Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, քառակուսի ֆունկցիայի հատկությունների և գրաֆիկների առաջադրանքները լուրջ դժվարություններ են առաջացնում: Սա բավականին տարօրինակ է, քանի որ նրանք ուսումնասիրում են քառակուսի ֆունկցիան 8-րդ դասարանում, իսկ հետո 9-րդ դասարանի առաջին եռամսյակում նրանք «տանջում են» պարաբոլայի հատկությունները և կառուցում դրա գրաֆիկները տարբեր պարամետրերի համար:

Դա պայմանավորված է նրանով, որ ուսանողներին պարաբոլներ կառուցելիս ստիպելիս նրանք գործնականում ժամանակ չեն հատկացնում գրաֆիկները «կարդալու», այսինքն՝ չեն պարապում նկարից ստացված տեղեկատվությունը ըմբռնելուն։ Ըստ երևույթին, ենթադրվում է, որ տասնյակ կամ երկու գրաֆիկներ կառուցելուց հետո խելացի ուսանողն ինքը կբացահայտի և կձևակերպի բանաձևի և գործակիցների միջև կապը: տեսքըգրաֆիկա։ Գործնականում դա չի աշխատում: Նման ընդհանրացման համար անհրաժեշտ է մաթեմատիկական մինի հետազոտության լուրջ փորձ, որին իններորդ դասարանցիների մեծ մասն, իհարկե, չի տիրապետում։ Մինչդեռ պետական ​​տեսչությունն առաջարկում է ժամանակացույցի միջոցով որոշել գործակիցների նշանները։

Դպրոցականներից չենք պահանջելու անհնարինը և պարզապես առաջարկելու ենք նման խնդիրների լուծման ալգորիթմներից մեկը։

Այսպիսով, ձևի ֆունկցիա y = կացին 2 + bx + cկոչվում է քառակուսային, դրա գրաֆիկը պարաբոլա է: Ինչպես անունն է հուշում, հիմնական տերմինն է կացին 2. Այսինքն Աչպետք է հավասար լինի զրոյի, մնացած գործակիցները ( բԵվ Հետ) կարող է հավասար լինել զրո:

Տեսնենք, թե ինչպես են դրա գործակիցների նշանները ազդում պարաբոլայի տեսքի վրա։

Ամենապարզ կախվածությունը գործակցի համար Ա. Դպրոցականներից շատերը վստահորեն պատասխանում են. «եթե Ա> 0, ապա պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, և եթե Ա < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой Ա > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

Այս դեպքում Ա = 0,5

Եվ հիմա համար Ա < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Այս դեպքում Ա = - 0,5

Գործակիցի ազդեցությունը ՀետԱյն նաև բավականին հեշտ է հետևել: Եկեք պատկերացնենք, որ մենք ցանկանում ենք գտնել ֆունկցիայի արժեքը մի կետում X= 0. Փոխարինեք զրո բանաձևի մեջ.

y = ա 0 2 + բ 0 + գ = գ. Պարզվում է, որ y = c. Այսինքն Հետպարաբոլայի y առանցքի հետ հատման կետի օրդինատն է։ Սովորաբար այս կետը հեշտ է գտնել գրաֆիկի վրա: Եվ որոշեք՝ այն գտնվում է զրոյից վեր, թե ներքևում: Այսինքն Հետ> 0 կամ Հետ < 0.

Հետ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Հետ < 0

y = x 2 + 4x - 3

Համապատասխանաբար, եթե Հետ= 0, ապա պարաբոլան անպայման կանցնի ծագման միջով.

y = x 2 + 4x

Ավելի դժվար է պարամետրով բ. Այն կետը, որտեղ մենք դա կգտնենք, կախված է ոչ միայն բայլ նաև ից Ա. Սա պարաբոլայի գագաթն է: Դրա աբսիսսա (առանցքի կոորդինատ X) հայտնաբերվում է բանաձևով x in = - b/(2a). Այսպիսով, b = - 2 ax in. Այսինքն՝ մենք գործում ենք հետևյալ կերպ՝ գրաֆիկի վրա գտնում ենք պարաբոլայի գագաթը, որոշում նրա աբսցիսայի նշանը, այսինքն՝ նայում ենք զրոյի աջ կողմը ( x in> 0) կամ դեպի ձախ ( x in < 0) она лежит.

Այնուամենայնիվ, սա դեռ ամենը չէ: Պետք է ուշադրություն դարձնել նաև գործակցի նշանին Ա. Այսինքն՝ տեսեք, թե ուր են ուղղված պարաբոլայի ճյուղերը։ Եվ միայն դրանից հետո՝ ըստ բանաձեւի b = - 2 ax inորոշել նշանը բ.

Դիտարկենք օրինակ.

Ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, ինչը նշանակում է Ա> 0, պարաբոլան հատում է առանցքը ժամըզրոյից ցածր, այսինքն Հետ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Այսպիսով b = - 2 ax in = -++ = -. բ < 0. Окончательно имеем: Ա > 0, բ < 0, Հետ < 0.

Այն ձևի ֆունկցիան, որտեղ կոչվում է քառակուսի ֆունկցիա.

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկ – պարաբոլա.

Դիտարկենք դեպքերը.

I CASE, ԴԱՍԱԿԱՆ ՊԱՐԱԲՈԼԱ

Այսինքն,

Կառուցելու համար լրացրեք աղյուսակը՝ x արժեքները փոխարինելով բանաձևով.

Նշեք միավորները (0;0); (1;1); (-1;1) և այլն: վրա կոորդինատային հարթություն(որքան փոքր է քայլը, որը մենք վերցնում ենք x արժեքները (այս դեպքում քայլ 1), և որքան շատ x արժեքներ ենք վերցնում, այնքան ավելի հարթ կլինի կորը), մենք ստանում ենք պարաբոլա.

Հեշտ է տեսնել, որ եթե վերցնենք գործը , , , այսինքն, ապա մենք ստանում ենք պարաբոլա, որը սիմետրիկ է առանցքի (oh): Հեշտ է դա հաստատել՝ լրացնելով նմանատիպ աղյուսակ.

II ԴԵՊՔ, «ա»-ն ՏԱՐԲԵՐՎՈՒՄ Է ՄԻԱՎՈՐԻՑ

Ի՞նչ կլինի, եթե վերցնենք , , . Ինչպե՞ս կփոխվի պարաբոլայի վարքը: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Առաջին նկարում (տես վերևում) պարզ երևում է, որ պարաբոլայի (1;1), (-1;1) աղյուսակի կետերը վերածվել են (1;4), (1;-4) կետերի, այսինքն՝ նույն արժեքներով յուրաքանչյուր կետի օրդինատը բազմապատկվում է 4-ով։ Դա տեղի կունենա սկզբնական աղյուսակի բոլոր առանցքային կետերի հետ։ Մենք նույն կերպ ենք մտածում 2-րդ և 3-րդ նկարների դեպքերում:

Եվ երբ պարաբոլան «ավելի լայն է դառնում», քան պարաբոլան.

Ամփոփենք.

1)Գործակիցի նշանը որոշում է ճյուղերի ուղղությունը։ title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Բացարձակ արժեք գործակիցը (մոդուլը) պատասխանատու է պարաբոլայի «ընդլայնման» և «սեղմման» համար: Որքան մեծ է, այնքան նեղ է պարաբոլան, այնքան փոքր է |a|, այնքան լայն է պարաբոլան:

III ԴԵՊՔ Է ՀԱՅՏՆՎՈՒՄ «Գ».

Հիմա եկեք մտցնենք խաղի մեջ (այսինքն, դիտարկենք այն դեպքը, երբ), մենք կդիտարկենք ձևի պարաբոլները: Դժվար չէ կռահել (միշտ կարող եք հղում կատարել աղյուսակին), որ պարաբոլան կտեղափոխվի առանցքի երկայնքով վեր կամ վար՝ կախված նշանից.

IV ԴԵՊՔ, «b» ԵՐԵՎԱՆՈՒՄ Է

Ե՞րբ է պարաբոլան «պոկվելու» առանցքից և վերջապես «քայլելու» ամբողջ կոորդինատային հարթության երկայնքով: Ե՞րբ կդադարի հավասարվել:

Այստեղ պարաբոլա կառուցելու համար մեզ անհրաժեշտ է Գագաթը հաշվարկելու բանաձևը. , .

Այսպիսով, այս պահին (ինչպես կետում (0;0) նոր համակարգկոորդինատներ) մենք կկառուցենք պարաբոլա, որը մենք արդեն կարող ենք անել: Եթե ​​գործ ունենք գործի հետ, ապա գագաթից մենք դնում ենք մեկ միավոր հատված դեպի աջ, մեկը վեր, - ստացված կետը մերն է (նմանապես, մի ​​քայլ դեպի ձախ, մի քայլ դեպի վեր մեր կետն է); եթե գործ ունենք, օրինակ, ապա գագաթից դնում ենք մեկ միավոր հատված դեպի աջ, երկուսը՝ դեպի վեր և այլն։

Օրինակ՝ պարաբոլայի գագաթը.

Այժմ հիմնականը հասկանալն այն է, որ այս գագաթում մենք պարաբոլա կկառուցենք պարաբոլայի օրինաչափության համաձայն, քանի որ մեր դեպքում.

Պարաբոլա կառուցելիս գագաթի կոորդինատները շատ գտնելուց հետոՀարմար է հաշվի առնել հետևյալ կետերը.

1) պարաբոլա անպայման կանցնի կետով . Իրոք, x=0 բանաձևում փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք, որ . Այսինքն պարաբոլայի (oy) առանցքի հետ հատման կետի օրդինատը . Մեր օրինակում (վերևում) պարաբոլան հատում է օրդինատը կետում, քանի որ .

2) համաչափության առանցք պարաբոլաներ ուղիղ գիծ է, ուստի պարաբոլայի բոլոր կետերը սիմետրիկ կլինեն դրա նկատմամբ: Մեր օրինակում անմիջապես վերցնում ենք (0; -2) կետը և այն սիմետրիկ կառուցում պարաբոլայի համաչափության առանցքի նկատմամբ, ստանում ենք այն կետը (4; -2), որով անցնելու է պարաբոլան։

3) Հավասարվելով , պարզում ենք պարաբոլայի առանցքի (oh) հատման կետերը։ Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումը. Կախված տարբերակիչից, մենք կստանանք մեկ (, ), երկու ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Նախորդ օրինակում դիսկրիմինանտի մեր արմատը կառուցման ժամանակ այնքան էլ իմաստ չունի գտնել արմատները, բայց մենք հստակ տեսնում ենք, որ առանցքի հետ կունենանք երկու հատման կետ. (ince title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Այսպիսով, եկեք մշակենք այն

Պարաբոլայի կառուցման ալգորիթմ, եթե այն տրված է ձևով

1) որոշել ճյուղերի ուղղությունը (a>0 – վեր, ա<0 – вниз)

2) մենք գտնում ենք պարաբոլայի գագաթի կոորդինատները՝ օգտագործելով բանաձևը, .

3) մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետը առանցքի (oy) օգտագործելով ազատ տերմին, կառուցում ենք այս կետի սիմետրիկ կետ պարաբոլայի համաչափության առանցքի նկատմամբ (պետք է նշել, որ պատահում է, որ անշահավետ է նշել. այս կետը, օրինակ, քանի որ արժեքը մեծ է... մենք բաց ենք թողնում այս կետը...)

4) Գտնված կետում՝ պարաբոլայի գագաթը (ինչպես նոր կոորդինատային համակարգի (0;0) կետում) կառուցում ենք պարաբոլա։ If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Մենք գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը առանցքի (oy) հետ (եթե դրանք դեռ «մակերևույթ չեն հայտնվել»՝ լուծելով հավասարումը.

Օրինակ 1

Օրինակ 2

Ծանոթագրություն 1.Եթե ​​պարաբոլան ի սկզբանե մեզ տրված է ձևով, որտեղ կան որոշ թվեր (օրինակ՝ ), ապա ավելի հեշտ կլինի այն կառուցել, քանի որ մեզ արդեն տրվել են գագաթի կոորդինատները: Ինչո՞ւ։

Վերցնենք քառակուսի եռանկյունև դրա մեջ ընտրեք ամբողջական քառակուսի. Տեսեք, մենք ստացել ենք, որ . Դուք և ես նախկինում անվանել ենք պարաբոլայի գագաթ, այսինքն՝ հիմա, .

Օրինակ, . Հարթության վրա նշում ենք պարաբոլայի գագաթը, հասկանում ենք, որ ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, պարաբոլան ընդլայնված է (համեմատաբար): Այսինքն, մենք իրականացնում ենք 1-ին կետերը; 3; 4; 5 պարաբոլայի կառուցման ալգորիթմից (տե՛ս վերևում):

Ծանոթագրություն 2.Եթե ​​պարաբոլան տրված է սրա նման ձևով (այսինքն՝ ներկայացված է որպես երկու գծային գործոնի արտադրյալ), ապա մենք անմիջապես տեսնում ենք պարաբոլայի առանցքի (եզ) հետ հատման կետերը։ Այս դեպքում՝ (0;0) և (4;0): Մնացածի համար մենք գործում ենք ըստ ալգորիթմի՝ բացելով փակագծերը։

Դպրոցում մաթեմատիկայի դասերին դուք արդեն ծանոթացել եք ֆունկցիայի ամենապարզ հատկություններին և գրաֆիկին. y = x 2. Եկեք ընդլայնենք մեր գիտելիքները քառակուսի ֆունկցիա.

Առաջադրանք 1.

Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան y = x 2. Սանդղակ՝ 1 = 2 սմ: Նշեք մի կետ Oy առանցքի վրա Ֆ(0; 1/4): Օգտագործելով կողմնացույց կամ թղթի շերտ, չափեք հեռավորությունը կետից Ֆինչ-որ պահի Մպարաբոլաներ. Այնուհետև ժապավենը ամրացրեք M կետում և պտտեք այն այդ կետի շուրջ, մինչև այն ուղղահայաց լինի: Շերտի ծայրը մի փոքր կիջնի x առանցքից (նկ. 1). Շերտի վրա նշեք, թե որքան է այն տարածվում x առանցքից այն կողմ: Այժմ վերցրեք մեկ այլ կետ պարաբոլայի վրա և նորից կրկնեք չափումը: Որքա՞ն է շերտի եզրն ընկել x առանցքի տակ:

Արդյունք:Անկախ y = x 2 պարաբոլայի վրա, հեռավորությունը այս կետից մինչև F(0; 1/4) կետն ավելի մեծ կլինի, քան նույն կետից մինչև աբսցիսայի առանցքը միշտ նույն թվով. 1/4.

Կարելի է այլ կերպ ասել՝ պարաբոլայի ցանկացած կետից մինչև (0; 1/4) կետի հեռավորությունը հավասար է պարաբոլայի նույն կետից մինչև ուղիղ y = -1/4 հեռավորությունը: Այս հրաշալի F(0; 1/4) կետը կոչվում է կենտրոնանալպարաբոլներ y = x 2 և ուղիղ y = -1/4 – տնօրենայս պարաբոլան. Յուրաքանչյուր պարաբոլա ունի ուղղորդիչ և կիզակետ:

Պարաբոլայի հետաքրքիր հատկությունները.

1. Պարաբոլայի ցանկացած կետ հավասար հեռավորության վրա է ինչ-որ կետից, որը կոչվում է պարաբոլայի կիզակետ, և որոշ ուղիղ գծից, որը կոչվում է իր ուղղագիծ:

2. Եթե պարաբոլը պտտեք համաչափության առանցքի շուրջը (օրինակ՝ y = x 2 պարաբոլան Oy առանցքի շուրջ), դուք կստանաք մի շատ հետաքրքիր մակերես, որը կոչվում է հեղափոխության պարաբոլոիդ։

Պտտվող անոթի հեղուկի մակերեսը պտտման պարաբոլոիդի ձև ունի։ Դուք կարող եք տեսնել այս մակերեսը, եթե թեյի թերի բաժակի մեջ գդալով ուժեղ խառնեք, ապա հանեք գդալը։

3. Եթե քարը նետեք դատարկության մեջ հորիզոնի նկատմամբ որոշակի անկյան տակ, այն կթռչի պարաբոլայով (նկ. 2):

4. Եթե կոնի մակերևույթը հատում եք դրա որևէ մեկին զուգահեռ հարթության հետ, ապա խաչմերուկը կհանգեցնի պարաբոլայի: (նկ. 3).

5. Ժամանցային այգիներում երբեմն զվարճալի զբոսանք է անցկացվում, որը կոչվում է «Հրաշքների պարաբոլոիդ»: Պտտվող պարաբոլոիդի ներսում կանգնած բոլորին թվում է, որ նա կանգնած է հատակին, իսկ մնացած մարդիկ ինչ-որ հրաշքով բռնվել են պատերից։

6. Անդրադարձ աստղադիտակներում օգտագործվում են նաև պարաբոլիկ հայելիներ. հեռավոր աստղի լույսը, որը գալիս է զուգահեռ ճառագայթով, ընկնում է աստղադիտակի հայելու վրա, հավաքվում է ուշադրության կենտրոնում։

7. Լուսարձակները սովորաբար ունենում են պարաբոլոիդի տեսքով հայելի։ Եթե ​​պարաբոլոիդի կիզակետում տեղադրեք լույսի աղբյուր, ապա պարաբոլիկ հայելից արտացոլված ճառագայթները կազմում են զուգահեռ ճառագայթ:

Քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորում

Մաթեմատիկայի դասերին դուք ուսումնասիրել եք, թե ինչպես կարելի է ստանալ y = x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկից ձևի ֆունկցիաների գրաֆիկները:

1) y = կացին 2– y = x 2 գրաֆիկը ձգելով Oy առանցքի երկայնքով |a|-ում անգամ (հետ |ա|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, բրինձ. 4).

2) y = x 2 + n– գրաֆիկի տեղաշարժը n միավորով Oy առանցքի երկայնքով, և եթե n > 0, ապա տեղաշարժը դեպի վեր է, և եթե n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– գրաֆիկի տեղաշարժը m միավորներով Ox առանցքի երկայնքով. եթե m< 0, то вправо, а если m >0, ապա հեռացել, (նկ. 5).

4) y = -x 2– սիմետրիկ ցուցադրում գրաֆիկի Ox առանցքի նկատմամբ y = x 2:

Եկեք մանրամասն նայենք ֆունկցիայի գծագրմանը y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c ձևի քառակուսի ֆունկցիան միշտ կարող է կրճատվել մինչև ձևի

y = a(x – m) 2 + n, որտեղ m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a):

Եկեք ապացուցենք դա։

Իսկապես,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a):

Ներկայացնենք նոր նշումներ։

Թող m = -b/(2a), Ա n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

ապա ստանում ենք y = a(x – m) 2 + n կամ y – n = a(x – m) 2:

Կատարենք ևս մի քանի փոխարինում՝ թող y – n = Y, x – m = X (*):

