, եթե փոխարինեք x = -14, ապա երկրորդ փակագիծը կհավասարվի -28, և ոչ թե զրո, ինչպես դա հնչում է անիմաստ արտահայտության սահմանման մեջ:

Օրինակ 5.

Մտածեք և գրեք մի արտահայտություն, որն անիմաստ է:

18/(2-46+17-33+45+15).

Երկու փոփոխականով հանրահաշվական արտահայտություններ

Չնայած այն հանգամանքին, որ բոլոր անիմաստ արտահայտություններն ունեն նույն էությունը, կան դրանց բարդության տարբեր աստիճաններ։ Այսպիսով, կարելի է ասել, որ թվայինները պարզ օրինակներ են, քանի որ դրանք ավելի հեշտ են, քան հանրահաշվականները։ Վերջինում փոփոխականների քանակը ավելացնում է լուծման դժվարությունը։ Բայց դրանք չպետք է շփոթեցնեն իրենց տեսքով. գլխավորը հիշել լուծման ընդհանուր սկզբունքը և կիրառել այն՝ անկախ նրանից օրինակը նման է ստանդարտ խնդրին, թե ունի որոշ անհայտ լրացումներ։

Օրինակ, կարող է հարց առաջանալ, թե ինչպես լուծել նման խնդիր:

Գտեք և գրեք մի զույգ թվեր, որոնք անվավեր են արտահայտության համար.

(x3 - x2y3 + 13x - 38y)/(12x2 - y):

Հնարավոր պատասխաններ.

Բայց իրականում այն ​​միայն սարսափելի և ծանր է թվում, քանի որ իրականում այն ​​պարունակում է այն, ինչ հայտնի է վաղուց՝ քառակուսի և խորանարդ թվեր, որոշ թվաբանական գործողություններ, ինչպիսիք են բաժանումը, բազմապատկումը, հանումը և գումարումը: Հարմարության համար, ի դեպ, կարող եք խնդիրը նվազեցնել կոտորակային ձևի:

Ստացված կոտորակի համարիչը երջանիկ չէ՝ (x3 - x2y3 + 13x - 38y): Սա փաստ է։ Բայց երջանկության ևս մեկ պատճառ կա. խնդիրը լուծելու համար նույնիսկ պետք չէ դիպչել դրան: Նախկինում քննարկված սահմանման համաձայն, դուք չեք կարող բաժանել զրոյի, և թե կոնկրետ ինչ կբաժանվի դրա վրա, բացարձակապես կարևոր չէ: Հետևաբար, մենք այս արտահայտությունը թողնում ենք անփոփոխ և թվերի զույգերը փոխարինում ենք այս տարբերակներից հայտարարի մեջ: Արդեն երրորդ կետը հիանալի տեղավորվում է՝ փոքր փակագիծը վերածելով զրոյի։ Բայց այնտեղ կանգ առնելը վատ խորհուրդ է, քանի որ այլ բան կարող է հարմար լինել: Իրոք, հինգերորդ կետը նույնպես լավ տեղավորվում է և համապատասխանում է պայմաններին:

Գրում ենք պատասխանը՝ 3 և 5:

Եզրափակելով

Ինչպես տեսնում եք, այս թեման շատ հետաքրքիր է և առանձնապես բարդ չէ: Դա պարզելը դժվար չի լինի: Բայց երբեք չի խանգարում կիրառել մի քանի օրինակ:

Թվային, տառային արտահայտությունների և փոփոխականներով արտահայտությունների թեման ուսումնասիրելիս պետք է ուշադրություն դարձնել հայեցակարգին. արտահայտման արժեքը. Այս հոդվածում մենք կպատասխանենք այն հարցին, թե որն է թվային արտահայտության արժեքը, և որն է կոչվում բառացի արտահայտության և փոփոխականներով արտահայտության արժեք ընտրված փոփոխական արժեքների համար: Այս սահմանումները պարզաբանելու համար մենք տալիս ենք օրինակներ։

Էջի նավարկություն.

