Կայքի բաժիններ

Խմբագրի ընտրությունը.

Գովազդ

Ի՞նչ է այն արտահայտությունը, որն իմաստ չունի: Թվային, բառացի և փոփոխական արտահայտությունների իմաստը

Բանաձև

Գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում - թվաբանական գործողություններ (կամ թվաբանական գործողություններ) Այս թվաբանական գործողությունները համապատասխանում են թվաբանական գործողությունների նշաններին.

+ (կարդա" գումարած«) - լրացման գործողության նշան.

- (կարդա" մինուս«) հանման գործողության նշանն է,

∙ (կարդա" բազմապատկել«) բազմապատկման գործողության նշանն է,

: (կարդա" բաժանել«) բաժանման գործողության նշանն է։

Թվաբանական նշաններով փոխկապակցված թվերից բաղկացած ռեկորդը կոչվում է թվային արտահայտություն.Թվային արտահայտությունը կարող է պարունակել նաև փակագծեր, օրինակ՝ 1290 մուտքը : 2 - (3 + 20 ∙ 15) թվային արտահայտություն է։

Թվային արտահայտությամբ թվերի վրա գործողություններ կատարելու արդյունքը կոչվում է թվային արտահայտության արժեքը. Այս գործողությունների կատարումը կոչվում է թվային արտահայտության արժեքի հաշվարկ: Թվային արտահայտության արժեքը գրելուց առաջ դրեք հավասարության նշան«=". Աղյուսակ 1-ում ներկայացված են թվային արտահայտությունների օրինակներ և դրանց իմաստները:

Թվերից և փոքր տառերից բաղկացած գրառում Լատինական այբուբեն, թվաբանական գործողությունների նշաններով փոխկապակցված կոչվում է բառացի արտահայտություն. Այս գրառումը կարող է պարունակել փակագծեր: Օրինակ, ձայնագրեք ա+բ - 3 ∙գբառացի արտահայտություն է. Տառերի փոխարեն կարող եք տարբեր թվեր փոխարինել տառային արտահայտությամբ: Այս դեպքում տառերի իմաստը կարող է փոխվել, ուստի տառերի արտահայտության տառերը նույնպես կոչվում են փոփոխականներ.

Բառացի արտահայտության մեջ տառերի փոխարեն թվերը փոխարինելով և ստացված թվային արտահայտության արժեքը՝ նրանք գտնում են. բառացի արտահայտության նշանակությունը տրված տառերի արժեքների համար(փոփոխականների տրված արժեքների համար): Աղյուսակ 2-ում ներկայացված են տառային արտահայտությունների օրինակներ:

Բառացի արտահայտությունը կարող է իմաստ չունենալ, եթե տառերի արժեքները փոխարինելիս ստացվի թվային արտահայտություն, որի արժեքը բնական թվերչհաջողվեց գտնել: Այս թվային արտահայտությունը կոչվում է սխալբնական թվերի համար. Ասվում է նաև, որ նման արտահայտության իմաստը հետևյալն է. սահմանված չէ»բնական թվերի համար և ինքնին արտահայտությունը «իմաստ չունի». Օրինակ՝ բառացի արտահայտությունը ա-բԿարևոր չէ, երբ a = 10 և b = 17: Իրոք, բնական թվերի համար մինուենդը չի կարող փոքր լինել ստորադասից: Օրինակ, եթե դուք ունեք ընդամենը 10 խնձոր (a = 10), դուք չեք կարող տալ դրանցից 17-ը (b = 17):

Աղյուսակ 2-ը (սյունակ 2) ցույց է տալիս բառացի արտահայտության օրինակ: Համեմատությամբ լրացրեք աղյուսակն ամբողջությամբ։

Բնական թվերի համար արտահայտությունը 10 -17 է սխալ (իմաստ չունի), այսինքն. 10 -17 տարբերությունը չի կարող արտահայտվել որպես բնական թիվ։ Մեկ այլ օրինակ. դուք չեք կարող բաժանել զրոյի, այնպես որ ցանկացած բնական թվի համար, քանորդը բ: 0 սահմանված չէ:

Մաթեմատիկական օրենքները, հատկությունները, որոշ կանոններ և հարաբերություններ հաճախ գրվում են նամակի տեսքով(այսինքն՝ բառացի արտահայտության տեսքով)։ Այս դեպքերում բառացի արտահայտությունը կոչվում է բանաձեւը. Օրինակ, եթե յոթանկյան կողմերը հավասար են ա,բ,գ,դ,ե,զ,է, ապա դրա պարագիծը հաշվարկելու բանաձևը (բառացի արտահայտություն): էջունի ձև.

p =ա+բ+գ +դ+e+f+է

a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, յոթանկյունի պարագիծը p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33:

a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, մյուս յոթանկյունի պարագիծը p = a + b + c + d + e + f + g. = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134:

Բլոկ 1. Բառապաշար

Կազմե՛ք նոր տերմինների և սահմանումների բառարան պարբերությունից: Դա անելու համար դատարկ բջիջներում գրեք բառեր ստորև բերված տերմինների ցանկից: Աղյուսակում (բլոկի վերջում) նշեք տերմինների համարները շրջանակների թվերին համապատասխան: Խորհուրդ է տրվում, որ բառարանի բջիջները լրացնելուց առաջ նորից ուշադիր վերանայեք պարբերությունը։

Գործողություններ՝ գումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում:

2. Նշանները «+» (գումարած), «-» (մինուս), «∙» (բազմապատկել, « : « (բաժանել):

3. Գրառում, որը բաղկացած է թվերից, որոնք փոխկապակցված են թվաբանական գործողությունների նշաններով, և որոնք կարող են պարունակել նաև փակագծեր:

4. Թվային արտահայտությամբ թվերի վրա գործողություններ կատարելու արդյունքը.

