Բերված է ֆակտորինգի բազմանդամների 8 օրինակ։ Դրանք ներառում են քառակուսի և երկքառակուսի հավասարումների լուծման օրինակներ, փոխադարձ բազմանդամների օրինակներ և երրորդ և չորրորդ աստիճանի բազմանդամների ամբողջ թվային արմատներ գտնելու օրինակներ։

1. Քառակուսային հավասարման լուծման օրինակներ

Օրինակ 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Լուծում

Մենք հանում ենք x 2 փակագծերից դուրս.
.
2 + x - 6 = 0:
.
Հավասարման արմատները.
, .

.

Պատասխանել

Օրինակ 1.2

Գործոնային երրորդ աստիճանի բազմանդամը.
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Լուծում

Փակագծերից հանենք x-ը.
.
Եկեք որոշենք քառակուսի հավասարում x 2 + 6 x + 9 = 0:
Դրա տարբերակիչ.
Քանի որ դիսկրիմինանտը զրո է, ապա հավասարման արմատները բազմապատիկ են.
.

Դրանից մենք ստանում ենք բազմանդամի գործոնայնացումը.
.

Պատասխանել

Օրինակ 1.3

Գործոնավորեք հինգերորդ աստիճանի բազմանդամը.
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Լուծում

Մենք հանում ենք x 3 փակագծերից դուրս.
.
x քառակուսային հավասարման լուծում 2 - 2 x + 10 = 0.
Դրա տարբերակիչ.
Քանի որ խտրական զրոյից պակաս, ապա հավասարման արմատները բարդ են՝ ;
, .

Բազմանանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձև.
.

Եթե ​​մեզ հետաքրքրում է իրական գործակիցներով ֆակտորիզացիան, ապա.
.

Պատասխանել

Բանաձևերի միջոցով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ

Երկ քառակուսի բազմանդամների օրինակներ

Օրինակ 2.1

Գործոնավորեք երկքառակուսի բազմանդամը.
x 4 + x 2 - 20.

Լուծում

Եկեք կիրառենք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Պատասխանել

Օրինակ 2.2

Գործոնավորեք այն բազմանդամը, որը վերածվում է երկքառակորդի.
x 8 + x 4 + 1.

Լուծում

Եկեք կիրառենք բանաձևերը.
ա 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ա 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Պատասխանել

Օրինակ 2.3 կրկնվող բազմանդամով

Գործոնավորեք փոխադարձ բազմանդամը.
.

Լուծում

Փոխադարձ բազմանդամն ունի կենտ աստիճան: Հետևաբար այն ունի արմատ x = - 1 . Բազմանդամը բաժանեք x-ի(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Պատասխանել

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

Կատարենք փոխարինում.

Ամբողջ թվային արմատներով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ
.

Լուծում

Օրինակ 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Գործոնավորեք բազմանդամը.;
Ենթադրենք, որ հավասարումը;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Այսպիսով, մենք գտանք երեք արմատ.
.

Պատասխանել

, x

Ամբողջ թվային արմատներով բազմանդամների ֆակտորինգի օրինակներ
.

Լուծում

Օրինակ 3.1

Քանի որ սկզբնական բազմանդամը երրորդ աստիճանի է, այն չունի ավելի քան երեք արմատ։ Քանի որ մենք գտանք երեք արմատ, դրանք պարզ են: Հետո 2 Օրինակ 3.2
-2, -1, 1, 2 .
ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ: Ապա դա թվի բաժանարար է
(անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը. 6 ;
Մենք հերթով փոխարինում ենք այս արժեքները. 0 ;
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 Օրինակ 3.2
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Եթե ​​ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի ամբողջ թվային արմատ, ապա այն թվի բաժանարար է 2 = -1 Փոխարինենք x =
.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ այլ արմատ x 2 + 2 = 0 .

Հնարավոր կլիներ, ինչպես նախորդ դեպքում, բազմանդամը բաժանել , բայց մենք կխմբավորենք տերմինները.

Քանի որ x հավասարումը

չունի իրական արմատներ, ապա բազմանդամի ֆակտորիզացիան ունի ձևը.

Գտնենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը: Օգտագործելով վերը նշված հավասարման արմատների բանաձևերը (59.8)՝ մենք ստանում ենք (առաջին հավասարությունն ակնհայտ է, երկրորդը ստացվում է պարզ հաշվարկից հետո, որն ընթերցողն ինքնուրույն կիրականացնի. հարմար է օգտագործել երկու թվերի գումարը նրանց տարբերությամբ բազմապատկելու բանաձևը)։Ապացուցված է հետեւյալը

Վիետայի թեորեմա. Տրված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը հավասար է երկրորդ c գործակցին

հակառակ նշան

, և դրանց արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։

Չկրճատված քառակուսի հավասարման դեպքում (60.1) բանաձևի արտահայտությունները պետք է փոխարինել (60.1) բանաձևերով և ստանալ ձևը.

Օրինակ 1. Կազմե՛ք քառակուսի հավասարում, օգտագործելով դրա արմատները.

Լուծում, ա) Գտնում ենք, որ հավասարումն ունի ձև

Օրինակ 2. Գտե՛ք հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը՝ առանց բուն հավասարումը լուծելու:

Լուծում. Հայտնի են արմատների գումարն ու արտադրյալը։ Ներկայացնենք քառակուսի արմատների գումարը ձևով

և մենք ստանում ենք

Վիետայի բանաձեւերից հեշտ է ստանալ բանաձեւը

ինչը մենք պետք է ստանայինք:

Վիետայի բանաձևերի վերոնշյալ ածանցումը ընթերցողին ծանոթ է հանրահաշվի դասընթացից ավագ դպրոց. Մեկ այլ եզրակացություն կարելի է տալ՝ օգտագործելով Բեզութի թեորեմը և բազմանդամի գործոնացումը (պարագրաֆներ 51, 52):

Թող հավասարման արմատները լինեն ընդհանուր կանոն(52.2) հավասարման ձախ կողմի եռանկյունը գործոնացված է.

Բացելով այս նույնական հավասարության աջ կողմի փակագծերը՝ ստանում ենք

և նույն հզորությունների գործակիցները համեմատելը մեզ կտա Վիետայի բանաձևը (60.1):

Այս ածանցման առավելությունն այն է, որ այն կարող է կիրառվել նաև հավասարումների վրա ավելի բարձր աստիճաններհավասարման գործակիցների արտահայտություններ ստանալու համար նրա արմատների միջոցով (առանց ինքնին արմատները գտնելու): Օրինակ, եթե տրված խորանարդ հավասարման արմատները

էությունն այն է, որ ըստ հավասարության (52.2) գտնում ենք

(մեր դեպքում, բացելով հավասարության աջ կողմի փակագծերը և հավաքելով գործակիցները տարբեր աստիճաններում, մենք ստանում ենք.

Աշխարհը ընկղմված է հսկայական թվով թվերի մեջ։ Ցանկացած հաշվարկ տեղի է ունենում նրանց օգնությամբ:

Մարդիկ սովորում են թվեր, որպեսզի հետագայում չխաբվեն։ Կրթվելու և սեփական բյուջեն պարզելու համար հսկայական ժամանակ է պահանջվում:

Մաթեմատիկան ճշգրիտ գիտություն է, որը մեծ դեր է խաղում կյանքում։ Դպրոցում երեխաները սովորում են թվեր, իսկ հետո՝ գործողություններ դրանց վրա։

Թվերի վրա կատարվող գործողությունները բոլորովին տարբեր են՝ բազմապատկում, ընդլայնում, գումարում և այլն։ Բացի պարզ բանաձևերից, մաթեմատիկայի ուսումնասիրության ժամանակ օգտագործվում են նաև ավելի բարդ գործողություններ։ Կան հսկայական թվով բանաձևեր, որոնք կարող են օգտագործվել ցանկացած արժեք պարզելու համար:

Դպրոցում, հենց որ հանրահաշիվը հայտնվում է, պարզեցման բանաձևերը ավելացվում են աշակերտի կյանքում: Կան հավասարումներ, որտեղ կան երկու անհայտ թվեր, բայց գտե՛ք պարզ ձևովդա չի աշխատի: Եռանկյունը երեք միանդամների համակցություն է՝ օգտագործելով հանման և գումարման պարզ եղանակը: Եռանկյունը լուծվում է Վիետայի թեորեմի և դիսկրիմինանտի միջոցով։

Քառակուսային եռանկյունի ֆակտորինգի բանաձևը

Կան երկու ճիշտ և պարզ լուծումներօրինակ:

• տարբերակիչ;
• Վիետայի թեորեմա.

Քառակուսի եռանկյունն ունի անհայտ քառակուսի և նաև առանց քառակուսու թիվ: Խնդիրը լուծելու առաջին տարբերակը օգտագործում է Վիետայի բանաձեւը. Դա պարզ բանաձեւ է, եթե անհայտի առաջ կանգնած թվերը կլինեն նվազագույն արժեքը.

Այլ հավասարումների համար, որտեղ թիվն առաջ է անցնում անհայտից, հավասարումը պետք է լուծվի դիսկրիմինանտի միջոցով: Սա ավելի բարդ լուծում է, բայց դիսկրիմինանտն օգտագործվում է շատ ավելի հաճախ, քան Վիետայի թեորեմը:

Սկզբում բոլորը գտնելու համար հավասարման փոփոխականներանհրաժեշտ է օրինակը բարձրացնել 0-ի։ Օրինակի լուծումը կարելի է ստուգել և կարող եք պարզել՝ արդյոք թվերը ճիշտ են ճշգրտված։

Խտրական

1. Հավասարումը պետք է հավասարեցնել 0-ի։

2. X-ից առաջ յուրաքանչյուր թիվ կկոչվի a, b, c թվերը: Քանի որ x առաջին քառակուսուց առաջ թիվ չկա, այն հավասար է 1-ի։

3. Այժմ հավասարման լուծումը սկսվում է դիսկրիմինանտի միջոցով.

4. Այժմ մենք գտել ենք դիսկրիմինատորը և գտնում ենք երկու x: Տարբերությունն այն է, որ մի դեպքում b-ին կնախորդի գումարած, իսկ մյուս դեպքում՝ մինուս.

5. Երկու թվեր լուծելով ստացվեցին -2 և -1: Փոխարինեք սկզբնական հավասարման մեջ.

6. Այս օրինակում պարզվեց երկու ճիշտ ընտրանքներ. Եթե ​​երկու լուծումներն էլ համապատասխանում են, ապա դրանցից յուրաքանչյուրը ճշմարիտ է:

Ավելի բարդ հավասարումներ նույնպես լուծվում են դիսկրիմինանտի միջոցով: Բայց եթե տարբերակիչ արժեքը ինքնին 0-ից փոքր է, ապա օրինակը սխալ է: Որոնելիս դիսկրիմինանտը միշտ արմատի վրա է, իսկ բացասական արժեքը չի կարող արմատում լինել։

Վիետայի թեորեմա

Այն օգտագործվում է հեշտ խնդիրներ լուծելու համար, որտեղ առաջին x-ին մի թիվ չի նախորդում, այսինքն՝ a=1։ Եթե ​​տարբերակը համընկնում է, ապա հաշվարկն իրականացվում է Վիետայի թեորեմի միջոցով:

Ցանկացած եռանկյուն լուծելու համարանհրաժեշտ է հավասարումը հասցնել 0-ի: Դրիմինանտի առաջին քայլերը և Վիետայի թեորեմը չեն տարբերվում:

2. Այժմ սկսվում են երկու մեթոդների տարբերությունները: Վիետայի թեորեմն օգտագործում է ոչ միայն «չոր» հաշվարկ, այլև տրամաբանություն և ինտուիցիա։ Յուրաքանչյուր թիվ ունի իր a, b, c տառերը: Թեորեմն օգտագործում է երկու թվերի գումարը և արտադրյալը:

Հիշիր. b թիվը միշտ հակառակ նշան է ունենում, երբ գումարվում է, բայց c թիվը մնում է անփոփոխ:

Օրինակի տվյալների արժեքների փոխարինում , մենք ստանում ենք.

3. Օգտագործելով տրամաբանության մեթոդը՝ փոխարինում ենք ամենահարմար թվերը։ Դիտարկենք բոլոր հնարավոր լուծումները.