Ո՞րն է թվային արտահայտության արժեքը:

Թվային արտահայտությունների հետ ծանոթությունը սկսվում է դպրոցում մաթեմատիկայի գրեթե առաջին դասերից։ Գրեթե անմիջապես ներմուծվում է «թվային արտահայտության արժեք» հասկացությունը։ Այն վերաբերում է թվերից կազմված արտահայտություններին, որոնք կապված են թվաբանական գործողությունների նշաններով (+, −, ·, :)։ Տանք համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Թվային արտահայտության արժեքը– սա այն թիվն է, որը ստացվում է սկզբնական թվային արտահայտության բոլոր գործողությունները կատարելուց հետո:

Օրինակ՝ դիտարկենք 1+2 թվային արտահայտությունը։ Ավարտելով՝ ստանում ենք 3 թիվը, որը 1+2 թվային արտահայտության արժեքն է։

Հաճախ «թվային արտահայտության իմաստը» արտահայտության մեջ բաց է թողնվում «թվային» բառը և պարզապես ասում են «արտահայտության իմաստը», քանի որ դեռ պարզ է, թե որն է արտահայտության իմաստը։

Արտահայտության իմաստի վերը նշված սահմանումը վերաբերում է նաև ավելի բարդ տիպի թվային արտահայտություններին, որոնք ուսումնասիրվում են ավագ դպրոցում։ Այստեղ հարկ է նշել, որ դուք կարող եք հանդիպել թվային արտահայտությունների, որոնց արժեքները չեն կարող ճշգրտվել: Դա պայմանավորված է նրանով, որ որոշ արտահայտություններում հնարավոր չէ կատարել ձայնագրված գործողությունները: Օրինակ, սա է պատճառը, որ մենք չենք կարող նշել 3:(2−2) արտահայտության արժեքը: Նման թվային արտահայտությունները կոչվում են արտահայտություններ, որոնք իմաստ չունեն.

Հաճախ գործնականում ոչ այնքան թվային արտահայտությունն է հետաքրքրում, որքան դրա իմաստը: Այսինքն՝ խնդիր է առաջանում որոշել տվյալ արտահայտության իմաստը։ Այս դեպքում սովորաբար ասում են, որ պետք է գտնել արտահայտության արժեքը։ Այս հոդվածը մանրամասնորեն ուսումնասիրում է տարբեր տեսակի թվային արտահայտությունների արժեքը գտնելու գործընթացը և քննարկում է բազմաթիվ օրինակներ՝ լուծումների մանրամասն նկարագրությամբ:

Բառացի և փոփոխական արտահայտությունների իմաստը

Բացի թվային արտահայտություններից, ուսումնասիրվում են բառացի արտահայտությունները, այսինքն՝ արտահայտություններ, որոնցում թվերի հետ մեկ կամ մի քանի տառ կա։ Բառացի արտահայտության տառերը կարող են տարբեր թվեր ներկայացնել, և եթե տառերը փոխարինվեն այս թվերով, բառացի արտահայտությունը դառնում է թվային արտահայտություն:

Սահմանում.

Բառացի արտահայտության մեջ տառերին փոխարինող թվերը կոչվում են այս տառերի իմաստները, և ստացված թվային արտահայտության արժեքը կոչվում է բառացի արտահայտության արժեքը տրված տառերի արժեքների համար.

Այսպիսով, բառացի արտահայտությունների համար մենք խոսում ենք ոչ միայն բառացի արտահայտության իմաստի, այլ տառերի տրված (տրված, նշված և այլն) արժեքների բառացի արտահայտության իմաստի մասին:

Օրինակ բերենք. Վերցնենք 2·a+b բառացի արտահայտությունը։ Թող տրվեն a և b տառերի արժեքները, օրինակ՝ a=1 և b=6: Բնօրինակ արտահայտության տառերը փոխարինելով իրենց արժեքներով՝ ստանում ենք 2·1+6 ձևի թվային արտահայտություն, որի արժեքը 8 է։ Այսպիսով, 8 թիվը 2·a+b բառացի արտահայտության արժեքն է a=1 և b=6 տառերի տրված արժեքների համար։ Եթե ​​տրվեին տառերի այլ արժեքներ, ապա մենք կստանանք տառային արտահայտության արժեքը այդ տառերի արժեքների համար: Օրինակ՝ a=5 և b=1 դեպքում ունենք 2·5+1=11 արժեքը։

Ավագ դպրոցի հանրահաշիվում տառային արտահայտությունների տառերին թույլատրվում է տարբեր իմաստներ ստանալ, այդպիսի տառերը կոչվում են փոփոխականներ, իսկ տառային արտահայտությունները՝ փոփոխականներով արտահայտություններ։ Այս արտահայտությունների համար ներմուծվում է փոփոխականներով արտահայտության արժեքի հայեցակարգը փոփոխականների ընտրված արժեքների համար: Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա:

Սահմանում.

Փոփոխականներով արտահայտության արժեքը ընտրված փոփոխական արժեքների համարթվային արտահայտության արժեքն է, որը ստացվում է ընտրված փոփոխական արժեքները սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելուց հետո:

Բացատրենք նշված սահմանումը օրինակով. Դիտարկենք x և y փոփոխականներով արտահայտություն 3·x·y+y ձևով: Վերցնենք x=2 և y=4, այս փոփոխական արժեքները փոխարինենք սկզբնական արտահայտությամբ և ստացենք 3·2·4+4 թվային արտահայտությունը: Հաշվենք այս արտահայտության արժեքը՝ 3·2·4+4=24+4=28: Գտնված 28 արժեքը բնօրինակ արտահայտության արժեքն է 3·x·y+y փոփոխականներով x=2 և y=4 փոփոխականների ընտրված արժեքների համար:

Եթե ​​դուք ընտրում եք այլ փոփոխական արժեքներ, օրինակ՝ x=5 և y=0, ապա այս ընտրված փոփոխական արժեքները կհամապատասխանեն փոփոխական արտահայտության արժեքին, որը հավասար է 3·5·0+0=0:

Կարելի է նշել, որ երբեմն փոփոխականների տարբեր ընտրված արժեքները կարող են հանգեցնել արտահայտության հավասար արժեքների: Օրինակ, x=9 և y=1 համար 3 ​​x y+y արտահայտության արժեքը 28 է (քանի որ 3 9 1+1=27+1=28), իսկ վերևում ցույց տվեցինք, որ նույն արժեքը փոփոխականներով արտահայտություն է։ ունի x=2 և y=4:

Փոփոխական արժեքները կարող են ընտրվել դրանց համապատասխանից ընդունելի արժեքների միջակայքերը. Հակառակ դեպքում, այս փոփոխականների արժեքները սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելիս, դուք կստանաք թվային արտահայտություն, որն իմաստ չունի: Օրինակ, եթե ընտրեք x=0 և այս արժեքը փոխարինեք 1/x արտահայտությամբ, կստանաք 1/0 թվային արտահայտությունը, որն անիմաստ է, քանի որ զրոյի բաժանումը սահմանված չէ:

Մնում է միայն ավելացնել, որ կան փոփոխականներով արտահայտություններ, որոնց արժեքները կախված չեն դրանցում ներառված փոփոխականների արժեքներից: Օրինակ, 2+x−x ձևի x փոփոխականով արտահայտության արժեքը կախված չէ այս փոփոխականի արժեքից, այն հավասար է 2-ի x փոփոխականի ցանկացած ընտրված արժեքի համար՝ իր թույլատրելի արժեքների միջակայքից , որն այս դեպքում բոլոր իրական թվերի բազմությունն է։

Հղումներ.

• Մաթեմատիկա: Դասագիրք 5-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-րդ հրտ., ջնջված։ - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: հիվանդ. ISBN 5-346-00699-0.
• Հանրահաշիվ:դասագիրք 7-րդ դասարանի համար հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 17-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 240 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019315-3 ։
• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։

Թվային արտահայտություն– սա թվերի, թվաբանական նշանների և փակագծերի ցանկացած գրառում է: Թվային արտահայտությունը կարող է պարզապես բաղկացած լինել մեկ թվից: Հիշեցնենք, որ հիմնական թվաբանական գործողություններն են «գումարում», «հանում», «բազմապատկում» և «բաժանում»: Այս գործողությունները համապատասխանում են «+», «-», «∙», «:» նշաններին:

Իհարկե, որպեսզի մենք թվային արտահայտություն ստանանք, թվերի և թվաբանական նշանների գրանցումը պետք է իմաստալից լինի։ Այսպիսով, օրինակ, նման 5: + ∙ մուտքը չի կարելի թվային արտահայտություն անվանել, քանի որ այն խորհրդանիշների պատահական հավաքածու է, որն իմաստ չունի: Ընդհակառակը, 5 + 8 ∙ 9-ն արդեն իսկական թվային արտահայտություն է։

Թվային արտահայտության արժեքը.

Միանգամից ասենք, որ եթե կատարենք թվային արտահայտության մեջ նշված գործողությունները, ապա արդյունքում կստանանք թիվ։ Այս համարը կոչվում է թվային արտահայտության արժեքը.

Փորձենք հաշվել, թե ինչ կստանանք մեր օրինակի գործողությունները կատարելու արդյունքում։ Ըստ թվաբանական գործողությունների կատարման հերթականության՝ նախ կատարում ենք բազմապատկման գործողությունը։ 8-ը բազմապատկեք 9-ով։ Ստանում ենք 72։ Այժմ գումարում ենք 72 և 5։ Ստանում ենք 77։
Այսպիսով, 77 - իմաստը 5 + 8 ∙ 9 թվային արտահայտություն:

Թվային հավասարություն.

Դուք կարող եք այն գրել այսպես. 5 + 8 ∙ 9 = 77: Այստեղ մենք առաջին անգամ օգտագործեցինք «=» նշանը («Հավասար է»): Այնպիսի նշումը, որում երկու թվային արտահայտություններ առանձնացված են «=» նշանով, կոչվում է թվային հավասարություն. Ավելին, եթե հավասարության ձախ և աջ կողմերի արժեքները համընկնում են, ապա հավասարությունը կոչվում է. հավատարիմ. 5 + 8 ∙ 9 = 77 - ճիշտ հավասարություն:
Եթե ​​գրենք 5 + 8 ∙ 9 = 100, ապա սա արդեն կլինի կեղծ հավասարություն, քանի որ այս հավասարության ձախ և աջ կողմերի արժեքներն այլևս չեն համընկնում:

Հարկ է նշել, որ թվային արտահայտության մեջ կարող ենք օգտագործել նաև փակագծեր։ Փակագծերը ազդում են գործողությունների կատարման հերթականության վրա: Այսպիսով, օրինակ, եկեք փոփոխենք մեր օրինակը՝ ավելացնելով փակագծեր՝ (5 + 8) ∙ 9։ Այժմ նախ պետք է գումարել 5 և 8։ Ստանում ենք 13։ Այնուհետև 13-ը բազմապատկում ենք 9-ով։ + 8) ∙ 9 = 117:
117 – իմաստըթվային արտահայտություն (5 + 8) ∙ 9.

Արտահայտությունը ճիշտ կարդալու համար դուք պետք է որոշեք, թե որ գործողությունն է վերջինը կատարվում՝ տվյալ թվային արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար: Այսպիսով, եթե վերջին գործողությունը հանում է, ապա արտահայտությունը կոչվում է «տարբերություն»: Համապատասխանաբար, եթե վերջին գործողությունը գումար է՝ «գումար», բաժանումը՝ «քանորդ», բազմապատկումը՝ «արտադրյալ», հզորությունը՝ «հզորություն»:

Օրինակ, (1+5)(10-3) թվային արտահայտությունը կարդում է այսպես՝ «1 և 5 թվերի գումարի արտադրյալը և 10 և 3 թվերի տարբերությունը»։

Թվային արտահայտությունների օրինակներ.

Ահա ավելի բարդ թվային արտահայտության օրինակ.

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \աջ):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Փակագծերում ունենք $\frac(1)(4)+3.75$ արտահայտությունը։ 3.75 տասնորդական կոտորակը փոխարկեք ընդհանուր կոտորակի:

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Այսպիսով, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Հաջորդը՝ կոտորակի համարիչում \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]ունենք 1.25+3.47+4.75-1.47 արտահայտությունը։ Այս արտահայտությունը պարզեցնելու համար մենք կիրառում ենք գումարման փոխադարձ օրենքը, որն ասում է. «Գումարը չի փոխվում տերմինների տեղերը փոխելով»: Այսինքն՝ 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8։

Կոտորակի հայտարարում արտահայտությունը $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Մենք ստանում ենք $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1$

Ե՞րբ են թվային արտահայտություններն անիմաստ:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։ Կոտորակի հայտարարի մեջ $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$$3\centerdot 3-9$ արտահայտության արժեքը 0 է։ Իսկ, ինչպես գիտենք, զրոյի բաժանումն անհնար է։ Հետևաբար, $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ կոտորակն իմաստ չունի։ Անիմաստ թվային արտահայտություններն ասում են, որ «ոչ մի նշանակություն չունեն»:

Եթե ​​թվային արտահայտության մեջ թվերից բացի տառեր օգտագործենք, ապա կունենանք