Եկեք աշխատենք հետ քառակուսի հավասարումներ. Սրանք շատ տարածված հավասարումներ են: Ի շատ ընդհանուր տեսարանքառակուսի հավասարումն այսպիսի տեսք ունի.

Օրինակ.

Այստեղ Ա =1; բ = 3; գ = -4

Այստեղ Ա =2; բ = -0,5; գ = 2,2

Այստեղ Ա =-3; բ = 6; գ = -18

Դե հասկանում ես...

Ինչպե՞ս լուծել քառակուսի հավասարումներ:Եթե ​​այս տեսքով քառակուսի հավասարում ունեք, ապա ամեն ինչ պարզ է։ Հիշենք կախարդական բառ խտրական . Հազվադեպ է, որ ավագ դպրոցի աշակերտը չի լսել այս բառը: «Մենք լուծում ենք խտրականի միջոցով» արտահայտությունը վստահություն և վստահություն է ներշնչում: Որովհետև խտրականից հնարքներ սպասել պետք չէ։ Այն պարզ է և անփորձանք օգտագործելու համար: Այսպիսով, քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

Արմատի նշանի տակ արտահայտությունը մեկն է խտրական. Ինչպես տեսնում եք, X-ը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցներ քառակուսի հավասարումից: Պարզապես զգուշորեն փոխարինեք արժեքները ա, բ և գՍա այն բանաձևն է, որը մենք հաշվարկում ենք: Եկեք փոխարինենք ձեր սեփական նշաններով! Օրինակ, առաջին հավասարման համար Ա =1; բ = 3; գ= -4. Այստեղ մենք գրում ենք այն.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

վերջ։

Ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր այս բանաձևն օգտագործելիս: Միայն երեք դեպք կա.

1. Խտրականը դրական է. Սա նշանակում է, որ արմատը կարելի է հանել դրանից: Արմատը լավ է արդյունահանված, թե վատ, այլ հարց է: Կարեւորն այն է, թե ինչ է արդյունահանվում սկզբունքորեն։ Այդ դեպքում ձեր քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ: Երկու տարբեր լուծումներ.

2. Խտրականը զրո է։ Ապա դուք ունեք մեկ լուծում. Խիստ ասած, սա ոչ թե մեկ արմատ է, այլ երկու նույնական. Բայց սա դեր է խաղում անհավասարությունների մեջ, որտեղ ավելի մանրամասն կուսումնասիրենք հարցը։

3. Խտրականը բացասական է. Սկսած բացասական թիվ քառակուսի արմատարդյունահանված չէ: Ահ լավ. Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Դա շատ պարզ է. Եվ ի՞նչ, կարծում եք, որ անհնար է սխալվել: Դե, այո, ինչպես ...
Ամենատարածված սխալները նշանների արժեքների հետ շփոթությունն են ա, բ և գ. Ավելի ճիշտ, ոչ թե իրենց նշաններով (որտե՞ղ շփոթել), այլ բացասական արժեքների փոխարինմամբ արմատները հաշվարկելու բանաձևով: Այստեղ օգնում է բանաձևի մանրամասն ձայնագրությունը կոնկրետ թվերով: Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, արա դա!

Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ a = -6; b = -5; c = -1

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ հազվադեպ եք պատասխաններ ստանում առաջին անգամ:

Դե, մի ծույլ մի եղիր։ Լրացուցիչ տող գրելու համար կպահանջվի մոտ 30 վայրկյան և սխալների քանակը կտրուկ կնվազի. Այսպիսով, մենք մանրամասն գրում ենք բոլոր փակագծերով և նշաններով.

Թվում է, թե աներևակայելի դժվար է այդքան ուշադիր գրել: Բայց դա միայն թվում է: Փորձեք այն: Դե, կամ ընտրեք: Ինչն է ավելի լավ, արագ, թե ճիշտ: Բացի այդ, ես ձեզ կուրախացնեմ։ Որոշ ժամանակ անց ամեն ինչ այդքան ուշադիր գրելու կարիք չի լինի։ Դա ինքնուրույն կստացվի։ Հատկապես, եթե դուք օգտագործում եք գործնական տեխնիկա, որոնք նկարագրված են ստորև։ Այս չար օրինակը մի շարք մինուսներով կարելի է լուծել հեշտությամբ և առանց սխալների:

Այսպիսով, ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներմեր հիշած խտրականի միջոցով։ Կամ էլ սովորեցին, ինչը նույնպես լավ է։ Դուք գիտեք, թե ինչպես ճիշտ որոշել ա, բ և գ. Գիտե՞ք ինչպես։ ուշադիրդրանք փոխարինել արմատային բանաձևով և ուշադիրհաշվել արդյունքը. Դուք հասկանում եք, որ այստեղ հիմնական բառն է ուշադիր?

Այնուամենայնիվ, քառակուսի հավասարումները հաճախ մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Սա թերի քառակուսի հավասարումներ . Դրանք կարող են լուծվել նաև խտրականության միջոցով։ Պարզապես պետք է ճիշտ հասկանալ, թե այստեղ ինչի են հավասար։ ա, բ և գ.

Դուք հասկացե՞լ եք դա: Առաջին օրինակում a = 1; b = -4;Ա գ? Դա ընդհանրապես չկա: Դե, այո, դա ճիշտ է: Մաթեմատիկայի մեջ սա նշանակում է c = 0 ! վերջ։ Փոխարենը բանաձևի մեջ փոխարինեք զրո գ,և մենք հաջողության կհասնենք: Նույնը երկրորդ օրինակով. Միայն մենք այստեղ զրո չունենք Հետ, Ա բ !

Բայց թերի քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել շատ ավելի պարզ: Առանց որևէ խտրականության։ Դիտարկենք առաջին թերի հավասարումը. Ի՞նչ կարող ես անել ձախ կողմում: Դուք կարող եք հանել X-ը փակագծերից: Եկեք հանենք այն:

Ուրեմն ի՞նչ սրանից: Եվ այն, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Չե՞ք հավատում ինձ: Լավ, ուրեմն եկեք երկու ոչ զրոյական թվեր, որոնք բազմապատկելուց զրո կտան։
Չի՞ աշխատում: վերջ...
Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն գրել. x = 0, կամ x = 4

Բոլորը. Սրանք կլինեն մեր հավասարման արմատները: Երկուսն էլ հարմար են։ Դրանցից որևէ մեկը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը 0 = 0: Ինչպես տեսնում եք, լուծումը շատ ավելի պարզ է, քան դիսկրիմինանտ օգտագործելը:

Երկրորդ հավասարումը նույնպես կարելի է պարզ լուծել. Տեղափոխեք 9-ը աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Մնում է միայն արմատը հանել 9-ից, և վերջ: Կստացվի.

Նաև երկու արմատ . x = +3 և x = -3.

Այսպես են լուծվում բոլոր թերի քառակուսի հավասարումները։ Կամ փակագծերից դուրս դնելով X, կամ պարզ փոխանցումթվերը դեպի աջ և ապա հանելով արմատը:
Չափազանց դժվար է շփոթել այս տեխնիկան: Պարզապես այն պատճառով, որ առաջին դեպքում պետք է հանել X-ի արմատը, որը ինչ-որ կերպ անհասկանալի է, իսկ երկրորդ դեպքում փակագծերից հանելու բան չկա...

Այժմ ուշադրություն դարձրեք գործնական մեթոդներին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների թիվը: Նույնը, որ անուշադրության պատճառով է... Որի համար հետո ցավոտ ու վիրավորական է դառնում...

Առաջին նշանակումը. Մի ծույլ մի եղեք քառակուսի հավասարումը լուծելուց և այն բերել ստանդարտ ձևի: Ի՞նչ է սա նշանակում։
Ասենք, որ բոլոր փոխակերպումներից հետո ստացվում է հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատային բանաձևը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունը ա, բ և գ.Ճիշտ կառուցիր օրինակը: Նախ՝ X քառակուսի, հետո առանց քառակուսու, հետո ազատ տերմինը։ Այսպես.

Եվ կրկին, մի շտապեք: X քառակուսու դիմաց մինուսը կարող է իսկապես վրդովեցնել ձեզ: Հեշտ է մոռանալ... Ազատվեք մինուսից: Ինչպե՞ս: Այո, ինչպես ուսուցանվեց նախորդ թեմայում: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Բայց հիմա կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և ավարտել օրինակի լուծումը: Որոշեք ինքներդ: Այժմ դուք պետք է ունենաք 2 և -1 արմատները:

Ընդունելություն երկրորդ.Ստուգեք արմատները: Վիետայի թեորեմի համաձայն. Մի վախեցիր, ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Ստուգում վերջինհավասարումը։ Նրանք. այն, որը մենք օգտագործում էինք արմատային բանաձևը գրելու համար: Եթե ​​(ինչպես այս օրինակում) գործակիցը a = 1, արմատները ստուգելը հեշտ է։ Բավական է դրանք բազմապատկել։ Արդյունքը պետք է լինի ազատ անդամ, այսինքն. մեր դեպքում -2. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, ոչ թե 2, այլ -2: Անվճար անդամ ձեր նշանով . Եթե ​​դա չի ստացվում, նշանակում է, որ նրանք արդեն ինչ-որ տեղ խեղաթյուրել են: Փնտրեք սխալը: Եթե ​​դա աշխատում է, դուք պետք է ավելացնեք արմատները: Վերջին և վերջնական ստուգում. Գործակիցը պետք է լինի բՀետ հակառակը ծանոթ. Մեր դեպքում -1+2 = +1: Գործակից բ, որը X-ից առաջ է, հավասար է -1-ի: Այսպիսով, ամեն ինչ ճիշտ է:
Ափսոս, որ սա այդքան պարզ է միայն օրինակների համար, որտեղ x քառակուսին մաքուր է, գործակիցով a = 1.Բայց գոնե ստուգեք նման հավասարումների մեջ։ Բոլորը ավելի քիչ սխալներկամք.

Ընդունելություն երրորդ. Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկեք հավասարումը ընդհանուր հայտարար, ինչպես նկարագրված է նախորդ բաժնում: Կոտորակների հետ աշխատելիս սխալները ինչ-ինչ պատճառներով շարունակում են սողոսկել...

Ի դեպ, ես խոստացել եմ պարզեցնել չար օրինակը մի փունջ մինուսներով։ Խնդրում եմ։ Ահա նա։

Որպեսզի մինուսները չշփոթվեն, հավասարումը բազմապատկում ենք -1-ով։ Մենք ստանում ենք.

Վե՛րջ: Լուծելը հաճույք է։

Այսպիսով, եկեք ամփոփենք թեման.

Գործնական խորհուրդներ:

1. Լուծելուց առաջ քառակուսի հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի և կառուցում Ճիշտ է.

2. Եթե X քառակուսու դիմաց բացասական գործակից կա, ապա այն վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը բազմապատկելով -1-ով:

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը համապատասխան գործակցով բազմապատկելով։

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, նրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը կարելի է հեշտությամբ ստուգել Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արա՛ դա։

Կոտորակային հավասարումներ. ՕՁ.

Մենք շարունակում ենք յուրացնել հավասարումները: Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես աշխատել գծային և քառակուսի հավասարումների հետ: Մնաց վերջին տեսարանը - կոտորակային հավասարումներ. Կամ դրանք նաև շատ ավելի հարգալից են կոչվում. կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ . Դա նույն բանն է:

Կոտորակային հավասարումներ.

Ինչպես ենթադրում է անունը, այս հավասարումները անպայմանորեն պարունակում են կոտորակներ: Բայց ոչ միայն կոտորակներ, այլ կոտորակներ, որոնք ունեն հայտարարով անհայտ. Գոնե մեկում։ Օրինակ.

Հիշեցնեմ, որ եթե հայտարարները միայն թվեր, սրանք գծային հավասարումներ են։

Ինչպես որոշել կոտորակային հավասարումներ? Առաջին հերթին, ազատվեք կոտորակներից: Դրանից հետո հավասարումը ամենից հաճախ վերածվում է գծային կամ քառակուսի։ Եվ հետո մենք գիտենք, թե ինչ անել... Որոշ դեպքերում այն ​​կարող է վերածվել ինքնության, օրինակ՝ 5=5 կամ սխալ արտահայտության, օրինակ՝ 7=2։ Բայց դա հազվադեպ է պատահում: Սա կնշեմ ստորև։

Բայց ինչպե՞ս ազատվել կոտորակներից։ Շատ պարզ. Կիրառելով նույն նույնական փոխակերպումները:

Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը նույն արտահայտությամբ: Որպեսզի բոլոր հայտարարները կրճատվեն: Ամեն ինչ անմիջապես կհեշտանա։ Բացատրեմ օրինակով. Եկեք լուծենք հավասարումը.

Ինչպես ուսուցանվում է կրտսեր դասարաններ? Մենք ամեն ինչ տեղափոխում ենք մի կողմ, բերում ընդհանուր հայտարարի և այլն: Մոռացեք, թե ինչպես վատ երազ! Սա այն է, ինչ դուք պետք է անեք, երբ ավելացնում կամ հանում եք կոտորակներ: Կամ դուք աշխատում եք անհավասարությունների հետ: Իսկ հավասարումների մեջ մենք միանգամից երկու կողմերն էլ բազմապատկում ենք մի արտահայտությամբ, որը մեզ հնարավորություն կտա կրճատել բոլոր հայտարարները (այսինքն, ըստ էության, ընդհանուր հայտարարով): Իսկ ի՞նչ է այս արտահայտությունը։

Ձախ կողմում հայտարարի կրճատումը պահանջում է բազմապատկել x+2. Իսկ աջ կողմում պահանջվում է բազմապատկում 2-ով Սա նշանակում է, որ հավասարումը պետք է բազմապատկվի 2 (x+2). Բազմապատկել:

Սա կոտորակների սովորական բազմապատկում է, բայց ես այն մանրամասն կներկայացնեմ.

Ուշադրություն դարձրեք, որ փակագծը դեռ չեմ բացում (x + 2)! Այսպիսով, ես ամբողջությամբ գրում եմ.

Ձախ կողմում այն ​​ամբողջությամբ կծկվում է (x+2), իսկ աջ կողմում 2. Ինչն էր պահանջվում։ Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք գծայինհավասարում:

Եվ բոլորը կարող են լուծել այս հավասարումը: x = 2.

Եկեք լուծենք ևս մեկ օրինակ՝ մի փոքր ավելի բարդ.

Եթե ​​հիշենք, որ 3 = 3/1, և 2x = 2x/ 1, մենք կարող ենք գրել.

Եվ կրկին մենք ազատվում ենք այն ամենից, ինչ մեզ իրականում դուր չի գալիս՝ կոտորակները:

Մենք տեսնում ենք, որ X-ով հայտարարը կրճատելու համար պետք է բազմապատկել կոտորակը (x – 2). Իսկ մի քանիսը մեզ խանգարում են։ Դե, եկեք բազմապատկենք: Բոլորըձախ կողմը և բոլորըաջ կողմը:

Կրկին փակագծեր (x – 2)Չեմ բացահայտում. Ես աշխատում եմ փակագծի հետ որպես ամբողջություն, կարծես այն մեկ թիվ է: Դա միշտ պետք է արվի, այլապես ոչինչ չի կրճատվի։

Խորը բավարարվածության զգացումով մենք նվազեցնում ենք (x – 2)և մենք ստանում ենք հավասարում առանց կոտորակների, քանոնով։

Այժմ բացենք փակագծերը.

Մենք բերում ենք նմանատիպերը, ամեն ինչ տեղափոխում ենք ձախ կողմը և ստանում.

Դասական քառակուսի հավասարում. Բայց առջեւում մինուսը լավ չէ։ Դուք միշտ կարող եք ազատվել դրանից՝ բազմապատկելով կամ բաժանելով -1-ով: Բայց եթե ուշադիր նայեք օրինակին, կնկատեք, որ ավելի լավ է այս հավասարումը բաժանել -2-ի: Մի հարվածով մինուսը կվերանա, իսկ հավանականությունը կդառնա ավելի գրավիչ: Բաժանել -2-ի: Ձախ կողմում` տերմին առ տերմին, իսկ աջ կողմում, պարզապես զրոն բաժանեք -2-ի, զրո և կստանանք.

Մենք լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով և ստուգում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Մենք ստանում ենք x = 1 և x = 3. Երկու արմատ.

Ինչպես տեսնում եք, առաջին դեպքում փոխակերպումից հետո հավասարումը դարձել է գծային, բայց այստեղ այն դառնում է քառակուսի։ Պատահում է, որ կոտորակներից ազատվելուց հետո բոլոր X-երը կրճատվում են։ Ինչ-որ բան մնում է, օրինակ 5=5: Սա նշանակում է, որ x-ը կարող է լինել ամեն ինչ. Ինչ էլ որ լինի, միեւնույն է, կկրճատվի։ Եվ պարզվում է մաքուր ճշմարտություն՝ 5=5։ Բայց կոտորակներից ազատվելուց հետո կարող է պարզվել, որ այն լիովին չի համապատասխանում իրականությանը, օրինակ՝ 2=7։ Իսկ սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան! Ցանկացած X պարզվում է, որ չի համապատասխանում իրականությանը:

Իրականացվեց հիմնական լուծումը կոտորակային հավասարումներ ? Դա պարզ է և տրամաբանական։ Մենք փոխում ենք սկզբնական արտահայտությունը, որպեսզի այն ամենը, ինչ մեզ դուր չի գալիս, անհետանում է: Կամ խանգարում է։ IN այս դեպքումսրանք կոտորակներ են: Մենք նույնը կանենք լոգարիթմներով, սինուսներով և այլ սարսափներով բոլոր տեսակի բարդ օրինակներով: Մենք ՄիշտԵկեք այս ամենից ազատվենք։

Այնուամենայնիվ, մենք պետք է փոխենք բնօրինակ արտահայտությունը մեզ անհրաժեշտ ուղղությամբ կանոնների համաձայն, այո... Որի վարպետությունը մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելն է։ Այսպիսով, մենք տիրապետում ենք դրան:

Այժմ մենք կսովորենք, թե ինչպես շրջանցել դրանցից մեկը հիմնական որոգայթները միասնական պետական ​​քննության վրա! Բայց նախ տեսնենք՝ դուք դրա մեջ եք ընկնում, թե ոչ։

Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.

Գործն արդեն ծանոթ է, մենք երկուստեք բազմապատկում ենք (x – 2), ստանում ենք.

Հիշեցնում եմ՝ փակագծերով (x – 2)Մենք աշխատում ենք այնպես, կարծես մեկ, ինտեգրալ արտահայտությամբ:

Այստեղ ես այլևս մեկ չեմ գրել հայտարարի մեջ, դա անարժանապատիվ է... Իսկ հայտարարների մեջ փակագծեր չեմ նկարել, բացառությամբ. x – 2ոչինչ չկա, պետք չէ նկարել: Եկեք կրճատենք.

Բացեք փակագծերը, ամեն ինչ տեղափոխեք ձախ և տվեք նմանատիպերը.

Լուծում ենք, ստուգում, երկու արմատ ենք ստանում։ x = 2Եվ x = 3. Հիանալի:

Ենթադրենք հանձնարարության մեջ ասվում է, որ գրեք արմատը, կամ դրանց գումարը, եթե կա մեկից ավելի արմատ: Ի՞նչ ենք մենք գրելու։

Եթե ​​որոշեք, որ պատասխանը 5 է, դուք դարանակալած. Եվ առաջադրանքը ձեզ չի վերագրվի: Իզուր աշխատեցին... Ճիշտ պատասխանը 3-ն է.

Ի՞նչ է պատահել։ Եվ դուք փորձում եք ստուգում կատարել: Փոխարինեք անհայտի արժեքները օրիգինալօրինակ. Եվ եթե ժամը x = 3ամեն ինչ հիանալի կաճի միասին, մենք ստանում ենք 9 = 9, հետո երբ x = 2Դա կբաժանվի զրոյի! Այն, ինչ դուք բացարձակապես չեք կարող անել: Միջոցներ x = 2լուծում չէ և հաշվի չի առնվում պատասխանում։ Սա այսպես կոչված կողմնակի կամ լրացուցիչ արմատն է: Մենք պարզապես մերժում ենք այն: Վերջնական արմատը մեկն է. x = 3.

Ինչպես է այդպես?! – Վրդովված բացականչություններ եմ լսում. Մեզ սովորեցրել են, որ հավասարումը կարելի է բազմապատկել արտահայտությամբ։ Սա նույնական փոխակերպում է:

Այո, նույնական: Փոքր պայմանով - արտահայտությունը, որով մենք բազմապատկում ենք (բաժանում) - տարբերվում է զրոյից. Ա x – 2ժամը x = 2հավասար է զրոյի! Այնպես որ, ամեն ինչ արդար է:

Ուրեմն ի՞նչ անենք հիմա։ Չե՞ք բազմապատկել արտահայտությամբ: Պետք է ամեն անգամ ստուգե՞մ: Կրկին անհասկանալի է!

Հանգիստ! Խուճապի մի մատնվեք!

Այս դժվարին իրավիճակում մեզ կփրկեն երեք կախարդական տառեր։ Ես գիտեմ, թե ինչ ես մտածում: Ճիշտ է։ Սա ՕՁ . Ընդունելի արժեքների տարածք.

Հայտնի է, որ դա ax 2 + bx + c = o հավասարության որոշակի տարբերակ է, որտեղ a, b և c-ն իրական գործակիցներ են անհայտ x-ի համար, և որտեղ a ≠ o, և b և c կլինեն զրոներ՝ միաժամանակ կամ առանձին-առանձին։ Օրինակ՝ c = o, b ≠ o կամ հակառակը: Մենք գրեթե հիշեցինք քառակուսի հավասարման սահմանումը։

Երկրորդ աստիճանի եռանկյունը զրո է։ Նրա առաջին գործակիցը a ≠ o, b և c կարող է ընդունել ցանկացած արժեք: x փոփոխականի արժեքը կլինի այն ժամանակ, երբ փոխարինումը այն վերածի ճիշտ թվային հավասարության: Եկեք կենտրոնանանք իրական արմատների վրա, թեև հավասարումները կարող են լինել նաև լուծումներ։
Եկեք մի օրինակ լուծենք. 2x 2 -9x-5 = ախ, մենք գտնում ենք
D = 81+40 = 121,
D-ն դրական է, ինչը նշանակում է, որ կան արմատներ, x 1 = (9+√121):4 = 5, իսկ երկրորդը x 2 = (9-√121):4 = -o.5: Ստուգումը կօգնի համոզվել, որ դրանք ճիշտ են:

Ահա քառակուսի հավասարման քայլ առ քայլ լուծումը

Օգտագործելով դիսկրիմինանտը, դուք կարող եք լուծել ցանկացած հավասարում, որի ձախ կողմում կա ≠ o-ի համար հայտնի քառակուսի եռանկյուն: Մեր օրինակում. 2x 2 -9x-5 = 0 (կացին 2 +in+s = o)

Դիտարկենք, թե որոնք են երկրորդ աստիճանի թերի հավասարումները

1. կացին 2 +in = o. Ազատ անդամը՝ c գործակիցը x 0-ում, այստեղ հավասար է զրոյի՝ ≠ o-ում:
   Ինչպե՞ս լուծել այս տիպի ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումը: Փակագծերից հանենք x-ը։ Հիշենք, երբ երկու գործակիցների արտադրյալը հավասար է զրոյի։
   x(ax+b) = o, սա կարող է լինել, երբ x = o կամ երբ ax+b = o:
   Լուծելով 2-րդը՝ ունենք x = -в/а:
   Արդյունքում մենք ունենք արմատներ x 1 = 0, ըստ հաշվարկների x 2 = -b/a:
2. Այժմ x-ի գործակիցը հավասար է o-ի, իսկ c-ն հավասար չէ (≠) o-ին:
   x 2 +c = o. c-ն տեղափոխենք հավասարության աջ կողմ, ստանում ենք x 2 = -с: Այս հավասարումն իրական արմատներ ունի միայն այն դեպքում, երբ -c դրական թիվ(‹ o-ի հետ),
   x 1-ն այդ դեպքում հավասար է √(-c), համապատասխանաբար, x 2-ը -√(-c է): Հակառակ դեպքում հավասարումն ընդհանրապես արմատներ չունի։
3. Վերջին տարբերակը՝ b = c = o, այսինքն՝ կացին 2 = o: Բնականաբար, նման պարզ հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ x = o:

Հատուկ դեպքեր

Մենք նայեցինք, թե ինչպես լուծել թերի քառակուսի հավասարումը, և այժմ եկեք վերցնենք ցանկացած տեսակի:

• Ամբողջական քառակուսի հավասարման մեջ x-ի երկրորդ գործակիցը զույգ թիվ է:
  Թող k = o.5b. Մենք ունենք դիսկրիմինանտի և արմատների հաշվարկման բանաձևեր։
  D/4 = k 2 - ac, արմատները հաշվարկվում են x 1,2 = (-k±√(D/4))/a D › o-ի համար:
  x = -k/a ժամը D = o:
  D ‹ o-ի համար արմատներ չկան։
• Տրված են քառակուսի հավասարումներ, երբ x քառակուսու գործակիցը հավասար է 1-ի, դրանք սովորաբար գրվում են x 2 + рх + q = o։ Բոլոր վերը նշված բանաձեւերը վերաբերում են նրանց, բայց հաշվարկները որոշ չափով ավելի պարզ են:
  Օրինակ, x 2 -4x-9 = 0. Հաշվեք D՝ 2 2 +9, D = 13:
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13:
• Բացի այդ, հեշտ է կիրառել տրվածների վրա: Այն ասում է, որ հավասարման արմատների գումարը հավասար է -p, երկրորդ գործակիցը մինուսով (նշանակում է. հակառակ նշան), և այս նույն արմատների արտադրյալը հավասար կլինի q՝ ազատ անդամին։ Տեսեք, թե որքան հեշտ կլիներ բանավոր կերպով որոշել այս հավասարման արմատները: Չկրճատված գործակիցների համար (բոլոր գործակիցների համար, որոնք հավասար չեն զրոյի) այս թեորեմը կիրառելի է հետևյալ կերպ՝ x 1 + x 2 գումարը հավասար է -b/a-ի, x 1 · x 2 արտադրյալը հավասար է c/a-ի:

c ազատ անդամի և ա առաջին գործակցի գումարը հավասար է b գործակցի։ Այս իրավիճակում հավասարումն ունի առնվազն մեկ արմատ (հեշտ է ապացուցել), առաջինն անպայման հավասար է -1-ի, իսկ երկրորդը -c/a, եթե այն կա: Դուք ինքներդ կարող եք ստուգել, ​​թե ինչպես լուծել թերի քառակուսի հավասարումը: Ավելի պարզ չէր կարող լինել: Գործակիցները կարող են լինել միմյանց հետ որոշակի հարաբերությունների մեջ

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o:
• Բոլոր գործակիցների գումարը հավասար է o-ի:
  Նման հավասարման արմատներն են 1 և c/a: Օրինակ, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2:

Երկրորդ աստիճանի տարբեր հավասարումներ լուծելու մի շարք այլ եղանակներ կան։ Ահա, օրինակ, տրված բազմանդամից ամբողջական քառակուսի հանելու մեթոդ: Կան մի քանի գրաֆիկական մեթոդներ. Երբ հաճախ եք նման օրինակների հետ առնչվում, կսովորեք դրանք սերմի պես «կտտացնել», քանի որ բոլոր մեթոդներն ինքնաբերաբար գալիս են ձեր մտքին։

IN ժամանակակից հասարակությունքառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումներով գործողություններ կատարելու ունակությունը կարող է օգտակար լինել գործունեության բազմաթիվ ոլորտներում և լայնորեն կիրառվում է պրակտիկայում գիտական ​​և տեխնիկական զարգացումների մեջ: Դրա վկայությունը կարելի է գտնել ծովային և գետային նավերի, ինքնաթիռների և հրթիռների նախագծման մեջ: Օգտագործելով նման հաշվարկները, շարժման հետագծերը առավել տարբեր մարմիններ, ներառյալ տիեզերական օբյեկտները: Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ օգտագործվում են ոչ միայն տնտեսական կանխատեսումների, շենքերի նախագծման և կառուցման մեջ, այլև առավել սովորական առօրյա հանգամանքներում: Դրանք կարող են անհրաժեշտ լինել արշավների ժամանակ, սպորտային միջոցառումների ժամանակ, խանութներում գնումներ կատարելիս և շատ սովորական իրավիճակներում:

Բաժանենք արտահայտությունը նրա բաղադրիչ գործոնների

Որոշվում է հավասարման աստիճանը առավելագույն արժեքըփոփոխականի աստիճանը, որը պարունակում է այս արտահայտությունը: Եթե ​​այն հավասար է 2-ի, ապա նման հավասարումը կոչվում է քառակուսի։

Եթե ​​խոսենք բանաձևերի լեզվով, ապա նշված արտահայտությունները, անկախ նրանից, թե ինչ տեսք ունեն, միշտ կարելի է բերել այն ձևի, երբ. ձախ կողմըարտահայտությունը բաղկացած է երեք տերմինից. Դրանցից՝ ax 2 (այսինքն՝ փոփոխական քառակուսի իր գործակցով), bx (անհայտ առանց քառակուսու իր գործակցով) և c (ազատ բաղադրիչ, այսինքն՝ սովորական թիվ)։ Այս ամենը աջ կողմում հավասար է 0-ի: Այն դեպքում, երբ նման բազմանդամին բացակայում է իր բաղկացուցիչ անդամներից մեկը, բացառությամբ կացին 2-ի, այն կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում: Նախ պետք է հաշվի առնել նման խնդիրների լուծման օրինակները, այն փոփոխականների արժեքները, որոնցում հեշտ է գտնել:

Եթե ​​արտահայտությունը կարծես աջ կողմում ունի երկու տերմին, ավելի ճիշտ՝ ax 2 և bx, ապա x գտնելու ամենահեշտ ձևը փոփոխականը փակագծերից դուրս դնելն է: Այժմ մեր հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը՝ x(ax+b): Այնուհետև ակնհայտ է դառնում, որ կա՛մ x=0, կա՛մ խնդիրը հանգում է հետևյալ արտահայտությունից փոփոխական գտնելուն՝ ax+b=0: Սա թելադրված է բազմապատկման հատկություններից մեկով։ Կանոնն ասում է, որ երկու գործոնի արտադրյալը ստանում է 0 միայն այն դեպքում, երբ նրանցից մեկը զրո է:

Օրինակ

x=0 կամ 8x - 3 = 0

Արդյունքում ստանում ենք հավասարման երկու արմատ՝ 0 և 0,375։

Այս կարգի հավասարումները կարող են նկարագրել գրավիտացիայի ազդեցության տակ գտնվող մարմինների շարժումը, որոնք սկսել են շարժվել որոշակի կետից, որն ընդունվել է որպես կոորդինատների սկզբնաղբյուր։ Այստեղ մաթեմատիկական նշումը ստանում է հետևյալ ձևը՝ y = v 0 t + gt 2 /2: Փոխարինելով անհրաժեշտ արժեքները, աջ կողմը հավասարեցնելով 0-ին և գտնելով հնարավոր անհայտները՝ կարող եք պարզել մարմնի բարձրանալու պահից մինչև ընկնելու պահն անցնող ժամանակը, ինչպես նաև շատ այլ մեծություններ։ Բայց այս մասին կխոսենք ավելի ուշ:

Արտահայտության ֆակտորինգ

Վերը նկարագրված կանոնը հնարավորություն է տալիս ավելի շատ լուծել այս խնդիրները դժվար դեպքեր. Դիտարկենք այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

X 2 - 33x + 200 = 0

Սա քառակուսի եռանկյունամբողջական է. Նախ, եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը և գործոնենք այն: Դրանցից երկուսը կա՝ (x-8) և (x-25) = 0: Արդյունքում մենք ունենք երկու արմատ 8 և 25:

9-րդ դասարանի քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակները թույլ են տալիս այս մեթոդին գտնել փոփոխական ոչ միայն երկրորդ, այլ նույնիսկ երրորդ և չորրորդ կարգի արտահայտություններում:

Օրինակ՝ 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0: Աջ կողմը փոփոխականով գործոնների վերածելիս կան երեքը, այսինքն՝ (x+1), (x-3) և (x+): 3).

Արդյունքում ակնհայտ է դառնում, որ այս հավասարումն ունի երեք արմատ՝ -3; -1; 3.

Քառակուսի արմատ

Մեկ այլ դեպք թերի հավասարումերկրորդ կարգը տառերի լեզվով արտահայտված արտահայտություն է այնպես, որ աջ կողմը կառուցված է ax 2 և c բաղադրիչներից։ Այստեղ փոփոխականի արժեքը ստանալու համար ազատ տերմինը տեղափոխվում է աջ կողմ, իսկ դրանից հետո քառակուսի արմատը հանվում է հավասարության երկու կողմերից։ Պետք է նշել, որ այս դեպքում սովորաբար հավասարման երկու արմատ կա. Միակ բացառությունները կարող են լինել հավասարումները, որոնք ընդհանրապես չեն պարունակում տերմին, որտեղ փոփոխականը հավասար է զրոյի, ինչպես նաև արտահայտությունների տարբերակները, երբ աջ կողմը բացասական է ստացվում։ Վերջին դեպքում լուծումներ ընդհանրապես չկան, քանի որ վերը նշված գործողությունները չեն կարող կատարվել արմատներով: Պետք է դիտարկել այս տեսակի քառակուսի հավասարումների լուծումների օրինակներ:

Այս դեպքում հավասարման արմատները կլինեն -4 և 4 թվերը։

Հողատարածքի հաշվարկ

Այս տեսակի հաշվարկների անհրաժեշտությունը ի հայտ է եկել դեռևս հին ժամանակներում, քանի որ այդ հեռավոր ժամանակներում մաթեմատիկայի զարգացումը մեծապես պայմանավորված էր հողատարածքների տարածքներն ու պարագծերը առավելագույն ճշգրտությամբ որոշելու անհրաժեշտությամբ։

Պետք է դիտարկել նաև այս կարգի խնդիրների հիման վրա քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ:

Այսպիսով, ասենք, կա մի ուղղանկյուն հողամաս, որի երկարությունը լայնությունից 16 մետրով մեծ է։ Դուք պետք է գտնեք կայքի երկարությունը, լայնությունը և պարագիծը, եթե գիտեք, որ դրա մակերեսը 612 մ2 է:

Սկսելու համար նախ ստեղծենք անհրաժեշտ հավասարումը։ x-ով նշանակենք տարածքի լայնությունը, ապա դրա երկարությունը կլինի (x+16): Գրվածից հետևում է, որ տարածքը որոշվում է x(x+16) արտահայտությամբ, որը, մեր խնդրի պայմանների համաձայն, 612 է։ Սա նշանակում է, որ x(x+16) = 612։

Ամբողջական քառակուսի հավասարումներ լուծելը, և այս արտահայտությունը հենց դա է, չի կարող նույն կերպ անել: Ինչո՞ւ։ Չնայած ձախ կողմը դեռ երկու գործոն է պարունակում, սակայն դրանց արտադրյալը բոլորովին հավասար չէ 0-ի, ուստի այստեղ օգտագործվում են տարբեր մեթոդներ։

Խտրական

Նախ կատարենք անհրաժեշտ վերափոխումները, ապա տեսքըԱյս արտահայտության տեսքը կունենա հետևյալ տեսքը. x 2 + 16x - 612 = 0: Սա նշանակում է, որ մենք ստացել ենք նախկինում նշված ստանդարտին համապատասխան արտահայտություն, որտեղ a=1, b=16, c=-612:

Սա կարող է լինել քառակուսի հավասարումների լուծման օրինակ՝ օգտագործելով դիսկրիմինանտ: Այստեղ անհրաժեշտ հաշվարկներարտադրվում են ըստ սխեմայի՝ D = b 2 - 4ac: Այս օժանդակ մեծությունը ոչ միայն հնարավորություն է տալիս գտնել պահանջվող քանակությունները երկրորդ կարգի հավասարման մեջ, այլև որոշում է քանակը. հնարավոր տարբերակները. Եթե ​​D>0, դրանք երկուսն են. D=0-ի համար կա մեկ արմատ: Այն դեպքում, երբ Դ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Արմատների և դրանց բանաձևի մասին

Մեր դեպքում դիսկրիմինատորը հավասար է՝ 256 - 4(-612) = 2704: Սա հուշում է, որ մեր խնդիրն ունի պատասխան: Եթե ​​դուք գիտեք k, ապա քառակուսի հավասարումների լուծումը պետք է շարունակել ստորև բերված բանաձևով. Այն թույլ է տալիս հաշվարկել արմատները:

Սա նշանակում է, որ ներկայացված դեպքում՝ x 1 =18, x 2 =-34: Այս երկընտրանքի երկրորդ տարբերակը չի կարող լուծում լինել, քանի որ հողամասի չափերը չեն կարող չափվել բացասական մեծություններով, ինչը նշանակում է, որ x-ը (այսինքն՝ հողամասի լայնությունը) 18 մ է: Այստեղից մենք հաշվարկում ենք երկարությունը՝ 18 +16=34, իսկ պարագիծը՝ 2(34+ 18)=104(մ2):

Օրինակներ և առաջադրանքներ

Մենք շարունակում ենք քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրությունը: Դրանցից մի քանիսի օրինակներն ու մանրամասն լուծումները կներկայացվեն ստորև։

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք հավասարության ձախ կողմը, կատարենք փոխակերպում, այսինքն՝ կստանանք հավասարման այն տեսակը, որը սովորաբար կոչվում է ստանդարտ և հավասարեցնենք այն զրոյի:

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Նմանատիպերը ավելացնելով՝ մենք որոշում ենք դիսկրիմինանտը՝ D = 49 - 48 = 1: Սա նշանակում է, որ մեր հավասարումը կունենա երկու արմատ: Հաշվարկենք դրանք վերը նշված բանաձեւով, ինչը նշանակում է, որ դրանցից առաջինը հավասար կլինի 4/3-ի, իսկ երկրորդը՝ 1-ի։

2) Հիմա եկեք լուծենք այլ տեսակի առեղծվածներ:

Եկեք պարզենք, արդյոք այստեղ արմատներ կան x 2 - 4x + 5 = 1: Համապարփակ պատասխան ստանալու համար եկեք բազմանդամը փոքրացնենք համապատասխան սովորական ձևի և հաշվենք դիսկրիմինանտը: Վերոնշյալ օրինակում անհրաժեշտ չէ լուծել քառակուսի հավասարումը, քանի որ դա ամենևին էլ խնդրի էությունը չէ։ Այս դեպքում D = 16 - 20 = -4, ինչը նշանակում է, որ իսկապես արմատներ չկան:

Վիետայի թեորեմա

Քառակուսային հավասարումներՀարմար է լուծել վերը նշված բանաձևերի և դիսկրիմինանտի միջոցով, երբ քառակուսի արմատը վերցված է վերջինիս արժեքից։ Բայց դա միշտ չէ, որ տեղի է ունենում: Այնուամենայնիվ, այս դեպքում փոփոխականների արժեքները ստանալու բազմաթիվ եղանակներ կան: Օրինակ՝ քառակուսի հավասարումների լուծում Վիետայի թեորեմի միջոցով: Նրա անունը կրում է 16-րդ դարում Ֆրանսիայում ապրած և փայլուն կարիերա իր մաթեմատիկական տաղանդի և դատարանում ունեցած կապերի շնորհիվ: Նրա դիմանկարը կարելի է տեսնել հոդվածում։

Նախշը, որը նկատել է հայտնի ֆրանսիացին, հետևյալն էր. Նա ապացուցեց, որ հավասարման արմատները թվայինորեն գումարվում են -p=b/a, և դրանց արտադրյալը համապատասխանում է q=c/a:

Հիմա եկեք նայենք կոնկրետ առաջադրանքներին:

3x 2 + 21x - 54 = 0

Պարզության համար եկեք փոխակերպենք արտահայտությունը.

x 2 + 7x - 18 = 0

Օգտագործենք Վիետայի թեորեմը, սա մեզ կտա հետևյալը. արմատների գումարը -7 է, իսկ դրանց արտադրյալը -18: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ հավասարման արմատները -9 և 2 թվերն են: Ստուգելուց հետո մենք կհամոզվենք, որ այս փոփոխական արժեքները իսկապես տեղավորվում են արտահայտության մեջ:

Պարաբոլայի գրաֆիկ և հավասարում

Քառակուսային ֆունկցիա և քառակուսի հավասարումներ հասկացությունները սերտորեն կապված են: Դրա օրինակներն արդեն տրվել են ավելի վաղ: Հիմա եկեք մի փոքր ավելի մանրամասն նայենք մի քանի մաթեմատիկական հանելուկների: Նկարագրված տիպի ցանկացած հավասարում կարող է ներկայացվել տեսողականորեն: Նման հարաբերությունը, որը գծված է որպես գրաֆիկ, կոչվում է պարաբոլա։ Դրա տարբեր տեսակները ներկայացված են ստորև բերված նկարում:

Ցանկացած պարաբոլա ունի գագաթ, այսինքն՝ կետ, որտեղից դուրս են գալիս նրա ճյուղերը։ Եթե ​​a>0, նրանք բարձրանում են դեպի անսահմանություն, իսկ երբ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Ֆունկցիաների տեսողական ներկայացումները օգնում են լուծել ցանկացած հավասարում, ներառյալ քառակուսային: Այս մեթոդը կոչվում է գրաֆիկական: Իսկ x փոփոխականի արժեքը աբսցիսային կոորդինատն է այն կետերում, որտեղ գրաֆիկի գիծը հատվում է 0x-ի հետ։ Գագաթի կոորդինատները կարելի է գտնել օգտագործելով x 0 = -b/2a բանաձեւը: Իսկ ստացված արժեքը ֆունկցիայի սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելով՝ կարող եք պարզել y 0, այսինքն՝ պարաբոլայի գագաթի երկրորդ կոորդինատը, որը պատկանում է օրդինատների առանցքին։

Պարաբոլայի ճյուղերի հատումը աբսցիսայի առանցքի հետ

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակները շատ են, բայց կան նաև ընդհանուր օրինաչափություններ։ Եկեք նայենք նրանց: Հասկանալի է, որ գրաֆիկի հատումը 0x առանցքի հետ a>0-ի համար հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե 0-ն ընդունում է բացասական արժեքներ։ Իսկ համար ա<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Հակառակ դեպքում Դ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Պարաբոլայի գրաֆիկից կարելի է որոշել նաև արմատները։ Ճիշտ է նաև հակառակը. Այսինքն, եթե դուք տեսողական պատկեր եք ստանում քառակուսի ֆունկցիաԴա հեշտ չէ, դուք կարող եք հավասարեցնել արտահայտության աջ կողմը 0-ի և լուծել ստացված հավասարումը: Իսկ իմանալով 0x առանցքի հետ հատման կետերը՝ ավելի հեշտ է գրաֆիկ կառուցել։

Պատմությունից

Օգտագործելով քառակուսի փոփոխական պարունակող հավասարումներ՝ հին ժամանակներում նրանք ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ էին անում և որոշում երկրաչափական պատկերների մակերեսները։ Հիններին նման հաշվարկներ էին պետք ֆիզիկայի և աստղագիտության բնագավառներում մեծ հայտնագործությունների, ինչպես նաև աստղագիտական ​​կանխատեսումներ անելու համար։

Ինչպես ենթադրում են ժամանակակից գիտնականները, Բաբելոնի բնակիչներն առաջիններից են, ովքեր լուծել են քառակուսի հավասարումներ։ Դա տեղի է ունեցել մեր թվարկությունից չորս դար առաջ։ Իհարկե, նրանց հաշվարկները արմատապես տարբերվում էին ներկայումս ընդունվածներից և շատ ավելի պարզունակ էին։ Օրինակ, միջագետքի մաթեմատիկոսները գաղափար չունեին բացասական թվերի գոյության մասին։ Նրանց անծանոթ էին նաև այլ նրբություններ, որոնք գիտեն ժամանակակից ցանկացած դպրոցական:

Թերևս ավելի վաղ, քան Բաբելոնի գիտնականները, հնդիկ իմաստուն Բաուդայաման սկսեց քառակուսի հավասարումներ լուծել: Դա տեղի է ունեցել Քրիստոսի դարաշրջանից մոտ ութ դար առաջ: Ճիշտ է, երկրորդ կարգի հավասարումները, լուծման մեթոդները, որոնք նա տվեց, ամենապարզն էին։ Նրանից բացի, հին ժամանակներում նմանատիպ հարցերով հետաքրքրված էին նաեւ չինացի մաթեմատիկոսները։ Եվրոպայում քառակուսի հավասարումները սկսեցին լուծվել միայն 13-րդ դարի սկզբին, սակայն հետագայում դրանք իրենց աշխատություններում օգտագործեցին այնպիսի մեծ գիտնականներ, ինչպիսիք են Նյուտոնը, Դեկարտը և շատ ուրիշներ։

Քառակուսային հավասարում - հեշտ է լուծել: *Այսուհետ՝ «KU»:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ ավելի պարզ բան չի կարող լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի՞ տպավորություն է թողնում Yandex-ը ըստ պահանջի: Ահա թե ինչ եղավ, տեսեք.

Ի՞նչ է դա նշանակում։ Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70.000 մարդ փնտրում է այս տեղեկությունը, իսկ սա ամառ է, իսկ թե ինչ կլինի ուսումնական տարվա ընթացքում՝ կրկնակի շատ խնդրանքներ կլինեն։ Զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց են ավարտել դպրոցը և պատրաստվում են միասնական պետական ​​քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, և դպրոցականները նույնպես ձգտում են թարմացնել հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են ձեզ, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքի հիման վրա. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հայտնվի «KU» թեման, ես կտամ հղումը այս հոդվածին. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար ասվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք:Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բիսկ c-ն կամայական թվեր են՝ a≠0-ով:

IN դպրոցական դասընթացնյութը տրված է հետևյալ ձևով՝ հավասարումները պայմանականորեն բաժանված են երեք դասի.

1. Նրանք երկու արմատ ունեն.

2. *Ունենալ միայն մեկ արմատ.

3. Նրանք արմատներ չունեն։ Այստեղ հարկ է հատկապես նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձեւ է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և լուծել.

Օրինակ՝

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Ըստ այս առիթով, երբ դիսկրիմինատորը զրո է, դպրոցի դասընթացն ասում է, որ արդյունքը մեկ արմատ է, այստեղ հավասար է ինը։ Ամեն ինչ ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս միտքը որոշ չափով սխալ է։ Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, դուք ստանում եք երկու հավասար արմատներ, և մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար, պատասխանը պետք է գրի երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում կարելի է գրել և ասել, որ մեկ արմատ կա։

Այժմ հաջորդ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, բացասական թվի արմատը չի կարելի վերցնել, ուստի այս դեպքում լուծում չկա։

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսային ֆունկցիա.

Սա ցույց է տալիս, թե ինչպիսին է լուծումը երկրաչափորեն: Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (ապագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

a, b, c – տրված թվեր՝ a ≠ 0-ով

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերից կարող է լինել երկուսը (տարբերիչը դրական է), մեկը (տարբերիչը զրոյական է) և ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Մանրամասներ քառակուսի ֆունկցիայի մասին կարող ես նայելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = –12

*Հավասարման ձախ և աջ կողմերը հնարավոր եղավ անմիջապես բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Որոշեք x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք գտանք, որ x 1 = 11 և x 2 = 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Որոշեք x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Խտրականը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ մենք կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Դուք որևէ բան գիտե՞ք բարդ թվերի մասին: Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է նրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի փոքր տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են, i-ն այսպես կոչված երևակայական միավորն է:

ա+բի - սա ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե հավելում:

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկ արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Մենք ստանում ենք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ առանց որևէ խտրականության։

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Փոխակերպենք.

Օրինակ՝

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Եկեք փոխակերպենք և ֆակտորիզացնենք.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ՝

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս լուծել մեծ գործակիցներով հավասարումներ։

Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա + բ+ c = 0,Դա

- եթե հավասարման գործակիցների համար Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա+ s =բ, Դա

Այս հատկությունները օգնում են որոշել որոշակի տեսակհավասարումներ

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, ինչը նշանակում է

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարությունը պահպանվում է ա+ s =բ, Միջոցներ

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 + 37x + 6 = 0 հավասարումը:

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Եթե ax 2 – bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարում. ax 2 + bx – c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), և գործակից «գ» թվայինորեն հավասար է «a» գործակցի, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 +288x – 17 = 0 հավասարումը:

x 1 = – 17 x 2 = 1/17:

4. Եթե ax 2 – bx – c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 – 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 10x 2 – 99x –10 = 0 հավասարումը:

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով։ Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, մենք կարող ենք կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը արտահայտել նրա գործակիցներով։

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներն են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք անմիջապես բանավոր լուծել բազմաթիվ քառակուսի հավասարումներ։

Վիետայի թեորեմը, ի լրումն. Հարմար է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը սովորական եղանակով (դիսկրիմինանտի միջոցով) լուծելուց հետո կարելի է ստուգել ստացված արմատները։ Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել միշտ:

ՏՐԱՆՍՊՈՐՏԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «նետվում» է դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. «փոխանցման» մեթոդ.Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ հավասարման արմատները հեշտությամբ կարելի է գտնել Վիետայի թեորեմի միջոցով և, ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե Ա± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը (2) հավասարման մեջ, հեշտ է որոշել, որ x 1 = 10 x 2 = 1

Հավասարման արդյունքում ստացված արմատները պետք է բաժանվեն 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), մենք ստանում ենք.

x 1 = 5 x 2 = 0,5:

Ո՞րն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչները հավասար են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա դուք ստանում եք միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդը (փոփոխված) ունի 2 անգամ մեծ արմատներ։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը նորից գլորենք, արդյունքը կբաժանենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և միասնական պետական ​​քննություն:

Ես համառոտ կպատմեմ դրա կարևորության մասին. Դուք պետք է կարողանաք արագ և առանց մտածելու ՈՐՈՇԵԼ, դուք պետք է անգիր իմանաք արմատների և տարբերակիչների բանաձևերը: Միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներում ընդգրկված խնդիրներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարումների լուծմանը (ներառյալ երկրաչափականները):

Ուշադրության արժանի մի բան։

1. Հավասարում գրելու ձևը կարող է լինել «ենթադրյալ»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է այն հասցնեք ստանդարտ ձևի (որպեսզի չշփոթվեք լուծելիս):

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ մեծություն է, և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն:

Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք թերի քառակուսի հավասարումների լուծմանը:

Բայց նախ, եկեք կրկնենք, թե որ հավասարումները կոչվում են քառակուսի: ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումը, որտեղ x-ը փոփոխական է, իսկ a, b և c գործակիցները որոշ թվեր են, իսկ a ≠ 0, կոչվում է. քառակուսի. Ինչպես տեսնում ենք, x 2-ի գործակիցը հավասար չէ զրոյի, և, հետևաբար, x-ի կամ ազատ անդամի գործակիցները կարող են հավասար լինել զրոյի, որի դեպքում մենք ստանում ենք ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում։

Գոյություն ունեն երեք տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ:

1) Եթե b = 0, c ≠ 0, ապա ax 2 + c = 0;

2) Եթե b ≠ 0, c = 0, ապա ax 2 + bx = 0;

3) Եթե b = 0, c = 0, ապա կացին 2 = 0:

• Եկեք պարզենք, թե ինչպես լուծել ax 2 + c = 0 ձևի հավասարումներ:

Հավասարումը լուծելու համար c ազատ անդամը տեղափոխում ենք հավասարման աջ կողմ, ստանում ենք

կացին 2 = ‒ վրկ. Քանի որ a ≠ 0, մենք հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք a-ի, ապա x 2 = ‒c/a:

Եթե ​​‒с/а > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ

x = ±√(–c/a) .

Եթե ​​‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Փորձենք օրինակներով հասկանալ, թե ինչպես լուծել նման հավասարումները։

Օրինակ 1. Լուծե՛ք 2x 2 ‒ 32 = 0 հավասարումը:

Պատասխան՝ x 1 = - 4, x 2 = 4:

Օրինակ 2. Լուծեք 2x 2 + 8 = 0 հավասարումը:

Պատասխան՝ հավասարումը լուծումներ չունի։

• Եկեք պարզենք, թե ինչպես լուծել այն ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումներ:

ax 2 + bx = 0 հավասարումը լուծելու համար գործոնացնենք այն, այսինքն փակագծերից հանենք x, կստանանք x(ax + b) = 0: Արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է. մինչև զրոյի: Այնուհետև կամ x = 0, կամ ax + b = 0: Լուծելով ax + b = 0 հավասարումը, մենք ստանում ենք ax = - b, որտեղից x = - b/a: ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումը միշտ ունի երկու արմատ x 1 = 0 և x 2 = ‒ b/a: Տեսեք, թե ինչպիսին է այս տիպի հավասարումների լուծումը գծապատկերում:

Կոնկրետ օրինակով համախմբենք մեր գիտելիքները.

Օրինակ 3. Լուծե՛ք 3x 2 ‒ 12x = 0 հավասարումը։

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 կամ 3x – 12 = 0

Պատասխան՝ x 1 = 0, x 2 = 4:

• Երրորդ տիպի կացին 2 = 0 հավասարումներլուծվում են շատ պարզ.

Եթե ​​ax 2 = 0, ապա x 2 = 0. Հավասարումն ունի երկու հավասար արմատ x 1 = 0, x 2 = 0:

Պարզության համար եկեք նայենք դիագրամին:

Օրինակ 4-ը լուծելիս համոզվենք, որ այս տիպի հավասարումները կարող են լուծվել շատ պարզ:

Օրինակ 4.Լուծե՛ք 7x2 = 0 հավասարումը։

Պատասխան՝ x 1, 2 = 0:

Միշտ չէ, որ անմիջապես պարզ է, թե ինչ տեսակի թերի քառակուսի հավասարումներ պետք է լուծենք: Դիտարկենք հետևյալ օրինակը.

Օրինակ 5.Լուծե՛ք հավասարումը

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բազմապատկենք ընդհանուր հայտարարով, այսինքն՝ 30-ով։

Եկեք կրճատենք այն

5 (5x 2 + 9) – 6 (4x 2 – 9) = 90:

Բացենք փակագծերը

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90:

Եկեք նմանատիպը տանք

99-ը հավասարման ձախ կողմից տեղափոխենք աջ՝ նշանը փոխելով հակառակի

Պատասխան՝ արմատներ չկան:

Մենք նայեցինք, թե ինչպես են լուծվում թերի քառակուսի հավասարումները: Հուսով եմ, որ հիմա նման առաջադրանքների հետ կապված դժվարություններ չեք ունենա։ Զգույշ եղեք թերի քառակուսի հավասարման տեսակը որոշելիս, այնուհետև ձեզ կհաջողվի։

Եթե ​​այս թեմայով հարցեր ունեք, գրանցվեք իմ դասերին, մենք միասին կլուծենք ծագած խնդիրները։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին: