|
Trapezoid մեթոդ
Հիմնական հոդված.Trapezoid մեթոդ
Եթե մասնակի հատվածներից յուրաքանչյուրի ֆունկցիան մոտավոր է միջով անցնող ուղիղ գծով վերջնական արժեքներ, ապա մենք ստանում ենք trapezoidal մեթոդը.
Յուրաքանչյուր հատվածի վրա տրապեզոիդի տարածքը.
Յուրաքանչյուր հատվածի մոտավոր սխալ.
 Որտեղ 
Ամբողջական բանաձեւ trapezoid ամբողջ ինտեգրման միջակայքը հավասար երկարությամբ հատվածների բաժանելու դեպքում.
 Որտեղ
Trapezoid բանաձևի սխալ.
 Որտեղ 
Սիմփսոնի մեթոդը.
 Ինտեգրանդ f(x)փոխարինվել է ինտերպոլացիայի բազմանդամերկրորդ աստիճան P(x)– պարաբոլա, որն անցնում է երեք հանգույցներով, օրինակ, ինչպես ցույց է տրված նկարում ((1) – ֆունկցիա, (2) – բազմանդամ):
Եկեք դիտարկենք ինտեգրման երկու քայլ ( հ= const = x i+1 – x i), այսինքն՝ երեք հանգույց x 0, x 1, x 2, որի միջոցով գծում ենք պարաբոլա՝ օգտագործելով Նյուտոնի հավասարումը.
Թող z = x - x 0,
Հետո
Այժմ, օգտագործելով ստացված կապը, մենք հաշվարկում ենք ինտեգրալը այս միջակայքում.
.
Համար միասնական ցանցԵվ քայլերի զույգ թիվը nՍիմփսոնի բանաձևն ունի հետևյալ ձևը.
Այստեղ  , Ա  ինտեգրանդի չորրորդ ածանցյալի շարունակականության ենթադրությամբ։
[խմբագրել] Բարձրացված ճշգրտություն
Գործառույթի մոտարկումը մեկ բազմանդամով ամբողջ ինտեգրման միջակայքում, որպես կանոն, հանգեցնում է ինտեգրալի արժեքը գնահատելու մեծ սխալի։
Սխալը նվազեցնելու համար ինտեգրման հատվածը բաժանվում է մասերի և դրանցից յուրաքանչյուրի ինտեգրալը գնահատելու համար օգտագործվում է թվային մեթոդ:
Քանի որ բաժանումների թիվը ձգտում է դեպի անսահմանություն, ինտեգրալի գնահատումը ձգտում է դեպի իր իրական արժեքը վերլուծական ֆունկցիաների համար ցանկացած թվային մեթոդի համար:
Վերոնշյալ մեթոդները թույլ են տալիս քայլը կիսով չափ կրճատելու պարզ ընթացակարգ, ընդ որում յուրաքանչյուր քայլ պահանջում է, որ ֆունկցիայի արժեքները հաշվարկվեն միայն նոր ավելացված հանգույցներում: Հաշվարկման սխալը գնահատելու համար օգտագործվում է Ռանգեի կանոնը։
Ռանգեի կանոնի կիրառում
խմբագրել]Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկի ճշգրտության գնահատում
Ինտեգրալը հաշվարկվում է ընտրված բանաձևով (ուղղանկյուններ, տրապեզոիդներ, Սիմփսոնի պարաբոլաներ) քայլերի քանակով, որոնք հավասար են n-ի, այնուհետև քայլերի քանակով, որոնք հավասար են 2n-ի: Ինտեգրալի արժեքը 2n-ի մի շարք քայլերով հաշվարկելիս սխալը որոշվում է Runge բանաձևով.
, ուղղանկյունների և տրապեզոիդների և Սիմփսոնի բանաձևերի համար։
Այսպիսով, ինտեգրալը հաշվարկվում է քայլերի քանակի հաջորդական արժեքների համար, որտեղ n 0-ը քայլերի սկզբնական թիվն է: Հաշվարկի գործընթացը ավարտվում է, երբ պայմանը բավարարվում է հաջորդ N արժեքի համար, որտեղ ε-ը նշված ճշգրտությունն է:
Սխալ վարքի առանձնահատկությունները.
Կարծես թե ինչու վերլուծել տարբեր մեթոդներինտեգրում, եթե մենք կարողանանք հասնել բարձր ճշգրտություն, պարզապես նվազեցնելով ինտեգրման քայլի չափը: Այնուամենայնիվ, հաշվի առեք հետին սխալի վարքագծի գրաֆիկը Ռթվային հաշվարկի արդյունքները կախված  և թվից nինտերվալային միջնորմները (այսինքն՝ քայլում: Բաժնում (1) սխալը նվազում է h քայլի նվազման պատճառով: Բայց (2) բաժնում հաշվողական սխալը սկսում է գերակշռել՝ կուտակվելով բազմաթիվ թվաբանական գործողությունների արդյունքում: Այսպիսով, յուրաքանչյուրը մեթոդն ունի իր սեփականը Ռմին, որը կախված է բազմաթիվ գործոններից, բայց առաջին հերթին մեթոդի սխալի a priori արժեքից Ռ.
Ռոմբերգի հստակեցնող բանաձեւը.
Ռոմբերգի մեթոդը բաղկացած է ինտեգրալի արժեքի հաջորդական ճշգրտումից՝ բաժանումների քանակի բազմակի աճով։ Որպես հիմք կարելի է ընդունել միատեսակ քայլերով տրապեզոիդների բանաձևը հ.
Եկեք ինտեգրալը նշանակենք բաժանումների քանակով n= 1 որպես  .
Քայլը կիսով չափ կրճատելով՝ ստանում ենք  .
Եթե հաջորդաբար փոքրացնենք քայլը 2 n անգամ, ապա մենք ստանում ենք կրկնվող հարաբերություն՝ հաշվարկելու համար:
Որոշակի ինտեգրալ. Լուծումների օրինակներՆորից բարև։ Այս դասում մենք մանրամասն կքննարկենք այնպիսի հրաշալի բան, ինչպիսին է որոշակի ինտեգրալը։ Այս անգամ ներածությունը կարճ կլինի։ Բոլորը. Որովհետև պատուհանից դուրս ձնաբուք է։ Որպեսզի սովորեք, թե ինչպես լուծել որոշակի ինտեգրալներ, դուք պետք է.
1) Կարողանալ գտնելանորոշ ինտեգրալներ.
2) Կարողանալ հաշվարկելորոշակի ինտեգրալ.
Ինչպես տեսնում եք, որոշակի ինտեգրալին տիրապետելու համար հարկավոր է բավականին լավ հասկանալ «սովորական» անորոշ ինտեգրալները: Հետևաբար, եթե նոր եք սկսում սուզվել ինտեգրալ հաշվարկի մեջ, իսկ թեյնիկը դեռ չի եռացել, ապա ավելի լավ է սկսել դասից։ Անորոշ ինտեգրալ։ Լուծումների օրինակներ.
IN ընդհանուր տեսարանորոշակի ինտեգրալը գրված է հետևյալ կերպ.
Ի՞նչ է ավելացվում անորոշ ինտեգրալի համեմատ: Ավելին ինտեգրման սահմանները.
Ինտեգրման ստորին սահմանը
Ինտեգրման վերին սահմանըսովորաբար նշվում է տառով:
Սեգմենտը կոչվում է ինտեգրման հատվածը.
Մինչև հասնելը գործնական օրինակներ, մի փոքր ֆակ որոշակի ինտեգրալի վրա։
Ի՞նչ է նշանակում լուծել որոշակի ինտեգրալ:Որոշակի ինտեգրալ լուծել նշանակում է գտնել թիվ:
Ինչպե՞ս լուծել որոշակի ինտեգրալ:Օգտագործելով դպրոցից ծանոթ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.
Ավելի լավ է բանաձևը վերաշարադրել առանձին թղթի վրա, այն պետք է լինի ձեր աչքի առաջ ամբողջ դասի ընթացքում:
Որոշակի ինտեգրալի լուծման քայլերը հետևյալն են.
1) Նախ գտնում ենք հակաածանցյալ ֆունկցիան (անորոշ ինտեգրալ): Նկատի ունեցեք, որ հաստատունը որոշակի ինտեգրալում ավելացված չէ. Նշանակումը զուտ տեխնիկական է, իսկ ուղղահայաց փայտիկը իրականում ոչ մի մաթեմատիկական նշանակություն չունի, դա պարզապես գծանշում է։ Ինչու՞ է ինքնին անհրաժեշտ ձայնագրությունը: Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառման նախապատրաստում.
2) Վերին սահմանի արժեքը փոխարինել հակաածանցյալ ֆունկցիայով.
3) Ստորին սահմանի արժեքը փոխարինել հակաածանցյալ ֆունկցիայով.
4) Մենք հաշվարկում ենք (առանց սխալների!) տարբերությունը, այսինքն՝ գտնում ենք թիվը։
Միշտ գոյություն ունի՞ որոշակի ինտեգրալ:Ոչ, ոչ միշտ:
Օրինակ, ինտեգրալը գոյություն չունի, քանի որ ինտեգրման հատվածը ներառված չէ ինտեգրման սահմանման տիրույթում (ներքևում գտնվող արժեքները. քառակուսի արմատչի կարող բացասական լինել): Ահա ավելի քիչ ակնհայտ օրինակ. Նման ինտեգրալ նույնպես գոյություն չունի, քանի որ հատվածի կետերում շոշափող չկա։ Ի դեպ, ո՞վ դեռ չի կարդացել։ մեթոդական նյութ Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հիմնական հատկությունները- Դա անելու ժամանակը հիմա է: Հիանալի կլինի օգնել բարձրագույն մաթեմատիկայի ողջ ընթացքում:
Դրա համար Որպեսզի որոշակի ինտեգրալ ընդհանրապես գոյություն ունենա, բավական է, որ ինտեգրալը շարունակական լինի ինտեգրման միջակայքում.
Վերոնշյալից հետևում է առաջին կարևոր առաջարկությունը. նախքան որևէ որոշակի ինտեգրալի լուծում սկսելը, դուք պետք է համոզվեք, որ ինտեգրման գործառույթը. շարունակական ինտեգրման միջակայքում. Երբ ես ուսանող էի, ես բազմիցս ունենում էի մի դեպք, երբ երկար ժամանակ պայքարում էի դժվարին հակաածանցյալ գտնելու համար, և երբ վերջապես գտա այն, ուղեղս խառնում էի մեկ այլ հարցի շուրջ. «Ինչ անհեթեթություն ստացվեց. ?” Պարզեցված տարբերակում իրավիճակը հետևյալն է.  ???! Դուք չեք կարող փոխարինել բացասական թվերը արմատի տակ: Սա ի՞նչ դժոխք է։ Նախնական անուշադրություն.
Եթե լուծել (in թեստային աշխատանք, թեստում, քննություն) Ձեզ առաջարկվում է գոյություն չունեցող ինտեգրալ, ինչպես , ապա պետք է պատասխան տալ, որ ինտեգրալը գոյություն չունի և հիմնավորել, թե ինչու։
Որոշակի ինտեգրալը կարո՞ղ է հավասար լինել բացասական թիվ?
Միգուցե։ Եվ բացասական թիվ. Եվ զրո: Նույնիսկ կարող է պարզվել, որ անսահմանություն է, բայց դա արդեն կլինի ոչ պատշաճ ինտեգրալ, որոնց տրվում է առանձին դասախոսություն։
Կարո՞ղ է ինտեգրման ստորին սահմանը ավելի մեծ լինել, քան ինտեգրման վերին սահմանը:Միգուցե այս իրավիճակը իրականում տեղի է ունենում գործնականում:
- ինտեգրալը կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել՝ օգտագործելով Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը:
Ի՞նչն է անփոխարինելի բարձրագույն մաթեմատիկան: Իհարկե, առանց բոլոր տեսակի հատկությունների: Հետևաբար, եկեք դիտարկենք որոշակի ինտեգրալի որոշ հատկություններ:
Որոշակի ինտեգրալում դուք կարող եք վերադասավորել վերին և ստորին սահմանները՝ փոխելով նշանը: 
Օրինակ, որոշակի ինտեգրալում, նախքան ինտեգրումը, նպատակահարմար է փոխել ինտեգրման սահմանները «սովորական» կարգով.
 – այս ձևով շատ ավելի հարմար է ինտեգրվելը:
 - սա ճիշտ է ոչ միայն երկու, այլ նաև ցանկացած թվով գործառույթների համար:
Որոշակի ինտեգրալում կարելի է իրականացնել ինտեգրացիոն փոփոխականի փոխարինում, սակայն, համեմատած անորոշ ինտեգրալի հետ, սա ունի իր առանձնահատկությունները, որոնց մասին կխոսենք ավելի ուշ։
Որոշակի ինտեգրալի համար ճշմարիտ է հետևյալը. ինտեգրում մասերի բանաձևով:
Օրինակ 1
Լուծում:
(1) Ինտեգրալ նշանից հանում ենք հաստատունը։
(2) Ինտեգրվել աղյուսակի վրա՝ օգտագործելով ամենատարածված բանաձևը  . Ցանկալի է առանձնացնել առաջացող հաստատունը և տեղափոխել այն փակագծից: Անհրաժեշտ չէ դա անել, բայց նպատակահարմար է. ինչու՞ լրացուցիչ հաշվարկներ:
 . Սկզբում մենք փոխարինում ենք վերին սահմանը, ապա ստորին սահմանը: Կատարում ենք հետագա հաշվարկներ և ստանում վերջնական պատասխանը։
Օրինակ 2
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Սա ձեզ համար ինքնուրույն լուծելու օրինակ է, լուծումն ու պատասխանը՝ դասի վերջում։
Եկեք մի փոքր բարդացնենք խնդիրը.
Օրինակ 3
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Լուծում:
(1) Մենք օգտագործում ենք որոշակի ինտեգրալի գծայինության հատկությունները:
(2) Մենք ինտեգրվում ենք աղյուսակի համաձայն՝ միաժամանակ հանելով բոլոր հաստատունները. դրանք չեն մասնակցի վերին և ստորին սահմանների փոխարինմանը։
(3) Երեք տերմիններից յուրաքանչյուրի համար մենք կիրառում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.
Որոշակի ինտեգրալում թույլ շղթան հաշվարկման սխալներն են և նշանների սովորական շփոթությունը: Զգույշ եղեք։ Հատուկ ուշադրությունԵս կենտրոնանում եմ երրորդ տերմինի վրա.  – առաջին տեղն անուշադրության պատճառով սխալների հիթ շքերթում, շատ հաճախ ավտոմատ են գրում  (հատկապես, երբ վերին և ստորին սահմանների փոխարինումը կատարվում է բանավոր և այդքան մանրամասնորեն գրված չէ): Եվս մեկ անգամ ուշադիր ուսումնասիրեք վերը նշված օրինակը։
Հարկ է նշել, որ որոշակի ինտեգրալի լուծման դիտարկված մեթոդը միակը չէ։ Որոշակի փորձով լուծումը կարող է զգալիորեն կրճատվել: Օրինակ, ես ինքս սովոր եմ լուծել այսպիսի ինտեգրալներ, ինչպիսիք են.
Այստեղ ես բանավոր օգտագործեցի գծայինության կանոնները և բառացիորեն ինտեգրվեցի աղյուսակի միջոցով: Ես ավարտեցի ընդամենը մեկ փակագիծ, որի սահմանները նշված էին.  (ի տարբերություն առաջին մեթոդի երեք փակագծերի): Եվ «ամբողջ» հակաածանցյալ ֆունկցիայի մեջ ես սկզբում փոխարինեցի 4-ը, այնուհետև –2-ը՝ կրկին կատարելով մտքումս բոլոր գործողությունները:
Որո՞նք են կարճ լուծման թերությունները: Այստեղ ամեն ինչ այնքան էլ լավ չէ հաշվարկների ռացիոնալության տեսանկյունից, բայց անձամբ ինձ չի հետաքրքրում. ընդհանուր կոտորակներՀաշվիչի վրա եմ հաշվում:
Բացի այդ, հաշվարկներում սխալվելու ռիսկը մեծանում է, ուստի ավելի լավ է, որ թեյի ուսանողը կիրառի առաջին մեթոդը լուծելու «իմ» մեթոդով, նշանը հաստատ ինչ-որ տեղ կկորչի.
Այնուամենայնիվ անկասկած առավելություններԵրկրորդ մեթոդը լուծման արագությունն է, նշման կոմպակտությունը և հակաածանցյալի մեկ փակագծում գտնվելու փաստը։
Խորհուրդ. նախքան Նյուտոն-Լայբնից բանաձևն օգտագործելը, օգտակար է ստուգել՝ արդյոք հակաածանցյալը ճիշտ է գտնվել:
Այսպիսով, դիտարկվող օրինակի հետ կապված. նախքան վերին և ստորին սահմանները հակաածանցյալ ֆունկցիայի փոխարինելը, խորհուրդ է տրվում ստուգել նախագծի վրա՝ արդյոք անորոշ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել: Տարբերակենք.
Ստացվել է սկզբնական ինտեգրալ ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ անորոշ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։ Այժմ մենք կարող ենք կիրառել Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.
Նման ստուգումն ավելորդ չի լինի որևէ որոշակի ինտեգրալ հաշվարկելիս.
Օրինակ 4
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Սա ձեզ համար օրինակ է ինքներդ լուծելու համար: Փորձեք լուծել այն կարճ և մանրամասն:
Փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում
Որոշակի ինտեգրալի համար բոլոր տեսակի փոխարինումները վավեր են, ինչպես անորոշ ինտեգրալի դեպքում։ Այսպիսով, եթե դուք այնքան էլ լավ չեք փոխարինում, դուք պետք է ուշադիր կարդաք դասը Փոխարինման մեթոդ անորոշ ինտեգրալում.
Այս պարբերությունում ոչ մի սարսափելի կամ դժվար բան չկա: Նորույթը հարցի մեջ է ինչպես փոխել ինտեգրման սահմանները փոխարինելիս.
Օրինակներով ես կփորձեմ տալ փոխարինման տեսակներ, որոնք դեռևս չեն գտնվել կայքում ոչ մի տեղ:
Օրինակ 5
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Հիմնական հարցը այստեղ ամենևին էլ որոշակի ինտեգրալի մասին չէ, այլ այն մասին, թե ինչպես ճիշտ իրականացնել փոխարինումը։ Եկեք նայենք ինտեգրալների աղյուսակև պարզե՛ք, թե ինչպիսի՞ն է մեր ինտեգրման ֆունկցիան ամենաշատը: Ակնհայտ է, որ երկար լոգարիթմի համար.  . Բայց կա մեկ անհամապատասխանություն՝ աղյուսակում ինտեգրալը արմատի տակ, իսկ մերում՝ «x» չորրորդ աստիճանին: Փոխարինման գաղափարը բխում է նաև պատճառաբանությունից՝ լավ կլիներ ինչ-որ կերպ մեր չորրորդ աստիճանը վերածել քառակուսու: Սա իրական է։
Նախ, մենք պատրաստում ենք մեր ինտեգրալը փոխարինման համար.
Վերոնշյալ նկատառումներից միանգամայն բնականաբար առաջանում է փոխարինում.
Այսպիսով, ամեն ինչ լավ կլինի հայտարարի մեջ.
Մենք պարզում ենք, թե ինչի կվերածվի ինտեգրանդի մնացած մասը, դրա համար մենք գտնում ենք դիֆերենցիալը.
Անորոշ ինտեգրալում փոխարինման համեմատ մենք ավելացնում ենք լրացուցիչ քայլ։
Ինտեգրման նոր սահմաններ գտնելը.
Դա բավականին պարզ է. Եկեք նայենք մեր փոխարինմանը և ինտեգրման հին սահմաններին, .
Նախ, մենք փոխարինում ենք ինտեգրման ստորին սահմանը, այսինքն՝ զրո, փոխարինող արտահայտության մեջ.
Այնուհետև մենք փոխարինում ենք ինտեգրման վերին սահմանը փոխարինող արտահայտության մեջ, այսինքն ՝ երեքի արմատը.
Պատրաստ. Եվ պարզապես...
Շարունակենք լուծումը.
(1) Ըստ փոխարինման գրել նոր ինտեգրալ՝ ինտեգրման նոր սահմաններով.
(2) Սա ամենապարզ աղյուսակի ինտեգրալն է, մենք ինտեգրվում ենք սեղանի վրա: Ավելի լավ է հաստատունը թողնել փակագծերից դուրս (դա պետք չէ անել), որպեսզի այն չխանգարի հետագա հաշվարկներին: Աջ կողմում մենք գծում ենք մի գիծ, որը ցույց է տալիս ինտեգրման նոր սահմանները. սա նախապատրաստություն է Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի կիրառման համար:
(3) Մենք օգտագործում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը  .
Մենք ձգտում ենք հնարավորինս գրի առնել պատասխանը։ կոմպակտ ձև, այստեղ ես օգտագործել եմ լոգարիթմների հատկությունները։
Մեկ այլ տարբերություն անորոշ ինտեգրալից այն է, որ փոխարինումը կատարելուց հետո. Հակադարձ փոխարինումներ կատարելու կարիք չկա.
Եվ հիմա մի քանի օրինակ անկախ որոշում. Ինչ փոխարինումներ անել - փորձեք կռահել ինքներդ:
Օրինակ 6
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Օրինակ 7
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Սրանք օրինակներ են, որոնք դուք կարող եք ինքնուրույն լուծել: Լուծումներ և պատասխաններ դասի վերջում:
Եվ պարբերության վերջում կարևոր կետեր, որի վերլուծությունը հայտնվել է կայքի այցելուների շնորհիվ։ Առաջինը վերաբերում է փոխարինման օրինականությունը. Որոշ դեպքերում դա հնարավոր չէ անել:Այսպիսով, օրինակ 6-ը, թվում է, կարելի է լուծել՝ օգտագործելով ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում, սակայն, ինտեգրման վերին սահմանը («pi»)ներառված չէ սահմանման տիրույթայս շոշափողը և, հետևաբար, այս փոխարինումը անօրինական է: Այսպիսով, «փոխարինման» գործառույթը պետք է շարունակական լինի բոլորի մեջինտեգրացիոն հատվածի կետերը.
Մեկ այլ էլմտել է հաջորդ հարցը«Արդյո՞ք անհրաժեշտ է փոխել ինտեգրման սահմանները, երբ մենք ֆունկցիան դնում ենք դիֆերենցիալ նշանի տակ»: Սկզբում ես ուզում էի «անհեթեթությունը հեռացնել» և ինքնաբերաբար պատասխանել «իհարկե ոչ», բայց հետո մտածեցի նման հարցի պատճառի մասին և հանկարծ հայտնաբերեցի, որ որևէ տեղեկություն չկա.
բավարար չէ. Բայց դա, թեև ակնհայտ է, բայց շատ կարևոր է.
Եթե ֆունկցիան ներառենք դիֆերենցիալ նշանի տակ, ապա ինտեգրման սահմանները փոխելու կարիք չկա! Ինչո՞ւ։ Քանի որ այս դեպքում ոչ մի փաստացի անցում նոր փոփոխականի. Օրինակ.
Եվ այստեղ գումարումը շատ ավելի հարմար է, քան ակադեմիական փոխարինումը ինտեգրման նոր սահմանների հետագա «նկարումով»։ Այսպիսով, եթե որոշակի ինտեգրալը շատ բարդ չէ, ապա միշտ փորձեք ֆունկցիան դնել դիֆերենցիալ նշանի տակ! Դա ավելի արագ է, ավելի կոմպակտ և սովորական է, ինչպես դուք կտեսնեք տասնյակ անգամներ:
Շատ շնորհակալ եմ ձեր նամակների համար:
Որոշակի ինտեգրալում մասերի ինտեգրման մեթոդ
Այստեղ էլ ավելի քիչ նորություն կա։ Հոդվածի բոլոր հաշվարկները Անորոշ ինտեգրալում մասերի ինտեգրումլիովին վավեր են որոշակի ինտեգրալի համար:
Կա միայն մեկ դետալ, որը պլյուս է ըստ մասերի ինտեգրման, ինտեգրման սահմանները ավելացվում են.
Այստեղ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը պետք է կիրառվի երկու անգամ՝ արտադրանքի համար և ինտեգրալը վերցնելուց հետո։
Օրինակի համար ես կրկին ընտրեցի ինտեգրալի այն տեսակը, որը դեռևս ոչ մի տեղ չի գտնվել կայքում։ Օրինակը ամենապարզը չէ, բայց շատ, շատ տեղեկատվական:
Օրինակ 8
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Եկեք որոշենք.
Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.
Ով որ դժվարանում է ինտեգրալը, նայի դասը Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ինտեգրալներ, այնտեղ մանրամասն քննարկվում է։
(1) Լուծումը գրում ենք ըստ մասերի ինտեգրման բանաձևի։
(2) Արտադրանքի համար մենք կիրառում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը: Մնացած ինտեգրալի համար մենք օգտագործում ենք գծայինության հատկությունները՝ բաժանելով այն երկու ինտեգրալների։ Մի շփոթվեք նշաններով:
(4) Մենք կիրառում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը երկու հայտնաբերված հակաածանցյալների համար:
Անկեղծ ասած, ինձ դուր չի գալիս բանաձեւը.  և, եթե հնարավոր է, ... ես ընդհանրապես առանց դրա: Դիտարկենք երկրորդ լուծումը իմ տեսանկյունից, այն ավելի ռացիոնալ է.
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Առաջին փուլում գտնում եմ անորոշ ինտեգրալը:
Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.
Հայտնաբերվել է հակաածանցյալ ֆունկցիան։ Մշտական ներս այս դեպքումավելացնելու իմաստ չկա.
Ո՞րն է նման քայլարշավի առավելությունը: Ինտեգրման սահմանները «տարածելու» կարիք չկա.
Երկրորդ փուլում ես ստուգում եմ(սովորաբար սեւագրության մեջ):
Նաև տրամաբանական. Եթե ես սխալ եմ գտել հակաածանցյալ ֆունկցիան, ապա որոշիչ ինտեգրալը սխալ կլուծեմ։ Ավելի լավ է անմիջապես պարզել, եկեք տարբերակենք պատասխանը.
Ստացվել է սկզբնական ինտեգրանդ ֆունկցիան, ինչը նշանակում է, որ հակաածանցյալ ֆունկցիան ճիշտ է գտնվել։
Երրորդ փուլը Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւի կիրառումն է:
Եվ այստեղ էական օգուտ կա։ «Իմ» լուծման մեթոդում փոխարինումների և հաշվարկների մեջ շփոթվելու շատ ավելի ցածր ռիսկ կա. Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը կիրառվում է միայն մեկ անգամ: Եթե թեյնիկը լուծում է նմանատիպ ինտեգրալ՝ օգտագործելով բանաձեւը  (առաջին ձեւով), հետո անպայման ինչ-որ տեղ կսխալվի։
Դիտարկված լուծման ալգորիթմը կարող է կիրառվել ցանկացած որոշակի ինտեգրալի համար.
Հարգելի ուսանող, տպեք և պահպանեք.
Ի՞նչ անել, եթե ձեզ տրվի որոշակի ինտեգրալ, որը թվում է բարդ կամ անմիջապես պարզ չէ, թե ինչպես լուծել այն:
1) Նախ գտնում ենք անորոշ ինտեգրալը (հակածանցյալ ֆունկցիա): Եթե առաջին փուլում խուճապ կար, ապա Նյուտոնի և Լայբնիցի հետ նավակը հետագա ճոճելու իմաստ չկա: Կա միայն մեկ ճանապարհ՝ բարձրացնել ձեր գիտելիքների մակարդակը և լուծելու հմտությունները անորոշ ինտեգրալներ.
2) Գտնված հակաածանցյալ ֆունկցիան ստուգում ենք տարբերակմամբ. Եթե այն սխալ հայտնաբերվի, երրորդ քայլը ժամանակի կորուստ կլինի։
3) Մենք օգտագործում ենք Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը. Մենք բոլոր հաշվարկները կատարում ենք ՉԱՓԱՓ ԶԳՈՒՇԱԴՐՈՒԹՅԱՄԲ. սա առաջադրանքի ամենաթույլ օղակն է:
Իսկ խորտիկի համար՝ անբաժանելի անկախ լուծման համար:
Օրինակ 9
Հաշվիր որոշակի ինտեգրալ
Լուծումն ու պատասխանը ինչ-որ տեղ մոտ են։
Թեմայի վերաբերյալ հաջորդ առաջարկվող դասը Ինչպե՞ս հաշվարկել գործչի մակերեսը որոշակի ինտեգրալով:
Եկեք ինտեգրվենք ըստ մասերի.
Վստա՞հ եք, որ լուծել եք դրանք և ստացել եք նույն պատասխանները: ;-) Իսկ պոռնո կա պառավի համար։ |
Թեորեմ. Եթե ֆունկցիան f(x)ինտեգրելի միջակայքում [ ա, բ], որտեղ ա< b
, և բոլորի համար x ∈անհավասարությունը պահպանվում է
Օգտագործելով թեորեմի անհավասարությունները՝ կարելի է գնահատել որոշակի ինտեգրալը, այսինքն. նշեք այն սահմանները, որոնց միջև պարունակվում է դրա իմաստը: Այս անհավասարությունները արտահայտում են որոշակի ինտեգրալի գնահատական:
Թեորեմ [Միջին թեորեմ]. Եթե ֆունկցիան f(x)ինտեգրելի միջակայքում [ ա, բ] և բոլորի համար x ∈անհավասարությունները բավարարված են m ≤ f(x) ≤ M, Դա
Որտեղ m ≤ μ ≤ M.
Մեկնաբանություն. Գործառույթի դեպքում f(x)շարունակական է միջակայքում [ ա, բ], թեորեմից հավասարությունը ձև է ստանում
Որտեղ գ ∈. Համար μ=f(c)Այս բանաձեւով սահմանված , կոչվում է միջին արժեքըգործառույթները f(x)հատվածի վրա [ ա, բ]։ Այս հավասարությունն ունի հետևյալը երկրաչափական իմաստՇարունակական գծով սահմանափակված կոր trapezoid-ի տարածք y=f(x) (f(x) ≤ 0), հավասար է նույն հիմքով և բարձրությամբ ուղղանկյան մակերեսին, որը հավասար է այս ուղղի որոշ կետի օրդինատին:
Շարունակական ֆունկցիայի հակաածանցյալի առկայությունը
Սկզբում մենք ներկայացնում ենք փոփոխական վերին սահման ունեցող ինտեգրալ հասկացությունը:
Թողեք գործառույթը f(x)ինտեգրելի միջակայքում [ ա, բ]։ Հետո ինչ թիվ էլ լինի xսկսած [ ա, բ], ֆունկցիա f(x)ինտեգրելի միջակայքում [ ա, բ]։ Հետևաբար, միջակայքում [ ա, բ] գործառույթը սահմանված է
որը կոչվում է փոփոխական վերին սահման ունեցող ինտեգրալ։
Թեորեմ. Եթե ինտեգրանդը շարունակական է [ ինտերվալի վրա ա, բ], ապա փոփոխական վերին սահմանով որոշակի ինտեգրալի ածանցյալը գոյություն ունի և հավասար է այս սահմանի համար նախատեսված ինտեգրալի արժեքին, այսինքն.
Հետևանք. Փոփոխական վերին սահմանով որոշակի ինտեգրալը շարունակական ինտեգրանդի հակաածանցյալներից մեկն է: Այլ կերպ ասած, ցանկացած ինտերվալում շարունակական ֆունկցիայի համար գոյություն ունի հակաածանցյալ:
Ծանոթագրություն 1. Նշենք, որ եթե ֆունկցիան f(x)ինտեգրելի միջակայքում [ ա, բ], ապա փոփոխական վերին սահման ունեցող ինտեգրալը վերին սահմանի ֆունկցիա է՝ շարունակական այս հատվածի վրա։ Իսկապես, St.2-ից և միջին արժեքի թեորեմից մենք ունենք
Ծանոթագրություն 2. Ինտեգրալը փոփոխական ինտեգրման վերին սահմանով օգտագործվում է բազմաթիվ նոր գործառույթների սահմանման մեջ, օրինակ. 
. Այս գործառույթները հիմնական չեն. ինչպես արդեն նշվեց, նշված ինտեգրանդների հակաածանցյալները չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաների միջոցով:
Ինտեգրման հիմնական կանոնները
Նյուտոն-Լայբնից բանաձև
Քանի որ ցանկացած երկու հակաածանցյալ գործառույթներ f(x)տարբերվում են հաստատունով, ապա նախորդ թեորեմի համաձայն կարելի է պնդել, որ ցանկացած հակաածանցյալ Φ(x)շարունակական հատվածի վրա [ ա, բ] գործառույթներ f(x)կարծես
Որտեղ Գ- որոշակի հաստատուն:
Ենթադրելով այս բանաձեւով x=aԵվ x=b, օգտագործելով St.1 որոշակի ինտեգրալները, գտնում ենք
Այս հավասարությունները ենթադրում են հարաբերություն
որը կոչվում է Նյուտոն-Լայբնից բանաձև.
Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք հետևյալ թեորեմը.
Թեորեմ. Շարունակական ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը հավասար է դրա ցանկացած հակաածանցյալի արժեքների տարբերությանը ինտեգրման վերին և ստորին սահմանների համար:
Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը կարելի է վերաշարադրել այսպես
Փոփոխականի փոփոխություն որոշակի ինտեգրալում
Թեորեմ. Եթե
- ֆունկցիան f(x)շարունակական է միջակայքում [ ա, բ];
- հատված [ ա, բ] ֆունկցիայի արժեքների բազմությունն է φ(t), սահմանված հատվածի վրա α ≤ t ≤ βև դրա վրա ունենալով շարունակական ածանցյալ;
- φ(α)=a, φ(β)=b
ապա բանաձեւը ճիշտ է
Ըստ մասերի ինտեգրման բանաձև
Թեորեմ. Եթե գործառույթները u=u(x), v=v(x)ունեն շարունակական ածանցյալներ միջակայքում [ ա, բ], ապա բանաձեւը վավեր է
Դիմումի արժեքը միջին արժեքի թեորեմներ
ձեռքբերման հնարավորությունն է որակական գնահատումորոշակի ինտեգրալի արժեքը՝ առանց այն հաշվարկելու: Եկեք ձևակերպենք
Եթե ֆունկցիան ինտերվալի վրա շարունակական է, ապա այս միջակայքի ներսում կա այնպիսի կետ, որ 
.
Այս բանաձեւը բավականին հարմար է բարդ կամ ծանր ֆունկցիայի ինտեգրալը մոտավորապես գնահատելու համար։ Միակ կետը, որը կազմում է բանաձեւը մոտավոր
, անհրաժեշտություն է անկախ ընտրություն
կետեր Եթե մենք վերցնենք ամենապարզ ճանապարհը՝ ինտեգրման միջակայքի կեսը (ինչպես առաջարկվում է մի շարք դասագրքերում), ապա սխալը կարող է բավականին նշանակալից լինել։ Ավելի ճշգրիտ արդյունք ստանալու համար խորհուրդ ենք տալիս
հաշվարկը կատարեք հետևյալ հաջորդականությամբ.
Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկ ինտերվալի վրա.
Գծե՛ք ուղղանկյան վերին սահմանը, որպեսզի ֆունկցիայի գրաֆիկի կտրված մասերը լինեն մակերեսով մոտավորապես հավասար
(սա հենց այն է, ինչ ցույց է տրված վերը նշված նկարում. երկու կորագիծ եռանկյունները գրեթե նույնական են);
Որոշեք նկարից;
Օգտագործեք միջին արժեքի թեորեմը:
Որպես օրինակ, եկեք հաշվարկենք պարզ ինտեգրալ.
Ճշգրիտ արժեքը;
Ինտերվալի կեսի համար 
մենք նաև ստանում ենք մոտավոր արժեք, այսինքն. ակնհայտորեն ոչ ճշգրիտ արդյունք;
Առաջարկություններին համապատասխան գծված ուղղանկյան վերին կողմով գրաֆիկ կառուցելով՝ մենք ստանում ենք , հետևաբար՝ մոտավոր արժեքը: Բավականին գոհացուցիչ արդյունք, սխալը 0,75% է։
Trapezoid բանաձեւը
Միջին արժեքի թեորեմի օգտագործմամբ հաշվարկների ճշգրտությունը զգալիորեն կախված է, ինչպես ցույց տրվեց, դրանից տեսողական նպատակ
բալային ժամանակացույցի համաձայն։ Իրոք, ընտրելով նույն օրինակում կետերը կամ , կարող եք ձեռք բերել ինտեգրալի այլ արժեքներ, և սխալը կարող է մեծանալ: Արդյունքի վրա մեծապես ազդում են սուբյեկտիվ գործոնները, գրաֆիկի մասշտաբը և նկարչության որակը։ Սա անընդունելի
կրիտիկական հաշվարկներում, ուստի միջին արժեքի թեորեմը վերաբերում է միայն արագին որակ
ամբողջական գնահատականներ.
Այս բաժնում մենք կքննարկենք մոտավոր ինտեգրման ամենատարածված մեթոդներից մեկը. trapezoidal բանաձեւը
. Այս բանաձևի կառուցման հիմնական գաղափարը հիմնված է այն փաստի վրա, որ կորը կարող է մոտավորապես փոխարինվել կոտրված գծով, ինչպես ցույց է տրված նկարում:
Որոշակիության համար (և ըստ նկարի), ենթադրենք, որ ինտեգրման միջակայքը բաժանված է. հավասար
(սա ընտրովի է, բայց շատ հարմար) մասեր: Այս մասերից յուրաքանչյուրի երկարությունը հաշվարկվում է բանաձևով և կոչվում է քայլ
. Բաժանման կետերի աբսցիսները, եթե տրված են, որոշվում են բանաձևով, որտեղ . Օգտագործելով հայտնի աբսցիսները, հեշտ է հաշվարկել օրդինատները: Այսպիսով,
Սա գործի trapezoidal բանաձեւն է: Նկատի ունեցեք, որ փակագծերում առաջին անդամը սկզբնական և վերջնական օրդինատների կես գումարն է, որին գումարվում են բոլոր միջանկյալ օրդինատները։ Համար ցանկացած թիվինտեգրման միջակայքի բաժանումները trapezoids-ի ընդհանուր բանաձևը
ունի ձև. քառակուսային բանաձևերուղղանկյուններ, Simpson, Gaussian և այլն: Դրանք հիմնված են տարրական տարածքներով կորագիծ տրապիզոիդը ներկայացնելու նույն գաղափարի վրա տարբեր ձևեր, հետեւաբար, trapezoidal բանաձեւը յուրացնելուց հետո նմանատիպ բանաձեւեր հասկանալը դժվար չի լինի։ Շատ բանաձևեր այնքան էլ պարզ չեն, որքան trapezoidal բանաձևը, բայց դրանք թույլ են տալիս ստանալ բարձր ճշգրտության արդյունքներ փոքր թվով միջնորմներով:
Օգտագործելով trapezoidal բանաձևը (կամ նման բանաձևերը), դուք կարող եք հաշվարկել գործնականում պահանջվող ճշգրտությամբ ինչպես «չկատարվող» ինտեգրալները, այնպես էլ բարդ կամ ծանր գործառույթների ինտեգրալները:
Նախկինում մենք որոշակի ինտեգրալ էինք համարում որպես հակաածանցյալի արժեքների տարբերություն ինտեգրանդի համար: Ենթադրվում էր, որ ինտեգրանդն ունի հակաածանցյալ ինտեգրման միջակայքի վրա։
Այն դեպքում, երբ հակաածանցյալն արտահայտվում է տարրական ֆունկցիաներով, կարող ենք վստահ լինել նրա գոյությանը։ Բայց եթե չկա այդպիսի արտահայտություն, ապա հակաածանցյալի գոյության հարցը մնում է բաց, և մենք չգիտենք, արդյոք գոյություն ունի համապատասխան որոշակի ինտեգրալը։
Երկրաչափական նկատառումները հուշում են, որ թեև, օրինակ, y=e^(-x^2) ֆունկցիայի համար անհնար է արտահայտել հակաածանցյալը տարրական ֆունկցիաների միջոցով, ինտեգրալը. \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx)գոյություն ունի և մակերեսին հավասար x առանցքով սահմանափակված y=e^(-x^2) ֆունկցիայի գրաֆիկը և x=a,~ x=b ուղիղները (նկ. 6): Բայց ավելի կոշտ վերլուծության դեպքում պարզվում է, որ տարածք հասկացությունը հիմնավորման կարիք ունի, և հետևաբար դրա վրա չի կարելի հիմնվել հակաածանցյալի և որոշակի ինտեգրալի գոյության հարցերը լուծելիս։
Ապացուցենք դա Ինտերվալի վրա շարունակական ցանկացած ֆունկցիա ունի հակաածանցյալ այս ինտերվալի վրա, և, հետևաբար, դրա համար որոշակի ինտեգրալ կա այս հատվածում: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ է այլ մոտեցում որոշակի ինտեգրալի հայեցակարգին, որը չի հիմնվում հակաածանցյալի գոյության ենթադրության վրա։
Եկեք նախ որոշենք Որոշակի ինտեգրալի հատկությունները, որը հասկացվում է որպես հակաածանցյալի արժեքների տարբերություն:
Որոշակի ինտեգրալների գնահատականներ
Թեորեմ 1. Թող y=f(x) ֆունկցիան սահմանափակվի միջակայքում, և m=\min_(x\in)f(x)Եվ M=\max_(x\in)f(x), համապատասխանաբար, ամենափոքրը և ամենաբարձր արժեքը y=f(x) ֆունկցիան ի վրա, և այս հատվածում y=f(x) ֆունկցիան ունի հակաածանցյալ։ Հետո
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Ապացույց. Թող F(x)-ը լինի հատվածի y=f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկը: Հետո
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a):
Լագրանժի թեորեմի համաձայն F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), որտեղ ա \int\ limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).
Ըստ պայմանի, հատվածից x-ի բոլոր արժեքների համար գործում է հետևյալ անհավասարությունը. m\leqslant f(x)\leqslant M, Ահա թե ինչու m\leqslant f(c)\leqslant Mև հետևաբար
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), այսինքն m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
Ք.Ե.Դ.
Կրկնակի անհավասարությունը (1) տալիս է որոշակի ինտեգրալի արժեքի միայն շատ մոտավոր գնահատական: Օրինակ, հատվածի վրա y=x^2 ֆունկցիայի արժեքները գտնվում են 1-ից 25-ի միջև, և հետևաբար անհավասարությունները տեղի են ունենում.
4=1\cdot(5-1)\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100:
Ավելի ճշգրիտ գնահատական ստանալու համար հատվածը կետերով բաժանեք մի քանի մասերի a=x_0 և յուրաքանչյուր մասի վրա կիրառվում է անհավասարություն (1): Եթե անհավասարությունը պահպանվում է հատվածի վրա, ապա
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
որտեղ \Delta x_k-ը նշանակում է տարբերությունը (x_(k+1)-x_k), այսինքն՝ հատվածի երկարությունը: Այս անհավասարությունները գրելով k-ի բոլոր արժեքների համար՝ 0-ից n-1 և գումարելով դրանք, մենք ստանում ենք.
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),
Բայց ըստ որոշակի ինտեգրալի հավելյալ հատկության՝ հատվածի բոլոր մասերի ինտեգրալների գումարը հավասար է այս հատվածի ինտեգրալին, այսինքն.
\sum_(k=0)^(n-1) \int\սահմաններ_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\սահմանները_a)^(b)f(x) \,dx\,.
Նշանակում է,
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
Օրինակ, եթե հատվածը բաժանում եք 10 հավասար մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի 0,4 երկարություն, ապա մասնակի հատվածի վրա.
անհավասարությունը պահպանվում է
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Ուստի մենք ունենք.
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\sum_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Հաշվարկելով՝ մենք ստանում ենք. 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. Այս գնահատականը շատ ավելի ճշգրիտ է, քան նախկինում ստացվածը 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
Ինտեգրալի էլ ավելի ճշգրիտ գնահատական ստանալու համար պետք է հատվածը բաժանել ոչ թե 10-ի, այլ, ասենք, 100 կամ 1000 մասի և հաշվել համապատասխան գումարները։ Իհարկե, այս ինտեգրալն ավելի հեշտ է հաշվարկել՝ օգտագործելով հակաածանցյալը.
\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \ձախ.(\frac(x^3)(3))\աջ|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.
Բայց եթե հակաածանցյալի արտահայտությունը մեզ անհայտ է, ապա անհավասարությունները (2) հնարավորություն են տալիս գնահատել ինտեգրալի արժեքը ներքևից և վերևից:
Որոշակի ինտեգրալ որպես բաժանող թիվ
(2) անհավասարության մեջ ներառված m_k և M_k թվերը կարող են ընտրվել կամայականորեն, քանի դեռ անհավասարությունը բավարարված է հատվածներից յուրաքանչյուրի վրա: m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Հատվածի տվյալ բաժանման համար ինտեգրալի ամենաճշգրիտ գնահատումը ստացվում է, եթե մենք վերցնենք M_k որպես ամենափոքր, իսկ m_k որպես ամենամեծ բոլոր հնարավոր արժեքներից: Սա նշանակում է, որ որպես m_k մենք պետք է վերցնենք y=f(x) ֆունկցիայի արժեքների ճշգրիտ ստորին սահմանը հատվածի վրա, և որպես M_k այս արժեքների ճշգրիտ վերին սահմանը նույն հատվածի վրա.
m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x):
Եթե y=f(x)-ը սահմանափակված ֆունկցիա է հատվածի վրա, ապա այն նույնպես սահմանափակված է հատվածներից յուրաքանչյուրի վրա, հետևաբար նրա համար m_k և. M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. m_k և M_k թվերի այս ընտրությամբ գումարները \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k)Եվ \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k)կոչվում են համապատասխանաբար y=-f(x) ֆունկցիայի ստորին և վերին Darboux ինտեգրալ գումարները տվյալ P բաժանման համար.
a=x_0
հատվածը Այս գումարները կնշանակենք համապատասխանաբար որպես s_(fP) և S_(fP), իսկ եթե y=f(x) ֆունկցիան ֆիքսված է, ապա պարզապես s_P և S_P:
Անհավասարությունը (2) նշանակում է, որ եթե y=f(x) ֆունկցիան, որը սահմանափակված է ինտերվալի վրա, ունի հակաածանցյալ այս միջակայքում, ապա որոշակի ինտեգրալը բաժանում է \(s_p\) և \(S_P\) թվային բազմությունները, որոնք բաղկացած են համապատասխանաբար բոլոր ստորին և վերին Դարբուի գումարներից: ինտերվալի բոլոր հնարավոր բաժանումները. Ընդհանրապես, կարող է պատահել, որ այս երկու հավաքածուները բաժանող թիվը եզակի չէ: Բայց ստորև կտեսնենք, որ ֆունկցիաների ամենակարևոր դասերի համար (մասնավորապես՝ շարունակական ֆունկցիաների համար) այն եզակի է։
Սա թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել նոր սահմանում \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), որը հիմնված չէ հակաածանցյալ հասկացության վրա, այլ օգտագործում է միայն Darboux-ի գումարները։
Սահմանում. y=f(x) ֆունկցիան, որը սահմանափակված է ինտերվալի վրա, կոչվում է ինտեգրելի այս միջակայքում, եթե կա մեկ թիվ \ell, որը բաժանում է ստորին և վերին Darboux գումարների բազմությունները, որոնք ձևավորվել են միջակայքի բոլոր հնարավոր բաժանումների համար: Եթե y=f(x) ֆունկցիան ինտեգրելի է ինտերվալի վրա, ապա այս բազմությունները բաժանող միակ թիվը կոչվում է այս ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալ միջակայքում և նշանակում է ։
Մենք սահմանել ենք ինտեգրալը \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx)այն դեպքի համար, երբ ա բ , ապա դնում ենք
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.
Այս սահմանումը բնական է, քանի որ երբ փոխվում է ինտեգրման միջակայքի ուղղությունը, բոլոր տարբերությունները \Դելտա x_k=x_(k+1)-x_kփոխել նշանը, այնուհետև փոխել նշանները և Դարբուի գումարները և դրանով իսկ դրանք բաժանող թիվը, այսինքն. ինտեգրալ.
Այն պահից, երբ a=b բոլոր \Delta x_k-ը անհետանում են, մենք սահմանում ենք
\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.
Մենք ստացանք որոշակի ինտեգրալի հայեցակարգի երկու սահմանում՝ որպես հակաածանցյալի արժեքների տարբերություն և որպես Դարբու գումարների բաժանող թիվ։ Այս սահմանումները ամենակարևոր դեպքերում հանգեցնում են նույն արդյունքի.
Թեորեմ 2. Եթե y=f(x) ֆունկցիան սահմանափակված է միջակայքով և ունի y=F(x) հակաածանցյալ, և կա մեկ թիվ, որը բաժանում է ստորին և վերին Դարբուի գումարները, ապա այդ թիվը հավասար է F(b-ի): )-F(a).
Ապացույց. Վերևում մենք ապացուցեցինք, որ F(a)-F(b) թիվը բաժանում է \(s_P\) և \(S_P\) բազմությունները: Քանի որ պայմանով բաժանող թիվը եզակիորեն սահմանված է, այն համընկնում է F(b)-F(a)-ի հետ:
Այսուհետ մենք կօգտագործենք նշումը \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)միայն մեկ թվի համար, որը բաժանում է \(s_P\) և \(S_P\) բազմությունները: Ապացուցված թեորեմից հետևում է, որ որևէ հակասություն չկա այս նշման ըմբռնման հետ, որը մենք օգտագործեցինք վերևում:
Ստորին և վերին Դարբուի գումարների հատկությունները
Որպեսզի ավելի վաղ տրված ինտեգրալի սահմանումը իմաստալից լինի, անհրաժեշտ է ապացուցել, որ վերին Դարբուի գումարների բազմությունն իսկապես գտնվում է ստորին Դարբուի գումարների բազմությունից աջ:
Լեմմա 1. Յուրաքանչյուր P բաժնի համար համապատասխան ստորին Darboux գումարը չի գերազանցում վերին Darboux գումարը, s_P\leqslant S_P:
Ապացույց. Դիտարկենք հատվածի մի քանի P բաժին.
a=x_0 "
Ակնհայտորեն, ցանկացած k-ի և ցանկացած ընտրված բաժանման P-ի համար գործում է s_P\leqslant S_P անհավասարությունը: Հետևաբար, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, և հետևաբար
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Ք.Ե.Դ. Անհավասարությունը (4) վավեր է միայն ֆիքսված P բաժանման համար: Հետևաբար, դեռևս չի կարելի ասել, որ մի բաժանման ստորին Darboux գումարը չի կարող գերազանցել մեկ այլ բաժնի վերին Darboux գումարը: Այս պնդումն ապացուցելու համար մեզ անհրաժեշտ է հետևյալ լեմման.
Լեմմա 2. Նոր բաժանման կետ ավելացնելով, ստորին Դարբուի գումարը չի կարող նվազել, իսկ վերին գումարը չի կարող աճել:
Ապացույց. Ընտրենք հատվածի մի մասը P և դրան ավելացնենք բաժանման նոր կետ (x^(\ast)): Նոր բաժանումը նշանակենք P^(\ast)-ով: P^(\ast) բաժանումը P բաժանման ճշգրտումն է, այսինքն. յուրաքանչյուր բաժանման կետ P է նաև P^(\ast) բաժանման կետ:
Թող կետը (x^(\ast)) ընկնի հատվածի վրա \կոլոն\, x_k . Դիտարկենք ստացված երկու հատվածները և
և ֆունկցիայի արժեքների համապատասխան ստույգ ստորին սահմանները նշեք m_(k)^(\ast) և m_(k)^(\ast\ast), իսկ ճշգրիտ վերին սահմանները M_(k)^(\ast-ով: ) և M_(k )^(\ast\ast) .
Հավելված m_k(x_(k+1)-m_(k))Բնօրինակ ստորին Darboux գումարը նոր ստորին Darboux գումարում համապատասխանում է երկու տերմինի.
m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)):
Միևնույն ժամանակ m_k\leqslant m_(k)^(\ast)Եվ m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), քանի որ m_k-ը f(x) ֆունկցիայի արժեքների ճշգրիտ ստորին սահմանն է ամբողջ հատվածում, և m_(k)^(\ast) և m_(k)^(\ast\ast) միայն դրա վրա: մասեր և
համապատասխանաբար.
Ստացված տերմինների գումարը ստորև գնահատենք.
\սկիզբ (հավասարեցված) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\վերջ (հավասարեցված)
Քանի որ մնացած տերմինները ինչպես հին, այնպես էլ նոր ստորին Darboux գումարում մնացին անփոփոխ, ստորին Darboux-ի գումարը չնվազեց նոր բաժանման կետի ավելացումից՝ s_P\leqslant S_P:
Ապացուցված պնդումը մնում է ուժի մեջ նույնիսկ այն դեպքում, երբ P բաժանմանը ավելացվում է ցանկացած վերջավոր թվով կետեր:
Վերին Դարբուի գումարի մասին հայտարարությունը ապացուցված է նույն կերպ. S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).
Եկեք անցնենք Darboux-ի գումարների համեմատությանը ցանկացած երկու բաժանման համար:
Լեմմա 3. Ոչ մի ստորին Դարբուի գումարը չի գերազանցում վերին Դարբուի գումարը (նույնիսկ եթե այն համապատասխանում է հատվածի այլ բաժանմանը):
Ապացույց. Դիտարկենք հատվածի երկու կամայական P_1 և P_2 բաժանումներ և ձևավորենք երրորդ բաժին P_3, որը բաղկացած է P_1 և P_2 բաժանումների բոլոր կետերից: Այսպիսով, P_3 բաժանումը և՛ P_1, և՛ P_2 բաժանման ճշգրտումն է (նկ. 7):
Նշանակենք համապատասխանաբար այս միջնորմների ստորին և վերին Darboux գումարները s_1,~S_1.~s_2,~S_2և ապացուցեք, որ s_1\leqslant S_2 .
Քանի որ P_3-ը P_1 բաժանման ճշգրտումն է, ապա s_1\leqslant s_3: Հաջորդը, s_3\leqslant S_3, քանի որ s_3 և S_3 գումարները համապատասխանում են նույն բաժանմանը: Վերջապես, S_3\leqslant S_2, քանի որ P_3-ը P_2 բաժանման ճշգրտումն է:
Այսպիսով, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, այսինքն. s_1\leqslant S_2 , ինչն ապացուցման կարիք ուներ։
Լեմմա 3-ից հետևում է, որ ստորին Դարբուի գումարների X=\(s_P\) թվային բազմությունը գտնվում է վերին Դարբուի գումարների Y=\(S_P\) թվային բազմությունից ձախ:
Երկու թվային բազմությունների համար բաժանարար թվի գոյության թեորեմի ուժով կա առնվազն մեկ թիվ /, որը բաժանում է X և Y բազմությունները, այսինքն. այնպես, որ հատվածի ցանկացած բաժանման համար կրկնակի անհավասարությունը պահպանվում է.
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
Եթե այս թիվը եզակի է, ապա \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).
Բերենք մի օրինակ, որը ցույց կտա, որ նման I թիվը, ընդհանուր առմամբ, եզակիորեն սահմանված չէ: Հիշեցնենք, որ Դիրիխլեի ֆունկցիան y=D(x) ֆունկցիա է հավասարումներով սահմանված միջակայքում.
D(x)= \սկիզբ (դեպքեր)0, & \text (եթե)~~ x~~\text (իռացիոնալ թիվ է);\\1, & \text (եթե)~~ x~~ \text (է ռացիոնալ թիվ).\վերջ (դեպքեր)
Ինչ հատված էլ վերցնենք, դրա վրա կլինեն և՛ ռացիոնալ, և՛ իռացիոնալ կետեր, այսինքն. և կետերը, որտեղ D(x)=0, և կետերը, որտեղ D(x)=1: Հետևաբար, հատվածի ցանկացած բաժանման համար m_k-ի բոլոր արժեքները հավասար են զրոյի, իսկ M_k-ի բոլոր արժեքները հավասար են մեկի: Բայց հետո բոլոր ստորին Դարբուի գումարները \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))հավասար են զրոյի, և բոլոր վերին Դարբուի գումարները \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))մեկին հավասար,
