Շարունակելով «Հավասարումների լուծում» թեման՝ այս հոդվածի նյութը ձեզ կծանոթացնի քառակուսի հավասարումների:

Եկեք մանրամասն քննարկենք ամեն ինչ՝ քառակուսի հավասարման էությունն ու գրանցումը, սահմանենք հարակից տերմինները, վերլուծենք թերի լուծման սխեման և ամբողջական հավասարումներ, կծանոթանանք արմատների եւ դիսկրիմինանտի բանաձեւին, կապեր կհաստատենք արմատների ու գործակիցների միջեւ, եւ իհարկե գործնական օրինակներին տեսողական լուծում կտանք։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Քառակուսային հավասարումը, դրա տեսակները

Քառակուսային հավասարումհավասարում է, որը գրված է այսպես a x 2 + b x + c = 0, Որտեղ x– փոփոխական, a , b և գ– որոշ թվեր, մինչդեռ ազրո չէ.

Հաճախակի քառակուսի հավասարումներկոչվում են նաև երկրորդ աստիճանի հավասարումներ, քանի որ ըստ էության քառակուսի հավասարումը երկրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում է։

Լուսաբանելու համար բերենք օրինակ տրված սահմանումը 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 և այլն: Սրանք քառակուսի հավասարումներ են:

Սահմանում 2

a, b և թվեր գքառակուսի հավասարման գործակիցներն են a x 2 + b x + c = 0, մինչդեռ գործակիցը ակոչվում է առաջին, կամ ավագ, կամ գործակից x 2, b - երկրորդ գործակիցը, կամ գործակիցը ժամը x, Ա գկոչվում է ազատ անդամ:

Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ 6 x 2 − 2 x − 11 = 0առաջատար գործակիցը 6 է, երկրորդը՝ 6 − 2 , իսկ ազատ ժամկետը հավասար է − 11 . Ուշադրություն դարձնենք, որ երբ գործակիցները բև/կամ c-ն բացասական են, ապա օգտագործեք կարճ ձևգրառումներ, ինչպիսիք են 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ոչ 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Պարզաբանենք նաև այս ասպեկտը՝ եթե գործակիցները աև/կամ բհավասար 1 կամ − 1 , ապա նրանք կարող են բացահայտորեն չմասնակցել քառակուսի հավասարումը գրելուն, ինչը բացատրվում է նշված թվային գործակիցները գրելու առանձնահատկություններով։ Օրինակ, քառակուսի հավասարման մեջ y 2 − y + 7 = 0առաջատար գործակիցը 1 է, իսկ երկրորդը՝ 1 − 1 .

Կրճատված և չկրճատված քառակուսի հավասարումներ

Ելնելով առաջին գործակցի արժեքից՝ քառակուսի հավասարումները բաժանվում են կրճատվածների և չկրճատվածների։

Սահմանում 3

Կրճատված քառակուսի հավասարումքառակուսային հավասարում է, որտեղ առաջատար գործակիցը 1 է: Առաջատար գործակիցի այլ արժեքների համար քառակուսի հավասարումը չկրճատված է:

Բերենք օրինակներ՝ կրճատվում են x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 քառակուսի հավասարումները, որոնցից յուրաքանչյուրում առաջատար գործակիցը 1 է։

9 x 2 − x − 2 = 0- չկրճատված քառակուսի հավասարում, որտեղ առաջին գործակիցը տարբերվում է 1 .

Ցանկացած չկրճատված քառակուսի հավասարում կարող է վերածվել կրճատված հավասարման՝ երկու կողմերը բաժանելով առաջին գործակցի վրա (համարժեք փոխակերպում): Փոխակերպված հավասարումը կունենա նույն արմատները, ինչ տրված չկրճատված հավասարումը կամ նույնպես ընդհանրապես արմատներ չի ունենա։

Կոնկրետ օրինակի դիտարկումը թույլ կտա մեզ հստակ ցույց տալ անցումը չկրճատված քառակուսի հավասարումից դեպի կրճատված:

Օրինակ 1

Տրված է 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 հավասարումը . Անհրաժեշտ է սկզբնական հավասարումը վերածել կրճատված ձևի:

Լուծում

Համաձայն վերը նշված սխեմայի, սկզբնական հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք առաջատար 6 գործակցով։ Այնուհետև մենք ստանում ենք. (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, և սա նույնն է, ինչ. (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0և հետագա՝ (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0:Այստեղից. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0: Այսպիսով ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում։

Պատասխան. x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0:

Ամբողջական և թերի քառակուսի հավասարումներ

Անդրադառնանք քառակուսի հավասարման սահմանմանը: Դրանում մենք նշել ենք, որ a ≠ 0. Նմանատիպ պայման է անհրաժեշտ հավասարման համար a x 2 + b x + c = 0ուղիղ քառակուսի էր, քանի որ ժամը a = 0այն էապես վերածվում է գծային հավասարում b x + c = 0.

Այն դեպքում, երբ գործակիցները բԵվ գհավասար են զրոյի (ինչը հնարավոր է ինչպես առանձին, այնպես էլ համատեղ), քառակուսի հավասարումը կոչվում է թերի։

Սահմանում 4

Անավարտ քառակուսի հավասարում- այսպիսի քառակուսի հավասարում a x 2 + b x + c = 0,որտեղ գործակիցներից առնվազն մեկը բԵվ գ(կամ երկուսն էլ) զրո է:

Ամբողջական քառակուսի հավասարում– քառակուսի հավասարում, որտեղ բոլոր թվային գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Եկեք քննարկենք, թե ինչու են քառակուսի հավասարումների տեսակներին տրված հենց այս անվանումները:

Երբ b = 0, քառակուսի հավասարումը ստանում է ձև a x 2 + 0 x + c = 0, որը նույնն է, ինչ a x 2 + c = 0. ժամը c = 0քառակուսի հավասարումը գրված է այսպես a x 2 + b x + 0 = 0, որը համարժեք է a x 2 + b x = 0. ժամը b = 0Եվ c = 0հավասարումը կընդունի ձևը a x 2 = 0. Մեր ստացած հավասարումները տարբերվում են ամբողջական քառակուսային հավասարումից նրանով, որ դրանց ձախ կողմերը չեն պարունակում ոչ x փոփոխականով անդամ, ոչ ազատ անդամ, ոչ էլ երկուսն էլ: Փաստորեն, այս փաստն անվանել է այս տեսակի հավասարումը` թերի:

Օրինակ, x 2 + 3 x + 4 = 0 և − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ամբողջական քառակուսի հավասարումներ են. x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – անավարտ քառակուսի հավասարումներ:

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում

Վերը տրված սահմանումը հնարավորություն է տալիս տարբերակել թերի քառակուսի հավասարումների հետևյալ տեսակները.

• a x 2 = 0, այս հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին b = 0և c = 0;
• a · x 2 + c = 0 ժամը b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 c = 0-ում:

Եկեք հաջորդաբար դիտարկենք թերի քառակուսի հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի լուծումը:

a x 2 =0 հավասարման լուծում

Ինչպես նշվեց վերևում, այս հավասարումը համապատասխանում է գործակիցներին բԵվ գ, հավասար է զրոյի։ Հավասարում a x 2 = 0կարող է վերածվել համարժեք հավասարման x 2 = 0, որը ստանում ենք սկզբնական հավասարման երկու կողմերը թվի վրա բաժանելով ա, հավասար չէ զրոյի։ Ակնհայտ փաստն այն է, որ հավասարման արմատը x 2 = 0սա զրո է, քանի որ 0 2 = 0 . Այս հավասարումը չունի այլ արմատներ, ինչը կարելի է բացատրել աստիճանի հատկություններով՝ ցանկացած թվի համար p,հավասար չէ զրոյի, անհավասարությունը ճիշտ է p 2 > 0, որից բխում է, որ երբ p ≠ 0հավասարություն p 2 = 0երբեք չի ստացվի:

Սահմանում 5

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարման համար x 2 = 0 կա ​​մեկ արմատ x = 0.

Օրինակ 2

Օրինակ՝ լուծենք թերի քառակուսի հավասարումը - 3 x 2 = 0. Այն համարժեք է հավասարմանը x 2 = 0, նրա միակ արմատն է x = 0, ապա սկզբնական հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ զրո։

Հակիրճ, լուծումը գրված է հետևյալ կերպ.

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0:

Լուծելով a x 2 + c = 0 հավասարումը

Հաջորդը քառակուսի ոչ լրիվ հավասարումների լուծումն է, որտեղ b = 0, c ≠ 0, այսինքն՝ ձևի հավասարումներ. a x 2 + c = 0. Եկեք փոխակերպենք այս հավասարումը` տերմինը հավասարման մի կողմից մյուսը տեղափոխելով, նշանը փոխելով հակառակի և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով մի թվի, որը հավասար չէ զրոյի.

• փոխանցում գդեպի աջ կողմ, որը տալիս է հավասարումը a x 2 = − գ;
• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր ա, մենք վերջանում ենք x = - c a .

Մեր փոխակերպումները համապատասխանաբար համարժեք են, ստացված հավասարումը նույնպես համարժեք է սկզբնականին, և այս փաստը հնարավորություն է տալիս եզրակացություններ անել հավասարման արմատների մասին։ Ինչից են արժեքները աԵվ գ c a արտահայտության արժեքը կախված է. այն կարող է ունենալ մինուս նշան (օրինակ, եթե a = 1Եվ գ = 2, ապա - c a = - 2 1 = - 2) կամ գումարած նշան (օրինակ, եթե a = - 2Եվ գ = 6, ապա - c a = - 6 - 2 = 3); դա զրո չէ, քանի որ գ ≠ 0. Ավելի մանրամասն անդրադառնանք իրավիճակներին, երբ - գ ա< 0 и - c a > 0 .

Այն դեպքում, երբ - գ ա< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа էջ p 2 = - c a հավասարությունը չի կարող ճշմարիտ լինել:

Ամեն ինչ այլ է, երբ - c a > 0. հիշեք քառակուսի արմատը, և ակնհայտ կդառնա, որ x 2 = - c a հավասարման արմատը կլինի - c a թիվը, քանի որ - c a 2 = - c a: Դժվար չէ հասկանալ, որ - - c a թիվը նաև x 2 = - c a հավասարման արմատն է. իսկապես, - - c a 2 = - c a:

Հավասարումն այլ արմատներ չի ունենա։ Մենք կարող ենք դա ցույց տալ՝ օգտագործելով հակասության մեթոդը։ Սկսենք, եկեք սահմանենք վերը նշված արմատների նշումները որպես x 1Եվ - x 1. Ենթադրենք, որ x 2 = - c a հավասարումը նույնպես արմատ ունի x 2, որը տարբերվում է արմատներից x 1Եվ - x 1. Մենք դա գիտենք՝ փոխարինելով հավասարման մեջ xդրա արմատները, մենք հավասարումը վերածում ենք արդար թվային հավասարության:

Համար x 1Եվ - x 1գրում ենք՝ x 1 2 = - c a , և համար x 2- x 2 2 = - գ ա . Ելնելով թվային հավասարումների հատկություններից՝ մենք մեկ ճիշտ հավասարության տերմին առ անդամ հանում ենք մյուսից, որը մեզ կտա. x 1 2 − x 2 2 = 0. Մենք օգտագործում ենք թվերի հետ գործողությունների հատկությունները՝ վերջին հավասարությունը վերագրելու համար որպես (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Հայտնի է, որ երկու թվերի արտադրյալը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե թվերից գոնե մեկը զրո է։ Վերոնշյալից հետևում է, որ x 1 - x 2 = 0և/կամ x 1 + x 2 = 0, որը նույնն է x 2 = x 1և/կամ x 2 = − x 1. Ակնհայտ հակասություն առաջացավ, քանի որ սկզբում համաձայնություն ձեռք բերվեց, որ հավասարման արմատը x 2տարբերվում է x 1Եվ - x 1. Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ հավասարումը չունի այլ արմատներ, քան x = - c a և x = - - c a:

Եկեք ամփոփենք վերը նշված բոլոր փաստարկները:

Սահմանում 6

Անավարտ քառակուսի հավասարում a x 2 + c = 0համարժեք է x 2 = - c a հավասարմանը, որը.

• արմատներ չեն ունենա - գ ա< 0 ;
• կունենա երկու արմատ x = - c a և x = - - c a համար - c a > 0:

Բերենք հավասարումների լուծման օրինակներ a x 2 + c = 0.

Օրինակ 3

Տրվում է քառակուսի հավասարում 9 x 2 + 7 = 0:Պետք է լուծում գտնել։

Լուծում

Ազատ անդամը տեղափոխենք հավասարման աջ կողմը, այնուհետև հավասարումը կստանա իր ձևը 9 x 2 = − 7։
Ստացված հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք 9 , մենք հասնում ենք x 2 = - 7 9: Աջ կողմում տեսնում ենք մինուս նշանով թիվ, որը նշանակում է՝ տրված հավասարումն արմատներ չունի։ Այնուհետև սկզբնական թերի քառակուսի հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չի ունենա.

Պատասխան.հավասարումը 9 x 2 + 7 = 0արմատներ չունի.

Օրինակ 4

Հավասարումը պետք է լուծվի - x 2 + 36 = 0.

Լուծում

36-ը տեղափոխենք աջ կողմ. − x 2 = − 36.
Բաժանենք երկու մասերն էլ − 1 , ստանում ենք x 2 = 36. Աջ կողմում - դրական թիվ, այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ x = 36 կամ x = - 36:
Եկեք հանենք արմատը և գրենք վերջնական արդյունքը՝ ոչ լրիվ քառակուսի հավասարում - x 2 + 36 = 0երկու արմատ ունի x=6կամ x = - 6.

Պատասխան. x=6կամ x = - 6.

a x 2 +b x=0 հավասարման լուծում

Վերլուծենք թերի քառակուսի հավասարումների երրորդ տեսակը, երբ c = 0. Թերի քառակուսի հավասարման լուծում գտնել a x 2 + b x = 0, մենք կօգտագործենք ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք գործոնացնենք այն բազմանդամը, որը գտնվում է հավասարման ձախ կողմում՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը. x. Այս քայլը հնարավորություն կտա վերափոխել սկզբնական թերի քառակուսային հավասարումը իր համարժեքի x (a x + b) = 0. Եվ այս հավասարումն իր հերթին համարժեք է մի շարք հավասարումների x = 0Եվ a x + b = 0. Հավասարում a x + b = 0գծային, և դրա արմատը. x = − b ա.

Սահմանում 7

Այսպիսով, թերի քառակուսի հավասարումը a x 2 + b x = 0երկու արմատ կունենա x = 0Եվ x = − b ա.

Օրինակով ամրապնդենք նյութը.

Օրինակ 5

Անհրաժեշտ է գտնել 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 հավասարման լուծումը:

Լուծում

Մենք այն կհանենք xփակագծերից դուրս ստանում ենք x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 հավասարումը: Այս հավասարումը համարժեք է հավասարումների x = 0և 2 3 x - 2 2 7 = 0: Այժմ դուք պետք է լուծեք ստացված գծային հավասարումը. 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3:

Հակիրճ գրեք հավասարման լուծումը հետևյալ կերպ.

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 կամ x = 3 3 7

Պատասխան. x = 0, x = 3 3 7.

Խտրական, քառակուսի հավասարման արմատների բանաձև

Քառակուսային հավասարումների լուծումներ գտնելու համար կա արմատային բանաձև.

Սահմանում 8

x = - b ± D 2 · a, որտեղ D = b 2 − 4 a գ– այսպես կոչված, քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտ:

x = - b ± D 2 · a գրելը ըստ էության նշանակում է, որ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Օգտակար կլիներ հասկանալ, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը և ինչպես կիրառել այն:

Քառակուսային հավասարման արմատների բանաձևի ստացում

Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարման խնդիրը a x 2 + b x + c = 0. Եկեք կատարենք մի շարք համարժեք փոխակերպումներ.

• հավասարման երկու կողմերը բաժանիր թվի ա, տարբերվում է զրոյից, ստանում ենք հետևյալ քառակուսի հավասարումը. x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Եկեք ընտրենք ստացված հավասարման ձախ կողմում գտնվող ամբողջական քառակուսին.
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + գ ա
  Դրանից հետո հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Այժմ հնարավոր է վերջին երկու անդամները տեղափոխել աջ կողմ՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա, որից հետո ստանում ենք՝ x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Վերջապես, մենք վերափոխում ենք վերջին հավասարության աջ կողմում գրված արտահայտությունը.
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Այսպիսով, մենք հասնում ենք x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարմանը, որը համարժեք է սկզբնական հավասարմանը. a x 2 + b x + c = 0.

Նման հավասարումների լուծումը մենք ուսումնասիրել ենք նախորդ պարբերություններում (ոչ լրիվ քառակուսի հավասարումների լուծում): Արդեն ձեռք բերված փորձը թույլ է տալիս եզրակացություն անել x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարման արմատների վերաբերյալ.

• b 2 - 4 a c 4 a 2-ով< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• երբ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 հավասարումը x + b 2 · a 2 = 0 է, ապա x + b 2 · a = 0:

Այստեղից ակնհայտ է միակ արմատը x = - b 2 · a;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, հետևյալը ճիշտ կլինի. x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 կամ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , որը նույնն է x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 կամ x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , այսինքն. հավասարումը երկու արմատ ունի.

Կարելի է եզրակացնել, որ x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (և հետևաբար սկզբնական հավասարումը) հավասարման արմատների առկայությունը կամ բացակայությունը կախված է b արտահայտության նշանից. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 գրված է աջ կողմում: Եվ այս արտահայտության նշանը տրվում է համարիչի նշանով, (հայտարար 4 ա 2միշտ դրական կլինի), այսինքն՝ արտահայտության նշանը բ 2 − 4 ա գ. Այս արտահայտությունը բ 2 − 4 ա գանունը տրված է - քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը և D տառը սահմանվում է որպես դրա նշանակում: Այստեղ դուք կարող եք գրել տարբերակիչի էությունը՝ ելնելով դրա արժեքից և նշանից, նրանք կարող են եզրակացնել, թե արդյոք քառակուսի հավասարումը կունենա իրական արմատներ, և եթե այո, ապա որքան է արմատների թիվը՝ մեկ կամ երկու:

Վերադառնանք x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 հավասարմանը: Եկեք այն վերագրենք՝ օգտագործելով տարբերակիչ նշում՝ x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 :

Եկեք կրկին ձևակերպենք մեր եզրակացությունները.

Սահմանում 9

• ժամը Դ< 0 հավասարումը չունի իրական արմատներ.
• ժամը D=0հավասարումն ունի մեկ արմատ x = - b 2 · a ;
• ժամը D > 0հավասարումն ունի երկու արմատ՝ x = - b 2 · a + D 4 · a 2 կամ x = - b 2 · a - D 4 · a 2: Ռադիկալների հատկությունների հիման վրա այս արմատները կարող են գրվել x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a: Եվ, երբ բացում ենք մոդուլները և կոտորակները բերում ընդհանուր հայտարարի, ստանում ենք՝ x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a:

Այսպիսով, մեր հիմնավորման արդյունքը քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևի ստացումն էր.

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, տարբերակիչ Դհաշվարկված բանաձևով D = b 2 − 4 a գ.

