Կոմբինատոր վերլուծության տարրեր

Միացումներ.Դատարկ Ա ա 1 , ա 2, ա 3 …a n Ա մ (մ-ից n կապեր -ից nտարրեր ըստ մ

Վերադասավորումներ.Դատարկ Ա- մի շարք, որը բաղկացած է վերջավոր թվով տարրերից ա 1 , ա 2, ա 3 …a n. Հավաքածուի տարբեր տարրերից Ակարող են ձևավորվել խմբեր. Եթե ​​յուրաքանչյուր խումբ պարունակում է նույն թվով տարրեր մ (մ-ից n), ապա ասում են, որ ձևավորվում են կապեր -ից nտարրեր ըստ մբոլորի մեջ։ Միացումների երեք տեսակ կա՝ տեղաբաշխումներ, համակցություններ և փոխարկումներ:

Տեղաբաշխումներ.Միացություններ, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է մտարբեր տարրեր ( մ < n) վերցված է nհավաքածուի տարրեր Ա, միմյանցից տարբերվող կամ տարրերի կազմով, կամ դրանց հերթականությամբ կոչվում են տեղաբաշխումներ -ից nտարրեր ըստ մբոլորի մեջ։ Նման տեղադրությունների թիվը նշվում է խորհրդանիշով

Թեորեմ 1. n տարրերի բոլոր հստակ փոխարկումների թիվը

N(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Թեորեմ 2. ից բոլոր տեղաբաշխումների քանակը nտարրեր ըստ մհաշվարկվում է բանաձևով.

Համակցություններ. Միացումներորոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է մտարբեր տարրեր ( մ < n) վերցված է nհավաքածուի տարրեր Ա, որոնք միմյանցից տարբերվում են տարրերից առնվազն մեկով (միայն կազմը) կոչվում են համակցություններ -ից nտարրեր ըստ մբոլորի մեջ։ Նման համակցությունների թիվը նշվում է խորհրդանիշով

Թեորեմ 3. n տարրերի բոլոր համակցությունների քանակը m-ով որոշվում է բանաձևով.

Երբեմն տեղադրումների քանակը գրանցելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը.

Հավանականությունների տեսության կիրառման էությունն ու պայմանները.

Հավանականությունների տեսություն

Պատահական երևույթ -

միայն

T.v. ծառայում է հիմնավորելու մաթեմատիկական և կիրառական վիճակագրությունը, որն օգտագործվում է արտադրության կազմակերպման պլանավորման ժամանակ և այլն։

Հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունները.

Հավանականությունների տեսությունմաթեմատիկական գիտություն է, որն ուսումնասիրում է պատահական երևույթների օրինաչափությունները։

Պատահական երևույթ -Սա մի երեւույթ է, որը, երբ նույն փորձը բազմիցս վերարտադրվում է, ամեն անգամ մի փոքր այլ կերպ է տեղի ունենում:

Հավանականությունների տեսության մեթոդներն իրենց բնույթով հարմարեցված են միայնզանգվածային պատահական երևույթների ուսումնասիրության համար; դրանք հնարավորություն չեն տալիս կանխատեսել առանձին պատահական երևույթի արդյունքը, բայց հնարավոր է դարձնում կանխատեսել միատարր պատահական երևույթների զանգվածի միջին ընդհանուր արդյունքը։

Հավանականությունների տեսության մեջ փորձարկումԸնդունված է անվանել փորձ, որը (գոնե տեսականորեն) կարող է կատարվել նույն պայմաններում անսահմանափակ թվով անգամներ։

Յուրաքանչյուր թեստի արդյունք կամ արդյունք կկոչվի իրադարձություն. Իրադարձությունը հավանականությունների տեսության հիմնական հասկացությունն է: Իրադարձությունները կնշանակենք A, B, C տառերով։

Միջոցառումների տեսակները.

հուսալի իրադարձություն- իրադարձություն, որը անպայման տեղի կունենա փորձի արդյունքում։

անհնարին իրադարձություն- իրադարձություն, որը չի կարող տեղի ունենալ փորձի արդյունքում:

պատահական իրադարձություն- իրադարձություն, որը կարող է տեղի ունենալ կամ չլինել տվյալ փորձառության մեջ: Իրադարձությունների հավասար հնարավորություն

Հավանականությունիրադարձություններ Ա(նշել P(A) Ա(նշել m(A)), Նդրանք. P(A)= m(A)/N.

Հավանական տարածություն.

Հավանական տարածությունպատահական փորձի (փորձի) մաթեմատիկական մոդել է աքսիոմատիկայում Ա.Ն. Կոլմոգորովը. Հավանականության տարածությունը պարունակում է բոլոր տեղեկությունները պատահական փորձի հատկությունների մասին, որոնք անհրաժեշտ են դրա մաթեմատիկական վերլուծության համար՝ օգտագործելով հավանականության տեսության միջոցները։ Հավանականությունների տեսության ցանկացած խնդիր լուծվում է որոշակի հավանականության տարածության շրջանակներում՝ սկզբնապես ամբողջությամբ ճշտված։ Մաթեմատիկական վիճակագրության ոլորտին են պատկանում այն ​​խնդիրները, որոնցում հավանականության տարածությունն ամբողջությամբ հստակեցված չէ, և բացակայող տեղեկատվությունը պետք է ստացվի դիտողական արդյունքներից։

Հավանական տարածությունորոշվում է բաղադրիչների (նշանների) եռակի միջոցով (Ω,S,P), որտեղ Ω-ն տարրական իրադարձությունների տարածությունն է։

S-∂(sigma)-իրադարձությունների հանրահաշիվ, P- հավանականություն, Ω-որոշակի իրադարձություն, S-տարրական ելքերի տարածության ենթաբազմությունների համակարգ Ω:

5. 5.Ուղիղ հավանականության հաշվարկ.

Հավանականության դասական սահմանումհայեցակարգի հիման վրա իրադարձությունների հավասարություն .

Իրադարձությունների հավասար հնարավորություննշանակում է, որ դրանցից որևէ մեկին մյուսներից գերադասելու պատճառ չկա:

Մտածեք մի թեստ, որը կարող է հանգեցնել իրադարձության Ա. Յուրաքանչյուր արդյունք, որով տեղի է ունենում իրադարձությունը Ա, կանչեց բարենպաստ իրադարձություն Ա.

Հավանականությունիրադարձություններ Ա(նշել P(A)) միջոցառմանը նպաստավոր արդյունքների քանակի հարաբերակցությունն է Ա(նշել m(A)),բոլոր թեստի արդյունքների քանակին՝ Նդրանք. P(A)= m(A)/N.

Հավանականության դասական սահմանումից հետևում է հետևյալը. հատկությունները :

Ցանկացած իրադարձության հավանականությունը գտնվում է զրոյի և մեկի միջև:

Ապացույց. Քանի որ, ապա անհավասարության բոլոր մասերը բաժանելով Ն, ստանում ենք

Որտեղից, ըստ հավանականության դասական սահմանման, հետևում է, որ

Հուսալի իրադարձության հավանականությունը հավասար է մեկի։

Անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է

6. 6. Հավանականությունների գումարման թեորեմներ.

Եթե ​​A-ն և B-ն անհամատեղելի են, ապա P(A + B) = P(A) + P(B)

Եթե ​​A-ն և B-ն հակադիր իրադարձություններ են, ապա

Հետևյալում մենք սիգմա հանրահաշվի տարրը կանվանենք պատահական իրադարձություն:

Միջոցառումների ամբողջական խումբ

Իրադարձությունների ամբողջական խումբը ենթաբազմությունների ամբողջական խումբ է, որոնցից յուրաքանչյուրը իրադարձություն է: Նրանք ասում են, որ ամբողջական խմբի իրադարձությունները տարրական արդյունքների տարածության բաժանումն են:

Վերջավոր հավելումների ֆունկցիա

Թող Ա – հանրահաշիվ.  ֆունկցիա՝ հանրահաշիվը քարտեզագրելով իրական թվերի բազմությանը

կոչվում է վերջավոր հավելում, եթե զույգերով անհամատեղելի իրադարձությունների ցանկացած վերջավոր բազմության համար

Հաշվիչ-հավելումային ֆունկցիա

Թող Ֆ– հանրահաշիվ կամ սիգմա հանրահաշիվ: Գործառույթ

կոչվում է հաշվելի հավելում, եթե այն վերջավոր հավելում է և զույգերով անհամատեղելի իրադարձությունների ցանկացած հաշվելի բազմության համար

Չափը սիգմա հանրահաշիվով սահմանված ոչ բացասական հաշվելի հավելման ֆունկցիա է, որը բավարարում է պայմանը

Վերջնական միջոց

Չափել կոչվում է վերջավոր, եթե

Հավանականություն

Հավանականություն (հավանականության չափում) Պսա այնպիսի միջոց է, որ

Այսուհետ մենք կդադարենք չափել հավանականությունը տոկոսներով և կսկսենք չափել 0-ից մինչև 1 իրական թվերով։

կոչվում է իրադարձության հավանականություն Ա

Հավանական տարածություն

Հավանական տարածքը երեք օբյեկտների հավաքածու է` տարրական արդյունքների տարածություն, իրադարձությունների սիգմա հանրահաշիվ և հավանականություն:

Սա պատահական երեւույթի կամ առարկայի մաթեմատիկական մոդել է։

Հավանականության տարածություն սահմանելու պարադոքսը

Եկեք վերադառնանք հավանականությունների տեսության խնդրի սկզբնական ձևակերպմանը։ Մեր նպատակն էր ստեղծել պատահական երևույթի մաթեմատիկական մոդել, որը կօգնի քանակականացնել պատահական իրադարձությունների հավանականությունը: Միևնույն ժամանակ, հավանականության տարածություն կառուցելու համար անհրաժեշտ է նշել հավանականություն, այսինքն. կարծես թե հենց այն է, ինչ մենք փնտրում ենք (՞):

Այս պարադոքսի լուծումն այն է, որ լիովին սահմանել հավանականությունը որպես ֆունկցիա բոլոր տարրերի վրա Ֆ, սովորաբար բավական է այն դնել միայն որոշ իրադարձությունների վրա Ֆ, որի հավանականությունը մեզ համար հեշտ է որոշել , այնուհետև, օգտագործելով նրա հաշվելի հավելումը, հաշվարկեք ցանկացած տարրի վրա Ֆ.

Անկախ իրադարձություններ

Հավանականությունների տեսության մեջ կարևոր հասկացություն է անկախությունը:

A և B իրադարձությունները կոչվում են անկախ, եթե

դրանք. այդ իրադարձությունների միաժամանակ տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է դրանց հավանականությունների արտադրյալին:

Հաշվելի կամ վերջավոր բազմության իրադարձությունները կոչվում են զույգական անկախ, եթե դրանցից որևէ զույգ անկախ իրադարձությունների զույգ է։

Ընդհանուր առմամբ

Հաշվելի կամ վերջավոր բազմության իրադարձությունները համարվում են կոլեկտիվ անկախ, եթե դրանցից որևէ վերջավոր ենթաբազմության միաժամանակ տեղի ունենալու հավանականությունը հավասար է այդ ենթաբազմության իրադարձությունների հավանականությունների արտադրյալին:

Հասկանալի է, որ կոլեկտիվ անկախ իրադարձությունները նույնպես զույգերով անկախ են։ Հակառակը ճիշտ չէ։

Պայմանական հավանականություն

A իրադարձության պայմանական հավանականությունը, հաշվի առնելով, որ B իրադարձությունը տեղի է ունեցել, մեծությունն է

Առայժմ պայմանական հավանականությունը կսահմանենք միայն B իրադարձությունների համար, որոնց հավանականությունը հավասար չէ զրոյի։

Եթե ​​A և B իրադարձությունները անկախ են, ապա

Հատկություններ և թեորեմներ

Հավանականության ամենապարզ հատկությունները

Իրադարձությունների ձևը ամբողջական խումբ, եթե դրանցից գոնե մեկը հաստատ տեղի կունենա փորձի արդյունքում և զույգերով անհամատեղելի են։

Ենթադրենք, որ իրադարձությունը Ակարող է առաջանալ միայն մի քանի զույգ անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի հետ միասին, որոնք կազմում են ամբողջական խումբ: Մենք կոչ կանենք իրադարձություններ ( ես= 1, 2,…, n) վարկածներլրացուցիչ փորձ (a priori): Իրադարձության A-ի առաջացման հավանականությունը որոշվում է բանաձևով լրիվ հավանականություն :

Օրինակ 16.Կան երեք urns. Առաջին կարասը պարունակում է 5 սպիտակ և 3 սև գնդակներ, երկրորդում՝ 4 սպիտակ և 4 սև գնդակներ, իսկ երրորդում՝ 8 սպիտակ գնդակներ։ Սափորներից մեկն ընտրվում է պատահականության սկզբունքով (սա կարող է նշանակել, օրինակ, որ ընտրությունը կատարվում է օժանդակ սափորից, որը պարունակում է 1, 2 և 3 համարներով երեք գնդակներ): Այս urn-ից պատահականորեն գնդակ է քաշվում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այն սև կլինի:

Լուծում.Իրադարձություն Ա- սև գնդակը հանվում է: Եթե ​​հայտնի լիներ, թե որ ուրվից է հանվել գնդակը, ապա ցանկալի հավանականությունը կարելի էր հաշվարկել՝ օգտագործելով հավանականության դասական սահմանումը: Եկեք ենթադրություններ (վարկածներ) ներկայացնենք այն մասին, թե որ սափորն է ընտրվել գնդակը հանելու համար:

Գնդակը կարելի է քաշել կամ առաջին աղբից (ենթադրություն), կամ երկրորդից (ենթադրություն), կամ երրորդից (ենթադրություն): Քանի որ կազիներից որևէ մեկը ընտրելու հավասար հնարավորություններ կան, ուրեմն .

Դրանից բխում է, որ

Օրինակ 17.Էլեկտրական լամպերը արտադրվում են երեք գործարաններում։ Առաջին գործարանն արտադրում է էլեկտրական լամպերի ընդհանուր քանակի 30%-ը, երկրորդը՝ 25%-ը։
իսկ երրորդը` մնացածը: Առաջին գործարանի արտադրանքը պարունակում է 1% թերի էլեկտրական լամպեր, երկրորդը` 1,5%, երրորդը` 2%: Խանութը ապրանքներ է ստանում բոլոր երեք գործարաններից։ Որքա՞ն է հավանականությունը, որ խանութում գնված լամպը թերի է հայտնվում:

Լուծում. Պետք է ենթադրություններ արվեն, թե որ գործարանում է արտադրվել լամպը: Իմանալով դա՝ մենք կարող ենք գտնել այն թերի լինելու հավանականությունը: Ներկայացնենք իրադարձությունների նշում. Ա– գնված էլեկտրական լամպը պարզվել է, որ թերի է, – լամպը արտադրվել է առաջին գործարանում, – լամպը արտադրվել է երկրորդ գործարանում,
– լամպը արտադրվել է երրորդ գործարանի կողմից:

Մենք գտնում ենք ցանկալի հավանականությունը՝ օգտագործելով ընդհանուր հավանականության բանաձևը.

Բեյսի բանաձևը.

Թող լինի զույգ անհամատեղելի իրադարձությունների ամբողջական խումբ (վարկածներ): Ա- պատահական իրադարձություն. Հետո,

Վերջին բանաձևը, որը թույլ է տալիս վերագնահատել հիպոթեզների հավանականությունը, երբ թեստի արդյունքը հանգեցրեց A-ին, կոչվում է. Բեյսի բանաձևը .

Օրինակ 18.Միջին հաշվով, հիվանդների 50% -ը ընդունվում է մասնագիտացված հիվանդանոց TO, 30% - հիվանդությամբ Լ, 20 % –
հիվանդության հետ Մ. Հիվանդության ամբողջական բուժման հավանականությունը Կհիվանդությունների դեպքում՝ 0,7 ԼԵվ Մայդ հավանականությունները համապատասխանաբար 0,8 և 0,9 են: Հիվանդանոց ընդունված հիվանդը առողջ դուրս է գրվել. Գտեք հավանականությունը, որ այս հիվանդը տառապել է հիվանդությամբ Կ.

Լուծում.Ներկայացնենք վարկածները. – հիվանդը տառապել է հիվանդությամբ TO Լ, – հիվանդը տառապել է հիվանդությամբ Մ.

Այնուհետև, ըստ խնդրի պայմանների, ունենք . Ներկայացնենք մի իրադարձություն Ա– հիվանդանոց ընդունված հիվանդը դուրս է գրվել առողջ. Ըստ պայմանի

Օգտագործելով ընդհանուր հավանականության բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Բայեսի բանաձեւով.

Հավանական տարածություն

Հավանականությունների տեսության առաջին տեսական արդյունքները վերաբերում են

մինչեւ 17-րդ դարի կեսերը եւ պատկանում է Բ.Պասկալին, Պ.Ֆերմատին, Հ.Հյուգենսին, Ջ.Բեռնուլիին։ Այս տեսությունը 18-րդ դարում և 19-րդ դարի սկզբին իր հաջողությունների համար պարտական ​​է Ա. Մոիվրին, Պ. Լապլասին, Կ. Գաուսին, Ս. Պուասոնին, Ա. Լեժանդրին։ Հավանականությունների տեսության մեջ զգալի առաջընթաց է գրանցվել 19-րդ դարի վերջին և 20-րդ դարի սկզբին Լ. Բոլցմանի, Պ. Չեբիշևի, Ա. Լյապունովի, Ա. Մարկովի, Է. Բորելի և այլոց աշխատություններում 20-րդ դարի սկիզբ, խիստ և հետևողական տեսություն։ Միայն աքսիոմատիկ մոտեցումն է թույլ տվել հասնել դրան։ Տեսության առաջին աքսիոմատիկ կառուցումը ստեղծվել է 1917 թվականին Ս.Ն. Այնուամենայնիվ, այս մոտեցումը հետագայում չզարգացավ: Աքսիոմատիկ մոտեցումը, որը հիմնված է բազմությունների տեսության և չափումների տեսության վրա, որը մշակել է 20-րդ դարի 20-ական թվականներին Ա.Ն. Կոլմոգորովի աքսիոմատիկայում պատահական իրադարձության հասկացությունը, ի տարբերություն դասական մոտեցման, սկզբնական չէ, այլ ավելի տարրական հասկացությունների հետևանք է։ Կոլմոգորովի աղբյուրը տարրական իրադարձությունների W բազմությունն է (տարածությունը) (արդյունքների տարածություն, նմուշի տարածություն): Այս տարածության տարրերի բնույթը նշանակություն չունի:

Եթե ​​A,B,C О W , ապա բազմությունների տեսության մեջ հաստատված հետևյալ հարաբերություններն ակնհայտ են.

A+A = A, AA = A, AÆ =Æ, A +Æ = A, A +W =W, AW = A, W = Æ, Æ = W, A = A,

որտեղ վերագոտին նշանակում է լրացում W-ում; A+B = A B, AB = A + B, AB=BA, A+B = B+A, (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC) , A (B+C) = AB+AC, A+BC = (A+B)(A+C);

այստեղ Æ նշանակում է դատարկ բազմություն, այսինքն. անհնարին իրադարձություն.

Կոլմոգորովի աքսիոմատիկայում դիտարկվում է W բազմության ենթաբազմությունների որոշակի U համակարգ, որի տարրերը կոչվում են պատահական իրադարձություններ։ U համակարգը բավարարում է հետևյալ պահանջներին. եթե W բազմության A և B ենթաբազմությունները ներառված են U համակարգում, ապա այս համակարգը պարունակում է նաև A È B, A Ç B, A և B բազմությունները. W բազմությունն ինքնին նույնպես U համակարգի տարր է: Բազմությունների նման համակարգը կոչվում է բազմությունների (բուլյան) հանրահաշիվ:

Ակնհայտորեն, բազմությունների հանրահաշիվ սահմանումից հետևում է, որ U ընտանիքը պարունակում է նաև դատարկ Æ բազմությունը։ Այսպիսով, բազմությունների հանրահաշիվը (այսինքն՝ պատահական իրադարձությունների բազմությունը) փակ է գումարման, հատման և հավելումների ձևավորման գործողությունների նկատմամբ, և, հետևաբար, պատահական իրադարձությունների վրա տարրական գործողությունները չեն տանում պատահական իրադարձությունների բազմությունից այն կողմ: U.

Կիրառումների մեծ մասի համար անհրաժեշտ է պահանջել, որ U բազմությունների ընտանիքը ներառի ոչ միայն W-ի ենթաբազմությունների վերջավոր գումարներ և հատումներ, այլև հաշվելի գումարներ և հատումներ։ Սա մեզ տանում է դեպի s-հանրահաշիվ հասկացության սահմանումը:

Սահմանում 1.1. S-հանրահաշիվը W բազմության ենթաբազմությունների (U) ընտանիք է, որը փակված է լրացումներ, հաշվելի գումարներ և հաշվելի խաչմերուկներ ձևավորելու գործողություններով։

Պարզ է, որ ցանկացած s-հանրահաշիվ պարունակում է հենց W բազմությունը և դատարկ բազմությունը: Եթե ​​տրված է W բազմության ենթաբազմությունների կամայական U ընտանիք, ապա U ընտանիքի բոլոր բազմությունները պարունակող ամենափոքր s հանրահաշիվը կոչվում է U ընտանիքի կողմից ստեղծված s հանրահաշիվ։

Ամենամեծ s-հանրահաշիվը պարունակում է s-ի բոլոր ենթաբազմությունները; այն օգտակար է W դիսկրետ տարածություններում, որոնցում հավանականությունը սովորաբար սահմանվում է W բազմության բոլոր ենթաբազմությունների համար: Այնուամենայնիվ, ավելի ընդհանուր տարածություններում հավանականության սահմանումը (հավանականության սահմանումը կներկայացվի ստորև) բոլոր ենթաբազմությունների համար կամ անհնար է կամ անցանկալի: S-հանրահաշվի մեկ այլ ծայրահեղ սահմանում կարող է լինել s-հանրահաշիվը, որը բաղկացած է միայն W. բազմությունից և դատարկ Æ բազմությունից:

Որպես W-ի և U ենթաբազմությունների s-հանրահաշվի ընտրության օրինակ, դիտարկենք մի խաղ, որտեղ մասնակիցները գցում են մեռնող, որի վեց երեսներից յուրաքանչյուրի վրա տպված են 1-ից 6 թվերը Իրականացվում է ընդամենը վեց վիճակ՝ w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 և w 6, որոնց i-րդը նշանակում է i կետերը գլորվել են։ Պատահական իրադարձությունների U ընտանիքը բաղկացած է 2 6 = 64 տարրերից, որոնք կազմված են բոլոր հնարավոր համակցություններից w i. w 1,…,w 6; (w 1, w 6),..., (w 5 , w 6); (w 1, w 2, w 3),..., (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5 , w 6) Æ.

Պատահական իրադարձություններ, այսինքն. Մենք հաճախ կնշենք s-հանրահաշվի U տարրերը A, B, տառերով... Եթե երկու պատահական իրադարձություններ A և B չեն պարունակում նույն տարրերը w i ОW, ապա դրանք կանվանենք անհամատեղելի։ A և A իրադարձությունները կոչվում են հակառակ (այլ նշումներով A-ի փոխարեն կարող ենք դնել CA): Այժմ մենք կարող ենք անցնել հավանականության հասկացության սահմանմանը:

Սահմանում 1.2. W բազմության ենթաբազմությունների s հանրահաշիվ U-ի վրա հավանականության չափումը P բազմության ֆունկցիան է, որը բավարարում է հետևյալ պահանջները.

1) P(A) ³ 0; AÎU;

, այսինքն. ունենալով հաշվելի ավելացման հատկություն, որտեղ A k-ը U-ից փոխադարձաբար անջատված բազմություններ են:

Այսպիսով, ինչպիսին էլ լինի W նմուշի տարածությունը, մենք հավանականություններ ենք վերագրում միայն որոշ s-հանրահաշիվների U բազմություններին, և այդ հավանականությունները որոշվում են այս բազմությունների վրա P չափման արժեքով:

Այսպիսով, պատահական իրադարձությունների ուսումնասիրության ցանկացած խնդրի դեպքում սկզբնական հայեցակարգը s-ի նմուշն է, որում այս կամ այն ​​կերպ ընտրված է s-հանրահաշիվը, որի վրա արդեն որոշված ​​է հավանականության չափումը, հետևաբար, կարող ենք տալ հետևյալը սահմանում

Սահմանում 1.3.Հավանականության տարածությունը եռակի (W,U,P) է, որը բաղկացած է իր ենթաբազմությունների W,s-հանրահաշիվ U նմուշային տարածությունից և U-ի վրա սահմանված P հավանականության չափումից:

Գործնականում կարող են լինել խնդիրներ, որոնցում U-ից նույն պատահական իրադարձություններին վերագրվում են տարբեր հավանականություններ: Օրինակ, սիմետրիկ զառի դեպքում բնական է դնել.

P(w 1) = P(w 2) = ... = P(w 6) == 1/6,

իսկ եթե ոսկորն ասիմետրիկ է, ապա հետևյալ հավանականությունները կարող են ավելի համապատասխան լինել իրականությանը. P(w 1) = P(w 2) = P(w 3) = P(w 4) = 1/4, P(w 5) ) = P (w 6) = 1/12:

Մենք հիմնականում գործ կունենանք W բազմությունների հետ, որոնք վերջավոր չափերով Էվկլիդյան Rn տարածության ենթաբազմություններ են։ Հավանականությունների տեսության հիմնական օբյեկտը պատահական փոփոխականներն են, այսինքն. Որոշ գործառույթներ սահմանված են W նմուշի տարածության վրա: Մեր առաջին խնդիրն է սահմանափակել Ֆունկցիաների դասը, որոնցով մենք գործելու ենք: Ցանկալի է ընտրել այնպիսի ֆունկցիաների դաս, որ ստանդարտ գործառնությունները չեն ստացվի այս դասից, մասնավորապես, որպեսզի, օրինակ, կետային սահմաններ վերցնելու գործողությունները, ֆունկցիաների կազմը և այլն չբխեն սրանից։ դաս.

Սահմանում 1.4. B ֆունկցիաների ամենափոքր դասը, որը փակված է կետային սահմանային անցումներով (այսինքն, եթե ¦ 1 , ¦ 2 ,... պատկանում է B դասին և բոլոր x-ի համար կա սահման ¦(x) = lim¦ n (x), ապա ¦( x)-ը պատկանում է B-ին, որը պարունակում է բոլոր շարունակական ֆունկցիաները, կոչվում է Baire դաս:

Այս սահմանումից հետևում է, որ երկու Baire ֆունկցիաների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը, պրոյեկցիան, կազմը կրկին Baire ֆունկցիաներ են, այսինքն. Baire ֆունկցիայի յուրաքանչյուր ֆունկցիա կրկին Baire ֆունկցիա է: Ստացվում է, որ եթե սահմանափակվենք ֆունկցիաների ավելի նեղ դասակարգերով, ապա տեսության ոչ մի ամրապնդում կամ պարզեցում չի ստացվում։

Ընդհանուր դեպքում պատահական փոփոխականները, այսինքն. X = U(x) ֆունկցիաները, որտեղ XÎWÌR n , պետք է սահմանվեն այնպես, որ իրադարձությունները (X £ t) ցանկացած t-ի համար ունենան որոշակի հավանականություն, այսինքն. այնպես, որ բազմությունները (X £ t) պատկանում են U ընտանիքին, որի տարրերի համար որոշվում են P հավանականությունները, այսինքն. այնպես, որ որոշվեն P(X £ t) արժեքները: Սա մեզ տանում է U ընտանիքի նկատմամբ ֆունկցիայի չափելիության հետևյալ սահմանմանը.

Սահմանում 1.5.Իրական U(x), xОW ֆունկցիան կոչվում է U-չափելի, եթե ցանկացած իրական t-ի համար այն կետերի բազմությունը xՕW, որոնց համար U(x) £ t-ը պատկանում է U ընտանիքին:

Քանի որ s-հանրահաշիվը U փակ է լրացումներ վերցնելու գործողության ներքո, ապա չափելիության սահմանման մեջ £ անհավասարությունը կարող է փոխարինվել ³, >, անհավասարություններից որևէ մեկով,<. Из самого определения следует, что n-измеримые функции образуют замкнутый класс наподс бие класса бэровских функций.

Ինչպես արդեն նշվեց, s-հանրահաշիվը կարող է ընտրվել միանգամայն կամայականորեն, և, մասնավորապես, հետևյալ կերպ. նախ WÎR n տարածության վրա սահմանվում են n-չափային ընդմիջումներ, այնուհետև, օգտագործելով բազմությունների հանրահաշվի գործողությունները, ավելի բարդի բազմություններ. կառուցվածքը կարող է կառուցվել այս միջակայքներից և ձևավորվում են բազմությունների ընտանիքներ: Բոլոր հնարավոր ընտանիքներից կարելի է ընտրել մեկը, որը պարունակում է բոլոր բաց ենթաբազմությունները W-ում: Այս կառուցվածքը հանգեցնում է հետևյալ սահմանմանը.

Սահմանում 1.6.Ամենափոքր s-հանրահաշիվը U b, որը պարունակում է WÌ R n բազմությունների բոլոր բաց (և հետևաբար բոլոր փակ) ենթաբազմությունները կոչվում է Borel s-հանրահաշիվ, իսկ դրա բազմությունները կոչվում են Borel:

Ստացվում է, որ գարեջրի ֆունկցիաների B դասը նույնական է Բորելի բազմությունների s-հանրահաշվի U b-ի նկատմամբ չափելի ֆունկցիաների դասին։

Այժմ մենք կարող ենք հստակ սահմանել պատահական փոփոխականի հայեցակարգը և դրա հավանականության բաշխման ֆունկցիան:

Սահմանում 1.7.Պատահական X փոփոխականը իրական ֆունկցիա X =U(x), xОW է, որը չափելի է հավանականության տարածության սահմանման մեջ ներառված s-հանրահաշիվ U-ի նկատմամբ:

Սահմանում 1.8. X պատահական փոփոխականի բաշխման ֆունկցիան F(t) = P(X £ t) ֆունկցիան է, որը որոշում է X պատահական փոփոխականի t արժեքը չգերազանցելու հավանականությունը։

Տրված բաշխման F ֆունկցիայի համար հավանականության չափումը կարող է կառուցվել միանշանակ, և հակառակը:

Դիտարկենք հավանականության հիմնական օրենքները՝ օգտագործելով W վերջավոր բազմության օրինակը: Թող A,BÌ W. Եթե A և B-ն պարունակում են ընդհանուր տարրեր, այսինքն. AB¹0, ապա մենք կարող ենք գրել՝ A+B=A+(B-AB) և B = AB+(B-AB), որտեղ աջ կողմերում կան անհամատեղելի բազմություններ (այսինքն՝ անհամատեղելի իրադարձություններ) և հետևաբար՝ ըստ ավելացման հատկության: հավանականության չափանիշ՝ P(A+B) = P(B-AB)+P(A), P(B) = P(AB)+P(B-AB); հետևաբար հետևում է կամայական իրադարձությունների հավանականությունների գումարի բանաձևին. P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB):

Եթե ​​A իրադարձության հավանականությունը հաշվարկելիս պայմաններ չեն դրվում, ապա P(A) հավանականությունը կոչվում է անվերապահ։ Եթե ​​A իրադարձությունն իրագործվում է, օրինակ, պայմանով, որ B իրադարձությունն իրականացվի, ապա մենք խոսում ենք պայմանական հավանականության մասին՝ այն նշելով P(A/B) նշանով։ Հավանականությունների աքսիոմատիկ տեսության մեջ, ըստ սահմանման, ենթադրվում է.

P(A/B) = P(AB)/P(B):

Այս սահմանումը ինտուիտիվորեն պարզ դարձնելու համար, օրինակ, հաշվի առեք հետևյալ իրավիճակը. Թող տուփը պարունակի k թղթի կտոր՝ A տառով, r թղթի կտոր՝ B տառով, m թղթի կտոր՝ A B տառերով և n դատարկ թղթի կտոր: Կան p = k + r + n + m թղթի կտորներ: Եվ թող մեկը մյուսի ետևից թուղթը հերթով դուրս հանվի տուփից, և յուրաքանչյուր հանելուց հետո նշվի հանված թղթի տեսակը և նորից դրվի տուփի մեջ։ Շատ մեծ թվով նման թեստերի արդյունքներ են գրանցվում։ Պայմանական հավանականությունը P(A/B) նշանակում է, որ A իրադարձությունը դիտարկվում է միայն B իրադարձության իրականացման հետ կապված: Այս օրինակում դա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է հաշվել A·B տառերով դուրս քաշված թղթերի քանակը: իսկ B տառը և առաջին թիվը բաժանիր առաջին և երկրորդ թվերի գումարի վրա։ Բավականաչափ մեծ թվով փորձարկումների դեպքում այս հարաբերակցությունը հակված կլինի այն թվին, որը որոշում է պայմանական հավանականությունը P(A/B): Թղթի այլ կտորների նմանատիպ հաշվարկը ցույց կտա դա

Հաշվարկային հարաբերակցությունը

Մենք համոզվում ենք, որ այն ճշգրիտ համընկնում է այն արժեքի հետ, որը մենք նախկինում հաշվարկել ենք P(A/B) հավանականության համար։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք

P(A·B) = P(A/B)·P(B):

Նմանատիպ դատողություններ իրականացնելով, A-ն ու B-ն փոխանակելով՝ ստանում ենք

P(A B) = P(B/A) P(A)

Հավասարություններ

P(A B) = P(A/B) P(B) = P(B/A) P(A)

կոչվում է հավանականության բազմապատկման թեորեմ:

Դիտարկված օրինակը նաև թույլ է տալիս մեզ հստակ ստուգել A·B¹Æ-ի հետևյալ հավասարության վավերականությունը.

P(A + B) == P(A) + P(B) - P(A B):

Օրինակ 1.1.Թող մեռնողը երկու անգամ նետվի, և դուք պետք է որոշեք P(A/B) ընդհանուր 10 միավոր ստանալու հավանականությունը, եթե առաջին նետումը 4 էր:

Երկրորդ գլանակի վրա 6 ստանալու հավանականությունը 1/6 է։ Հետևաբար,

Օրինակ 1.2.Թող լինի 6 urns:

A 1 տիպի urn-ում կա երկու սպիտակ և մեկ սև գնդակ, A 2 տիպի urn-ում կա երկու սպիտակ և երկու սև գնդակ, A 3 տիպի urnում կա երկու սև և մեկ սպիտակ գնդակ: Կա 1 urn տիպ A 1, 2 urns տիպ A 2 և 3 urns տիպ A 3: Պատահականության սկզբունքով ընտրվում է մուրճ և դրանից գնդակ է քաշվում: Որքա՞ն է հավանականությունը, որ այս գնդակը սպիտակ է: B-ով նշանակենք սպիտակ գնդակը դուրս հանելու դեպքը։

Խնդիրը լուծելու համար ենթադրենք, որ B որոշ իրադարձություն իրականացվում է միայն n անհամատեղելի իրադարձություններից մեկի հետ միասին՝ A 1,..., A n, այսինքն. B = , որտեղ VA i և VA j իրադարձությունները տարբեր i և j ինդեքսներով անհամատեղելի են: P հավանականության հավելյալության հատկությունից հետևում է.

Այստեղ փոխարինելով (1.1) կախվածությունը՝ մենք ստանում ենք

Այս բանաձևը կոչվում է ընդհանուր հավանականության բանաձև: Վերջին օրինակը լուծելու համար կօգտագործենք ընդհանուր հավանականության բանաձևը։ Քանի որ սպիտակ գնդակը (իրադարձություն B) կարելի է վերցնել երեք urns-ից մեկից (իրադարձություններ A 1, A 2, A 3), մենք կարող ենք գրել.

B = A 1 B + A 2 B + A 3 B.

Ընդհանուր հավանականության բանաձևը տալիս է

Հաշվարկենք այս բանաձեւում ներառված հավանականությունները։ Հավանականությունը, որ գնդակը վերցված է A 1 տիպի urn-ից, ակնհայտորեն հավասար է P(A 1) = 1/6, A տիպի urn-ից՝ P(A 2) = 2/6 == 1/3: իսկ A 3 տիպի urn-ից՝ P(A 3) = 3/6 = 1/2: Եթե ​​գնդակը վերցված է A 1 տիպի urn-ից, ապա P(B/A 1) = 2/3, եթե A տիպի urn-ից 2, ապա P(B/A 2)=1/2, և եթե. A 3 տիպի urn-ից, ապա P(B/A 3) = 1/3: Այսպիսով,

P(B) = (1/6) (2/W)+ (1/3) (1/2) + (1/2) (1/3) = 4/9:

Պայմանական հավանականությունը Р(В/А) ունի Р(В/А)³0 հավանականության բոլոր հատկությունները, В(В/В) = 1, իսկ P(В/А) հավելում է։

Քանի որ

Р(А·В) == Р(В/А)-Р(А) = Р(А/В)·Р(В),

ապա դրանից բխում է, որ եթե A-ն կախված չէ B-ից, այսինքն՝ եթե

P(A/B) = P(A),

ապա B-ն կախված չէ A-ից, այսինքն. P(B/A) = P(B):

Այսպիսով, անկախ իրադարձությունների դեպքում բազմապատկման թեորեմը ստանում է ամենապարզ ձևը.

Р(А·В) = Р(А)·Р(В) (1.3)

Եթե ​​A և B իրադարձությունները անկախ են, ապա իրադարձությունների հետևյալ զույգերից յուրաքանչյուրը նույնպես անկախ է. (A,B), (A,B), (A,B): Եկեք համոզվենք, որ, օրինակ, եթե A-ն և B-ն անկախ են, ապա A-ն և B-ն նույնպես անկախ են, քանի որ P(B/A) + P(B/A) = I, ապա, հաշվի առնելով անկախության պայմանը իրադարձությունների A և B, այսինքն. պայմանները P(B/A) = P(B), հետեւում է՝ P(B/A) = 1 - P(B) = P(B):

Իրադարձությունները կարող են զույգերով անկախ լինել, բայց ընդհանուր առմամբ կախված են: Այս առնչությամբ ներմուծվում է նաև փոխադարձ անկախության հասկացությունը՝ A 1,..., A n իրադարձությունները կոչվում են փոխադարձ անկախ, եթե 1,2,...n ինդեքսների E ենթաբազմության համար հավասարությունը.

Գործնականում հաճախ անհրաժեշտ է լինում գնահատել վարկածների հավանականությունը որոշակի փորձարկումներից հետո: Թող, օրինակ, B իրադարձությունը կարող է իրականացվել միայն անհամատեղելի իրադարձություններից մեկով A 1,...,A n, այսինքն. և թող տեղի ունենա B իրադարձություն: Պահանջվում է գտնել վարկածի (իրադարձություն) A i-ի հավանականությունը

ինչ տեղի ունեցավ Բ. Բազմապատկման թեորեմից

P(A i B) = P(B) P(A i /B) = P(A i) P(B/A i)

Հաշվի առնելով P(B) հավանականության ընդհանուր բանաձևը, հետևում է

Այս բանաձևերը կոչվում են Բեյսի բանաձևեր։

Օրինակ 1.3.Օրինակ 1.2-ում, ենթադրենք, նկարված է սպիտակ գնդիկ, և դուք ցանկանում եք որոշել այն հավանականությունը, որ այն եկել է 3-րդ տիպի սափորից:

Դրանց հետ վարվելու հավանականություններ և կանոններ. Ուսումնասիրվող պատահական փորձի մեխանիզմը ամբողջությամբ նկարագրելու համար բավական չէ նշել միայն տարրական իրադարձությունների տարածությունը։ Ակնհայտ է, որ ուսումնասիրվող պատահական փորձի բոլոր հնարավոր արդյունքները թվարկելու հետ մեկտեղ մենք պետք է նաև իմանանք, թե նման փորձերի երկար շարքում որքան հաճախ կարող են տեղի ունենալ որոշ տարրական իրադարձություններ: Իսկապես, վերադառնալով, ասենք, օրինակներին, հեշտ է պատկերացնել, որ նկարագրվածներից յուրաքանչյուրի շրջանակներում.

Տարրական իրադարձությունների այս տարածություններում մենք կարող ենք դիտարկել անհամար պատահական փորձեր, որոնք էականորեն տարբերվում են իրենց մեխանիզմով: Այսպիսով, 4.1-4.3 օրինակներում մենք կունենանք նույն տարրական արդյունքների առաջացման էականորեն տարբեր հարաբերական հաճախականություններ, եթե օգտագործենք տարբեր պահեր և զառեր (սիմետրիկ. , փոքր-ինչ տեղաշարժված ծանրության կենտրոնով, խիստ տեղաշարժված ծանրության կենտրոնով և այլն) 4.4-4.7 օրինակներում թերի արտադրանքի առաջացման հաճախականությունը, թերի արտադրանքով ստուգված խմբաքանակների աղտոտման բնույթը և առաջացման հաճախականությունը. Ավտոմատ գծային մեքենաների խափանումների որոշակի թիվը կախված կլինի ուսումնասիրվող արտադրության տեխնոլոգիական սարքավորումների մակարդակից. հաշվի առնելով տարրական իրադարձությունների նույն տարածությունը, «լավ» տարրական արդյունքների հաճախականությունը ավելի բարձր կլինի արտադրության մեջ ավելի բարձր մակարդակով: տեխնոլոգիա.

Պատահական փորձի ամբողջական և ամբողջական մաթեմատիկական տեսություն կառուցելու համար (դիսկրետ դեպքում)՝ հավանականության տեսություն, ի լրումն պատահական փորձի, տարրական արդյունքի և պատահական իրադարձության արդեն ներդրված նախնական հասկացությունների, անհրաժեշտ է համալրել ևս մեկ նախնական ենթադրության (աքսիոմի) հիման վրա, որը ենթադրում է տարրական իրադարձությունների հավանականությունների առկայությունը (որոշակի նորմալացում բավարարող) և որոշում ցանկացած պատահական իրադարձության հավանականությունը:

Աքսիոմա. Տարրական իրադարձությունների Q տարածության յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է իր առաջացման հավանականության որոշ ոչ բացասական թվային բնութագրի, որը կոչվում է իրադարձության հավանականություն և

(այստեղից, մասնավորապես, հետևում է, որ բոլորի համար):

Իրադարձության հավանականության որոշում. Ցանկացած A իրադարձության հավանականությունը սահմանվում է որպես A իրադարձությունը կազմող բոլոր տարրական իրադարձությունների հավանականությունների հանրագումարը, այսինքն՝ եթե մենք օգտագործում ենք սիմվոլիզմ՝ «Ա իրադարձության հավանականությունը» նշելու համար, ապա.

Այստեղից և (4.2)-ից անմիջապես հետևում է, որ վստահելի իրադարձության հավանականությունը միշտ է

հավասար է մեկի, իսկ անհնարին իրադարձության հավանականությունը զրոյական է։ Հավանականությունների և իրադարձությունների հետ գործ ունենալու մյուս բոլոր հասկացությունները և կանոններն արդեն բխում են վերը ներկայացված չորս սկզբնական սահմանումներից (պատահական փորձ, տարրական արդյունք, պատահական իրադարձություն և դրա հավանականությունը) և մեկ աքսիոմից:

Այսպիսով, ուսումնասիրվող պատահական փորձի մեխանիզմի համապարփակ նկարագրության համար (դիսկրետ դեպքում) անհրաժեշտ է նշել բոլոր հնարավոր տարրական արդյունքների վերջավոր կամ հաշվելի բազմությունը Q և յուրաքանչյուր տարրական արդյունքին վերագրել մի քանի ոչ բացասական (ոչ մեկից ավելի) թվային բնութագրիչը, որը մեկնաբանվում է որպես արդյունքի հավանականություն, սահմանված համապատասխանության տեսակի հետ պետք է բավարարի նորմալացման պահանջը (4.2):

Հավանականության տարածությունը հենց այն հայեցակարգն է, որը պաշտոնականացնում է պատահական փորձի մեխանիզմի նման նկարագրությունը: Սահմանել հավանականության տարածություն նշանակում է սահմանել տարրական իրադարձությունների Q տարածությունը և դրանում սահմանել վերը նշված տիպի համապատասխանությունը:

Ակնհայտ է, որ (4.4) տիպի համապատասխանությունը կարող է սահմանվել տարբեր ձևերով՝ օգտագործելով աղյուսակներ, գրաֆիկներ, վերլուծական բանաձևեր և վերջապես՝ ալգորիթմորեն:

Ինչպե՞ս կառուցել ուսումնասիրվող պայմանների իրական շարքին համապատասխան հավանականական տարածություն: Որպես կանոն, դժվարություններ չկան պատահական փորձի, տարրական իրադարձության, տարրական իրադարձությունների տարածության, իսկ դիսկրետ դեպքում՝ կոնկրետ բովանդակությամբ տարրալուծվող պատահական իրադարձության հասկացությունները լրացնելու հարցում։ Բայց լուծվող խնդրի կոնկրետ պայմաններից առանձին տարրական իրադարձությունների հավանականությունները որոշելն այնքան էլ հեշտ չէ։ Այդ նպատակով օգտագործվում է հետևյալ երեք մոտեցումներից մեկը.

Հավանականությունների հաշվարկման a priori մոտեցումը բաղկացած է տվյալ կոնկրետ պատահական փորձի հատուկ պայմանների տեսական, սպեկուլյատիվ վերլուծությունից (նախքան փորձը կատարելը): Մի շարք իրավիճակներում այս նախնական վերլուծությունը հնարավորություն է տալիս տեսականորեն հիմնավորել ցանկալի հավանականությունների որոշման մեթոդը։ Օրինակ, հնարավոր է, որ տարածությունը բոլոր հնարավոր

տարրական արդյունքները բաղկացած են վերջավոր թվով N տարրերից, և ուսումնասիրվող պատահական փորձի ստեղծման պայմաններն այնպիսին են, որ այս N տարրական արդյունքներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը մեզ համար հավասար է (սա հենց այն իրավիճակն է, որում մենք հայտնվում ենք, երբ սիմետրիկ մետաղադրամ նետելը, գեղեցիկ զառախաղ գցելը կամ լավ խառնված տախտակամածից պատահական խաղաքարտեր քաշելը և այլն): Աքսիոմի (4.2) ուժով յուրաքանչյուր տարրական իրադարձության հավանականությունը այս դեպքում հավասար է MN-ին: Սա թույլ է տալիս մեզ ստանալ ցանկացած իրադարձության հավանականությունը հաշվարկելու պարզ բաղադրատոմս. եթե A իրադարձությունը պարունակում է NA տարրական իրադարձություններ, ապա ըստ սահմանման (4.3)

Բանաձևի իմաստը (4.3) այն է, որ իրադարձության հավանականությունը իրավիճակների տվյալ դասում կարող է սահմանվել որպես բարենպաստ արդյունքների (այսինքն՝ այս իրադարձության մեջ ներառված տարրական արդյունքների) քանակի հարաբերակցությունը բոլոր հնարավոր արդյունքների թվին ( հավանականության այսպես կոչված դասական սահմանումը): Իր ժամանակակից մեկնաբանությամբ բանաձևը (4.3) հավանականության սահմանում չէ. այն կիրառելի է միայն այն դեպքում, երբ բոլոր տարրական արդյունքները հավասարապես հավանական են:

Հավանականությունների հաշվարկման հետին հաճախականության մոտեցումը, ըստ էության, հիմնված է հավանականության սահմանման վրա, որն ընդունվել է այսպես կոչված հաճախականության հավանականության հայեցակարգով (այս հայեցակարգի մասին լրացուցիչ տեղեկությունների համար տե՛ս, օրինակ, in): Այս հայեցակարգին համապատասխան, հավանականությունը սահմանվում է որպես պատահական փորձերի ընդհանուր թվի անսահմանափակ աճի գործընթացում արդյունքի առաջացման հարաբերական հաճախականության սահմանը, այսինքն.

որտեղ է պատահական փորձերի քանակը (կատարված պատահական փորձերի ընդհանուր թվից), որոնցում գրանցվել է տարրական իրադարձության դեպք, համապատասխանաբար, հավանականությունների գործնական (մոտավոր) որոշման համար առաջարկվում է վերցնել հարաբերական հաճախականությունները: իրադարձության առաջացումը բավական երկար ժամանակահատվածում

մի շարք պատահական փորձեր: Հավանականությունների հաշվարկման այս մեթոդը չի հակասում հավանականությունների տեսության ժամանակակից (աքսիոմատիկ) հայեցակարգին, քանի որ վերջինս կառուցված է այնպես, որ ցանկացած իրադարձության օբյեկտիվորեն գոյություն ունեցող հավանականության էմպիրիկ (կամ ընտրովի) անալոգը: այս իրադարձության առաջացման հարաբերական հաճախականությունն է անկախ փորձարկումների շարքում: Այս երկու հասկացություններում հավանականության սահմանումները տարբեր են. հաճախականության հայեցակարգին համապատասխան՝ հավանականությունը ուսումնասիրվող երևույթի օբյեկտիվ հատկություն չէ, որը գոյություն ունի մինչև փորձը, այլ հայտնվում է միայն փորձի կամ դիտարկման հետ կապված. դա հանգեցնում է տեսական (ճշմարիտ, պայմանավորված ուսումնասիրվող երևույթի «գոյության» պայմանների իրական համալիրով) հավանական բնութագրերի և դրանց էմպիրիկ (ընտրովի) անալոգների խառնուրդի։ Ինչպես գրում է Գ. Կրամերը, «հավանականության նշված սահմանումը կարելի է համեմատել, օրինակ, երկրաչափական կետի սահմանման հետ՝ որպես անորոշ նվազող չափերի կավիճ բծերի սահման, սակայն ժամանակակից աքսիոմատիկ երկրաչափությունը նման սահմանում չի ներկայացնում» () . Մենք այստեղ չենք կանգնի հավանականության հաճախականության հայեցակարգի մաթեմատիկական թերությունների վրա։ Եկեք միայն նշենք հարաբերական հաճախականությունների միջոցով մոտավոր արժեքներ ստանալու հաշվողական տեխնիկայի իրականացման հիմնարար դժվարությունները Նախ՝ անփոփոխ պահելով պատահական փորձի պայմանները (այսինքն՝ պահպանելով վիճակագրական անսամբլի պայմանները), որոնց համաձայն ենթադրվում է. Հարաբերական հաճախականությունների՝ հաստատուն արժեքի շուրջ խմբավորման միտումը, պարզվում է, որ վավեր է, չի կարող պահպանվել անորոշ ժամանակով և բարձր ճշգրտությամբ: Հետևաբար, հարաբերական հաճախականություններով հավանականությունները գնահատելու համար գոյություն չունի

Անիմաստ է չափազանց երկար շարքեր վերցնել (այսինքն՝ չափազանց մեծ) և հետևաբար, ի դեպ, ճշգրիտ անցումը սահմանին (4.5) չի կարող իրական իմաստ ունենալ: Երկրորդ, իրավիճակներում, երբ մենք ունենք բավականաչափ մեծ թվով հնարավոր տարրական արդյունքներ (և դրանք կարող են ձևավորել անսահման բազմություն, և նույնիսկ, ինչպես նշված է § 4.1-ում, շարունակական բազմություն), նույնիսկ պատահական փորձերի կամայականորեն երկար շարքում մենք կունենանք. հնարավոր արդյունքներ, որոնք երբեք չեն իրականացվել մեր փորձի ընթացքում. և այլ հնարավոր արդյունքների դեպքում հարաբերական հաճախականությունների միջոցով ստացված հավանականության մոտավոր արժեքները չափազանց անհուսալի կլինեն այս պայմաններում:

Հետևյալ մոդելային մոտեցումը հավանականությունների սահմանման համար, որը համապատասխանում է ուսումնասիրվող կոնկրետ իրական պայմանների շարքին, ներկայումս, թերևս, ամենատարածվածն է և գործնականում ամենահարմարը: Այս մոտեցման տրամաբանությունը հետևյալն է. Մի կողմից, a priori մոտեցման շրջանակներում, այսինքն՝ պայմանների հիպոթետիկ իրական համալիրների առանձնահատկությունների հնարավոր տարբերակների տեսական, սպեկուլյատիվ վերլուծության շրջանակներում, հավանականության մոդելների մի շարք (երկանդամ, Պուասոն, նորմալ, էքսպոնենցիալ և այլն, տես § 6.1): Մյուս կողմից, հետազոտողն ունի սահմանափակ թվով պատահական փորձերի արդյունքներ։ Այնուհետև, օգտագործելով հատուկ մաթեմատիկական և վիճակագրական տեխնիկա (հիմնվելով անհայտ պարամետրերի վիճակագրական գնահատման և վարկածների վիճակագրական փորձարկման մեթոդների վրա, տես 8-րդ և 9-րդ գլուխները), հետազոտողը, այսպես ասած, «հարմարեցնում է» հավանականության տարածքների հիպոթետիկ մոդելները դիտարկման արդյունքներին: նա ունի (արտացոլելով ուսումնասիրվող իրական աշխարհի առանձնահատկությունները) և թողնում է հետագա օգտագործման միայն այդ մոդելը կամ այն ​​մոդելները, որոնք չեն հակասում այս արդյունքներին և ինչ-որ առումով լավագույնս համապատասխանում են դրանց։

Այժմ նկարագրենք իրադարձությունների հավանականությունների հետ գործ ունենալու հիմնական կանոնները, որոնք վերը ընդունված սահմանումների և աքսիոմների հետևանքներն են:

Իրադարձությունների գումարի հավանականություն (հավանականության գումարման թեորեմ). Եկեք ձևակերպենք և ապացուցենք երկու իրադարձությունների գումարի հավանականության հաշվարկման կանոնը, որպեսզի դա անենք, մենք բաժանում ենք տարրական իրադարձությունների բազմությունները.

Միջոցառման բաղադրիչները երկու մասի են.

որտեղ միավորում է բոլոր տարրական իրադարձությունները, որոնք ներառված են, բայց ներառված չեն, բաղկացած է բոլոր այն տարրական իրադարձություններից, որոնք միաժամանակ ներառված են Օգտագործելով սահմանումը (4.3) և իրադարձությունների արտադրանքի սահմանումը, մենք ունենք.

Միևնույն ժամանակ, իրադարձությունների գումարի սահմանմանը և (4.3)-ով ունենք

(4.6), (4.7) և (4.8)-ից մենք ստանում ենք հավանականությունների գումարման բանաձևը (երկու իրադարձության համար).

Հավանականությունների գումարման բանաձևը (4.9) կարելի է ընդհանրացնել կամայական թվով տերմինների դեպքում (տե՛ս, օրինակ, 183, էջ 105).

որտեղ «լրացումները» հաշվարկվում են ձևի հավանականությունների գումարի տեսքով

Ավելին, աջ կողմի գումարումը կատարվում է, ակնհայտորեն, պայմանով, որ բոլորը տարբեր են, . Հատուկ դեպքում, երբ մեզ հետաքրքրող համակարգը բաղկացած է միայն անհամատեղելի իրադարձություններից, ձևի բոլոր ապրանքներից

կլինեն դատարկ (կամ անհնար) իրադարձություններ և, համապատասխանաբար, (4.9) բանաձևը տալիս է

Իրադարձությունների արտադրյալի հավանականությունը (հավանականության բազմապատկման թեորեմ). Պայմանական հավանականություն.

Եկեք դիտարկենք իրավիճակներ, երբ նախապես սահմանված պայմանը կամ արդեն տեղի ունեցած ինչ-որ իրադարձության ամրագրումը բացառում է վերլուծված հավանականական տարածության որոշ տարրական իրադարձությունների ցանկից: Այսպիսով, վերլուծելով առաջին, - երկրորդ, - երրորդ և չորրորդ դասարանների արտադրանք պարունակող N զանգվածային արտադրանքի մի շարք, մենք դիտարկում ենք համապատասխանաբար տարրական արդյունքներով և դրանց հավանականություններով հավանականական տարածություն (այստեղ նշանակում է դեպք, երբ ապրանքը պատահական է. ագրեգատից արդյունահանված պարզվեց, որ բազմազան է): Ենթադրենք, ապրանքների տեսակավորման պայմաններն այնպիսին են, որ ինչ-որ փուլում առաջին դասարանի արտադրանքը բաժանվում է ընդհանուր բնակչությունից, և մենք պետք է ստեղծենք բոլոր հավանական եզրակացությունները (և, մասնավորապես, տարբեր իրադարձությունների հավանականությունները հաշվելը) առնչությամբ. մերկացված բնակչություն, որը բաղկացած է միայն երկրորդ, երրորդ և չորրորդ դասարանների արտադրանքներից. Նման դեպքերում ընդունված է խոսել պայմանական հավանականությունների մասին, այսինքն՝ հավանականությունների մասին, որոնք հաշվարկվում են այն պայմանով, որ ինչ-որ իրադարձություն արդեն տեղի է ունեցել։ Այս դեպքում նման կատարված իրադարձությունը իրադարձություն է, այսինքն՝ պատահականորեն արդյունահանված ցանկացած արտադրանքի հետ կապված իրադարձությունը կամ երկրորդ, երրորդ կամ չորրորդ կարգի է: Հետևաբար, եթե մենք շահագրգռված ենք A իրադարձության պայմանական հավանականության հաշվարկով (պայմանով, որ B իրադարձությունն արդեն տեղի է ունեցել), որը բաղկացած է, օրինակ, նրանից, որ պատահականորեն նկարված արտադրանքը ստացվում է երկրորդ կամ երրորդ կարգի, ապա, ակնհայտորեն, այս պայմանական հավանականությունը (նշում ենք) կարող է որոշվել հետևյալ առնչությամբ.

Ինչպես հեշտ է հասկանալ այս օրինակից, պայմանական հավանականությունների հաշվարկը, ըստ էության, անցում է տարրական իրադարձությունների մեկ այլ տարածության՝ կտրված տվյալ պայմանով, երբ տարրական իրադարձությունների հավանականությունների հարաբերակցությունը կտրված տարածության մեջ մնում է նույնը, ինչ տեղի է ունենում. բնօրինակը (ավելի լայն), բայց դրանք բոլորը նորմալացված են (բաժանված են )-ի, որպեսզի նոր հավանականության տարածության մեջ բավարարվի նաև նորմալացման պահանջը (4.2): Իհարկե, հնարավոր կլիներ ոչ թե պայմանական հավանականություններով տերմինաբանություն ներմուծել, այլ պարզապես օգտագործել սովորական («անվերապահ») հավանականությունների ապարատը նոր տարածքում։ «Հին» տարածության հավանականությունների առումով գրելը օգտակար է այն դեպքերում, երբ, ըստ կոնկրետ խնդրի պայմանների, մենք միշտ պետք է հիշենք տարրական իրադարձությունների սկզբնական, ավելի լայն տարածության առկայությունը։

Ստացնենք պայմանական հավանականության բանաձևը ընդհանուր դեպքում։ Թող B լինի իրադարձություն (ոչ դատարկ), N համարենք արդեն տեղի ունեցած («պայման»), իրադարձություն, որի պայմանական հավանականությունը պետք է հաշվարկվի: Տարրական իրադարձությունների նոր (կտրված) տարածությունը Q բաղկացած է միայն B-ում ներառված տարրական իրադարձություններից, և, հետևաբար, դրանց հավանականությունները (նորմալացման պայմանով) որոշվում են հարաբերություններով.

Ըստ սահմանման, հավանականությունը «կրճատված» հավանականության տարածքում A իրադարձության հավանականությունն է և, հետևաբար, (4.3) և (4.10) համաձայն:

կամ, ինչ է նույնը,

Համարժեք բանաձևերը (4.11) և (4.11") սովորաբար կոչվում են համապատասխանաբար պայմանական հավանականության բանաձև և հավանականության բազմապատկման կանոն։

Եվս մեկ անգամ ընդգծենք, որ նույն B պայմանով տարբեր իրադարձությունների պայմանական հավանականությունները դիտարկելը համարժեք է տարրական իրադարձությունների մեկ այլ (նվազեցված) տարածության մեջ սովորական հավանականությունների դիտարկմանը` տարրական իրադարձությունների համապատասխան հավանականությունները վերահաշվարկելով (4.10) բանաձևով: Հետևաբար, հավանականությունների հետ գործ ունենալու բոլոր ընդհանուր թեորեմները և կանոնները ուժի մեջ են մնում պայմանական հավանականությունների համար, եթե այդ պայմանական հավանականությունները վերցվեն նույն պայմանով:

Իրադարձությունների անկախություն.

Երկու իրադարձություն A և B կոչվում են անկախ, եթե

Նման սահմանման բնականությունը բացատրելու համար վերադառնանք հավանականության բազմապատկման թեորեմին (4.11) և տեսնենք, թե ինչ իրավիճակներում է (4.12) բխում դրանից։ Ակնհայտ է, որ դա կարող է լինել, երբ պայմանական հավանականությունը հավասար է համապատասխան անվերապահ հավանականությանը, այսինքն, կոպիտ ասած, երբ գիտելիքը, որ իրադարձություն է տեղի ունեցել, որևէ կերպ չի ազդում A-ի իրադարձության հավանականության գնահատման վրա:

Անկախության սահմանումը ընդլայնելով ավելի քան երկու իրադարձությունների համակարգում հետևյալն է. Իրադարձությունները կոչվում են փոխադարձ անկախ, եթե որևէ զույգի համար՝ եռյակ, քառապատիկ և այլն։ Իրադարձությունների այս շարքից ընտրված իրադարձությունների համար կիրառվում են բազմապատկման հետևյալ կանոնները.

Ակնհայտ է, որ առաջին տողը ենթադրում է

(կ երկուսի համակցությունների թիվը), երկրորդում՝ և այլն։ Ընդհանուր առմամբ, հետևաբար, (4.13) միավորում է պայմանները։ Միևնույն ժամանակ, առաջին գծի պայմանները բավարար են այս իրադարձությունների զույգ անկախությունն ապահովելու համար։ Եվ չնայած իրադարձությունների համակարգի զույգ-անկախությունը և փոխադարձ անկախությունը, խստորեն ասած, նույնը չեն, դրանց տարբերությունը ավելի շուտ տեսական է, քան գործնական.

Իրադարձությունների անկախության հատկությունը մեծապես նպաստում է ուսումնասիրվող իրադարձությունների համակարգի հետ կապված տարբեր հավանականությունների վերլուծությանը: Բավական է ասել, որ եթե ընդհանուր դեպքում համակարգային իրադարձությունների բոլոր հնարավոր համակցությունների հավանականությունները նկարագրելու համար անհրաժեշտ է նշել 2 հավանականություն, ապա այդ իրադարձությունների փոխադարձ անկախության դեպքում բավարար են միայն k հավանականությունները.

Անկախ իրադարձությունները շատ հաճախ են հանդիպում ուսումնասիրվող իրական իրականության մեջ, դրանք կատարվում են սովորական ֆիզիկական իմաստով միմյանցից անկախ իրականացվող փորձերի (դիտարկումների) ժամանակ։

Մատերի չորս հաջորդական նետումների արդյունքների անկախության հատկությունն է, որը հնարավորություն է տվել (4.13-ի օգնությամբ) հեշտությամբ հաշվարկել վեց (այս նետումներից որևէ մեկում) չստանալու հավանականությունը. բաժին 2.2.1. Իրոք, նշելով այն իրադարձությունը, որը բաղկացած է վեցը չստանալուց (այս հնարավորությունն ուղղակիորեն բխում է նրանից, որ իրադարձությունները սպառում են տարրական իրադարձությունների ողջ տարածությունը և զույգերով չեն հատվում), այսինքն.

Այնուհետև, օգտագործելով հավանականությունների գումարման թեորեմը (անհամատեղելի իրադարձությունների հետ կապված, որոնք իրադարձություններ են) և հաշվարկելով արտադրյալներից յուրաքանչյուրի հավանականությունը՝ օգտագործելով հավանականությունների արտադրյալի բանաձևը (4.1G), մենք ստանում ենք (4.14):

Բեյսի բանաձևը.

Նախ անդրադառնանք հաջորդ խնդրին. Պահեստը պարունակում է երեք գործարանների կողմից արտադրված սարքեր. պահեստի սարքերի 20%-ը արտադրված է թիվ 1 գործարանում, 50%-ը՝ թիվ 2 գործարանում և 30%-ը՝ թիվ 3 գործարանում։ Հավանականությունը, որ սարքը կպահանջի վերանորոգման ընթացքում։ երաշխիքային ժամկետը արտադրանքի համար բույսերից յուրաքանչյուրը համապատասխանաբար հավասար է 0,2-ի. 0.1; 0.3. Պահեստից վերցված սարքը չի ունեցել գործարանային մակնշումներ և պահանջել է վերանորոգում (երաշխիքային ժամկետում)։ Ո՞ր գործարանն է, ամենայն հավանականությամբ, արտադրել այս սարքը: Ո՞րն է այս հավանականությունը: Եթե ​​սահմանենք այն դեպքը, երբ պահեստից պատահաբար վերցված սարքը, պարզվեց, որ արտադրվել է

(4.16) և (4.17) (4.15)-ով փոխարինելով՝ մենք ստանում ենք

Օգտագործելով այս բանաձևը, հեշտ է հաշվարկել պահանջվող հավանականությունները.

Ուստի, ամենայն հավանականությամբ, անորակ սարքն արտադրվել է թիվ 3 գործարանում։

Բանաձևի (4.18) ապացույցը իրադարձությունների կամայական k թվից կազմված իրադարձությունների ամբողջական համակարգի դեպքում ճշգրտորեն կրկնում է (4.18) բանաձևի ապացույցը: Այս ընդհանուր ձևով բանաձևը

Այն սովորաբար կոչվում է Բեյսի բանաձև: