Առանցքը ուղղությունն է: Սա նշանակում է, որ պրոյեկցիան առանցքի կամ ուղղորդված գծի վրա համարվում է նույնը: Պրոյեկցիան կարող է լինել հանրահաշվական կամ երկրաչափական: Երկրաչափական առումով վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա հասկացվում է որպես վեկտոր, իսկ հանրահաշվական առումով՝ թիվ։ Այսինքն՝ օգտագործվում են վեկտորի առանցքի վրա պրոյեկցիայի և առանցքի վրա վեկտորի թվային պրոյեկցիայի հասկացությունները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Եթե ​​ունենք L առանցք և ոչ զրոյական A B → վեկտոր, ապա կարող ենք կառուցել A 1 B 1 ⇀ վեկտոր՝ նշելով նրա A 1 և B 1 կետերի կանխատեսումները։

A 1 B → 1 կլինի A B → վեկտորի պրոյեկցիան L-ի վրա:

Սահմանում 1

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրավեկտոր է, որի սկիզբն ու վերջը տվյալ վեկտորի սկզբի և վերջի կանխատեսումներ են։ n p L A B → → ընդունված է նշանակել A B → պրոյեկցիան L-ի վրա: L-ի վրա պրոյեկցիա կառուցելու համար ուղղահայացները գցվում են L-ի վրա:

Օրինակ 1

Վեկտորի պրոյեկցիայի օրինակ առանցքի վրա:

Միացված է կոորդինատային հարթությունՄոտ x y կետը M 1 (x 1 , y 1) նշված է։ M 1 կետի շառավղային վեկտորը պատկերելու համար անհրաժեշտ է O x-ի և O y-ի վրա պրոեկցիաներ կառուցել: Ստանում ենք (x 1, 0) և (0, y 1) վեկտորների կոորդինատները։

Եթե մենք խոսում ենք a → պրոյեկցիայի մասին ոչ զրոյական b → կամ a → պրոյեկցիայի վրա b → ուղղության վրա, ապա նկատի ունենք a → պրոյեկցիան այն առանցքի վրա, որի հետ b → ուղղությունը համընկնում է։ a →-ի պրոյեկցիան b →-ով սահմանված գծի վրա նշվում է n p b → a → →: Հայտնի է, որ երբ a → և b → , n p b → a → → և b → անկյունը կարելի է համարել համակողմանի։ Այն դեպքում, երբ անկյունը բութ է, n p b → a → → և b → հակառակ ուղղություններով են: a → և b → ուղղահայացության իրավիճակում, իսկ a →-ը զրո է, a →-ի պրոյեկցիան b → ուղղությամբ զրոյական վեկտոր է:

Վեկտորի առանցքի վրա պրոյեկցիայի թվային բնութագիրը վեկտորի թվային պրոյեկցիան է տվյալ առանցքի վրա։

Սահմանում 2

Վեկտորի թվային պրոյեկցիան առանցքի վրաթիվ է, որը հավասար է տվյալ վեկտորի երկարության և տվյալ վեկտորի և առանցքի ուղղությունը որոշող վեկտորի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին։

A B → թվային պրոյեկցիան L-ի վրա նշվում է n p L A B →, և a → b → - n p b → a →:

Բանաձևի հիման վրա ստանում ենք n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , որտեղից a → վեկտորի երկարությունն է a → , a ⇀ , b → ^ վեկտորների միջև անկյունը a → և բ → .

Ստանում ենք թվային պրոյեկցիայի հաշվարկման բանաձևը՝ n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ : Այն կիրառելի է a → և b → հայտնի երկարությունների և նրանց միջև եղած անկյան համար: Բանաձևը կիրառելի է a → և b → հայտնի կոորդինատների համար, բայց կա պարզեցված ձև:

Օրինակ 2

Պարզեք a →-ի թվային պրոյեկցիան ուղիղ գծի վրա b → ուղղությամբ, որի երկարությունը a → հավասար է 8-ի և նրանց միջև անկյունը 60 աստիճան է: Ըստ պայմանի մենք ունենք ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °: Այսպիսով, եկեք փոխարինենք թվային արժեքներբանաձևի մեջ n p b ⇀ a → = a → · cos a →, b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4:

Պատասխան. 4.

Հայտնի cos-ով (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → ունենք a → , b → որպես a → և b → սկալյար արտադրյալ։ Հետևելով n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^ բանաձևից, մենք կարող ենք գտնել a → թվային պրոյեկցիան, որն ուղղված է b → վեկտորի երկայնքով և ստանալ n p b → a → = a →, b → b →: Բանաձևը համարժեք է պարբերության սկզբում տրված սահմանմանը:

Սահմանում 3

a → վեկտորի թվային պրոյեկցիան b →-ի ուղղությամբ համընկնող առանցքի վրա a → և b → վեկտորների սկալյար արտադրյալի հարաբերակցությունն է b → երկարությանը: n p b → a → = a → , b → b → բանաձևը կիրառելի է a →-ի թվային պրոյեկցիան գտնելու համար b → -ի ուղղությամբ համընկնող գծի վրա, հայտնի a → և b → կոորդինատներով:

Օրինակ 3

Տրված է b → = (- 3 , 4) . Գտե՛ք a → = (1, 7) թվային պրոյեկցիան L-ի վրա:

Լուծում

n p b → a → = a →, b → b → կոորդինատային հարթության վրա ունի n p b → a → = a →, b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2, a → = (a x, a y) և. b → = b x, b y. A → վեկտորի թվային պրոյեկցիան L առանցքի վրա գտնելու համար անհրաժեշտ է՝ n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5:

Պատասխան. 5.

Օրինակ 4

Գտեք a →-ի պրոյեկցիան L-ի վրա, որը համընկնում է b → ուղղության հետ, որտեղ կան a → = - 2, 3, 1 և b → = (3, - 2, 6): Նշված է եռաչափ տարածություն։

Լուծում

Հաշվի առնելով a → = a x, a y, a z և b → = b x, b y, b z, մենք հաշվարկում ենք սկալյար արտադրյալը՝ a ⇀, b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z: b → երկարությունը գտնում ենք՝ օգտագործելով b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 բանաձևը: Հետևում է, որ a → թվային պրոյեկցիան որոշելու բանաձևը կլինի՝ n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 :

Փոխարինեք թվային արժեքները՝ n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 :

Պատասխան՝ - 6 7.

Դիտարկենք կապը a → L-ի և a → L-ի վրա պրոյեկցիայի երկարության միջև։ Գծենք L առանցք՝ L կետից ավելացնելով → և b →, որից հետո a → L ծայրից ուղղահայաց գիծ գծենք և L-ի վրա գծենք պրոյեկցիա։ Պատկերի 5 տարբերակ կա.

Առաջին a → = n p b → a → → նշանակում է a → = n p b → a → → , հետևաբար n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Երկրորդդեպքը ենթադրում է n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , ինչը նշանակում է n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Երրորդդեպքը բացատրում է, որ երբ n p b → a → → = 0 → մենք ստանում ենք n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , ապա n p b → a → → = 0 և n p b → a → = 0 = n p b → a → →.

Չորրորդդեպքը ցույց է տալիս n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^), հաջորդում է n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Հինգերորդդեպքը ցույց է տալիս a → = n p b → a → →, ինչը նշանակում է a → = n p b → a → →, հետևաբար ունենք n p b → a → = a → · cos a →, b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Սահմանում 4

a → վեկտորի թվային պրոյեկցիան L առանցքի վրա, որն ուղղված է նույն կերպ, ինչ b →, ունի հետևյալ արժեքը.

• վեկտորի a → պրոյեկցիայի երկարությունը L-ի վրա, պայմանով, որ a → և b → անկյունը փոքր է 90 աստիճանից կամ հավասար է 0-ի: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ (a) պայմանով. → , բ →) ^< 90 ° ;
• զրո պայմանով, որ a → և b → ուղղահայաց լինեն՝ n p b → a → = 0, երբ (a → , b → ^) = 90 °;
• պրոյեկցիայի երկարությունը a → L-ի վրա, բազմապատկված -1-ով, երբ կա a → և b վեկտորների բութ կամ պտտվող անկյուն →: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° պայմանով.< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Օրինակ 5

Հաշվի առնելով պրոյեկցիայի երկարությունը a → L-ի վրա, հավասար է 2-ի: Գտեք թվային պրոյեկցիան a → պայմանով, որ անկյունը լինի 5 π 6 ռադիան:

Լուծում

Պայմանից պարզ է դառնում, որ այս անկյունը բութ է. π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Պատասխան՝ 2.

Օրինակ 6

Տրվում է O x y z վեկտորի երկարություն a → հավասար հարթություն 6 3, b → (- 2, 1, 2) 30 աստիճան անկյունով։ Գտե՛ք a → պրոյեկցիայի կոորդինատները L առանցքի վրա:

Լուծում

Նախ, մենք հաշվարկում ենք վեկտորի թվային պրոյեկցիան a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Ըստ պայմանի անկյունը սուր է, ապա թվային պրոյեկցիան a → = վեկտորի պրոյեկցիայի երկարությունը a →: n p L a → = n p L a → → = 9: Այս դեպքըցույց է տալիս, որ n p L a → → և b → վեկտորները միակողմանի ուղղորդված են, ինչը նշանակում է, որ կա t թիվ, որի համար հավասարությունը ճիշտ է՝ n p L a → → = t · b →: Այստեղից տեսնում ենք, որ n p L a → → = t · b → , ինչը նշանակում է, որ մենք կարող ենք գտնել t պարամետրի արժեքը՝ t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3:

Այնուհետև n p L a → → = 3 · b → վեկտորի a → պրոյեկցիայի կոորդինատներով L առանցքի վրա, որը հավասար է b → = (- 2, 1, 2), որտեղ անհրաժեշտ է արժեքները բազմապատկել 3. Ունենք n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Պատասխան՝ (- 6, 3, 6):

Անհրաժեշտ է կրկնել վեկտորների համակողմանիության վիճակի մասին նախկինում սովորած տեղեկատվությունը։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատում, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թող երկու վեկտոր և տրվի տարածության մեջ: Եկեք կամայական կետից հետաձգենք Օվեկտորները և. Անկյունվեկտորների միջև կոչվում է անկյուններից ամենափոքրը: Նշանակված է .

Դիտարկենք առանցքը լև դրա վրա գծեք միավոր վեկտոր (այսինքն՝ վեկտոր, որի երկարությունը հավասար է մեկի):

Վեկտորի և առանցքի միջև անկյան տակ լհասկանալ վեկտորների և .

Ուրեմն թող լինչ-որ առանցք է և վեկտոր է:

Նշենք ըստ Ա 1Եվ Բ 1կանխատեսումներ առանցքի վրա լհամապատասխանաբար միավորներ ԱԵվ Բ. Ենթադրենք, որ Ա 1ունի կոորդինատ x 1, Ա Բ 1- կոորդինացնել x 2առանցքի վրա լ.

Հետո պրոյեկցիավեկտորը մեկ առանցքի վրա լկոչվում է տարբերություն x 1 – x 2այս առանցքի վրա վեկտորի վերջի և սկզբի կանխատեսումների կոորդինատների միջև:

Վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա լմենք կնշենք.

Հասկանալի է, որ եթե վեկտորի և առանցքի միջև ընկած անկյունը լկծու ապա x 2> x 1, և պրոյեկցիա x 2 – x 1> 0; եթե այս անկյունը բութ է, ապա x 2< x 1և պրոյեկցիա x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси լ, Դա x 2= x 1Եվ x 2– x 1=0.

Այսպիսով, վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա լհատվածի երկարությունն է A 1 B 1, վերցված որոշակի նշանով. Հետևաբար, վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա թիվ է կամ սկալար։

Նմանապես որոշվում է մի վեկտորի պրոյեկցիան մյուսի վրա: Այս դեպքում հայտնաբերվում են այս վեկտորի ծայրերի կանխատեսումները այն գծի վրա, որի վրա ընկած է 2-րդ վեկտորը:

Եկեք նայենք մի քանի հիմնական կանխատեսումների հատկությունները.

ԳԾԱՅԻՆ ԿԱԽՎԱԾ ԵՎ ԳԾԱՅԻՆ ԱՆԿԱԽ ՎԵԿՏՈՐԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Դիտարկենք մի քանի վեկտոր.

Գծային համադրությունայս վեկտորներից ցանկացած ձևի վեկտոր է, որտեղ կան որոշ թվեր: Թվերը կոչվում են գծային համակցության գործակիցներ։ Ասում են նաև, որ այս դեպքում այն ​​գծայինորեն արտահայտվում է այս վեկտորների միջոցով, ի. դրանցից ստացվում է գծային գործողությունների միջոցով։

Օրինակ, եթե տրված են երեք վեկտորներ, ապա դրանց գծային համակցություն կարող են համարվել հետևյալ վեկտորները.

Եթե ​​վեկտորը ներկայացված է որպես որոշ վեկտորների գծային համակցություն, ապա ասում են դրվածայս վեկտորների երկայնքով:

Վեկտորները կոչվում են գծային կախված, եթե կան թվեր, ոչ բոլորը հավասար են զրոյի, այնպես, որ . Հասկանալի է, որ տրված վեկտորները գծային կախված կլինեն, եթե այս վեկտորներից որևէ մեկը գծային արտահայտված լինի մյուսների տեսքով:

Հակառակ դեպքում, այսինքն. երբ հարաբերակցությունը կատարվում է միայն այն ժամանակ, երբ , այս վեկտորները կոչվում են գծային անկախ.

Թեորեմ 1.Ցանկացած երկու վեկտոր գծային կախված է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համագիծ են:

Ապացույց:

Նմանապես կարելի է ապացուցել հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 2.Երեք վեկտորներ գծային կախված են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանք համահարթակ են:

Ապացույց.

ՀԻՄՔ

Հիմքոչ զրոյական գծային անկախ վեկտորների հավաքածու է։ Հիմքի տարրերը կնշենք .

Նախորդ պարբերությունում մենք տեսանք, որ հարթության վրա երկու ոչ գծային վեկտորները գծային անկախ են: Հետևաբար, նախորդ պարբերության 1-ին թեորեմի համաձայն, հարթության վրա հիմք է հանդիսանում այս հարթության վրա գտնվող ցանկացած երկու ոչ գծային վեկտոր:

Նմանապես, ցանկացած երեք ոչ համահունչ վեկտորներ գծայինորեն անկախ են տարածության մեջ: Հետևաբար, մենք երեք ոչ համաչափ վեկտորներ անվանում ենք հիմք տարածության մեջ:

Հետևյալ պնդումը ճիշտ է.

Թեորեմ.Թող հիմք տրվի տարածության մեջ։ Այնուհետև ցանկացած վեկտոր կարող է ներկայացվել որպես գծային համակցություն , Որտեղ x, y, զ- որոշ թվեր. Սա միակ տարրալուծումն է։

Ապացույց.

Այսպիսով, հիմքը թույլ է տալիս յուրաքանչյուր վեկտորին եզակիորեն կապված լինել թվերի եռակի հետ՝ այս վեկտորի ընդլայնման գործակիցները բազային վեկտորների մեջ. Ճիշտ է նաև հակառակը՝ յուրաքանչյուր երեք թվի համար x, y, zօգտագործելով հիմքը, կարող եք համեմատել վեկտորը, եթե գծային համադրություն եք անում .

Եթե ​​հիմքը և , ապա թվերը x, y, zկոչվում են կոորդինատներըվեկտորը տվյալ հիմքում: Վեկտորի կոորդինատները նշանակվում են .

ԿԱՐՏԵԶՅԱՆ ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Թող մի կետ տրվի տարածության մեջ Օև երեք ոչ համահունչ վեկտորներ:

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգտարածության մեջ (հարթության վրա) կետի և հիմքի հավաքածուն է, այսինքն. այս կետից բխող կետի և երեք ոչ համահունչ վեկտորների (2 ոչ համակողմանի վեկտորների) հավաքածու:

Կետ Օկոչվում է ծագում; Ուղիղ գծերը, որոնք անցնում են կոորդինատների սկզբնակետով հիմնական վեկտորների ուղղությամբ, կոչվում են կոորդինատային առանցքներ՝ աբսցիսա, օրդինատ և կիրառական առանցք: Կոորդինատային առանցքներով անցնող հարթությունները կոչվում են կոորդինատային հարթություններ:

Դիտարկենք կամայական կետ ընտրված կոորդինատային համակարգում Մ. Ներկայացնենք կետերի կոորդինատների հասկացությունը Մ. Վեկտորը, որը կապում է ծագումը մի կետի Մ. կանչեց շառավիղի վեկտորմիավորներ Մ.

Ընտրված հիմքում գտնվող վեկտորը կարող է կապված լինել եռակի թվերի հետ՝ դրա կոորդինատները. .

Կետի շառավիղի վեկտորի կոորդինատները Մ. կոչվում են Մ կետի կոորդինատները. դիտարկվող կոորդինատային համակարգում։ M(x,y,z). Առաջին կոորդինատը կոչվում է աբսցիսա, երկրորդը օրդինատ է, երրորդը՝ կիրառական։

Դեկարտյան կոորդինատները հարթության վրա որոշվում են նույն կերպ։ Այստեղ կետն ունի ընդամենը երկու կոորդինատ՝ աբսցիսսա և օրդինատ։

Հեշտ է տեսնել, որ տվյալ կոորդինատային համակարգի համար յուրաքանչյուր կետ ունի որոշակի կոորդինատներ։ Մյուս կողմից, թվերի յուրաքանչյուր եռակի համար կա եզակի կետ, որն ունի այս թվերը որպես կոորդինատներ:

Եթե ​​ընտրված կոորդինատային համակարգում որպես հիմք ընդունված վեկտորները ունեն միավորի երկարություն և զույգ-զույգ ուղղահայաց են, ապա կոորդինատային համակարգը կոչվում է. Դեկարտյան ուղղանկյուն:

Հեշտ է դա ցույց տալ։

Վեկտորի ուղղության կոսինուսները լիովին որոշում են նրա ուղղությունը, բայց ոչինչ չեն ասում դրա երկարության մասին:

իսկ առանցքի կամ այլ վեկտորի վրա կան դրա երկրաչափական պրոյեկցիայի և թվային (կամ հանրահաշվական) պրոյեկցիայի հասկացությունները։ Երկրաչափական պրոյեկցիայի արդյունքը կլինի վեկտոր, իսկ հանրահաշվական պրոյեկցիայի արդյունքը՝ ոչ բացասական իրական թիվ։ Բայց մինչ այս հասկացություններին անցնելը, եկեք հիշենք անհրաժեշտ տեղեկատվությունը:

Նախնական տեղեկություն

Հիմնական հասկացությունը ինքնին վեկտորի հասկացությունն է: Երկրաչափական վեկտորի սահմանումը ներկայացնելու համար հիշենք, թե ինչ է հատվածը։ Ներկայացնենք հետևյալ սահմանումը.

Սահմանում 1

Հատվածը գծի մի մասն է, որն ունի երկու սահման՝ կետերի տեսքով։

Հատվածը կարող է ունենալ 2 ուղղություն. Ուղղությունը նշելու համար հատվածի սահմաններից մեկը կանվանենք նրա սկիզբ, իսկ մյուս սահմանը՝ վերջ։ Ուղղությունը նշվում է հատվածի սկզբից մինչև վերջ:

Սահմանում 2

Վեկտորը կամ ուղղորդված հատվածը կլինի այն հատվածը, որի համար հայտնի է, թե հատվածի սահմաններից որն է համարվում սկիզբ, իսկ որը` վերջ:

Նշանակում՝ երկու տառով՝ $\overline(AB)$ – (որտեղ $A$-ը դրա սկիզբն է, իսկ $B$-ը՝ վերջը):

Մեկ փոքր տառով՝ $\overline(a)$ (նկ. 1):

Ներկայացնենք ևս մի քանի հասկացություն՝ կապված վեկտոր հասկացության հետ։

Սահմանում 3

Երկու ոչ զրոյական վեկտորները կկոչենք համագիծ, եթե նրանք ընկած են նույն գծի կամ միմյանց զուգահեռ ուղիղների վրա (նկ. 2):

Սահմանում 4

Երկու ոչ զրոյական վեկտորները կկոչենք համակողմանիորեն, եթե դրանք բավարարում են երկու պայման.

1. Այս վեկտորները համակողմանի են:
2. Եթե ​​դրանք ուղղված են մեկ ուղղությամբ (նկ. 3):

Նշում. $\overline(a)\overline(b)$

Սահմանում 5

Երկու ոչ զրոյական վեկտորներ կանվանենք հակառակ ուղղված, եթե դրանք բավարարում են երկու պայման.

1. Այս վեկտորները համակողմանի են:
2. Եթե ​​դրանք ուղղված են տարբեր ուղղություններով (նկ. 4):

Նշում. $\overline(a)↓\overline(d)$

Սահմանում 6

$\overline(a)$ վեկտորի երկարությունը կլինի $a$ հատվածի երկարությունը:

Նշում. $|\overline(a)|$

Անցնենք երկու վեկտորների հավասարության որոշմանը

Սահմանում 7

Երկու վեկտորներ կանվանենք հավասար, եթե դրանք բավարարեն երկու պայման.

1. Նրանք համատեղ ուղղորդված են.
2. Նրանց երկարությունները հավասար են (նկ. 5):

Երկրաչափական պրոյեկցիա

Ինչպես արդեն ասացինք, երկրաչափական պրոյեկցիայի արդյունքը կլինի վեկտոր:

Սահմանում 8

$\overline(AB)$ վեկտորի երկրաչափական պրոյեկցիան առանցքի վրա վեկտոր է, որը ստացվում է հետևյալ կերպ. $A$ վեկտորի սկզբնակետը նախագծված է այս առանցքի վրա: Մենք ստանում ենք $A"$ կետ - ցանկալի վեկտորի սկիզբը։ $B$ վեկտորի վերջնակետը նախագծված է այս առանցքի վրա։ Ստանում ենք $B"$ կետը՝ ցանկալի վեկտորի վերջը։ $\overline(A"B")$ վեկտորը կլինի ցանկալի վեկտորը:

Դիտարկենք խնդիրը.

Օրինակ 1

Կառուցեք $\overline(AB)$ երկրաչափական պրոյեկցիա $l$ առանցքի վրա, որը ներկայացված է Նկար 6-ում:

Եկեք $A$ կետից ուղղահայաց գծենք դեպի $l$ առանցքի, մենք դրա վրա ստանում ենք $A"$ կետ: Այնուհետև $B$ կետից ուղղահայաց ենք գծում դեպի $l$ առանցքի, ստանում ենք $B կետը: «$ դրա վրա (նկ. 7):

Տարբեր գծերի և մակերևույթների նախագծումը հարթության վրա թույլ է տալիս կառուցել առարկաների տեսողական պատկերը գծագրի տեսքով: Մենք կդիտարկենք ուղղանկյուն պրոյեկցիան, որի ելնող ճառագայթները ուղղահայաց են պրոյեկցիայի հարթությանը: ՎԵԿՏՈՐԻ ՊՐՈԵԿՑԻԱ ՀԱՍԱՐԱԿՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ հաշվի առեք վեկտորը = (նկ. 3.22), որը փակված է սկզբից և վերջից բաց թողնված ուղղանկյունների միջև:

Բրինձ. 3.23. Վեկտորի վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա:

Վեկտորային հանրահաշիվում հաճախ անհրաժեշտ է լինում վեկտորը նախագծել AXIS-ի վրա, այսինքն՝ ուղիղ գծի վրա, որն ունի որոշակի կողմնորոշում։ Նման ձևավորումը հեշտ է, եթե վեկտորը և L առանցքը գտնվում են նույն հարթության վրա (նկ. 3.23): Սակայն խնդիրն ավելի է բարդանում, երբ այս պայմանը չի կատարվում։ Կառուցենք վեկտորի պրոյեկցիան առանցքի վրա, երբ վեկտորն ու առանցքը նույն հարթության վրա չեն գտնվում (նկ. 3.24):

Բրինձ. 3.24. Վեկտորի նախագծում առանցքի վրա
ընդհանուր դեպքում.

Վեկտորի ծայրերով մենք գծում ենք L ուղղին ուղղահայաց հարթություններ: Այս ուղիղի հետ հատման կետում այս հարթությունները սահմանում են երկու A1 և B1 կետեր՝ վեկտոր, որը մենք կանվանենք այս վեկտորի վեկտորային պրոյեկցիա: Վեկտորային պրոյեկցիա գտնելու խնդիրը կարող է ավելի հեշտ լուծվել, եթե վեկտորը բերվի նույն հարթության մեջ, ինչ առանցքը, ինչը կարելի է անել, քանի որ վեկտորային հանրահաշիվում դիտարկվում են ազատ վեկտորները:

Վեկտորային պրոյեկցիայի հետ մեկտեղ կա նաև SCALAR PROJECTION, որը հավասար է վեկտորային պրոյեկցիայի մոդուլին, եթե վեկտորային պրոյեկցիան համընկնում է L առանցքի կողմնորոշմանը, և հավասար է դրա հակառակ արժեքին, եթե վեկտորային պրոյեկցիան և L առանցքները ունեն հակառակ կողմնորոշում: Մենք կնշանակենք սկալյար պրոյեկցիան.

Գործնականում միշտ չէ, որ վեկտորային և սկալյար կանխատեսումները խիստ տերմինաբանական տարանջատված են: Սովորաբար օգտագործվում է «վեկտորային պրոյեկցիա» տերմինը, որը նշանակում է վեկտորի սկալային պրոյեկցիա: Որոշում կայացնելիս անհրաժեշտ է հստակ տարբերակել այդ հասկացությունները։ Հետևելով ձևավորված ավանդույթին՝ մենք կօգտագործենք «վեկտորային պրոյեկցիա» տերմինները, որը նշանակում է սկալյար պրոյեկցիա, և «վեկտորային պրոյեկցիա»՝ սահմանված նշանակության համաձայն:

Եկեք ապացուցենք մի թեորեմ, որը թույլ է տալիս հաշվարկել տվյալ վեկտորի սկալյար պրոյեկցիան։

ԹԵՈՐԵՄ 5. Վեկտորի պրոյեկցիան L առանցքի վրա հավասար է նրա մոդուլի և վեկտորի և առանցքի միջև անկյան կոսինուսի արտադրյալին, այսինքն.

(3.5)

Բրինձ. 3.25. Գտեք վեկտոր և սկալյար
Վեկտորային կանխատեսումներ L առանցքի վրա
(իսկ L առանցքը հավասարապես կողմնորոշված ​​են):

Ապացույց. Եկեք նախ կատարենք կոնստրուկցիաներ, որոնք թույլ են տալիս գտնել անկյունը ԳՎեկտորի և L առանցքի միջև Դա անելու համար մենք կկառուցենք ուղիղ գիծ MN, որը զուգահեռ է L առանցքին և անցնում է O կետով - վեկտորի սկիզբը (նկ. 3.25): Անկյունը կլինի ցանկալի անկյունը: Եկեք գծենք երկու հարթություն A և O կետերի միջով, որոնք ուղղահայաց են L առանցքին:

Քանի որ L առանցքը և MN ուղիղը զուգահեռ են:

Առանձնացնենք վեկտորի և L առանցքի հարաբերական դիրքի երկու դեպք։

1. Թող վեկտորային պրոյեկցիան և L առանցքը հավասարապես կողմնորոշվեն (նկ. 3.25): Այնուհետեւ համապատասխան սկալյար պրոյեկցիան .

2. Թող և L-ը կողմնորոշվեն տարբեր ուղղություններով (նկ. 3.26):

Բրինձ. 3.26. Վեկտորի վեկտորային և սկալյար կանխատեսումները գտնելը L առանցքի վրա (իսկ L առանցքը ուղղված է հակառակ ուղղություններով):

Այսպիսով, երկու դեպքում էլ թեորեմը ճշմարիտ է։

ԹԵՈՐԵՄ 6. Եթե վեկտորի սկզբնաղբյուրը բերվում է L առանցքի որոշակի կետի, և այդ առանցքը գտնվում է s հարթության վրա, ապա վեկտորը վեկտորի պրոյեկցիայի հետ s հարթության վրա անկյուն է կազմում, իսկ վեկտորի հետ՝ անկյուն։ պրոյեկցիա L առանցքի վրա, բացի այդ, վեկտորային պրոյեկցիաներն իրենք միմյանց հետ անկյուն են կազմում, Դա