Այնուհետեւ ստանում ենք Y = aX 2 ֆունկցիան, որի գրաֆիկը պարաբոլա է։

Պարաբոլայի գագաթը սկզբում է: X = 0; Y = 0:

Փոխարինելով գագաթի կոորդինատները (*)՝ ստանում ենք y = a(x – m) 2 + n գրաֆիկի գագաթի կոորդինատները՝ x = m, y = n:

Այսպիսով, քառակուսի ֆունկցիան գծելու համար, որը ներկայացված է որպես

y = a(x – m) 2 + n

փոխակերպումների միջոցով կարող եք գործել հետևյալ կերպ.

ա) y = x 2 ֆունկցիան գծագրել;

բ) Ox առանցքի երկայնքով զուգահեռ թարգմանությամբ m միավորներով և Oy առանցքի երկայնքով n միավորով - փոխանցել պարաբոլայի գագաթը սկզբնակետից դեպի կետ կոորդինատներով (m; n) (նկ. 6).

Փոխակերպումների ձայնագրում.

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Օրինակ.

Օգտագործելով փոխակերպումները՝ կառուցիր y = 2(x – 3) 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը դեկարտյան կոորդինատային համակարգում։ – 2.

Լուծում.

Փոխակերպումների շղթա.

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Գծապատկերը ցուցադրված է բրինձ. 7.

Դուք կարող եք ինքնուրույն կիրառել քառակուսի ֆունկցիաների գրաֆիկական ձևավորում: Օրինակ՝ y = 2(x + 3) 2 + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցեք մեկ կոորդինատային համակարգում՝ օգտագործելով փոխակերպումները անվճար 25 րոպեանոց դաս առցանց դաստիարակի հետգրանցումից հետո։ Համար հետագա աշխատանքՁեր ուսուցչի հետ դուք կարող եք ընտրել այն սակագնային պլանը, որը համապատասխանում է ձեզ:

Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք ինչպես գծապատկերել քառակուսի ֆունկցիան:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքէջը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում սկզբնաղբյուրին:

Դաս 15.
Հավանականությունների ազդեցությունըա, բ ԵվՀետ դեպի գտնվելու վայրը
քառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկ

Նպատակները:շարունակել զարգացնել քառակուսի ֆունկցիան գծագրելու և դրա հատկությունները թվարկելու կարողությունը. բացահայտել գործակիցների ազդեցությունը Ա, բԵվ Հետքառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնվելու վայրի վրա:

Դասի առաջընթաց

I. Կազմակերպչական պահ.

II. Բանավոր աշխատանք.

Որոշեք, թե որ ֆունկցիայի գրաֆիկն է ներկայացված նկարում.

ժամը = X 2 – 2X – 1;

ժամը = –2X 2 – 8X;

ժամը = X 2 – 4X – 1;

ժամը = 2X 2 + 8X + 7;

ժամը = 2X 2 – 1.

բ)

ժամը = X 2 – 2X;

ժամը = –X 2 + 4X + 1;

ժամը = –X 2 – 4X + 1;

ժամը = –X 2 + 4X – 1;

ժամը = –X 2 + 2X – 1.

III. Հմտությունների և կարողությունների ձևավորում:

Վարժություններ:

1. Թիվ 127 (ա).

Լուծում

Ուղիղ ժամը = 6X + բդիպչում է պարաբոլային ժամը = X 2 + 8, այսինքն՝ նրա հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ այն դեպքում, երբ 6-րդ հավասարումը X + բ = X 2 + 8 կունենա միակ լուծումը.

Այս հավասարումը քառակուսի է, եկեք գտնենք դրա դիսկրիմինատորը.

X 2 – 6X + 8 + բ = 0;

Դ 1 = 9 – (8 – բ) = 1 + բ;

Դ 1 = 0, եթե 1 + բ= 0, այսինքն բ= –1.

Պատասխան. բ= –1.

3. Բացահայտեք գործակիցների ազդեցությունը Ա, բԵվ Հետֆունկցիայի գրաֆիկի գտնվելու վայրի վրա ժամը = Օ՜ 2 + bx + Հետ.

Ուսանողները բավարար գիտելիքներ ունեն այս առաջադրանքն ինքնուրույն կատարելու համար: Նրանց պետք է հրավիրել գրառել իրենց բոլոր բացահայտումները նոթատետրում՝ ընդգծելով գործակիցներից յուրաքանչյուրի «հիմնական» դերը:

1) գործակից Աազդում է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության վրա՝ երբ Ա> 0 – ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր, հետ Ա < 0 – вниз.

2) գործակից բազդում է պարաբոլայի գագաթի դիրքի վրա: ժամը բ= 0 գագաթն ընկած է առանցքի վրա օհ.

3) գործակից Հետցույց է տալիս պարաբոլայի առանցքի հետ հատման կետը Op-amp.

Սրանից հետո կարելի է օրինակ բերել՝ ցույց տալու համար, թե ինչ կարելի է ասել գործակիցների մասին Ա, բԵվ Հետըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի։

Իմաստը Հետկարելի է ճշգրիտ անվանել. քանի որ գրաֆիկը հատում է առանցքը Op-ampկետում (0; 1), ապա Հետ = 1.

Գործակից Ակարելի է համեմատել զրոյի հետ. քանի որ պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, ուրեմն Ա < 0.

Գործակիցի նշան բկարելի է պարզել պարաբոլայի գագաթի աբսցիսան որոշող բանաձևից. Տ= , քանի որ Ա < 0 и Տ= 1, ապա բ> 0.

4. Որոշեք, թե որ ֆունկցիայի գրաֆիկն է պատկերված նկարում՝ ելնելով գործակիցների արժեքից Ա, բԵվ Հետ.

ժամը = –X 2 + 2X;

ժամը = X 2 + 2X + 2;

ժամը = 2X 2 – 3X – 2;

ժամը = X 2 – 2.

Լուծում

Ա, բԵվ Հետ:

Ա> 0, քանի որ պարաբոլայի ճյուղերն ուղղված են դեպի վեր;

բ Op-amp;

Հետ= –2, քանի որ պարաբոլան հատում է օրդինատը (0; –2) կետում:

ժամը = 2X 2 – 3X – 2.

ժամը = X 2 – 2X;

ժամը = –2X 2 + X + 3;

ժամը = –3X 2 – X – 1;

ժամը = –2,7X 2 – 2X.

Լուծում

Ըստ ցուցադրված ժամանակացույցի մենք անում ենք հետեւյալ եզրակացություններըգործակիցների մասին Ա, բԵվ Հետ:

Ա < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

բ≠ 0, քանի որ պարաբոլայի գագաթը չի գտնվում առանցքի վրա Op-amp;

Հետ= 0, քանի որ պարաբոլան հատում է առանցքը Op-ampկետում (0; 0):

Այս բոլոր պայմանները բավարարվում են միայն գործառույթով ժամը = –2,7X 2 – 2X.

5. Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի ժամը = Օ՜ 2 + bx + Հետ Ա, բԵվ Հետ:

Ա) բ)

Լուծում

ա) Պարաբոլայի ճյուղերը, հետևաբար, ուղղված են դեպի վեր Ա > 0.

Պարաբոլան հատում է օրդինատների առանցքը ստորին կիսահարթության մեջ, ուստի Հետ < 0. Чтобы узнать знак коэффициента բՊարաբոլայի գագաթի աբսցիսան գտնելու համար օգտագործենք բանաձևը. Տ= . Գրաֆիկից երևում է, որ Տ < 0, и мы определим, что Ա> 0. Հետեւաբար բ> 0.

բ) Նմանապես մենք որոշում ենք գործակիցների նշանները Ա, բԵվ Հետ:

Ա < 0, Հետ > 0, բ< 0.

Ուսանողներին, ովքեր ակադեմիական ուժեղ են, կարող են լրացուցիչ հնարավորություն տրվել լրացնել թիվ 247-ը:

Լուծում

ժամը = X 2 + px + ք.

ա) Վիետայի թեորեմի համաձայն, հայտնի է, որ եթե X 1 և X 2 – հավասարման արմատները X 2 +
+ px + ք= 0 (այսինքն՝ այս ֆունկցիայի զրոները), ապա X 1 · X 2 = քԵվ X 1 + X 2 = –r. Մենք դա հասկանում ենք ք= 3 4 = 12 և r = –(3 + 4) = –7.

բ) պարաբոլայի առանցքի հետ հատման կետը Op-ampկտա պարամետրի արժեքը ք, այսինքն ք= 6. Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է առանցքը Օհկետում (2; 0), ապա թիվ 2-ը հավասարման արմատն է X 2 + px + ք= 0. Փոխարինելով արժեքը X= 2 այս հավասարման մեջ, մենք ստանում ենք դա r = –5.

գ) Այս քառակուսի ֆունկցիան հասնում է իր նվազագույն արժեքին պարաբոլայի գագաթին, հետևաբար, որտեղից r= –12. Ըստ պայմանի՝ ֆունկցիայի արժեքը ժամը = X 2 – 12X + քկետում x= 6 հավասար է 24. Փոխարինում x= 6 և ժամը= 24 Վ այս գործառույթը, մենք գտնում ենք, որ ք= 60.

IV. Թեստային աշխատանք.

Տարբերակ 1

1. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան ժամը = 2X 2 + 4X– 6 և գտե՛ք գրաֆիկի միջոցով.

ա) ֆունկցիայի զրոներ.

բ) ընդմիջումներով, որոնցում ժամը> 0 և y < 0;

դ) ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը.

ե) ֆունկցիայի տիրույթը.

2. Առանց ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորման ժամը = –X 2 + 4X, գտնել:

ա) ֆունկցիայի զրոներ.

գ) ֆունկցիայի տիրույթը:

3. Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի ժամը = Օ՜ 2 + bx + Հետորոշել գործակիցների նշանները Ա, բԵվ Հետ:

Տարբերակ 2

1. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան ժամը = –X 2 + 2X+ 3 և գտեք գրաֆիկի միջոցով.

ա) ֆունկցիայի զրոներ.

բ) ընդմիջումներով, որոնցում ժամը> 0 և y < 0;

գ) աճող և նվազող ֆունկցիայի միջակայքերը.

է) ամենաբարձր արժեքըգործառույթներ;

ե) ֆունկցիայի տիրույթը.

2. Առանց ֆունկցիայի գրաֆիկական ձևավորման ժամը = 2X 2 + 8X, գտնել:

ա) ֆունկցիայի զրոներ.

բ) աճող և նվազող ֆունկցիաների միջակայքերը.

գ) ֆունկցիայի տիրույթը:

3. Ըստ ֆունկցիայի գրաֆիկի ժամը = Օ՜ 2 + bx + Հետորոշել գործակիցների նշանները Ա, բԵվ Հետ:

V. Դասի ամփոփում.

Հաճախակի տրվող հարցեր.

– Նկարագրեք քառակուսի ֆունկցիայի կառուցման ալգորիթմը:

- Թվարկեք ֆունկցիայի հատկությունները ժամը = Օ՜ 2 + bx + Հետժամը Ա> 0 և ժամը Ա < 0.

- Ինչպե՞ս են ազդում հավանականությունները Ա, բԵվ Հետքառակուսի ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնվելու վայրի՞ վրա։

Տնային աշխատանք: Թիվ 127 (բ), թիվ 128, թիվ 248։

ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ՝ թիվ 130։