5. Թվային արտահայտության արժեքին նախորդող նշանը.

6. Լատինական այբուբենի թվերից և փոքր տառերից բաղկացած գրառում, որոնք փոխկապակցված են թվաբանական գործողությունների նշաններով (կարող են լինել նաև փակագծեր):

7. Տառերի ընդհանուր անվանումը այբբենական արտահայտությամբ.

8. Թվային արտահայտության արժեքը, որը ստացվում է փոփոխականները բառացի արտահայտությամբ փոխարինելով։

9. Թվային արտահայտություն, որի արժեքը բնական թվերի համար հնարավոր չէ գտնել:

10. Թվային արտահայտություն, որի արժեքը կարելի է գտնել բնական թվերի համար:

11. Մաթեմատիկական օրենքներ, հատկություններ, որոշ կանոններ և հարաբերություններ՝ գրված տառերով։

12. Այբուբեն, որի փոքր տառերով գրվում են այբբենական արտահայտություններ:

Բլոկ 2. Համապատասխանեցում

Համապատասխանեցրե՛ք ձախ սյունակի առաջադրանքը աջ կողմի լուծման հետ: Պատասխանը գրի՛ր 1ա, 2դ, 3բ...

Բլոկ 3. Facet test. Թվային և այբբենական արտահայտություններ

Facet թեստերը փոխարինում են մաթեմատիկայի խնդիրների հավաքածուներին, բայց դրանցից բարենպաստորեն տարբերվում են նրանով, որ դրանք կարելի է լուծել համակարգչով, ստուգել լուծումները և անմիջապես պարզել աշխատանքի արդյունքը։ Այս թեստը պարունակում է 70 խնդիր։ Բայց դուք կարող եք լուծել խնդիրները ընտրությամբ, դրա համար կա գնահատման աղյուսակ, որը ցույց է տալիս պարզ առաջադրանքներև ավելի դժվար: Ստորև ներկայացնում ենք թեստը.

Տրվում է կողմերով եռանկյուն գ,դ,մ,արտահայտված սմ
Տրվում է կողքերով քառանկյուն բ,գ,դ,մ, արտահայտված մ
Մեքենայի արագությունը կմ/ժ է բ,ճամփորդության ժամանակը ժամերով է դ
Զբոսաշրջիկի անցած հեռավորությունը մժամ է Հետկմ
Արագությամբ շարժվող զբոսաշրջիկի անցած տարածությունը մկմ/ժ է բկմ
Երկու թվերի գումարը երկրորդ թվից մեծ է 15-ով
Տարբերությունն ավելի քիչ է, քան 7-ով կրճատվողը
Ուղևորատար ինքնաթիռն ունի երկու տախտակամած՝ նույն թվով ուղևորների նստատեղերով: Տախտակամածի յուրաքանչյուր շարքում մնստատեղեր, տախտակամածի վրա տողեր nավելի քան անընդմեջ նստատեղեր
Պետյան m տարեկան է, Մաշան՝ n տարեկան, իսկ Կատյան k տարով փոքր է Պետյաից և Մաշայից միասին։
m = 8, n = 10, k = 5
m = 6, n = 8, k = 15
t = 121, x = 1458

Այս արտահայտության իմաստը
Պարագծի բառացի արտահայտությունն է
Պարագիծը արտահայտված սանտիմետրերով
Ավտոմեքենայով անցած հեռավորության բանաձևը
Արագության v, տուրիստական շարժման բանաձև
t ժամանակի բանաձև, տուրիստական շարժում
Մեքենայով անցած հեռավորությունը կիլոմետրերով
Զբոսաշրջիկների արագությունը ժամում կիլոմետրերով
Զբոսաշրջիկների ճանապարհորդության ժամանակը ժամերով
Առաջին համարը...
Ենթահենը հավասար է...
Արտահայտություն ամենամեծ թվով ուղևորների համար, որոնք կարող են ուղևորափոխադրումներ կատարել կթռիչքներ
Ամենամեծ թվով ուղևորներ, որոնք կարող են տեղափոխել ինքնաթիռը կթռիչքներ
Նամակային արտահայտություն Կատյայի տարիքի համար
Կատյայի տարիքը
B կետի կոորդինատը, եթե C կետի կոորդինատն է տ
D կետի կոորդինատը, եթե C կետի կոորդինատն է տ
A կետի կոորդինատը, եթե C կետի կոորդինատն է տ
BD հատվածի երկարությունը թվային տողի վրա
CA հատվածի երկարությունը թվային տողի վրա
DA հատվածի երկարությունը թվային տողի վրա

Թվային արտահայտություն– սա թվերի, թվաբանական նշանների և փակագծերի ցանկացած գրառում է: Թվային արտահայտությունը կարող է պարզապես բաղկացած լինել մեկ թվից: Հիշեցնենք, որ հիմնական թվաբանական գործողություններն են «գումարում», «հանում», «բազմապատկում» և «բաժանում»: Այս գործողությունները համապատասխանում են «+», «-», «∙», «:» նշաններին:

Իհարկե, որպեսզի մենք թվային արտահայտություն ստանանք, թվերի և թվաբանական նշանների գրանցումը պետք է իմաստալից լինի։ Այսպիսով, օրինակ, նման 5: + ∙ մուտքը չի կարելի թվային արտահայտություն անվանել, քանի որ այն խորհրդանիշների պատահական հավաքածու է, որն իմաստ չունի: Ընդհակառակը, 5 + 8 ∙ 9-ն արդեն իսկական թվային արտահայտություն է։

Թվային արտահայտության արժեքը.

Միանգամից ասենք, որ եթե կատարենք թվային արտահայտության մեջ նշված գործողությունները, ապա արդյունքում կստանանք թիվ։ Այս համարը կոչվում է թվային արտահայտության արժեքը.

Փորձենք հաշվել, թե ինչ կստանանք մեր օրինակի գործողությունները կատարելու արդյունքում։ Ըստ թվաբանական գործողությունների կատարման հերթականության՝ նախ կատարում ենք բազմապատկման գործողությունը։ 8-ը բազմապատկեք 9-ով։ Ստանում ենք 72։ Այժմ գումարում ենք 72 և 5։ Ստանում ենք 77։
Այսպիսով, 77 - իմաստը 5 + 8 ∙ 9 թվային արտահայտություն:

Թվային հավասարություն.

Դուք կարող եք այն գրել այսպես. 5 + 8 ∙ 9 = 77: Այստեղ մենք առաջին անգամ օգտագործեցինք «=» նշանը («Հավասար է»): Այնպիսի նշումը, որում երկու թվային արտահայտություններ առանձնացված են «=» նշանով, կոչվում է թվային հավասարություն. Ավելին, եթե հավասարության ձախ և աջ կողմերի արժեքները համընկնում են, ապա հավասարությունը կոչվում է. հավատարիմ. 5 + 8 ∙ 9 = 77 - ճիշտ հավասարություն:
Եթե գրենք 5 + 8 ∙ 9 = 100, ապա սա արդեն կլինի կեղծ հավասարություն, քանի որ այս հավասարության ձախ և աջ կողմերի արժեքներն այլևս չեն համընկնում:

Հարկ է նշել, որ թվային արտահայտության մեջ կարող ենք օգտագործել նաև փակագծեր։ Փակագծերը ազդում են գործողությունների կատարման հերթականության վրա: Այսպիսով, օրինակ, եկեք փոփոխենք մեր օրինակը՝ ավելացնելով փակագծեր՝ (5 + 8) ∙ 9։ Այժմ նախ պետք է գումարել 5 և 8։ Ստանում ենք 13։ Այնուհետև 13-ը բազմապատկում ենք 9-ով։ + 8) ∙ 9 = 117:
117 – իմաստըթվային արտահայտություն (5 + 8) ∙ 9.

Արտահայտությունը ճիշտ կարդալու համար անհրաժեշտ է որոշել, թե որ գործողությունն է վերջինը կատարվում՝ տվյալ թվային արտահայտության արժեքը հաշվարկելու համար։ Այսպիսով, եթե վերջին գործողությունը հանում է, ապա արտահայտությունը կոչվում է «տարբերություն»: Ըստ այդմ, եթե վերջին գործողությունը գումար է` «գումար», բաժանում` «քանորդ», բազմապատկում` «արտադրյալ», հզորացում` «հզորություն»:

Օրինակ, (1+5)(10-3) թվային արտահայտությունը կարդում է այսպես՝ «1 և 5 թվերի գումարի արտադրյալը և 10 և 3 թվերի տարբերությունը»։

Թվային արտահայտությունների օրինակներ.

Ահա ավելի բարդ թվային արտահայտության օրինակ.

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \աջ):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Այս թվային արտահայտությունն օգտագործում է պարզ թվեր, սովորական և տասնորդական կոտորակներ։ Օգտագործվում են նաև գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման նշաններ։ Կոտորակի գիծը նույնպես փոխարինում է բաժանման նշանին։ Չնայած ակնհայտ բարդությանը, այս թվային արտահայտության արժեքը գտնելը բավականին պարզ է: Հիմնական բանը կոտորակներով գործողություններ կատարելն է, ինչպես նաև զգույշ և ճշգրիտ հաշվարկներ կատարելը` պահպանելով գործողությունների կատարման հերթականությունը:

Փակագծերում ունենք $\frac(1)(4)+3.75$ արտահայտությունը։ Եկեք փոխակերպվենք տասնորդական 3,75 սովորական:

$3,75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Այսպիսով, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

Հաջորդը՝ կոտորակի համարիչում \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]ունենք 1.25+3.47+4.75-1.47 արտահայտությունը։ Այս արտահայտությունը պարզեցնելու համար մենք կիրառում ենք գումարման փոխադարձ օրենքը, որն ասում է. «Գումարը չի փոխվում տերմինների տեղերը փոխելով»: Այսինքն՝ 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8։

Կոտորակի հայտարարում արտահայտությունը $4\centerdot 0.5=4\centerdot \frac(1)(2)=4:2=2$

Մենք ստանում ենք $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 = 1$

Ե՞րբ են թվային արտահայտություններն անիմաստ:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։ Կոտորակի հայտարարում $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$$3\centerdot 3-9$ արտահայտության արժեքը 0 է։ Իսկ, ինչպես գիտենք, զրոյի բաժանումն անհնար է։ Հետևաբար, $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ կոտորակն իմաստ չունի։ Անիմաստ թվային արտահայտություններն ասում են, որ «ոչ մի նշանակություն չունեն»:

Եթե թվային արտահայտության մեջ թվերից բացի տառեր օգտագործենք, ապա կունենանք

Թվային, տառային արտահայտությունների և փոփոխականներով արտահայտությունների թեման ուսումնասիրելիս պետք է ուշադրություն դարձնել հայեցակարգին. արտահայտման արժեքը. Այս հոդվածում մենք կպատասխանենք այն հարցին, թե որն է թվային արտահայտության արժեքը, և որն է կոչվում բառացի արտահայտության և փոփոխականներով արտահայտության արժեք ընտրված փոփոխական արժեքների համար: Այս սահմանումները պարզաբանելու համար մենք տալիս ենք օրինակներ։

Էջի նավարկություն.

