Թիրախ:

• Հակածանցյալ հասկացության ձևավորում:
• Ինտեգրալի ընկալման նախապատրաստում.
• Հաշվողական հմտությունների ձևավորում:
• Գեղեցկության զգացողության զարգացում (գեղեցկությունն անսովոր տեսնելու ունակություն):

Մաթեմատիկական վերլուծությունը մաթեմատիկայի ճյուղերի ամբողջություն է, որը նվիրված է ֆունկցիաների և դրանց ընդհանրացման ուսումնասիրությանը` օգտագործելով դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդները:

Մինչ այժմ մենք ուսումնասիրել ենք մաթեմատիկական վերլուծության մի ճյուղ, որը կոչվում է դիֆերենցիալ հաշվարկ, որի էությունը «փոքրում» ֆունկցիայի ուսումնասիրությունն է։

Նրանք. ֆունկցիայի ուսումնասիրություն յուրաքանչյուր սահմանման կետի բավական փոքր թաղամասերում: Տարբերակման գործողություններից է ածանցյալը (դիֆերենցիալը) գտնելը և ֆունկցիաների ուսումնասիրության մեջ կիրառելը։

Պակաս կարևոր չէ հակադարձ խնդիրը։ Եթե ​​հայտնի է ֆունկցիայի վարքագիծը դրա սահմանման յուրաքանչյուր կետի մոտակայքում, ապա ինչպես կարելի է վերականգնել ֆունկցիան որպես ամբողջություն, այսինքն. դրա սահմանման ողջ շրջանակում։ Այս խնդիրը այսպես կոչված ինտեգրալ հաշվարկի ուսումնասիրության առարկան է։

Ինտեգրումը տարբերակման հակադարձ գործողությունն է: Կամ f(x) ֆունկցիայի վերականգնում տրված f`(x) ածանցյալից: Լատինական «integro» բառը նշանակում է վերականգնում։

Օրինակ թիվ 1.

Թող (x)`=3x 2:
Գտնենք f(x):

Լուծում:

Ելնելով տարբերակման կանոնից՝ դժվար չէ կռահել, որ f(x) = x 3, քանի որ (x 3)` = 3x 2
Այնուամենայնիվ, դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել, որ f(x)-ը եզակիորեն չի գտնվել:
Որպես f(x) մենք կարող ենք վերցնել
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 և այլն:

Քանի որ նրանցից յուրաքանչյուրի ածանցյալը հավասար է 3x2-ի։ (Հաստատունի ածանցյալը 0 է): Այս բոլոր գործառույթները միմյանցից տարբերվում են հաստատուն տերմինով։ Ահա թե ինչու ընդհանուր լուծումխնդիրը կարելի է գրել f(x)= x 3 +C ձևով, որտեղ C-ն ցանկացած հաստատուն իրական թիվ է։

Գտնված f(x) ֆունկցիաներից որևէ մեկը կոչվում է ՊՐԻՄՈԴԻՈՒՄ F`(x)= 3x 2 ֆունկցիայի համար

Սահմանում. F(x) ֆունկցիան կոչվում է հակաածանցյալ f(x) ֆունկցիայի համար տրված J միջակայքում, եթե այս միջակայքի բոլոր x-երի համար F`(x)= f(x): Այսպիսով, F(x)=x 3 ֆունկցիան հակաածանցյալ է f(x)=3x 2-ի համար (- ∞ ; ∞):
Քանի որ բոլոր x ~R-ի համար հավասարությունը ճիշտ է՝ F`(x)=(x 3)`=3x 2

Ինչպես արդեն նկատել ենք. այս գործառույթըունի անսահման թվով հակաածանցյալներ (տե՛ս օրինակ թիվ 1):

Օրինակ թիվ 2. F(x)=x ֆունկցիան հակաածանցյալ է բոլոր f(x)= 1/x-ի համար (0; +), քանի որ Բոլոր x-երի համար այս միջակայքից հավասարությունը պահպանվում է:
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Օրինակ թիվ 3. F(x)=tg3x ֆունկցիան հակաածանցյալ է f(x)=3/cos3x-ի համար (-n/): 2; p/ 2),
քանի որ F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Օրինակ թիվ 4. F(x)=3sin4x+1/x-2 ֆունկցիան հակաածանցյալ է f(x)=12cos4x-1/x 2-ի համար (0;∞) միջակայքում:
քանի որ F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Դասախոսություն 2.

Թեմա՝ Հակածանցյալ. Հակածանցյալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունը.

Հակածանցյալն ուսումնասիրելիս կհիմնվենք հետևյալ պնդման վրա. Ֆունկցիայի կայունության նշան. Եթե J միջակայքում ֆունկցիայի Ψ(x) ածանցյալը հավասար է 0-ի, ապա այս միջակայքում Ψ(x) ֆունկցիան հաստատուն է։

Այս հայտարարությունը կարելի է ցույց տալ երկրաչափական ձևով:

Հայտնի է, որ Ψ`(x)=tgα, γde α-ն աբսցիսա x 0-ով կետում Ψ(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքության անկյունն է։ Եթե ​​J միջակայքի ցանկացած կետում Ψ`(υ)=0, ապա tanα=0 δ Ψ(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի ցանկացած շոշափողի համար: Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը ցանկացած կետում զուգահեռ է աբսցիսայի առանցքին: Հետեւաբար, նշված միջակայքում Ψ(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը համընկնում է y=C ուղիղ հատվածի հետ։

Այսպիսով, f(x)=c ֆունկցիան հաստատուն է J միջակայքում, եթե f`(x)=0 այս միջակայքում:

Իրոք, J միջակայքից կամայական x 1-ի և x 2-ի համար, օգտագործելով ֆունկցիայի միջին արժեքի թեորեմը, կարող ենք գրել.
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), քանի որ f`(c)=0, ապա f(x 2)= f(x 1)

Թեորեմ (հակածանցյալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունը)

Եթե ​​F(x)-ը J միջակայքում f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկն է, ապա այս ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը ունի F(x) + C ձևը, որտեղ C-ն ցանկացած իրական թիվ է:

Ապացույց:

Թող F`(x) = f (x), ապա (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x), x Є J-ի համար:
Ենթադրենք, որ գոյություն ունի Φ(x) - մեկ այլ հակաածանցյալ f (x)-ի համար J միջակայքում, այսինքն. Φ`(x) = f (x),
ապա (Φ(x) - F(x))` = f (x) – f (x) = 0, x Є J-ի համար:
Սա նշանակում է, որ Φ(x) - F(x) հաստատուն է J միջակայքում:
Հետեւաբար, Φ(x) - F(x) = C:
որտեղից Φ(x)= F(x)+C.
Սա նշանակում է, որ եթե F(x)-ը f (x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է J միջակայքում, ապա այս ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը ունի F(x)+C ձևը, որտեղ C-ն ցանկացած իրական թիվ է:
Հետևաբար, տվյալ ֆունկցիայի ցանկացած երկու հակաածանցյալ տարբերվում են միմյանցից հաստատուն անդամով։

Օրինակ՝ Գտե՛ք f (x) = cos x ֆունկցիայի հակաածանցյալների բազմությունը: Գծե՛ք առաջին երեքի գրաֆիկները:

Լուծում: Sin x-ը f (x) = cos x ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկն է
F(x) = Sin x+C – բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը:

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Երկրաչափական նկարազարդում.Ցանկացած հակաածանցյալ F(x)+C-ի գրաֆիկը կարելի է ստանալ հակաածանցյալ F(x)-ի գրաֆիկից՝ օգտագործելով զուգահեռ փոխանցում r (0;c):

Օրինակ՝ f (x) = 2x ֆունկցիայի համար գտե՛ք հակաածանցյալ, որի գրաֆիկն անցնում է t.M (1;4) միջով:

Լուծում: F(x)=x 2 +C – բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը, F(1)=4 – ըստ խնդրի պայմանների։
Հետեւաբար, 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Հակաածանցյալ.

Հակածանցյալը հեշտ է հասկանալ օրինակով:

Վերցնենք ֆունկցիան y = x 3. Ինչպես գիտենք նախորդ բաժիններից, ածանցյալը X 3-ը 3 է X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Հետևաբար, ֆունկցիայից y = x 3 մենք ստանում ենք նոր առանձնահատկություն: ժամը = 3X 2 .
Պատկերավոր ասած՝ ֆունկցիան ժամը = X 3 արտադրված գործառույթ ժամը = 3X 2 և հանդիսանում է նրա «ծնողը»: Մաթեմատիկայի մեջ չկա «ծնող» բառը, բայց կա հարակից հասկացություն՝ հակաածանցյալ:

Այսինքն՝ ֆունկցիա y = x 3-ը ֆունկցիայի հակաածանցյալն է ժամը = 3X 2 .

Հակածանցյալի սահմանում.

Մեր օրինակում ( X 3)" = 3X 2 հետևաբար y = x 3 – հակաածանցյալ համար ժամը = 3X 2 .

Ինտեգրում.

Ինչպես գիտեք, տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու գործընթացը կոչվում է տարբերակում։ Իսկ հակադարձ գործողությունը կոչվում է ինտեգրացիա։

Օրինակ-բացատրություն:

ժամը = 3X 2 + մեղք x.

Լուծում.

Մենք գիտենք, որ 3-ի հակաածանցյալը X 2 է X 3 .

Հակաածանցյալ մեղքի համար xէ – cos x.

Մենք ավելացնում ենք երկու հակաածանցյալ և ստանում հակաածանցյալ տվյալ ֆունկցիայի համար.

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

Պատասխան.
ֆունկցիայի համար ժամը = 3X 2 + մեղք x y = x 3 – cos x.

Օրինակ-բացատրություն:

Գտնենք ֆունկցիայի հակաածանցյալ ժամը= 2 մեղք x.

Լուծում.

Մենք նշում ենք, որ k = 2. մեղքի հակաածանցյալը xէ – cos x.

Հետևաբար, ֆունկցիայի համար ժամը= 2 մեղք xհակաածանցյալը ֆունկցիան է ժամը= –2cos x.
2 գործակից y = 2 sin ֆունկցիայում xհամապատասխանում է հակաածանցյալի գործակցին, որից ձևավորվել է այս ֆունկցիան։

Օրինակ-բացատրություն:

Գտնենք ֆունկցիայի հակաածանցյալ y= մեղք 2 x.

Լուծում.

Մենք դա նկատում ենք կ= 2. Հակաածանցյալ մեղքի համար xէ – cos x.

Մենք կիրառում ենք մեր բանաձևը՝ գտնելու ֆունկցիայի հակաածանցյալը y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Պատասխան՝ ֆունկցիայի համար y= մեղք 2 xհակաածանցյալը ֆունկցիան է y = – ----
2

(4)

Օրինակ-բացատրություն.

Վերցնենք ֆունկցիան նախորդ օրինակից. y= մեղք 2 x.

Այս ֆունկցիայի համար բոլոր հակաածանցյալներն ունեն հետևյալ ձևը.

cos 2 x
y = – ---- + Գ.
2

Բացատրություն.

Եկեք վերցնենք առաջին տողը. Այն կարդում է այսպես. եթե ֆունկցիան y = f( x) 0 է, ապա դրա հակաածանցյալը 1 է։ Ինչո՞ւ։ Քանի որ միասնության ածանցյալը զրո է՝ 1" = 0:

Մնացած տողերը կարդացվում են նույն հերթականությամբ։

Ինչպե՞ս գրել տվյալները աղյուսակից: Վերցնենք ութերորդ տողը.

(-cos x)» = մեղք x

Երկրորդ մասը գրում ենք ածանցյալ նշանով, ապա հավասար նշանով և ածանցյալով։

Կարդում ենք՝ հակաածանցյալ մեղք ֆունկցիայի համար x-cos ֆունկցիան է x.

Կամ՝ ֆունկցիա -cos xհակաածանցյալ է sin ֆունկցիայի համար x.

Դիտարկենք կետի շարժումը ուղիղ գծով: Թող ժամանակ պահանջվի տշարժման սկզբից կետը տարածություն է անցել s(t).Հետո ակնթարթային արագությունը v(t)հավասար է ֆունկցիայի ածանցյալին s(t),այսինքն v(t) = s"(t):

Գործնականում մենք հանդիպում ենք հակադարձ խնդրի՝ հաշվի առնելով կետի շարժման արագությունը v(t)գտնել այն ճանապարհը, որը նա վերցրեց s(t), այսինքն՝ գտնել նման ֆունկցիա s(t),որի ածանցյալը հավասար է v(t). Գործառույթ s(t),այնպիսին, որ s"(t) = v(t), կոչվում է ֆունկցիայի հակաածանցյալ v(t).

Օրինակ, եթե v(t) = аt, Որտեղ Ատրված թիվ է, ապա ֆունկցիան
s(t) = (at 2) / 2v(t),քանի որ
s"(t) = ((а 2) / 2) " = аt = v(t):

Գործառույթ F(x)կոչվում է ֆունկցիայի հակաածանցյալ f(x)որոշ ընդմիջումով, եթե բոլորի համար Xայս բացից F"(x) = f(x):

Օրինակ՝ ֆունկցիան F(x) = մեղք xֆունկցիայի հակաածանցյալն է f(x) = cos x,քանի որ (մեղք x)» = cos x; ֆունկցիան F(x) = x 4 /4ֆունկցիայի հակաածանցյալն է f(x) = x 3, քանի որ (x 4 /4)" = x 3:

Դիտարկենք խնդիրը.

Առաջադրանք.

Ապացուցե՛ք, որ x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 ֆունկցիաները նույն f(x) = x 2 ֆունկցիայի հակաածանցյալներ են։

Լուծում.

1) Նշենք F 1 (x) = x 3 /3, ապա F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x):

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x):

Ընդհանուր առմամբ, x 3 /3 + C ցանկացած ֆունկցիա, որտեղ C-ն հաստատուն է, x 2 ֆունկցիայի հակաածանցյալն է: Սա բխում է այն փաստից, որ հաստատունի ածանցյալը զրո է։ Այս օրինակը ցույց է տալիս, որ տվյալ ֆունկցիայի համար նրա հակաածանցյալը որոշվում է երկիմաստորեն։

Թող F 1 (x) և F 2 (x) նույն ֆունկցիայի երկու հակաածանցյալներ լինեն f(x):

Այնուհետև F 1 "(x) = f(x) և F" 2 (x) = f (x):

Նրանց տարբերության ածանցյալը g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) հավասար է զրոյի, քանի որ g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0:

Եթե ​​g"(x) = 0 որոշակի միջակայքում, ապա այս ինտերվալի յուրաքանչյուր կետում y = g(x) ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողը զուգահեռ է Ox առանցքին: Հետևաբար, y ֆունկցիայի գրաֆիկը: g(x) ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է Ox առանցքին, այսինքն e. – F 2 (x) հետևում է, որ F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Այսպիսով, եթե F(x) ֆունկցիան f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալն է որոշակի ընդմիջումով, ապա բոլոր հակաածանցյալ ֆունկցիաները f(x) գրվում են F(x) + C ձևով, որտեղ C-ն կամայական հաստատուն է։ .

Դիտարկենք տրված f(x) ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների գրաֆիկները։ Եթե ​​F(x)-ը f(x) ֆունկցիայի հակաածանցյալներից մեկն է, ապա այս ֆունկցիայի ցանկացած հակաածանցյալ ստացվում է F(x)-ին ավելացնելով ինչ-որ հաստատուն՝ F(x) + C: y = F( ֆունկցիաների գրաֆիկները: x) + C ստացվում են y = F(x) գրաֆիկից՝ Oy առանցքի երկայնքով տեղաշարժով: Ընտրելով C՝ կարող եք ապահովել, որ հակաածանցյալի գրաֆիկն անցնում է տվյալ կետով։

Եկեք ուշադրություն դարձնենք հակաածանցյալներ գտնելու կանոններին։

Հիշեցնենք, որ տրված ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելու գործողությունը կոչվում է տարբերակում. Տրված ֆունկցիայի հակաածանցյալը գտնելու հակադարձ գործողությունը կոչվում է ինտեգրում(լատիներեն բառից «վերականգնել»).

Հակածանցյալների աղյուսակորոշ գործառույթների համար այն կարող է կազմվել՝ օգտագործելով ածանցյալների աղյուսակը: Օրինակ՝ իմանալով, որ (cos x)" = -sin x,մենք ստանում ենք (-cos x)» = մեղք x, որից հետևում է, որ բոլոր հակաածանցյալ ֆունկցիաները մեղք xգրված են ձևով -cos x + C, Որտեղ ՀԵՏ- մշտական.

Դիտարկենք հակաածանցյալների որոշ իմաստներ:

1) Գործառույթ: x p, p ≠ -1. Հակաածանցյալ: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Գործառույթ: 1/x, x > 0:Հակաածանցյալ: ln x + C.

3) Գործառույթ: x p, p ≠ -1. Հակաածանցյալ: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Գործառույթ: e x. Հակաածանցյալ: e x + C.

5) Գործառույթ: մեղք x. Հակաածանցյալ: -cos x + C.

6) Գործառույթ: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0:Հակաածանցյալ: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Գործառույթ: 1/(kx + b), k ≠ 0. Հակաածանցյալ: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Գործառույթ: e kx + b, k ≠ 0. Հակաածանցյալ: (1/k) e kx + b + C.

9) Գործառույթ: sin (kx + b), k ≠ 0. Հակաածանցյալ: (-1/k) cos (kx + b).

10) Գործառույթ: cos (kx + b), k ≠ 0:Հակաածանցյալ: (1/k) մեղք (kx + b).

Ինտեգրման կանոններկարելի է ձեռք բերել օգտագործելով տարբերակման կանոններ. Եկեք նայենք որոշ կանոնների.

Թող F(x)Եվ G(x)– համապատասխանաբար ֆունկցիաների հակաածանցյալներ f(x)Եվ g(x)որոշ ընդմիջումով. Ապա.

1) ֆունկցիան F(x) ± G(x)ֆունկցիայի հակաածանցյալն է f(x) ± g (x);

2) ֆունկցիան AF(x)ֆունկցիայի հակաածանցյալն է аf(x).

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Ինտեգրալների լուծումը հեշտ խնդիր է, բայց միայն ընտրյալների համար: Այս հոդվածը նրանց համար է, ովքեր ցանկանում են սովորել հասկանալ ինտեգրալները, բայց ոչինչ չգիտեն կամ գրեթե ոչինչ չգիտեն դրանց մասին: Ինտեգրալ... Ինչու՞ է դա անհրաժեշտ: Ինչպե՞ս հաշվարկել այն: Որո՞նք են որոշակի և անորոշ ինտեգրալները: Եթե ​​ինտեգրալի միակ օգտագործումը, որը դուք գիտեք, դա ինտեգրալ պատկերակի տեսքով կարթակ օգտագործելն է՝ ինչ-որ օգտակար բան ստանալու համար: դժվար հասանելի վայրեր, ապա բարի գալուստ։ Պարզեք, թե ինչպես լուծել ինտեգրալները և ինչու չեք կարող անել առանց դրա:

Մենք ուսումնասիրում ենք «ինտեգրալ» հասկացությունը

Ինտեգրումը հայտնի էր դեռևս Հին Եգիպտոս. Իհարկե ոչ ներս ժամանակակից ձև, բայց դեռ. Այդ ժամանակից ի վեր մաթեմատիկոսները բազմաթիվ գրքեր են գրել այս թեմայով: Հատկապես աչքի ընկան Նյուտոն Եվ Լայբնիցը , բայց իրերի էությունը չի փոխվել։ Ինչպե՞ս հասկանալ ինտեգրալները զրոյից: Ոչ մի կերպ: Այս թեման հասկանալու համար ձեզ դեռ պետք կգան մաթեմատիկական վերլուծության հիմունքների հիմնական գիտելիքներ: Հենց այս հիմնարար տեղեկատվությունն է, որը դուք կգտնեք մեր բլոգում:

Անորոշ ինտեգրալ

Եկեք որոշ գործառույթ ունենանք f(x) .

Անորոշ ինտեգրալ ֆունկցիա f(x) այս ֆունկցիան կոչվում է F(x) , որի ածանցյալը հավասար է ֆունկցիային f(x) .

Այլ կերպ ասած, ինտեգրալը հակադարձ կամ հակաածանցյալ ածանցյալ է: Ի դեպ, թե ինչպես, կարդացեք մեր հոդվածում:

Հակաածանցյալ գոյություն ունի բոլոր շարունակական ֆունկցիաների համար: Նաև հակաածանցյալին հաճախ ավելացվում է հաստատուն նշան, քանի որ այն ֆունկցիաների ածանցյալները, որոնք տարբերվում են հաստատունով, համընկնում են։ Ինտեգրալը գտնելու գործընթացը կոչվում է ինտեգրացիա։

Պարզ օրինակ.

Տարրական ֆունկցիաների հակաածանցյալները անընդհատ չհաշվելու համար հարմար է դրանք դնել աղյուսակի մեջ և օգտագործել պատրաստի արժեքներ.

Որոշակի ինտեգրալ

Երբ գործ ունենք ինտեգրալ հասկացության հետ, գործ ունենք անվերջ փոքր մեծությունների հետ։ Ինտեգրալը կօգնի հաշվարկել գործչի մակերեսը, ոչ միատեսակ մարմնի զանգվածը, անհավասար շարժման ընթացքում անցած հեռավորությունը և շատ ավելին: Պետք է հիշել, որ ինտեգրալը անսահման մեծ թվով անվերջ փոքր անդամների գումարն է։

Որպես օրինակ, պատկերացրեք ինչ-որ ֆունկցիայի գրաֆիկ: Ինչպե՞ս գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկով սահմանափակված գործչի մակերեսը:

Օգտագործելով ինտեգրալ: Եկեք բաժանենք կորագիծ տրապիզը, որը սահմանափակված է կոորդինատային առանցքներով և ֆունկցիայի գրաֆիկով, անվերջ փոքր հատվածների։ Այս կերպ գործիչը կբաժանվի բարակ սյունակների։ Սյուների տարածքների գումարը կլինի trapezoid-ի տարածքը: Բայց հիշեք, որ նման հաշվարկը մոտավոր արդյունք կտա։ Այնուամենայնիվ, որքան փոքր և նեղ հատվածները, այնքան ավելի ճշգրիտ կլինի հաշվարկը: Եթե ​​դրանք փոքրացնենք այնքան, որ երկարությունը ձգվի զրոյի, ապա հատվածների տարածքների գումարը կձգտի նկարի մակերեսին: Սա որոշակի ինտեգրալ է, որը գրված է այսպես.

a և b կետերը կոչվում են ինտեգրման սահմաններ:

Բարի Ալիբասովը և «Ինտեգրալ» խումբը

Ի դեպ! Մեր ընթերցողների համար այժմ գործում է 10% զեղչ

Կեղծիքների համար ինտեգրալների հաշվարկման կանոններ

Անորոշ ինտեգրալի հատկությունները

Ինչպե՞ս լուծել անորոշ ինտեգրալ: Այստեղ կանդրադառնանք անորոշ ինտեգրալի հատկություններին, որոնք օգտակար կլինեն օրինակներ լուծելիս։

• Ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանտին.

• Հաստատունը կարելի է հանել ինտեգրալ նշանի տակից.

• Գումարի ինտեգրալը հավասար է ինտեգրալների գումարին։ Սա ճիշտ է նաև տարբերության համար.

Որոշակի ինտեգրալի հատկությունները

• Գծայինություն:

• Ինտեգրացիայի նշանը փոխվում է, եթե փոխվում են ինտեգրման սահմանները.

• ժամը ցանկացածմիավորներ ա, բԵվ Հետ:

Մենք արդեն պարզել ենք, որ որոշակի ինտեգրալը գումարի սահմանն է։ Բայց ինչպե՞ս ստանալ կոնկրետ արժեք օրինակ լուծելիս: Դրա համար կա Նյուտոն-Լայբնից բանաձևը.

Ինտեգրալների լուծման օրինակներ

Ստորև մենք կքննարկենք անորոշ ինտեգրալներ գտնելու մի քանի օրինակ: Մենք ձեզ հրավիրում ենք ինքներդ պարզել լուծման բարդությունները, և եթե ինչ-որ բան անհասկանալի է, հարցեր տվեք մեկնաբանություններում:

Նյութն ամրապնդելու համար դիտեք տեսանյութ, թե ինչպես են գործնականում լուծվում ինտեգրալները: Մի հուսահատվեք, եթե ինտեգրալը միանգամից չտրվի։ Հարցրեք, և նրանք ձեզ կասեն այն ամենը, ինչ գիտեն ինտեգրալների հաշվարկման մասին: Մեր օգնությամբ ցանկացած եռակի կամ կոր ինտեգրալ փակ մակերեսի վրա կլինի ձեր ուժերի սահմաններում:

Գործառույթ F(x ) կանչեց հակաածանցյալ ֆունկցիայի համար զ(x) որոշակի ընդմիջումով, եթե բոլորի համար x այս միջակայքից պահպանվում է հավասարությունը

Ֆ» (x ) = զ(x ) .

Օրինակ՝ ֆունկցիան F(x) = x 2 զ(x ) = 2X , քանի որ

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x): ◄

Հակածանցյալի հիմնական հատկությունը

Եթե F(x) - ֆունկցիայի հակաածանցյալ f(x) տրված միջակայքում, ապա ֆունկցիան f(x) ունի անսահման շատ հակաածանցյալներ, և այս բոլոր հակաածանցյալները կարելի է գրել ձևով F(x) + C, Որտեղ ՀԵՏ կամայական հաստատուն է:

Հակածանցյալների հաշվարկման կանոններ

1. Եթե F(x) - հակաածանցյալ համար f(x) , Ա G(x) - հակաածանցյալ համար g(x) , Դա F(x) + G(x) - հակաածանցյալ համար f(x) + g(x) . Այլ կերպ ասած, գումարի հակաածանցյալը հավասար է հակաածանցյալների գումարին .
2. Եթե F(x) - հակաածանցյալ համար f(x) , Եվ կ - անընդհատ, ուրեմն կ · F(x) - հակաածանցյալ համար կ · f(x) . Այլ կերպ ասած, հաստատուն գործոնը կարելի է հանել ածանցյալի նշանից .
3. Եթե F(x) - հակաածանցյալ համար f(x) , Եվ կ,բ- մշտական, և k ≠ 0 , Դա 1 / կ F(կ x+բ ) - հակաածանցյալ համար զ(կ x+ բ) .

Անորոշ ինտեգրալ

Ոչ որոշակի ինտեգրալ ֆունկցիայից f(x) կոչվում է արտահայտություն F(x) + C, այսինքն՝ տվյալ ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների բազմությունը f(x) . Անորոշ ինտեգրալը նշանակվում է հետևյալ կերպ.

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- կանչում են ինտեգրացիոն ֆունկցիա ;

f(x)dx- կանչում են ինտեգրանդ ;

x - կանչում են ինտեգրման փոփոխական ;

F(x) - պարզունակ գործառույթներից մեկը f(x) ;

ՀԵՏ կամայական հաստատուն է:

Օրինակ՝ ∫ 2 x dx =X 2 + ՀԵՏ , ∫ cosx dx =մեղք X + ՀԵՏ եւ այլն։ ◄

«Ինտեգրալ» բառը գալիս է լատիներեն բառից ամբողջ թիվ , որը նշանակում է «վերականգնված»։ Հաշվի առնելով անորոշ ինտեգրալը 2 x, մենք կարծես վերականգնում ենք ֆունկցիան X 2 , որի ածանցյալը հավասար է 2 x. Գործառույթի վերականգնումն իր ածանցյալից կամ, նույնն է, տվյալ ինտեգրանդի վրա անորոշ ինտեգրալ գտնելը կոչվում է. ինտեգրում այս գործառույթը: Ինտեգրումը տարբերակման հակադարձ գործողությունն է Որպեսզի ստուգենք, թե արդյոք ինտեգրումը ճիշտ է կատարվել, բավական է տարբերակել արդյունքը և ստանալ ինտեգրումը։

Անորոշ ինտեգրալի հիմնական հատկությունները

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալը հավասար է ինտեգրանդին.

(∫ f(x)dx )" = f(x) .

2. Ինտեգրանդի հաստատուն գործակիցը կարելի է դուրս բերել ինտեգրալ նշանից.

∫ կ · f(x)dx = կ · ∫ f(x)dx .

3. Ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիաների ինտեգրալների գումարին (տարբերությանը).

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g (x ) dx .

4. Եթե կ,բ- մշտական, և k ≠ 0 , Դա

∫ զ ( կ x+ բ) dx = 1 / կ F(կ x+բ ) + Գ .

Հակածանցյալների և անորոշ ինտեգրալների աղյուսակ

Որոշակի ինտեգրալ

Թողեք արանքում [ա; բ] տրվում է շարունակական ֆունկցիա y = f(x) , Հետո որոշակի ինտեգրալ a-ից b գործառույթները f(x) կոչվում է հակաածանցյալի աճ F(x) այս ֆունկցիան, այսինքն

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Թվեր աԵվ բկոչվում են համապատասխանաբար ավելի ցածր Եվ վերեւ ինտեգրման սահմանները.

Որոշակի ինտեգրալը հաշվարկելու հիմնական կանոնները

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) որտեղ կ - մշտական;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), որտեղ f(x) — նույնիսկ ֆունկցիա;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), որտեղ f(x) կենտ ֆունկցիա է:

Մեկնաբանություն . Բոլոր դեպքերում ենթադրվում է, որ ինտեգրանդները ինտեգրելի են թվային ընդմիջումներով, որոնց սահմանները ինտեգրման սահմաններն են։

Որոշակի ինտեգրալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Երկրաչափական իմաստ որոշակի ինտեգրալ	Ֆիզիկական իմաստ որոշակի ինտեգրալ
Քառակուսի Սկորագիծ տրապիզոիդ (միջակայքի վրա շարունակական դրականի գրաֆիկով սահմանափակված թիվ [ա; բ] գործառույթները f(x) , առանցք Եզ և ուղիղ x=a , x=b ) հաշվարկվում է բանաձևով $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Ճանապարհ ս, որը նյութական կետը հաղթահարել է՝ ուղղագիծ շարժվելով օրենքի համաձայն փոփոխվող արագությամբ v(t) , որոշակի ժամանակահատվածով ա ; բ], այնուհետև այդ ֆունկցիաների և ուղիղ գծերի գրաֆիկներով սահմանափակված գործչի տարածքը x = a , x = b , հաշվարկված բանաձևով $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք նկարի մակերեսը, սահմանափակված տողերով y = x 2 Եվ y = 2-x . Եկեք սխեմատիկորեն պատկերենք այս ֆունկցիաների գրաֆիկները և այլ գույնով ընդգծենք այն գործիչը, որի տարածքը պետք է գտնել: Ինտեգրման սահմանները գտնելու համար լուծում ենք հավասարումը. x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)(2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\ձախ (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \աջ )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2): $$ ◄

Պտտման մարմնի ծավալը

	Եթե ​​առանցքի շուրջ պտույտի արդյունքում մարմին է ստացվել Եզ կորագիծ trapezoid, որը սահմանափակված է շարունակական և ոչ բացասական գրաֆիկով միջակայքի վրա [ա; բ] գործառույթները y = f(x) և ուղիղ x = aԵվ x = b , ապա այն կոչվում է պտտման մարմին . Պտտման մարմնի ծավալը հաշվարկվում է բանաձևով $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Եթե ​​պտույտի մարմինը ստացվում է ֆունկցիաների գրաֆիկներով վերևից ներքև սահմանափակված գործչի պտտման արդյունքում. y = f(x) Եվ y = g(x) , համապատասխանաբար, ապա $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Օրինակ. Հաշվենք շառավղով կոնի ծավալը r և բարձրությունը հ . Եկեք տեղադրենք կոնը ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում այնպես, որ նրա առանցքը համընկնի առանցքի հետ Եզ , իսկ հիմքի կենտրոնը գտնվում էր սկզբնաղբյուրում։ Գեներատորի ռոտացիա ԱԲսահմանում է կոն. Քանի որ հավասարումը ԱԲ $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
իսկ կոնի ծավալի համար մենք ունենք $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\ձախ (0-\frac(1)(3) \աջ)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