1. Թվերը 1 և 2 են։ Երբ գումարվում ենք, ստանում ենք 3, բայց եթե բազմապատկենք, չենք ստանում 4։ Չի տեղավորվում։
2. Արժեք 2 և -2: Երբ բազմապատկվում է, այն կլինի -4, բայց երբ գումարվում է, ստացվում է 0: Հարմար չէ:
3. 4 և -1 թվեր. Քանի որ բազմապատկումը ներառում է բացասական արժեք, դա նշանակում է, որ թվերից մեկը կունենա մինուս: Հարմար է ավելացնելու և բազմապատկելու համար։ Ճիշտ տարբերակ.

4. Մնում է միայն ստուգել՝ թվերը դնելով և տեսնել, թե արդյոք ընտրված տարբերակը ճիշտ է:

5. Առցանց ստուգման շնորհիվ մենք իմացանք, որ -1-ը չի համապատասխանում օրինակի պայմաններին, հետևաբար սխալ լուծում է:

Օրինակում բացասական արժեք ավելացնելիս պետք է թիվը դնել փակագծերում։

Մաթեմատիկայում միշտ կլինի պարզ առաջադրանքներև բարդ. Գիտությունն ինքնին ներառում է մի շարք խնդիրներ, թեորեմներ և բանաձևեր: Եթե ​​դուք ճիշտ եք հասկանում և կիրառում գիտելիքները, ապա հաշվարկների հետ կապված ցանկացած դժվարություն չնչին կլինի:

Մաթեմատիկան մշտական ​​անգիր չի պահանջում։ Պետք է սովորել հասկանալ լուծումը և սովորել մի քանի բանաձև: Աստիճանաբար, ըստ տրամաբանական եզրակացությունների, հնարավոր է լուծել նմանատիպ խնդիրներ և հավասարումներ։ Նման գիտությունն առաջին հայացքից կարող է շատ դժվար թվալ, բայց եթե մեկը սուզվի թվերի և խնդիրների աշխարհ, ապա տեսակետը կտրուկ կփոխվի. ավելի լավ կողմ.

Տեխնիկական մասնագիտություններմիշտ մնալ աշխարհում ամենապահանջվածը: Հիմա, աշխարհում ժամանակակից տեխնոլոգիաներ, մաթեմատիկան դարձել է ցանկացած ոլորտի անփոխարինելի հատկանիշ։ Մենք պետք է միշտ հիշենք օգտակար հատկություններմաթեմատիկա։

Եռանդամի ընդլայնում փակագծով

Սովորական մեթոդները լուծելուց բացի կա ևս մեկը՝ փակագծերի տարրալուծումը։ Օգտագործվում է Vieta բանաձևի միջոցով:

1. Հավասարեք հավասարումը 0-ի:

կացին 2 +bx+c= 0

2. Հավասարման արմատները մնում են նույնը, բայց զրոյի փոխարեն այժմ օգտագործում են ընդլայնման բանաձևերը փակագծերում:

կացին 2 + bx+ c = a (x – x 1) (x – x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 (x + 1) (x – 3)

4. Լուծում x=-1, x=3

Քառակուսային եռանկյունների ֆակտորինգը դպրոցական առաջադրանքներից մեկն է, որը վաղ թե ուշ բախվում է բոլորին: Ինչպե՞ս դա անել: Ո՞րն է քառակուսի եռանդամի գործակցման բանաձևը: Եկեք քայլ առ քայլ պարզենք՝ օգտագործելով օրինակներ:

Ընդհանուր բանաձև

Քառակուսային եռանդամները գործոնացվում են քառակուսի հավասարում լուծելով: Սա պարզ խնդիր է, որը կարելի է լուծել մի քանի մեթոդներով. Վիետայի թեորեմի միջոցով տարբերակիչ գտնելով, կա նաև գրաֆիկական լուծում։ Առաջին երկու մեթոդներն ուսումնասիրվում են ավագ դպրոցում։

Ընդհանուր բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը.lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Առաջադրանքը կատարելու ալգորիթմ

Քառակուսային եռանդամները գործոնավորելու համար անհրաժեշտ է իմանալ Վիտաի թեորեմը, ձեռքի տակ ունենալ լուծման ծրագիր, կարողանալ լուծում գտնել գրաֆիկորեն կամ փնտրել երկրորդ աստիճանի հավասարման արմատներ՝ օգտագործելով տարբերակիչ բանաձևը: Եթե ​​տրված է քառակուսի եռանկյուն, և այն պետք է գործոնացվի, ապա ալգորիթմը հետևյալն է.

1) Բնօրինակ արտահայտությունը հավասարեցնել զրոյի՝ հավասարում ստանալու համար:

2) Բերել նմանատիպ տերմիններ(եթե նման անհրաժեշտություն կա):

3) Գտեք ցանկացածի արմատները հայտնի ձևով. Գրաֆիկական մեթոդը լավագույնս օգտագործվում է, եթե նախապես հայտնի է, որ արմատները ամբողջ թվեր են և փոքր թվեր: Պետք է հիշել, որ արմատների թիվը հավասար է հավասարման առավելագույն աստիճանին, այսինքն՝ քառակուսի հավասարումն ունի երկու արմատ։

4) փոխարինել արժեքը Xարտահայտության մեջ (1):

5) Գրի՛ր քառակուսի եռանդամների գործոնացումը.

Օրինակներ

Պրակտիկան թույլ է տալիս վերջապես հասկանալ, թե ինչպես է կատարվում այս խնդիրը: Օրինակները ցույց են տալիս քառակուսի եռանդամի ֆակտորիզացիան.

անհրաժեշտ է ընդլայնել արտահայտությունը.

Եկեք դիմենք մեր ալգորիթմին.

1) x 2 -17x+32=0

2) համանման ժամկետները կրճատվում են

3) օգտագործելով Վիետայի բանաձևը, դժվար է արմատներ գտնել այս օրինակի համար, ուստի ավելի լավ է օգտագործել տարբերակիչ արտահայտությունը.

D=289-128=161=(12.69) 2

4) Մեր գտած արմատները փոխարինենք տարրալուծման հիմնական բանաձևով.

(x-2.155) * (x-14.845)

5) Այնուհետև պատասխանը կլինի հետևյալը.

x 2 -17x+32=(x-2.155)(x-14.845)

Եկեք ստուգենք, թե արդյոք դիսկրիմինատորի գտած լուծումները համապատասխանում են Վիետայի բանաձևերին.

14,845 . 2,155=32

Այս արմատների համար կիրառվում է Վիետայի թեորեմը, դրանք ճիշտ են գտնվել, ինչը նշանակում է, որ մեր ստացած ֆակտորիզացիան նույնպես ճիշտ է։

Նմանապես, մենք ընդլայնում ենք 12x 2 + 7x-6:

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337)1/2

Նախորդ դեպքում լուծումները ոչ ամբողջ թվային, այլ իրական թվեր էին, որոնք հեշտ է գտնել, եթե ձեր առջեւ հաշվիչը ունեք։ Այժմ նայենք ավելի բարդ օրինակին, որտեղ արմատները բարդ կլինեն՝ գործակից x 2 + 4x + 9: Օգտագործելով Վիետայի բանաձևը, արմատները հնարավոր չէ գտնել, իսկ դիսկրիմինանտը բացասական է: Արմատները կլինեն բարդ հարթության վրա:

D=-20

Դրա հիման վրա մենք ստանում ենք մեզ հետաքրքրող արմատները -4+2i*5 1/2 և -4-2i * 5 1/2 քանի որ (-20) 1/2 = 2i*5 1/2 .

Մենք ստանում ենք ցանկալի տարրալուծում, արմատները փոխարինելով ընդհանուր բանաձևով:

Մեկ այլ օրինակ՝ պետք է գործոնավորել 23x 2 -14x+7 արտահայտությունը:

Մենք ունենք հավասարումը 23x 2 -14x+7 =0

D=-448

Սա նշանակում է, որ արմատները 14+21.166i են և 14-21.166i. Պատասխանը կլինի.

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(X- 14+21,166i ).

Բերենք մի օրինակ, որը կարելի է լուծել առանց խտրականի օգնության։

Ենթադրենք, մենք պետք է ընդլայնենք քառակուսի հավասարումը x 2 -32x+255: Ակնհայտ է, որ այն կարող է լուծվել նաև տարբերակիչի միջոցով, բայց այն ավելի արագ է գործում այս դեպքումվերցնել արմատները.

x 1 = 15

x 2 =17

Միջոցներ x 2 -32x+255 =(x-15) (x-17).