Այս բանաձևերը հնարավորություն են տալիս որոշել երկու իրական արմատները, երբ դիսկրիմինատորը զրոյից մեծ է: Երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, երկու բանաձևերի կիրառումը կստանա նույն արմատը, ինչպես միակ լուծումըքառակուսի հավասարում. Այն դեպքում, երբ դիսկրիմինանտը բացասական է, եթե փորձենք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատի բանաձևը, ապա կհանդիպենք հանելու անհրաժեշտության. քառակուսի արմատ-ից բացասական թիվ, որը մեզ կտանի իրական թվերից դուրս։ Բացասական դիսկրիմինանտի դեպքում քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չի ունենա, բայց հնարավոր է մի զույգ բարդ խոնարհված արմատներ, որոնք որոշվում են մեր ստացած նույն արմատային բանաձևերով:

Արմատային բանաձևերի միջոցով քառակուսի հավասարումների լուծման ալգորիթմ

Հնարավոր է լուծել քառակուսի հավասարումը անմիջապես օգտագործելով արմատային բանաձևը, բայց դա սովորաբար արվում է, երբ անհրաժեշտ է գտնել բարդ արմատներ:

Շատ դեպքերում դա սովորաբար նշանակում է քառակուսի հավասարման ոչ թե բարդ, այլ իրական արմատների որոնում: Այնուհետև, նախքան քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը օգտագործելը, օպտիմալ է նախ որոշել դիսկրիմինանտը և համոզվել, որ այն բացասական չէ (հակառակ դեպքում մենք կեզրակացնենք, որ հավասարումը իրական արմատներ չունի), այնուհետև անցնել հաշվարկին. արմատների արժեքը.

Վերոնշյալ պատճառաբանությունը հնարավորություն է տալիս ձևակերպել քառակուսի հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Սահմանում 10

Քառակուսային հավասարում լուծելու համար a x 2 + b x + c = 0, անհրաժեշտ:

• ըստ բանաձևի D = b 2 − 4 a գգտնել տարբերակիչ արժեքը;
• ժամը Դ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0-ի համար գտե՛ք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով x = - b 2 · a ;
• D > 0-ի համար որոշեք քառակուսի հավասարման երկու իրական արմատները՝ օգտագործելով x = - b ± D 2 · a բանաձեւը:

Նկատի ունեցեք, որ երբ դիսկրիմինատորը զրոյական է, կարող եք օգտագործել x = - b ± D 2 · a բանաձեւը, այն կտա նույն արդյունքը, ինչ x = - b 2 · a բանաձեւը:

Եկեք նայենք օրինակներին:

Քառակուսային հավասարումների լուծման օրինակներ

Եկեք լուծում տանք օրինակների համար տարբեր իմաստներխտրական.

Օրինակ 6

Մենք պետք է գտնենք հավասարման արմատները x 2 + 2 x − 6 = 0.

Լուծում

Գրենք քառակուսի հավասարման թվային գործակիցները՝ a = 1, b = 2 և. գ = - 6. Հաջորդը մենք անցնում ենք ալգորիթմի համաձայն, այսինքն. Սկսենք հաշվարկել դիսկրիմինանտը, որի համար կփոխարինենք a, b գործակիցները. Եվ գտարբերակիչ բանաձևի մեջ. D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28:

Այսպիսով, մենք ստանում ենք D > 0, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական հավասարումը կունենա երկու իրական արմատ:
Դրանք գտնելու համար օգտագործում ենք x = - b ± D 2 · a արմատային բանաձևը և, փոխարինելով համապատասխան արժեքները, ստանում ենք՝ x = - 2 ± 28 2 · 1: Եկեք պարզեցնենք ստացված արտահայտությունը՝ հանելով գործոնը արմատային նշանից և այնուհետև կրճատելով կոտորակը.

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 կամ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 կամ x = - 1 - 7

Պատասխան. x = - 1 + 7, x = - 1 - 7:

Օրինակ 7

Պետք է լուծել քառակուսի հավասարումը − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Լուծում

Սահմանենք դիսկրիմինատորը. D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Խտրականի այս արժեքով սկզբնական հավասարումը կունենա միայն մեկ արմատ, որը որոշվում է x = - b 2 · a բանաձևով:

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

Պատասխան. x = 3,5.

Օրինակ 8

Հավասարումը պետք է լուծվի 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Լուծում

Այս հավասարման թվային գործակիցները կլինեն՝ a = 5, b = 6 և c = 2: Մենք օգտագործում ենք այս արժեքները տարբերակիչը գտնելու համար՝ D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4: Հաշվարկված դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի սկզբնական քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ չունի:

Այն դեպքում, երբ խնդիրը բարդ արմատներ նշելն է, մենք կիրառում ենք արմատային բանաձևը՝ կատարելով բարդ թվերով գործողություններ.

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 կամ x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i կամ x = - 3 5 - 1 5 · i.

Պատասխան.իրական արմատներ չկան. բարդ արմատները հետևյալն են՝ - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN դպրոցական ծրագիրԲարդ արմատներ փնտրելու ստանդարտ պահանջ չկա, հետևաբար, եթե լուծման ժամանակ որոշվում է, որ դիսկրիմինանտը բացասական է, պատասխանը անմիջապես գրվում է, որ իրական արմատներ չկան:

Արմատային բանաձև նույնիսկ երկրորդ գործակիցների համար

x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) արմատային բանաձևը հնարավորություն է տալիս ստանալ մեկ այլ բանաձև, ավելի կոմպակտ, որը թույլ է տալիս գտնել քառակուսի հավասարումների լուծումներ x-ի համար հավասար գործակցով ( կամ 2 · n ձևի գործակցով, օրինակ՝ 2 3 կամ 14 ln 5 = 2 7 ln 5): Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է ստացվել այս բանաձևը:

Մեզ առջևում է a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 քառակուսի հավասարման լուծումը: Մենք շարժվում ենք ըստ ալգորիթմի. մենք որոշում ենք տարբերակիչ D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), այնուհետև օգտագործում ենք արմատային բանաձևը.

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Թող n 2 − a · c արտահայտությունը նշանակվի որպես D 1 (երբեմն այն նշանակվում է D "): Այնուհետև դիտարկվող քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը երկրորդ 2 · n գործակցով կունենա հետևյալ ձևը.

x = - n ± D 1 a, որտեղ D 1 = n 2 − a · c.

Հեշտ է տեսնել, որ D = 4 · D 1, կամ D 1 = D 4: Այսինքն՝ D 1-ը խտրականի քառորդն է։ Ակնհայտ է, որ D 1 նշանը նույնն է, ինչ D նշանը, ինչը նշանակում է, որ D 1 նշանը կարող է նաև ծառայել որպես քառակուսի հավասարման արմատների առկայության կամ բացակայության ցուցիչ:

Սահմանում 11

Այսպիսով, 2 n երկրորդ գործակցով քառակուսի հավասարման լուծում գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• գտնել D 1 = n 2 − a · c ;
• Դ 1 հասցեում< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• երբ D 1 = 0, որոշեք հավասարման միակ արմատը՝ օգտագործելով x = - n a բանաձեւը;
• D 1 > 0-ի համար որոշեք երկու իրական արմատներ՝ օգտագործելով x = - n ± D 1 a բանաձեւը:

Օրինակ 9

Անհրաժեշտ է լուծել 5 x 2 − 6 x − 32 = 0 քառակուսային հավասարումը։

Լուծում

Տրված հավասարման երկրորդ գործակիցը կարող ենք ներկայացնել որպես 2 · (− 3) ։ Այնուհետև տրված քառակուսային հավասարումը վերագրում ենք 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, որտեղ a = 5, n = − 3 և c = − 32։

Հաշվենք դիսկրիմինանտի չորրորդ մասը՝ D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169։ Ստացված արժեքը դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ: Եկեք որոշենք դրանք՝ օգտագործելով համապատասխան արմատային բանաձևը.

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 կամ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 կամ x = - 2

Հնարավոր կլիներ հաշվարկներ կատարել՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների սովորական բանաձևը, սակայն այս դեպքում լուծումն ավելի դժվար կլիներ։

Պատասխան. x = 3 1 5 կամ x = - 2:

Քառակուսային հավասարումների ձևի պարզեցում

Երբեմն հնարավոր է լինում օպտիմալացնել սկզբնական հավասարման ձևը, ինչը կհեշտացնի արմատների հաշվարկման գործընթացը։

Օրինակ, քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 ակնհայտորեն ավելի հարմար է լուծելու, քան 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0:

Ավելի հաճախ քառակուսի հավասարման ձևի պարզեցումն իրականացվում է դրա երկու կողմերը որոշակի թվով բազմապատկելով կամ բաժանելով։ Օրինակ, վերևում մենք ցույց տվեցինք 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 հավասարման պարզեցված պատկերը, որը ստացվեց երկու կողմերը 100-ի բաժանելով։

Նման փոխակերպումը հնարավոր է, երբ քառակուսի հավասարման գործակիցները փոխադարձ չեն պարզ թվեր. Այնուհետև մենք սովորաբար հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք ամենամեծի վրա ընդհանուր բաժանարար բացարձակ արժեքներդրա գործակիցները։

Որպես օրինակ՝ մենք օգտագործում ենք քառակուսի հավասարումը 12 x 2 − 42 x + 48 = 0: Եկեք որոշենք նրա գործակիցների բացարձակ արժեքների GCD-ն՝ GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6: Եկեք բաժանենք սկզբնական քառակուսային հավասարման երկու կողմերը 6-ի և ստացենք համարժեք քառակուսի հավասարումը 2 x 2 − 7 x + 8 = 0:

Քառակուսային հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով՝ սովորաբար ձերբազատվում եք կոտորակային գործակիցներից։ Այս դեպքում նրանք բազմապատկվում են նրա գործակիցների հայտարարների ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկով։ Օրինակ, եթե 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 քառակուսի հավասարման յուրաքանչյուր մասը բազմապատկվի LCM (6, 3, 1) = 6-ով, ապա այն կգրվի ավելի. պարզ ձևով x 2 + 4 x − 18 = 0:

Ի վերջո, մենք նշում ենք, որ մենք գրեթե միշտ ազատվում ենք քառակուսի հավասարման առաջին գործակցի մինուսից՝ փոխելով հավասարման յուրաքանչյուր անդամի նշանները, ինչը ձեռք է բերվում երկու կողմերը − 1-ով բազմապատկելով (կամ բաժանելով): Օրինակ՝ − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 քառակուսի հավասարումից կարող եք անցնել դրա պարզեցված տարբերակին՝ 2 x 2 + 3 x − 7 = 0։

Արմատների և գործակիցների կապը

Մեզ արդեն հայտնի քառակուսի հավասարումների արմատների բանաձեւը՝ x = - b ± D 2 · a, արտահայտում է հավասարման արմատները նրա թվային գործակիցների միջոցով։ Այս բանաձևի հիման վրա մենք հնարավորություն ունենք նշելու այլ կախվածություններ արմատների և գործակիցների միջև:

Ամենահայտնի և կիրառելի բանաձևերը Վիետայի թեորեմն են.

x 1 + x 2 = - b a և x 2 = c a.

