Ամբողջական արտահայտությունը մաթեմատիկական արտահայտություն է, որը կազմված է թվերից և բառացի փոփոխականներից՝ օգտագործելով գումարման, հանման և բազմապատկման գործողությունները: Ամբողջ թվերը ներառում են նաև արտահայտություններ, որոնք ներառում են զրոյից բացի որևէ այլ թվի բաժանում:

Կոտորակի ռացիոնալ արտահայտության հայեցակարգը

Կոտորակային արտահայտությունը մաթեմատիկական արտահայտություն է, որը, բացի թվերի և տառային փոփոխականներով կատարված գումարման, հանման և բազմապատկման գործողություններից, ինչպես նաև զրոյի չհավասար թվի վրա բաժանելը, պարունակում է նաև տառային փոփոխականներով արտահայտությունների բաժանում։

Ռացիոնալ արտահայտությունները բոլորն էլ ամբողջական և կոտորակային արտահայտություններ են: Ռացիոնալ հավասարումներհավասարումներ են, որոնցում ձախ և աջ կողմերը ռացիոնալ արտահայտություններ են: Եթե ​​ռացիոնալ հավասարման մեջ ձախ և աջ կողմերը ամբողջ թվային արտահայտություններ են, ապա այդպիսի ռացիոնալ հավասարումը կոչվում է ամբողջ թիվ։

Եթե ​​ռացիոնալ հավասարման մեջ ձախ կամ աջ կողմերը կոտորակային արտահայտություններ են, ապա այդպիսի ռացիոնալ հավասարումը կոչվում է կոտորակային։

Կոտորակի ռացիոնալ արտահայտությունների օրինակներ

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծման սխեմա

1. Գտի՛ր հավասարման մեջ ընդգրկված բոլոր կոտորակների ընդհանուր հայտարարը:

2. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկե՛ք ընդհանուր հայտարարով:

3. Լուծի՛ր ստացված ամբողջ հավասարումը։

4. Ստուգեք արմատները և բացառեք նրանց, որոնք անհետանում են ընդհանուր հայտարարը:

Քանի որ մենք լուծում ենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ, ապա կոտորակների հայտարարներում կլինեն փոփոխականներ: Սա նշանակում է, որ դրանք լինելու են ընդհանուր հայտարար։ Իսկ ալգորիթմի երկրորդ կետում մենք բազմապատկում ենք ընդհանուր հայտարարով, ապա կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ։ Որում ընդհանուր հայտարարը հավասար կլինի զրոյի, ինչը նշանակում է, որ դրանով բազմապատկելը անիմաստ կլինի: Ուստի վերջում անհրաժեշտ է ստուգել ստացված արմատները։

Դիտարկենք օրինակ.

Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Մենք հավատարիմ կմնանք ընդհանուր սխեմանՍկզբում եկեք գտնենք բոլոր կոտորակների ընդհանուր հայտարարը: Մենք ստանում ենք x*(x-5):

Յուրաքանչյուր կոտորակ բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով և գրեք ստացված ամբողջ հավասարումը:

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1 / x * (x * (x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Եկեք պարզեցնենք ստացված հավասարումը. Մենք ստանում ենք.

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Մենք ստանում ենք պարզ կրճատված քառակուսի հավասարում. Մենք դա լուծում ենք ցանկացածից հայտնի մեթոդներ, ստանում ենք x=-2 և x=5 արմատները։

Այժմ մենք ստուգում ենք ստացված լուծումները.

-2 և 5 թվերը փոխարինի՛ր ընդհանուր հայտարարով: x=-2-ում x*(x-5) ընդհանուր հայտարարը չի վերանում, -2*(-2-5)=14: Սա նշանակում է, որ -2 թիվը կլինի սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատը։

x=5-ում x*(x-5) ընդհանուր հայտարարը դառնում է զրո: Հետևաբար, այս թիվը սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատը չէ, քանի որ կլինի բաժանում զրոյի:

Մենք արդեն սովորել ենք, թե ինչպես լուծել քառակուսի հավասարումներ: Այժմ ուսումնասիրված մեթոդները տարածենք ռացիոնալ հավասարումների վրա։

Ի՞նչ է ռացիոնալ արտահայտությունը: Մենք արդեն հանդիպել ենք այս հայեցակարգին։ Ռացիոնալ արտահայտություններթվերից, փոփոխականներից, դրանց հզորություններից և մաթեմատիկական գործողությունների խորհրդանիշներից կազմված արտահայտություններ են։

Ըստ այդմ՝ ռացիոնալ հավասարումները ձևի հավասարումներ են՝ , որտեղ - ռացիոնալ արտահայտություններ.

Նախկինում մենք դիտարկում էինք միայն այն ռացիոնալ հավասարումները, որոնք կարող են կրճատվել գծային: Այժմ դիտարկենք այն ռացիոնալ հավասարումները, որոնք կարելի է կրճատել մինչև քառակուսի:

Օրինակ 1

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Կոտորակը հավասար է 0-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա համարիչը հավասար է 0-ի, իսկ հայտարարը հավասար չէ 0-ի:

Մենք ստանում ենք հետևյալ համակարգը.

Համակարգի առաջին հավասարումը քառակուսի հավասարումն է։ Մինչ լուծելը նրա բոլոր գործակիցները բաժանենք 3-ի։ Ստանում ենք.

Մենք ստանում ենք երկու արմատ. .

Քանի որ 2-ը երբեք չի հավասարվում 0-ի, պետք է կատարվի երկու պայման. . Քանի որ վերը ստացված հավասարման արմատներից ոչ մեկը չի համընկնում փոփոխականի անվավեր արժեքների հետ, որոնք ստացվել են երկրորդ անհավասարությունը լուծելիս, դրանք երկուսն էլ այս հավասարման լուծումներն են:

Պատասխան..

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

1. Բոլոր անդամները տեղափոխեք ձախ կողմ, որպեսզի աջ կողմը ավարտվի 0-ով:

2. Ձախ կողմը ձևափոխել և պարզեցնել, բոլոր կոտորակները կրճատել մինչև ընդհանուր հայտարար.

3. Ստացված կոտորակը հավասարեցրե՛ք 0-ի՝ օգտագործելով հետևյալ ալգորիթմը. .

4. Գրի՛ր այն արմատները, որոնք ստացվել են առաջին հավասարման մեջ և բավարարի՛ր պատասխանի երկրորդ անհավասարությունը։

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։

Օրինակ 2

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում

Հենց սկզբում մենք բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ, որպեսզի 0-ը մնա աջ կողմում, ստանում ենք.

Այժմ հավասարման ձախ կողմը բերենք ընդհանուր հայտարարի.

Այս հավասարումը համարժեք է համակարգի.

Համակարգի առաջին հավասարումը քառակուսի հավասարումն է։

Այս հավասարման գործակիցները. Մենք հաշվարկում ենք դիսկրիմինատորը.

Մենք ստանում ենք երկու արմատ. .

Այժմ լուծենք երկրորդ անհավասարությունը՝ գործակիցների արտադրյալը հավասար չէ 0-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից ոչ մեկը հավասար չէ 0-ի։

Երկու պայման պետք է կատարվի. . Մենք գտնում ենք, որ առաջին հավասարման երկու արմատներից հարմար է միայն մեկը՝ 3-ը։

Պատասխան..

Այս դասում մենք հիշեցինք, թե ինչ է ռացիոնալ արտահայտությունը, ինչպես նաև սովորեցինք, թե ինչպես լուծել ռացիոնալ հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսային հավասարումների:

Հաջորդ դասում մենք կդիտարկենք ռացիոնալ հավասարումները որպես իրական իրավիճակների մոդելներ, ինչպես նաև կանդրադառնանք շարժման խնդիրներին:

Հղումներ

1. Բաշմակով Մ.Ի. Հանրահաշիվ, 8-րդ դաս. - Մ.: Կրթություն, 2004:
2. Դորոֆեև Գ.Վ., Սուվորովա Ս.Բ., Բունիմովիչ Է.Ա. and others, 8. 5th ed. - Մ.: Կրթություն, 2010 թ.
3. Նիկոլսկի Ս.Մ., Պոտապով Մ.Ա., Ռեշետնիկով Ն.Ն., Շևկին Ա.Վ. Հանրահաշիվ, 8-րդ դաս. Ձեռնարկի համար ուսումնական հաստատություններ. - Մ.: Կրթություն, 2006 թ.

1. Փառատոն մանկավարժական գաղափարներ "Բաց դաս" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Տնային աշխատանք

Շարունակենք խոսել հավասարումների լուծում. Այս հոդվածում մենք մանրամասն կանդրադառնանք ռացիոնալ հավասարումներև մեկ փոփոխականով ռացիոնալ հավասարումների լուծման սկզբունքները։ Նախ, եկեք պարզենք, թե ինչ տեսակի հավասարումներ են կոչվում ռացիոնալ, տանք ամբողջ ռացիոնալ և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների սահմանումը և բերենք օրինակներ: Այնուհետև մենք ձեռք կբերենք ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմներ և, իհարկե, կդիտարկենք բնորոշ օրինակների լուծումները՝ բոլոր անհրաժեշտ բացատրություններով:

Էջի նավարկություն.

Ելնելով նշված սահմանումներից՝ մենք բերում ենք ռացիոնալ հավասարումների մի քանի օրինակ։ Օրինակ, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , բոլորը ռացիոնալ հավասարումներ են:

Ցուցադրված օրինակներից պարզ է դառնում, որ ռացիոնալ հավասարումները, ինչպես նաև այլ տեսակների հավասարումները կարող են լինել մեկ փոփոխականով, կամ երկու, երեք և այլն։ փոփոխականներ. Հաջորդ պարբերություններում կխոսենք մեկ փոփոխականով ռացիոնալ հավասարումների լուծման մասին։ Հավասարումների լուծում երկու փոփոխականովև նրանց մեծ թիվը արժանի է հատուկ ուշադրության:

Ռացիոնալ հավասարումները անհայտ փոփոխականների թվի վրա բաժանելուց բացի, դրանք բաժանվում են նաև ամբողջ թվերի և կոտորակայինների։ Տանք համապատասխան սահմանումները։

Սահմանում.

Ռացիոնալ հավասարումը կոչվում է ամբողջ, եթե նրա և ձախ և աջ կողմերը ամբողջ ռացիոնալ արտահայտություններ են:

Սահմանում.

