5x (x - 4) = 0

5 x = 0 կամ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Սովորելով լուծել առաջին աստիճանի հավասարումներ, իհարկե, ցանկանում եք աշխատել ուրիշների հետ, մասնավորապես, երկրորդ աստիճանի հավասարումների հետ, որոնք այլ կերպ կոչվում են քառակուսի:

Քառակուսային հավասարումները այնպիսի հավասարումներ են, ինչպիսիք են ax² + bx + c = 0, որտեղ փոփոխականը x է, թվերն են a, b, c, որտեղ a-ն հավասար չէ զրոյի:

Եթե ​​քառակուսի հավասարման մեջ այս կամ այն ​​գործակիցը (c կամ b) հավասար է զրոյի, ապա այս հավասարումը կդասակարգվի որպես թերի քառակուսի հավասարումներ:

Ինչպե՞ս լուծել թերի քառակուսի հավասարումը, եթե ուսանողները մինչ այժմ կարողացել են լուծել միայն առաջին աստիճանի հավասարումներ: Դիտարկենք ոչ ամբողջական քառակուսի հավասարումներ տարբեր տեսակներև դրանք լուծելու պարզ ուղիներ:

ա) Եթե c գործակիցը հավասար է 0-ի, իսկ b գործակիցը հավասար չէ զրոյի, ապա ax ² + bx + 0 = 0 կրճատվում է ax ² + bx = 0 ձևի հավասարման:

Նման հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է իմանալ թերի քառակուսի հավասարման լուծման բանաձեւը, որը հետեւյալն է. ձախ կողմըֆակտորացնել այն և հետագայում օգտագործել այն պայմանը, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի:

Օրինակ, 5x² - 20x = 0: Մենք գործակցում ենք հավասարման ձախ կողմը` կատարելով սովորականը: մաթեմատիկական գործողություն: ընդհանուր գործակիցը փակագծերից դուրս տեղափոխելը

5x (x - 4) = 0

Մենք օգտագործում ենք պայմանը, որ ապրանքները հավասար են զրոյի:

5 x = 0 կամ x - 4 = 0

Պատասխանը կլինի. առաջին արմատը 0 է; երկրորդ արմատը 4 է:

բ) Եթե b = 0, իսկ ազատ անդամը հավասար չէ զրոյի, ապա ax ² + 0x + c = 0 հավասարումը վերածվում է ax ² + c = 0 ձևի հավասարման: Հավասարումները լուծվում են երկու եղանակով. ա) ձախ կողմում գտնվող հավասարման բազմանդամը գործակցելով. բ) օգտագործելով թվաբանական հատկությունները քառակուսի արմատ. Նման հավասարումը կարելի է լուծել՝ օգտագործելով մեթոդներից մեկը, օրինակ.

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Պատասխանը կլինի՝ առաջին արմատը 5/2 է; երկրորդ արմատը հավասար է - 5/2:

գ) Եթե b-ը հավասար է 0-ի, իսկ c-ն հավասար է 0-ի, ապա ax ² + 0 + 0 = 0 կրճատվում է ax ² = 0 ձևի հավասարման: Նման հավասարման դեպքում x-ը հավասար կլինի 0-ի:

Ինչպես տեսնում եք, թերի քառակուսի հավասարումները կարող են ունենալ ոչ ավելի, քան երկու արմատ:

Քառակուսային հավասարումներ հաճախ են առաջանում ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի տարբեր խնդիրներ լուծելիս։ Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես կարելի է լուծել այս հավասարությունները համընդհանուր ձևով «խտրականի միջոցով»: Հոդվածում բերված են նաև ձեռք բերված գիտելիքների օգտագործման օրինակներ։

Ի՞նչ հավասարումների մասին ենք խոսելու։

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս բանաձև, որում x-ը անհայտ փոփոխական է, իսկ լատիներեն a, b, c նշանները ներկայացնում են որոշ հայտնի թվեր:

Այս նշաններից յուրաքանչյուրը կոչվում է գործակից: Ինչպես տեսնում եք, «a» թիվը հայտնվում է x փոփոխականից առաջ քառակուսի: Սա ներկայացված արտահայտության առավելագույն հզորությունն է, այդ իսկ պատճառով այն կոչվում է քառակուսի հավասարում։ Հաճախ օգտագործվում է նրա մյուս անվանումը՝ երկրորդ կարգի հավասարում։ a արժեքը ինքնին քառակուսի գործակից է (կանգնած է քառակուսի փոփոխականով), b-ն գծային գործակից է (այն գտնվում է առաջին աստիճանի բարձրացված փոփոխականի կողքին), և վերջապես, c թիվը ազատ անդամն է։

Նկատի ունեցեք, որ վերևի նկարում ներկայացված հավասարման տեսակը ընդհանուր դասական քառակուսի արտահայտություն է: Բացի դրանից, կան նաև երկրորդ կարգի այլ հավասարումներ, որոնցում b և c գործակիցները կարող են զրո լինել։

Երբ խնդիր է դրվում լուծել խնդրո առարկա հավասարությունը, դա նշանակում է, որ պետք է գտնել x փոփոխականի այնպիսի արժեքներ, որոնք կբավարարեն այն: Այստեղ առաջինը, որ պետք է հիշել, հետևյալն է. քանի որ X-ի առավելագույն աստիճանը 2 է, ուրեմն այս տեսակի արտահայտությունը չի կարող ունենալ 2-ից ավելի լուծում։ Սա նշանակում է, որ եթե հավասարումը լուծելիս գտնվեն x-ի 2 արժեքներ, որոնք բավարարում են դրան, ապա կարող ես վստահ լինել, որ 3-րդ թիվ չկա՝ փոխարինելով այն x-ով, ապա հավասարությունը նույնպես ճիշտ կլինի։ Մաթեմատիկայում հավասարման լուծումները կոչվում են դրա արմատներ:

Երկրորդ կարգի հավասարումների լուծման մեթոդներ

Այս տեսակի հավասարումների լուծումը պահանջում է դրանց վերաբերյալ որոշ տեսության իմացություն: IN դպրոցական դասընթացհանրահաշիվները համարում են 4 տարբեր մեթոդներլուծումներ։ Թվարկենք դրանք.

• օգտագործելով ֆակտորիզացիա;
• օգտագործելով կատարյալ քառակուսի բանաձեւը;
• կիրառելով համապատասխան քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը;
• օգտագործելով տարբերակիչ հավասարումը:

Առաջին մեթոդի առավելությունը նրա պարզությունն է, սակայն այն չի կարող օգտագործվել բոլոր հավասարումների համար. Երկրորդ մեթոդը ունիվերսալ է, բայց որոշ չափով ծանրաբեռնված: Երրորդ մեթոդն առանձնանում է իր պարզությամբ, բայց միշտ չէ, որ հարմար է և կիրառելի։ Եվ վերջապես, դիսկրիմինանտ հավասարման օգտագործումը ունիվերսալ և բավականին պարզ միջոց է բացարձակապես ցանկացած երկրորդ կարգի հավասարման արմատները գտնելու համար: Հետևաբար, այս հոդվածում մենք կքննարկենք միայն այն:

Հավասարման արմատների ստացման բանաձևը

Եկեք դիմենք ընդհանուր տեսքըքառակուսի հավասարում. Գրենք այն՝ a*x²+ b*x + c =0: Նախքան այն լուծելու մեթոդն օգտագործելը «տարբերակի միջոցով», դուք միշտ պետք է հավասարությունը հասցնեք գրավոր ձևին: Այսինքն, այն պետք է բաղկացած լինի երեք անդամից (կամ պակաս, եթե b կամ c-ն 0 է):

Օրինակ, եթե կա արտահայտություն՝ x²-9*x+8 = -5*x+7*x², ապա նախ պետք է դրա բոլոր անդամները տեղափոխել հավասարության մի կողմ և ավելացնել x փոփոխականը պարունակող անդամները: նույն լիազորությունները.

IN այս դեպքումայս գործողությունը կհանգեցնի հետևյալ արտահայտությանը. հավասարություն -1-ով):

Վերևի օրինակում a = 6, b=4, c=-8: Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող հավասարության բոլոր պայմանները միշտ գումարվում են միասին, ուստի, եթե հայտնվում է «-» նշանը, նշանակում է, որ համապատասխան գործակիցը բացասական է, ինչպես այս դեպքում c թիվը:

Այս կետը ուսումնասիրելուց հետո եկեք անցնենք հենց այն բանաձևին, որը հնարավորություն է տալիս ստանալ քառակուսի հավասարման արմատները: Այն կարծես ստորև ներկայացված լուսանկարում պատկերվածին է:

Ինչպես երևում է այս արտահայտությունից, այն թույլ է տալիս ստանալ երկու արմատ (ուշադրություն դարձրեք «±» նշանին): Դա անելու համար բավական է դրա մեջ փոխարինել b, c և a գործակիցները:

Խտրականության հայեցակարգը

Նախորդ պարբերությունում տրվել է բանաձև, որը թույլ է տալիս արագ լուծել երկրորդ կարգի ցանկացած հավասարում։ Դրանում արմատական ​​արտահայտությունը կոչվում է դիսկրիմինանտ, այսինքն՝ D = b²-4*a*c։

Ինչու՞ է ընդգծված բանաձևի այս մասը, և այն նույնիսկ ունի պատշաճ անուն? Փաստն այն է, որ դիսկրիմինատորը միացնում է հավասարման բոլոր երեք գործակիցները մեկ արտահայտության մեջ։ Վերջին փաստը նշանակում է, որ այն ամբողջությամբ կրում է տեղեկատվություն արմատների մասին, որը կարող է արտահայտվել հետևյալ ցանկում.

1. D>0. Հավասարությունն ունի 2 տարբեր լուծում, երկուսն էլ իրական թվեր են:
2. D=0. Հավասարումն ունի միայն մեկ արմատ և այն իրական թիվ է:

Խտրականության որոշման առաջադրանք

Բերենք մի պարզ օրինակ, թե ինչպես կարելի է տարբերակիչ գտնել: Թող տրվի հետևյալ հավասարությունը՝ 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7:

Եկեք այն բերենք ստանդարտ ձևի, ստանում ենք՝ (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, որից գալիս ենք հավասարությանը. -2*x² +2*x-11 = 0. Այստեղ a=-2, b=2, c=-11:

Այժմ դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված բանաձևը տարբերակիչի համար՝ D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84: Ստացված թիվը առաջադրանքի պատասխանն է: Քանի որ օրինակում խտրական զրոյից պակաս, ապա կարելի է ասել, որ այս քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի։ Դրա լուծումը կլինի միայն բարդ տիպի թվեր։

Անհավասարության օրինակ խտրականի միջոցով

Եկեք լուծենք մի փոքր այլ տիպի խնդիրներ. հաշվի առնելով հավասարությունը -3*x²-6*x+c = 0: Անհրաժեշտ է գտնել c-ի արժեքներ, որոնց համար D>0:

Այս դեպքում 3 գործակիցներից միայն 2-ն է հայտնի, ուստի դիսկրիմինանտի ճշգրիտ արժեքը հնարավոր չէ հաշվարկել, սակայն հայտնի է, որ այն դրական է։ Անհավասարությունը կազմելիս օգտագործում ենք վերջին փաստը՝ D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0: Ստացված անհավասարության լուծումը բերում է արդյունքի՝ c>-3.

Ստուգենք ստացված թիվը։ Դա անելու համար D-ն հաշվում ենք 2 դեպքի համար՝ c=-2 և c=-4: -2 թիվը բավարարում է ստացված արդյունքին (-2>-3), համապատասխան դիսկրիմինատորը կունենա արժեքը՝ D = 12>0։ Իր հերթին, -4 թիվը չի բավարարում անհավասարությանը (-4: Այսպիսով, ցանկացած c թվեր, որոնք մեծ են -3-ից, կբավարարեն պայմանը.

Հավասարման լուծման օրինակ

Ներկայացնենք մի խնդիր, որը ներառում է ոչ միայն դիսկրիմինատորը գտնելը, այլև հավասարումը լուծելը։ Անհրաժեշտ է գտնել -2*x²+7-9*x = 0 հավասարության արմատները։

Այս օրինակում տարբերակիչն է հաջորդ արժեքը D = 81-4*(-2)*7= 137. Այնուհետև հավասարման արմատները կորոշվեն հետևյալ կերպ՝ x = (9±√137)/(-4): Սրանք արմատների ճշգրիտ արժեքներն են, եթե մոտավորապես հաշվարկեք արմատը, ապա կստանաք թվեր՝ x = -5,176 և x = 0,676:

Երկրաչափական խնդիր

Եկեք լուծենք մի խնդիր, որը կպահանջի ոչ միայն դիսկրիմինանտը հաշվարկելու կարողություն, այլ նաև վերացական մտածողության հմտությունների կիրառում և քառակուսի հավասարումներ գրելու իմացություն։

Բոբն ուներ 5 x ​​4 մետր վերմակ։ Տղան ուզում էր շարունակական շերտ կարել գեղեցիկ գործվածք. Որքան հաստ կլինի այս շերտը, եթե իմանանք, որ Բոբն ունի 10 մ² գործվածք:

Թող շերտը ունենա x մ հաստություն, ապա գործվածքի մակերեսը կլինի երկար կողմըվերմակը կլինի (5+2*x)*x, իսկ քանի որ 2 երկար կողմ կա, ունենք՝ 2*x*(5+2*x)։ Կարճ կողմում կարված գործվածքի մակերեսը կլինի 4*x, քանի որ այս կողմերը 2-ն են, ստանում ենք 8*x արժեքը։ Նկատի ունեցեք, որ 2*x արժեքը ավելացվել է երկար կողմին, քանի որ վերմակի երկարությունը մեծացել է այդ թվով: Վերմակին կարված գործվածքի ընդհանուր մակերեսը 10 մ² է։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարություն՝ 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0:

Այս օրինակի համար դիսկրիմինանտը հավասար է. 2*4) = (- 5; 0,5): Ակնհայտորեն, երկու արմատներից միայն 0,5 թիվը հարմար է խնդրի պայմաններին համապատասխան։

Այսպիսով, գործվածքի շերտը, որը Բոբը կարում է իր վերմակին, կունենա 50 սմ լայնություն։

Անավարտ քառակուսի հավասարումը տարբերվում է դասական (ամբողջական) հավասարումներից նրանով, որ դրա գործակիցները կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի։ Նման ֆունկցիաների գրաֆիկները պարաբոլներ են։ Կախված ընդհանուր տեսքից՝ դրանք բաժանվում են 3 խմբի. Բոլոր տեսակի հավասարումների լուծման սկզբունքները նույնն են։

Ոչ ամբողջական բազմանդամի տեսակը որոշելու մեջ դժվար բան չկա: Ավելի լավ է դիտարկել հիմնական տարբերությունները՝ օգտագործելով տեսողական օրինակներ.

1. Եթե ​​b = 0, ապա հավասարումը ax 2 + c = 0 է:
2. Եթե ​​c = 0, ապա պետք է լուծվի ax 2 + bx = 0 արտահայտությունը:
3. Եթե ​​b = 0 և c = 0, ապա բազմանդամը վերածվում է հավասարության, ինչպիսին է կացինը 2 = 0:

Վերջին դեպքն ավելի շատ տեսական հնարավորություն է և երբեք չի առաջանում գիտելիքների ստուգման առաջադրանքներում, քանի որ արտահայտության մեջ x փոփոխականի միակ ճիշտ արժեքը զրո է: Հետագայում կդիտարկվեն 1) և 2) տեսակների թերի քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ և օրինակներ։

Փոփոխականների և լուծումներով օրինակների որոնման ընդհանուր ալգորիթմ

Անկախ հավասարման տեսակից, լուծման ալգորիթմը կրճատվում է հետևյալ քայլերով.

1. Արտահայտությունը իջեցրեք արմատներ գտնելու համար հարմար ձևի:
2. Կատարել հաշվարկներ.
3. Պատասխանը գրի՛ր։

Անավարտ հավասարումները լուծելու ամենահեշտ ձևը ձախ կողմը գործոնավորելն է և աջ կողմում զրո թողնելը: Այսպիսով, արմատներ գտնելու թերի քառակուսային հավասարման բանաձևը կրճատվում է մինչև x-ի արժեքը յուրաքանչյուր գործոնի համար:

Դուք կարող եք միայն սովորել, թե ինչպես լուծել այն գործնականում, ուստի եկեք քննարկենք կոնկրետ օրինակգտնել ոչ լրիվ հավասարման արմատները.

Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում b = 0: Եկեք գործոնացնենք ձախ կողմը և ստացենք արտահայտությունը.

4 (x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0:

Ակնհայտ է, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: x1 = 0,5 և (կամ) x2 = -0,5 փոփոխականի արժեքները համապատասխանում են նմանատիպ պահանջներին:

Որպեսզի հեշտությամբ և արագ հաղթահարել տարրալուծման խնդիրը քառակուսի եռանկյունգործոնների մեջ հիշեք հետևյալ բանաձևը.

Եթե ​​արտահայտության մեջ չկա ազատ տերմին, խնդիրը մեծապես պարզեցվում է։ Բավական է միայն գտնել և փակագծել ընդհանուր հայտարարը։ Պարզության համար դիտարկենք օրինակ, թե ինչպես կարելի է լուծել ax2 + bx = 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարումները:

Փակագծերից հանենք x փոփոխականը և ստացվի հետևյալ արտահայտությունը.

x ⋅ (x + 3) = 0:

Տրամաբանությամբ առաջնորդվելով՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ x1 = 0, իսկ x2 = -3:

Ավանդական լուծման մեթոդ և թերի քառակուսի հավասարումներ

Ի՞նչ կլինի, եթե կիրառեք դիսկրիմինանտ բանաձևը և փորձեք գտնել զրոյի հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի արմատները: Օրինակ բերենք հավաքածուից բնորոշ առաջադրանքներ 2017 թվականի մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության համար մենք այն կլուծենք ստանդարտ բանաձևերի և ֆակտորացման մեթոդի միջոցով:

7x 2 – 3x = 0:

Հաշվենք դիսկրիմինանտ արժեքը՝ D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ստացվում է, որ բազմանդամն ունի երկու արմատ.

Այժմ լուծենք հավասարումը ֆակտորինգով և համեմատենք արդյունքները։

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Ինչպես տեսնում եք, երկու մեթոդներն էլ տալիս են նույն արդյունքը, բայց երկրորդ մեթոդով հավասարումը լուծելը շատ ավելի հեշտ և արագ էր։

Վիետայի թեորեմա

Բայց ի՞նչ անել Վիետայի սիրելի թեորեմի հետ: Կարո՞ղ է այս մեթոդը կիրառել, երբ եռանկյունը թերի է: Փորձենք հասկանալ քասթինգի կողմերը ամբողջական հավասարումներԴեպի դասական տեսք ax2 + bx + c = 0:

Փաստորեն, այս դեպքում հնարավոր է կիրառել Վիետայի թեորեմը։ Պետք է միայն արտահայտությունը բերել իր ընդհանուր ձևին՝ բաց թողնված անդամները փոխարինելով զրոյով։

Օրինակ, b = 0 և a = 1-ով, շփոթության հավանականությունը վերացնելու համար առաջադրանքը պետք է գրել ax2 + 0 + c = 0 ձևով: Այնուհետև պետք է սահմանվի արմատների գումարի և արտադրյալի հարաբերակցությունը և Բազմանդամի գործակիցները կարող են արտահայտվել հետևյալ կերպ.

Տեսական հաշվարկները օգնում են ծանոթանալ հարցի էությանը և լուծելիս միշտ գործնական հմտություններ են պահանջում. կոնկրետ առաջադրանքներ. Եկեք կրկին դիմենք միասնական պետական ​​քննության ստանդարտ առաջադրանքների տեղեկատուին և գտնենք համապատասխան օրինակ.

Եկեք գրենք արտահայտությունը Վիետայի թեորեմը կիրառելու համար հարմար ձևով.

x 2 + 0 – 16 = 0:

Հաջորդ քայլը պայմանների համակարգի ստեղծումն է.

Ակնհայտ է, որ քառակուսի բազմանդամի արմատները կլինեն x 1 = 4 և x 2 = -4:

Հիմա եկեք պրակտիկան տանք հավասարումը իր ընդհանուր ձևին: Վերցնենք հետևյալ օրինակը՝ 1/4× x 2 – 1 = 0

Վիետայի թեորեմը արտահայտության վրա կիրառելու համար անհրաժեշտ է ազատվել կոտորակից։ Եկեք ձախ և աջ կողմերը բազմապատկենք 4-ով և նայենք արդյունքին. x2– 4 = 0: Ստացված հավասարությունը պատրաստ է լուծելու Վիետայի թեորեմով, բայց շատ ավելի հեշտ և արագ է պատասխանը ստանալ՝ պարզապես շարժելով c=. 4 հավասարման աջ կողմում՝ x2 = 4:

Ամփոփելու համար պետք է ասել, որ լավագույն միջոցըլուծումներ թերի հավասարումներֆակտորիզացիա է, ամենապարզն է և արագ մեթոդ. Եթե ​​դժվարություններ առաջանան արմատների որոնման գործընթացում, կարող եք կապ հաստատել ավանդական մեթոդարմատներ գտնելը տարբերակիչի միջոցով:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևեր. Դիտարկվում են իրական, բազմակի և բարդ արմատների դեպքերը։ Քառակուսային եռանկյունի ֆակտորինգ: Երկրաչափական մեկնաբանություն. Արմատների և ֆակտորինգի որոշման օրինակներ.

Հիմնական բանաձևեր

Դիտարկենք քառակուսի հավասարումը.
(1) .
Քառակուսային հավասարման արմատները(1) որոշվում են բանաձևերով.
; .
Այս բանաձևերը կարելի է համատեղել այսպես.
.
Երբ հայտնի են քառակուսի հավասարման արմատները, ապա երկրորդ աստիճանի բազմանդամը կարող է ներկայացվել որպես գործոնների արտադրյալ (գործոնային).
.

Հաջորդը մենք ենթադրում ենք, որ իրական թվեր են:
Եկեք դիտարկենք քառակուսի հավասարման տարբերակիչ:
.
Եթե ​​տարբերակիչը դրական է, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու տարբեր իրական արմատներ.
; .
Այնուհետև քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.
Եթե ​​դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու բազմակի (հավասար) իրական արմատ.
.
Factorization:
.
Եթե ​​դիսկրիմինանտը բացասական է, ապա քառակուսի հավասարումը (1) ունի երկու բարդ խոնարհված արմատ.
;
.
Ահա երևակայական միավորը, ;
և արմատների իրական և երևակայական մասերն են.
; .
Հետո

.

Գրաֆիկական մեկնաբանություն

Եթե ​​դուք կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկ
,
որը պարաբոլա է, ապա առանցքի հետ գրաֆիկի հատման կետերը կլինեն հավասարման արմատները.
.
ժամը , գրաֆիկը հատում է x առանցքը (առանցքը) երկու կետով:
Երբ , գրաֆիկը մի կետում դիպչում է x առանցքին:
Երբ , գրաֆիկը չի հատում x առանցքը:

Ստորև բերված են նման գրաֆիկների օրինակներ:

Քառակուսային հավասարումների հետ կապված օգտակար բանաձևեր

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Մենք կատարում ենք փոխակերպումներ և կիրառում ենք (f.1) և (f.3) բանաձևերը.




,
Որտեղ
; .

Այսպիսով, մենք ստացանք երկրորդ աստիճանի բազմանդամի բանաձևը հետևյալ ձևով.
.
Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը

կատարվել է
Եվ .
Այսինքն, և են քառակուսի հավասարման արմատները
.

Քառակուսային հավասարման արմատները որոշելու օրինակներ

Օրինակ 1

(1.1) .

Լուծում

.
Համեմատելով մեր հավասարման հետ (1.1) մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.
.
Քանի որ դիսկրիմինանտը դրական է, ապա հավասարումն ունի երկու իրական արմատ.
;
;
.

Այստեղից մենք ստանում ենք քառակուսի եռանդամի գործոնացումը.

.

y = ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 x 2 + 7 x + 3հատում է x առանցքը երկու կետով:

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն հատում է աբսցիսայի առանցքը (առանցքը) երկու կետով.
Եվ .
Այս կետերը սկզբնական (1.1) հավասարման արմատներն են։

Պատասխանել

;
;
.

Օրինակ 2

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները.
(2.1) .

Լուծում

Գրենք քառակուսի հավասարումը ընդհանուր ձևով.
.
Համեմատելով սկզբնական հավասարման հետ (2.1) մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.
.
Քանի որ դիսկրիմինանտը զրո է, հավասարումը ունի երկու բազմակի (հավասար) արմատ.
;
.

Այնուհետև եռանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.

y = x ֆունկցիայի գրաֆիկը 2 - 4 x + 4դիպչում է x առանցքին մի կետում:

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան
.
Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն դիպչում է x-առանցքին (առանցքին) մի կետում.
.
Այս կետը սկզբնական հավասարման արմատն է (2.1): Քանի որ այս արմատը գործոնավորվում է երկու անգամ.
,
ապա այդպիսի արմատը սովորաբար կոչվում է բազմապատիկ։ Այսինքն, նրանք կարծում են, որ կան երկու հավասար արմատներ.
.

Պատասխանել

;
.

Օրինակ 3

Գտեք քառակուսի հավասարման արմատները.
(3.1) .

Լուծում

Գրենք քառակուսի հավասարումը ընդհանուր ձևով.
(1) .
Եկեք վերաշարադրենք սկզբնական հավասարումը (3.1).
.
Համեմատելով (1) հետ՝ մենք գտնում ենք գործակիցների արժեքները.
.
Մենք գտնում ենք տարբերակիչ.
.
Խտրականը բացասական է, .

Ուստի իրական արմատներ չկան։
;
;
.

Դուք կարող եք գտնել բարդ արմատներ.


.

Հետո

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան
.
Ֆունկցիայի գրաֆիկը չի հատում x առանցքը։ Իրական արմատներ չկան։

Պատասխանել

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է։ Այն չի հատում x առանցքը (առանցքը): Ուստի իրական արմատներ չկան։
;
;
.