Մասնավորապես, տրված քառակուսային հավասարման համար արմատների գումարը երկրորդ գործակիցն է հակառակ նշան, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Օրինակ՝ նայելով 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 քառակուսի հավասարման ձևին, կարելի է անմիջապես որոշել, որ դրա արմատների գումարը 7 3 է, իսկ արմատների արտադրյալը՝ 22 3։

Կարող եք նաև գտնել մի շարք այլ կապեր քառակուսի հավասարման արմատների և գործակիցների միջև: Օրինակ, քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը կարող է արտահայտվել գործակիցներով.

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Անավարտ քառակուսի հավասարումը տարբերվում է դասական (ամբողջական) հավասարումներից նրանով, որ դրա գործակիցները կամ ազատ անդամը հավասար են զրոյի։ Նման ֆունկցիաների գրաֆիկները պարաբոլներ են։ Կախված ընդհանուր տեսքից՝ դրանք բաժանվում են 3 խմբի. Բոլոր տեսակի հավասարումների լուծման սկզբունքները նույնն են։

Ոչ ամբողջական բազմանդամի տեսակը որոշելու հարցում բարդ բան չկա։ Ավելի լավ է դիտարկել հիմնական տարբերությունները՝ օգտագործելով տեսողական օրինակներ.

1. Եթե ​​b = 0, ապա հավասարումը ax 2 + c = 0 է:
2. Եթե ​​c = 0, ապա պետք է լուծվի ax 2 + bx = 0 արտահայտությունը:
3. Եթե ​​b = 0 և c = 0, ապա բազմանդամը վերածվում է հավասարության, ինչպիսին է կացինը 2 = 0:

Վերջին դեպքն ավելի շատ տեսական հնարավորություն է և երբեք չի լինում գիտելիքների ստուգման առաջադրանքներում, քանի որ x փոփոխականի միակ ճիշտ արժեքը արտահայտության մեջ զրո է: Հետագայում կդիտարկվեն 1) և 2) տեսակների թերի քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ և օրինակներ։

Փոփոխականների և լուծումներով օրինակների որոնման ընդհանուր ալգորիթմ

Անկախ հավասարման տեսակից, լուծման ալգորիթմը կրճատվում է հետևյալ քայլերով.

1. Կրճատել արտահայտությունը արմատներ գտնելու համար հարմար ձևի:
2. Կատարել հաշվարկներ.
3. Պատասխանը գրի՛ր։

Անավարտ հավասարումները լուծելու ամենահեշտ ձևը դրանք գործոնավորելն է ձախ կողմըիսկ աջ կողմում թողնելով զրո: Այսպիսով, արմատներ գտնելու թերի քառակուսային հավասարման բանաձևը կրճատվում է մինչև x-ի արժեքը յուրաքանչյուր գործոնի համար:

Դուք կարող եք միայն սովորել, թե ինչպես լուծել այն գործնականում, ուստի եկեք քննարկենք կոնկրետ օրինակգտնել ոչ լրիվ հավասարման արմատները.

Ինչպես երևում է, ներս այս դեպքում b = 0. Եկեք գործոնացնենք ձախ կողմը և ստացենք արտահայտությունը.

4 (x – 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0:

Ակնհայտ է, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: x1 = 0,5 և (կամ) x2 = -0,5 փոփոխականի արժեքները համապատասխանում են նմանատիպ պահանջներին:

Որպեսզի հեշտությամբ և արագ հաղթահարել տարրալուծման խնդիրը քառակուսի եռանկյունգործոնների մեջ հիշեք հետևյալ բանաձևը.

Եթե ​​արտահայտության մեջ չկա ազատ տերմին, խնդիրը մեծապես պարզեցվում է։ Բավական կլինի միայն գտնել և փակագծել ընդհանուր հայտարար. Պարզության համար դիտարկենք օրինակ, թե ինչպես կարելի է լուծել ax2 + bx = 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարումները:

Փակագծերից հանենք x փոփոխականը և ստացվի հետևյալ արտահայտությունը.

x ⋅ (x + 3) = 0:

Տրամաբանությամբ առաջնորդվելով՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ x1 = 0, իսկ x2 = -3:

Ավանդական լուծման մեթոդ և թերի քառակուսի հավասարումներ

Ի՞նչ կլինի, եթե կիրառեք տարբերակիչ բանաձևը և փորձեք գտնել զրոյի հավասար գործակից ունեցող բազմանդամի արմատները: Օրինակ բերենք հավաքածուից բնորոշ առաջադրանքներ 2017 թվականի մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության համար մենք այն կլուծենք ստանդարտ բանաձևերի և ֆակտորացման մեթոդի միջոցով:

7x 2 – 3x = 0:

Հաշվենք դիսկրիմինանտ արժեքը՝ D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Ստացվում է, որ բազմանդամն ունի երկու արմատ.

Հիմա լուծենք հավասարումը ֆակտորինգով և համեմատենք արդյունքները։

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Ինչպես տեսնում եք, երկու մեթոդներն էլ տալիս են նույն արդյունքը, բայց երկրորդ մեթոդով հավասարումը լուծելը շատ ավելի հեշտ և արագ էր։

Վիետայի թեորեմա

Բայց ի՞նչ անել Վիետայի սիրելի թեորեմի հետ: Կարո՞ղ է այս մեթոդը կիրառել, երբ եռանկյունը թերի է: Փորձենք հասկանալ թերի հավասարումները բերելու ասպեկտները դասական տեսք ax2 + bx + c = 0:

Փաստորեն, այս դեպքում հնարավոր է կիրառել Վիետայի թեորեմը։ Պետք է միայն արտահայտությունը բերել իր ընդհանուր ձևին՝ բաց թողնված անդամները փոխարինելով զրոյով։

Օրինակ, b = 0 և a = 1-ով, շփոթության հավանականությունը վերացնելու համար առաջադրանքը պետք է գրել ax2 + 0 + c = 0 ձևով: Այնուհետև պետք է սահմանվի արմատների գումարի և արտադրյալի հարաբերակցությունը և Բազմանդամի գործակիցները կարող են արտահայտվել հետևյալ կերպ.

Տեսական հաշվարկները օգնում են ծանոթանալ հարցի էությանը և լուծելիս միշտ գործնական հմտություններ են պահանջում. կոնկրետ առաջադրանքներ. Եկեք կրկին դիմենք միասնական պետական ​​քննության ստանդարտ առաջադրանքների տեղեկատուին և գտնենք համապատասխան օրինակ.

Եկեք գրենք արտահայտությունը Վիետայի թեորեմը կիրառելու համար հարմար ձևով.

x 2 + 0 – 16 = 0:

Հաջորդ քայլը պայմանների համակարգի ստեղծումն է.

Ակնհայտ է, որ քառակուսի բազմանդամի արմատները կլինեն x 1 = 4 և x 2 = -4:

Հիմա եկեք պրակտիկան տանք հավասարումը իր ընդհանուր ձևին: Վերցնենք հետևյալ օրինակը՝ 1/4× x 2 – 1 = 0

Վիետայի թեորեմը արտահայտության վրա կիրառելու համար անհրաժեշտ է ազատվել կոտորակից։ Եկեք ձախ և աջ կողմերը բազմապատկենք 4-ով և նայենք արդյունքին. x2– 4 = 0: Ստացված հավասարությունը պատրաստ է լուծելու Վիետայի թեորեմով, բայց շատ ավելի հեշտ և արագ է պատասխանը ստանալ՝ պարզապես շարժելով c=. 4 հավասարման աջ կողմում՝ x2 = 4:

Ամփոփելու համար պետք է ասել, որ լավագույն միջոցըթերի հավասարումների լուծումը ֆակտորիզացիա է, ամենապարզն է և արագ մեթոդ. Եթե ​​դժվարություններ առաջանան արմատների որոնման գործընթացում, կարող եք կապ հաստատել ավանդական մեթոդարմատներ գտնելը տարբերակիչի միջոցով:

Եկեք աշխատենք հետ քառակուսի հավասարումներ. Սրանք շատ տարածված հավասարումներ են: Ի շատ ընդհանուր տեսարանքառակուսի հավասարումն այսպիսի տեսք ունի.

Օրինակ՝

Այստեղ Ա =1; բ = 3; գ = -4

Այստեղ Ա =2; բ = -0,5; գ = 2,2

Այստեղ Ա =-3; բ = 6; գ = -18

Դե հասկանում ես...

Ինչպե՞ս լուծել քառակուսի հավասարումներ:Եթե ​​այս տեսքով քառակուսի հավասարում ունեք, ապա ամեն ինչ պարզ է։ Հիշենք կախարդական բառ խտրական . Հազվադեպ է, որ ավագ դպրոցի աշակերտը չի լսել այս բառը: «Մենք լուծում ենք խտրականի միջոցով» արտահայտությունը վստահություն և վստահություն է ներշնչում: Որովհետև խտրականից հնարքներ սպասել պետք չէ։ Այն պարզ է և անփորձանք օգտագործելու համար: Այսպիսով, քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը հետևյալն է.

Արմատի նշանի տակ արտահայտությունը մեկն է խտրական. Ինչպես տեսնում եք, X-ը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք միայն a, b և c. Նրանք. գործակիցներ քառակուսի հավասարումից. Պարզապես զգուշորեն փոխարինեք արժեքները ա, բ և գՍա այն բանաձևն է, որը մենք հաշվարկում ենք: Եկեք փոխարինենք ձեր սեփական նշաններով! Օրինակ, առաջին հավասարման համար Ա =1; բ = 3; գ= -4. Այստեղ մենք գրում ենք այն.

Օրինակը գրեթե լուծված է.

վերջ։

Ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր այս բանաձևն օգտագործելիս: Միայն երեք դեպք կա.

1. Խտրականը դրական է. Սա նշանակում է, որ արմատը կարելի է հանել դրանից: Արմատը լավ է արդյունահանվում, թե վատ, այլ հարց է: Կարեւորն այն է, թե ինչ է արդյունահանվում սկզբունքորեն։ Այսպիսով, ձեր քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի: Երկու տարբեր լուծումներ.

2. Խտրականը զրո է: Ապա դուք ունեք մեկ լուծում. Խիստ ասած, սա ոչ թե մեկ արմատ է, այլ երկու նույնական. Բայց սա դեր է խաղում անհավասարությունների մեջ, որտեղ ավելի մանրամասն կուսումնասիրենք հարցը։

3. Խտրականը բացասական է. Բացասական թվի քառակուսի արմատը չի կարելի վերցնել: Ահ լավ. Սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան։

Դա շատ պարզ է. Եվ ի՞նչ, կարծում եք, որ անհնար է սխալվել: Դե, այո, ինչպես ...
Ամենատարածված սխալները նշանների արժեքների հետ շփոթությունն են ա, բ և գ. Ավելի ճիշտ, ոչ թե իրենց նշաններով (որտե՞ղ շփոթել), այլ բացասական արժեքների փոխարինմամբ արմատները հաշվարկելու բանաձևով: Այստեղ օգնում է բանաձևի մանրամասն ձայնագրությունը կոնկրետ թվերով: Եթե ​​հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ կան, արա դա!

Ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ օրինակը.

Այստեղ a = -6; b = -5; c = -1

Ենթադրենք, դուք գիտեք, որ հազվադեպ եք պատասխաններ ստանում առաջին անգամ:

Դե, մի ծուլացեք: Լրացուցիչ տող գրելու համար կպահանջվի մոտ 30 վայրկյան և սխալների քանակը կտրուկ կնվազի. Այսպիսով, մենք մանրամասն գրում ենք բոլոր փակագծերով և նշաններով.

Թվում է, թե աներևակայելի դժվար է այդքան ուշադիր գրել: Բայց դա միայն թվում է: Փորձեք այն: Դե, կամ ընտրեք: Ինչն է ավելի լավ, արագ, թե ճիշտ: Բացի այդ, ես ձեզ կուրախացնեմ։ Որոշ ժամանակ անց ամեն ինչ այդքան ուշադիր գրելու կարիք չի լինի։ Դա ինքնուրույն կստացվի։ Հատկապես, եթե դուք օգտագործում եք գործնական տեխնիկա, որոնք նկարագրված են ստորև։ Այս չար օրինակը մի շարք մինուսներով կարելի է լուծել հեշտությամբ և առանց սխալների:

Այսպիսով, ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներմեր հիշած խտրականի միջոցով։ Կամ սովորել են, ինչը նույնպես լավ է։ Դուք գիտեք, թե ինչպես ճիշտ որոշել ա, բ և գ. Գիտե՞ք ինչպես։ ուշադիրդրանք փոխարինել արմատային բանաձևով և ուշադիրհաշվել արդյունքը. Դուք հասկանում եք, որ այստեղ հիմնական բառն է ուշադիր?

Այնուամենայնիվ, քառակուսի հավասարումները հաճախ մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Սա թերի քառակուսի հավասարումներ . Դրանք կարող են լուծվել նաև խտրականության միջոցով։ Պարզապես պետք է ճիշտ հասկանալ, թե այստեղ ինչի են հավասար։ ա, բ և գ.

Դուք հասկացե՞լ եք դա: Առաջին օրինակում a = 1; b = -4;Ա գ? Դա ընդհանրապես չկա: Դե, այո, դա ճիշտ է: Մաթեմատիկայի մեջ սա նշանակում է c = 0 ! վերջ։ Փոխարենը բանաձևի մեջ փոխարինեք զրո գ,և մենք հաջողության կհասնենք: Նույնը երկրորդ օրինակով. Միայն մենք այստեղ զրո չունենք Հետ, Ա բ !

Բայց թերի քառակուսի հավասարումները կարելի է լուծել շատ ավելի պարզ: Առանց որևէ խտրականության։ Դիտարկենք առաջինը թերի հավասարում. Ի՞նչ կարող ես անել ձախ կողմում: Դուք կարող եք հանել X-ը փակագծերից: Եկեք հանենք այն:

Ուրեմն ի՞նչ սրանից: Եվ այն, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից որևէ մեկը հավասար է զրոյի: Չե՞ք հավատում ինձ: Լավ, ուրեմն եկեք երկու ոչ զրոյական թվեր, որոնք բազմապատկելուց զրո կտան։
Չի՞ աշխատում։ վերջ...
Այսպիսով, մենք կարող ենք վստահորեն գրել. x = 0, կամ x = 4

Բոլորը. Սրանք կլինեն մեր հավասարման արմատները: Երկուսն էլ հարմար են։ Դրանցից որևէ մեկը սկզբնական հավասարման մեջ փոխարինելիս մենք ստանում ենք ճիշտ նույնականությունը 0 = 0: Ինչպես տեսնում եք, լուծումը շատ ավելի պարզ է, քան դիսկրիմինանտ օգտագործելը:

Երկրորդ հավասարումը նույնպես կարելի է պարզ լուծել. Տեղափոխեք 9-ը աջ կողմ: Մենք ստանում ենք.

Մնում է միայն արմատը հանել 9-ից, և վերջ: Կստացվի.

Նաև երկու արմատ . x = +3 և x = -3.

Այսպես են լուծվում բոլոր թերի քառակուսի հավասարումները։ Կամ փակագծերից դուրս դնելով X, կամ պարզ փոխանցումթվերը դեպի աջ և ապա հանելով արմատը:
Չափազանց դժվար է շփոթել այս տեխնիկան: Պարզապես այն պատճառով, որ առաջին դեպքում պետք է հանել X-ի արմատը, որը ինչ-որ կերպ անհասկանալի է, իսկ երկրորդ դեպքում փակագծերից հանելու բան չկա...

Այժմ ուշադրություն դարձրեք գործնական մեթոդներին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների թիվը: Նույնը, որ անուշադրության պատճառով է... Որի համար հետո ցավոտ ու վիրավորական է դառնում...

Առաջին նշանակումը. Մի ծույլ մի եղեք քառակուսի հավասարումը լուծելուց և այն ստանդարտ ձևի բերելուց առաջ: Ի՞նչ է սա նշանակում։
Ասենք, որ բոլոր փոխակերպումներից հետո ստացվում է հետևյալ հավասարումը.

Մի շտապեք գրել արմատային բանաձևը: Դուք գրեթե անկասկած կխառնեք հավանականությունը ա, բ և գ.Ճիշտ կառուցիր օրինակը: Սկզբում X քառակուսի, ապա առանց քառակուսու, ապա ազատ անդամ: Այսպես.

Եվ կրկին, մի շտապեք: X քառակուսու դիմաց մինուսը կարող է իսկապես վրդովեցնել ձեզ: Հեշտ է մոռանալ... Ազատվեք մինուսից: Ինչպե՞ս: Այո, ինչպես ուսուցանվեց նախորդ թեմայում: Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը -1-ով: Մենք ստանում ենք.

Բայց հիմա կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների բանաձևը, հաշվարկել դիսկրիմինանտը և ավարտել օրինակի լուծումը: Որոշեք ինքներդ: Այժմ դուք պետք է ունենաք 2 և -1 արմատները:

Ընդունելություն երկրորդ.Ստուգեք արմատները: Վիետայի թեորեմի համաձայն. Մի վախեցիր, ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Ստուգում վերջինհավասարումը։ Նրանք. այն, որը մենք օգտագործում էինք արմատային բանաձևը գրելու համար: Եթե ​​(ինչպես այս օրինակում) գործակիցը a = 1, արմատները ստուգելը հեշտ է։ Բավական է դրանք բազմապատկել։ Արդյունքը պետք է լինի ազատ անդամ, այսինքն. մեր դեպքում -2. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, ոչ թե 2, այլ -2: Անվճար անդամ ձեր նշանով . Եթե ​​դա չի ստացվում, նշանակում է, որ նրանք արդեն ինչ-որ տեղ խեղաթյուրել են: Փնտրեք սխալը: Եթե ​​դա աշխատում է, դուք պետք է ավելացնեք արմատները: Վերջին և վերջնական ստուգում. Գործակիցը պետք է լինի բՀետ հակառակը ծանոթ. Մեր դեպքում -1+2 = +1: Գործակից բ, որը X-ից առաջ է, հավասար է -1-ի: Այսպիսով, ամեն ինչ ճիշտ է:
Ափսոս, որ սա այդքան պարզ է միայն օրինակների համար, որտեղ x քառակուսին մաքուր է, գործակիցով a = 1.Բայց գոնե ստուգեք նման հավասարումների մեջ։ Բոլորը ավելի քիչ սխալներկամք.

