Կայքի բաժիններ

Խմբագրի ընտրությունը.

Գովազդ

Տուն - Կահույք

Կոտորակային ամբողջ թվերի հավասարումների լուծում. Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումներ. Լուծման ալգորիթմ

Այս հոդվածում ես ձեզ ցույց կտամ յոթ տեսակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմներ, որը կարող է կրճատվել քառակուսի` փոփոխելով փոփոխականները: Շատ դեպքերում փոխակերպումները, որոնք հանգեցնում են փոխարինման, շատ աննշան են, և դրանց մասին ինքնուրույն կռահելը բավականին դժվար է։

Հավասարումների յուրաքանչյուր տեսակի համար ես կբացատրեմ, թե ինչպես կարելի է փոփոխականի փոփոխություն կատարել դրանում, իսկ հետո մանրամասն լուծում ցույց կտամ համապատասխան վիդեո ձեռնարկում։

Դուք հնարավորություն ունեք ինքներդ շարունակել լուծել հավասարումները, ապա ստուգել ձեր լուծումը տեսադասով։

Այսպիսով, եկեք սկսենք:

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Նշենք, որ հավասարման ձախ կողմում կա չորս փակագծերի արտադրյալ, իսկ աջ կողմում՝ թիվը։

1. Փակագծերը խմբավորենք երկուով, որպեսզի ազատ անդամների գումարը նույնն է։

2. Բազմապատկեք դրանք:

3. Ներկայացնենք փոփոխականի փոփոխություն։

Մեր հավասարման մեջ առաջին փակագիծը կխմբավորենք երրորդի հետ, իսկ երկրորդը՝ չորրորդին, քանի որ (-1)+(-4)=(-7)+2:

Այս պահին փոփոխականի փոխարինումը ակնհայտ է դառնում.

Մենք ստանում ենք հավասարումը

Պատասխան.

2 .

Այս տիպի հավասարումը նման է նախորդին մեկ տարբերությամբ՝ հավասարման աջ կողմում թվի և . Եվ դա լուծվում է բոլորովին այլ կերպ.

1. Փակագծերը խմբավորում ենք երկուսի, որպեսզի ազատ տերմինների արտադրյալը նույնն է։

2. Բազմապատկեք յուրաքանչյուր զույգ փակագծերը:

3. Յուրաքանչյուր գործոնից հանում ենք x:

4. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք .

5. Ներկայացնում ենք փոփոխականի փոփոխություն։

Այս հավասարման մեջ առաջին փակագիծը խմբավորում ենք չորրորդով, իսկ երկրորդը՝ երրորդով, քանի որ.

Նկատի ունեցեք, որ յուրաքանչյուր փակագծում գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են: Յուրաքանչյուր փակագծից հանենք մի գործոն.

Քանի որ x=0 սկզբնական հավասարման արմատը չէ, մենք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանում ենք . Մենք ստանում ենք.

Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Պատասխան.

3 .

Նկատի ունեցեք, որ երկու կոտորակների հայտարարներն են քառակուսի եռանկյուններ, որի համար առաջատար գործակիցը և ազատ անդամը նույնն են։ Փակագծից հանենք x-ը, ինչպես երկրորդ տիպի հավասարման մեջ։ Մենք ստանում ենք.

Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանեք x-ի.

Այժմ մենք կարող ենք ներկայացնել փոփոխականի փոխարինում.

Մենք ստանում ենք t փոփոխականի հավասարումը.

4 .

Նշենք, որ հավասարման գործակիցները սիմետրիկ են կենտրոնականի նկատմամբ։ Այս հավասարումը կոչվում է վերադարձելի .

Այն լուծելու համար,

1. Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք (Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ x=0 հավասարման արմատը չէ։) Ստանում ենք.

2. Եկեք խմբավորենք տերմինները հետևյալ կերպ.

3. Յուրաքանչյուր խմբում փակագծերից հանենք ընդհանուր գործոնը.

4. Ներկայացնենք փոխարինումը.

5. Արտահայտեք t-ի միջոցով արտահայտությունը.

Այստեղից

Մենք ստանում ենք t-ի հավասարումը.

Պատասխան.

5. Միատարր հավասարումներ.

Հավասարումների, որոնք ունեն միատարր կառուցվածք, կարելի է հանդիպել էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական և եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս, այնպես որ դուք պետք է կարողանաք ճանաչել այն:

Միատարր հավասարումները ունեն հետևյալ կառուցվածքը.

Այս հավասարության մեջ A, B և C թվեր են, իսկ քառակուսին և շրջանագիծը նշանակում են նույնական արտահայտություններ: Այսինքն, միատարր հավասարման ձախ կողմում կա նույն աստիճան ունեցող միանդամների գումարը ( այս դեպքումմիանդամների աստիճանը 2 է), իսկ ազատ անդամ չկա։

Որոշել միատարր հավասարում, երկու կողմերն էլ բաժանեք

Ուշադրություն. Հավասարման աջ և ձախ կողմերը անհայտ պարունակող արտահայտության վրա բաժանելիս կարող եք արմատներ կորցնել: Հետևաբար, անհրաժեշտ է ստուգել, թե արդյոք այն արտահայտության արմատները, որոնցով մենք բաժանում ենք հավասարման երկու կողմերը, սկզբնական հավասարման արմատներն են։

Եկեք գնանք առաջին ճանապարհով: Մենք ստանում ենք հավասարումը.

Այժմ մենք ներկայացնում ենք փոփոխական փոխարինում.

Պարզեցնենք արտահայտությունը և ստանանք բ քառակուսի հավասարումհարաբերական t:

Պատասխան.կամ

7 .

Այս հավասարումն ունի հետևյալ կառուցվածքը.

Այն լուծելու համար հարկավոր է հավասարման ձախ կողմում ընտրել ամբողջական քառակուսի:

Ամբողջական քառակուսի ընտրելու համար անհրաժեշտ է կրկնակի ավելացնել կամ հանել արտադրյալը: Այնուհետև մենք ստանում ենք գումարի կամ տարբերության քառակուսին: Սա շատ կարևոր է փոփոխականների հաջող փոխարինման համար:

Եկեք սկսենք գտնելով կրկնակի ապրանք: Սա կլինի փոփոխականը փոխարինելու բանալին: Մեր հավասարման մեջ արտադրյալի կրկնապատիկը հավասար է

Հիմա եկեք պարզենք, թե որն է մեզ համար ավելի հարմար ունենալ՝ գումարի քառակուսի՞ն, թե՞ տարբերությունը: Եկեք նախ դիտարկենք արտահայտությունների գումարը.

Հիանալի Այս արտահայտությունը ճիշտ հավասար է արտադրյալի կրկնակիին։ Այնուհետև փակագծերում գումարի քառակուսին ստանալու համար անհրաժեշտ է գումարել և հանել կրկնակի արտադրյալը.

Պարզ ասած, դրանք հավասարումներ են, որոնցում հայտարարի մեջ կա առնվազն մեկ փոփոխական:

Օրինակ՝

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Օրինակ Ոչկոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ.

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Ինչպե՞ս են լուծվում կոտորակային ռացիոնալ հավասարումները:

Հիմնական բանը, որ պետք է հիշել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների մասին, այն է, որ պետք է գրել դրանց մեջ: Իսկ արմատները գտնելուց հետո անպայման ստուգեք դրանք թույլատրելիության համար։ Հակառակ դեպքում, կարող են առաջանալ կողմնակի արմատներ, և ամբողջ որոշումը կհամարվի սխալ:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Դուրս գրեք և «լուծեք» ODZ-ը:

Հավասարման յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարև կրճատել ստացված կոտորակները: Հայտարարները կվերանան։

Գրի՛ր հավասարումը առանց փակագծերը բացելու։

Լուծե՛ք ստացված հավասարումը։

Ստուգեք հայտնաբերված արմատները ODZ-ով:

Ձեր պատասխանում գրեք 7-րդ քայլի թեստն անցած արմատները:

Մի անգիր արեք ալգորիթմը, 3-5 լուծված հավասարումներ, և այն ինքնին կհիշվի:

Օրինակ . Լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարում \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Լուծում:

Պատասխան. \(3\).

Օրինակ . Գտե՛ք \(=0\) կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները

Լուծում:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ՕՁ՝ \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Մենք գրում ենք և «լուծում» ՕՁ-ն։ Մենք ընդլայնում ենք \(x^2+7x+10\) մեջ ըստ բանաձևի՝ \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\): Բարեբախտաբար, մենք արդեն գտել ենք \(x_1\) և \(x_2\):
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Ակնհայտորեն, կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է \((x+2)(x+5)\): Մենք դրանով բազմապատկում ենք ամբողջ հավասարումը։
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Կոտորակների կրճատում
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Փակագծերի բացում
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ
\(2x^2+9x-5=0\)		Գտնելով հավասարման արմատները
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Արմատներից մեկը չի համապատասխանում ODZ-ին, ուստի պատասխանում գրում ենք միայն երկրորդ արմատը։

Պատասխան. \(\frac(1)(2)\).

Դասի նպատակները.

Ուսումնական:

կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հայեցակարգի ձևավորում;
դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման տարբեր եղանակներ.
դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ, ներառյալ այն պայմանը, որ կոտորակը հավասար է զրոյի.
սովորեցնել լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ՝ օգտագործելով ալգորիթմ;
թեստի յուրացման մակարդակի ստուգում` թեստ անցկացնելով.

Զարգացնող:

ձեռք բերված գիտելիքներով ճիշտ աշխատելու և տրամաբանորեն մտածելու կարողության զարգացում.
ինտելեկտուալ հմտությունների և մտավոր գործողությունների զարգացում - վերլուծություն, սինթեզ, համեմատություն և ընդհանրացում;
նախաձեռնության զարգացում, որոշումներ կայացնելու կարողություն և դրանով կանգ չառնելը.
քննադատական մտածողության զարգացում;
հետազոտական հմտությունների զարգացում.

Ուսուցում.

առարկայի նկատմամբ ճանաչողական հետաքրքրության խթանում;
որոշումների կայացման հարցում անկախության խթանում կրթական առաջադրանքներ;
կամք և հաստատակամություն զարգացնել վերջնական արդյունքների հասնելու համար:

Դասի տեսակըդաս - նոր նյութի բացատրություն:

Դասի առաջընթաց

1. Կազմակերպչական պահ.

Բարև տղաներ: Գրատախտակին գրված են հավասարումներ, ուշադիր նայեք: Կարո՞ղ եք լուծել այս բոլոր հավասարումները: Որոնք չեն և ինչու:

Այն հավասարումները, որոնցում ձախ և աջ կողմերը կոտորակային ռացիոնալ արտահայտություններ են, կոչվում են կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ: Ի՞նչ եք կարծում, ի՞նչ ենք սովորելու այսօր դասարանում: Ձևակերպեք դասի թեման. Այսպիսով, բացեք ձեր նոթատետրերը և գրեք դասի թեման «Կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում»:

2. Գիտելիքների թարմացում. Ճակատային հարցում, բանավոր աշխատանք դասարանի հետ.

Իսկ հիմա կկրկնենք հիմնական տեսական նյութը, որը մեզ անհրաժեշտ կլինի նոր թեմա ուսումնասիրելու համար։ Խնդրում եմ պատասխանել հետևյալ հարցերին.

Ի՞նչ է հավասարումը: ( Հավասարություն փոփոխականի կամ փոփոխականների հետ.)
Ինչպե՞ս է կոչվում թիվ 1 հավասարումը: ( Գծային.) Լուծում գծային հավասարումներ. (Ամեն ինչ փոխանցեք անհայտի հետ ձախ կողմըհավասարումներ, բոլոր թվերը աջ կողմում են: Տվեք նմանատիպ տերմիններ: Գտեք անհայտ գործոն).
Ինչպե՞ս է կոչվում թիվ 3 հավասարումը: ( Քառակուսի.) Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. ( Ամբողջական քառակուսու մեկուսացում Վիետայի թեորեմի և դրա հետևանքների օգտագործմամբ բանաձևերի միջոցով.)
Ի՞նչ է համամասնությունը: ( Երկու հարաբերակցության հավասարություն.) Համամասնության հիմնական հատկությունը. ( Եթե համամասնությունը ճիշտ է, ապա դրա ծայրահեղ անդամների արտադրյալը հավասար է միջին անդամների արտադրյալին.)
Ի՞նչ հատկություններ են օգտագործվում հավասարումներ լուծելիս: ( 1. Եթե հավասարման մեջ մի անդամ տեղափոխեք մի մասից մյուսը՝ փոխելով դրա նշանը, կստանաք տրվածին համարժեք հավասարում։ 2. Եթե հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն ոչ զրոյական թվով, ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում..)
Ե՞րբ է կոտորակը հավասար զրոյի: ( Կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը զրո չէ։.)

3. Նոր նյութի բացատրություն.

Լուծե՛ք թիվ 2 հավասարումը ձեր տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 10.

Ի՞նչ կոտորակային ռացիոնալ հավասարում կարող եք փորձել լուծել՝ օգտագործելով համամասնության հիմնական հատկությունը: (թիվ 5):

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Լուծե՛ք թիվ 4 հավասարումը ձեր տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 1,5.

Ի՞նչ կոտորակային ռացիոնալ հավասարում կարող եք փորձել լուծել՝ հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով հայտարարի վրա: (թիվ 6):

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Պատասխանել: 3;4.

Այժմ փորձեք լուծել թիվ 7 հավասարումը` օգտագործելով հետևյալ մեթոդներից մեկը.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x (x-5) (x 2 -3x-10) = 0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Պատասխանել: 0;5;-2.			Պատասխանել: 5;-2.

Բացատրեք, թե ինչու դա տեղի ունեցավ: Ինչո՞ւ մի դեպքում երեք արմատ կա, մյուս դեպքում՝ երկու։ Ո՞ր թվերն են այս կոտորակային ռացիոնալ հավասարման արմատները:

Մինչ այժմ ուսանողները չեն հանդիպել կողմնակի արմատ հասկացությանը, իրոք, նրանց համար շատ դժվար է հասկանալ, թե ինչու է դա տեղի ունեցել. Եթե դասարանում ոչ ոք չի կարող հստակ բացատրություն տալ այս իրավիճակին, ապա ուսուցիչը տալիս է առաջատար հարցեր:

Ինչպե՞ս են թիվ 2 և 4 հավասարումները տարբերվում թիվ 5,6,7 հավասարումներից: ( Թիվ 2 և 4 հավասարումներում հայտարարում կան թվեր, 5-7-ը՝ փոփոխականով արտահայտություններ..)
Ո՞րն է հավասարման արմատը: ( Այն փոփոխականի արժեքը, որի դեպքում հավասարումը դառնում է ճշմարիտ.)
Ինչպե՞ս պարզել, արդյոք թիվը հավասարման արմատն է: ( Ստուգեք.)

Թեստավորման ժամանակ որոշ ուսանողներ նկատում են, որ պետք է բաժանեն զրոյի: Նրանք եզրակացնում են, որ 0 և 5 թվերը այս հավասարման արմատները չեն։ Հարց է առաջանում՝ կա՞ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու միջոց, որը թույլ է տալիս վերացնել այս սխալը։ Այո, այս մեթոդը հիմնված է այն պայմանի վրա, որ կոտորակը հավասար է զրոյի։

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2:

Եթե x=5, ապա x(x-5)=0, ինչը նշանակում է, որ 5-ը կողմնակի արմատ է:

Եթե x=-2, ապա x(x-5)≠0:

Պատասխանել: -2.

Փորձենք այսպես ձևակերպել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ։ Երեխաներն իրենք են ձևակերպում ալգորիթմը:

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

Տեղափոխեք ամեն ինչ ձախ կողմում:
Կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի:
Ստեղծեք համակարգ. կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ համարիչը հավասար է զրոյի, իսկ հայտարարը հավասար չէ զրոյի:
Լուծե՛ք հավասարումը.
Ստուգեք անհավասարությունը՝ բացառելու կողմնակի արմատները:
Պատասխանը գրի՛ր։

Քննարկում. ինչպես կարելի է ձևակերպել լուծումը, եթե օգտագործում եք համամասնության հիմնական հատկությունը և հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով ընդհանուր հայտարարով: (Լուծմանը ավելացրե՛ք. արմատներից բացառե՛ք ընդհանուր հայտարարը վերացնողները):

4. Նոր նյութի սկզբնական ըմբռնում.

Աշխատեք զույգերով. Աշակերտներն իրենք են ընտրում, թե ինչպես լուծել հավասարումը` կախված հավասարման տեսակից: Առաջադրանքներ «Հանրահաշիվ 8» դասագրքից, Յու.Ն. Մակարիչև, 2007: Թիվ 600 (b,c,i); Թիվ 601 (ա, է, է). Ուսուցիչը հետևում է առաջադրանքի կատարմանը, պատասխանում է ծագած ցանկացած հարցի և օգնում է ցածր առաջադիմություն ունեցող ուսանողներին: Ինքնաթեստ. պատասխանները գրված են գրատախտակին:

բ) 2 – կողմնակի արմատ. Պատասխան՝ 3.

գ) 2 – կողմնակի արմատ. Պատասխան՝ 1.5.

ա) Պատասխան՝ -12.5.

է) Պատասխան՝ 1;1.5.

5. Տնային առաջադրանքների սահմանում.

Դասագրքից կարդացեք 25-րդ պարբերությունը, վերլուծեք 1-3 օրինակները:
Սովորեք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ:
Լուծել թիվ 600 տետրերում (ա, դ, ե); Թիվ 601(գ,հ).
Փորձեք լուծել թիվ 696(ա) (ըստ ցանկության):

6. Ուսումնասիրված թեմայի վերաբերյալ վերահսկիչ առաջադրանքի կատարում:

Աշխատանքը կատարվում է թղթի կտորների վրա։

Օրինակ առաջադրանք.

Ա) Հավասարումներից որո՞նք են կոտորակային ռացիոնալ.

Բ) Կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ համարիչը _____________________ է, իսկ հայտարարը՝ ___________________:

Հ) Արդյո՞ք -3 թիվը 6-րդ հավասարման արմատն է:

Դ) Լուծե՛ք թիվ 7 հավասարումը.

Առաջադրանքի գնահատման չափանիշները.

«5»-ը տրվում է, եթե ուսանողը ճիշտ է կատարել առաջադրանքի 90%-ից ավելին:
«4» - 75%-89%
«3» - 50%-74%
«2»-ը տրվում է այն աշակերտին, ով կատարել է առաջադրանքի 50%-ից պակաս:
Ամսագրում 2 վարկանիշ չի տրվում, 3-ը պարտադիր չէ:

7. Անդրադարձ.

Անկախ աշխատանքային թերթիկների վրա դրեք.

1 – եթե դասը ձեզ համար հետաքրքիր և հասկանալի էր.
2 – հետաքրքիր, բայց ոչ պարզ;
3 – ոչ հետաքրքիր, բայց հասկանալի;
4 – հետաքրքիր չէ, պարզ չէ:

8. Ամփոփելով դասը.

Այսպիսով, այսօր դասին մենք ծանոթացանք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հետ, սովորեցինք, թե ինչպես լուծել այս հավասարումները տարբեր ձևերով, իրենց գիտելիքները ստուգեցին թրեյնինգի օգնությամբ ինքնուրույն աշխատանք. Ձեր ինքնուրույն աշխատանքի արդյունքները կիմանաք հաջորդ դասին, իսկ տանը հնարավորություն կունենաք համախմբել ձեր գիտելիքները։

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ո՞ր մեթոդն է, ըստ Ձեզ, ավելի հեշտ, հասանելի և ավելի ռացիոնալ։ Անկախ կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման մեթոդից, ի՞նչ պետք է հիշել։ Ո՞րն է կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների «խորամանկությունը»:

Շնորհակալություն բոլորին, դասն ավարտվեց:

«Կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում»

Դասի նպատակները.

Ուսումնական:

կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հայեցակարգի ձևավորում; դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման տարբեր եղանակներ. դիտարկել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ, ներառյալ այն պայմանը, որ կոտորակը հավասար է զրոյի. սովորեցնել լուծել կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ՝ օգտագործելով ալգորիթմ; թեստի յուրացման մակարդակի ստուգում՝ թեստ անցկացնելով.

Զարգացնող:

ձեռք բերված գիտելիքներով ճիշտ աշխատելու և տրամաբանորեն մտածելու կարողության զարգացում. ինտելեկտուալ հմտությունների և մտավոր գործողությունների զարգացում - վերլուծություն, սինթեզ, համեմատություն և ընդհանրացում; նախաձեռնության զարգացում, որոշումներ կայացնելու կարողություն և դրանով կանգ չառնելը. քննադատական մտածողության զարգացում; հետազոտական հմտությունների զարգացում.

Ուսուցում.

առարկայի նկատմամբ ճանաչողական հետաքրքրության խթանում; կրթական խնդիրների լուծման հարցում անկախության խթանում. կամք և հաստատակամություն զարգացնել վերջնական արդյունքների հասնելու համար:

Դասի տեսակըդաս - նոր նյութի բացատրություն:

Դասի առաջընթաց

1. Կազմակերպչական պահ.

2. Գիտելիքների թարմացում. Ճակատային հարցում, բանավոր աշխատանք դասարանի հետ.

1. Ի՞նչ է հավասարումը: ( Հավասարություն փոփոխականի կամ փոփոխականների հետ.)

2. Ինչպե՞ս է կոչվում թիվ 1 հավասարումը: ( Գծային.) Գծային հավասարումների լուծման մեթոդ: ( Տեղափոխեք ամեն ինչ անհայտով հավասարման ձախ կողմում, բոլոր թվերը՝ աջ: Տվեք նմանատիպ տերմիններ: Գտեք անհայտ գործոն).

3. Ինչպե՞ս է կոչվում թիվ 3 հավասարումը: ( Քառակուսի.) Քառակուսային հավասարումների լուծման մեթոդներ. ( Ամբողջական քառակուսու մեկուսացում Վիետայի թեորեմի և դրա հետևանքների օգտագործմամբ բանաձևերի միջոցով.)

4. Ի՞նչ է համամասնությունը: ( Երկու հարաբերակցության հավասարություն.) Համամասնության հիմնական հատկությունը. ( Եթե համամասնությունը ճիշտ է, ապա դրա ծայրահեղ անդամների արտադրյալը հավասար է միջին անդամների արտադրյալին.)

5. Ի՞նչ հատկություններ են օգտագործվում հավասարումներ լուծելիս: ( 1. Եթե հավասարման մեջ մի անդամ տեղափոխեք մի մասից մյուսը՝ փոխելով դրա նշանը, կստանաք տրվածին համարժեք հավասարում։ 2. Եթե հավասարման երկու կողմերը բազմապատկվեն կամ բաժանվեն միևնույն ոչ զրոյական թվով, ստացվում է տրվածին համարժեք հավասարում..)

6. Ե՞րբ է կոտորակը հավասար զրոյի: ( Կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ համարիչը զրո է, իսկ հայտարարը զրո չէ։.)

3. Նոր նյութի բացատրություն.

Լուծե՛ք թիվ 2 հավասարումը ձեր տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 10.

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Լուծե՛ք թիվ 4 հավասարումը ձեր տետրերում և գրատախտակում։

Պատասխանել: 1,5.

D=1›0, x1=3, x2=4.

Պատասխանել: 3;4.

Այժմ փորձեք լուծել թիվ 7 հավասարումը` օգտագործելով հետևյալ մեթոդներից մեկը.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Պատասխանել: 0;5;-2.			Պատասխանել: 5;-2.

Թիվ 2 և 4 հավասարումներում հայտարարում կան թվեր, 5-7-ը՝ փոփոխականով արտահայտություններ.

Այն փոփոխականի արժեքը, որի դեպքում հավասարումը դառնում է ճշմարիտ

Ստուգեք

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Եթե x=5, ապա x(x-5)=0, ինչը նշանակում է, որ 5-ը կողմնակի արմատ է:

Եթե x=-2, ապա x(x-5)≠0:

Պատասխանել: -2.

Կոտորակի ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

1. Ամեն ինչ տեղափոխեք ձախ կողմը:

2. Կոտորակները փոքրացնել ընդհանուր հայտարարի:

3. Ստեղծիր համակարգ. կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ համարիչը հավասար է զրոյի, իսկ հայտարարը հավասար չէ զրոյի:

4. Լուծի՛ր հավասարումը.

5. Ստուգեք անհավասարությունը՝ բացառելու կողմնակի արմատները:

6. Գրի՛ր պատասխանը։

4. Նոր նյութի սկզբնական ըմբռնում.

Աշխատեք զույգերով. Աշակերտներն իրենք են ընտրում, թե ինչպես լուծել հավասարումը` կախված հավասարման տեսակից: Առաջադրանքներ «Հանրահաշիվ 8» դասագրքից, 2007թ.՝ թիվ 000 (բ, գ, ի); Թիվ 000 (ա, դ, է): Ուսուցիչը հետևում է առաջադրանքի կատարմանը, պատասխանում է ծագած ցանկացած հարցի և օգնություն ցուցաբերում ցածր առաջադիմություն ունեցող ուսանողներին: Ինքնաթեստ. պատասխանները գրված են գրատախտակին:

բ) 2 – կողմնակի արմատ. Պատասխան՝ 3.

գ) 2 – կողմնակի արմատ. Պատասխան՝ 1.5.

ա) Պատասխան՝ -12.5.

է) Պատասխան՝ 1;1.5.

5. Տնային առաջադրանքների սահմանում.

2. Իմացեք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծման ալգորիթմը:

3. Լուծել թիվ 000 տետրերում (ա, դ, ե); Թիվ 000 (գ, հ).

4. Փորձեք լուծել No 000(a) (ըստ ցանկության):

6. Ուսումնասիրված թեմայի վերաբերյալ վերահսկիչ առաջադրանքի կատարում:

Աշխատանքը կատարվում է թղթի կտորների վրա։

Օրինակ առաջադրանք.

Ա) Հավասարումներից որո՞նք են կոտորակային ռացիոնալ.

Բ) Կոտորակը հավասար է զրոյի, երբ համարիչը _____________________ է, իսկ հայտարարը՝ ___________________:

Հ) Արդյո՞ք -3 թիվը 6-րդ հավասարման արմատն է:

Դ) Լուծե՛ք թիվ 7 հավասարումը.

Առաջադրանքի գնահատման չափանիշները.

«5» տրվում է, եթե ուսանողը ճիշտ է կատարել առաջադրանքի 90%-ից ավելին: «4» - 75%-89% «3» - 50%-74% «2» տրվում է այն ուսանողին, ով կատարել է առաջադրանքի 50%-ից պակաս: Ամսագրում 2 վարկանիշ չի տրվում, 3-ը պարտադիր չէ:

7. Անդրադարձ.

Անկախ աշխատանքային թերթիկների վրա դրեք.

1 – եթե դասը ձեզ համար հետաքրքիր և հասկանալի էր. 2 – հետաքրքիր, բայց ոչ պարզ; 3 – ոչ հետաքրքիր, բայց հասկանալի; 4 – հետաքրքիր չէ, պարզ չէ:

8. Ամփոփելով դասը.

Այսպիսով, այսօր դասին մենք ծանոթացանք կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների հետ, սովորեցինք լուծել այս հավասարումները տարբեր ձևերով և ինքնուրույն ուսումնական աշխատանքի միջոցով ստուգեցինք մեր գիտելիքները։ Ձեր ինքնուրույն աշխատանքի արդյունքները կիմանաք հաջորդ դասին, իսկ տանը հնարավորություն կունենաք համախմբել ձեր գիտելիքները։

Շնորհակալություն բոլորին, դասն ավարտվեց:

Տ.Կոսյակովա,
Կրասնոդարի թիվ 80 դպրոց

Պարամետրեր պարունակող քառակուսի և կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում

Դաս 4

Դասի թեման.

Դասի նպատակը.զարգացնել պարամետրեր պարունակող կոտորակային ռացիոնալ հավասարումներ լուծելու կարողություն.

Դասի տեսակը.նոր նյութի ներդրում.

1. (Բանավոր) Լուծե՛ք հավասարումները.

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում.

Գտնենք անվավեր արժեքներ ա:

Պատասխանել. Եթե Եթե ա = – 19 , ուրեմն արմատներ չկան։

Օրինակ 2. Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում.

Եկեք գտնենք պարամետրերի անվավեր արժեքներ ա :

10 – ա = 5, ա = 5;

10 – ա = ա, ա = 5.

Պատասխանել. Եթե ա = 5 ա № 5 , Դա x=10– ա .

Օրինակ 3. Պարամետրերի ինչ արժեքներով բ հավասարումը ունի:

ա) երկու արմատ; բ) միակ արմատը.

Լուծում.

1) Գտեք պարամետրի անվավեր արժեքներ բ :

x = բ, բ 2 (բ 2 – 1) – 2բ 3 + բ 2 = 0, բ 4 – 2բ 3 = 0,
բ= 0 կամ բ = 2;
x = 2, 4 ( բ 2 – 1) – 4բ 2 + բ 2 = 0, բ 2 – 4 = 0, (բ – 2)(բ + 2) = 0,
բ= 2 կամ բ = – 2.

2) Լուծե՛ք հավասարումը x 2 ( բ 2 – 1) – 2բ 2x+ բ 2 = 0:

D=4 բ 4 – 4բ 2 (բ 2 – 1), D = 4 բ 2 .

Ա)

Պարամետրերի անվավեր արժեքների բացառումը բ , գտնում ենք, որ հավասարումն ունի երկու արմատ, եթե բ № – 2, բ № – 1, բ № 0, բ № 1, բ № 2 .

բ) 4բ 2 = 0, բ = 0, բայց սա պարամետրի անվավեր արժեք է բ ; Եթե բ 2 –1=0 , այսինքն. բ=1 կամ.

Պատասխան. ա) եթե բ № –2 , բ № –1, բ № 0, բ № 1, բ № 2 , ապա երկու արմատ; բ) եթե բ=1 կամ b=–1 , ապա միակ արմատը։

Անկախ աշխատանք

Տարբերակ 1

Լուծե՛ք հավասարումները.

Տարբերակ 2

Լուծե՛ք հավասարումները.

Պատասխաններ

Բ-1. ա) Եթե ա=3 , ապա արմատներ չկան; Եթե բ) եթե ա № 2 , ուրեմն արմատներ չկան։

Բ-2.Եթե ա=2 , ապա արմատներ չկան; Եթե ա=0 , ապա արմատներ չկան; Եթե
բ) եթե ա=– 1 , ապա հավասարումը դառնում է անիմաստ; եթե արմատներ չկան;
Եթե

Տնային առաջադրանք.

Լուծե՛ք հավասարումները.

Պատասխաններ՝ ա) Եթե ա № –2 , Դա x= ա ; Եթե ա=–2 , ապա լուծումներ չկան; բ) եթե ա № –2 , Դա x=2; Եթե ա=–2 , ապա լուծումներ չկան; գ) եթե ա=–2 , Դա x- ցանկացած թիվ, բացառությամբ 3 ; Եթե ա № –2 , Դա x=2; դ) եթե ա=–8 , ապա արմատներ չկան; Եթե ա=2 , ապա արմատներ չկան; Եթե

Դաս 5

Դասի թեման.«Պարամետրեր պարունակող կոտորակային ռացիոնալ հավասարումների լուծում».

Դասի նպատակները.

ոչ ստանդարտ պայմաններով հավասարումների լուծման ուսուցում;
Հանրահաշվական հասկացությունների և դրանց միջև կապերի գիտակցված յուրացում ուսանողների կողմից:

Դասի տեսակը.համակարգում և ընդհանրացում։

Տնային առաջադրանքների ստուգում.

Օրինակ 1. Լուծե՛ք հավասարումը

ա) x-ի համեմատ; բ) հարաբերական y.

Լուծում.

ա) Գտեք անվավեր արժեքներ y: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0- պարամետրի անվավեր արժեք y.

Եթե y№ 0 , Դա x=y–2; Եթե y=0, ապա հավասարումը դառնում է անիմաստ։

բ) Գտեք պարամետրի անվավեր արժեքներ x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- պարամետրի անվավեր արժեք x; y(2+x–y)=0, y=0կամ y=2+x;

y=0չի բավարարում պայմանը y (y–x)№ 0 .

Պատասխան. ա) եթե y=0, ապա հավասարումը դառնում է անիմաստ; Եթե y№ 0 , Դա x=y–2; բ) եթե x=0 x№ 0 , Դա y=2+x .

Օրինակ 2. Ա պարամետրի որ ամբողջ արժեքների համար են հավասարման արմատները պատկանում է ընդմիջմանը

D = (3 ա + 2) 2 – 4ա(ա+ 1) 2 = 9 ա 2 + 12ա + 4 – 8ա 2 – 8ա,

D = ( ա + 2) 2 .

Եթե ա № 0 կամ ա № – 1 , Դա

Պատասխան. 5 .

Օրինակ 3. Գտեք համեմատաբար xհավասարումների ամբողջական լուծումներ

Պատասխանել. Եթե y=0, ապա հավասարումը իմաստ չունի; Եթե y=–1, Դա x- ցանկացած ամբողջ թիվ, բացի զրոյից; Եթե y№ 0, y№ – 1, ուրեմն լուծումներ չկան։

Օրինակ 4.Լուծե՛ք հավասարումը պարամետրերով ա Եվ բ .

Եթե ա№ – բ , Դա

Պատասխանել. Եթե ա= 0 կամ b= 0 , ապա հավասարումը դառնում է անիմաստ; Եթե ա№ 0, բ№ 0, a=–b , Դա x- ցանկացած թիվ, բացի զրոյից; Եթե ա№ 0, բ№ 0, ա№ - բ, Դա x=–a, x=–b .

Օրինակ 5. Ապացուցեք, որ n պարամետրի ցանկացած արժեքի համար, բացի զրոյից, հավասարումը ունի մեկ արմատ հավասար – n .

Լուծում.

այսինքն. x=–n, ինչը ապացուցման կարիք ուներ։

Տնային առաջադրանք.

1. Գտե՛ք հավասարման ամբողջական լուծումներ

2. Պարամետրերի ինչ արժեքներով գհավասարումը ունի:
ա) երկու արմատ; բ) միակ արմատը.

3. Գտի՛ր հավասարման բոլոր ամբողջ թվային արմատները Եթե աՄԱՍԻՆ Ն .

4. Լուծե՛ք հավասարումը 3xy – 5x + 5y = 7:ա) համեմատաբար y; բ) համեմատաբար x .

1. Հավասարումը բավարարվում է x-ի և y-ի ցանկացած ամբողջ հավասար արժեքով, բացի զրոյից:
2. ա) Երբ
բ) ժամը կամ
3. – 12; – 9; 0 .
4. ա) Եթե ուրեմն արմատներ չկան. Եթե
բ) եթե ուրեմն արմատներ չկան. Եթե

Փորձարկում

Տարբերակ 1

1. Որոշի՛ր հավասարման տեսակը 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 երբ: ա) c=–3; բ) c=2 ; V) c=4 .

2. Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) x 2 –bx=0 ;բ) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Լուծե՛ք հավասարումը 3x–xy–2y=1:

ա) համեմատաբար x ;
բ) համեմատաբար y .

nx 2 – 26x + n = 0,իմանալով, որ n պարամետրը ընդունում է միայն ամբողջ թվեր:

5. b-ի ինչ արժեքներով է հավասարումը ունի:

ա) երկու արմատ;
բ) միակ արմատը.

Տարբերակ 2

1. Որոշի՛ր հավասարման տեսակը 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0երբ: ա) c=–4 ;բ) c=7 ; V) c=1 .

2. Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) y 2 +cy=0 ;բ) ny 2 –8y+2=0 ; V)

3. Լուծե՛ք հավասարումը 6x–xy+2y=5:

ա) համեմատաբար x ;
բ) համեմատաբար y .

4. Գտե՛ք հավասարման ամբողջ թվային արմատները nx 2 –22x+2n=0,իմանալով, որ n պարամետրը ընդունում է միայն ամբողջ թվեր:

5. A պարամետրի ինչ արժեքների համար է հավասարումը ունի:

ա) երկու արմատ;
բ) միակ արմատը.

Պատասխաններ

Բ-1. 1. ա) Գծային հավասարում;
բ) թերի քառակուսի հավասարումը. գ) քառակուսի հավասարում.
2. ա) Եթե b=0, Դա x=0; Եթե b№ 0, Դա x=0, x=b;
բ) Եթե cՕ (9;+Ґ), ապա արմատներ չկան;
գ) եթե ա=–4 , ապա հավասարումը դառնում է անիմաստ; Եթե ա№ –4 , Դա x=– ա .
3. ա) Եթե y=3, ապա արմատներ չկան; Եթե);
բ) ա=–3, ա=1.

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

Լուծե՛ք հավասարումները.

գրականություն

1. Գոլուբև Վ.Ի., Գոլդման Ա.Մ., Դորոֆեև Գ.Վ. Պարամետրերի մասին հենց սկզբից. – Դաստիարակ, թիվ 2/1991, էջ. 3–13.
2. Գրոնշտեյն Պ.Ի., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Նախադրյալներպարամետրերի հետ կապված խնդիրների դեպքում. – Կվանտ, թիվ 11/1991, էջ. 44–49 թթ.
3. Դորոֆեև Գ.Վ., Զատակավայ Վ.Վ. Խնդրի լուծումՊարամետրեր պարունակող. Մաս 2. – Մ., Հեռանկար, 1990, էջ. 2–38։
4. Տինյակին Ս.Ա. Հինգ հարյուր տասնչորս խնդիր պարամետրերով: - Վոլգոգրադ, 1991 թ.
5. Յաստրեբինեցկի Գ.Ա. Պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ. – Մ., Կրթություն, 1986:

Կարդացեք.

Ինչու՞ եք երազում փոթորիկի մասին ծովի ալիքների վրա: բյուջեով հաշվարկների հաշվառում Շոռակարկանդակներ կաթնաշոռից տապակի մեջ - դասական բաղադրատոմսեր փափկամազ շոռակարկանդակների համար Շոռակարկանդակներ 500 գ կաթնաշոռից Սև մարգարիտ սալորաչիրով աղցան Սև մարգարիտ սալորաչիրով Լեխո տոմատի մածուկով բաղադրատոմսեր

Կարդացեք.