Եթե ​​ռացիոնալ հավասարման մասերից գոնե մեկը կոտորակային արտահայտություն է, ապա այդպիսի հավասարումը կոչվում է. կոտորակային ռացիոնալ(կամ կոտորակային ռացիոնալ):

Հասկանալի է, որ ամբողջ հավասարումները չեն պարունակում բաժանում ըստ փոփոխականի, ընդհակառակը, կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները պարտադիր պարունակում են բաժանում փոփոխականով (կամ փոփոխականով): Այսպիսով, 3 x+2=0 և (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5- սրանք ամբողջ ռացիոնալ հավասարումներ են, դրանց երկու մասերն էլ ամբողջական արտահայտություններ են: A և x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների օրինակներ են:

Եզրափակելով այս կետը՝ ուշադրություն դարձնենք այն փաստին, որ այս կետին հայտնի գծային և քառակուսի հավասարումները ամբողջական ռացիոնալ հավասարումներ են:

Ամբողջական հավասարումների լուծում

Ամբողջական հավասարումների լուծման հիմնական մոտեցումներից մեկը դրանք համարժեքների կրճատումն է հանրահաշվական հավասարումներ. Դա միշտ կարելի է անել՝ կատարելով հավասարման հետևյալ համարժեք փոխակերպումները.

• նախ, սկզբնական ամբողջ թվի հավասարման աջ կողմի արտահայտությունը փոխանցվում է ձախ կողմին հակառակ նշանաջ կողմում զրո ստանալ;
• դրանից հետո հավասարման ձախ կողմում ստացված ստանդարտ ձևը:

Արդյունքում ստացվում է հանրահաշվական հավասարում, որը համարժեք է սկզբնական ամբողջ թվի հավասարմանը: Այսպիսով, ամենապարզ դեպքերում ամբողջ հավասարումների լուծումը վերածվում է գծային կամ քառակուսի հավասարումների լուծմանը, իսկ ընդհանուր դեպք– լուծել n աստիճանի հանրահաշվական հավասարում. Պարզության համար եկեք նայենք օրինակի լուծմանը:

Օրինակ.

Գտեք ամբողջ հավասարման արմատները 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Լուծում.

Եկեք այս ամբողջ հավասարման լուծումը կրճատենք համարժեք հանրահաշվական հավասարման լուծմանը: Դա անելու համար նախ արտահայտությունը աջից տեղափոխում ենք ձախ, արդյունքում հասնում ենք հավասարմանը. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Եվ, երկրորդը, ձախ կողմում ձևավորված արտահայտությունը վերածում ենք ստանդարտ ձևի բազմանդամի՝ կատարելով անհրաժեշտը. 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Այսպիսով, սկզբնական ամբողջ թվի հավասարման լուծումը վերածվում է լուծման քառակուսային հավասարում x 2 −5 x−6=0 .

Մենք հաշվարկում ենք դրա դիսկրիմինանտը D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, այն դրական է, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու իրական արմատ, որը մենք գտնում ենք՝ օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը.

Լիովին վստահ լինելու համար եկեք դա անենք ստուգելով հավասարման հայտնաբերված արմատները. Սկզբում մենք ստուգում ենք 6-րդ արմատը, այն փոխարինում ենք սկզբնական ամբողջական հավասարման x փոփոխականի փոխարեն. 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, որը նույնն է՝ 63=63։ Սա վավեր թվային հավասարում է, հետևաբար x=6, իրոք, հավասարման արմատն է: Այժմ մենք ստուգում ենք −1 արմատը, ունենք 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, որտեղից՝ 0=0 . Երբ x=−1, սկզբնական հավասարումը նույնպես վերածվում է ճիշտ թվային հավասարության, հետևաբար, x=−1-ը նույնպես հավասարման արմատ է։

Պատասխան.

6 , −1 .

Այստեղ հարկ է նաև նշել, որ «ամբողջ հավասարման աստիճան» տերմինը կապված է ամբողջ հավասարման հանրահաշվական հավասարման տեսքով ներկայացման հետ։ Տանք համապատասխան սահմանումը.

Սահմանում.

Ամբողջ հավասարման հզորությունըկոչվում է համարժեք հանրահաշվական հավասարման աստիճան։

Ըստ այս սահմանման՝ նախորդ օրինակի ամբողջ հավասարումն ունի երկրորդ աստիճան։

Սա կարող էր լինել ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման վերջը, եթե ոչ մի բան…. Ինչպես հայտնի է, երկրորդից բարձր աստիճանի հանրահաշվական հավասարումների լուծումը կապված է զգալի դժվարությունների հետ, իսկ չորրորդից բարձր աստիճանի հավասարումների համար ընդհանրապես արմատային բանաձևեր չկան։ Այսպիսով, լուծել երրորդ, չորրորդ և ավելի շատ հավասարումներ բարձր աստիճաններՀաճախ դուք ստիպված եք դիմել լուծման այլ մեթոդների:

Նման դեպքերում ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման մոտեցում՝ հիմնված ֆակտորիզացիայի մեթոդ. Այս դեպքում պահպանվում է հետևյալ ալգորիթմը.

• Նախ, նրանք ապահովում են, որ հավասարման աջ կողմում կա զրո, դա անելու համար նրանք արտահայտությունը փոխանցում են ամբողջ հավասարման աջից դեպի ձախ;
• այնուհետև ձախ կողմում ստացված արտահայտությունը ներկայացվում է որպես մի քանի գործոնների արտադրյալ, ինչը թույլ է տալիս անցնել մի քանի ավելի պարզ հավասարումների բազմությանը:

Ֆակտորիզացիայի միջոցով ամբողջ հավասարումը լուծելու տրված ալգորիթմը պահանջում է մանրամասն բացատրությունօրինակով.

Օրինակ.

Լուծե՛ք ամբողջ հավասարումը (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Լուծում.

Նախ, ինչպես միշտ, արտահայտությունը աջից փոխանցում ենք հավասարման ձախ կողմը՝ չմոռանալով փոխել նշանը, ստանում ենք. (x 2 −1)·(x2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0. Այստեղ միանգամայն ակնհայտ է, որ նպատակահարմար չէ ստացված հավասարման ձախ կողմը վերածել ստանդարտ ձևի բազմանդամի, քանի որ դա կտա ձևի չորրորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում: x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, որի լուծումը դժվար է։

Մյուս կողմից, ակնհայտ է, որ ստացված հավասարման ձախ կողմում մենք կարող ենք x 2 −10 x+13 , դրանով իսկ այն ներկայացնելով որպես արտադրյալ։ մենք ունենք (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ստացված հավասարումը համարժեք է սկզբնական ամբողջ հավասարմանը, և այն, իր հերթին, կարող է փոխարինվել երկու քառակուսի հավասարումների բազմությամբ x 2 −10·x+13=0 և x 2 −2·x−1=0: Դժվար չէ գտնել դրանց արմատները՝ օգտագործելով հայտնի արմատային բանաձևերը, արմատները հավասար են: Դրանք սկզբնական հավասարման ցանկալի արմատներն են:

Պատասխան.

Նաև օգտակար է ամբողջ ռացիոնալ հավասարումների լուծման համար նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդ. Որոշ դեպքերում այն ​​թույլ է տալիս անցնել այն հավասարումների, որոնց աստիճանը ցածր է սկզբնական ամբողջ հավասարման աստիճանից:

Օրինակ.

Գտեք ռացիոնալ հավասարման իրական արմատները (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Լուծում.

Այս ամբողջ ռացիոնալ հավասարումը հանրահաշվական հավասարման վերածելը, մեղմ ասած, այնքան էլ լավ գաղափար չէ, քանի որ այս դեպքում մենք կհասնենք ռացիոնալ արմատներ չունեցող չորրորդ աստիճանի հավասարման լուծման անհրաժեշտությանը: Ուստի ստիպված կլինեք այլ լուծում փնտրել։

Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ կարող եք ներմուծել նոր y փոփոխական և փոխարինել x 2 +3·x արտահայտությունը դրանով։ Այս փոխարինումը մեզ տանում է դեպի (y+1) 2 +10=−2·(y−4) ամբողջ հավասարումը, որը −2·(y−4) արտահայտությունը ձախ կողմ տեղափոխելուց և արտահայտության հետագա փոխակերպումից հետո։ այնտեղ գոյացած, վերածվում է քառակուսի հավասարման y 2 +4·y+3=0։ Այս y=−1 և y=−3 հավասարման արմատները հեշտ է գտնել, օրինակ՝ դրանք կարելի է ընտրել Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմի հիման վրա։

Այժմ մենք անցնում ենք նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդի երկրորդ մասին, այսինքն՝ հակադարձ փոխարինում կատարելուն։ Հակադարձ փոխարինումը կատարելուց հետո ստանում ենք x 2 +3 x=−1 և x 2 +3 x=−3 երկու հավասարումներ, որոնք կարելի է վերաշարադրել x 2 +3 x+1=0 և x 2 +3 x+3. =0. Օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, մենք գտնում ենք առաջին հավասարման արմատները: Իսկ երկրորդ քառակուսի հավասարումը չունի իրական արմատներ, քանի որ նրա դիսկրիմինանտը բացասական է (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ):

Պատասխան.

Ընդհանրապես, երբ գործ ունենք բարձր աստիճանի ամբողջ հավասարումների հետ, միշտ պետք է պատրաստ լինենք փնտրելու ոչ ստանդարտ մեթոդկամ դրանք լուծելու արհեստական ​​մեթոդ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Նախ, օգտակար կլինի հասկանալ, թե ինչպես լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները ձևի, որտեղ p(x) և q(x) ռացիոնալ արտահայտություններ են: Եվ հետո մենք ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է կրճատել այլ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծումը նշված տիպի հավասարումների լուծմանը:

Հավասարումը լուծելու մոտեցումներից մեկը հիմնված է հետևյալ հայտարարության վրա. u/v թվային կոտորակը, որտեղ v-ն ոչ զրոյական թիվ է (հակառակ դեպքում մենք կհանդիպենք, որը սահմանված չէ), հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրա համարիչը հավասար է զրոյի, ապա այն է, եթե և միայն, եթե u=0 . Այս պնդման ուժով հավասարման լուծումը վերածվում է երկու պայմանի` p(x)=0 և q(x)≠0:

Այս եզրակացությունը համապատասխանում է հետեւյալին կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ. Ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է

• լուծել ամբողջ ռացիոնալ հավասարումը p(x)=0 ;
• և ստուգեք, արդյոք q(x)≠0 պայմանը բավարարված է յուրաքանչյուր հայտնաբերված արմատի համար, մինչդեռ
• եթե ճիշտ է, ապա այս արմատը սկզբնական հավասարման արմատն է.
• եթե այն բավարարված չէ, ապա այս արմատը կողմնակի է, այսինքն՝ սկզբնական հավասարման արմատը չէ։

Դիտարկենք հայտարարված ալգորիթմի կիրառման օրինակ՝ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը լուծելիս։

Օրինակ.

Գտե՛ք հավասարման արմատները.

Լուծում.

Սա կոտորակային ռացիոնալ հավասարում է և այն ձևի, որտեղ p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0:

Այս տեսակի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմի համաձայն նախ պետք է լուծել 3 x−2=0 հավասարումը։ Սա գծային հավասարում, որի արմատը x=2/3 է։

Մնում է ստուգել այս արմատը, այսինքն՝ ստուգել՝ արդյոք այն բավարարում է 5 x 2 −2≠0 պայմանին։ Մենք փոխարինում ենք 2/3 թիվը 5 x 2 −2 արտահայտության մեջ x-ի փոխարեն, և ստանում ենք . Պայմանը բավարարված է, ուստի x=2/3 սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան.

2/3 .

Դուք կարող եք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծմանը մոտենալ մի փոքր այլ դիրքից: Այս հավասարումը համարժեք է սկզբնական հավասարման x փոփոխականի p(x)=0 ամբողջ թվային հավասարմանը: Այսինքն, դուք կարող եք հավատարիմ մնալ սրան կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ :

• լուծել p(x)=0 հավասարումը;
• գտնել x փոփոխականի ODZ;
• ընդունելի արժեքների տարածաշրջանին պատկանող արմատներ - դրանք սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ցանկալի արմատներն են:

Օրինակ՝ այս ալգորիթմի միջոցով լուծենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում։

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

Նախ լուծում ենք x 2 −2·x−11=0 քառակուսային հավասարումը։ Դրա արմատները կարելի է հաշվարկել օգտագործելով արմատային բանաձևը նույնիսկ երկրորդ գործակցի համար, մենք ունենք D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Եվ .

Երկրորդ, սկզբնական հավասարման համար մենք գտնում ենք x փոփոխականի ODZ-ը: Այն բաղկացած է բոլոր թվերից, որոնց համար x 2 +3·x≠0, որը նույնն է, ինչ x·(x+3)≠0, որտեղից x≠0, x≠−3:

Մնում է ստուգել, ​​թե արդյոք առաջին քայլում հայտնաբերված արմատները ներառված են ODZ-ում: Ակնհայտորեն այո։ Հետևաբար, սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ունի երկու արմատ.

Պատասխան.

Նկատի ունեցեք, որ այս մոտեցումն ավելի շահավետ է, քան առաջինը, եթե ODZ-ը հեշտ է գտնել, և հատկապես ձեռնտու է, եթե p(x) = 0 հավասարման արմատները իռացիոնալ են, օրինակ, կամ ռացիոնալ, բայց բավականին մեծ համարիչով և /կամ հայտարար, օրինակ՝ 127/1101 և −31/59: Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման դեպքերում q(x)≠0 պայմանի ստուգումը կպահանջի զգալի հաշվողական ջանք, և ODZ-ի միջոցով ավելի հեշտ է բացառել կողմնակի արմատները։

Մնացած դեպքերում, հավասարումը լուծելիս, հատկապես, երբ p(x) = 0 հավասարման արմատները ամբողջ թվեր են, ավելի ձեռնտու է օգտագործել տրված ալգորիթմներից առաջինը։ Այսինքն՝ նպատակահարմար է անմիջապես գտնել p(x)=0 ամբողջ հավասարման արմատները, այնուհետև ստուգել, ​​թե արդյոք նրանց համար բավարարված է q(x)≠0 պայմանը, այլ ոչ թե գտնել ODZ-ը, ապա լուծել հավասարումը։ p(x)=0 այս ODZ-ում: Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման դեպքերում սովորաբար ավելի հեշտ է ստուգել, ​​քան գտնել DZ-ին:

Դիտարկենք երկու օրինակների լուծումը նշված նրբերանգները լուսաբանելու համար:

Օրինակ.

Գտե՛ք հավասարման արմատները.

Լուծում.

Նախ, եկեք գտնենք ամբողջ հավասարման արմատները (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, կազմված կոտորակի համարիչով։ Ձախ կողմըայս հավասարման արտադրյալն է, իսկ աջ ձեռքը զրո է, հետևաբար, ըստ ֆակտորիզացիայի միջոցով հավասարումների լուծման մեթոդի, այս հավասարումը համարժեք է չորս հավասարումների բազմությանը 2 x−1=0, x−6=0, x. 2 −5 x+14= 0 , x+1=0: Այս հավասարումներից երեքը գծային են, իսկ մեկը՝ քառակուսի։ Առաջին հավասարումից գտնում ենք x=1/2, երկրորդից՝ x=6, երրորդից՝ x=7, x=−2, չորրորդից՝ x=−1։

Գտնված արմատներով բավականին հեշտ է ստուգել, ​​թե արդյոք սկզբնական հավասարման ձախ կողմում գտնվող կոտորակի հայտարարը անհետանում է, բայց ODZ-ի որոշումը, ընդհակառակը, այնքան էլ պարզ չէ, քանի որ դրա համար դուք պետք է լուծեք Հինգերորդ աստիճանի հանրահաշվական հավասարում. Հետևաբար, մենք կհրաժարվենք ODZ-ի հայտնաբերումից՝ հօգուտ արմատների ստուգման։ Դա անելու համար մենք դրանք մեկ առ մեկ փոխարինում ենք արտահայտության մեջ x փոփոխականի փոխարեն x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, ստացվել է փոխարինումից հետո և համեմատել դրանք զրոյի հետ՝ (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Այսպիսով, 1/2-ը, 6-ը և −2-ը սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ցանկալի արմատներն են, իսկ 7-ը և −1-ը՝ կողմնակի արմատներ։

Պատասխան.

1/2 , 6 , −2 .

Օրինակ.

Գտե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները:

Լուծում.

Նախ, եկեք գտնենք հավասարման արմատները (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Այս հավասարումը համարժեք է երկու հավասարումների բազմության՝ քառակուսի 5 x 2 −7 x−1=0 և գծային x−2=0։ Օգտագործելով քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևը, մենք գտնում ենք երկու արմատ, իսկ երկրորդ հավասարումից ունենք x=2:

Ստուգել, ​​թե արդյոք հայտարարը գնում է զրոյի x-ի հայտնաբերված արժեքներում, բավականին տհաճ է: Իսկ սկզբնական հավասարման մեջ x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքը որոշելը բավականին պարզ է: Ուստի մենք գործելու ենք ՕՁ-ի միջոցով։

Մեր դեպքում սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման x փոփոխականի ODZ-ը բաղկացած է բոլոր թվերից, բացառությամբ նրանց, որոնց համար բավարարված է x 2 +5·x−14=0 պայմանը։ Այս քառակուսային հավասարման արմատներն են x=−7 և x=2, որոնցից եզրակացություն ենք անում ODZ-ի մասին՝ այն բաղկացած է բոլոր x-ից այնպես, որ .

Մնում է ստուգել՝ արդյոք գտնված արմատները և x=2-ը պատկանում են ընդունելի արժեքների միջակայքին։ Արմատները պատկանում են, հետևաբար՝ սկզբնական հավասարման արմատներ են, իսկ x=2-ը չի պատկանում, հետևաբար՝ այն կողմնակի արմատ է։

Պատասխան.

Օգտակար կլինի նաև առանձին անդրադառնալ այն դեպքերին, երբ ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարման մեջ համարիչում կա թիվ, այսինքն՝ երբ p(x)-ը ներկայացված է ինչ-որ թվով։ Միևնույն ժամանակ

• եթե այս թիվը զրոյական չէ, ապա հավասարումը չունի արմատներ, քանի որ կոտորակը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա համարիչը հավասար է զրոյի.
• եթե այս թիվը զրո է, ապա հավասարման արմատը ODZ-ից ցանկացած թիվ է:

Օրինակ.

Լուծում.

Քանի որ հավասարման ձախ կողմում գտնվող կոտորակի համարիչը պարունակում է ոչ զրոյական թիվ, ապա ցանկացած x-ի համար այս կոտորակի արժեքը չի կարող հավասար լինել զրոյի։ Հետևաբար, այս հավասարումը արմատներ չունի։

Պատասխան.

ոչ մի արմատ:

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

Այս կոտորակային ռացիոնալ հավասարման ձախ կողմում գտնվող կոտորակի համարիչը զրո է պարունակում, ուստի այս կոտորակի արժեքը զրո է ցանկացած x-ի համար, որի համար դա իմաստ ունի: Այլ կերպ ասած, այս հավասարման լուծումը x-ի ցանկացած արժեք է այս փոփոխականի ODZ-ից:

Մնում է որոշել ընդունելի արժեքների այս շրջանակը: Այն ներառում է x-ի բոլոր արժեքները, որոնց համար x 4 +5 x 3 ≠0: x 4 +5 x 3 =0 հավասարման լուծումները 0 և −5 են, քանի որ այս հավասարումը համարժեք է x 3 (x+5)=0 հավասարմանը, և այն իր հերթին համարժեք է x երկու հավասարումների համակցությանը։ 3 =0 և x +5=0, որտեղից երևում են այս արմատները։ Հետևաբար, ընդունելի արժեքների ցանկալի միջակայքը ցանկացած x է, բացառությամբ x=0 և x=−5:

Այսպիսով, կոտորակային ռացիոնալ հավասարումն ունի անսահման շատ լուծումներ, որոնք ցանկացած թվեր են, բացառությամբ զրո և մինուս հինգ:

Պատասխան.

Վերջապես, ժամանակն է խոսելու կամայական ձևի կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման մասին: Դրանք կարելի է գրել r(x)=s(x), որտեղ r(x) և s(x) ռացիոնալ արտահայտություններ են, և դրանցից առնվազն մեկը կոտորակային է: Առաջ նայելով, ասենք, որ դրանց լուծումը հանգում է մեզ արդեն ծանոթ ձևի հավասարումների լուծմանը։

Հայտնի է, որ հակառակ նշանով տերմինը հավասարման մի մասից մյուսը փոխանցելը հանգեցնում է համարժեք հավասարման, հետևաբար r(x)=s(x) հավասարումը համարժեք է r(x)−s(x) հավասարմանը։ )=0.

Մենք նաև գիտենք, որ ցանկացած , այս արտահայտությանը նույնական հավասար, հնարավոր է: Այսպիսով, մենք միշտ կարող ենք փոխակերպել r(x)−s(x)=0 հավասարման ձախ կողմի ռացիոնալ արտահայտությունը ձևի նույնականորեն հավասար ռացիոնալ կոտորակի:

Այսպիսով, մենք սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարումից շարժվում ենք դեպի հավասարում, և դրա լուծումը, ինչպես պարզեցինք վերևում, կրճատվում է p(x)=0 հավասարման լուծմանը:

Բայց այստեղ անհրաժեշտ է հաշվի առնել այն փաստը, որ r(x)−s(x)=0-ով, այնուհետև p(x)=0-ով փոխարինելիս, x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքը կարող է ընդլայնվել: .

Հետևաբար, սկզբնական r(x)=s(x) և p(x)=0 հավասարումը, որին հասանք, կարող են անհավասար լինել, և լուծելով p(x)=0 հավասարումը, կարող ենք արմատներ ստանալ։ որոնք կլինեն սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատները r(x)=s(x) . Դուք կարող եք բացահայտել և չներառել կողմնակի արմատները պատասխանի մեջ՝ ստուգելով կամ ստուգելով, որ դրանք պատկանում են սկզբնական հավասարման ODZ-ին:

Եկեք ամփոփենք այս տեղեկատվությունը կոտորակային ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ r(x)=s(x). r(x)=s(x) կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է

• Ստացեք զրո աջ կողմում՝ արտահայտությունը աջ կողմից հակառակ նշանով տեղափոխելով։
• Կատարե՛ք գործողություններ կոտորակների և բազմանդամների հետ հավասարման ձախ կողմում՝ դրանով իսկ այն վերածելով ձևի ռացիոնալ կոտորակի:
• Լուծե՛ք p(x)=0 հավասարումը։
• Բացահայտել և վերացնել կողմնակի արմատները, որն արվում է դրանք փոխարինելով սկզբնական հավասարման մեջ կամ ստուգելով դրանց պատկանելությունը սկզբնական հավասարման ODZ-ին:

Ավելի մեծ պարզության համար մենք ցույց կտանք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ամբողջ շղթան.
.

Դիտարկենք մի քանի օրինակների լուծումները լուծման գործընթացի մանրամասն բացատրությամբ, որպեսզի պարզաբանենք տվյալ տեղեկատվական բլոկն։

Օրինակ.

Լուծե՛ք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում.

Լուծում.

Մենք գործելու ենք հենց նոր ստացված լուծման ալգորիթմի համաձայն։ Եվ նախ տերմինները հավասարման աջ կողմից տեղափոխում ենք ձախ, արդյունքում անցնում ենք հավասարմանը։

Երկրորդ քայլում մենք պետք է ստացված հավասարման ձախ կողմի կոտորակային ռացիոնալ արտահայտությունը փոխարկենք կոտորակի ձևի: Դա անելու համար մենք ռացիոնալ կոտորակները նվազեցնում ենք ընդհանուր հայտարարի և պարզեցնում ստացված արտահայտությունը՝ . Այսպիսով, մենք գալիս ենք հավասարմանը.

Հաջորդ քայլում պետք է լուծենք −2·x−1=0 հավասարումը։ Մենք գտնում ենք x=−1/2.

Մնում է ստուգել, ​​թե արդյոք գտնված −1/2 թիվը սկզբնական հավասարման կողմնակի արմատ չէ։ Դա անելու համար դուք կարող եք ստուգել կամ գտնել սկզբնական հավասարման x փոփոխականի VA-ն: Եկեք ցույց տանք երկու մոտեցումները:

Սկսենք ստուգումից։ x փոփոխականի փոխարեն −1/2 թիվը փոխարինում ենք սկզբնական հավասարման մեջ, և ստանում ենք նույնը՝ −1=−1։ Փոխարինումը տալիս է ճիշտ թվային հավասարություն, ուստի x=−1/2 սկզբնական հավասարման արմատն է։

Այժմ մենք ցույց կտանք, թե ինչպես է կատարվում ալգորիթմի վերջին կետը ODZ-ի միջոցով։ Սկզբնական հավասարման թույլատրելի արժեքների միջակայքը բոլոր թվերի բազմությունն է, բացառությամբ −1-ի և 0-ի (x=−1 և x=0-ում կոտորակների հայտարարները անհետանում են): Նախորդ քայլում հայտնաբերված x=−1/2 արմատը պատկանում է ODZ-ին, հետևաբար, x=−1/2 սկզբնական հավասարման արմատն է։

Պատասխան.

−1/2 .

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։

Օրինակ.

Գտե՛ք հավասարման արմատները.

Լուծում.

Մենք պետք է լուծենք կոտորակային ռացիոնալ հավասարում, եկեք անցնենք ալգորիթմի բոլոր քայլերը։

Նախ, մենք տերմինը տեղափոխում ենք աջ կողմից ձախ, ստանում ենք .

Երկրորդ, մենք վերափոխում ենք ձախ կողմում ձևավորված արտահայտությունը. Արդյունքում հանգում ենք x=0 հավասարմանը։

Դրա արմատն ակնհայտ է՝ զրո է։

Չորրորդ քայլում մնում է պարզել, թե արդյո՞ք հայտնաբերված արմատը հարակից է սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարմանը: Երբ այն փոխարինվում է սկզբնական հավասարման մեջ, ստացվում է արտահայտությունը: Ակնհայտ է, որ դա իմաստ չունի, քանի որ այն պարունակում է բաժանում զրոյի: Այստեղից մենք եզրակացնում ենք, որ 0-ը կողմնակի արմատ է: Հետևաբար, սկզբնական հավասարումը արմատներ չունի։

7, որը հանգեցնում է հավասար. Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ ձախ կողմի հայտարարի արտահայտությունը պետք է հավասար լինի աջ կողմի արտահայտությանը, այսինքն՝ . Այժմ եռյակի երկու կողմերից հանում ենք. Ըստ անալոգիայի, որտեղից և հետագա:

Ստուգումը ցույց է տալիս, որ հայտնաբերված երկու արմատներն էլ սկզբնական կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Հղումներ.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. 2 ժամում Մաս 1. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար / A. G. Mordkovich. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Հանրահաշիվ: 9-րդ դասարան՝ ուսումնական. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2009. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-021134-5 ։

Պարզ ասած, դրանք հավասարումներ են, որոնցում հայտարարի մեջ կա առնվազն մեկ փոփոխական:

Օրինակ.

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Օրինակ Ոչկոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ.

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ինչպե՞ս են լուծվում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները:

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների մասին, այն է, որ պետք է գրել դրանց մեջ: Իսկ արմատները գտնելուց հետո անպայման ստուգեք դրանք թույլատրելիության համար։ Հակառակ դեպքում, կարող են հայտնվել կողմնակի արմատներ, և ամբողջ որոշումը կհամարվի սխալ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Դուրս գրեք և «լուծեք» ODZ-ը:

Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով և չեղարկեք ստացված կոտորակները: Հայտարարները կվերանան։

Գրի՛ր հավասարումը առանց փակագծերը բացելու։

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը։

Ստուգեք հայտնաբերված արմատները ODZ-ով:

Պատասխանումդ գրի՛ր 7-րդ քայլի թեստն անցած արմատները։

Մի անգիր արեք ալգորիթմը, 3-5 լուծված հավասարումներ, և այն ինքնին կհիշվի:

Օրինակ . Լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Լուծում:

Պատասխան. \(3\).

Օրինակ . Գտե՛ք \(=0\) կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները

Լուծում:

Պատասխան. \(\frac(1)(2)\).

«Ռացիոնալ հավասարումներ բազմանդամներով» ամենահաճախ հանդիպող թեմաներից է թեստային առաջադրանքներՄիասնական պետական ​​քննություն մաթեմատիկայից. Այդ իսկ պատճառով դրանք արժե կրկնել հատուկ ուշադրություն. Շատ ուսանողներ բախվում են տարբերակիչին գտնելու, ցուցիչները աջից ձախ տեղափոխելու և հավասարումը ընդհանուր հայտարարի բերելու խնդրին, ինչի պատճառով նման առաջադրանքները կատարելը դժվարություններ է առաջացնում: Մեր կայքում միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելիս ռացիոնալ հավասարումների լուծումը կօգնի ձեզ արագ հաղթահարել ցանկացած բարդության խնդիրները և անցնել թեստը տարբեր գույներով:

Ընտրեք Շկոլկովո կրթական պորտալը՝ մաթեմատիկայի միասնական քննությանը հաջողությամբ պատրաստվելու համար:

Իմանալ անհայտների հաշվարկման կանոնները և հեշտությամբ ստանալ ճիշտ արդյունքներ, օգտվեք մեր առցանց ծառայությունից։ Shkolkovo պորտալը եզակի հարթակ է, որը պարունակում է այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է պատրաստվելու համար Պետական ​​միասնական քննության նյութեր. Մեր ուսուցիչները համակարգել և հասկանալի ձևով ներկայացրել են մաթեմատիկական բոլոր կանոնները։ Բացի այդ, հրավիրում ենք դպրոցականներին փորձել իրենց ուժերը ստանդարտ ռացիոնալ հավասարումների լուծման գործում, որոնց հիմքը մշտապես թարմացվում և ընդլայնվում է։

Թեստավորմանն ավելի արդյունավետ պատրաստվելու համար խորհուրդ ենք տալիս հետևել մեր հատուկ մեթոդին և սկսել կանոնները կրկնելուց և պարզ խնդիրներ լուծելուց՝ աստիճանաբար անցնելով ավելի բարդի։ Այսպիսով շրջանավարտը կկարողանա բացահայտել իր համար ամենադժվար թեմաները և կենտրոնանալ դրանց ուսումնասիրության վրա։

Սկսեք պատրաստվել Շկոլկովոյի հետ վերջնական թեստին այսօր, և արդյունքները սպասել չեն տա: Ընտրեք առավելագույնը հեշտ օրինակառաջարկվողներից։ Եթե ​​դուք արագ եք յուրացրել արտահայտությունը, անցեք ավելիին դժվար գործ. Այս կերպ Դուք կարող եք բարելավել ձեր գիտելիքները մինչև մաթեմատիկայի USE առաջադրանքները մասնագիտացված մակարդակով լուծելու աստիճան:

Ուսուցումը հասանելի է ոչ միայն Մոսկվայի շրջանավարտներին, այլև այլ քաղաքների դպրոցականներին: Օրական մի քանի ժամ անցկացրեք, օրինակ, մեր պորտալում սովորելու համար, և շատ շուտով դուք կկարողանաք հաղթահարել ցանկացած բարդության հավասարումներ: