Խորանարդ պարաբոլայի գրաֆիկ. Քառակուսի, խորանարդ ֆունկցիայի գրաֆիկ, բազմանդամի գրաֆիկ

Կայքի բաժիններ

Խմբագրի ընտրություն.

Գովազդ

Տուն - Խոհանոց

Պարաբոլա. Քառակուսային ֆունկցիայի () գրաֆիկը պարաբոլա է։ Դիտարկենք կանոնական դեպքը.

Հիշենք ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Սահմանման տիրույթը ցանկացած իրական թիվ է («x»-ի ցանկացած արժեք): Ի՞նչ է դա նշանակում։ Առանցքի որ կետն էլ որ ընտրենք, յուրաքանչյուր «x»-ի համար կա պարաբոլային կետ: Մաթեմատիկորեն գրված է այսպես. Ցանկացած ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը սովորաբար նշվում է կամ . Նամակը նշանակում է իրական թվերի մի շարք կամ ավելի պարզ՝ «ցանկացած X» (երբ նոթատետրում աշխատանքը գրվում է, նրանք գրում են ոչ թե գանգուր տառ, այլ թավ տառ. Ռ).

Շրջանակը բոլոր արժեքների հավաքածուն է, որը կարող է վերցնել «y» փոփոխականը: Այս դեպքում՝ – բոլորի հավաքածուն դրական արժեքներ, ներառյալ զրո: Արժեքների միջակայքը սովորաբար նշվում է կամ .

Ֆունկցիան է նույնիսկ Եթե ֆունկցիան զույգ է, ապա դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ։Սա շատ օգտակար հատկություն, ինչը զգալիորեն պարզեցնում է գրաֆիկի կառուցումը, ինչպես շուտով կտեսնենք։ Վերլուծականորեն ֆունկցիայի հավասարությունն արտահայտվում է պայմանով. Ինչպե՞ս ստուգել որևէ ֆունկցիա պարիտետի համար: Փոխարենը պետք է փոխարինել հավասարման մեջ:Պարաբոլայի դեպքում ստուգումն ունի հետևյալ տեսքը. սա նշանակում է, որ ֆունկցիան հավասար է:

Գործառույթ վերևից չի սահմանափակվում. Վերլուծականորեն գույքը գրված է հետևյալ կերպ. Ահա, ի դեպ, ֆունկցիայի սահմանի երկրաչափական նշանակության օրինակ. եթե առանցքի երկայնքով (ձախ կամ աջ) գնում ենք դեպի անսահմանություն, ապա պարաբոլայի ճյուղերը (նշանակում է «Y») անորոշ ժամանակով դեպի վեր կգնա դեպի «գումարած անսահմանություն»:

ժամը ուսումնասիրելով ֆունկցիաների սահմաններըՑանկալի է հասկանալ սահմանի երկրաչափական իմաստը։

Պատահական չէ, որ ես նման մանրամասն նկարագրեցի ֆունկցիայի հատկությունները, որոնք օգտակար են իմանալ և հիշել ֆունկցիաների գրաֆիկները կառուցելիս, ինչպես նաև ֆունկցիաների գրաֆիկներն ուսումնասիրելիս:

Օրինակ 2

Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան .

Այս օրինակում մենք կանդրադառնանք մի կարևոր տեխնիկական խնդրի. Ինչպե՞ս արագ կառուցել պարաբոլա:Գործնական առաջադրանքներում պարաբոլա նկարելու անհրաժեշտությունը շատ հաճախ է առաջանում, մասնավորապես, հաշվարկելիս օգտագործվող գործչի տարածքը որոշակի ինտեգրալ . Հետևաբար, նպատակահարմար է սովորել, թե ինչպես կարելի է արագ ավարտել նկարը, ժամանակի նվազագույն կորստով: Ես առաջարկում եմ հետևյալ շինարարական ալգորիթմը.

Նախ մենք գտնում ենք պարաբոլայի գագաթը: Դա անելու համար վերցրեք առաջին ածանցյալը և հավասարեցրեք այն զրոյի.

Եթե դուք վատ եք ածանցյալների հետ, ապա պետք է կարդաք դասը Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը:

Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը. – հենց այս կետում է գտնվում պարաբոլայի գագաթը: Մենք հաշվարկում ենք «Y»-ի համապատասխան արժեքը.

Այսպիսով, գագաթը գտնվում է կետում

Այժմ մենք գտնում ենք այլ կետեր՝ միաժամանակ լկտիաբար օգտագործելով պարաբոլայի համաչափությունը: Հարկ է նշել, որ ֆունկցիան – նույնիսկ չէ, բայց, այնուամենայնիվ, ոչ ոք չեղարկեց պարաբոլայի համաչափությունը։

Ինչ կարգով գտնել մնացած միավորները, կարծում եմ վերջնական աղյուսակից պարզ կլինի.

Այս շինարարական ալգորիթմը փոխաբերական իմաստով կարելի է անվանել «մաքոք»: Թերևս ոչ բոլորն են հասկանում մաքոքի էությունը, ապա համեմատության համար հիշեցնում եմ «Անֆիսա Չեխովայի հետ ետ ու առաջ» հայտնի հեռուստաշոուն:

Եկեք նկարենք.

Քննված գծապատկերներից մեկ այլ օգտակար հատկություն է մտքում գալիս.

Քառակուսային ֆունկցիայի համար () ճշմարիտ է հետևյալը.

Եթե , ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր։

Եթե , ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։

Խորանարդ պարաբոլա

Ֆունկցիայի միջոցով տրվում է խորանարդ պարաբոլա. Ահա դպրոցից ծանոթ նկար.

Թվարկենք ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Սահմանման տիրույթը ցանկացած իրական թիվ է.

Արժեքների միջակայք – ցանկացած իրական թիվ.

Ֆունկցիան է տարօրինակ. Եթե ֆունկցիան կենտ է, ապա դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ:Անալիտիկորեն ֆունկցիայի տարօրինակությունն արտահայտվում է պայմանով . Դա անելու համար կատարենք խորանարդ ֆունկցիայի ստուգում, «X»-ի փոխարեն մենք փոխարինում ենք «մինուս X»-ին.
, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան կենտ է:

Գործառույթ չի սահմանափակվում. Ֆունկցիայի սահմանների լեզվով սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Նաև ավելի արդյունավետ է կառուցել խորանարդ պարաբոլա՝ օգտագործելով Անֆիսա Չեխովայի մաքոքային ալգորիթմը.

Դուք, իհարկե, նկատել եք, թե էլ որտեղ է դրսևորվում ֆունկցիայի տարօրինակությունը։ Եթե մենք գտնեինք դա , ապա հաշվարկելիս կարիք չկա որևէ բան հաշվել, մենք ավտոմատ կերպով գրում ենք, որ . Այս հատկությունը ճիշտ է ցանկացած կենտ ֆունկցիայի համար:

Հիմա մի փոքր խոսենք բազմանդամների գրաֆիկների մասին։

Երրորդ աստիճանի ցանկացած բազմանդամի գրաֆիկ () հիմնականում ունի հետևյալ ձևը.

Այս օրինակում ամենաբարձր աստիճանի գործակիցը , ուստի գրաֆիկը շրջվում է «հակառակ»: 5-րդ, 7-րդ, 9-րդ և այլ կենտ աստիճանների բազմանդամների գրաֆիկներն ըստ էության ունեն նույն տեսքը։ Որքան բարձր է աստիճանը, այնքան ավելի շատ միջանկյալ «զագիբուլիններ»:

4-րդ, 6-րդ և այլ զույգ աստիճանների բազմանդամներն ունեն սկզբունքորեն հետևյալ ձևի գրաֆիկ.

Այս գիտելիքը օգտակար է ֆունկցիայի գրաֆիկները ուսումնասիրելիս:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Եկեք նկարենք.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Շրջանակ:

Արժեքների միջակայք.

Այսինքն՝ ֆունկցիայի գրաֆիկն ամբողջությամբ գտնվում է առաջին կոորդինատային քառորդում։

Գործառույթ վերևից չի սահմանափակվում. Կամ օգտագործելով սահմանափակում.

Արմատներով ամենապարզ գրաֆիկները կառուցելիս տեղին է նաև կետային կառուցման մեթոդը, և ձեռնտու է ընտրել այնպիսի «x» արժեքներ, որպեսզի ամբողջ արմատը արդյունահանվի.

Փաստորեն, ես կցանկանայի ավելի շատ օրինակներ նայել արմատներով, բայց դրանք շատ ավելի քիչ են տարածված: Ես կենտրոնանում եմ ավելի տարածված դեպքերի վրա, և, ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, նման բան պետք է շատ ավելի հաճախ կառուցվի: Եթե կարիք կա պարզելու, թե ինչ տեսք ունեն գրաֆիկները այլ արմատների հետ, ապա խորհուրդ եմ տալիս ուսումնասիրել դպրոցական դասագիրքկամ մաթեմատիկական տեղեկատու գիրք:

Հիպերբոլայի գրաֆիկ

Կրկին հիշում ենք չնչին «դպրոցական» հիպերբոլիան:

Եկեք նկարենք.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Շրջանակ:

Արժեքների միջակայք.

Նշումը նշանակում է՝ «ցանկացած իրական թիվ՝ բացառությամբ զրոյի»

Մի կետում ֆունկցիան ենթարկվում է անսահման դադարի: Կամ օգտագործելով միակողմանիսահմանները՝ , . Մի փոքր խոսենք միակողմանի սահմանների մասին։ Մուտքը նշանակում է, որ մենք անսահման մոտառանցքին մոտենալով զրոյի ձախ. Ինչպե՞ս է վարվում ժամանակացույցը: Այն իջնում է մինչև մինուս անսահմանություն, անսահման մոտմոտենում է առանցքին. Հենց այս փաստը գրված է որպես սահման։ Նմանապես, նշումը նշանակում է, որ մենք անսահման մոտառանցքին մոտենալով զրոյի ճիշտ. Այս դեպքում հիպերբոլայի ճյուղը բարձրանում է գումարած անսահմանության, անսահման մոտմոտենում է առանցքին. Կամ հակիրճ.

$f: \mathbb(R) \to \mathbb(R)$ բարի

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad x \in \mathbb(R),$

Որտեղ $a\neq 0.$ Այլ կերպ ասած, խորանարդ ֆունկցիան սահմանվում է երրորդ աստիճանի բազմանդամով։

Վերլուծական հատկություններ

Դիմում

Խորանարդ պարաբոլան երբեմն օգտագործվում է տրանսպորտում անցումային կորը հաշվարկելու համար, քանի որ դրա հաշվարկը շատ ավելի պարզ է, քան կլոտոիդ կառուցելը:

Տես նաև

Կարծիք գրել «Խորանարդային ֆունկցիա» հոդվածի մասին

Նշումներ

գրականություն

L. S. Pontryagin, // «Քվանտ», 1984, թիվ 3:
I. N. Bronstein, K. A. Semendyaev, «Mathematics Manual», հրատարակչություն «Nauka», M. 1967, p. 84

Հատված խորանարդ ֆունկցիան բնութագրող

-Դե, ինչի համար էլ լինի...
Այդ ժամանակ Պետյան, որին ոչ ոք ուշադրություն չէր դարձնում, մոտեցավ հորը և ամբողջ կարմիր, կոտրատող ձայնով, երբեմն կոպիտ, երբեմն նիհար, ասաց.
«Դե հիմա, հայրիկ, ես վճռականորեն կասեմ, և մամա նույնպես, ինչպես դու կուզես, ես վճռական կասեմ, որ դու ինձ թույլ կտաս ներս մտնել»: զինվորական ծառայություն, որովհետև ես չեմ կարող... այսքանը...
Կոմսուհին սարսափահար աչքերը բարձրացրեց դեպի երկինք, սեղմեց ձեռքերը և զայրացած դիմեց ամուսնուն.
-Ուրեմն համաձայնվեցի! - ասաց նա:
Բայց կոմսը անմիջապես վերականգնվեց հուզմունքից։
«Դե, լավ», - ասաց նա: - Ահա ևս մեկ մարտիկ: Դադարեցրեք անհեթեթությունը՝ պետք է սովորել։
- Սա անհեթեթություն չէ, հայրիկ: Ֆեդյա Օբոլենսկին ինձնից փոքր է և նույնպես գալիս է, և ամենակարևորը, ես դեռ ոչինչ չեմ կարող սովորել հիմա, երբ ... - Պետյան կանգ առավ, կարմրեց մինչև քրտինքը և ասաց. - երբ հայրենիքը վտանգի տակ է:
-Լրիվ, լրիվ, անհեթեթություն...
-Բայց դուք ինքներդ ասացիք, որ մենք ամեն ինչ կզոհաբերենք։
«Պետյա, ես քեզ ասում եմ, լռիր», - բղավեց կոմսը, հետ նայելով կնոջը, որը գունատվելով, հառած աչքերով նայեց իր կրտսեր որդուն:
- Եվ ես ասում եմ ձեզ. Այսպիսով, Պյոտր Կիրիլովիչը կասի...
«Ասում եմ ձեզ, դա անհեթեթություն է, կաթը դեռ չի չորացել, բայց նա ուզում է ծառայության գնալ»: Դե, լավ, ես ասում եմ ձեզ», և կոմսը, իր հետ վերցնելով թղթերը, հավանաբար, որպեսզի նորից կարդա դրանք գրասենյակում նախքան հանգստանալը, դուրս եկավ սենյակից:
- Պյոտր Կիրիլովիչ, լավ, գնանք ծխենք...
Պիեռը շփոթված էր և անվճռական։ Նատաշայի անսովոր պայծառ ու աշխույժ աչքերը, որոնք անընդհատ նայում էին նրան ավելի քան սիրալիր, բերեցին նրան այս վիճակին:
-Չէ, կարծում եմ տուն կգնամ...
- Դա նման է տուն գնալուն, բայց դու ուզում էիր երեկոն մեզ հետ անցկացնել... Եվ հետո հազվադեպ էիր գալիս: Եվ սա իմն է…,- բարեհամբույր ասաց կոմսը, մատնացույց անելով Նատաշային,- ուրախ է միայն այն ժամանակ, երբ դու մոտ ես…
«Այո, ես մոռացել եմ... Ես անպայման պետք է գնամ տուն... Անելիքներ…», - շտապեց Պիեռը:
«Դե, ցտեսություն», - ասաց կոմսը, ամբողջովին դուրս գալով սենյակից:
-Ինչո՞ւ եք հեռանում: Ինչու՞ ես վրդովված: Ինչու՞: - հարցրեց Նատաշան Պիեռին ՝ հուսահատորեն նայելով նրա աչքերին:
«Որովհետև ես սիրում եմ քեզ! - ուզում էր ասել, բայց չասաց, կարմրեց, մինչև լաց եղավ ու աչքերը խոնարհեց։
-Որովհետև ավելի լավ է, որ ես ավելի քիչ այցելեմ քեզ... Որովհետև... ոչ, ես ուղղակի գործ ունեմ:
-Ինչո՞ւ: ոչ, ասա ինձ, - վճռական սկսեց Նատաշան և հանկարծ լռեց: Երկուսն էլ վախով ու շփոթված նայեցին միմյանց։ Նա փորձեց քմծիծաղել, բայց չկարողացավ. նրա ժպիտը տառապանք էր արտահայտում, և նա լուռ համբուրեց նրա ձեռքն ու հեռացավ։
Պիեռը որոշել է այլևս իր հետ չայցելել Ռոստովներ։

Պետյան, ստանալով վճռական մերժում, գնաց իր սենյակ և այնտեղ, փակվելով բոլորից, դառնորեն լաց եղավ։ Նրանք ամեն ինչ անում էին այնպես, կարծես ոչինչ չէին նկատել, երբ նա եկավ թեյի՝ լուռ ու մռայլ, արցունքոտ աչքերով։
Հաջորդ օրը սուվերենը եկավ։ Ռոստովի բակերից մի քանիսը խնդրեցին գնալ և տեսնել ցարին։ Այդ առավոտ Պետյան երկար ժամանակ պահանջեց հագնվելու, մազերը սանրելու և օձիքները մեծերի պես դասավորելու համար։ Նա հայելու առաջ մռայլվեց, շարժումներ արեց, ուսերը թոթվեց և վերջապես, առանց որևէ մեկին ասելու, գլխարկը հագավ ու ետևի շքամուտքից դուրս եկավ տնից՝ փորձելով իրեն չնկատել։ Պետյան որոշեց ուղիղ գնալ այնտեղ, որտեղ գտնվում էր ինքնիշխանը և ուղղակիորեն բացատրել ինչ-որ սենեկապետի (Պետյային թվում էր, թե ինքնիշխանը միշտ շրջապատված է սենեկապետներով), որ ինքը՝ կոմս Ռոստովը, չնայած իր երիտասարդությանը, ցանկանում էր ծառայել հայրենիքին, այդ երիտասարդությանը։ չէր կարող արգելք հանդիսանալ նվիրվածության համար, և որ նա պատրաստ է... Պետյան, մինչ պատրաստվում էր, պատրաստեց շատ հրաշալի խոսքեր, որոնք նա կասի սենեկապետին.

Պարաբոլա. Քառակուսային ֆունկցիայի () գրաֆիկը պարաբոլա է։ Դիտարկենք կանոնական դեպքը.

Հիշենք ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Շրջանակը բոլոր արժեքների հավաքածուն է, որը կարող է վերցնել «y» փոփոխականը: Այս դեպքում՝ – բոլոր դրական արժեքների բազմությունը, ներառյալ զրո: Արժեքների միջակայքը սովորաբար նշվում է կամ .

Ֆունկցիան է նույնիսկ Եթե ֆունկցիան զույգ է, ապա դրա գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ։Սա շատ օգտակար հատկություն է, որը զգալիորեն պարզեցնում է գրաֆիկի կառուցումը, ինչպես մենք շուտով կտեսնենք: Վերլուծականորեն ֆունկցիայի հավասարությունն արտահայտվում է պայմանով. Ինչպե՞ս ստուգել որևէ ֆունկցիա պարիտետի համար: Փոխարենը պետք է փոխարինել հավասարման մեջ:Պարաբոլայի դեպքում ստուգումն ունի հետևյալ տեսքը. սա նշանակում է, որ ֆունկցիան հավասար է:

ժամը ուսումնասիրելով ֆունկցիաների սահմաններըՑանկալի է հասկանալ սահմանի երկրաչափական իմաստը։

Օրինակ 2

Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան .

Այս օրինակում մենք կանդրադառնանք մի կարևոր տեխնիկական խնդրի. Ինչպե՞ս արագ կառուցել պարաբոլա:Գործնական առաջադրանքներում պարաբոլա նկարելու անհրաժեշտությունը շատ հաճախ է առաջանում, մասնավորապես, որոշակի ինտեգրալ օգտագործելով գործչի տարածքը հաշվարկելիս: Հետևաբար, նպատակահարմար է սովորել, թե ինչպես կարելի է արագ ավարտել նկարը, ժամանակի նվազագույն կորստով: Ես առաջարկում եմ հետևյալ շինարարական ալգորիթմը.

Նախ մենք գտնում ենք պարաբոլայի գագաթը: Դա անելու համար վերցրեք առաջին ածանցյալը և հավասարեցրեք այն զրոյի.

Եթե դուք վատ եք ածանցյալների հետ, ապա պետք է կարդաք դասը Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը:

Այսպիսով, գագաթը գտնվում է կետում

Ինչ կարգով գտնել մնացած միավորները, կարծում եմ վերջնական աղյուսակից պարզ կլինի.

Եկեք նկարենք.

Քննված գծապատկերներից մեկ այլ օգտակար հատկություն է մտքում գալիս.

Քառակուսային ֆունկցիայի համար () ճշմարիտ է հետևյալը.

Եթե , ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր։

Եթե , ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև։

Խորանարդ պարաբոլա

Ֆունկցիայի միջոցով տրվում է խորանարդ պարաբոլա. Ահա դպրոցից ծանոթ նկար.

Թվարկենք ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Սահմանման տիրույթը ցանկացած իրական թիվ է.

Արժեքների միջակայք – ցանկացած իրական թիվ.

Գործառույթ չի սահմանափակվում. Ֆունկցիայի սահմանների լեզվով սա կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

Նաև ավելի արդյունավետ է կառուցել խորանարդ պարաբոլա՝ օգտագործելով Անֆիսա Չեխովայի մաքոքային ալգորիթմը.

Հիմա մի փոքր խոսենք բազմանդամների գրաֆիկների մասին։

Երրորդ աստիճանի ցանկացած բազմանդամի գրաֆիկ () հիմնականում ունի հետևյալ ձևը.

4-րդ, 6-րդ և այլ զույգ աստիճանների բազմանդամներն ունեն սկզբունքորեն հետևյալ ձևի գրաֆիկ.

Այս գիտելիքը օգտակար է ֆունկցիայի գրաֆիկները ուսումնասիրելիս:

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Եկեք նկարենք.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Շրջանակ:

Արժեքների միջակայք.

Այսինքն՝ ֆունկցիայի գրաֆիկն ամբողջությամբ գտնվում է առաջին կոորդինատային քառորդում։

Գործառույթ վերևից չի սահմանափակվում. Կամ օգտագործելով սահմանափակում.

y=x^2 ֆունկցիան կոչվում է քառակուսի ֆունկցիա։ Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկը պարաբոլա է: Ընդհանուր տեսքՊարաբոլան ներկայացված է ստորև բերված նկարում:

Քառակուսի ֆունկցիա

Նկար 1. Պարաբոլայի ընդհանուր տեսքը

Ինչպես երևում է գրաֆիկից, այն սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ։ Oy առանցքը կոչվում է պարաբոլայի համաչափության առանցք: Սա նշանակում է, որ եթե այս առանցքի վերևում գտնվող Ox առանցքին զուգահեռ գրաֆիկի վրա ուղիղ գիծ գծեք: Այնուհետև այն կհատի պարաբոլան երկու կետով: Այդ կետերից մինչև Oy առանցքի հեռավորությունը նույնն է լինելու:

Համաչափության առանցքը պարաբոլայի գրաֆիկը բաժանում է երկու մասի։ Այս մասերը կոչվում են պարաբոլայի ճյուղեր։ Իսկ պարաբոլայի այն կետը, որը գտնվում է համաչափության առանցքի վրա, կոչվում է պարաբոլայի գագաթ: Այսինքն՝ համաչափության առանցքն անցնում է պարաբոլայի գագաթով։ Այս կետի կոորդինատներն են (0;0):

Քառակուսային ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

1. x =0, y=0 և y>0 x0-ում

2. Նվազագույն արժեքըքառակուսի ֆունկցիան հասնում է իր գագաթին: Ymin x=0-ում; Հարկ է նշել նաև, որ առավելագույն արժեքըֆունկցիան գոյություն չունի։

3. Ֆունկցիան նվազում է միջակայքում (-∞;0] և մեծանում է միջակայքում)

Տրված է մեթոդական նյութմիայն հղման համար է և վերաբերում է թեմաների լայն շրջանակին: Հոդվածը ներկայացնում է հիմնական տարրական գործառույթների գրաֆիկների ակնարկ և համարում է ամենակարևոր խնդիրը. ինչպես ճիշտ և արագ կառուցել գրաֆիկ. Բարձրագույն մաթեմատիկա ուսումնասիրելու ընթացքում առանց հիմնական տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկների իմացության դժվար կլինի, ուստի շատ կարևոր է հիշել, թե ինչ տեսք ունեն պարաբոլայի, հիպերբոլայի, սինուսի, կոսինուսի և այլնի գրաֆիկները և հիշել մի քանիսը. ֆունկցիաների իմաստներից։ Մենք կխոսենք նաև հիմնական գործառույթների որոշ հատկությունների մասին:

Ես չեմ հավակնում նյութերի ամբողջականությանն ու գիտական հիմնավորությանը, շեշտը դրվելու է առաջին հերթին պրակտիկայի վրա մարդ հանդիպում է բառացիորեն ամեն քայլափոխի, բարձրագույն մաթեմատիկայի ցանկացած թեմայում. Դիմերային գծապատկերներ: Կարելի էր այդպես ասել։

Ընթերցողների բազմաթիվ խնդրանքների պատճառով սեղմվող բովանդակության աղյուսակ:

Բացի այդ, թեմայի վերաբերյալ կա ծայրահեղ կարճ ամփոփագիր
– տիրապետեք 16 տեսակի գծապատկերների՝ ուսումնասիրելով վեց էջ:

Լուրջ, վեց, նույնիսկ ես զարմացա։ Այս ամփոփագիրը պարունակում է բարելավված գրաֆիկա և հասանելի է անվանական վճարով, ցուցադրական տարբերակը կարելի է դիտել: Հարմար է ֆայլը տպել այնպես, որ գրաֆիկները միշտ ձեռքի տակ լինեն։ Շնորհակալություն նախագծին աջակցելու համար:

Եվ եկեք սկսենք անմիջապես.

Ինչպե՞ս ճիշտ կառուցել կոորդինատային առանցքները:

Գործնականում թեստերը գրեթե միշտ սովորողները լրացնում են առանձին տետրերում՝ շարված քառակուսու մեջ: Ինչու՞ են ձեզ անհրաժեշտ վանդակավոր գծանշումներ: Ի վերջո, աշխատանքը, սկզբունքորեն, կարելի է կատարել A4 թերթիկների վրա: Իսկ վանդակն անհրաժեշտ է հենց գծագրերի որակյալ և ճշգրիտ ձևավորման համար։

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած գծագիր սկսվում է կոորդինատային առանցքներով.

Գծագրերը կարող են լինել երկչափ կամ եռաչափ:

Նախ դիտարկենք երկչափ դեպքը Դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ:

1) Նկարել կոորդինատային առանցքներ. Առանցքը կոչվում է x առանցք , իսկ առանցքն է y առանցք . Մենք միշտ փորձում ենք նկարել դրանք կոկիկ և ոչ ծուռ. Նետերը նույնպես չպետք է նմանվեն Պապ Կառլոյի մորուքին:

2) առանցքները ստորագրում ենք «X» և «Y» մեծ տառերով: Մի մոռացեք պիտակավորել կացինները.

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով. նկարեք զրո և երկու միավոր. Գծանկար կատարելիս ամենահարմար և հաճախ օգտագործվող սանդղակն է՝ 1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում գծագրություն) - հնարավորության դեպքում կպցրե՛ք դրան։ Այնուամենայնիվ, ժամանակ առ ժամանակ պատահում է, որ գծագիրը չի տեղավորվում նոթատետրի թերթիկի վրա, այնուհետև մենք նվազեցնում ենք սանդղակը. 1 միավոր = 1 բջիջ (աջ կողմում նկարը): Հազվադեպ է, բայց պատահում է, որ գծագրի մասշտաբը պետք է էլ ավելի կրճատվի (կամ մեծացվի)

«Գնդացիր»-ի ՊԱՐՏԻՔ ՉԻ…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…:Համար կոորդինատային հարթությունդա Դեկարտի հուշարձան չէ, իսկ ուսանողը աղավնի չէ։ Մենք դնում ենք զրոԵվ երկու միավոր առանցքների երկայնքով. Երբեմն փոխարենմիավորներ, հարմար է «նշել» այլ արժեքներ, օրինակ, «երկու» աբսցիսայի առանցքի վրա և «երեք» օրդինատների առանցքի վրա, և այս համակարգը (0, 2 և 3) նույնպես եզակիորեն կսահմանի կոորդինատների ցանցը:

Ավելի լավ է գնահատել գծագրի գնահատված չափերը Նկարը կառուցելուց առաջ. Այսպիսով, օրինակ, եթե առաջադրանքը պահանջում է , , գագաթներով եռանկյունի նկարել, ապա լիովին պարզ է, որ 1 միավոր = 2 բջիջ հայտնի սանդղակը չի աշխատի։ Ինչո՞ւ։ Եկեք նայենք կետին. այստեղ դուք պետք է չափեք տասնհինգ սանտիմետր ներքև, և, ակնհայտորեն, գծագիրը չի տեղավորվի (կամ հազիվ տեղավորվի) նոթատետրի թերթիկի վրա: Հետեւաբար, մենք անմիջապես ընտրում ենք ավելի փոքր սանդղակ `1 միավոր = 1 բջիջ:

Ի դեպ, սանտիմետրերի և նոթատետրի բջիջների մասին: Ճի՞շտ է, որ նոթատետրի 30 բջիջը պարունակում է 15 սանտիմետր: Զվարճանալու համար ձեր նոթատետրում քանոնով չափեք 15 սանտիմետր: ԽՍՀՄ-ում դա կարող էր ճիշտ լինել... Հետաքրքիր է նշել, որ եթե այս նույն սանտիմետրերը չափեք հորիզոնական և ուղղահայաց, արդյունքները (բջիջներում) տարբեր կլինեն: Խիստ ասած՝ ժամանակակից նոթատետրերը ոչ թե վանդակավոր են, այլ ուղղանկյուն։ Սա կարող է անհեթեթ թվալ, բայց նման իրավիճակներում, օրինակ, կողմնացույցով շրջան նկարելը շատ անհարմար է։ Անկեղծ ասած, նման պահերին սկսում ես մտածել ընկեր Ստալինի կոռեկտության մասին, ով ճամբարներ էր ուղարկվել արտադրության մեջ հաքերային աշխատանքի համար, էլ չասած հայրենական ավտոմոբիլային արդյունաբերության, ինքնաթիռների վայր ընկնելու կամ էլեկտրակայանների պայթեցման մասին:

Խոսելով որակի մասին, կամ գրենական պիտույքների վերաբերյալ հակիրճ առաջարկություն: Այսօր վաճառքում հայտնված նոթատետրերի մեծ մասը, մեղմ ասած, լրիվ խայտառակություն է: Այն պատճառով, որ դրանք թրջվում են և ոչ միայն գելային գրիչներից, այլ նաև գնդիկավոր գրիչներից: Թղթի վրա փող են խնայում։ Գրանցման համար թեստերԵս խորհուրդ եմ տալիս օգտագործել նոթատետրեր Արխանգելսկի Ցելյուլոզ և թղթի գործարանից (18 թերթ, քառակուսի) կամ «Պյատերոչկա», թեև դա ավելի թանկ է: Ցանկալի է ընտրել գելային գրիչ նույնիսկ ամենաէժան գելային լիցքավորումը շատ ավելի լավ է, քան գնդիկավոր գրիչը, որը կամ կեղտոտում է կամ պատռում թուղթը: Միակ «մրցակցային». գնդիկավոր գրիչիմ հիշատակին «Էրիխ Կրաուզեն» է։ Նա գրում է հստակ, գեղեցիկ և հետևողական՝ լինի լրիվ միջուկով, թե գրեթե դատարկ:

ԼրացուցիչՈւղղանկյուն կոորդինատային համակարգի տեսլականը վերլուծական երկրաչափության աչքերով ներկայացված է հոդվածում Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածություն. Վեկտորների հիմքը, մանրամասն տեղեկությունների մասին կոորդինատային եռամսյակներկարելի է գտնել դասի երկրորդ պարբերությունում Գծային անհավասարություններ.

3D պատյան

Այստեղ գրեթե նույնն է:

1) Գծի՛ր կոորդինատային առանցքներ. Ստանդարտ: առանցք կիրառել – ուղղված դեպի վեր, առանցք – ուղղված դեպի աջ, առանցք – ուղղված դեպի ներքև դեպի ձախ խստորեն 45 աստիճանի անկյան տակ:

2) Նշեք կացինները.

3) Սահմանեք սանդղակը առանցքների երկայնքով: Առանցքի երկայնքով սանդղակը երկու անգամ փոքր է մյուս առանցքների երկայնքով. Նաև նշեք, որ ճիշտ գծագրում ես օգտագործել եմ ոչ ստանդարտ «խազ» առանցքի երկայնքով (այս հնարավորությունն արդեն նշվել է վերևում). Իմ տեսանկյունից սա ավելի ճշգրիտ, արագ և գեղագիտական հաճելի է. կարիք չկա մանրադիտակի տակ փնտրել բջջի կեսը և «քանդակել» կոորդինատների ծագմանը մոտ միավոր:

Եռաչափ գծանկար կատարելիս կրկին առաջնահերթություն տվեք մասշտաբին
1 միավոր = 2 բջիջ (ձախ կողմում նկարված):

Ինչի՞ համար են այս բոլոր կանոնները: Կանոնները ստեղծված են խախտելու համար։ Դա այն է, ինչ ես հիմա կանեմ: Փաստն այն է, որ հոդվածի հետագա գծագրերը կկատարվեն իմ կողմից Excel-ում, և կոորդինատային առանցքները սխալ տեսք կունենան տեսանկյունից: ճիշտ դիզայն. Ես կարող էի ձեռքով նկարել բոլոր գրաֆիկները, բայց իրականում սարսափելի է դրանք նկարելը, քանի որ Excel-ը չի ցանկանում դրանք շատ ավելի ճշգրիտ գծել:

Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հիմնական հատկությունները

Հավասարմամբ տրված է գծային ֆունկցիա. Գծային ֆունկցիաների գրաֆիկն է ուղիղ. Ուղիղ գիծ կառուցելու համար բավական է իմանալ երկու կետ.

Օրինակ 1

Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գտնենք երկու կետ. Որպես կետերից մեկը ձեռնտու է ընտրել զրոն։

Եթե, ապա

Վերցնենք մեկ այլ կետ, օրինակ՝ 1.

Եթե, ապա

Առաջադրանքները կատարելիս կետերի կոորդինատները սովորաբար ամփոփվում են աղյուսակում.

Եվ արժեքներն իրենք են հաշվարկվում բանավոր կամ սևագրի, հաշվիչի վրա:

Գտնվել է երկու կետ, եկեք նկարենք.

Գծանկար պատրաստելիս մենք միշտ ստորագրում ենք գրաֆիկայի վրա.

Օգտակար կլինի հիշել գծային ֆունկցիայի հատուկ դեպքեր.

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես եմ ես դրել ստորագրությունները, Ստորագրությունները չպետք է թույլ տան գծանկարն ուսումնասիրելիս անհամապատասխանություններ. IN այս դեպքումՉափազանց անցանկալի էր ստորագրություն դնել գծերի հատման կետի կողքին կամ գծապատկերների միջև ներքևի աջ մասում։

1) () ձևի գծային ֆունկցիան կոչվում է ուղիղ համեմատականություն։ Օրինակ, . Ուղղակի համաչափության գրաֆիկը միշտ անցնում է սկզբնաղբյուրով: Այսպիսով, ուղիղ գիծ կառուցելը պարզեցված է, բավական է գտնել ընդամենը մեկ կետ:

2) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ: Ֆունկցիայի գրաֆիկը գծագրվում է անմիջապես՝ առանց կետեր գտնելու։ Այսինքն՝ մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «y-ը միշտ հավասար է –4-ի՝ x-ի ցանկացած արժեքի համար»:

3) Ձևի հավասարումը սահմանում է առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, մասնավորապես, առանցքն ինքնին տրված է հավասարմամբ: Անմիջապես գծագրվում է նաև ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Մուտքը պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ. «x-ը միշտ y-ի ցանկացած արժեքի համար հավասար է 1-ի»:

Ոմանք կհարցնեն՝ ինչո՞ւ հիշել 6-րդ դասարանը։ Դա այդպես է, միգուցե այդպես է, բայց պրակտիկայի տարիների ընթացքում ես հանդիպել եմ մի լավ տասնյակ ուսանողների, ովքեր շփոթված էին գծապատկեր ստեղծելու առաջադրանքով, ինչպես կամ:

Ուղիղ գիծ կառուցելը գծանկարներ կատարելիս ամենատարածված գործողությունն է:

Ուղիղ գիծը մանրամասն քննարկվում է վերլուծական երկրաչափության ընթացքում, և հետաքրքրվողները կարող են հղում կատարել հոդվածին. Ուղիղ գծի հավասարումը հարթության վրա.

Քառակուսի, խորանարդ ֆունկցիայի գրաֆիկ, բազմանդամի գրաֆիկ

Պարաբոլա. Ժամանակացույց քառակուսի ֆունկցիա () ներկայացնում է պարաբոլա: Դիտարկենք հայտնի դեպքը.

Հիշենք ֆունկցիայի որոշ հատկություններ։

Այսպիսով, մեր հավասարման լուծումը. – հենց այս կետում է գտնվում պարաբոլայի գագաթը: Թե ինչու է դա այդպես, կարելի է սովորել ածանցյալի մասին տեսական հոդվածից և ֆունկցիայի ծայրահեղությունների դասից: Միևնույն ժամանակ, եկեք հաշվարկենք համապատասխան «Y» արժեքը.

Այսպիսով, գագաթը գտնվում է կետում

Ինչ կարգով գտնել մնացած միավորները, կարծում եմ վերջնական աղյուսակից պարզ կլինի.

Այս շինարարական ալգորիթմը փոխաբերական իմաստով կարելի է անվանել «մաքոքային» կամ «ետ ու առաջ» սկզբունք Անֆիսա Չեխովայի հետ:

Եկեք նկարենք.

Քննված գծապատկերներից մեկ այլ օգտակար հատկություն է մտքում գալիս.

Քառակուսային ֆունկցիայի համար () ճշմարիտ է հետևյալը.

Եթե , ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր.

Եթե , ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև.

Կորի մասին խորը գիտելիքներ կարելի է ստանալ Հիպերբոլա և պարաբոլա դասում։

Ֆունկցիայի միջոցով տրվում է խորանարդ պարաբոլա. Ահա դպրոցից ծանոթ նկար.

Թվարկենք ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Այն ներկայացնում է պարաբոլայի ճյուղերից մեկը։ Եկեք նկարենք.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս դեպքում առանցքն է ուղղահայաց ասիմպտոտ ժամը հիպերբոլայի գրաֆիկի համար:

Կոպիտ սխալ կլինի, եթե գծագիր կազմելիս անզգույշ թույլ տաք, որ գրաֆիկը հատվի ասիմպտոտի հետ:

Նաև միակողմանի սահմանները մեզ ասում են, որ հիպերբոլան վերևից չի սահմանափակվումԵվ չի սահմանափակվում ներքևից.

Դիտարկենք ֆունկցիան անվերջության մեջ. այսինքն, եթե մենք սկսենք առանցքի երկայնքով շարժվել դեպի ձախ (կամ աջ) դեպի անվերջություն, ապա «խաղերը» կլինեն կարգավորված քայլով։ անսահման մոտմոտենալ զրոյին, և, համապատասխանաբար, հիպերբոլայի ճյուղերին անսահման մոտմոտենալ առանցքին.

Այսպիսով, առանցքը հորիզոնական ասիմպտոտ ֆունկցիայի գրաֆիկի համար, եթե «x»-ը հակված է գումարած կամ մինուս անսահմանության:

Ֆունկցիան է տարօրինակ, և, հետևաբար, հիպերբոլան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։ Այս փաստը ակնհայտ է գծագրից, բացի այդ, այն հեշտությամբ ստուգվում է վերլուծական եղանակով. .

() ձևի ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացնում է հիպերբոլայի երկու ճյուղ.

Եթե , ապա հիպերբոլան գտնվում է առաջին և երրորդ կոորդինատային քառորդներում(տես վերևի նկարը):

Եթե , ապա հիպերբոլան գտնվում է երկրորդ և չորրորդ կոորդինատային քառորդներում.

Հիպերբոլայի բնակության նշված օրինաչափությունը հեշտ է վերլուծել գրաֆիկների երկրաչափական փոխակերպումների տեսանկյունից:

Օրինակ 3

Կառուցեք հիպերբոլայի աջ ճյուղը

Մենք օգտագործում ենք կետային շինարարության մեթոդը, և ձեռնտու է ընտրել արժեքները, որպեսզի դրանք բաժանվեն մեկ ամբողջության վրա.

Եկեք նկարենք.

Այստեղ դժվար չի լինի կառուցել հիպերբոլայի ձախ ճյուղը. Կոպիտ ասած, կետ առ կետ շինարարական աղյուսակում յուրաքանչյուր թվին մտովի ավելացնում ենք մինուս, դնում ենք համապատասխան կետերը և նկարում երկրորդ ճյուղը։

Դիտարկվող գծի մասին մանրամասն երկրաչափական տեղեկատվություն կարելի է գտնել Հիպերբոլա և պարաբոլա հոդվածում։

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Այս բաժնում ես անմիջապես կքննարկեմ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան, քանի որ բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում 95% դեպքերում հայտնվում է էքսպոնենցիալը:

Հիշեցնեմ, որ սա իռացիոնալ թիվ է․ Երեք միավոր, հավանաբար, բավական է.

Առայժմ թողնենք ֆունկցիայի գրաֆիկը, ավելի ուշ:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Ֆունկցիաների գրաֆիկները և այլն, սկզբունքորեն նույն տեսքն ունեն:

Պետք է ասեմ, որ երկրորդ դեպքը գործնականում ավելի քիչ է լինում, բայց լինում է, ուստի հարկ համարեցի ներառել այս հոդվածում։

Լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկ

Դիտարկենք բնական լոգարիթմով ֆունկցիա:
Եկեք կետ առ կետ նկարենք.

Եթե մոռացել եք, թե ինչ է լոգարիթմը, դիմեք ձեր դպրոցական դասագրքերին:

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Սահմանման տիրույթ:

Արժեքների միջակայք.

Գործառույթը չի սահմանափակվում վերևից. , թեկուզ դանդաղ, բայց լոգարիթմի ճյուղը բարձրանում է դեպի անսահմանություն։
Եկեք քննենք աջ կողմում զրոյին մոտ ֆունկցիայի վարքագիծը. . Այսպիսով, առանցքը ուղղահայաց ասիմպտոտ քանի որ ֆունկցիայի գրաֆիկը, քանի որ «x»-ն աջից զրոյի է ձգտում:

Պարտադիր է իմանալ և հիշել լոգարիթմի բնորոշ արժեքը: .

Սկզբունքորեն, լոգարիթմի գծապատկերը հիմքի նկատմամբ նույն տեսքն ունի. Ավելին, որքան մեծ է հիմքը, այնքան ավելի հարթ կլինի գրաֆիկը։

Մենք չենք քննարկի դեպքը, ես չեմ հիշում, թե վերջին անգամ երբ եմ կառուցել նման հիմքով գրաֆիկ: Իսկ լոգարիթմը կարծես թե շատ հազվադեպ հյուր է բարձրագույն մաթեմատիկայի խնդիրներում։

Այս պարբերության վերջում ես կասեմ ևս մեկ փաստ. Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա և լոգարիթմական ֆունկցիա- սրանք երկու փոխադարձ հակադարձ ֆունկցիաներ են. Եթե ուշադիր նայեք լոգարիթմի գրաֆիկին, կարող եք տեսնել, որ սա նույն ցուցիչն է, պարզապես այն գտնվում է մի փոքր այլ կերպ:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկներ

Որտեղի՞ց է սկսվում եռանկյունաչափական տանջանքները դպրոցում: Ճիշտ է։ Սինուսից

Եկեք գծագրենք ֆունկցիան

Այս տողը կոչվում է սինուսոիդ.

Հիշեցնեմ, որ «pi»-ն իռացիոնալ թիվ է.

Ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

Այս գործառույթըէ պարբերականժամանակաշրջանով: Ի՞նչ է դա նշանակում։ Եկեք նայենք հատվածին. Դրանից ձախ և աջ անվերջ կրկնվում է գրաֆիկի ճիշտ նույն հատվածը:

Սահմանման տիրույթ, այսինքն՝ «x»-ի ցանկացած արժեքի համար կա սինուսային արժեք։

Արժեքների միջակայք. Ֆունկցիան է սահմանափակ, այսինքն՝ բոլոր «խաղերը» խստորեն տեղավորվում են հատվածում։
Սա տեղի չի ունենում, կամ, ավելի ճիշտ, լինում է, բայց այս հավասարումները լուծում չունեն։

Կարդացեք.

Խոյի և Աղեղնավորի համատեղելիությունը՝ կրակոտ միություն ֆանտազիայի հետ Ի՞նչ ծաղիկներ նվիրեմ Խոյին: Ընդհանուր ֆիզիկական կատարողականության որոշում և գնահատում Wobenzym - պաշտոնական* օգտագործման հրահանգներ Միկրոէլեմենտները ներառում են

Կարդացեք.