Ո՞րն է թվային արտահայտության արժեքը:

Թվային արտահայտությունների հետ ծանոթությունը սկսվում է դպրոցում մաթեմատիկայի գրեթե առաջին դասերից։ Գրեթե անմիջապես ներմուծվում է «թվային արտահայտության արժեք» հասկացությունը։ Այն վերաբերում է թվերից կազմված արտահայտություններին, որոնք կապված են թվաբանական գործողությունների նշաններով (+, −, ·, :)։ Տանք համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Թվային արտահայտության արժեքը– սա այն թիվն է, որը ստացվում է բնօրինակի բոլոր գործողությունները կատարելուց հետո թվային առումով.

Օրինակ՝ դիտարկենք 1+2 թվային արտահայտությունը։ Ավարտելով՝ ստանում ենք 3 թիվը, որը 1+2 թվային արտահայտության արժեքն է։

Հաճախ «թվային արտահայտության իմաստը» արտահայտության մեջ բաց է թողնվում «թվային» բառը և պարզապես ասում են «արտահայտության իմաստը», քանի որ դեռ պարզ է, թե որն է արտահայտության իմաստը։

Արտահայտության իմաստի վերը նշված սահմանումը վերաբերում է նաև ավելի քան թվային արտահայտություններին բարդ տեսակորոնք սովորում են ավագ դպրոցում։ Այստեղ հարկ է նշել, որ դուք կարող եք հանդիպել թվային արտահայտությունների, որոնց արժեքները չեն կարող ճշգրտվել: Դա պայմանավորված է նրանով, որ որոշ արտահայտություններում հնարավոր չէ կատարել ձայնագրված գործողությունները: Օրինակ, սա է պատճառը, որ մենք չենք կարող նշել 3:(2−2) արտահայտության արժեքը: Նման թվային արտահայտությունները կոչվում են արտահայտություններ, որոնք իմաստ չունեն.

Հաճախ գործնականում ոչ այնքան թվային արտահայտությունն է հետաքրքրում, որքան դրա իմաստը: Այսինքն՝ խնդիր է առաջանում որոշել տվյալ արտահայտության իմաստը։ Այս դեպքում սովորաբար ասում են, որ պետք է գտնել արտահայտության արժեքը։ Այս հոդվածում մանրամասն քննարկվում է թվային արտահայտությունների արժեքը գտնելու գործընթացը տարբեր տեսակներ, և շատ օրինակներ հետ մանրամասն նկարագրություններորոշումներ։

Բառացի և փոփոխական արտահայտությունների իմաստը

Բացի թվային արտահայտություններից, ուսումնասիրվում են բառացի արտահայտությունները, այսինքն՝ արտահայտություններ, որոնցում թվերի հետ մեկ կամ մի քանի տառ կա։ Բառացի արտահայտության տառերը կարող են տարբեր թվեր ներկայացնել, և եթե տառերը փոխարինվեն այս թվերով, բառացի արտահայտությունը դառնում է թվային արտահայտություն:

Սահմանում.

Բառացի արտահայտության մեջ տառերին փոխարինող թվերը կոչվում են այս տառերի իմաստները, և ստացված թվային արտահայտության արժեքը կոչվում է բառացի արտահայտության արժեքը տրված տառերի արժեքների համար.

Այսպիսով, բառացի արտահայտությունների համար խոսվում է ոչ միայն բառացի արտահայտության նշանակության մասին, այլ տառերի տրված (տրված, նշված և այլն) արժեքների հաշվին բառացի արտահայտության իմաստի մասին:

Օրինակ բերենք. Վերցնենք 2·a+b բառացի արտահայտությունը։ Թող տրվեն a և b տառերի արժեքները, օրինակ՝ a=1 և b=6: Բնօրինակ արտահայտության տառերը փոխարինելով իրենց արժեքներով՝ ստանում ենք 2·1+6 ձևի թվային արտահայտություն, որի արժեքը 8 է։ Այսպիսով, 8 թիվը 2·a+b բառացի արտահայտության արժեքն է a=1 և b=6 տառերի տրված արժեքների համար։ Եթե տրվեին այլ տառային արժեքներ, ապա մենք կստանանք տառային արտահայտության արժեքը այդ տառերի արժեքների համար: Օրինակ՝ a=5-ով և b=1-ով ունենք 2·5+1=11 արժեքը:

Ավագ դպրոցում հանրահաշիվ ուսումնասիրելիս թույլատրվում է տառերի տառեր ընդունել տարբեր իմաստներ, նման տառերը կոչվում են փոփոխականներ, իսկ տառային արտահայտությունները՝ փոփոխականներով արտահայտություններ։ Այս արտահայտությունների համար ներմուծվում է փոփոխականներով արտահայտության արժեքի հայեցակարգը փոփոխականների ընտրված արժեքների համար: Եկեք պարզենք, թե ինչ է դա:

Սահմանում.

Փոփոխականներով արտահայտության արժեքը ընտրված փոփոխական արժեքների համարթվային արտահայտության արժեքն է, որը ստացվում է ընտրված փոփոխական արժեքները սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելուց հետո:

Բացատրենք նշված սահմանումը օրինակով. Դիտարկենք x և y փոփոխականներով արտահայտություն 3·x·y+y ձևով: Վերցնենք x=2 և y=4, այս փոփոխական արժեքները փոխարինենք սկզբնական արտահայտությամբ և ստացենք 3·2·4+4 թվային արտահայտությունը: Հաշվենք այս արտահայտության արժեքը՝ 3·2·4+4=24+4=28: Գտնված 28 արժեքը բնօրինակ արտահայտության արժեքն է 3·x·y+y փոփոխականներով x=2 և y=4 փոփոխականների ընտրված արժեքների համար:

Եթե դուք ընտրում եք այլ փոփոխական արժեքներ, օրինակ՝ x=5 և y=0, ապա այս ընտրված փոփոխական արժեքները կհամապատասխանեն փոփոխական արտահայտության արժեքին, որը հավասար է 3·5·0+0=0:

Կարելի է նշել, որ երբեմն փոփոխականների տարբեր ընտրված արժեքները կարող են հանգեցնել արտահայտության հավասար արժեքների: Օրինակ, x=9 և y=1 համար 3 x y+y արտահայտության արժեքը 28 է (քանի որ 3 9 1+1=27+1=28), իսկ վերևում ցույց տվեցինք, որ նույն արժեքը արտահայտությունն է. փոփոխականներն ունեն x=2 և y=4:

Փոփոխական արժեքները կարող են ընտրվել դրանց համապատասխանից ընդունելի արժեքների միջակայքերը. Հակառակ դեպքում, այս փոփոխականների արժեքները սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելիս, դուք կստանաք թվային արտահայտություն, որն իմաստ չունի: Օրինակ, եթե ընտրեք x=0, և այս արժեքը փոխարինեք 1/x արտահայտությամբ, կստանաք 1/0 թվային արտահայտությունը, որն անիմաստ է, քանի որ բաժանումը զրոյի սահմանված չէ:

Մնում է միայն ավելացնել, որ կան փոփոխականներով արտահայտություններ, որոնց արժեքները կախված չեն դրանցում ներառված փոփոխականների արժեքներից: Օրինակ, 2+x−x ձևի x փոփոխականով արտահայտության արժեքը կախված չէ այս փոփոխականի արժեքից, այն հավասար է 2-ի x փոփոխականի ցանկացած ընտրված արժեքի համար՝ իր թույլատրելի արժեքների միջակայքից , որը ներս այս դեպքումբոլոր իրական թվերի բազմությունն է։

Հղումներ.

Մաթեմատիկա: Դասագիրք 5-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-րդ հրատ., ջնջվել է։ - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: հիվանդ. ISBN 5-346-00699-0.
Հանրահաշիվ:դասագիրք 7-րդ դասարանի համար հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 17-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 240 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019315-3 ։
Հանրահաշիվ:դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։

Թվային և հանրահաշվական արտահայտություններ. Արտահայտությունների փոխակերպում.

Ի՞նչ է արտահայտությունը մաթեմատիկայի մեջ: Ինչու՞ են մեզ անհրաժեշտ արտահայտությունների փոխարկումները:

Հարցը, ինչպես ասում են, հետաքրքիր է... Փաստն այն է, որ այս հասկացությունները բոլոր մաթեմատիկայի հիմքն են։ Ամբողջ մաթեմատիկան բաղկացած է արտահայտություններից և դրանց փոխակերպումներից։ Շատ պարզ չէ՞: Թույլ տվեք բացատրել.

Ենթադրենք, ձեր առջև դրված է չար օրինակ: Շատ մեծ և շատ բարդ: Ենթադրենք, դու լավ ես մաթեմատիկայից և ոչնչից չես վախենում: Կարո՞ղ եք անմիջապես պատասխանել:

Դուք ստիպված կլինեք որոշելայս օրինակը. Հետևողականորեն, քայլ առ քայլ, այս օրինակը պարզեցնել. Որոշ կանոնների համաձայն, իհարկե։ Նրանք. անել արտահայտության փոխակերպում. Որքան հաջողությամբ իրականացնես այս փոխակերպումները, այնքան ուժեղ ես մաթեմատիկայի մեջ։ Եթե դուք չգիտեք, թե ինչպես անել ճիշտ փոխակերպումներ, դուք չեք կարողանա դրանք կատարել մաթեմատիկայում: Ոչինչ...

Նման անհարմար ապագայից (կամ ներկայից...) խուսափելու համար այս թեման հասկանալը չի խանգարի:

Նախ, եկեք պարզենք ինչ է արտահայտությունը մաթեմատիկայի մեջ. Ինչ է պատահել թվային արտահայտությունև ինչ է հանրահաշվական արտահայտություն.

Ի՞նչ է արտահայտությունը մաթեմատիկայի մեջ:

Արտահայտությունը մաթեմատիկայի մեջ- Սա շատ լայն հասկացություն է։ Գրեթե այն ամենը, ինչի հետ մենք գործ ունենք մաթեմատիկայի մեջ, մաթեմատիկական արտահայտությունների մի շարք է: Ցանկացած օրինակներ, բանաձևեր, կոտորակներ, հավասարումներ և այլն, ամեն ինչ բաղկացած է մաթեմատիկական արտահայտություններ.

3+2-ը մաթեմատիկական արտահայտություն է։ s 2 - d 2- սա նույնպես մաթեմատիկական արտահայտություն է։ Ե՛վ առողջ կոտորակը, և՛ նույնիսկ մեկ թիվը մաթեմատիկական արտահայտություններ են: Օրինակ, հավասարումը հետևյալն է.

5x + 2 = 12

բաղկացած է երկու մաթեմատիկական արտահայտությունից, որոնք միացված են հավասար նշանով։ Մի արտահայտությունը ձախ կողմում է, մյուսը՝ աջ:

IN ընդհանուր տեսարանտերմին» մաթեմատիկական արտահայտություն«Առավել հաճախ օգտագործվում է բզզոցից խուսափելու համար։ Նրանք ձեզ կհարցնեն, թե ինչ է, օրինակ, սովորական կոտորակը։ Իսկ ինչպե՞ս պատասխանել։

Առաջին պատասխանը. «Սա... մմմմմ... տենց բան... որում... Կարո՞ղ եմ ավելի լավ կոտորակ գրել։ ո՞րն ես ուզում»։

Երկրորդ պատասխանը. Ընդհանուր կոտորակ- սա է (ուրախ և ուրախ!) մաթեմատիկական արտահայտություն , որը բաղկացած է համարիչից և հայտարարից»։

Երկրորդ տարբերակը ինչ-որ կերպ ավելի տպավորիչ կլինի, չէ՞:)

սա է արտահայտության նպատակը. մաթեմատիկական արտահայտություն «Շատ լավ: Եվ ճիշտ, և ամուր: Բայց դրա համար գործնական կիրառությունպետք է լավ տիրապետել Մաթեմատիկայում արտահայտությունների հատուկ տեսակներ .

Այլ հարց է կոնկրետ տեսակը։ Սա Դա բոլորովին այլ հարց է։Մաթեմատիկական արտահայտության յուրաքանչյուր տեսակ ունի իմըմի շարք կանոններ և տեխնիկա, որոնք պետք է օգտագործվեն որոշում կայացնելիս: Կոտորակների հետ աշխատելու համար՝ մեկ հավաքածու: Եռանկյունաչափական արտահայտությունների հետ աշխատելու համար՝ երկրորդը։ Լոգարիթմների հետ աշխատելու համար `երրորդը: Եվ այսպես շարունակ։ Ինչ-որ տեղ այս կանոնները համընկնում են, ինչ-որ տեղ կտրուկ տարբերվում են։ Բայց մի վախեցեք այս սարսափելի խոսքերից։ Մենք կյուրացնենք լոգարիթմները, եռանկյունաչափությունը և այլ առեղծվածային բաներ համապատասխան բաժիններում:

Այստեղ մենք կյուրացնենք (կամ - կրկնենք, կախված նրանից, թե ով...) երկու հիմնական տեսակի մաթեմատիկական արտահայտություններ. Թվային արտահայտություններ և հանրահաշվական արտահայտություններ.

Թվային արտահայտություններ.

Ինչ է պատահել թվային արտահայտություն? Սա շատ պարզ հասկացություն է։ Անունն ինքնին հուշում է, որ սա թվերով արտահայտություն է։ Այո, այդպես է։ Թվերից, փակագծերից և թվաբանական նշաններից կազմված մաթեմատիկական արտահայտությունը կոչվում է թվային արտահայտություն։

7-3-ը թվային արտահայտություն է:

(8+3.2) 5.4-ը նույնպես թվային արտահայտություն է։

Եվ այս հրեշը.

նաև թվային արտահայտություն, այո...

Սովորական թիվ, կոտորակ, առանց X-ի և այլ տառերի հաշվարկի ցանկացած օրինակ՝ այս ամենը թվային արտահայտություններ են։

Հիմնական նշան թվայինարտահայտություններ - դրա մեջ ոչ մի տառ. Ոչ մեկը: Միայն թվեր և մաթեմատիկական նշաններ (անհրաժեշտության դեպքում): Պարզ է, չէ՞:

Իսկ ի՞նչ կարող ես անել թվային արտահայտությունների հետ: Թվային արտահայտությունները սովորաբար կարելի է հաշվել: Դա անելու համար պատահում է, որ դուք պետք է բացեք փակագծերը, փոխեք նշանները, կրճատեք, փոխեք տերմինները, այսինքն. անել արտահայտությունների փոխարկումներ. Բայց դրա մասին ավելին ստորև:

Այստեղ մենք կզբաղվենք այսպիսի զվարճալի դեպքի հետ, երբ թվային արտահայտությամբ դուք ոչինչ անելու կարիք չունեք.Դե, ընդհանրապես ոչինչ! Այս հաճելի գործողությունը - ոչինչ չանել)- կատարվում է, երբ արտահայտությունը իմաստ չունի.

Ե՞րբ է թվային արտահայտությունն անիմաստ:

Պարզ է, որ եթե մեր առջև ինչ-որ աբրակադաբրա տեսնենք, ինչպես

ապա մենք ոչինչ չենք անի. Քանի որ պարզ չէ, թե ինչ անել դրա հետ: Ինչ-որ անհեթեթություն: Միգուցե հաշվեք պլյուսների թիվը...

Բայց արտաքուստ բավականին պարկեշտ արտահայտություններ կան։ Օրինակ սա.

(2+3) : (16 - 2 8)

Այնուամենայնիվ, այս արտահայտությունը նույնպես իմաստ չունի! Այն պարզ պատճառով, որ երկրորդ փակագծերում - եթե հաշվում եք - ստանում եք զրո: Բայց դուք չեք կարող բաժանել զրոյի: Սա մաթեմատիկայի մեջ արգելված գործողություն է։ Հետեւաբար, այս արտահայտության հետ էլ պետք չէ որեւէ բան անել։ Նման արտահայտությամբ ցանկացած առաջադրանքի պատասխանը միշտ նույնն է լինելու. «Արտահայտությունն անիմաստ է».

Նման պատասխան տալու համար, իհարկե, պետք է հաշվարկեի, թե ինչ կլինի փակագծերում։ Եվ երբեմն փակագծերում շատ բաներ կան... Դե, ոչինչ չես կարող անել դրա դեմ:

Մաթեմատիկայում այդքան էլ արգելված գործողություններ չկան։ Այս թեմայում միայն մեկն է. Բաժանում զրոյի. Արմատներում և լոգարիթմներում առաջացող լրացուցիչ սահմանափակումները քննարկվում են համապատասխան թեմաներում։

Այսպիսով, պատկերացում, թե ինչ է դա թվային արտահայտություն- ստացել է. Հայեցակարգ թվային արտահայտությունը իմաստ չունի- հասկացավ. Անցնենք առաջ։

Հանրահաշվական արտահայտություններ.

Եթե թվային արտահայտության մեջ տառեր են հայտնվում, այս արտահայտությունը դառնում է... Արտահայտությունը դառնում է... Այո՛։ Այն դառնում է հանրահաշվական արտահայտություն. Օրինակ՝

5ա 2; 3x-2y; 3 (z-2); 3.4 մ / ն; x 2 + 4x-4; (ա+բ) 2; ...

Այդպիսի արտահայտությունները նույնպես կոչվում են բառացի արտահայտություններ.Կամ արտահայտություններ փոփոխականներով.Գործնականում նույն բանն է: Արտահայտություն 5ա + գ, օրինակ՝ և՛ բառացի, և՛ հանրահաշվական, և՛ փոփոխականներով արտահայտություն։

Հայեցակարգ հանրահաշվական արտահայտություն -ավելի լայն, քան թվային: Այն ներառում էև բոլոր թվային արտահայտությունները: Նրանք. թվային արտահայտությունը նույնպես հանրահաշվական արտահայտություն է՝ միայն առանց տառերի։ Ամեն ծովատառեխ ձուկ է, բայց ամեն ձուկ չէ, որ ծովատառեխ է...)

Ինչո՞ւ այբբենական-Պարզ է: Դե քանի որ տառեր կան... Արտահայտություն արտահայտություն փոփոխականներովԴա նույնպես շատ տարակուսելի չէ. Եթե հասկանում եք, որ տառերի տակ թվեր են թաքնված։ Բոլոր տեսակի թվերը կարելի է թաքցնել տառերի տակ... Եվ 5, և -18, և ցանկացած այլ բան: Այսինքն՝ նամակ կարող է լինել փոխարինելվրա տարբեր թվեր. Ահա թե ինչու են տառերը կոչվում փոփոխականներ.

Արտահայտության մեջ y+5, Օրինակ, ժամը - փոփոխական քանակություն. Կամ նրանք պարզապես ասում են. փոփոխական», առանց «մագնիտուդ» բառի։ Ի տարբերություն հինգի, որը հաստատուն արժեք է։ Կամ պարզապես - մշտական.

Ժամկետ հանրահաշվական արտահայտություննշանակում է, որ այս արտահայտության հետ աշխատելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել օրենքներ և կանոններ հանրահաշիվ. Եթե թվաբանությունաշխատում է կոնկրետ թվերով, ապա հանրահաշիվ- միանգամից բոլոր թվերով: Պարզ օրինակ՝ պարզաբանման համար.

Թվաբանության մեջ մենք կարող ենք դա գրել

Բայց եթե հանրահաշվական արտահայտությունների միջոցով գրենք այսպիսի հավասարություն.

a + b = b + a

մենք անմիջապես կորոշենք Բոլորըհարցեր. Համար բոլոր թվերըմի հարվածով. Անսահման ամեն ինչի համար: Որովհետև տառերի տակ ԱԵվ բենթադրվում է Բոլորըթվեր։ Եվ ոչ միայն թվեր, այլ նույնիսկ մաթեմատիկական այլ արտահայտություններ։ Այսպես է աշխատում հանրահաշիվը.

Ե՞րբ հանրահաշվական արտահայտությունը իմաստ չունի:

Թվային արտահայտության մասին ամեն ինչ պարզ է. Այնտեղ չես կարող զրոյի բաժանել։ Իսկ տառերով կարելի՞ է պարզել, թե ինչի ենք բաժանում?!

Օրինակ վերցնենք այս արտահայտությունը փոփոխականներով.

2: (Ա - 5)

Արդյո՞ք դա իմաստ ունի: Ո՞վ գիտի։ Ա- ցանկացած թիվ...

Ցանկացած, ցանկացած... Բայց կա մեկ իմաստ Ա, որի համար այս արտահայտությունը ճիշտիմաստ չունի! Իսկ ո՞րն է այս թիվը: Այո՛։ Սա 5! Եթե փոփոխականը Ափոխարինել (ասում են «փոխարինում») 5 թվով, փակագծերում ստանում ես զրո։ Որը չի կարելի բաժանել։ Այսպիսով, ստացվում է, որ մեր արտահայտությունը իմաստ չունի, Եթե a = 5. Բայց այլ արժեքների համար Աիմաստ ունի՞ Կարո՞ղ եք փոխարինել այլ թվեր:

Անշուշտ։ Նման դեպքերում ուղղակի ասում են, որ արտահայտությունը

2: (Ա - 5)

իմաստ ունի ցանկացած արժեքի համար Ա, բացառությամբ a = 5-ի .

Թվերի ամբողջությունը, որ Կարող էՏրված արտահայտության մեջ փոխարինելը կոչվում է ընդունելի արժեքների շրջանակայս արտահայտությունը.

Ինչպես տեսնում եք, ոչ մի բարդ բան չկա: Դիտարկենք փոփոխականներով արտահայտությունը և պարզենք՝ փոփոխականի ո՞ր արժեքով է ստացվում արգելված գործողությունը (բաժանումը զրոյի):

Եվ հետո անպայման նայեք առաջադրանքի հարցին: Ի՞նչ են հարցնում։

իմաստ չունի, մեր արգելված իմաստը կլինի պատասխանը։

Եթե հարցնեք, թե փոփոխականի ինչ արժեքով է արտահայտությունը իմաստ ունի(զգացեք տարբերությունը), պատասխանը կլինի մնացած բոլոր թվերըբացառությամբ արգելվածի.

Ինչու՞ մեզ պետք է արտահայտության իմաստը: Նա կա, նա չկա... Ի՞նչ տարբերություն։ Բանն այն է, որ ավագ դպրոցում այս հասկացությունը մեծ նշանակություն է ստանում։ Չափազանց կարևոր! Սա հիմք է այնպիսի ամուր հասկացությունների համար, ինչպիսիք են ընդունելի արժեքների տիրույթը կամ ֆունկցիայի տիրույթը: Առանց դրա, դուք ընդհանրապես չեք կարողանա լուծել լուրջ հավասարումներ կամ անհավասարություններ։ Այսպես.

Արտահայտությունների փոխակերպում. Ինքնության փոխակերպումներ.

Մեզ ներկայացրին թվային և հանրահաշվական արտահայտությունները։ Մենք հասկացանք, թե ինչ է նշանակում «արտահայտությունը իմաստ չունի»։ Այժմ մենք պետք է պարզենք, թե ինչ է դա արտահայտության փոխակերպում.Պատասխանը պարզ է՝ խայտառակության աստիճանի։) Սա արտահայտությամբ ցանկացած գործողություն է։ Այսքանը: Այս վերափոխումները դուք անում եք առաջին դասարանից:

Վերցնենք 3+5 թույն թվային արտահայտությունը: Ինչպե՞ս կարող է այն փոխակերպվել: Այո, շատ պարզ! Հաշվել.

Այս հաշվարկը կլինի արտահայտության փոխակերպումը։ Նույն արտահայտությունը կարող եք տարբեր կերպ գրել.

Այստեղ մենք ընդհանրապես ոչինչ չենք հաշվել։ Պարզապես գրեք արտահայտությունը այլ ձևով:Սա էլ կլինի արտահայտության փոխակերպում։ Կարող եք գրել այսպես.

Եվ սա նույնպես արտահայտության փոխակերպում է։ Դուք կարող եք այնքան փոխակերպումներ կատարել, որքան ցանկանում եք:

Ցանկացածգործողություն արտահայտման վրա ցանկացածայն այլ ձևով գրելը կոչվում է արտահայտության փոխակերպում: Եվ այսքանը: Դա շատ պարզ է. Բայց այստեղ կա մի բան շատ կարևոր կանոն.Այնքան կարևոր է, որ այն կարելի է ապահով կերպով անվանել հիմնական կանոնըբոլոր մաթեմատիկան. Խախտելով այս կանոնը անխուսափելիորենհանգեցնում է սխալների. Մենք մտնում ենք դրա մեջ?)

Ենթադրենք, որ մենք պատահաբար փոխակերպեցինք մեր արտահայտությունը, այսպես.

Փոխակերպո՞ւմ Անշուշտ։ Մենք այլ ձևով ենք գրել արտահայտությունը, ի՞նչն է սխալ այստեղ:

Այդպես չէ։) Բանն այն է, որ փոխակերպումները «պատահական»Մաթեմատիկան ընդհանրապես չի հետաքրքրվում:) Ամբողջ մաթեմատիկան կառուցված է փոխակերպումների վրա, որոնցում տեսքը, բայց արտահայտության էությունը չի փոխվում.Երեք գումարած հինգ կարելի է գրել ցանկացած ձևով, բայց պետք է լինի ութ։

Փոխակերպումներ, արտահայտություններ, որոնք չեն փոխում էությունըկոչվում են նույնական.

Հենց ճիշտ ինքնության վերափոխումներև թույլ տվեք քայլ առ քայլ բարդ օրինակը վերածել պարզ արտահայտության՝ պահպանելով օրինակի էությունը.Եթե փոխակերպումների շղթայում սխալվենք, ՈՉ նույնական փոխակերպում անենք, ապա կորոշենք. ուրիշօրինակ. Այլ պատասխաններով, որոնք կապված չեն ճիշտ պատասխանների հետ։)

Սա ցանկացած առաջադրանք լուծելու հիմնական կանոնն է՝ փոխակերպումների ինքնության պահպանումը։

Պարզության համար օրինակ բերեցի 3+5 թվային արտահայտությամբ։ IN հանրահաշվական արտահայտություններՆույնական փոխակերպումները տրվում են բանաձևերով և կանոններով: Ասենք հանրահաշիվում կա մի բանաձև.

a(b+c) = ab + ac

Սա նշանակում է, որ ցանկացած օրինակում մենք կարող ենք արտահայտության փոխարեն ա(բ+գ)ազատ զգացեք արտահայտություն գրեք ab + ac. Եվ հակառակը։ Սա նույնական վերափոխում.Մաթեմատիկան մեզ հնարավորություն է տալիս ընտրություն կատարել այս երկու արտահայտությունների միջև: Իսկ ո՞րից գրել կոնկրետ օրինակկախված է.

Մեկ այլ օրինակ. Ամենակարևոր և անհրաժեշտ փոխակերպումներից մեկը կոտորակի հիմնական հատկությունն է։ Մանրամասները կարող եք տեսնել հղումով, բայց այստեղ ես պարզապես կհիշեցնեմ կանոնը. Եթե կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվեն (բաժանվեն) միևնույն թվով կամ զրոյի ոչ հավասար արտահայտությամբ, ապա կոտորակը չի փոխվի։Ահա ինքնության փոխակերպումների օրինակ՝ օգտագործելով այս հատկությունը.

Ինչպես հավանաբար կռահեցիք, այս շղթան կարելի է անվերջ շարունակել...) Շատ կարևոր հատկություն։ Հենց դա թույլ է տալիս բոլոր տեսակի օրինակելի հրեշներին վերածել սպիտակ և փափկամազի:)

Կան բազմաթիվ բանաձևեր, որոնք սահմանում են նույնական փոխակերպումները: Բայց ամենագլխավորները բավականին ողջամիտ թիվ են։ Հիմնական փոխակերպումներից մեկը ֆակտորիզացիան է։ Այն օգտագործվում է բոլոր մաթեմատիկայի մեջ՝ տարրականից մինչև խորացված։ Սկսենք նրանից։ Հաջորդ դասին։)

Եթե Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Կարդացեք.

Ինչու՞ եք երազում փոթորիկի մասին ծովի ալիքների վրա: բյուջեով հաշվարկների հաշվառում Շոռակարկանդակներ կաթնաշոռից տապակի մեջ - դասական բաղադրատոմսեր փափկամազ շոռակարկանդակների համար Շոռակարկանդակներ 500 գ կաթնաշոռից Սև մարգարիտ սալորաչիրով աղցան Սև մարգարիտ սալորաչիրով Լեխո տոմատի մածուկով բաղադրատոմսեր

Կարդացեք.