Ընդունելություն երրորդ. Եթե ​​ձեր հավասարումն ունի կոտորակային գործակիցներ, ազատվեք կոտորակներից: Բազմապատկեք հավասարումը ընդհանուր հայտարարով, ինչպես նկարագրված է նախորդ բաժնում: Կոտորակների հետ աշխատելիս սխալները ինչ-ինչ պատճառներով շարունակում են սողոսկել...

Ի դեպ, ես խոստացել եմ պարզեցնել չար օրինակը մի փունջ մինուսներով։ Խնդրում եմ։ Ահա նա։

Որպեսզի մինուսները չշփոթվենք, հավասարումը բազմապատկում ենք -1-ով։ Մենք ստանում ենք.

Վե՛րջ: Լուծելը հաճույք է։

Այսպիսով, եկեք ամփոփենք թեման.

Գործնական խորհուրդներ:

1. Լուծելուց առաջ քառակուսի հավասարումը բերում ենք ստանդարտ ձևի և կառուցում Ճիշտ է.

2. Եթե X քառակուսու դիմաց բացասական գործակից կա, այն վերացնում ենք ամբողջ հավասարումը -1-ով բազմապատկելով։

3. Եթե գործակիցները կոտորակային են, ապա կոտորակները վերացնում ենք՝ ամբողջ հավասարումը համապատասխան գործակցով բազմապատկելով։

4. Եթե x քառակուսին մաքուր է, նրա գործակիցը հավասար է մեկի, լուծումը կարելի է հեշտությամբ ստուգել Վիետայի թեորեմի միջոցով։ Արա՛ դա։

Կոտորակային հավասարումներ. ՕՁ.

Մենք շարունակում ենք յուրացնել հավասարումները: Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես աշխատել գծային և քառակուսի հավասարումների հետ: Մնաց վերջին տեսարանը - կոտորակային հավասարումներ. Կամ դրանք նաև շատ ավելի հարգալից են կոչվում. կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ . Դա նույն բանն է:

Կոտորակային հավասարումներ.

Ինչպես ենթադրում է անունը, այս հավասարումները անպայմանորեն պարունակում են կոտորակներ: Բայց ոչ միայն կոտորակներ, այլ կոտորակներ, որոնք ունեն հայտարարով անհայտ. Գոնե մեկում։ Օրինակ՝

Հիշեցնեմ, որ եթե հայտարարները միայն թվեր, սրանք գծային հավասարումներ են։

Ինչպես որոշել կոտորակային հավասարումներ? Առաջին հերթին, ազատվեք կոտորակներից: Դրանից հետո հավասարումը ամենից հաճախ վերածվում է գծային կամ քառակուսի։ Եվ հետո մենք գիտենք, թե ինչ անել... Որոշ դեպքերում այն ​​կարող է վերածվել ինքնության, օրինակ՝ 5=5 կամ սխալ արտահայտության, օրինակ՝ 7=2։ Բայց դա հազվադեպ է պատահում: Սա կնշեմ ստորև։

Բայց ինչպե՞ս ազատվել կոտորակներից։ Շատ պարզ. Կիրառելով նույն նույնական փոխակերպումները:

Մենք պետք է բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը նույն արտահայտությամբ: Որպեսզի բոլոր հայտարարները կրճատվեն: Ամեն ինչ անմիջապես կհեշտանա։ Բացատրեմ օրինակով. Եկեք լուծենք հավասարումը.

Ինչպես ուսուցանվում է կրտսեր դասարաններ? Մենք ամեն ինչ տեղափոխում ենք մի կողմ, բերում ընդհանուր հայտարարի և այլն: Մոռացեք, թե ինչպես վատ երազ! Սա այն է, ինչ դուք պետք է անեք, երբ ավելացնում կամ հանում եք կոտորակներ: Կամ դուք աշխատում եք անհավասարությունների հետ: Իսկ հավասարումների մեջ մենք միանգամից երկու կողմերն էլ բազմապատկում ենք մի արտահայտությամբ, որը մեզ հնարավորություն կտա կրճատել բոլոր հայտարարները (այսինքն, ըստ էության, ընդհանուր հայտարարով): Իսկ ո՞րն է այս արտահայտությունը։

Ձախ կողմում հայտարարի կրճատումը պահանջում է բազմապատկել x+2. Իսկ աջ կողմում պահանջվում է բազմապատկում 2-ով Սա նշանակում է, որ հավասարումը պետք է բազմապատկվի 2 (x+2). Բազմապատկել:

Սա կոտորակների սովորական բազմապատկում է, բայց ես այն մանրամասն կներկայացնեմ.

Ուշադրություն դարձրեք, որ փակագծը դեռ չեմ բացում (x + 2)! Այսպիսով, ես ամբողջությամբ գրում եմ.

Ձախ կողմում այն ​​ամբողջությամբ կծկվում է (x+2), իսկ աջ կողմում 2. Ինչն էր պահանջվում։ Կրճատումից հետո մենք ստանում ենք գծայինհավասարում:

Եվ բոլորը կարող են լուծել այս հավասարումը: x = 2.

Եկեք լուծենք ևս մեկ օրինակ՝ մի փոքր ավելի բարդ.

Եթե ​​հիշենք, որ 3 = 3/1, և 2x = 2x/ 1, մենք կարող ենք գրել.

Եվ կրկին մենք ազատվում ենք այն ամենից, ինչ մեզ իրականում դուր չի գալիս՝ կոտորակները:

Մենք տեսնում ենք, որ X-ով հայտարարը կրճատելու համար պետք է բազմապատկել կոտորակը (x – 2). Եվ մի քանիսը մեզ խանգարում են։ Դե, եկեք բազմապատկենք: Բոլորըձախ կողմը և բոլորըաջ կողմը:

Կրկին փակագծեր (x – 2)Չեմ բացահայտում. Ես աշխատում եմ փակագծի հետ որպես ամբողջություն, կարծես այն մեկ թիվ է: Դա միշտ պետք է արվի, այլապես ոչինչ չի կրճատվի։

Խորը բավարարվածության զգացումով մենք նվազեցնում ենք (x – 2)և մենք ստանում ենք հավասարում առանց կոտորակների, քանոնով։

Այժմ բացենք փակագծերը.

Մենք բերում ենք նմանատիպերը, ամեն ինչ տեղափոխում ենք ձախ կողմը և ստանում.

Դասական քառակուսի հավասարում. Բայց առջեւում մինուսը լավ չէ։ Դուք միշտ կարող եք ազատվել դրանից՝ բազմապատկելով կամ բաժանելով -1-ով: Բայց եթե ուշադիր նայեք օրինակին, կնկատեք, որ ավելի լավ է այս հավասարումը բաժանել -2-ի: Մի հարվածով մինուսը կվերանա, իսկ հավանականությունը կդառնա ավելի գրավիչ: Բաժանել -2-ի: Ձախ կողմում` տերմին առ տերմին, իսկ աջ կողմում, պարզապես զրոն բաժանեք -2-ի, զրո և կստանանք.

Մենք լուծում ենք դիսկրիմինանտի միջոցով և ստուգում՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Մենք ստանում ենք x = 1 և x = 3. Երկու արմատ.

Ինչպես տեսնում եք, առաջին դեպքում փոխակերպումից հետո հավասարումը դարձել է գծային, բայց այստեղ այն դառնում է քառակուսի։ Պատահում է, որ կոտորակներից ազատվելուց հետո բոլոր X-երը կրճատվում են։ Ինչ-որ բան մնում է, օրինակ 5=5: Սա նշանակում է, որ x-ը կարող է լինել ամեն ինչ. Ինչ էլ որ լինի, միեւնույն է, կկրճատվի։ Եվ պարզվում է մաքուր ճշմարտություն՝ 5=5։ Բայց կոտորակներից ազատվելուց հետո կարող է պարզվել, որ այն լիովին չի համապատասխանում իրականությանը, օրինակ՝ 2=7։ Իսկ սա նշանակում է, որ լուծումներ չկան! Ցանկացած X պարզվում է, որ չի համապատասխանում իրականությանը:

Իրականացվեց հիմնական լուծումը կոտորակային հավասարումներ ? Դա պարզ է և տրամաբանական։ Մենք փոխում ենք սկզբնական արտահայտությունը, որպեսզի այն ամենը, ինչ մեզ դուր չի գալիս, անհետանում է: Կամ խանգարում է։ Այս դեպքում սրանք կոտորակներ են։ Մենք նույնը կանենք լոգարիթմներով, սինուսներով և այլ սարսափներով բոլոր տեսակի բարդ օրինակներով: Մենք ՄիշտԵկեք այս ամենից ազատվենք։

Այնուամենայնիվ, մենք պետք է փոխենք բնօրինակ արտահայտությունը մեզ անհրաժեշտ ուղղությամբ կանոնների համաձայն, այո... Որի վարպետությունը մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելն է։ Այսպիսով, մենք տիրապետում ենք դրան:

Այժմ մենք կսովորենք, թե ինչպես շրջանցել դրանցից մեկը հիմնական որոգայթները միասնական պետական ​​քննության վրա! Բայց նախ տեսնենք՝ դուք դրա մեջ եք ընկնում, թե ոչ։

Դիտարկենք մի պարզ օրինակ.

Գործն արդեն ծանոթ է, մենք երկուստեք բազմապատկում ենք (x – 2), ստանում ենք.

Հիշեցնում եմ՝ փակագծերով (x – 2)Մենք աշխատում ենք այնպես, կարծես մեկ, ինտեգրալ արտահայտությամբ:

Այստեղ ես այլևս մեկ չեմ գրել հայտարարի մեջ, դա անարժանապատիվ է... Իսկ հայտարարների մեջ փակագծեր չեմ նկարել, բացառությամբ. x – 2ոչինչ չկա, պետք չէ նկարել: Եկեք կրճատենք.

Բացեք փակագծերը, ամեն ինչ տեղափոխեք ձախ և տվեք նմանատիպերը.

Լուծում ենք, ստուգում, երկու արմատ ենք ստանում։ x = 2Եվ x = 3. Հիանալի:

Ենթադրենք, առաջադրանքն ասում է, որ պետք է գրել արմատը, կամ դրանց գումարը, եթե կա մեկից ավելի արմատ: Ի՞նչ ենք մենք գրելու։

Եթե ​​որոշեք, որ պատասխանը 5 է, դուք դարանակալվել են. Եվ առաջադրանքը ձեզ չի վերագրվի: Իզուր աշխատեցին... Ճիշտ պատասխանը 3-ն է.

Ի՞նչ է պատահել։ Եվ դուք փորձում եք ստուգում կատարել: Փոխարինեք անհայտի արժեքները օրիգինալօրինակ. Եվ եթե ժամը x = 3ամեն ինչ միասին հիանալի կաճի, մենք ստանում ենք 9 = 9, հետո երբ x = 2Դա կբաժանվի զրոյի! Այն, ինչ դուք բացարձակապես չեք կարող անել: Միջոցներ x = 2լուծում չէ և հաշվի չի առնվում պատասխանում։ Սա այսպես կոչված կողմնակի կամ լրացուցիչ արմատն է: Մենք պարզապես մերժում ենք այն: Վերջնական արմատը մեկն է. x = 3.

Ինչպէ՞ս։ – Վրդովված բացականչություններ եմ լսում. Մեզ սովորեցրել են, որ հավասարումը կարելի է բազմապատկել արտահայտությամբ։ Սա նույնական փոխակերպում է:

Այո, նույնական: Փոքր պայմանով - արտահայտությունը, որով մենք բազմապատկում ենք (բաժանում) - տարբերվում է զրոյից. Ա x – 2ժամը x = 2հավասար է զրոյի! Այնպես որ, ամեն ինչ արդար է:

Ուրեմն ի՞նչ անենք հիմա։ Չե՞ք բազմապատկել արտահայտությամբ: Պետք է ամեն անգամ ստուգե՞մ: Կրկին անհասկանալի է!

Հանգիստ! Խուճապի մի մատնվեք!

Այս դժվարին իրավիճակում մեզ կփրկեն երեք կախարդական տառեր։ Ես գիտեմ, թե ինչ ես մտածում: Ճիշտ է։ Սա ՕՁ . Ընդունելի արժեքների տարածք.

Հուսով եմ, որ այս հոդվածն ուսումնասիրելուց հետո դուք կսովորեք, թե ինչպես գտնել ամբողջական քառակուսի հավասարման արմատները:

Օգտագործելով դիսկրիմինանտը, լուծվում են միայն ամբողջական քառակուսի հավասարումներ՝ թերի քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար, օգտագործվում են այլ մեթոդներ, որոնք դուք կգտնեք «Թերի քառակուսի հավասարումների լուծում» հոդվածում։

Ո՞ր քառակուսային հավասարումներն են կոչվում ամբողջական: Սա ax 2 + b x + c = 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ a, b և c գործակիցները հավասար չեն զրոյի։ Այսպիսով, ամբողջական քառակուսային հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է հաշվարկենք դիսկրիմինանտ Դ.

D = b 2 – 4ac.

Կախված դիսկրիմինանտի արժեքից՝ մենք կգրենք պատասխանը։

Եթե ​​տարբերակիչը բացասական թիվ է (D< 0),то корней нет.

Եթե ​​դիսկրիմինանտը զրո է, ապա x = (-b)/2a: Երբ դիսկրիմինատորը դրական թիվ է (D > 0),

ապա x 1 = (-b - √D)/2a, և x 2 = (-b + √D)/2a:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը x 2- 4x + 4 = 0:

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Պատասխան՝ 2.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + x + 3 = 0:

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Պատասխան՝ արմատներ չկան.

Լուծել 2-րդ հավասարումը x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Պատասխան՝ – 3,5; 1.

Այսպիսով, եկեք պատկերացնենք ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի դիագրամը:

Օգտագործելով այս բանաձևերը, դուք կարող եք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում: Պարզապես պետք է զգույշ լինել հավասարումը գրվել է որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ

Ա x 2 + bx + c,հակառակ դեպքում դուք կարող եք սխալվել: Օրինակ, x + 3 + 2x 2 = 0 հավասարումը գրելիս կարող եք սխալմամբ որոշել, որ

a = 1, b = 3 և c = 2. Հետո

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 և ապա հավասարումն ունի երկու արմատ: Եվ սա ճիշտ չէ։ (Տես վերը նշված օրինակ 2-ի լուծումը):

Հետևաբար, եթե հավասարումը չի գրվում որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ, ապա նախ պետք է գրվի ամբողջական քառակուսի հավասարումը որպես ստանդարտ ձևի բազմանդամ (առաջինը պետք է լինի ամենամեծ ցուցիչ ունեցող միանդամը, այսինքն. Ա x 2 , ապա ավելի քիչ – bxիսկ հետո ազատ անդամ Հետ.

Կրճատված քառակուսի հավասարումը և երկրորդ անդամում զույգ գործակցով քառակուսային հավասարումը լուծելիս կարող եք օգտագործել այլ բանաձևեր: Եկեք ծանոթանանք այս բանաձեւերին. Եթե ​​ամբողջական քառակուսային հավասարման մեջ երկրորդ անդամն ունի զույգ գործակից (b = 2k), ապա դուք կարող եք լուծել հավասարումը՝ օգտագործելով Նկար 2-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը:

Ամբողջական քառակուսի հավասարումը կոչվում է կրճատված, եթե գործակիցը ժամը x 2 հավասար է մեկի, և հավասարումը ստանում է ձև x 2 + px + q = 0. Նման հավասարումը կարող է տրվել լուծման համար, կամ այն ​​կարելի է ստանալ՝ հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանելով գործակցի վրա։ Ա, կանգնած է x 2 .

Նկար 3-ում ներկայացված է կրճատված քառակուսի լուծելու դիագրամ
հավասարումներ։ Դիտարկենք այս հոդվածում քննարկված բանաձևերի կիրառման օրինակը:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը

3x 2 + 6x – 6 = 0:

Եկեք լուծենք այս հավասարումը՝ օգտագործելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերը:

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3

Դուք կարող եք նկատել, որ x-ի գործակիցը այս հավասարման մեջ զույգ թիվ է, այսինքն՝ b = 6 կամ b = 2k, որտեղից k = 3: Այնուհետև փորձենք լուծել հավասարումը D նկարի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերով: 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3. Նկատելով, որ այս քառակուսի հավասարման բոլոր գործակիցները բաժանվում են 3-ի և կատարելով բաժանումը, մենք ստանում ենք կրճատված քառակուսի հավասարում x 2 + 2x – 2 = 0 Լուծեք այս հավասարումը` օգտագործելով կրճատված քառակուսի բանաձևերը:
հավասարումներ նկար 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Պատասխան՝ –1 – √3; –1 + √3.

Ինչպես տեսնում եք, տարբեր բանաձևերով այս հավասարումը լուծելիս ստացանք նույն պատասխանը։ Հետևաբար, մանրակրկիտ տիրապետելով Նկար 1-ի գծապատկերում ներկայացված բանաձևերին, դուք միշտ կկարողանաք լուծել ցանկացած ամբողջական քառակուսի հավասարում:

blog.site-ը, նյութն ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս պարտադիր է սկզբնաղբյուրի հղումը:

Քառակուսի հավասարում - հեշտ է լուծել: *Այսուհետ՝ «KU»:Ընկերներ, թվում է, թե մաթեմատիկայի մեջ ավելի պարզ բան չի կարող լինել, քան նման հավասարումը լուծելը: Բայց ինչ-որ բան ինձ ասում էր, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն։ Ես որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի՞ տպավորություն է թողնում Yandex-ը ըստ պահանջի: Ահա թե ինչ եղավ, տեսեք.

Ի՞նչ է դա նշանակում։ Սա նշանակում է, որ ամսական մոտ 70000 մարդ փնտրում է այս տեղեկությունը, ի՞նչ կապ ունի այս ամառը, և ի՞նչ է լինելու դրա հետ ուսումնական տարին— կրկնակի շատ խնդրանքներ կլինեն։ Զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց են ավարտել դպրոցը և պատրաստվում են միասնական պետական ​​քննությանը, փնտրում են այս տեղեկությունը, և դպրոցականները նույնպես ձգտում են թարմացնել հիշողությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որոնք պատմում են ձեզ, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի նաև ներդրում ունենալ և հրապարակել նյութը: Նախ, ես ցանկանում եմ, որ այցելուները գան իմ կայք այս խնդրանքի հիման վրա. երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ հայտնվի «KU» թեման, ես կտամ հղումը այս հոդվածին. երրորդ, ես ձեզ մի փոքր ավելին կասեմ նրա լուծման մասին, քան սովորաբար ասվում է այլ կայքերում: Եկեք սկսենք:Հոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսային հավասարումը ձևի հավասարումն է.

որտեղ գործակիցները a,բև հետ կամայական թվեր, որտեղ a≠0.

IN դպրոցական դասընթացնյութը տրված է հետևյալ ձևով՝ հավասարումները պայմանականորեն բաժանված են երեք դասի.

1. Նրանք երկու արմատ ունեն.

2. *Ունենալ միայն մեկ արմատ.

3. Նրանք արմատներ չունեն։ Այստեղ հարկ է հատկապես նշել, որ դրանք իրական արմատներ չունեն

Ինչպե՞ս են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես!

Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինանտը։ Այս «սարսափելի» բառի տակ շատ պարզ բանաձև է.

Արմատային բանաձևերը հետևյալն են.

*Այս բանաձեւերը պետք է անգիր իմանալ։

Դուք կարող եք անմիջապես գրել և լուծել.

Օրինակ՝

1. Եթե D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ:

2. Եթե D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Ըստ այս առիթով, երբ դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, դպրոցական դասընթացն ասում է, որ արդյունքը մեկ արմատ է, այստեղ հավասար է ինը։ Ամեն ինչ ճիշտ է, այդպես է, բայց...

Այս միտքը որոշ չափով սխալ է։ Իրականում երկու արմատ կա. Այո, այո, մի զարմացեք, դուք ստանում եք երկու հավասար արմատներ, և մաթեմատիկորեն ճշգրիտ լինելու համար, պատասխանը պետք է գրի երկու արմատ.

x 1 = 3 x 2 = 3

Բայց սա այդպես է՝ մի փոքր շեղում: Դպրոցում կարելի է գրել և ասել, որ մեկ արմատ կա։

Այժմ հաջորդ օրինակը.

Ինչպես գիտենք, բացասական թվի արմատը չի կարելի վերցնել, ուստի այս դեպքում լուծում չկա։

Սա է որոշումների ամբողջ գործընթացը:

Քառակուսային ֆունկցիա.

Սա ցույց է տալիս, թե ինչպիսին է լուծումը երկրաչափական տեսքով: Սա չափազանց կարևոր է հասկանալու համար (ապագայում հոդվածներից մեկում մանրամասն կվերլուծենք քառակուսի անհավասարության լուծումը)։

Սա ձևի ֆունկցիան է.

որտեղ x և y փոփոխականներ են

a, b, c – տրված թվեր՝ a ≠ 0-ով

Գրաֆիկը պարաբոլա է.

Այսինքն՝ ստացվում է, որ լուծելով «y»-ով քառակուսի հավասարում, որը հավասար է զրոյի, գտնում ենք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ։ Այս կետերից կարող է լինել երկուսը (տարբերիչը դրական է), մեկը (տարբերիչը զրոյական է) և ոչ մեկը (տարբերիչը բացասական է): Մանրամասների մասին քառակուսի ֆունկցիա կարող ես նայելԻննա Ֆելդմանի հոդվածը։

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծել 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Պատասխան՝ x 1 = 8 x 2 = –12

*Հավասարման ձախ և աջ կողմերը հնարավոր եղավ անմիջապես բաժանել 2-ի, այսինքն՝ պարզեցնել այն։ Հաշվարկներն ավելի հեշտ կլինեն։

Օրինակ 2: Որոշեք x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Մենք գտանք, որ x 1 = 11 և x 2 = 11

Պատասխանում թույլատրելի է գրել x = 11:

Պատասխան՝ x = 11

Օրինակ 3: Որոշեք x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Խտրականը բացասական է, իրական թվերով լուծում չկա։

Պատասխան՝ լուծում չկա

Խտրականը բացասական է. Կա լուծում!

Այստեղ մենք կխոսենք հավասարումը լուծելու մասին այն դեպքում, երբ ստացվում է բացասական դիսկրիմինանտ։ Կոմպլեքս թվերի մասին որևէ բան գիտե՞ք: Ես այստեղ չեմ մանրամասնի, թե ինչու և որտեղ են դրանք առաջացել, և որն է նրանց հատուկ դերն ու անհրաժեշտությունը մաթեմատիկայի մեջ, սա մեծ առանձին հոդվածի թեմա է:

Կոմպլեքս թվի հայեցակարգը.

Մի փոքր տեսություն.

Z կոմպլեքս թիվը ձևի թիվ է

z = a + bi

որտեղ a-ն և b-ն իրական թվեր են, i-ն այսպես կոչված երևակայական միավորն է:

ա+բի - սա ՄԵԿ ԹԻՎ է, ոչ թե հավելում:

Երևակայական միավորը հավասար է մինուս մեկ արմատին.

Այժմ հաշվի առեք հավասարումը.

Մենք ստանում ենք երկու զուգակցված արմատներ:

Անավարտ քառակուսի հավասարում.

Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, երբ «b» կամ «c» գործակիցը հավասար է զրոյի (կամ երկուսն էլ հավասար են զրոյի): Դրանք կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ առանց որևէ խտրականության:

Դեպք 1. Գործակից b = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Եկեք փոխակերպենք.

Օրինակ՝

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Դեպք 2. Գործակից c = 0:

Հավասարումը դառնում է.

Եկեք փոխակերպենք և ֆակտորիզացնենք.

*Արտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի:

Օրինակ՝

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 կամ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Դեպք 3. b = 0 եւ c = 0 գործակիցները:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x = 0:

Օգտակար հատկություններ և գործակիցների օրինաչափություններ.

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս լուծել մեծ գործակիցներով հավասարումներ։

Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա + բ+ c = 0,Դա

- եթե հավասարման գործակիցների համար Աx 2 + bx+ գ=0 հավասարությունը պահպանվում է

ա+ s =բ, Դա

Այս հատկությունները օգնում են որոշել որոշակի տեսակհավասարումներ

Օրինակ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, ինչը նշանակում է

Օրինակ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Հավասարությունը պահպանվում է ա+ s =բ, Միջոցներ

Գործակիցների օրինաչափություններ.

1. Եթե ax 2 + bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 + 37x + 6 = 0 հավասարումը:

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Եթե ax 2 – bx + c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 +1), իսկ «c» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 15x 2 –226x +15 = 0 հավասարումը:

x 1 = 15 x 2 = 1/15:

3. Եթե հավասարում. ax 2 + bx – c = 0 գործակից «b» հավասար է (a 2 – 1), և գործակից «գ» թվայինորեն հավասար է «a» գործակցի, ապա նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 +288x – 17 = 0 հավասարումը:

x 1 = – 17 x 2 = 1/17:

4. Եթե ax 2 – bx – c = 0 հավասարման մեջ «b» գործակիցը հավասար է (a 2 – 1), իսկ c գործակիցը թվայինորեն հավասար է «a» գործակցին, ապա դրա արմատները հավասար են.

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Օրինակ. Դիտարկենք 10x 2 – 99x –10 = 0 հավասարումը:

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Վիետայի թեորեմա.

Վիետայի թեորեմն անվանվել է ֆրանսիացի հայտնի մաթեմատիկոս Ֆրանսուա Վիետայի անունով։ Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, մենք կարող ենք արտահայտել կամայական KU-ի արմատների գումարը և արտադրյալը իր գործակիցներով:

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ընդհանուր առմամբ, 14 թիվը տալիս է միայն 5 և 9: Սրանք արմատներ են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով ներկայացված թեորեմը, կարող եք անմիջապես բանավոր լուծել բազմաթիվ քառակուսի հավասարումներ։

Վիետայի թեորեմը, ի լրումն. Հարմար է նրանով, որ քառակուսի հավասարումը սովորական եղանակով (դիսկրիմինանտի միջոցով) լուծելուց հետո կարելի է ստուգել ստացված արմատները։ Ես խորհուրդ եմ տալիս դա անել միշտ:

ՏՐԱՆՍՊՈՐՏԱՅԻՆ ՄԵԹՈԴ

Այս մեթոդով «ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամով, կարծես «նետվում» է դրան, ինչի պատճառով էլ կոչվում է. «փոխանցման» մեթոդ.Այս մեթոդը կիրառվում է այն դեպքում, երբ հավասարման արմատները հեշտությամբ կարելի է գտնել Վիետայի թեորեմի միջոցով և, ամենակարևորը, երբ դիսկրիմինանտը ճշգրիտ քառակուսի է։

Եթե Ա± բ+գ≠ 0, ապա օգտագործվում է փոխանցման տեխնիկան, օրինակ.

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը (2) հավասարման մեջ, հեշտ է որոշել, որ x 1 = 10 x 2 = 1

Հավասարման արդյունքում ստացված արմատները պետք է բաժանվեն 2-ի (քանի որ երկուսը «գցվել» են x 2-ից), մենք ստանում ենք.

x 1 = 5 x 2 = 0,5:

Ո՞րն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է կատարվում.

(1) և (2) հավասարումների տարբերակիչները հավասար են.

Եթե ​​նայեք հավասարումների արմատներին, ապա դուք ստանում եք միայն տարբեր հայտարարներ, և արդյունքը կախված է հենց x 2 գործակիցից.

Երկրորդը (փոփոխված) ունի 2 անգամ մեծ արմատներ։

Այսպիսով, մենք արդյունքը բաժանում ենք 2-ի:

*Եթե երեքը նորից գլորենք, արդյունքը կբաժանենք 3-ի և այլն։

Պատասխան՝ x 1 = 5 x 2 = 0,5

քառ. ur-ie և միասնական պետական ​​քննություն:

Ես համառոտ կպատմեմ դրա կարևորության մասին. Դուք պետք է կարողանաք արագ և առանց մտածելու ՈՐՈՇԵԼ, դուք պետք է անգիր իմանաք արմատների և տարբերակիչների բանաձևերը: Միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներում ընդգրկված խնդիրներից շատերը հանգում են քառակուսի հավասարման (ներառյալ երկրաչափականները) լուծմանը:

Ուշադրության արժանի մի բան։

1. Հավասարում գրելու ձևը կարող է լինել «ենթադրյալ»: Օրինակ, հնարավոր է հետևյալ գրառումը.

15+ 9x 2 - 45x = 0 կամ 15x+42+9x 2 - 45x=0 կամ 15 -5x+10x 2 = 0:

Դուք պետք է այն հասցնեք ստանդարտ ձևի (որպեսզի չշփոթվեք լուծելիս):

2. Հիշեք, որ x-ը անհայտ մեծություն է, և այն կարելի է նշանակել ցանկացած այլ տառով՝ t, q, p, h և այլն: