Տեղադրված է մեր կայքում: Թվի արմատ վերցնելը հաճախ օգտագործվում է տարբեր հաշվարկներ, իսկ մեր հաշվիչը հիանալի գործիք է նման մաթեմատիկական հաշվարկների համար։

Արմատներով առցանց հաշվիչը թույլ կտա արագ և հեշտությամբ կատարել արմատների արդյունահանման հետ կապված ցանկացած հաշվարկ: Երրորդ արմատը կարելի է հաշվարկել այնքան հեշտությամբ, որքան քառակուսի արմատթվից, արմատից բացասական թիվ, բարդ թվի արմատ, pi-ի արմատ և այլն։

Թվի արմատը հաշվարկելը հնարավոր է ձեռքով։ Եթե ​​հնարավոր է հաշվարկել թվի ամբողջ արմատը, ապա մենք պարզապես գտնում ենք արմատական ​​արտահայտության արժեքը՝ օգտագործելով արմատների աղյուսակը։ Այլ դեպքերում, արմատների մոտավոր հաշվարկը հանգում է նրան, որ արմատական ​​արտահայտությունը տարրալուծվում է ավելի պարզ գործոնների արտադրյալի, որոնք ուժեր են և կարող են հեռացվել արմատի նշանով, հնարավորինս պարզեցնելով արմատի տակ արտահայտությունը։

Բայց դուք չպետք է օգտագործեք այս արմատային լուծումը: Եվ ահա թե ինչու. Նախ, դուք ստիպված կլինեք շատ ժամանակ ծախսել նման հաշվարկների վրա: Արմատներում թվերը, ավելի ճիշտ՝ արտահայտությունները կարող են բավականին բարդ լինել, և աստիճանը պարտադիր չէ, որ քառակուսի կամ խորանարդ լինի: Երկրորդ, նման հաշվարկների ճշգրտությունը միշտ չէ, որ գոհացուցիչ է։ Եվ երրորդը, կա առցանց արմատային հաշվիչ, որը ձեզ համար մի քանի վայրկյանում կանի ցանկացած արմատային արդյունահանում:

Թվից արմատ հանել նշանակում է գտնել մի թիվ, որը, երբ բարձրացվի n աստիճանի, հավասար կլինի արմատական ​​արտահայտության արժեքին, որտեղ n-ը արմատի հզորությունն է, իսկ թիվն ինքնին հիմքն է: արմատ. 2-րդ աստիճանի արմատը կոչվում է պարզ կամ քառակուսի, իսկ երրորդ աստիճանի արմատը՝ խորանարդ՝ երկու դեպքում էլ աստիճանի նշումը բաց թողնելով։

Արմատների լուծում առցանց հաշվիչհանգում է նրան, որ մուտքային տողում պարզապես մաթեմատիկական արտահայտություն է գրվում: Հաշվիչում արմատ հանելը նշանակված է որպես sqrt և իրականացվում է երեք ստեղներով՝ քառակուսի արմատ sqrt(x), խորանարդ արմատ sqrt3(x) և n-րդ արմատ sqrt(x,y): Կառավարման վահանակի մասին ավելի մանրամասն տեղեկատվություն ներկայացված է էջում։

Քառակուսի արմատ

Սեղմելով այս կոճակը մուտքագրման տողում կտեղադրվի քառակուսի արմատի մուտքագրումը` sqrt(x), անհրաժեշտ է միայն մուտքագրել արմատական ​​արտահայտությունը և փակել փակագիծը:

Օրինակ լուծում քառակուսի արմատներհաշվիչում.

Եթե ​​արմատը բացասական թիվ է, իսկ արմատի աստիճանը՝ զույգ, ապա պատասխանը կներկայացվի որպես կոմպլեքս թիվ՝ երևակայական i միավորով։

Բացասական թվի քառակուսի արմատ.

Երրորդ արմատ

Օգտագործեք այս բանալին, երբ ձեզ անհրաժեշտ է խորանարդի արմատ վերցնել: Այն մուտքագրում է sqrt3(x) մուտքագրումը մուտքային տողի մեջ:

3-րդ աստիճանի արմատ.

n աստիճանի արմատ

Բնականաբար, առցանց արմատների հաշվիչը թույլ է տալիս հանել ոչ միայն թվի քառակուսի և խորանարդ արմատները, այլև n աստիճանի արմատը: Սեղմելով այս կոճակը, կցուցադրվի մուտք, ինչպիսին է sqrt(x x,y):

4-րդ արմատ.

Թվի ճշգրիտ n-րդ արմատը կարելի է հանել միայն այն դեպքում, եթե թիվն ինքնին ճշգրիտ n-րդ արմատ է: Հակառակ դեպքում, հաշվարկը կստացվի մոտավոր, թեև շատ մոտ է իդեալականին, քանի որ առցանց հաշվիչի հաշվարկների ճշգրտությունը հասնում է 14 տասնորդական թվի:

5-րդ արմատը՝ մոտավոր արդյունքով.

Կոտորակի արմատը

Հաշվիչը կարող է արմատը հաշվարկել տարբեր թվերից և արտահայտություններից: Կոտորակի արմատը գտնելը հանգում է համարիչի և հայտարարի արմատի առանձին հանմանը:

Կոտորակի քառակուսի արմատը.

Արմատ արմատից

Այն դեպքերում, երբ արտահայտության արմատը գտնվում է արմատի տակ, արմատների հատկություններով դրանք կարող են փոխարինվել մեկ արմատով, որի աստիճանը հավասար կլինի երկուսի աստիճանների արտադրյալին։ Պարզ ասած՝ արմատից արմատ հանելու համար բավական է արմատների ցուցիչները բազմապատկել։ Նկարում ներկայացված օրինակում երկրորդ աստիճանի արմատի երրորդ աստիճանի արմատ արտահայտությունը կարող է փոխարինվել մեկ 6-րդ աստիճանի արմատով։ Նշեք արտահայտությունը, ինչպես ցանկանում եք: Ամեն դեպքում, հաշվիչը ամեն ինչ ճիշտ կհաշվի։

Օրինակ, թե ինչպես կարելի է արմատ հանել արմատից.

Աստիճան արմատից

Աստիճանային հաշվիչի արմատը թույլ է տալիս հաշվարկել մեկ քայլով՝ առանց նախապես նվազեցնելու արմատային և աստիճանի ցուցիչները։

Աստիճանի քառակուսի արմատ.

Մեր անվճար հաշվիչի բոլոր գործառույթները հավաքված են մեկ բաժնում:

Արմատների լուծում առցանց հաշվիչումՎերջին անգամ փոփոխվել է 2016 թվականի մարտի 3-ին Ադմին

Ժամանակն է դասավորելու այն արմատների արդյունահանման մեթոդներ. Դրանք հիմնված են արմատների հատկությունների վրա, մասնավորապես, հավասարության վրա, որը ճիշտ է ցանկացած ոչ բացասական b թվի համար։

Ստորև մենք կանդրադառնանք արմատների արդյունահանման հիմնական մեթոդներին մեկ առ մեկ:

Սկսենք ամենապարզ դեպքից՝ բնական թվերից արմատներ հանելով՝ օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակը, խորանարդի աղյուսակը և այլն:

Եթե ​​քառակուսիների, խորանարդի աղյուսակները և այլն: Եթե ​​այն ձեռքի տակ չունեք, տրամաբանական է օգտագործել արմատը հանելու մեթոդը, որը ներառում է արմատական ​​թիվը պարզ գործոնների տարրալուծումը:

Հարկ է հատուկ նշել, թե ինչ է հնարավոր կենտ ցուցիչներով արմատների համար:

Ի վերջո, եկեք դիտարկենք մի մեթոդ, որը թույլ է տալիս մեզ հաջորդաբար գտնել արմատային արժեքի թվանշանները:

Եկեք սկսենք:

Օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակ, խորանարդի աղյուսակ և այլն:

Ամենապարզ դեպքերում քառակուսիների, խորանարդների և այլնի աղյուսակները թույլ են տալիս արմատներ հանել: Որոնք են այս աղյուսակները:

0-ից մինչև 99-ը ներառյալ ամբողջ թվերի քառակուսիների աղյուսակը (ներկայացված է ստորև) բաղկացած է երկու գոտիներից։ Աղյուսակի առաջին գոտին գտնվում է մոխրագույն ֆոնի վրա՝ ընտրելով որոշակի տող և կոնկրետ սյունակ, այն թույլ է տալիս կազմել 0-ից մինչև 99 թիվը։ Օրինակ՝ ընտրենք 8 տասնյակից բաղկացած տող և 3 միավորի սյունակ, դրանով ամրագրեցինք 83 թիվը։ Երկրորդ գոտին զբաղեցնում է աղյուսակի մնացած մասը։ Յուրաքանչյուր բջիջ գտնվում է որոշակի տողի և որոշակի սյունակի հատման կետում և պարունակում է 0-ից 99-ի համապատասխան թվի քառակուսին: Մեր ընտրած 8 տասնյակի և 3-րդ սյունակի հատման կետում կա 6889 թվով բջիջ, որը 83 թվի քառակուսին է։

Խորանարդների աղյուսակները, 0-ից 99 թվերի չորրորդ աստիճանի աղյուսակները և այլն, նման են քառակուսիների աղյուսակին, միայն երկրորդ գոտում պարունակում են խորանարդներ, չորրորդ ուժեր և այլն։ համապատասխան թվեր։

Քառակուսիների, խորանարդների, չորրորդ ուժերի աղյուսակներ և այլն: թույլ է տալիս արդյունահանել քառակուսի արմատներ, խորանարդ արմատներ, չորրորդ արմատներ և այլն: համապատասխանաբար այս աղյուսակների թվերից: Եկեք բացատրենք դրանց կիրառման սկզբունքը արմատներ հանելիս։

Ենթադրենք, մենք պետք է հանենք a թվի n-րդ արմատը, մինչդեռ a թիվը պարունակվում է n-րդ հզորությունների աղյուսակում: Օգտագործելով այս աղյուսակը, մենք գտնում ենք b թիվն այնպես, որ a=b n: Հետո , հետևաբար, b թիվը կլինի n-րդ աստիճանի ցանկալի արմատը։

Որպես օրինակ, եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է օգտագործել խորանարդի աղյուսակը 19683-ի խորանարդի արմատը հանելու համար: Մենք խորանարդների աղյուսակում գտնում ենք 19683 թիվը, որից գտնում ենք, որ այս թիվը 27 թվի խորանարդն է, հետևաբար. .

Հասկանալի է, որ n-րդ հզորությունների աղյուսակները շատ հարմար են արմատներ հանելու համար։ Այնուամենայնիվ, դրանք հաճախ ձեռքի տակ չեն, և դրանք կազմելը որոշակի ժամանակ է պահանջում։ Ավելին, հաճախ անհրաժեշտ է լինում արմատներ հանել այն թվերից, որոնք չեն պարունակվում համապատասխան աղյուսակներում։ Այս դեպքերում դուք պետք է դիմեք արմատների արդյունահանման այլ մեթոդների:

Արմատական ​​թվի ֆակտորավորում պարզ գործոնների

Բնական թվի արմատը հանելու բավականին հարմար միջոց (եթե, իհարկե, արմատը հանվում է) արմատական ​​թիվը պարզ գործոնների քայքայելն է։ Նրան բանը սա էդրանից հետո բավականին հեշտ է այն ներկայացնել որպես ուժ ցանկալի ցուցիչով, որը թույլ է տալիս ստանալ արմատի արժեքը։ Եկեք պարզաբանենք այս կետը.

Վերցնենք a բնական թվի n-րդ արմատը, իսկ արժեքը հավասար b. Այս դեպքում a=b n հավասարությունը ճիշտ է։ Բ համարը, ինչպես ցանկացածը բնական թիվկարող է ներկայացվել որպես իր բոլոր պարզ գործակիցների արտադրյալը՝ p 1 , p 2 , …, p m p 1 · p 2 · … · p m ձևով, իսկ a արմատական ​​թիվը այս դեպքում ներկայացված է որպես (p 1 · p 2 · … · p m) n. Քանի որ թվի տարրալուծումը պարզ գործոնների եզակի է, ապա արմատական ​​թվի տարրալուծումը պարզ գործակիցների կունենա (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ձևը, որը հնարավորություն է տալիս հաշվարկել արմատի արժեքը: ինչպես.

Նկատի ունեցեք, որ եթե a արմատական ​​թվի պարզ գործակիցների տարրալուծումը չի կարող ներկայացվել (p 1 ·p 2 ·…·p m) n ձևով, ապա այդպիսի a թվի n-րդ արմատն ամբողջությամբ չի հանվում:

Եկեք դա պարզենք օրինակներ լուծելիս:

Օրինակ.

Վերցրեք 144-ի քառակուսի արմատը:

Լուծում.

Եթե ​​նայեք նախորդ պարբերությունում տրված քառակուսիների աղյուսակին, ապա պարզ երևում է, որ 144 = 12 2, որից պարզ է, որ 144-ի քառակուսի արմատը հավասար է 12-ի։

Բայց այս կետի լույսի ներքո մեզ հետաքրքրում է, թե ինչպես է արմատը արդյունահանվում՝ 144 արմատական ​​թիվը տարրալուծելով պարզ գործոնների: Դիտարկենք այս լուծումը:

Եկեք քայքայվենք 144 դեպի պարզ գործոններ.

Այսինքն՝ 144=2·2·2·2·3·3: Ստացված տարրալուծման հիման վրա կարող են իրականացվել հետևյալ փոխակերպումները. 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Հետևաբար, .

Օգտագործելով աստիճանների և արմատների հատկությունները, լուծումը կարելի է մի փոքր այլ կերպ ձևակերպել.

Պատասխան.

Նյութը համախմբելու համար հաշվի առեք ևս երկու օրինակների լուծումները:

Օրինակ.

Հաշվիր արմատի արժեքը:

Լուծում.

243 արմատական ​​թվի պարզ գործոնավորումն ունի 243=3 5 ձև։ Այսպիսով, .

Պատասխան.

Օրինակ.

Արդյո՞ք արմատային արժեքը ամբողջ թիվ է:

Լուծում.

Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք արմատական ​​թիվը դասավորենք պարզ գործոնների և տեսնենք, թե արդյոք այն կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվի խորանարդ:

Մենք ունենք 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2: Ստացված ընդլայնումը չի ներկայացվում որպես ամբողջ թվի խորանարդ, քանի որ աստիճանը հիմնական գործոնը 7-ը երեքի բազմապատիկ չէ: Հետևաբար, 285768-ի խորանարդի արմատը չի կարող ամբողջությամբ հանվել:

Պատասխան.

Ոչ

Արմատներ հանելը կոտորակային թվերից

Ժամանակն է պարզել, թե ինչպես կարելի է արմատից հանել կոտորակային թիվ. Թող կոտորակային արմատական ​​թիվը գրվի որպես p/q: Ըստ քանորդի արմատի հատկության՝ ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը. Այս հավասարությունից բխում է Կոտորակի արմատը հանելու կանոնԿոտորակի արմատը հավասար է համարիչի արմատի քանորդին, որը բաժանվում է հայտարարի արմատի վրա:

Եկեք նայենք կոտորակից արմատ հանելու օրինակին:

Օրինակ.

Ինչի՞ է կազմում քառակուսի արմատը ընդհանուր կոտորակ 25/169 .

Լուծում.

Օգտագործելով քառակուսիների աղյուսակը՝ մենք գտնում ենք, որ սկզբնական կոտորակի համարիչի քառակուսի արմատը հավասար է 5-ի, իսկ հայտարարի քառակուսի արմատը հավասար է 13-ի։ Հետո . Սա ավարտում է 25/169 ընդհանուր կոտորակի արմատի արդյունահանումը:

Պատասխան.

Տասնորդական կոտորակի կամ խառը թվի արմատն արդյունահանվում է արմատական ​​թվերը սովորական կոտորակներով փոխարինելուց հետո։

Օրինակ.

Վերցրեք 474.552 տասնորդական կոտորակի խորանարդային արմատը:

Լուծում.

Պատկերացնենք բնօրինակը տասնորդականորպես ընդհանուր կոտորակ՝ 474.552=474552/1000։ Հետո . Մնում է դուրս հանել այն խորանարդային արմատները, որոնք գտնվում են ստացված կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ։ Որովհետև 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 և 1 000 = 10 3, ապա Եվ . Մնում է ավարտին հասցնել հաշվարկները .

Պատասխան.

.

Բացասական թվի արմատ վերցնելը

Արժե անդրադառնալ բացասական թվերից արմատներ հանելու վրա։ Արմատներն ուսումնասիրելիս ասացինք, որ երբ արմատային ցուցիչը կենտ թիվ է, ապա արմատի նշանի տակ կարող է լինել բացասական թիվ։ Այս գրառումներին տվեցինք հետևյալ նշանակությունը՝ −a բացասական թվի և 2 n−1 արմատի կենտ ցուցիչի համար, . Այս հավասարությունը տալիս է բացասական թվերից կենտ արմատներ հանելու կանոնԲացասական թվի արմատ հանելու համար հարկավոր է վերցնել հակառակ դրական թվի արմատը և արդյունքի դիմաց դնել մինուս նշան։

Դիտարկենք լուծման օրինակը:

Օրինակ.

Գտեք արմատի արժեքը:

Լուծում.

Եկեք վերափոխենք սկզբնական արտահայտությունը, որպեսզի արմատի նշանի տակ դրական թիվ լինի. . Հիմա խառը թիվփոխարինել սովորական կոտորակով. . Մենք կիրառում ենք սովորական կոտորակի արմատը հանելու կանոնը. . Մնում է հաշվարկել արմատները ստացված կոտորակի համարիչի և հայտարարի մեջ. .

Ահա լուծման կարճ ամփոփագիրը. .

Պատասխան.

.

Արմատային արժեքի բիթային որոշում

IN ընդհանուր դեպքԱրմատի տակ կա մի թիվ, որը, օգտագործելով վերը քննարկված տեխնիկան, չի կարող ներկայացվել որպես որևէ թվի n-րդ աստիճան: Բայց այս դեպքում անհրաժեշտություն է առաջանում իմանալ տվյալ արմատի իմաստը, գոնե մինչև որոշակի նշան։ Այս դեպքում արմատը հանելու համար կարող եք օգտագործել ալգորիթմ, որը թույլ է տալիս հետևողականորեն ստանալ բավարար քանակությամբանհրաժեշտ թվի թվանշանների արժեքները.

Այս ալգորիթմի առաջին քայլն է պարզել, թե որն է արմատային արժեքի ամենակարևոր բիթը: Դա անելու համար 0, 10, 100, ... թվերը հաջորդաբար բարձրացվում են n հզորության, մինչև ստացվի այն պահը, երբ թիվը գերազանցում է արմատական ​​թիվը։ Այնուհետև այն թիվը, որը մենք նախորդ փուլում բարձրացրինք n հզորության, ցույց կտա համապատասխան ամենակարևոր թվանշանը:

Օրինակ, հաշվի առեք ալգորիթմի այս քայլը հինգի քառակուսի արմատը հանելիս: Վերցրեք 0, 10, 100, ... թվերը և քառակուսիացրեք դրանք մինչև ստանանք 5-ից մեծ թիվ։ Մենք ունենք 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, ինչը նշանակում է, որ ամենակարևոր թվանշանը կլինի մեկ թվանշանը: Այս բիթերի արժեքը, ինչպես նաև ստորինները, կգտնվեն արմատների արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլերում:

Ալգորիթմի բոլոր հետևյալ քայլերը ուղղված են արմատի արժեքը հաջորդաբար պարզելուն՝ գտնելով արմատի ցանկալի արժեքի հաջորդ բիթերի արժեքները՝ սկսած ամենաբարձրից և շարժվելով դեպի ամենացածրը: Օրինակ՝ արմատի արժեքը առաջին քայլում ստացվում է 2, երկրորդում՝ 2,2, երրորդում՝ 2,23, և այսպես՝ 2,236067977…: Եկեք նկարագրենք, թե ինչպես են գտնվել բիթերի արժեքները:

Թվանշանները գտնվում են՝ փնտրելով դրանց հնարավոր արժեքները՝ 0, 1, 2, ..., 9: Այս դեպքում զուգահեռ հաշվարկվում են համապատասխան թվերի n-րդ հզորությունները, և դրանք համեմատվում են արմատական ​​թվի հետ։ Եթե ​​ինչ-որ փուլում աստիճանի արժեքը գերազանցում է արմատական ​​թիվը, ապա նախորդ արժեքին համապատասխան թվանշանի արժեքը համարվում է հայտնաբերված, և անցում է կատարվում արմատի արդյունահանման ալգորիթմի հաջորդ քայլին, եթե դա տեղի չունենա. ապա այս թվանշանի արժեքը 9 է։

Եկեք բացատրենք այս կետերը՝ օգտագործելով հինգի քառակուսի արմատը հանելու նույն օրինակը:

Նախ մենք գտնում ենք միավորների թվանշանի արժեքը: Մենք կանցնենք 0, 1, 2, ..., 9 արժեքների միջով՝ համապատասխանաբար հաշվելով 0 2, 1 2, ..., 9 2, մինչև ստանանք 5-րդ ռադիկալ թվից ավելի մեծ արժեք։ Այս բոլոր հաշվարկները հարմար է ներկայացնել աղյուսակի տեսքով.

Այսպիսով, միավորների թվանշանի արժեքը 2 է (քանի որ 2 2<5 , а 2 3 >5). Անցնենք տասներորդական տեղի արժեքը գտնելուն։ Այս դեպքում մենք քառակուսի կկազմենք 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 թվերը՝ համեմատելով ստացված արժեքները 5-րդ արմատական ​​թվի հետ.

Քանի որ 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, ապա տասներորդական տեղի արժեքը 2 է։ Դուք կարող եք շարունակել գտնել հարյուրերորդական տեղի արժեքը.

Այսպիսով, գտնվեց հաջորդ արժեքըհինգի արմատ, այն հավասար է 2,23-ի։ Եվ այսպես, դուք կարող եք շարունակել գտնել արժեքներ. 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Նյութը համախմբելու համար մենք կվերլուծենք արմատի արդյունահանումը հարյուրերորդական ճշգրտությամբ՝ օգտագործելով դիտարկված ալգորիթմը:

Սկզբում մենք որոշում ենք ամենակարևոր թվանշանը: Դա անելու համար մենք խորանարդ ենք կազմում 0, 10, 100 և այլն թվերը: քանի դեռ չենք ստացել 2,151,186-ից մեծ թիվ։ Մենք ունենք 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, ուստի ամենակարևոր թվանշանը տասնյակների թվանշանն է:

Եկեք որոշենք դրա արժեքը:

103-ից սկսած<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, ապա տասնյակի տեղի արժեքը 1 է։ Անցնենք միավորներին:

Այսպիսով, մեկ թվանշանի արժեքը 2 է: Անցնենք տասներորդներին:

Քանի որ նույնիսկ 12,9 3-ը փոքր է 2 151,186 արմատական ​​թվից, ապա տասներորդական տեղի արժեքը 9 է։ Մնում է կատարել ալգորիթմի վերջին քայլը, այն մեզ կտա անհրաժեշտ ճշգրտությամբ արմատի արժեքը։

Այս փուլում արմատի արժեքը ճշգրիտ է հայտնաբերվում հարյուրերորդական. .

Եզրափակելով այս հոդվածը, ես կցանկանայի ասել, որ արմատներ հանելու շատ այլ եղանակներ կան: Բայց առաջադրանքների մեծ մասի համար վերը ուսումնասիրվածները բավարար են:

Հղումներ.

• Մակարիչև Յու.Ն., Մինդյուկ Ն.Գ., Նեշկով Կ.Ի., Սուվորովա Ս.Բ. Հանրահաշիվ. Դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. ուսումնական հաստատություններ.
• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների 10-11-րդ դասարանների համար:
• Գուսև Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ. Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար).

Ինժեներական հաշվիչ առցանց

Մենք ուրախ ենք բոլորին նվիրել անվճար ինժեներական հաշվիչ: Նրա օգնությամբ ցանկացած ուսանող կարող է արագ և, որ ամենակարեւորն է, հեշտությամբ կատարել տարբեր տեսակի մաթեմատիկական հաշվարկներ առցանց։

Պարզ և հեշտ օգտագործվող ինժեներական հաշվիչը՝ աննկատ և ինտուիտիվ ինտերֆեյսով, իսկապես օգտակար կլինի ինտերնետից օգտվողների լայն շրջանակի համար: Այժմ, երբ Ձեզ անհրաժեշտ է հաշվիչ, գնացեք մեր կայք և օգտագործեք անվճար ինժեներական հաշվիչը:

Ինժեներական հաշվիչը կարող է կատարել ինչպես պարզ թվաբանական գործողություններ, այնպես էլ բավականին բարդ մաթեմատիկական հաշվարկներ։

Web20calc-ը ինժեներական հաշվիչ է, որն ունի հսկայական թվով գործառույթներ, օրինակ՝ ինչպես հաշվարկել բոլոր տարրական ֆունկցիաները: Հաշվիչը նաև աջակցում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներին, մատրիցներին, լոգարիթմներին և նույնիսկ գրաֆիկական ձևավորմանը:

Անկասկած, Web20calc-ը կհետաքրքրի մարդկանց այն խմբին, ովքեր պարզ լուծումներ փնտրելով որոնման համակարգերում մուտքագրում են հարցումը՝ առցանց մաթեմատիկական հաշվիչ: Անվճար վեբ հավելվածը կօգնի ձեզ ակնթարթորեն հաշվարկել ինչ-որ մաթեմատիկական արտահայտության արդյունքը, օրինակ՝ հանել, ավելացնել, բաժանել, հանել արմատը, բարձրացնել հզորության և այլն։

Արտահայտության մեջ կարող եք օգտագործել աստիճանի, գումարման, հանման, բազմապատկման, բաժանման, տոկոսի և PI հաստատունի գործողությունները: Բարդ հաշվարկների համար պետք է ներառվեն փակագծեր:

Ինժեներական հաշվիչի առանձնահատկությունները.

1. հիմնական թվաբանական գործողություններ;
2. թվերի հետ աշխատել ստանդարտ ձևով.
3. եռանկյունաչափական արմատների, ֆունկցիաների, լոգարիթմների, հզորության հաշվարկ;
4. վիճակագրական հաշվարկներ՝ գումարում, միջին թվաբանական կամ ստանդարտ շեղում.
5. հիշողության բջիջների և 2 փոփոխականի մաքսային գործառույթների օգտագործում;
6. աշխատել անկյունների հետ ռադիանի և աստիճանի չափերով:

Ինժեներական հաշվիչը թույլ է տալիս օգտագործել մի շարք մաթեմատիկական գործառույթներ.

Արմատների արդյունահանում (քառակուսի, խորանարդ և n-րդ արմատ);
ex (e դեպի x հզորություն), էքսպոնենցիալ;
եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ սինուս - մեղք, կոսինուս - cos, տանգենս - թան;
հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ՝ arcsine - sin-1, arccosine - cos-1, arctangent - tan-1;
հիպերբոլիկ ֆունկցիաներ՝ սինուս - սինհ, կոսինուս - կոշ, տանգենս - տանհ;
լոգարիթմներ՝ երկուական լոգարիթմ երկու հիմքի վրա՝ log2x, տասնորդական լոգարիթմից մինչև տասը հիմք՝ log, բնական լոգարիթմ՝ ln:

Այս ինժեներական հաշվիչը ներառում է նաև քանակի հաշվիչ՝ տարբեր չափման համակարգերի համար ֆիզիկական մեծություններ փոխակերպելու ունակությամբ՝ համակարգչային միավորներ, հեռավորություն, քաշ, ժամանակ և այլն: Օգտագործելով այս գործառույթը, դուք կարող եք ակնթարթորեն փոխարկել մղոնները կիլոմետրերի, ֆունտները կիլոգրամների, վայրկյանները ժամերի և այլն:

Մաթեմատիկական հաշվարկներ կատարելու համար նախ համապատասխան դաշտում մուտքագրեք մաթեմատիկական արտահայտությունների հաջորդականությունը, ապա սեղմեք հավասարության նշանի վրա և տեսեք արդյունքը։ Դուք կարող եք արժեքներ մուտքագրել անմիջապես ստեղնաշարից (դրա համար հաշվիչի տարածքը պետք է ակտիվ լինի, հետևաբար, օգտակար կլինի կուրսորը տեղադրել մուտքագրման դաշտում): Ի թիվս այլ բաների, տվյալները կարող են մուտքագրվել հենց հաշվիչի կոճակների միջոցով:

Գրաֆիկներ ստեղծելու համար դուք պետք է մուտքագրեք գործառույթը մուտքագրման դաշտում, ինչպես նշված է դաշտում օրինակներով կամ օգտագործեք դրա համար հատուկ ստեղծված գործիքագոտին (այն գնալու համար սեղմեք գրաֆիկի պատկերակով կոճակը): Արժեքները փոխարկելու համար սեղմեք Unit՝ մատրիցներով աշխատելու համար, սեղմեք Matrix;

Եթե ​​ձեռքի տակ ունեք հաշվիչ, ապա ցանկացած թվի խորանարդի արմատ հանելը խնդիր չի լինի: Բայց եթե դուք չունեք հաշվիչ կամ պարզապես ցանկանում եք տպավորություն թողնել ուրիշների վրա, ձեռքով գտեք խորանարդի արմատը: Մարդկանց մեծամասնության համար այստեղ նկարագրված գործընթացը բավականին բարդ կլինի, բայց պրակտիկայի դեպքում խորանարդի արմատներ հանելը շատ ավելի հեշտ կդառնա: Նախքան այս հոդվածը կարդալը, հիշեք հիմնական մաթեմատիկական գործողությունները և հաշվարկները խորանարդային թվերով:

Քայլեր

Մաս 1

Գրեք առաջադրանքը:Ձեռքով խորանարդի արմատներ վերցնելը նման է երկար բաժանմանը, բայց որոշ նրբերանգներով: Նախ, գրեք առաջադրանքը կոնկրետ ձևով:

• Գրեք այն թիվը, որից ցանկանում եք վերցնել խորանարդի արմատը: Թիվը բաժանեք երեք նիշանոց խմբերի՝ սկսած տասնորդական կետից: Օրինակ, դուք պետք է վերցնեք 10-ի խորանարդի արմատը: Գրեք այս թիվը հետևյալ կերպ.
• Թվի կողքին և վերևում նկարեք արմատային նշան: Մտածեք դրա մասին որպես հորիզոնական և ուղղահայաց գծեր, որոնք դուք գծում եք բաժանելիս: Միակ տարբերությունը երկու նշանների ձևն է:
• Հորիզոնական գծի վերևում տեղադրեք տասնորդական կետ: Դա արեք անմիջապես սկզբնական թվի տասնորդական կետից բարձր:

1. Հիշեք խորանարդով կտրված ամբողջ թվերի արդյունքները:Դրանք կօգտագործվեն հաշվարկներում։

   • 1 3 = 1 ∗ 1 ∗ 1 = 1 (\displaystyle 1^(3)=1*1*1=1)
   • 2 3 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=2*2*2=8)
   • 3 3 = 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 (\displaystyle 3^(3)=3*3*3=27)
   • 4 3 = 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 4^(3)=4*4*4=64)
   • 5 3 = 5 ∗ 5 ∗ 5 = 125 (\displaystyle 5^(3)=5*5*5=125)
   • 6 3 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 (\displaystyle 6^(3)=6*6*6=216)
   • 7 3 = 7 ∗ 7 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=7*7*7=343)
   • 8 3 = 8 ∗ 8 ∗ 8 = 512 (\displaystyle 8^(3)=8*8*8=512)
   • 9 3 = 9 ∗ 9 ∗ 9 = 729 (\displaystyle 9^(3)=9*9*9=729)
   • 10 3 = 10 ∗ 10 ∗ 10 = 1000 (\displaystyle 10^(3)=10*10*10=1000)

2. Գտեք պատասխանի առաջին թվանշանը:Ընտրեք այն ամբողջ թվի խորանարդը, որն ամենամոտ է, բայց փոքր է, քան առաջին երեք թվանշաններից բաղկացած խումբը:

   • Մեր օրինակում երեք նիշերից բաղկացած առաջին խումբը 10 թիվն է: Գտեք ամենամեծ խորանարդը, որը փոքր է 10-ից: Այս խորանարդը 8 է, իսկ 8-ի խորանարդի արմատը 2 է:
   • 10 թվի վերևի հորիզոնական գծի վերևում գրեք 2 թիվը։ Ապա գրեք գործողության արժեքը 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8 10-ից: Գծեք գիծ և 10-ից հանեք 8 (ինչպես կանոնավոր երկար բաժանման դեպքում): Արդյունքը 2 է (սա առաջին մնացորդն է):
   • Այսպիսով, դուք գտել եք պատասխանի առաջին նիշը։ Մտածեք՝ արդյոք տրված արդյունքը բավականաչափ ճշգրիտ է։ Շատ դեպքերում սա շատ կոպիտ պատասխան կլինի։ Արդյունքը խորանարդիկ արեք՝ պարզելու համար, թե որքանով է այն մոտ սկզբնական թվին: Մեր օրինակում. 2 3 (\displaystyle 2^(3))= 8, որը շատ մոտ չէ 10-ին, ուստի պետք է շարունակել հաշվարկները:

3. Գտե՛ք պատասխանի հաջորդ թվանշանը:Առաջին մնացորդին ավելացրեք երեք թվանշաններից բաղկացած երկրորդ խումբ և ստացված թվի ձախ կողմում ուղղահայաց գիծ գծեք: Օգտագործելով ստացված թիվը, դուք կգտնեք պատասխանի երկրորդ նիշը: Մեր օրինակում մենք պետք է առաջին մնացորդին (2) ավելացնենք երեք թվանշաններից բաղկացած երկրորդ խումբ (000), որպեսզի ստանանք 2000 թիվը:

   • Ուղղահայաց գծից ձախ գրելու եք երեք թիվ, որոնց գումարը հավասար է որոշակի առաջին գործոնի։ Այս թվերի համար դատարկ բացատներ թողեք և դրանց միջև դրեք գումարած նշաններ:

4. Գտե՛ք առաջին անդամը (երեքից):Առաջին դատարկ տեղում գրեք 300 թիվը պատասխանի առաջին թվանշանի քառակուսով բազմապատկելու արդյունքը (արմատի նշանի վերևում գրված է)։ Մեր օրինակում պատասխանի առաջին նիշը 2 է, ուրեմն 300*(2^2) = 300*4 = 1200: Առաջին դատարկ տեղում գրեք 1200: Առաջին անդամը 1200 թիվն է (գումարած ևս երկու թվեր գտնելու համար):

   Գտե՛ք պատասխանի երկրորդ թվանշանը։Պարզեք, թե ինչ թվով պետք է բազմապատկեք 1200-ը, որպեսզի արդյունքը մոտ լինի, բայց չգերազանցի 2000-ը: Այս թիվը կարող է լինել միայն 1, քանի որ 2 * 1200 = 2400, որը 2000-ից ավելի է: Գրեք 1 (երկրորդ թվանշանը): պատասխանը) 2-ից հետո և տասնորդական կետը արմատային նշանի վերևում:

   Գտե՛ք երկրորդ և երրորդ անդամները (երեքից):Բազմապատկիչը բաղկացած է երեք թվերից (տերմիններ), որոնցից առաջինը դուք արդեն գտել եք (1200): Այժմ մենք պետք է գտնենք մնացած երկու տերմինները:

   • 3-ը բազմապատկեք 10-ով և պատասխանի յուրաքանչյուր թվանշանով (դրանք գրված են արմատի նշանի վերևում): Մեր օրինակում՝ 3*10*2*1 = 60: Այս արդյունքը ավելացրեք 1200-ին և ստացեք 1260:
   • Վերջապես քառակուսի դարձրու պատասխանիդ վերջին թվանշանը: Մեր օրինակում պատասխանի վերջին նիշը 1 է, հետևաբար 1^2 = 1։ Այսպիսով, առաջին գործակիցը հավասար է հետևյալ թվերի գումարին. 1200 + 60 + 1 = 1261։ ուղղահայաց բար.

5. Բազմապատկել և հանել:Պատասխանի վերջին թվանշանը (մեր օրինակում 1-ն է) բազմապատկեք գտնված գործակցով (1261)՝ 1*1261 = 1261։ Այս թիվը գրեք 2000-ի տակ և հանեք այն 2000-ից։ Դուք կստանաք 739 (սա երկրորդ մնացորդն է։ )

6. Մտածեք՝ արդյոք ստացված պատասխանը բավականաչափ ճշգրիտ է։Դա արեք ամեն անգամ, երբ լրացնում եք ևս մեկ հանում: Առաջին հանումից հետո պատասխանը եղել է 2, որը ճշգրիտ արդյունք չէ։ Երկրորդ հանումից հետո պատասխանը 2.1 է:

   • Ձեր պատասխանի ճշգրտությունը ստուգելու համար այն խորանարդաձևեք՝ 2.1*2.1*2.1 = 9.261:
   • Եթե ​​կարծում եք, որ պատասխանը բավականաչափ ճշգրիտ է, ապա պետք չէ շարունակել հաշվարկները. հակառակ դեպքում կատարեք ևս մեկ հանում:

7. Գտեք երկրորդ գործոնը.Ձեր հաշվարկները կիրառելու և ավելի ճշգրիտ արդյունք ստանալու համար կրկնեք վերը նշված քայլերը:

   • Երկրորդ մնացորդին (739) ավելացրեք երեք թվանշաններից բաղկացած երրորդ խումբը (000): Դուք կստանաք 739000 համարը։
   • 300-ը բազմապատկեք արմատի նշանի (21) վերևում գրված թվի քառակուսով. 300 ∗ 21 2 (\displaystyle 300*21^(2)) = 132300.
   • Գտե՛ք պատասխանի երրորդ թվանշանը: Պարզեք, թե ինչ թվով պետք է բազմապատկեք 132300-ը, որպեսզի արդյունքը մոտ լինի, բայց չգերազանցի 739000-ը։ Այս թիվը 5 է։ արմատային նշան.
   • 3-ը 10-ով բազմապատկեք 21-ով և պատասխանի վերջին թվանշանով (դրանք գրված են արմատի նշանի վերևում): Մեր օրինակում. 3 ∗ 21 ∗ 5 ∗ 10 = 3150 (\displaystyle 3*21*5*10=3150).
   • Վերջապես քառակուսի դարձրու պատասխանիդ վերջին թվանշանը: Մեր օրինակում պատասխանի վերջին թվանշանը 5 է, ուրեմն 5 2 = 25. (\displaystyle 5^(2)=25.)
   • Այսպիսով, երկրորդ բազմապատկիչն է՝ 132300 + 3150 + 25 = 135475։

8. Պատասխանի վերջին թվանշանը բազմապատկեք երկրորդ գործակցով:Պատասխանի երկրորդ գործոնը և երրորդ թվանշանը գտնելուց հետո շարունակեք հետևյալը.

   • Պատասխանի վերջին թվանշանը բազմապատկեք գտնված գործակցով՝ 135475*5 = 677375։
   • հանել՝ 739000-677375 = 61625:
   • Մտածեք՝ արդյոք ստացված պատասխանը բավականաչափ ճշգրիտ է։ Դա անելու համար այն խորանարդի վերածեք. 2 , 15 ∗ 2 , 15 ∗ 2 , 15 = 9 , 94 (\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94).

9. Գրեք ձեր պատասխանը:Արդյունքը, որը գրված է արմատային նշանի վերևում, երկու տասնորդական թվերի ճշգրիտ պատասխանն է: Մեր օրինակում 10-ի խորանարդի արմատը 2,15 է: Ստուգեք ձեր պատասխանը` այն խորանարդավորելով. 2.15^3 = 9.94, որը մոտավորապես 10 է: Եթե ձեզ ավելի ճշգրիտ է անհրաժեշտ, շարունակեք հաշվարկը (ինչպես նկարագրված է վերևում):

   Մաս 2

   Խորանարդի արմատի արդյունահանում գնահատման մեթոդով

   1. Վերին և ստորին սահմանները որոշելու համար օգտագործեք թվերի խորանարդներ:Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է վերցնել գրեթե ցանկացած թվի խորանարդային արմատը, գտե՛ք տվյալ թվին մոտ գտնվող խորանարդները (որոշ թվերի)։

      • Օրինակ, պետք է վերցնել 600-ի խորանարդի արմատը։ Քանի որ 8 3 = 512 (\displaystyle 8^(3)=512)Եվ 9 3 = 729 (\displaystyle 9^(3)=729), ապա 600-ի խորանարդի արմատի արժեքը գտնվում է 8-ի և 9-ի միջև: Հետևաբար, օգտագործեք 512 և 729 թվերը որպես պատասխանի վերին և ստորին սահմաններ:

   2. Գնահատեք երկրորդ թիվը։Դուք գտել եք առաջին թիվը ամբողջ թվերի խորանարդների իմացության շնորհիվ: Այժմ ամբողջ թիվը վերածեք տասնորդական կոտորակի՝ դրան ավելացնելով (տասնորդական կետից հետո) որոշակի թիվ 0-ից մինչև 9: Դուք պետք է գտնեք տասնորդական կոտորակ, որի խորանարդը մոտ է, բայց փոքր է սկզբնական թվին:

      • Մեր օրինակում 600 թիվը գտնվում է 512-ի և 729-ի միջև։ Օրինակ՝ հայտնաբերված առաջին թվին ավելացրեք 5 թիվը։ Ստացված թիվը 8,5 է։
   3. • Մեր օրինակում. 8 , 5 ∗ 8 , 5 ∗ 8 , 5 = 614 , 1. (\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1.)

   4. Ստացված թվի խորանարդը համեմատի՛ր սկզբնական թվի հետ։ Եթե ​​ստացված թվի խորանարդը սկզբնական թվից մեծ է, փորձեք գնահատել ավելի փոքր թիվը: Եթե ​​ստացված թվի խորանարդը շատ փոքր է սկզբնական թվից, ապա գնահատեք ավելի մեծ թվեր, մինչև դրանցից մեկի խորանարդը գերազանցի սկզբնական թիվը։

      • Մեր օրինակում. 8 , 5 3 (\displaystyle 8.5^(3))> 600: Այսպիսով, փոքր թիվը գնահատեք 8.4: Կտրեք այս թիվը և համեմատեք այն սկզբնական թվի հետ. 8 , 4 ∗ 8 , 4 ∗ 8 , 4 = 592 , 7 (\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7). Այս արդյունքը սկզբնական թվից փոքր է: Այսպիսով, 600-ի խորանարդի արմատի արժեքը գտնվում է 8.4-ի և 8.5-ի միջև:

   5. Ձեր պատասխանի ճշգրտությունը բարելավելու համար գնահատեք հետևյալ թիվը։Ձեր վերջին գնահատած յուրաքանչյուր թվի համար ավելացրեք 0-ից մինչև 9-ը, մինչև ստանաք ճշգրիտ պատասխանը: Յուրաքանչյուր գնահատման փուլում դուք պետք է գտնեք վերին և ստորին սահմանները, որոնց միջև ընկած է սկզբնական թիվը:

      • Մեր օրինակում. 8, 4 3 = 592, 7 (\displaystyle 8.4^(3)=592.7)Եվ 8, 5 3 = 614, 1 (\displaystyle 8.5^(3)=614.1). Բնօրինակ 600 թիվը ավելի մոտ է 592-ին, քան 614-ին: Հետևաբար, ձեր գնահատած վերջին թվին նշանակեք մի թիվ, որն ավելի մոտ է 0-ին, քան 9-ին: Օրինակ, այդպիսի թիվը 4-ն է: Հետևաբար, 8.44 թիվը խորանարդի վերածեք:

   6. Անհրաժեշտության դեպքում գնահատեք այլ թիվ:Ստացված թվի խորանարդը համեմատե՛ք սկզբնական թվի հետ։ Եթե ​​ստացված թվի խորանարդը սկզբնական թվից մեծ է, փորձեք գնահատել ավելի փոքր թիվը: Մի խոսքով, դուք պետք է գտնեք երկու թվեր, որոնց խորանարդները մի փոքր ավելի մեծ են և մի փոքր փոքր, քան սկզբնական թիվը:

      • Մեր օրինակում 8 , 44 ∗ 8 , 44 ∗ 8 , 44 = 601 , 2 (\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2). Սա մի փոքր ավելի մեծ է, քան սկզբնական թիվը, այնպես որ գնահատեք մեկ այլ (ավելի փոքր) թիվ, օրինակ՝ 8.43: 8 , 43 ∗ 8 , 43 ∗ 8 , 43 = 599 , 07 (\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07). Այսպիսով, 600-ի խորանարդի արմատը գտնվում է 8.43-ի և 8.44-ի միջև:

   7. Հետևեք նկարագրված գործընթացին, մինչև ստանաք պատասխան, որից գոհ եք:Գնահատե՛ք հաջորդ թիվը, համեմատե՛ք բնօրինակի հետ, ապա անհրաժեշտության դեպքում գնահատե՛ք մեկ այլ թիվ և այլն։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տասնորդական կետից հետո յուրաքանչյուր լրացուցիչ թվանշան մեծացնում է պատասխանի ճշգրտությունը:

      • Մեր օրինակում 8.43-ի խորանարդը 1-ից փոքր է սկզբնական թվից. 8, 434 3 = 599, 93 (\displaystyle 8,434^(3)=599,93), այսինքն՝ արդյունքը սկզբնական թվից պակաս է 0,1-ով։