Նկատի ունենալով թարգմանական և պտտվող շարժումները՝ մենք կարող ենք անալոգիա հաստատել դրանց միջև։ Թարգմանական շարժման կինեմատիկան օգտագործում է ուղի ս, արագություն  և արագացում Ա. Պտտման շարժման մեջ նրանց դերը խաղում է  պտտման անկյունը,  անկյունային արագությունը և ε անկյունային արագացումը։ Թարգմանական շարժման դինամիկայի մեջ օգտագործվում են ուժ և զանգված հասկացությունները Տև իմպուլս Պտտվող շարժման մեջ ուժի դերը խաղում է պահը
ուժեր, զանգվածի դերը՝ իներցիայի պահը Ի z եւ իմպուլսի դերը՝ անկյունային իմպուլս Իմանալով թարգմանական շարժման բանաձևերը՝ հեշտ է գրել պտտվող շարժման բանաձևերը։ Օրինակ, միատեսակ շարժման դեպքում անցած հեռավորությունը հաշվարկվում է բանաձևով. ս =  տ, իսկ պտտման անկյան հետ՝  =  բանաձեւով տ. Նյուտոնի երկրորդ օրենքը
Եվ
իսկ պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական օրենքն է
Եվ
Թարգմանական շարժման ժամանակ մարմնի թափը հավասար է
իսկ պտտվող շարժման ժամանակ անկյունային իմպուլսն է
Այս անալոգիան կարելի է շարունակել հետագա։

Ուժի աշխատանք թարգմանական շարժման ժամանակ: Իշխանություն

Թող մարմինը (նյութական կետը) հաստատուն ուժի ազդեցությամբ , շարժման ուղղության հետ ստեղծելով հաստատուն անկյուն , շարժվում է ուղղագիծ որոշ հղման համակարգում և անցնում ճանապարհը. լ. Այնուհետեւ, ինչպես հայտնի է դպրոցական ֆիզիկայի դասընթացից, աշխատանքը Աայս ուժը հայտնաբերվում է բանաձևով.

Ա= Ֆլ· cos  = Ֆ լ լ, (1)

Այժմ դիտարկենք աշխատանքի հաշվարկման ընդհանուր դեպքը, երբ մարմինը փոփոխական ուժի ազդեցության տակ շարժվում է կոր ճանապարհով: Ճանապարհին լընտրել տարրական բաժին դլ, որի շրջանակներում կարելի է դիտարկել ուժը իսկ անկյունը  հաստատուն արժեքներ են, իսկ հատվածն ինքնին ուղղագիծ է: Հետո աշխատիր dAայս բաժնում մենք գտնում ենք, օգտագործելով բանաձևը (1). dA = Ֆ· դլ· cos. Աշխատանք Աամբողջ ճանապարհի երկայնքով հավասար է աշխատանքի գումարին dA, այսինքն.

(2)

Սրբապատկեր լինտեգրալ միջոցներով, որ ինտեգրումն իրականացվում է ամբողջ ճանապարհով լ.

Բանաձևին (2) կարելի է այլ ձև տալ, եթե օգտագործենք վեկտորների սկալյար արտադրյալը: Այնուհետև ինտեգրանդը dAգրվելու է հետևյալ ձևով. dA = Ֆ· դլ· cos=
Որտեղ տարրական տեղաշարժի վեկտորն է, և

(3)

Բանաձևից (1) պարզ է դառնում, որ աշխատանքը հանրահաշվական մեծություն է։ Աշխատանքի նշանը կախված է  անկյունից։ Եթե ​​ անկյունը սուր է, ապա cos  > 0 և աշխատանքը դրական է, իսկ եթե  անկյունը բութ է, աշխատանքը բացասական է:

SI աշխատանքի միավորը ջոուլն է (J): Այն ներկայացվում է (1) բանաձևից, որտեղ cos  = 1 ենթադրվում է 1 J 1 մ ուղու վրա 1 Ն ուժի կատարած աշխատանքը, պայմանով, որ ուժի և տեղաշարժի ուղղությունները համընկնեն..

Աշխատանքի արագությունը բնութագրելու համար ներկայացվում է հզորություն հասկացությունը, որը հավասար է ժամանակի միավորի վրա կատարված աշխատանքին։ Եթե ​​տարրական ժամանակաշրջան dtտարրական աշխատանք է կատարվում dA, ապա իշխանությունը Ռհավասար է

(4)

SI միավորներում հզորությունը չափվում է վտ-ով (Վտ): Ինչպես հետևում է (4-ից), 1 W = 1 J / 1 վ, այսինքն. 1 Վ- Սա այն հզորությունն է, որով 1 Ջ աշխատանք է կատարվում 1 վրկ-ում:

Ուժի աշխատանքը պտտվող շարժման ժամանակ

Դիտարկենք կոշտ մարմին, որը փոփոխական ուժի ազդեցությամբ պտտվում է առանցքի շուրջ զինչ-որ անկյան տակ. Այս ուժը ստեղծում է ոլորող մոմենտ Մ z, պտտելով մարմինը: Ուժը շոշափելիորեն ուղղված է այն շրջանագծին, որով շարժվում է ուժի կիրառման կետը։ Ուստի անկյուն = 0. Հաշվի առնելով դա, մեխանիկական աշխատանքի բանաձևի անալոգիայով (տե՛ս (2)) մենք գտնում ենք այն արտահայտությունը, որով պտտվող շարժման ընթացքում աշխատանքը հաշվարկվում է.

(5)

Աշխատանքը դրական կլինի, եթե ուժի շոշափող բաղադրիչի ուղղությունը համընկնի պտտման ուղղության հետ, և բացասական, եթե դրանք հակառակ ուղղությամբ են։

Դասախոսության ուրվագիծ

Իներցիայի պահը.

Իշխանության պահը. Պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական հավասարումը.

Իմպուլսի պահը. Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը.

Աշխատանքը և կինետիկ էներգիան պտտվող շարժման ժամանակ:

1. Իներցիայի պահը.

Պտտվող շարժումը դիտարկելիս անհրաժեշտ է ներմուծել նոր ֆիզիկական հասկացություններ՝ իներցիայի պահ, ուժի պահ, իմպուլսի պահ։

Իներցիայի մոմենտը մարմնի իներցիայի չափումն է մարմնի պտտվող շարժման ժամանակ։

Իներցիայի պահըՊտտման ֆիքսված առանցքի նկատմամբ նյութական կետը հավասար է դրա զանգվածի արտադրյալին դիտարկվող պտտման առանցքի հեռավորության քառակուսիով (նկ. 1).

կախված է միայն նյութական կետի զանգվածից և նրա դիրքից՝ պտտման առանցքի նկատմամբ և կախված չէ բուն պտույտի առկայությունից։

Իներցիայի պահը սկալյար և հավելումային մեծություն է, հետևաբար մարմնի իներցիայի պահը հավասար է նրա բոլոր կետերի իներցիայի մոմենտների գումարին.

.

Զանգվածի շարունակական բաշխման դեպքում այս գումարը նվազում է մինչև ինտեգրալը.

,

որտեղ է փոքր մարմնի ծավալի զանգվածը
, - մարմնի խտությունը, - հեռավորությունը տարրից
դեպի պտտման առանցքը:

Իներցիայի պահը պտտվող շարժման ժամանակ զանգվածի անալոգն է։ Որքան մեծ է մարմնի իներցիայի պահը, այնքան ավելի դժվար է փոխել պտտվող մարմնի անկյունային արագությունը։ Իներցիայի պահը իմաստ ունի միայն պտտման առանցքի տվյալ դիրքի համար: Պարզապես «իներցիայի պահի» մասին խոսելն անիմաստ է։ Դա կախված է.

1) պտտման առանցքի դիրքից.

2) մարմնի զանգվածի բաշխումից պտտման առանցքի նկատմամբ, այսինքն. մարմնի ձևի և չափի վրա.

Ասվածի փորձարարական ապացույցը գլորվող բալոնների փորձն է։

Որոշ միատարր մարմինների համար ինտեգրվելով՝ կարող ենք ստանալ հետևյալ բանաձևերը (պտտման առանցքն անցնում է մարմնի զանգվածի կենտրոնով).

Օղակի իներցիայի պահը (մենք անտեսում ենք պատի հաստությունը) կամ խոռոչ գլան.

R շառավղով սկավառակի կամ պինդ գլանի իներցիայի պահը.

.

Գնդակի իներցիայի պահը

Ձողի իներցիայի պահը

Ե Եթե ​​մարմնի համար հայտնի է զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը, ապա առաջինին զուգահեռ ցանկացած առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը գտնում ենք ըստ. Շտայների թեորեմմարմնի իներցիայի մոմենտը կամայական առանցքի նկատմամբ հավասար է J 0 իներցիայի մոմենտին՝ տվյալին զուգահեռ և մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ՝ ավելացված մարմնի զանգվածի արտադրյալին։ և առանցքների միջև հեռավորության քառակուսին:

Որտեղ դհեռավորությունը զանգվածի կենտրոնից ՄԱՍԻՆդեպի պտտման առանցքը (նկ. 2):

Զանգվածի կենտրոն- երևակայական կետ, որի դիրքը բնութագրում է տվյալ մարմնի զանգվածի բաշխումը. Մարմնի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է այնպես, ինչպես նույն զանգվածի նյութական կետը կշարժվի տվյալ մարմնի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի ազդեցության տակ։

Իներցիայի մոմենտի հասկացությունը մեխանիկա է ներմուծվել հայրենի գիտնական Լ. Էյլերի կողմից 18-րդ դարի կեսերին և այդ ժամանակից ի վեր լայնորեն օգտագործվել է կոշտ մարմնի դինամիկայի բազմաթիվ խնդիրների լուծման համար։ Իներցիայի պահի արժեքը գործնականում պետք է հայտնի լինի տարբեր պտտվող բաղադրիչների և համակարգերի (թռչող անիվներ, տուրբիններ, էլեկտրական շարժիչի ռոտորներ, գիրոսկոպներ) հաշվարկելիս: Իներցիայի պահը ներառված է մարմնի (նավ, ինքնաթիռ, արկ և այլն) շարժման հավասարումների մեջ։ Որոշվում է, երբ մարդն ուզում է իմանալ արտաքին խանգարման (քամու պոռթկում և այլն) ազդեցության տակ գտնվող զանգվածի կենտրոնի շուրջ օդանավի պտտման շարժման պարամետրերը։

Բարդ շարժումները դիտարկելիս, ինչպիսիք են մարդու մարմնի շարժումները (քայլել, վազել, ցատկել և այլն), թվում է, թե դժվար կամ նույնիսկ անհնար է նկարագրել նրա բոլոր կետերի շարժումը։ Այնուամենայնիվ, վերլուծելով նման շարժումները, կարելի է նկատել, որ դրանք բաղկացած են ավելի պարզից՝ թարգմանական և պտտվող շարժումներից։

Թարգմանական շարժման մեխանիզմը հայտնի է ընթերցողին, ուստի բաժինը սկսվում է պտտվող շարժման դիտարկմամբ: Ամենապարզը կոշտ մարմնի պտույտն է ֆիքսված առանցքի շուրջ։ Այս դեպքը թույլ է տալիս ծանոթանալ պտտվող շարժման առանձնահատկություններին, տերմինաբանությանը և օրենքներին:

5.1. Բացարձակ պինդ մարմնի պտտվող շարժման կինեմատիկա ֆիքսված առանցքի շուրջ.

Բացարձակ կոշտ մարմին է համարվում այն ​​մարմինը, որի հեռավորությունը ցանկացած երկու կետերի միջև հաստատուն է:

Բացարձակ կոշտ մարմնի չափերն ու ձևը չեն փոխվում, երբ այն շարժվում է:

«Բացարձակ կոշտ մարմին» հասկացությունը ֆիզիկական աբստրակցիա է, քանի որ ցանկացած մարմին ընդունակ է դեֆորմացման: Այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում դեֆորմացիան կարող է անտեսվել:

Բացարձակ կոշտ մարմնի պտտման ամենապարզ դեպքը պտտումն է հաստատուն առանցքի շուրջ։ Սա շարժում է, որի ժամանակ մարմնի կետերը շարժվում են շրջանագծով, որոնց կենտրոնները գտնվում են ուղիղ գծի վրա, որը կոչվում է պտտման առանցք:

Հայտնի է, որ որոշ դեպքերում մարմնի շարժումը բնութագրելու համար անհրաժեշտ չէ նշել նրա բոլոր կետերի շարժումը. այնպես որ, օրինակ, թարգմանական շարժման մեջ բավական է նշել մարմնի ցանկացած կետի շարժումը։

Առանցքի շուրջ պտտվող շարժման ժամանակ մարմնի կետերը շարժվում են տարբեր հետագծերով, բայց միևնույն ժամանակ բոլոր կետերը և մարմինը պտտվում են նույն անկյան տակ։ Պտտման բնութագրերի համար

Առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա նկարիր որոշակի կետի շառավիղի վեկտորը ես(նկ. 5.1): Շառավիղի վեկտորի պտտման α անկյան ժամանակային կախվածությունը որոշ ընտրված OX ուղղության նկատմամբ կոշտ մարմնի պտտվող շարժման հավասարումն է ֆիքսված առանցքի շուրջ.

Մարմնի պտտման արագությունը բնութագրվում է անկյունային արագությամբ, որը հավասար է շառավիղի վեկտորի պտտման անկյան առաջին ածանցյալին ժամանակի նկատմամբ.

Անկյունային արագությունը վեկտոր է, որն ուղղված է պտտման առանցքի երկայնքով և կապված է պտտման ուղղության հետ աջ պտուտակի կանոնով (նկ. 5.2): Անկյունային արագության վեկտորը, ի տարբերություն արագության և ուժի վեկտորների, սահում է. այն չունի կիրառման կոնկրետ կետ և կարող է տեղակայվել պտտման առանցքի ցանկացած կետում։ Այսպիսով, ω վեկտորը նշելը ցույց է տալիս պտտման առանցքի դիրքը, պտտման ուղղությունը և անկյունային արագության մեծությունը:

Անկյունային արագության փոփոխության արագությունը բնութագրվում է անկյունային արագացումով, որը հավասար է անկյունային արագության առաջին ածանցյալին ժամանակի նկատմամբ.

կամ վեկտորային ձևով.

(5.4)-ից պարզ է դառնում, որ անկյունային արագացման վեկտորը ուղղության մեջ համընկնում է անկյունային արագության վեկտորի տարրական, բավականին փոքր փոփոխության dω: արագացված պտույտով անկյունային արագացումը ուղղվում է նույն ուղղությամբ, ինչ անկյունային արագությունը, դանդաղ պտույտով՝ հակառակ ուղղությամբ։

Քանի որ բացարձակ կոշտ մարմնի բոլոր կետերի անկյունային տեղաշարժը նույնն է, ուրեմն, ըստ (5.2) և (5.3) կետերի, մարմնի բոլոր կետերը միաժամանակ ունեն նույն անկյունային արագությունը և նույն անկյունային արագացումը։ Գծային բնութագրերը՝ տեղաշարժը, արագությունը, արագացումը, տարբեր են տարբեր կետերի համար: Սկալյար տեսքով նշենք շառավղով շրջանով շարժվող i-րդ կետի գծային և անկյունային բնութագրերի միջև կապը, որը կարող է ստացվել ինքնուրույն։ r ես:

Բրինձ. 5.3

Եզրափակելով՝ ներկայացնում ենք ֆիքսված առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի պտտման շարժման կինեմատիկայի բանաձևերը, որոնք ստացվել են համապատասխան արտահայտությունների ինտեգրմամբ.

միատեսակ պտտվող շարժման հավասարում[սմ. (5.2)]:

Անկյունային արագության կախվածությունը ժամանակից միատեսակ պտտվող շարժման մեջ[սմ. (5.3)]:

հավասարաչափ փոփոխական պտտվող շարժման հավասարումը[սմ. (5.1) և (5.6)]:

Օգտակար է համեմատել այս բանաձևերը թարգմանական շարժման նմանատիպ կախվածությունների հետ:

5.2. ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ. ՊՏՈՏԱՅԻՆ ՇԱՐԺՄԱՆ ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄ

Ուժի պահ _

Թողեք ինչ-որ կետ եսկոշտ մարմնի վրա կիրառվող ուժ F^,պառկած է պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթության վրա (նկ. 5.4):

Պտտման առանցքի նկատմամբ ուժի պահը i կետի շառավիղի վեկտորի վեկտորի արտադրյալն է և ուժը.

Ընդլայնելով այն՝ կարող եք գրել.

Որտեղ β - վեկտորների միջև անկյուն r iԵվ F i.Քանի որ ուժի ուսին h i = r i sinβ (տես նկ. 5.4), ապա

Եթե ​​ուժը գործում է պտտման հարթության նկատմամբ α անկյան տակ (նկ. 5.5), ապա այն կարող է քայքայվել երկու բաղադրիչի։ Դրանցից մեկը գտնվում է պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթության մեջ, իսկ մյուսը զուգահեռ է այս առանցքին և չի ազդում մարմնի պտույտի վրա (իրականում այն ​​գործում է միայն առանցքակալների վրա)։ Այնուհետև դիտարկվելու են միայն պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթությունում գտնվող ուժերը:

Բրինձ. 5.4

Բրինձ. 5.5

Աշխատեք պտտվող շարժման մեջ

Թող ուժի գործողության տակ F i(տես նկ. 5.4) մարմինը պտտվում է բավական փոքր dα անկյան միջով: Գտնենք այս ուժի կատարած աշխատանքը։

Ավագ դպրոցից հայտնի ուժի աշխատանքի արտահայտությունն այս դեպքում պետք է գրվի հետևյալ կերպ.

Այսպիսով,

Պտտման շարժման ժամանակ ուժի տարրական աշխատանքը հավասար է ուժի պահի և մարմնի պտտման տարրական անկյան արտադրյալին։

Եթե ​​մարմնի վրա գործում են մի քանի ուժեր, ապա նրանց բոլորի կատարած տարրական աշխատանքը որոշվում է նույն կերպ (5.12).

Որտեղ Մ- մարմնի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի ընդհանուր պահը.

Եթե, երբ մարմինը պտտվում է, շառավիղի վեկտորի դիրքը α 1-ից փոխվում է α 2, ապա արտաքին ուժերի աշխատանքը կարելի է գտնել ինտեգրելով արտահայտությունը (5.13).

Իներցիայի պահը

Թարգմանական շարժման ժամանակ մարմինների իներցիայի չափը զանգվածն է։ Պտտման ընթացքում մարմինների իներցիան կախված է ոչ միայն զանգվածից, այլև դրա բաշխվածությունից տարածության մեջ՝ առանցքի նկատմամբ։ Պտտման ընթացքում մարմնի իներցիայի չափը բնութագրվում է պտտման առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահով։ Նախ նշենք դա

Պտտման առանցքի նկատմամբ նյութական կետի իներցիայի պահը արժեք է, որը հավասար է կետի զանգվածի արտադրյալին առանցքից նրա հեռավորության քառակուսու վրա.

Առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահը մարմինը կազմող բոլոր նյութական կետերի իներցիայի մոմենտների գումարն է.

Որպես օրինակ, մենք բխում ենք բանաձևից բարակ միատարր ձողի իներցիայի պահըերկարությունը լեւ զանգված Տձողին ուղղահայաց և դրա միջով անցնող առանցքի համեմատ (նկ. 5.6): Եկեք ընտրենք գավազանի բավական փոքր հատված երկարությամբ dxեւ զանգված դմ, 00» առանցքից հեռավորության վրա X.Այս տարածքի փոքրության պատճառով այն կարելի է ընդունել որպես նյութական կետ, նրա իներցիայի պահը [տես. (5.15)] հավասար է.

Տարրական հատվածի զանգվածը հավասար է գծային խտության արտադրյալին տ/լ,բազմապատկած տարրական հատվածի երկարությամբ. դմ= (m/l) dx Այս արտահայտությունը փոխարինելով (5.18)՝ ստանում ենք

Ամբողջ ձողի իներցիայի պահը գտնելու համար մենք ինտեգրում ենք արտահայտությունը (5.19) ամբողջ ձողի վրա, այսինքն. -1/2-ից մինչև +1/2:

Ներկայացնենք զանգվածի տարբեր սիմետրիկ մարմինների իներցիայի պահերի արտահայտություններ T:

խոռոչ համասեռ գլան(օղակ) ներքին շառավղով rև արտաքին Ռ OO առանցքի համեմատ», որը համընկնում է մխոցի երկրաչափական առանցքի հետ (նկ. 5.7):

շարունակական միատարր գլան (r = 0) կամ սկավառակ [տես (5.21)]:

համասեռ գնդակ իր կենտրոնով անցնող առանցքի համեմատ.

ուղղանկյուն զուգահեռական համեմատ OO առանցքի հետ, որն անցնում է իր կենտրոնով` հիմքի հարթությանը ուղղահայաց (նկ. 5.8).

Վերոնշյալ բոլոր օրինակներում պտտման առանցքն անցնում է մարմնի զանգվածի կենտրոնով։ Մարմնի իներցիայի պահը զանգվածի կենտրոնով չանցնող առանցքի նկատմամբ որոշելու խնդիրներ լուծելիս կարելի է օգտագործել Հյուգենսի թեորեմը։ Այս թեորեմի համաձայն՝ մարմնի իներցիայի պահը OO առանցքի նկատմամբ».

որտեղ J 0 իներցիայի պահն է OO մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող զուգահեռ առանցքի նկատմամբ»; Տ- մարմնի քաշը; դ- հեռավորությունը երկու զուգահեռ առանցքների միջև (նկ. 5.9): Իներցիայի պահի միավորն է կիլոգրամ մետր քառակուսի(կգ-մ2):

Իմպուլս

իմպուլսի պահը(անկյունային իմպուլս)որոշակի առանցքի շուրջ պտտվող նյութական կետը կոչվում է արժեք, որը հավասար է պտտման առանցքից իր հեռավորության վրա գտնվող կետի իմպուլսի արտադրյալին.

Որոշակի առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի անկյունային իմպուլսը հավասար է մարմինը կազմող կետերի անկյունային իմպուլսի գումարին.

Քանի որ կոշտ մարմնի բոլոր կետերի անկյունային արագությունը նույնն է, ω-ն հանելով գումարի նշանից [տես. (5.29)], մենք ստանում ենք.

(/ - մարմնի իներցիայի պահը առանցքի նկատմամբ), կամ վեկտորի տեսքով.

Այսպիսով, անկյունային իմպուլսը հավասար է կետի իներցիայի պահի և անկյունային արագության արտադրյալին։ Դրանից բխում է, որ անկյունային իմպուլսի և անկյունային արագության վեկտորների ուղղությունները համընկնում են։ Անկյունային իմպուլսի միավորն է կիլոգրամ մետր քառակուսի վայրկյանում(կգ? մ2? վ -1):

Օգտակար է (5.31) բանաձևը համեմատել թարգմանական շարժման իմպուլսի համանման բանաձևի հետ:

Պտտվող մարմնի կինետիկ էներգիա

Երբ մարմինը պտտվում է, նրա կինետիկ էներգիան բաղկացած է մարմնի առանձին կետերի կինետիկ էներգիաներից։ Պինդի համար.

Օգտակար է համեմատել արտահայտությունը (5.32) թարգմանական շարժման համանման արտահայտության հետ:

Տարբերակելով (5.32)՝ մենք ստանում ենք կինետիկ էներգիայի տարրական փոփոխություն պտտվող շարժման մեջ.

Պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական հավասարումը

Թող կոշտ մարմինը, որի վրա գործել են արտաքին ուժեր, պտտվի բավական փոքր անկյան տակ da. Նման պտույտի ժամանակ հավասարեցնենք բոլոր արտաքին ուժերի տարրական աշխատանքը [տես. (5.13)] կինետիկ էներգիայի տարրական փոփոխության [տես. (5.33)]: Մ dα = Ջω dω , որտեղից:

Սա այն է հիմնականՊտտման շարժման դինամիկայի հավասարումը.(5.35)-ից պարզ է դառնում, որ իներցիայի մոմենտը բնութագրում է պտտվող շարժման մեջ գտնվող մարմնի իներցիոն հատկությունները. արտաքին ուժերի ազդեցությամբ մարմնի անկյունային արագացումն ավելի մեծ է, որքան փոքր է մարմնի իներցիայի պահը։

Պտտման շարժման հիմնական հավասարումը կատարում է նույն դերը, ինչ Նյուտոնի երկրորդ օրենքը թարգմանական շարժման համար: Այս հավասարման մեջ ներառված ֆիզիկական մեծությունները համապատասխանաբար նման են ուժին, զանգվածին և արագացմանը:

Սկսած (5.34) հետևում է, որ.

Մարմնի անկյունային իմպուլսի ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է բոլոր արտաքին ուժերի արդյունքի մոմենտին։

Անկյունային արագացման կախվածությունը ուժի և իներցիայի պահից կարելի է ցույց տալ.

սարքի հզորությամբ, որը ներկայացված է Նկ. 5.10. Բեռի տակ 1, կախվելով բլոկի վրա նետված թելի վրա՝ խաչը արագ պտտվում է: Շարժվող կշիռներ 2 պտտման առանցքից տարբեր հեռավորությունների վրա կարող եք փոխել խաչի իներցիայի պահը: Բեռների փոփոխություն, այսինքն. ուժերի պահերը և իներցիայի պահը, կարելի է ստուգել, ​​որ անկյունային արագացումը մեծանում է ուժի պահի ավելացման կամ իներցիայի պահի նվազման հետ:

5.3. ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔ

Դիտարկենք պտտվող շարժման հատուկ դեպքը, երբ արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտը զրո է։ Ինչպես երևում է (5.37), դլ/դտ= 0 ժամը M = 0, որտեղից

Այս դրույթը հայտնի է որպես Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը. Եթե մարմնի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտը զրո է, ապա այս մարմնի անկյունային իմպուլսը մնում է հաստատուն։

Բաց թողնելով ապացույցը՝ մենք նշում ենք, որ անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը գործում է ոչ միայն բացարձակ կոշտ մարմնի համար։

Այս օրենքի ամենահետաքրքիր կիրառությունները կապված են ընդհանուր առանցքի շուրջ մարմինների համակարգի պտույտի հետ։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է հաշվի առնել անկյունային իմպուլսի և անկյունային արագությունների վեկտորային բնույթը։ Այսպիսով, համակարգի համար, որը բաղկացած է ՆԸնդհանուր առանցքի շուրջ պտտվող մարմինները, անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը կարելի է գրել հետևյալ ձևով.

Դիտարկենք այս օրենքը լուսաբանող մի քանի օրինակ:

Մարմնամարզուհին, ով կատարում է սալտո (նկ. 5.11) սկզբնական փուլում, ծալում է իր ծնկները և սեղմում դրանք կրծքավանդակի վրա՝ դրանով իսկ նվազեցնելով իներցիայի պահը և մեծացնելով զանգվածի կենտրոնով անցնող հորիզոնական առանցքի շուրջ պտտման անկյունային արագությունը։ Ցատկի վերջում մարմինը ուղղվում է, իներցիայի պահը մեծանում է, իսկ անկյունային արագությունը նվազում է։ Պտույտի սկզբում ուղղահայաց առանցքի շուրջ պտույտ կատարող չմշկողը (նկ. 5.12) ձեռքերն ավելի է մոտեցնում մարմնին, դրանով իսկ նվազեցնելով իներցիայի պահը և մեծացնելով անկյունային արագությունը։ Պտտման վերջում տեղի է ունենում հակառակ ընթացքը՝ թեւերը շարժելիս մեծանում է իներցիայի պահը, իսկ անկյունային արագությունը՝ նվազում, ինչը հեշտացնում է կանգառը։

Նույն երևույթը կարող է դրսևորվել Ժուկովսկու նստարանին, որն իրենից ներկայացնում է թեթև հորիզոնական հարթակ, որը պտտվում է ցածր շփումով ուղղահայաց առանցքի շուրջ: Երբ ձեռքերի դիրքը փոխվում է, իներցիայի պահը և անկյունային արագությունը փոխվում են (նկ. 5.13), անկյունային իմպուլսը մնում է հաստատուն։ Ցուցադրական էֆեկտը ուժեղացնելու համար մարդու ձեռքերում համրեր են: Ժուկովսկու նստարանին դուք կարող եք ցույց տալ անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի վեկտորային բնույթը:

Փորձարարը, կանգնած նստարանի վրա, օգնականից ստանում է հեծանիվի անիվ, որը պտտվում է ուղղահայաց առանցքի շուրջ (նկ. 5.14, ձախ): Այս դեպքում անձի և հարթակ-անիվի համակարգի անկյունային իմպուլսը որոշվում է միայն անիվի անկյունային իմպուլսով.

այստեղ J h-ը անձի և հարթակի իներցիայի պահն է. J K և ω κ - անիվի իներցիայի և անկյունային արագության պահը: Քանի որ ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ արտաքին ուժերի պահը զրո է, ուրեմն Լպահպանված է (L = const):

Եթե ​​փորձարարը անիվի պտտման առանցքը պտտում է 180°-ով (նկ. 5.14, աջ), ապա անիվի անկյունային իմպուլսը ուղղված կլինի բնօրինակին հակառակ և հավասար J K ω K-ին։ Քանի որ անիվի անկյունային իմպուլսի վեկտորը փոխվում է, և համակարգի անկյունային իմպուլսը պահպանվում է, մարդու և հարթակի անկյունային իմպուլսը պետք է անխուսափելիորեն փոխվի, այն այլևս հավասար չի լինի զրոյի: Համակարգի անկյունային իմպուլսը այս դեպքում

1 Անիվի առանցքի և հարթակի պտտման առանցքի միջև մի փոքր անհամապատասխանությունը կարող է անտեսվել:

Օգտագործելով բանաձևը (5.42) կարելի է մոտավորապես գնահատել մարդու մարմնի իներցիայի պահը հարթակի հետ միասին, որի համար անհրաժեշտ է չափել ω κ, ω 4 և գտնել J k։

Միատեսակ պտույտի անկյունային արագությունների չափման մեթոդը հայտնի է ընթերցողին։ Իմանալով անիվի զանգվածը և ենթադրելով, որ զանգվածը հիմնականում բաշխված է եզրագծի երկայնքով, օգտագործելով (5.22) բանաձևը կարող ենք որոշել J k.

Սխալը նվազեցնելու համար կարող եք ավելի ծանրացնել հեծանիվի անիվի եզրը՝ վրան հատուկ անվադողեր դնելով։ Մարդը պետք է սիմետրիկ դիրքավորվի պտտման առանցքի նկատմամբ:

Դիտարկվող ցուցադրության ավելի պարզ տարբերակն այն է, որ Ժուկովսկու նստարանին կանգնած մարդն ինքն է պտտում անիվը, որը նա բռնում է ուղղահայաց առանցքի վրա: Այս դեպքում մարդն ու հարթակը սկսում են պտտվել հակառակ ուղղություններով (նկ. 5.15):

5.4. ՊՈՏԱՑՄԱՆ ԱԶԱՏ ԿԱՑԻՆԵՐԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող մարմինը սովորաբար գործում է առանցքակալների կամ այլ սարքերի վրա, որոնք հաստատուն են պահում այդ առանցքի դիրքը։ Բարձր անկյունային արագությունների և իներցիայի պահերի դեպքում այդ ազդեցությունները կարող են նշանակալի լինել: Սակայն ցանկացած մարմնում կարելի է առանց հատուկ սարքերի ընտրել առանցքներ, որոնց ուղղությունը պտտման ժամանակ կպահպանվի։ Հասկանալու համար, թե ինչպիսի պայման պետք է բավարարի նման առանցքների ընտրությունը, դիտարկենք հետևյալ օրինակը.

Համեմատելով (5.43) զանգվածի կենտրոնի կոորդինատների հետ՝ նկատում ենք, որ առանցքի վրա ազդող ուժերը հավասարակշռված են, եթե պտտման առանցքն անցնում է զանգվածի կենտրոնով։

Կամայական ձևի մարմինը միշտ ունի զանգվածի կենտրոնով անցնող առնվազն երեք փոխադարձ ուղղահայաց առանցք, որոնք կարող են լինել պտտման ազատ առանցքներ: Այս առանցքները կոչվում են իներցիայի հիմնական առանցքներ։ Չնայած իներցիայի բոլոր երեք հիմնական առանցքներն ազատ են, ամենակայուն պտույտը կլինի իներցիայի ամենամեծ մոմենտ ունեցող առանցքի շուրջ։ Փաստն այն է, որ արտաքին ուժերի անխուսափելի գործողության արդյունքում, ինչպիսին է շփումը, և նաև այն պատճառով, որ դժվար է որոշակի առանցքի շուրջ պտույտ սահմանել, մնացած ազատ առանցքների շուրջ պտույտը անկայուն է:

Որոշ դեպքերում, երբ մարմինը պտտվում է իներցիայի փոքր մոմենտով ազատ առանցքի շուրջ, նա ինքն է փոխում այս առանցքը ամենաբարձր մոմենտ ունեցող առանցքի:

Այս երեւույթը ցույց է տալիս հետեւյալ փորձը. Գլանաձև ձողը էլեկտրական շարժիչից կախված է թելով, որը կարող է պտտվել իր երկրաչափական առանցքի շուրջը (նկ. 5.17, ա): Այս առանցքի շուրջ իներցիայի պահը J 1 = mR 2/2:Բավականաչափ բարձր անկյունային արագության դեպքում փայտիկը կփոխի իր դիրքը (նկ. 5.17, բ): Նոր առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը հավասար է J 2 = մլ 2/12. Եթե ​​l 2 >6R 2, ապա J 2 > J 1: Նոր առանցքի շուրջ պտույտը կայուն կլինի.

Ընթերցողը կարող է ինքնուրույն ստուգել փորձից, որ նետված լուցկու տուփի պտույտը կայուն է ավելի մեծ դեմքին ուղղահայաց ընթացող առանցքի նկատմամբ, և անկայուն կամ պակաս կայուն՝ այլ երեսներին ուղղահայաց ընթացող առանցքների նկատմամբ (տես Նկար 5.8):

Կենդանիների և մարդկանց պտույտը ազատ թռիչքի և տարբեր թռիչքների ժամանակ տեղի է ունենում իներցիայի ամենաբարձր կամ ամենացածր պահով ազատ առանցքների շուրջ։ Քանի որ զանգվածի կենտրոնի դիրքը կախված է մարմնի կեցվածքից, տարբեր կեցվածքների համար կլինեն տարբեր ազատ առանցքներ։

5.5. ԱԶԱՏՈՒԹՅԱՆ ԱՍՏԻՃԱՆՆԵՐԻ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆԸ

Ազատ նյութական կետի դիրքը տարածության մեջ տրված է երեք անկախ կոորդինատներով՝ x, y, z: Եթե ​​կետը ազատ չէ, այլ շարժվում է, օրինակ, ինչ-որ մակերևույթի երկայնքով, ապա ոչ բոլոր երեք կոորդինատներն են անկախ:

Մեխանիկական համակարգի դիրքը բնութագրող անկախ փոփոխականները կոչվում են ազատության աստիճաններ։

Ազատ նյութական կետն ունի ազատության երեք աստիճան, դիտարկված օրինակում՝ ազատության երկու աստիճան: Քանի որ միատոմ գազի մոլեկուլը կարող է դիտվել որպես նյութական կետ, հետևաբար, այդպիսի ազատ մոլեկուլն ունի նաև ազատության երեք աստիճան։

Եվս մի քանի օրինակ։

Երկու նյութական կետեր 1 և 2 կոշտ միացված են միմյանց: Երկու կետերի դիրքը նշվում է վեց կոորդինատներով x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2,որոնք ենթակա են մեկ սահմանափակման և մեկ կապի՝ մաթեմատիկորեն արտահայտված հավասարման տեսքով.

Ֆիզիկապես դա նշանակում է, որ նյութական կետերի միջև հեռավորությունը միշտ է լ.Այս դեպքում ազատության աստիճանների թիվը 5 է։ Դիտարկված օրինակը երկատոմային մոլեկուլի մոդելն է։

Երեք նյութական կետեր 1, 2 և 3 կոշտ կապված են միմյանց հետ: ընկեր. Ինը կոորդինատներ բնութագրում են նման համակարգի դիրքը. x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2, x 3 y 3, z 3. Այնուամենայնիվ, կետերի միջև երեք կապերը որոշում են միայն վեց կոորդինատների անկախությունը: Համակարգն ունի ազատության վեց աստիճան: Քանի որ երեք կետերի դիրքը, որոնք չեն գտնվում նույն ուղիղ գծի վրա, եզակիորեն որոշում են կոշտ մարմնի դիրքը, ապա կոշտ մարմինն ունի ազատության վեց աստիճան:

Եռատոմային և բազմատոմային մոլեկուլներն ունեն նույն թվով ազատության աստիճաններ (վեց), եթե այդ մոլեկուլները համարվում են կոշտ գոյացություններ։

1 Եթե կախված կոորդինատի համար ստացվում է երևակայական արժեք (5.44), դա նշանակում է, որ ընտրված անկախ կոորդինատները չեն համապատասխանում տվյալ շառավղով գնդերի վրա գտնվող որևէ կետի:

Իրական բազմատոմային մոլեկուլներում ատոմները գտնվում են թրթռումային շարժման մեջ, ուստի այդպիսի մոլեկուլների ազատության աստիճանների թիվը վեցից ավելի է։

Ազատության աստիճանների թիվը որոշում է ոչ միայն մեխանիկական համակարգի դիրքը բնութագրող անկախ փոփոխականների, այլև, որը շատ կարևոր է, համակարգի անկախ շարժումների քանակը։ Այսպիսով, ազատ նյութական կետի ազատության երեք աստիճանը նշանակում է, որ կետի ցանկացած շարժում կարող է քայքայվել երեք կոորդինատային առանցքներով անկախ շարժումների։ Քանի որ կետը չափեր չունի, անիմաստ է խոսել դրա պտույտի մասին։ Այսպիսով, նյութական կետը թարգմանական շարժման ազատության երեք աստիճան ունի: Հարթության, գնդիկի կամ այլ մակերևույթի վրա գտնվող նյութական կետն ունի երկու աստիճանի թարգմանական շարժման ազատություն: Նյութական կետի շարժումը կորի երկայնքով (պայմանական օրինակ է գնացքի շարժումը ռելսերի վրա) համապատասխանում է թարգմանական շարժման ազատության մեկ աստիճանին։

Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող կոշտ մարմինն ունի պտտման ազատության մեկ աստիճան։ Գնացքի անիվն ունի ազատության երկու աստիճան՝ մեկը պտտվող շարժումն է, իսկ մյուսը՝ փոխադրական (անիվի առանցքը ռելսի երկայնքով շարժելը)։ Կոշտ մարմնի ազատության վեց աստիճանը նշանակում է, որ այս մարմնի ցանկացած շարժում կարող է տարրալուծվել բաղադրիչների. զանգվածի կենտրոնի շարժումը տրոհվում է երեք փոխադրական շարժումների կոորդինատային առանցքների երկայնքով, իսկ պտույտը բաղկացած է երեք ավելի պարզ պտույտներից կոորդինատային առանցքների շուրջ։ անցնելով զանգվածի կենտրոնով.

Նկ. 5.18-5.20 ցույց են տալիս կախովի հոդերը, որոնք համապատասխանում են ազատության մեկ, երկու և երեք աստիճաններին:

Բրինձ. 5.18

Բրինձ. 5.19

Բրինձ. 5.20

5.6. ՑԵՆՏՐԻՖՈՒԳԱՑՈՒՄ

Ցենտրիֆուգացիան տարասեռ համակարգերի, օրինակ՝ մասնիկների տարանջատման (տարանջատման) գործընթացն է այն հեղուկներից, որոնցում դրանք գտնվում են՝ իրենց պտույտի շնորհիվ։

Դիտարկենք անհամասեռ համակարգերի տարանջատումը գրավիտացիոն դաշտում: Ենթադրենք, որ գոյություն ունի տարբեր խտության մասնիկների ջրային կասեցում: Ժամանակի ընթացքում ձգողականության և լողացող ուժի գործողության շնորհիվ Ֆ Ատեղի է ունենում մասնիկների տարանջատում. ջրի խտությունից ավելի մեծ մասնիկները սուզվում են, ջրի խտությունից փոքր մասնիկները լողում են: Արդյունքում ուժը, որը գործում է, օրինակ, ավելի խիտ առանձին մասնիկի վրա հավասար է.

Որտեղ ρ 1 - մասնիկների նյութի խտությունը; ρ - ջրի խտություն; Վ- մասնիկների ծավալը.

Եթե ​​ρ 1-ի և ρ-ի արժեքները քիչ են տարբերվում միմյանցից, ապա ուժը Fpփոքր է, և տարանջատումը (տեղադրումը) տեղի է ունենում բավականին դանդաղ: Ցենտրիֆուգում (տարանջատող) նման տարանջատումը կատարվում է բռնի կերպով՝ անջատված միջավայրը պտտելով։

Դիտարկենք այս երևույթի ֆիզիկան։

Թող ցենտրիֆուգի աշխատանքային ծավալը (նկ. 5.21. ա - տեսք; բ - աշխատանքային ծավալի դիագրամ) ամբողջությամբ զբաղեցնի ինչ-որ միատարր հեղուկ: Եկեք մտովի ընտրենք փոքր ծավալ Վհեռավորության վրա գտնվող այս հեղուկից r OO պտտման առանցքից»: Ցենտրիֆուգի միատեսակ պտույտով, բացի ձգողականությունից և լողացող ուժից, որոնք հավասարակշռում են միմյանց, ընտրված ծավալի վրա գործում է կենտրոնաձիգ ուժ: Սա ծավալը շրջապատող հեղուկի ուժն է: բնականաբար ուղղված է դեպի պտտման առանցքը և հավասար է.

Որտեղ ρ-ն հեղուկի խտությունն է։

Այժմ ենթադրենք, որ հատկացված ծավալը Վառանձնացված մասնիկ է, որի նյութի խտությունը ρ 1 է (ρ 1 Φ ρ)։ Շրջապատող հեղուկից մասնիկի վրա ազդող ուժը չի փոխվի, ինչպես երևում է բանաձևից (5.45):

Որպեսզի մասնիկը հեղուկի հետ պտտվի, դրա վրա պետք է ազդի կենտրոնաձիգ ուժ, որը հավասար է.

Որտեղ մ 1մասնիկի զանգվածն է, իսկ ρ 1-ը՝ համապատասխան խտությունը։

Բրինձ. 5.21

Եթե Ֆ> F 1,ապա մասնիկը շարժվում է դեպի պտտման առանցքը։ Եթե Ֆ< F 1,ապա հեղուկի ազդեցությունը մասնիկի վրա բավարար չի լինի այն շրջանաձև հետագծի վրա պահելու համար, և մասնիկը կսկսի իներցիայով շարժվել դեպի ծայրամաս: Տարանջատման ազդեցությունը որոշվում է ավելորդ ուժով Ֆ,Ընտրված մասնիկի վրա հեղուկի կողմից ազդող F 1 կենտրոնաձիգ ուժի արժեքից բարձր, որը որոշում է շրջանաձև շարժումը.

Այս արտահայտությունը ցույց է տալիս, որ ցենտրիֆուգացման ազդեցությունն ավելի մեծ է, այնքան մեծ է տարանջատված մասնիկների և հեղուկի խտությունների տարբերությունը, ինչպես նաև էապես կախված է պտտման 1 անկյունային արագությունից:

Եկեք համեմատենք ցենտրիֆուգմամբ տարանջատումը գրավիտացիայի միջոցով տարանջատման հետ.

1 Ձգողականությունը և լողացող ուժը հաշվի չեն առնվում (5.47 բանաձևը), քանի որ դրանք ուղղված են պտտման առանցքի երկայնքով և հիմնարար ազդեցություն չունեն ցենտրիֆուգման վրա:

Ուլտրակենտրոնախցիկները կարող են առանձնացնել 100 նմ-ից փոքր մասնիկներ, որոնք կասեցված կամ լուծված են հեղուկի մեջ: Նրանք լայն կիրառություն են գտել կենսաբժշկական հետազոտություններում՝ կենսապոլիմերների, վիրուսների և ենթաբջջային մասնիկների տարանջատման համար։

Տարանջատման արագությունը հատկապես կարևոր է կենսաբանական և կենսաֆիզիկական հետազոտություններում, քանի որ ժամանակի ընթացքում ուսումնասիրվող առարկաների վիճակը կարող է զգալիորեն փոխվել:

Հիմնական հասկացություններ.

ուժի պահըռոտացիայի առանցքի համեմատ - սա շառավիղի վեկտորի և ուժի վեկտորային արտադրյալն է:

(1.14)

Ուժի պահը վեկտոր է , որի ուղղությունը որոշվում է գիմլետի (աջ պտուտակի) կանոնով՝ կախված մարմնի վրա ազդող ուժի ուղղությունից։ Ուժի պահն ուղղված է պտտման առանցքի երկայնքով և չունի կիրառման կոնկրետ կետ։

Այս վեկտորի թվային արժեքը որոշվում է բանաձևով.

M=r Ֆ մեղք (1.15),

որտեղ  - շառավղի վեկտորի և ուժի ուղղության միջև ընկած անկյունը:

Եթե =0 կամ  , ուժի պահ M=0, այսինքն. պտտման առանցքով անցնող կամ դրա հետ համընկնող ուժը ռոտացիա չի առաջացնում։

Առավելագույն մոդուլի ոլորող մոմենտը ստեղծվում է, եթե ուժը գործում է անկյան տակ  =  /2 (Մ 0) կամ  =3  /2 (Մ 0).

Օգտագործելով լծակ հասկացությունը դ- սա պտտման կենտրոնից դեպի ուժի գործողության գիծ իջեցված ուղղահայաց է), ուժի պահի բանաձևը ստանում է ձևը.

, Որտեղ
(1.16)

Ուժերի պահերի կանոն(պտտման ֆիքսված առանցք ունեցող մարմնի հավասարակշռության պայման).

Որպեսզի պտտման ֆիքսված առանցքով մարմինը լինի հավասարակշռության մեջ, անհրաժեշտ է, որ այս մարմնի վրա ազդող ուժերի պահերի հանրահաշվական գումարը հավասար լինի զրոյի։

 Մ ես =0 (1.17)

Ուժի պահի SI միավորը [Nm] է

Պտտվող շարժման ժամանակ մարմնի իներցիան կախված է ոչ միայն զանգվածից, այլև տարածության մեջ նրա բաշխվածությունից՝ պտտման առանցքի նկատմամբ։

Պտտման ընթացքում իներցիան բնութագրվում է պտտման առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահով. Ջ.

Իներցիայի պահըՊտտման առանցքի նկատմամբ նյութական կետը արժեք է, որը հավասար է կետի զանգվածի արտադրյալին պտտման առանցքից նրա հեռավորության քառակուսու վրա.

Ջ  =մ   r  2 (1.18)

Առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահը մարմինը կազմող նյութական կետերի իներցիայի պահերի գումարն է.

J= մ   r  2 (1.19)

Մարմնի իներցիայի պահը կախված է նրա զանգվածից և ձևից, ինչպես նաև պտտման առանցքի ընտրությունից։ Որոշակի առանցքի նկատմամբ մարմնի իներցիայի պահը որոշելու համար օգտագործվում է Շտայներ-Հույգենսի թեորեմը.

J=J 0 +մ դ 2 (1.20),

Որտեղ Ջ 0 – մարմնի զանգվածի կենտրոնով անցնող զուգահեռ առանցքի նկատմամբ իներցիայի պահը, դ – հեռավորությունը երկու զուգահեռ առանցքների միջև . Իներցիայի պահը SI-ում չափվում է [kgm 2]-ով:

Մարդու մարմնի պտտվող շարժման ընթացքում իներցիայի պահը որոշվում է փորձարարական եղանակով և մոտավորապես հաշվարկվում է մխոցի, կլոր ձողի կամ գնդակի բանաձևերով:

Մարդու իներցիայի պահը պտտման ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ, որն անցնում է զանգվածի կենտրոնով (մարդու մարմնի զանգվածի կենտրոնը գտնվում է սագիտալ հարթությունում՝ երկրորդ սրբային ողնից մի փոքր դիմաց), կախված նրանից. անձի դիրքը, ունի հետևյալ արժեքները՝ ուշադրության կանգնելիս՝ 1,2 կգ մ 2; «արաբեսկ» դիրքով – 8 կգմ 2; հորիզոնական դիրքում՝ 17 կգ  մ 2.

Աշխատեք պտտվող շարժման մեջտեղի է ունենում, երբ մարմինը պտտվում է արտաքին ուժերի ազդեցության տակ:

Պտտման շարժման մեջ ուժի տարրական աշխատանքը հավասար է ուժի պահի և մարմնի պտտման տարրական անկյան արտադրյալին.

dA  =Մ   դ (1.21)

Եթե ​​մարմնի վրա գործում են մի քանի ուժեր, ապա բոլոր կիրառվող ուժերի արդյունքի տարրական աշխատանքը որոշվում է բանաձևով.

dA=M դ (1.22),

Որտեղ Մ- մարմնի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի ընդհանուր պահը:

Պտտվող մարմնի կինետիկ էներգիաՎ Դեպիկախված է մարմնի իներցիայի պահից և նրա պտտման անկյունային արագությունից.

(1.23)

Իմպուլսի անկյուն (անկյունային իմպուլս) – մի մեծություն, որը թվայինորեն հավասար է մարմնի իմպուլսի և պտույտի շառավիղի արտադրյալին։

L=p r=m Վ r (1.24).

Համապատասխան փոխակերպումներից հետո կարող եք գրել անկյունային իմպուլսի որոշման բանաձևը հետևյալ կերպ.

(1.25).

Իմպուլս – վեկտոր, որի ուղղությունը որոշվում է ճիշտ պտուտակային կանոնով: Անկյունային իմպուլսի SI միավորըkgm 2 /s է

Պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական օրենքները.

Պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական հավասարումը.

Պտտվող շարժման ենթարկվող մարմնի անկյունային արագացումը ուղիղ համեմատական ​​է բոլոր արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտին և հակադարձ համեմատական ​​է մարմնի իներցիայի պահին։

(1.26).

Այս հավասարումը նույն դերն է խաղում պտտվող շարժումը նկարագրելիս, ինչպես Նյուտոնի երկրորդ օրենքը՝ թարգմանական շարժման համար։ Հավասարումից պարզ է դառնում, որ արտաքին ուժերի ազդեցության տակ որքան մեծ է անկյունային արագացումը, այնքան փոքր է մարմնի իներցիայի պահը։

Պտտման շարժման դինամիկայի համար Նյուտոնի երկրորդ օրենքը կարելի է գրել մեկ այլ ձևով.

(1.27),

դրանք. Մարմնի անկյունային իմպուլսի առաջին ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է տվյալ մարմնի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտին։

Մարմնի անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը.

Եթե ​​մարմնի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտը հավասար է զրոյի, այսինքն.

 Մ  =0 , Հետո dL/dt=0 (1.28).

Սրանից բխում է
կամ
(1.29).

Այս պնդումը կազմում է մարմնի անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի էությունը, որը ձևակերպված է հետևյալ կերպ.

Մարմնի անկյունային իմպուլսը մնում է հաստատուն, եթե պտտվող մարմնի վրա գործող արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտը զրո է։

Այս օրենքը գործում է ոչ միայն բացարձակ կոշտ մարմնի համար։ Օրինակ է գեղասահորդը, ով պտույտ է կատարում ուղղահայաց առանցքի շուրջ: Սեղմելով ձեռքերը՝ չմշկորդը նվազեցնում է իներցիայի պահը և մեծացնում անկյունային արագությունը։ Պտույտը դանդաղեցնելու համար նա, ընդհակառակը, լայն տարածում է ձեռքերը. Արդյունքում իներցիայի պահը մեծանում է, իսկ պտույտի անկյունային արագությունը նվազում է։

Եզրափակելով՝ ներկայացնում ենք թարգմանական և պտտվող շարժումների դինամիկան բնութագրող հիմնական մեծությունների և օրենքների համեմատական ​​աղյուսակը։

Աղյուսակ 1.4.

= Const,

Ուստի մարմնի վրա կիրառվող արտաքին ուժից անհրաժեշտ է մեկուսացնել այն բաղադրիչները, որոնք ռոտացիա չեն առաջացնում։ Պտտումը կարող է առաջանալ միայն պտտման առանցքին ուղղահայաց հարթությունում ընկած և դրա կիրառման կետով նկարագրված շրջանագծին շոշափող ուժով (պտտվող ուժ):

Նկատի ունեցեք, որ երբ մարմինը պտտվում է, բաղադրիչները չեն կատարում աշխատանք, քանի որ այդ ուժերի կիրառման կետը շարժվում է ուղղահայաց իրենց ուղղություններին: Աշխատանքը կատարվում է միայն պտտվող ուժի միջոցով, դա մարմնի վրա ազդող ուժի պրոյեկցիան է այս ուժի կիրառման կետի շարժման ուղղությամբ:

Եկեք որոշենք պտտվող ուժի կատարած աշխատանքի ծավալը, եթե դրա կիրառման կետը շառավղով շրջանագծի երկայնքով տեղաշարժված է (նկ. 1.19, բ): Ենթադրենք, որ ուժի մեծությունը մնում է հաստատուն։ Հետո

Պտտվող ուժի և շառավիղի արտադրյալը պտտվող ուժի կամ տվյալ մարմնի վրա գործող ոլորող մոմենտն է և նշվում է (հիշենք, որ տվյալ ուժի մոմենտը ցանկացած առանցքի նկատմամբ այս ուժի արտադրյալն է. նրա թեւը, այսինքն՝ նշվածից կատարված ուղղահայաց երկարությամբ

առանցք ուժի ուղղությամբ): Այսպիսով, բանաձևում (2.8)

հետևաբար, ոլորող մոմենտով կատարված աշխատանքը հավասար է այս պահի և մարմնի պտույտի անկյան արտադրյալին.

Եթե ​​ոլորող մոմենտը (ուժը կամ նրա թեւը) փոխվում է ժամանակի ընթացքում, ապա կատարված աշխատանքը որոշվում է որպես գումար.

Պտտվող ուժի ոլորող մոմենտը ներկայացված է որպես վեկտոր, որը համընկնում է պտտման առանցքի հետ. Այս վեկտորի դրական կողմնորոշումը ընտրվում է այն ուղղությամբ, որով կշարժվի այս պահով պտտվող աջ պտուտակը:

Մարմնի վրա կիրառվող ոլորող մոմենտը նրան տալիս է որոշակի անկյունային արագացում՝ ըստ մեր ընտրած վեկտորների, դրանք ուղղված են պտտման առանցքի երկայնքով նույն ուղղությամբ. Մոմենտի մեծության և դրա կողմից հաղորդվող անկյունային արագացման մեծության միջև կապը կարող է հաստատվել երկու եղանակով.

ա) կարող եք օգտագործել այն փաստը, որ շարժիչ ուժի աշխատանքը հավասար է մարմնի կինետիկ էներգիայի փոփոխությանը, որի վրա կիրառվում է այս ուժը. Պտտվող մարմնի համար, ըստ (2.9) և (2.4) բանաձևերի, մենք. ունեն

Այստեղ ենթադրում ենք, որ պտտման ընթացքում մարմնի իներցիայի պահը չի փոխվում։ Այս հավասարումը բաժանելով և փոքրացնելով ստացվում է

բ) կարող եք օգտվել այն հանգամանքից, որ պտտվող ուժի մոմենտը հավասար է մարմնի առանձին բաղադրիչներին շոշափող արագացումներ փոխանցող ուժերի մոմենտների գումարին

Շոշափող արագացումները փոխարինենք անկյունային արագացմամբ, որը նույնն է պտտվող մարմնի բոլոր մասնիկների համար (եթե մարմինը պտտման ընթացքում չի դեֆորմացվում).

Բանաձևը (2.12) արտահայտում է պինդ (ոչ դեֆորմացվող) մարմինների պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական օրենքը, որի համար.

տվյալ ոլորող մոմենտի ազդեցության տակ մարմնի կողմից ձեռք բերված անկյունային արագացումը ուղիղ համեմատական ​​է այս մոմենտի մեծությանը և հակադարձ համեմատական ​​է մարմնի իներցիայի պահին՝ պտտման առանցքի նկատմամբ.

Վեկտորային ձևով այս օրենքը գրված է այսպես

Եթե ​​պտտման ժամանակ մարմինը դեֆորմացվում է, ապա նրա իներցիայի պահը պտտման առանցքի նկատմամբ կփոխվի։ Եկեք մտովի պատկերացնենք մի պտտվող մարմին, որը բաղկացած է բազմաթիվ տարրական (կետային) մասերից. ապա ամբողջ մարմնի դեֆորմացիան կնշանակի մարմնի այս մասերից մինչև պտտման առանցքի հեռավորությունների փոփոխություն: Այնուամենայնիվ, պտտման տվյալ անկյունային արագության հեռավորության փոփոխությունը կուղեկցվի այս մասնիկի շարժման գծային արագության և հետևաբար նրա կինետիկ էներգիայի փոփոխությամբ։ Այսպիսով, մարմնի պտտման հաստատուն անկյունային արագության դեպքում հեռավորությունների փոփոխությունը (հետևաբար՝ մարմնի իներցիայի պահի փոփոխությունը) կուղեկցվի ամբողջ մարմնի պտտման կինետիկ էներգիայի փոփոխությամբ։

Բանաձևից (2.4), եթե ընդունենք փոփոխականներ, կարող ենք ստանալ

Առաջին տերմինը ցույց է տալիս պտտվող մարմնի կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը, որը տեղի է ունեցել միայն պտտման անկյունային արագության փոփոխության պատճառով (մարմնի իներցիայի տվյալ պահին), իսկ երկրորդ անդամը ցույց է տալիս կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը։ , որը առաջացել է միայն մարմնի իներցիայի պահի փոփոխության պատճառով (պտտման տվյալ անկյունային արագությամբ)։

Այնուամենայնիվ, երբ կետային մարմնից մինչև պտտման առանցքի հեռավորությունը փոխվում է, այս մարմինը պտտման առանցքի հետ կապող ներքին ուժերը կաշխատեն. բացասական, եթե մարմինը հեռանում է, և դրական, եթե մարմինը մոտենում է պտտման առանցքին. Այս աշխատանքը կարելի է հաշվարկել, եթե ենթադրենք, որ մասնիկը պտտման առանցքին միացնող ուժը թվայինորեն հավասար է կենտրոնաձիգ ուժին.

Ամբողջ մարմնի համար, որը բաղկացած է զանգվածներով բազմաթիվ մասնիկներից, մենք ստանում ենք

Ընդհանուր դեպքում, երբ մարմնի վրա գործում է արտաքին ոլորող մոմենտ, կինետիկ էներգիայի փոփոխությունը պետք է հավասարեցվի երկու աշխատանքի գումարին՝ արտաքին ոլորող մոմենտ և ներքին ուժեր արագացված պտույտով, արժեքները կունենան դրական նշաններ՝ բացասական

նշան (քանի որ մարմնի մասնիկները հեռանում են պտտման առանցքից); Հետո

Այստեղ փոխարինելով (2.15) արտահայտությունից ստացված արժեքը և փոխարինելով այն ստանում ենք

կամ կրճատումից հետո

Սա մեխանիկայի հիմնական օրենքի ընդհանուր ձևն է ֆիքսված առանցքի շուրջ պտտվող մարմինների համար, այն կիրառելի է նաև դեֆորմացնող մարմինների համար։ Երբ բանաձևը (2.16) վերածվում է բանաձևի (2.14):

Նկատի ունեցեք, որ դեֆորմացնող մարմինների համար պտտման անկյունային արագության փոփոխություն հնարավոր է նույնիսկ արտաքին ոլորող մոմենտի բացակայության դեպքում։ Իսկապես, երբ - բանաձևից (2.16) մենք ստանում ենք.

Այս դեպքում պտտման անկյունային արագությունը փոխվում է միայն ներքին ուժերի կողմից առաջացած մարմնի իներցիայի պահի փոփոխության պատճառով։