Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք թերի լուծմանը քառակուսի հավասարումներ.

Բայց նախ, եկեք կրկնենք, թե որ հավասարումները կոչվում են քառակուսի: ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումը, որտեղ x-ը փոփոխական է, իսկ a, b և c գործակիցները որոշ թվեր են, իսկ a ≠ 0, կոչվում է. քառակուսի. Ինչպես տեսնում ենք, x 2-ի գործակիցը հավասար չէ զրոյի, և, հետևաբար, x-ի կամ ազատ անդամի գործակիցները կարող են հավասար լինել զրոյի, որի դեպքում մենք ստանում ենք ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում։

Գոյություն ունեն երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

1) Եթե b = 0, c ≠ 0, ապա ax 2 + c = 0;

2) Եթե b ≠ 0, c = 0, ապա ax 2 + bx = 0;

3) Եթե b = 0, c = 0, ապա կացին 2 = 0:

• Եկեք պարզենք, թե ինչպես լուծել ax 2 + c = 0 ձևի հավասարումներ:

Հավասարումը լուծելու համար c ազատ անդամը տեղափոխում ենք հավասարման աջ կողմ, ստանում ենք

կացին 2 = ‒ վրկ. Քանի որ a ≠ 0, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք a-ի, ապա x 2 = ‒c/a:

Եթե ​​‒с/а > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ

x = ±√(–c/a) .

Եթե ​​‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Փորձենք օրինակներով հասկանալ, թե ինչպես լուծել նման հավասարումները։

Օրինակ 1. Լուծե՛ք 2x 2 ‒ 32 = 0 հավասարումը:

Պատասխան՝ x 1 = - 4, x 2 = 4:

Օրինակ 2. Լուծե՛ք 2x 2 + 8 = 0 հավասարումը։

Պատասխան՝ հավասարումը լուծումներ չունի։

• Եկեք պարզենք, թե ինչպես լուծել այն ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումներ:

ax 2 + bx = 0 հավասարումը լուծելու համար գործոնացնենք այն, այսինքն փակագծերից հանենք x, կստանանք x(ax + b) = 0: Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է. մինչև զրոյի: Այնուհետև կամ x = 0, կամ ax + b = 0: Լուծելով ax + b = 0 հավասարումը, մենք ստանում ենք ax = - b, որտեղից x = - b/a: ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումը միշտ ունի երկու արմատ x 1 = 0 և x 2 = ‒ b/a: Տեսեք, թե ինչպիսին է այս տիպի հավասարումների լուծումը գծապատկերում:

Կոնկրետ օրինակով համախմբենք մեր գիտելիքները.

Օրինակ 3. Լուծե՛ք 3x 2 ‒ 12x = 0 հավասարումը:

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 կամ 3x – 12 = 0

Պատասխան՝ x 1 = 0, x 2 = 4:

• Երրորդ տիպի կացին 2 = 0 հավասարումներլուծվում են շատ պարզ.

Եթե ​​ax 2 = 0, ապա x 2 = 0. Հավասարումն ունի երկու հավասար արմատ x 1 = 0, x 2 = 0:

Պարզության համար եկեք նայենք դիագրամին:

Օրինակ 4-ը լուծելիս համոզվենք, որ այս տիպի հավասարումները կարող են լուծվել շատ պարզ:

Օրինակ 4.Լուծե՛ք 7x2=0 հավասարումը։

Պատասխան՝ x 1, 2 = 0:

Միշտ չէ, որ անմիջապես պարզ է, թե ինչ տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ պետք է լուծենք: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը.

Օրինակ 5.Լուծե՛ք հավասարումը

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք ընդհանուր հայտարարով, այսինքն՝ 30-ով։

Եկեք կրճատենք այն

5 (5x 2 + 9) – 6 (4x 2 – 9) = 90:

Բացենք փակագծերը

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90:

Եկեք նմանատիպը տանք

99-ը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ՝ նշանը փոխելով հակառակի

Պատասխան՝ արմատներ չկան:

Մենք նայեցինք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները: Հուսով եմ, որ հիմա նման առաջադրանքների հետ կապված դժվարություններ չեք ունենա։ Զգույշ եղեք, երբ որոշել եք թերի քառակուսի հավասարման տեսակը, ապա ձեզ կհաջողվի։

Եթե ​​այս թեմայով հարցեր ունեք, գրանցվեք իմ դասերին, մենք միասին կլուծենք ծագած խնդիրները։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Շարունակելով «Հավասարումների լուծում» թեման՝ այս հոդվածի նյութը ձեզ կծանոթացնի քառակուսի հավասարումների:

Եկեք մանրամասն քննարկենք ամեն ինչ՝ քառակուսի հավասարման էությունն ու գրանցումը, սահմանենք հարակից տերմինները, վերլուծենք թերի լուծման սխեման և ամբողջական հավասարումներ, կծանոթանանք արմատների եւ դիսկրիմինանտի բանաձեւին, կապեր կհաստատենք արմատների ու գործակիցների միջեւ, եւ իհարկե գործնական օրինակներին տեսողական լուծում կտանք։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

Քառակուսային հավասարումհավասարում է, որը գրված է այսպես a x 2 + b x + c = 0, Որտեղ x– փոփոխական, a , b և գ– որոշ թվեր, մինչդեռ ազրո չէ.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները կոչվում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ, քանի որ ըստ էության քառակուսային հավասարումը երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է։

Լուսաբանելու համար բերենք օրինակ տրված սահմանումը 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 և այլն: Սրանք քառակուսի հավասարումներ են:

Սահմանում 2

a, b և թվեր գքառակուսի հավասարման գործակիցներն են a x 2 + b x + c = 0, մինչդեռ գործակիցը ակոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2, b - երկրորդ գործակիցը, կամ գործակիցը ժամը x, Ա գկոչվում է ազատ անդամ:

Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ 6 x 2 − 2 x − 11 = 0առաջատար գործակիցը 6 է, երկրորդը՝ 6 − 2 , իսկ ազատ ժամկետը հավասար է − 11 . Ուշադրություն դարձնենք, որ երբ գործակիցները բև/կամ c-ն բացասական են, ապա օգտագործեք կարճ ձևգրառումներ, ինչպիսիք են 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ոչ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Պարզաբանենք նաև այս ասպեկտը՝ եթե գործակիցները աև/կամ բհավասար 1 կամ − 1 , ապա նրանք կարող են բացահայտորեն չմասնակցել քառակուսի հավասարումը գրելուն, ինչը բացատրվում է նշված թվային գործակիցները գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ y 2 − y + 7 = 0առաջատար գործակիցը 1 է, իսկ երկրորդը՝ 1 − 1 .

Կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ

Ելնելով առաջին գործակցի արժեքից՝ քառակուսի հավասարումները բաժանվում են կրճատվածների և չկրճատվածների։

Սահմանում 3

Կրճատված քառակուսի հավասարումքառակուսային հավասարում է, որտեղ առաջատար գործակիցը 1 է: Առաջատար գործակիցի այլ արժեքների համար քառակուսի հավասարումը չկրճատված է:

Բերենք օրինակներ՝ կրճատվում են x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 քառակուսի հավասարումները, որոնցից յուրաքանչյուրում առաջատար գործակիցը 1 է։

9 x 2 − x − 2 = 0- չկրճատված քառակուսի հավասարում, որտեղ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1 .

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել կրճատված հավասարման՝ երկու կողմերը բաժանելով առաջին գործակցի վրա (համարժեք փոխակերպում): Փոխակերպված հավասարումը կունենա նույն արմատները, ինչ տրվածը չկրճատված հավասարումկամ ընդհանրապես արմատներ չունեն:

նկատառում կոնկրետ օրինակթույլ կտա մեզ հստակ ցույց տալ անցումը չկրճատված քառակուսի հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ 1

Տրված է 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 հավասարումը . Անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը վերածել կրճատված ձևի:

Լուծում

Համաձայն վերը նշված սխեմայի, սկզբնական հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք առաջատար 6 գործակցով։ Այնուհետև մենք ստանում ենք. (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, և սա նույնն է, ինչ. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0և հետագա՝ (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0:Այստեղից. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0: Այսպիսով ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում։

Պատասխան. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0:

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման սահմանմանը: Դրանում մենք նշել ենք, որ a ≠ 0. Նմանատիպ պայման է անհրաժեշտ հավասարման համար a x 2 + b x + c = 0ուղիղ քառակուսի էր, քանի որ ժամը a = 0այն էապես վերածվում է գծային հավասարում b x + c = 0.

Այն դեպքում, երբ գործակիցները բԵվ գհավասար են զրոյի (ինչը հնարավոր է ինչպես առանձին, այնպես էլ համատեղ), քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի։

Սահմանում 4

Անավարտ քառակուսի հավասարում- այսպիսի քառակուսի հավասարում a x 2 + b x + c = 0,որտեղ գործակիցներից առնվազն մեկը բԵվ գ(կամ երկուսն էլ) զրո է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում– քառակուսի հավասարում, որտեղ բոլոր թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Եկեք քննարկենք, թե ինչու են քառակուսի հավասարումների տեսակներին տրված հենց այս անվանումները:

Երբ b = 0, քառակուսի հավասարումը ստանում է ձև a x 2 + 0 x + c = 0, որը նույնն է, ինչ a x 2 + c = 0. ժամը c = 0քառակուսի հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + 0 = 0, որը համարժեք է a x 2 + b x = 0. ժամը b = 0Եվ c = 0հավասարումը կընդունի ձևը a x 2 = 0. Մեր ստացած հավասարումները տարբերվում են ամբողջական քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ոչ x փոփոխականով անդամ, ոչ ազատ անդամ, ոչ էլ երկուսն էլ: Փաստորեն, այս փաստն անվանել է այս տեսակի հավասարումը` թերի:

Օրինակ, x 2 + 3 x + 4 = 0 և − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ամբողջական քառակուսի հավասարումներ են. x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – անավարտ քառակուսի հավասարումներ:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Վերը տրված սահմանումը հնարավորություն է տալիս տարբերակել թերի քառակուսի հավասարումների հետևյալ տեսակները.

• a x 2 = 0, այս հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին b = 0և c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ժամը b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 c = 0-ում:

Եկեք հաջորդաբար դիտարկենք թերի քառակուսի հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի լուծումը:

a x 2 =0 հավասարման լուծում

Ինչպես նշվեց վերևում, այս հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին բԵվ գ, հավասար է զրոյի։ Հավասարում a x 2 = 0կարող է վերածվել համարժեք հավասարման x 2 = 0, որը ստանում ենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը թվի վրա բաժանելով ա, հավասար չէ զրոյի։ Ակնհայտ փաստն այն է, որ հավասարման արմատը x 2 = 0սա զրո է, քանի որ 0 2 = 0 . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը կարելի է բացատրել աստիճանի հատկություններով՝ ցանկացած թվի համար p,հավասար չէ զրոյի, անհավասարությունը ճիշտ է p 2 > 0, որից բխում է, որ երբ p ≠ 0հավասարություն p 2 = 0երբեք չի ստացվի:

Սահմանում 5

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարման համար x 2 = 0 կա ​​մեկ արմատ x = 0.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ լուծենք թերի քառակուսի հավասարումը - 3 x 2 = 0. Այն համարժեք է հավասարմանը x 2 = 0, նրա միակ արմատն է x = 0, ապա սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ զրո։

Հակիրճ, լուծումը գրված է հետևյալ կերպ.

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0:

Լուծելով a x 2 + c = 0 հավասարումը

Հաջորդը քառակուսի ոչ լրիվ հավասարումների լուծումն է, որտեղ b = 0, c ≠ 0, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ. a x 2 + c = 0. Եկեք փոխակերպենք այս հավասարումը` տերմինը հավասարման մի կողմից մյուսը տեղափոխելով, նշանը փոխելով հակառակի և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով մի թվի, որը հավասար չէ զրոյի.

• փոխանցում գդեպի աջ կողմ, որը տալիս է հավասարումը a x 2 = − գ;
• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր ա, մենք վերջանում ենք x = - c a .

Մեր փոխակերպումները համապատասխանաբար համարժեք են, ստացված հավասարումը նույնպես համարժեք է սկզբնականին, և այս փաստը հնարավորություն է տալիս եզրակացություններ անել հավասարման արմատների մասին։ Ինչից են արժեքները աԵվ գ c a արտահայտության արժեքը կախված է. այն կարող է ունենալ մինուս նշան (օրինակ, եթե a = 1Եվ գ = 2, ապա - c a = - 2 1 = - 2) կամ գումարած նշան (օրինակ, եթե a = - 2Եվ գ = 6, ապա - c a = - 6 - 2 = 3); դա զրո չէ, քանի որ գ ≠ 0. Ավելի մանրամասն անդրադառնանք իրավիճակներին, երբ - գ ա< 0 и - c a > 0 .

Այն դեպքում, երբ - գ ա< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа էջ p 2 = - c a հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել:

Ամեն ինչ այլ է, երբ - c a > 0. հիշեք քառակուսի արմատը, և ակնհայտ կդառնա, որ x 2 = - c a հավասարման արմատը կլինի - c a թիվը, քանի որ - c a 2 = - c a: Դժվար չէ հասկանալ, որ - - c a թիվը նաև x 2 = - c a հավասարման արմատն է. իսկապես, - - c a 2 = - c a:

Հավասարումն այլ արմատներ չի ունենա։ Մենք կարող ենք դա ցույց տալ՝ օգտագործելով հակասության մեթոդը։ Սկսենք, եկեք սահմանենք վերը նշված արմատների նշումները որպես x 1Եվ - x 1. Ենթադրենք, որ x 2 = - c a հավասարումը նույնպես արմատ ունի x 2, որը տարբերվում է արմատներից x 1Եվ - x 1. Մենք դա գիտենք՝ փոխարինելով հավասարման մեջ xդրա արմատները, մենք հավասարումը վերածում ենք արդար թվային հավասարության:

Համար x 1Եվ - x 1գրում ենք՝ x 1 2 = - c a , և համար x 2- x 2 2 = - գ ա . Ելնելով թվային հավասարումների հատկություններից՝ մենք մեկ ճիշտ հավասարության տերմին առ անդամ հանում ենք մյուսից, որը մեզ կտա. x 1 2 − x 2 2 = 0. Մենք օգտագործում ենք թվերի հետ գործողությունների հատկությունները՝ վերջին հավասարությունը վերագրելու համար որպես (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Հայտնի է, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե թվերից գոնե մեկը զրո է։ Վերոնշյալից հետևում է, որ x 1 - x 2 = 0և/կամ x 1 + x 2 = 0, որը նույնն է x 2 = x 1և/կամ x 2 = − x 1. Ակնհայտ հակասություն առաջացավ, քանի որ սկզբում համաձայնություն ձեռք բերվեց, որ հավասարման արմատը x 2տարբերվում է x 1Եվ - x 1. Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան x = - c a և x = - - c a:

Եկեք ամփոփենք վերը նշված բոլոր փաստարկները:

Սահմանում 6

Անավարտ քառակուսի հավասարում a x 2 + c = 0համարժեք է x 2 = - c a հավասարմանը, որը.

• արմատներ չեն ունենա - գ ա< 0 ;
• կունենա երկու արմատ x = - c a և x = - - c a համար - c a > 0:

Բերենք հավասարումների լուծման օրինակներ a x 2 + c = 0.

Օրինակ 3

Տրվում է քառակուսի հավասարում 9 x 2 + 7 = 0:Պետք է լուծում գտնել։

Լուծում

Ազատ անդամը տեղափոխենք հավասարման աջ կողմը, այնուհետև հավասարումը կստանա իր ձևը 9 x 2 = − 7։
Ստացված հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք 9 , մենք հասնում ենք x 2 = - 7 9: Աջ կողմում տեսնում ենք մինուս նշանով թիվ, որը նշանակում է՝ տրված հավասարումն արմատներ չունի։ Այնուհետև սկզբնական թերի քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չի ունենա.

Պատասխան.հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չունի.

Օրինակ 4

Հավասարումը պետք է լուծվի - x 2 + 36 = 0.

Լուծում

36-ը տեղափոխենք աջ կողմ. − x 2 = − 36.
Բաժանենք երկու մասերն էլ − 1 , ստանում ենք x 2 = 36. Աջ կողմում - դրական թիվ, այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ x = 36 կամ x = - 36:
Եկեք հանենք արմատը և գրենք վերջնական արդյունքը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում - x 2 + 36 = 0երկու արմատ ունի x=6կամ x = - 6.

Պատասխան. x=6կամ x = - 6.

a x 2 +b x=0 հավասարման լուծում

Վերլուծենք թերի քառակուսի հավասարումների երրորդ տեսակը, երբ c = 0. Թերի քառակուսի հավասարման լուծում գտնել a x 2 + b x = 0, մենք կօգտագործենք ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք գործոնացնենք այն բազմանդամը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը. x. Այս քայլը հնարավորություն կտա վերափոխել սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը իր համարժեքի x (a x + b) = 0. Եվ այս հավասարումն իր հերթին համարժեք է մի շարք հավասարումների x = 0Եվ a x + b = 0. Հավասարում a x + b = 0գծային, և դրա արմատը. x = − b ա.

Սահմանում 7

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0երկու արմատ կունենա x = 0Եվ x = − b ա.

Օրինակով ամրապնդենք նյութը.

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 հավասարման լուծումը:

Լուծում

Մենք այն կհանենք xփակագծերից դուրս ստանում ենք x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների x = 0և 2 3 x - 2 2 7 = 0: Այժմ դուք պետք է լուծեք ստացված գծային հավասարումը. 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3:

Հակիրճ գրեք հավասարման լուծումը հետևյալ կերպ.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ x = 3 3 7

Պատասխան. x = 0, x = 3 3 7.

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումների լուծումներ գտնելու համար կա արմատային բանաձև.

Սահմանում 8

x = - b ± D 2 · a, որտեղ D = b 2 − 4 a գ– այսպես կոչված, քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտ:

x = - b ± D 2 · a գրելը ըստ էության նշանակում է, որ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Օգտակար կլիներ հասկանալ, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը և ինչպես կիրառել այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարման խնդիրը a x 2 + b x + c = 0. Եկեք կատարենք մի շարք համարժեք փոխակերպումներ.

• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր թվի ա, տարբերվում է զրոյից, ստանում ենք հետևյալ քառակուսի հավասարումը. x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Եկեք ընտրենք ստացված հավասարման ձախ կողմում գտնվող ամբողջական քառակուսին.
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + գ ա
  Դրանից հետո հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Այժմ հնարավոր է վերջին երկու անդամները տեղափոխել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա, որից հետո ստանում ենք՝ x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Վերջապես, մենք վերափոխում ենք վերջին հավասարության աջ կողմում գրված արտահայտությունը.
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Այսպիսով, մենք հասնում ենք x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը. a x 2 + b x + c = 0.

Նման հավասարումների լուծումը մենք ուսումնասիրել ենք նախորդ պարբերություններում (ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումների լուծում): Արդեն ձեռք բերված փորձը թույլ է տալիս եզրակացություն անել x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ով< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• երբ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 հավասարումը x + b 2 · a 2 = 0 է, ապա x + b 2 · a = 0:

Այստեղից ակնհայտ է միակ արմատը x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, հետևյալը ճիշտ կլինի. x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 կամ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , որը նույնն է x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 կամ x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , այսինքն. հավասարումը երկու արմատ ունի.

Կարելի է եզրակացնել, որ x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (և հետևաբար սկզբնական հավասարումը) հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը կախված է b արտահայտության նշանից. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 գրված է աջ կողմում: Եվ այս արտահայտության նշանը տրվում է համարիչի նշանով, (հայտարար 4 ա 2միշտ դրական կլինի), այսինքն՝ արտահայտության նշանը բ 2 − 4 ա գ. Այս արտահայտությունը բ 2 − 4 ա գանունը տրված է - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը և D տառը սահմանվում է որպես դրա նշանակում: Այստեղ դուք կարող եք գրել տարբերակիչի էությունը՝ ելնելով դրա արժեքից և նշանից, նրանք կարող են եզրակացնել, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը կունենա իրական արմատներ, և եթե այո, ապա որքան է արմատների թիվը՝ մեկ կամ երկու:

Վերադառնանք x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարմանը: Եկեք այն վերագրենք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշում՝ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 :

Եկեք կրկին ձևակերպենք մեր եզրակացությունները.

Սահմանում 9

• ժամը Դ< 0 հավասարումը չունի իրական արմատներ.
• ժամը D=0հավասարումն ունի մեկ արմատ x = - b 2 · a ;
• ժամը D > 0հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x = - b 2 · a + D 4 · a 2 կամ x = - b 2 · a - D 4 · a 2: Ռադիկալների հատկությունների հիման վրա այս արմատները կարող են գրվել x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a: Եվ, երբ մենք ընդլայնում ենք մոդուլները և կրճատում ենք ֆրակցիաները մինչև ընդհանուր հայտարար, ստանում ենք՝ x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Այսպիսով, մեր հիմնավորման արդյունքը քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի ստացումն էր.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, տարբերակիչ Դհաշվարկված բանաձևով D = b 2 − 4 a գ.

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս որոշել երկու իրական արմատները, երբ դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ է: Երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, երկու բանաձևերի կիրառումը կստանա նույն արմատը, ինչպես միակ լուծումըքառակուսի հավասարում. Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, եթե փորձենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատի բանաձևը, ապա կհանդիպենք հանելու անհրաժեշտության. քառակուսի արմատ-ից բացասական թիվ, որը մեզ կտանի իրական թվերից դուրս։ Բացասական դիսկրիմինանտի դեպքում քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չի ունենա, բայց հնարավոր է մի զույգ բարդ խոնարհված արմատներ, որոնք որոշվում են մեր ստացած նույն արմատային բանաձևերով:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Հնարավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը անմիջապես օգտագործելով արմատային բանաձևը, բայց դա սովորաբար արվում է, երբ անհրաժեշտ է գտնել բարդ արմատներ:

Շատ դեպքերում դա սովորաբար նշանակում է քառակուսի հավասարման ոչ թե բարդ, այլ իրական արմատների որոնում: Այնուհետև, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, օպտիմալ է նախ որոշել դիսկրիմինանտը և համոզվել, որ այն բացասական չէ (հակառակ դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), այնուհետև անցնել հաշվարկին. արմատների արժեքը.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը հնարավորություն է տալիս ձևակերպել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Սահմանում 10

Քառակուսային հավասարում լուծելու համար a x 2 + b x + c = 0, անհրաժեշտ:

• ըստ բանաձևի D = b 2 − 4 a գգտնել տարբերակիչ արժեքը;
• ժամը Դ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-ի համար գտե՛ք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով x = - b 2 · a ;
• D > 0-ի համար որոշեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները՝ օգտագործելով x = - b ± D 2 · a բանաձեւը:

Նկատի ունեցեք, որ երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, կարող եք օգտագործել x = - b ± D 2 · a բանաձեւը, այն կտա նույն արդյունքը, ինչ x = - b 2 · a բանաձեւը:

Եկեք նայենք օրինակներին:

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Եկեք լուծում տանք օրինակների համար տարբեր իմաստներխտրական.

Օրինակ 6

Մենք պետք է գտնենք հավասարման արմատները x 2 + 2 x − 6 = 0.

Լուծում

Գրենք քառակուսի հավասարման թվային գործակիցները՝ a = 1, b = 2 և. գ = - 6. Հաջորդը մենք անցնում ենք ալգորիթմի համաձայն, այսինքն. Սկսենք հաշվարկել դիսկրիմինանտը, որի համար կփոխարինենք a, b գործակիցները. Եվ գտարբերակիչ բանաձևի մեջ. D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28:

Այսպիսով, մենք ստանում ենք D > 0, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը կունենա երկու իրական արմատ:
Դրանք գտնելու համար օգտագործում ենք x = - b ± D 2 · a արմատային բանաձևը և, փոխարինելով համապատասխան արժեքները, ստանում ենք՝ x = - 2 ± 28 2 · 1: Եկեք պարզեցնենք ստացված արտահայտությունը՝ հանելով գործոնը արմատային նշանից և այնուհետև կրճատելով կոտորակը.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 կամ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 կամ x = - 1 - 7

Պատասխան. x = - 1 + 7, x = - 1 - 7:

Օրինակ 7

Պետք է լուծել քառակուսի հավասարումը − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Լուծում

Սահմանենք դիսկրիմինատորը. D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Խտրականի այս արժեքով սկզբնական հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ, որը որոշվում է x = - b 2 · a բանաձևով:

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

Պատասխան. x = 3,5.

Օրինակ 8

Հավասարումը պետք է լուծվի 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Լուծում

Այս հավասարման թվային գործակիցները կլինեն՝ a = 5, b = 6 և c = 2: Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները տարբերակիչը գտնելու համար՝ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4: Հաշվարկված դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի սկզբնական քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Այն դեպքում, երբ խնդիրը բարդ արմատներ նշելն է, մենք կիրառում ենք արմատային բանաձևը՝ կատարելով բարդ թվերով գործողություններ.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 կամ x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i կամ x = - 3 5 - 1 5 · i.

Պատասխան.իրական արմատներ չկան. բարդ արմատները հետևյալն են՝ - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN դպրոցական ծրագիրԲարդ արմատներ փնտրելու ստանդարտ պահանջ չկա, հետևաբար, եթե լուծման ժամանակ որոշվում է, որ դիսկրիմինանտը բացասական է, պատասխանը անմիջապես գրվում է, որ իրական արմատներ չկան:

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) արմատային բանաձևը հնարավորություն է տալիս ստանալ մեկ այլ բանաձև, ավելի կոմպակտ, որը թույլ է տալիս գտնել քառակուսի հավասարումների լուծումներ x-ի համար հավասար գործակցով ( կամ 2 · n ձևի գործակցով, օրինակ՝ 2 3 կամ 14 ln 5 = 2 7 ln 5): Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը:

Մեզ առջևում է a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 քառակուսի հավասարման լուծումը: Մենք շարժվում ենք ըստ ալգորիթմի. մենք որոշում ենք տարբերակիչ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), այնուհետև օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Թող n 2 − a · c արտահայտությունը նշանակվի որպես D 1 (երբեմն այն նշանակվում է D "): Այնուհետև դիտարկվող քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 · n գործակցով կունենա հետևյալ ձևը.

x = - n ± D 1 a, որտեղ D 1 = n 2 − a · c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D 4: Այսինքն՝ D 1-ը խտրականի քառորդն է։ Ակնհայտ է, որ D 1 նշանը նույնն է, ինչ D նշանը, ինչը նշանակում է, որ D 1 նշանը կարող է նաև ծառայել որպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ:

Սահմանում 11

Այսպիսով, 2 n երկրորդ գործակցով քառակուսի հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• գտնել D 1 = n 2 − a · c ;
• Դ 1 հասցեում< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• երբ D 1 = 0, որոշեք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով x = - n a բանաձեւը;
• D 1 > 0-ի համար որոշեք երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով x = - n ± D 1 a բանաձեւը:

Օրինակ 9

Անհրաժեշտ է լուծել 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում

Տրված հավասարման երկրորդ գործակիցը կարող ենք ներկայացնել որպես 2 · (− 3) ։ Այնուհետև տրված քառակուսային հավասարումը վերագրում ենք 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, որտեղ a = 5, n = − 3 և c = − 32։

Հաշվենք դիսկրիմինանտի չորրորդ մասը՝ D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169։ Ստացված արժեքը դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ: Եկեք որոշենք դրանք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 կամ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 կամ x = - 2

Հնարավոր կլիներ հաշվարկներ կատարել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում լուծումն ավելի դժվար կլիներ։

Պատասխան. x = 3 1 5 կամ x = - 2:

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն հնարավոր է լինում օպտիմալացնել սկզբնական հավասարման ձևը, ինչը կհեշտացնի արմատների հաշվարկման գործընթացը։

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ակնհայտորեն ավելի հարմար է լուծելու, քան 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0:

Ավելի հաճախ քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումն իրականացվում է դրա երկու կողմերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով։ Օրինակ, վերևում մենք ցույց տվեցինք 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 հավասարման պարզեցված պատկերը, որը ստացվեց երկու կողմերը 100-ի բաժանելով։

Նման փոխակերպումը հնարավոր է, երբ քառակուսի հավասարման գործակիցները փոխադարձ չեն պարզ թվեր. Այնուհետև մենք սովորաբար հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք ամենամեծի վրա ընդհանուր բաժանարար բացարձակ արժեքներդրա գործակիցները։

Որպես օրինակ՝ մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 42 x + 48 = 0: Եկեք որոշենք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների GCD-ն՝ GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6: Եկեք բաժանենք սկզբնական քառակուսային հավասարման երկու կողմերը 6-ի և ստացենք համարժեք քառակուսի հավասարումը 2 x 2 − 7 x + 8 = 0:

Քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով՝ սովորաբար ձերբազատվում եք կոտորակային գործակիցներից։ Այս դեպքում նրանք բազմապատկվում են նրա գործակիցների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով։ Օրինակ, եթե 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 քառակուսի հավասարման յուրաքանչյուր մասը բազմապատկվի LCM (6, 3, 1) = 6-ով, ապա այն կգրվի ավելի. պարզ ձևով x 2 + 4 x − 18 = 0:

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ մենք գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջին գործակցի մինուսից՝ փոխելով հավասարման յուրաքանչյուր անդամի նշանները, ինչը ձեռք է բերվում երկու կողմերը − 1-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով): Օրինակ՝ − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 քառակուսի հավասարումից կարող եք անցնել դրա պարզեցված տարբերակին՝ 2 x 2 + 3 x − 7 = 0։

Արմատների և գործակիցների կապը

Մեզ արդեն հայտնի քառակուսի հավասարումների արմատների բանաձեւը՝ x = - b ± D 2 · a, արտահայտում է հավասարման արմատները նրա թվային գործակիցների միջոցով։ Այս բանաձևի հիման վրա մենք հնարավորություն ունենք նշելու այլ կախվածություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը Վիետայի թեորեմն են.

x 1 + x 2 = - b a և x 2 = c a.

Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը երկրորդ գործակիցն է հակառակ նշան, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ նայելով 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 քառակուսի հավասարման ձևին, կարելի է անմիջապես որոշել, որ դրա արմատների գումարը 7 3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22 3։

Կարող եք նաև գտնել մի շարք այլ կապեր քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև: Օրինակ, քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող է արտահայտվել գործակիցներով.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Քառակուսային հավասարումներ հաճախ են առաջանում ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի տարբեր խնդիրներ լուծելիս։ Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես կարելի է լուծել այս հավասարությունները համընդհանուր ձևով «խտրականի միջոցով»: Հոդվածում բերված են նաև ձեռք բերված գիտելիքների օգտագործման օրինակներ։

Ի՞նչ հավասարումների մասին ենք խոսելու։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս մի բանաձև, որում x-ը անհայտ փոփոխական է, իսկ լատիներեն a, b, c նշանները ներկայացնում են որոշ հայտնի թվեր:

Այս նշաններից յուրաքանչյուրը կոչվում է գործակից: Ինչպես տեսնում եք, «a» թիվը հայտնվում է x փոփոխականից առաջ քառակուսի: Սա ներկայացված արտահայտության առավելագույն հզորությունն է, այդ իսկ պատճառով այն կոչվում է քառակուսային հավասարում։ Հաճախ օգտագործվում է նրա մյուս անվանումը՝ երկրորդ կարգի հավասարում։ a արժեքը ինքնին քառակուսի գործակից է (կանգնած է քառակուսի փոփոխականով), b-ն գծային գործակից է (այն գտնվում է առաջին աստիճանի բարձրացված փոփոխականի կողքին), և վերջապես, c թիվը ազատ անդամն է։

Նկատի ունեցեք, որ վերևի նկարում ներկայացված հավասարման տեսակը ընդհանուր դասական քառակուսի արտահայտություն է: Բացի դրանից, կան նաև երկրորդ կարգի այլ հավասարումներ, որոնցում b և c գործակիցները կարող են զրո լինել։

Երբ խնդիր է դրվում լուծել խնդրո առարկա հավասարությունը, դա նշանակում է, որ պետք է գտնել x փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, որոնք կբավարարեն այն: Այստեղ առաջինը, որ պետք է հիշել, հետևյալն է. քանի որ X-ի առավելագույն աստիճանը 2 է, ուրեմն այս տեսակի արտահայտությունը չի կարող ունենալ 2-ից ավելի լուծում։ Սա նշանակում է, որ եթե հավասարումը լուծելիս գտնվեն x-ի 2 արժեքներ, որոնք բավարարում են դրան, ապա կարող ես վստահ լինել, որ 3-րդ թիվ չկա՝ փոխարինելով այն x-ով, ապա հավասարությունը նույնպես ճիշտ կլինի։ Մաթեմատիկայում հավասարման լուծումները կոչվում են դրա արմատներ:

Երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման մեթոդներ

Այս տեսակի հավասարումների լուծումը պահանջում է դրանց վերաբերյալ որոշ տեսության իմացություն: IN դպրոցական դասընթացհանրահաշիվները համարում են 4 տարբեր մեթոդներլուծումներ։ Թվարկենք դրանք.

• օգտագործելով ֆակտորիզացիա;
• օգտագործելով կատարյալ քառակուսի բանաձեւը;
• կիրառելով համապատասխան քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը;
• օգտագործելով տարբերակիչ հավասարումը:

Առաջին մեթոդի առավելությունը նրա պարզությունն է, սակայն այն չի կարող օգտագործվել բոլոր հավասարումների համար. Երկրորդ մեթոդը ունիվերսալ է, բայց որոշ չափով ծանրաբեռնված: Երրորդ մեթոդն առանձնանում է իր պարզությամբ, բայց միշտ չէ, որ հարմար է և կիրառելի։ Եվ վերջապես, դիսկրիմինանտ հավասարման օգտագործումը ունիվերսալ և բավականին պարզ միջոց է բացարձակապես ցանկացած երկրորդ կարգի հավասարման արմատները գտնելու համար: Հետևաբար, այս հոդվածում մենք կքննարկենք միայն այն:

Հավասարման արմատների ստացման բանաձևը

Եկեք դիմենք ընդհանուր տեսքըքառակուսի հավասարում. Գրենք՝ a*x²+ b*x + c =0: Նախքան այն լուծելու մեթոդը կիրառելը «տարբերակողի միջոցով», դուք միշտ պետք է հավասարությունը հասցնեք գրավոր ձևին: Այսինքն, այն պետք է բաղկացած լինի երեք անդամից (կամ պակաս, եթե b կամ c-ն 0 է):

Օրինակ, եթե կա արտահայտություն՝ x²-9*x+8 = -5*x+7*x², ապա նախ պետք է դրա բոլոր անդամները տեղափոխել հավասարության մի կողմ և ավելացնել x փոփոխականը պարունակող անդամները: նույն լիազորությունները.

IN այս դեպքումայս գործողությունը կհանգեցնի հետևյալ արտահայտությանը. հավասարություն -1-ով):

Վերևի օրինակում a = 6, b=4, c=-8: Նկատի ունեցեք, որ քննարկվող հավասարության բոլոր պայմանները միշտ գումարվում են միասին, ուստի, եթե հայտնվում է «-» նշանը, նշանակում է, որ համապատասխան գործակիցը բացասական է, ինչպես այս դեպքում c թիվը:

Այս կետը քննելուց հետո եկեք անցնենք հենց այն բանաձևին, որը հնարավորություն է տալիս ստանալ քառակուսի հավասարման արմատները: Այն կարծես ստորև ներկայացված լուսանկարում պատկերվածին է:

Ինչպես երևում է այս արտահայտությունից, այն թույլ է տալիս ստանալ երկու արմատ (ուշադրություն դարձրեք «±» նշանին): Դա անելու համար բավական է դրա մեջ փոխարինել b, c և a գործակիցները:

Խտրականության հայեցակարգը

Նախորդ պարբերությունում տրվեց բանաձև, որը թույլ է տալիս արագ լուծել երկրորդ կարգի ցանկացած հավասարում։ Դրանում արմատական ​​արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ, այսինքն՝ D = b²-4*a*c։

Ինչու՞ է ընդգծված բանաձևի այս մասը, և այն նույնիսկ ունի պատշաճ անուն? Փաստն այն է, որ դիսկրիմինանտը միացնում է հավասարման բոլոր երեք գործակիցները մեկ արտահայտության մեջ։ Վերջին փաստը նշանակում է, որ այն ամբողջությամբ կրում է տեղեկություններ արմատների մասին, որոնք կարող են արտահայտվել հետևյալ ցանկում.

1. D>0. Հավասարությունն ունի 2 տարբեր լուծում, երկուսն էլ իրական թվեր են:
2. D=0. Հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ և այն իրական թիվ է:

Խտրականության որոշման առաջադրանք

Բերենք մի պարզ օրինակ, թե ինչպես կարելի է տարբերակիչ գտնել: Թող տրվի հետևյալ հավասարությունը՝ 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7:

Եկեք այն բերենք ստանդարտ ձևի, ստանում ենք՝ (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, որից գալիս ենք հավասարությանը. -2*x² +2*x-11 = 0. Այստեղ a=-2, b=2, c=-11:

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված բանաձևը տարբերակիչի համար՝ D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84: Ստացված թիվը առաջադրանքի պատասխանն է: Քանի որ օրինակում խտրական զրոյից պակաս, ապա կարելի է ասել, որ այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի։ Դրա լուծումը կլինի միայն բարդ տիպի թվեր։

Անհավասարության օրինակ խտրականի միջոցով

Եկեք լուծենք մի փոքր այլ տիպի խնդիրներ՝ հաշվի առնելով -3*x²-6*x+c = 0 հավասարությունը: Անհրաժեշտ է գտնել c-ի արժեքներ, որոնց համար D>0:

Այս դեպքում 3 գործակիցներից միայն 2-ն է հայտնի, ուստի դիսկրիմինանտի ճշգրիտ արժեքը հնարավոր չէ հաշվարկել, սակայն հայտնի է, որ այն դրական է։ Անհավասարությունը կազմելիս օգտագործում ենք վերջին փաստը՝ D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0: Ստացված անհավասարության լուծումը բերում է արդյունքի՝ c>-3.

Ստուգենք ստացված թիվը։ Դա անելու համար D-ն հաշվում ենք 2 դեպքի համար՝ c=-2 և c=-4: -2 թիվը բավարարում է ստացված արդյունքին (-2>-3), համապատասխան դիսկրիմինատորը կունենա արժեքը՝ D = 12>0։ Իր հերթին, -4 թիվը չի բավարարում անհավասարությանը (-4: Այսպիսով, ցանկացած c թվեր, որոնք մեծ են -3-ից, կբավարարեն պայմանը.

Հավասարման լուծման օրինակ

Ներկայացնենք մի խնդիր, որը ներառում է ոչ միայն դիսկրիմինատորը գտնելը, այլև հավասարումը լուծելը։ Անհրաժեշտ է գտնել -2*x²+7-9*x = 0 հավասարության արմատները։

Այս օրինակում տարբերակիչն է հաջորդ արժեքը D = 81-4*(-2)*7= 137. Այնուհետև հավասարման արմատները կորոշվեն հետևյալ կերպ՝ x = (9±√137)/(-4): Սրանք արմատների ճշգրիտ արժեքներն են, եթե մոտավորապես հաշվարկեք արմատը, ապա կստանաք թվեր՝ x = -5,176 և x = 0,676:

Երկրաչափական խնդիր

Եկեք լուծենք մի խնդիր, որը կպահանջի ոչ միայն դիսկրիմինանտը հաշվարկելու կարողություն, այլ նաև վերացական մտածողության հմտությունների կիրառում և քառակուսի հավասարումներ գրելու իմացություն։

Բոբն ուներ 5 x ​​4 մետր վերմակ։ Տղան ուզում էր շարունակական շերտ կարել գեղեցիկ գործվածք. Որքան հաստ կլինի այս շերտը, եթե իմանանք, որ Բոբն ունի 10 մ² գործվածք:

Թող շերտի հաստությունը x մ լինի, ապա գործվածքի մակերեսը լինի երկար կողմըվերմակը կլինի (5+2*x)*x, իսկ քանի որ 2 երկար կողմ կա, ունենք՝ 2*x*(5+2*x)։ Կարճ կողմում կարված գործվածքի մակերեսը կլինի 4*x, քանի որ այս կողմերը 2-ն են, ստանում ենք 8*x արժեքը։ Նկատի ունեցեք, որ 2*x արժեքը ավելացվել է երկար կողմին, քանի որ վերմակի երկարությունը մեծացել է այդ թվով: Վերմակին կարված գործվածքի ընդհանուր մակերեսը 10 մ² է։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարություն՝ 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0:

Այս օրինակի համար դիսկրիմինանտը հավասար է. 2*4) = (- 5; 0,5): Ակնհայտորեն, երկու արմատներից միայն 0,5 թիվը հարմար է խնդրի պայմաններին համապատասխան։

Այսպիսով, գործվածքի շերտը, որը Բոբը կարում է իր վերմակին, կունենա 50 սմ լայնություն։

IN ժամանակակից հասարակությունՓոփոխական քառակուսի պարունակող հավասարումներով գործողություններ կատարելու ունակությունը կարող է օգտակար լինել գործունեության բազմաթիվ ոլորտներում և լայնորեն կիրառվում է գործնականում գիտական ​​և տեխնիկական զարգացումների մեջ: Դրա վկայությունը կարելի է գտնել ծովային և գետային նավերի, ինքնաթիռների և հրթիռների նախագծման մեջ: Օգտագործելով նման հաշվարկները, շարժման հետագծերը ամենաշատն են տարբեր մարմիններներառյալ տիեզերական օբյեկտները: Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները օգտագործվում են ոչ միայն տնտեսական կանխատեսումների, շենքերի նախագծման և կառուցման մեջ, այլև առավել սովորական առօրյա հանգամանքներում: Դրանք կարող են անհրաժեշտ լինել արշավների ժամանակ, սպորտային միջոցառումների ժամանակ, խանութներում գնումներ կատարելիս և շատ սովորական իրավիճակներում:

Բաժանենք արտահայտությունը նրա բաղադրիչ գործոնների

Որոշվում է հավասարման աստիճանը առավելագույն արժեքըփոփոխականի աստիճանը, որը պարունակում է այս արտահայտությունը: Եթե ​​այն հավասար է 2-ի, ապա նման հավասարումը կոչվում է քառակուսի։

Եթե ​​խոսենք բանաձևերի լեզվով, ապա նշված արտահայտությունները, անկախ նրանից, թե ինչ տեսք ունեն, միշտ կարելի է բերել այն ձևի, երբ. ձախ կողմըարտահայտությունը բաղկացած է երեք տերմիններից. Դրանցից՝ ax 2 (այսինքն՝ փոփոխական քառակուսի իր գործակցով), bx (անհայտ առանց քառակուսու իր գործակցով) և c (ազատ բաղադրիչ, այսինքն՝ սովորական թիվ)։ Այս ամենը աջ կողմում հավասար է 0-ի: Այն դեպքում, երբ նման բազմանդամին բացակայում է իր բաղկացուցիչ անդամներից մեկը, բացառությամբ կացին 2-ի, այն կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում: Նախ պետք է հաշվի առնել նման խնդիրների լուծման օրինակները, այն փոփոխականների արժեքները, որոնցում հեշտ է գտնել:

Եթե ​​արտահայտությունը կարծես աջ կողմում ունի երկու տերմին, ավելի ճիշտ՝ ax 2 և bx, ապա x գտնելու ամենահեշտ ձևը փոփոխականը փակագծերից դուրս դնելն է: Այժմ մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x(ax+b): Այնուհետև ակնհայտ է դառնում, որ կա՛մ x=0, կա՛մ խնդիրը հանգում է հետևյալ արտահայտությունից փոփոխական գտնելուն՝ ax+b=0: Սա թելադրված է բազմապատկման հատկություններից մեկով։ Կանոնն ասում է, որ երկու գործոնի արտադրյալը ստանում է 0 միայն այն դեպքում, երբ նրանցից մեկը զրո է:

Օրինակ

x=0 կամ 8x - 3 = 0

Արդյունքում ստանում ենք հավասարման երկու արմատ՝ 0 և 0,375։

Այս կարգի հավասարումները կարող են նկարագրել գրավիտացիայի ազդեցության տակ գտնվող մարմինների շարժումը, որոնք սկսել են շարժվել որոշակի կետից, որն ընդունվել է որպես կոորդինատների սկզբնաղբյուր։ Այստեղ մաթեմատիկական նշումը ստանում է հետևյալ ձևը՝ y = v 0 t + gt 2 /2: Փոխարինելով անհրաժեշտ արժեքները, աջ կողմը հավասարեցնելով 0-ին և գտնելով հնարավոր անհայտները՝ կարող եք պարզել մարմնի բարձրանալու պահից մինչև ընկնելու պահն անցնող ժամանակը, ինչպես նաև շատ այլ մեծություններ։ Բայց այս մասին կխոսենք ավելի ուշ:

Արտահայտման ֆակտորինգ

Վերը նկարագրված կանոնը հնարավորություն է տալիս այս խնդիրները լուծել ավելի շատ դժվար դեպքեր. Դիտարկենք այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

X 2 - 33x + 200 = 0

Սա քառակուսի եռանկյունամբողջական է. Նախ, եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը և գործոնավորենք այն: Դրանցից երկուսը կա՝ (x-8) և (x-25) = 0: Արդյունքում մենք ունենք երկու արմատ 8 և 25:

9-րդ դասարանում քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակները թույլ են տալիս այս մեթոդին գտնել փոփոխական ոչ միայն երկրորդ, այլ նույնիսկ երրորդ և չորրորդ կարգի արտահայտություններում:

Օրինակ՝ 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0: Աջ կողմը փոփոխականով գործոնների վերածելիս կան երեքը, այսինքն՝ (x+1), (x-3) և (x+): 3).

Արդյունքում ակնհայտ է դառնում, որ այս հավասարումն ունի երեք արմատ՝ -3; -1; 3.

Քառակուսի արմատ

Մեկ այլ դեպք թերի հավասարումերկրորդ կարգը տառերի լեզվով արտահայտված արտահայտություն է այնպես, որ աջ կողմը կառուցված է ax 2 և c բաղադրիչներից։ Այստեղ փոփոխականի արժեքը ստանալու համար ազատ տերմինը տեղափոխվում է աջ կողմ, իսկ դրանից հետո քառակուսի արմատը հանվում է հավասարության երկու կողմերից։ Պետք է նշել, որ այս դեպքում սովորաբար հավասարման երկու արմատ կա. Միակ բացառությունները կարող են լինել հավասարումները, որոնք ընդհանրապես չեն պարունակում տերմին, որտեղ փոփոխականը հավասար է զրոյի, ինչպես նաև արտահայտությունների տարբերակները, երբ աջ կողմը բացասական է։ Վերջին դեպքում լուծումներ ընդհանրապես չկան, քանի որ վերը նշված գործողությունները չեն կարող կատարվել արմատներով: Պետք է դիտարկել այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումների օրինակներ:

Այս դեպքում հավասարման արմատները կլինեն -4 և 4 թվերը։

Հողատարածքի հաշվարկ

Այս տեսակի հաշվարկների անհրաժեշտությունը ի հայտ է եկել դեռևս հին ժամանակներում, քանի որ այդ հեռավոր ժամանակներում մաթեմատիկայի զարգացումը մեծապես պայմանավորված էր հողատարածքների տարածքներն ու պարագծերը առավելագույն ճշգրտությամբ որոշելու անհրաժեշտությամբ։

Պետք է դիտարկել նաև այս կարգի խնդիրների հիման վրա քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

Այսպիսով, ասենք, կա մի ուղղանկյուն հողամաս, որի երկարությունը 16 մետրով մեծ է լայնությունից։ Դուք պետք է գտնեք կայքի երկարությունը, լայնությունը և պարագիծը, եթե գիտեք, որ դրա մակերեսը 612 մ2 է:

Սկսելու համար նախ ստեղծենք անհրաժեշտ հավասարումը։ x-ով նշանակենք տարածքի լայնությունը, ապա դրա երկարությունը կլինի (x+16): Գրվածից հետևում է, որ տարածքը որոշվում է x(x+16) արտահայտությամբ, որը, ըստ մեր խնդրի պայմանների, 612 է։ Սա նշանակում է, որ x(x+16) = 612։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելը, և այս արտահայտությունը հենց դա է, չի կարելի նույն կերպ անել: Ինչո՞ւ։ Չնայած ձախ կողմը դեռ երկու գործոն է պարունակում, դրանց արտադրյալն ամենևին էլ հավասար չէ 0-ի, ուստի այստեղ օգտագործվում են տարբեր մեթոդներ։

Խտրական

Նախ կատարենք անհրաժեշտ վերափոխումները, ապա տեսքըԱյս արտահայտության տեսքը կունենա հետևյալ տեսքը. x 2 + 16x - 612 = 0: Սա նշանակում է, որ մենք ստացել ենք նախկինում նշված ստանդարտին համապատասխան արտահայտություն, որտեղ a=1, b=16, c=-612:

Սա կարող է լինել քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակ՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Այստեղ անհրաժեշտ հաշվարկներարտադրվում են ըստ սխեմայի՝ D = b 2 - 4ac: Այս օժանդակ մեծությունը ոչ միայն հնարավորություն է տալիս գտնել պահանջվող քանակությունները երկրորդ կարգի հավասարման մեջ, այլև որոշում է քանակը. հնարավոր տարբերակները. Եթե ​​D>0, դրանք երկուսն են. D=0-ի համար կա մեկ արմատ: Այն դեպքում, երբ Դ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Արմատների և դրանց բանաձևի մասին

Մեր դեպքում դիսկրիմինատորը հավասար է՝ 256 - 4(-612) = 2704: Սա հուշում է, որ մեր խնդիրն ունի պատասխան: Եթե ​​դուք գիտեք k, ապա քառակուսի հավասարումների լուծումը պետք է շարունակել ստորև բերված բանաձևով. Այն թույլ է տալիս հաշվարկել արմատները:

Սա նշանակում է, որ ներկայացված դեպքում՝ x 1 =18, x 2 =-34: Այս երկընտրանքի երկրորդ տարբերակը չի կարող լուծում լինել, քանի որ հողամասի չափերը չեն կարող չափվել բացասական մեծություններով, ինչը նշանակում է, որ x-ը (այսինքն՝ հողամասի լայնությունը) 18 մ է: Այստեղից մենք հաշվարկում ենք երկարությունը՝ 18 +16=34, իսկ պարագիծը՝ 2(34+ 18)=104(մ2):

Օրինակներ և առաջադրանքներ

Մենք շարունակում ենք քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը: Դրանցից մի քանիսի օրինակներն ու մանրամասն լուծումները կներկայացվեն ստորև։

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք հավասարության ձախ կողմը, կատարենք փոխակերպում, այսինքն՝ կստանանք հավասարման այն տեսակը, որը սովորաբար կոչվում է ստանդարտ և հավասարեցնենք այն զրոյի:

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Նմանատիպերը ավելացնելով՝ մենք որոշում ենք դիսկրիմինանտը՝ D = 49 - 48 = 1: Սա նշանակում է, որ մեր հավասարումը կունենա երկու արմատ: Հաշվենք դրանք վերը նշված բանաձեւով, ինչը նշանակում է, որ դրանցից առաջինը հավասար կլինի 4/3-ի, իսկ երկրորդը՝ 1-ի։

2) Հիմա եկեք լուծենք այլ տեսակի առեղծվածներ:

Եկեք պարզենք, արդյոք այստեղ արմատներ կան x 2 - 4x + 5 = 1: Համապարփակ պատասխան ստանալու համար եկեք բազմանդամը կրճատենք համապատասխան սովորական ձևի և հաշվենք դիսկրիմինանտը: Վերոնշյալ օրինակում անհրաժեշտ չէ լուծել քառակուսի հավասարումը, քանի որ դա ամենևին էլ խնդրի էությունը չէ։ Այս դեպքում D = 16 - 20 = -4, ինչը նշանակում է, որ իսկապես արմատներ չկան:

Վիետայի թեորեմա

Հարմար է քառակուսի հավասարումները լուծել վերը նշված բանաձևերի և դիսկրիմինանտի միջոցով, երբ վերջինիս արժեքից վերցված է քառակուսի արմատը։ Բայց դա միշտ չէ, որ տեղի է ունենում։ Այնուամենայնիվ, այս դեպքում փոփոխականների արժեքները ստանալու բազմաթիվ եղանակներ կան: Օրինակ՝ քառակուսի հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով: Նա անվանվել է մեկի անունով, ով ապրել է 16-րդ դարում Ֆրանսիայում և փայլուն կարիերա է արել իր մաթեմատիկական տաղանդի և դատարանում ունեցած կապերի շնորհիվ: Նրա դիմանկարը կարելի է տեսնել հոդվածում։

Նախշը, որը նկատել է հայտնի ֆրանսիացին, հետևյալն էր. Նա ապացուցեց, որ հավասարման արմատները թվայինորեն գումարվում են -p=b/a, և դրանց արտադրյալը համապատասխանում է q=c/a:

Հիմա եկեք նայենք կոնկրետ առաջադրանքներին:

3x 2 + 21x - 54 = 0

Պարզության համար եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը.

x 2 + 7x - 18 = 0

Օգտագործենք Վիետայի թեորեմը, սա մեզ կտա հետևյալը. արմատների գումարը -7 է, իսկ դրանց արտադրյալը՝ -18։ Այստեղից մենք ստանում ենք, որ հավասարման արմատները -9 և 2 թվերն են: Ստուգելուց հետո մենք կհամոզվենք, որ այս փոփոխական արժեքները իսկապես տեղավորվում են արտահայտության մեջ:

Պարաբոլայի գրաֆիկ և հավասարում

Քառակուսային ֆունկցիա և քառակուսի հավասարումներ հասկացությունները սերտորեն կապված են: Դրա օրինակներն արդեն տրվել են ավելի վաղ: Հիմա եկեք մի փոքր ավելի մանրամասն նայենք մի քանի մաթեմատիկական հանելուկների: Նկարագրված տիպի ցանկացած հավասարում կարող է ներկայացվել տեսողականորեն: Նման հարաբերությունը, որը գծված է որպես գրաֆիկ, կոչվում է պարաբոլա։ Դրա տարբեր տեսակները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Ցանկացած պարաբոլա ունի գագաթ, այսինքն՝ կետ, որտեղից դուրս են գալիս նրա ճյուղերը։ Եթե ​​a>0, ապա դրանք բարձրանում են դեպի անսահմանություն, իսկ երբ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ֆունկցիաների տեսողական ներկայացումները օգնում են լուծել ցանկացած հավասարում, ներառյալ քառակուսային: Այս մեթոդը կոչվում է գրաֆիկական: Իսկ x փոփոխականի արժեքը աբսցիսային կոորդինատն է այն կետերում, որտեղ գրաֆիկի գիծը հատվում է 0x-ի հետ։ Գագաթի կոորդինատները կարելի է գտնել օգտագործելով x 0 = -b/2a բանաձեւը: Իսկ ստացված արժեքը ֆունկցիայի սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով՝ կարող եք պարզել y 0, այսինքն՝ պարաբոլայի գագաթի երկրորդ կոորդինատը, որը պատկանում է օրդինատների առանցքին։

Պարաբոլայի ճյուղերի հատումը աբսցիսայի առանցքի հետ

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները շատ են, բայց կան նաև ընդհանուր օրինաչափություններ։ Եկեք նայենք նրանց: Հասկանալի է, որ գրաֆիկի հատումը 0x առանցքի հետ a>0-ի համար հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե 0-ն ընդունում է բացասական արժեքներ։ Իսկ համար ա<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Հակառակ դեպքում Դ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Պարաբոլայի գրաֆիկից կարելի է որոշել նաև արմատները։ Ճիշտ է նաև հակառակը. Այսինքն, եթե քառակուսի ֆունկցիայի տեսողական պատկեր ստանալը հեշտ չէ, կարող եք արտահայտության աջ կողմը հավասարեցնել 0-ի և լուծել ստացված հավասարումը։ Իսկ իմանալով 0x առանցքի հետ հատման կետերը՝ ավելի հեշտ է գրաֆիկ կառուցել։

Պատմությունից

Օգտագործելով քառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումներ՝ հին ժամանակներում նրանք ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ էին անում և որոշում երկրաչափական պատկերների մակերեսները։ Հիններին նման հաշվարկներ էին պետք ֆիզիկայի և աստղագիտության բնագավառներում մեծ հայտնագործությունների, ինչպես նաև աստղագիտական ​​կանխատեսումներ անելու համար։

Ինչպես ենթադրում են ժամանակակից գիտնականները, Բաբելոնի բնակիչներն առաջիններից են, ովքեր լուծել են քառակուսի հավասարումներ։ Դա տեղի է ունեցել մեր թվարկությունից չորս դար առաջ։ Իհարկե, նրանց հաշվարկները արմատապես տարբերվում էին ներկայումս ընդունվածներից և շատ ավելի պարզունակ էին։ Օրինակ, միջագետքի մաթեմատիկոսները գաղափար չունեին բացասական թվերի գոյության մասին։ Նրանց անծանոթ էին նաև այլ նրբություններ, որոնք գիտեն ժամանակակից ցանկացած դպրոցական:

Թերևս ավելի վաղ, քան Բաբելոնի գիտնականները, հնդիկ իմաստուն Բաուդայաման սկսեց լուծել քառակուսի հավասարումներ: Դա տեղի է ունեցել Քրիստոսի դարաշրջանից մոտ ութ դար առաջ: Ճիշտ է, երկրորդ կարգի հավասարումները, լուծման մեթոդները, որոնք նա տվեց, ամենապարզն էին։ Նրանից բացի, հին ժամանակներում նմանատիպ հարցերով հետաքրքրված էին նաեւ չինացի մաթեմատիկոսները։ Եվրոպայում քառակուսի հավասարումները սկսեցին լուծվել միայն 13-րդ դարի սկզբին, սակայն հետագայում դրանք իրենց աշխատություններում օգտագործեցին այնպիսի մեծ գիտնականներ, ինչպիսիք են Նյուտոնը, Դեկարտը և շատ ուրիշներ։

Հուսով եմ, որ այս հոդվածն ուսումնասիրելուց հետո դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները:

Օգտագործելով դիսկրիմինանտը, լուծվում են միայն ամբողջական քառակուսի հավասարումներ՝ թերի քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար, օգտագործվում են այլ մեթոդներ, որոնք դուք կգտնեք «Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում» հոդվածում։

Ո՞ր քառակուսային հավասարումներն են կոչվում ամբողջական: Սա ax 2 + b x + c = 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ a, b և c գործակիցները հավասար չեն զրոյի։ Այսպիսով, ամբողջական քառակուսային հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է հաշվարկենք դիսկրիմինանտ Դ.

D = b 2 – 4ac.

Կախված դիսկրիմինանտի արժեքից՝ մենք կգրենք պատասխանը։

Եթե ​​տարբերակիչը բացասական թիվ է (D< 0),то корней нет.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է, ապա x = (-b)/2a: Երբ դիսկրիմինատորը դրական թիվ է (D > 0),

ապա x 1 = (-b - √D)/2a, և x 2 = (-b + √D)/2a:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը x 2- 4x + 4 = 0:

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Պատասխան՝ 2.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + x + 3 = 0:

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Պատասխան՝ արմատներ չկան.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Պատասխան՝ – 3,5; 1.

Այսպիսով, եկեք պատկերացնենք ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի դիագրամը:

Օգտագործելով այս բանաձևերը, դուք կարող եք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում: Պարզապես պետք է զգույշ լինել հավասարումը գրվել է որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ

Ա x 2 + bx + c,հակառակ դեպքում դուք կարող եք սխալվել: Օրինակ, x + 3 + 2x 2 = 0 հավասարումը գրելիս կարող եք սխալմամբ որոշել, որ

a = 1, b = 3 և c = 2. Հետո

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 և ապա հավասարումն ունի երկու արմատ: Եվ սա ճիշտ չէ։ (Տես վերը նշված օրինակ 2-ի լուծումը):

Հետևաբար, եթե հավասարումը չի գրվում որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ, ապա նախ պետք է գրվի ամբողջական քառակուսի հավասարումը որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ (առաջինը պետք է լինի ամենամեծ ցուցիչ ունեցող միանդամը, այսինքն. Ա x 2 , ապա ավելի քիչ – bxիսկ հետո ազատ անդամ Հետ.

Կրճատված քառակուսի հավասարումը և երկրորդ անդամում զույգ գործակցով քառակուսային հավասարումը լուծելիս կարող եք օգտագործել այլ բանաձևեր: Եկեք ծանոթանանք այս բանաձեւերին. Եթե ​​ամբողջական քառակուսային հավասարման մեջ երկրորդ անդամն ունի զույգ գործակից (b = 2k), ապա դուք կարող եք լուծել հավասարումը՝ օգտագործելով Նկար 2-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե գործակիցը ժամը x 2 հավասար է մեկի, և հավասարումը ստանում է ձև x 2 + px + q = 0. Նման հավասարումը կարող է տրվել լուծման համար, կամ այն ​​կարելի է ստանալ՝ հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանելով գործակցի վրա։ Ա, կանգնած է x 2 .

Նկար 3-ում ներկայացված է կրճատված քառակուսի լուծելու դիագրամ
հավասարումներ։ Դիտարկենք այս հոդվածում քննարկված բանաձևերի կիրառման օրինակը:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը

3x 2 + 6x – 6 = 0:

Եկեք լուծենք այս հավասարումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը:

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3

Դուք կարող եք նկատել, որ x-ի գործակիցը այս հավասարման մեջ զույգ թիվ է, այսինքն՝ b = 6 կամ b = 2k, որտեղից k = 3: Այնուհետև փորձենք լուծել հավասարումը D նկարի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերով: 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3. Նկատելով, որ այս քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանվում են 3-ի և կատարելով բաժանումը, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարում x 2 + 2x – 2 = 0 Լուծեք այս հավասարումը` օգտագործելով կրճատված քառակուսի բանաձևերը:
հավասարումներ նկար 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3.

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր բանաձևերով այս հավասարումը լուծելիս ստացանք նույն պատասխանը։ Հետևաբար, մանրակրկիտ տիրապետելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերին, դուք միշտ կկարողանաք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում:

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին: