X թվի քառակուսի արմատը a թիվ է, որն ինքն իրենով բազմապատկելիս ստանում է x թիվը՝ a * a = a^2 = x, √x = a: Ինչպես ցանկացած թվի դեպքում, դուք կարող եք կատարել գումարման և հանման թվաբանական գործողություններ քառակուսի արմատներով:

Հրահանգներ

• Նախ՝ ավելացնելիս քառակուսի արմատներփորձեք հանել այս արմատները: Դա հնարավոր կլինի, եթե արմատի նշանի տակ թվերը կատարյալ քառակուսիներ լինեն։ Օրինակ, թող տրվի √4 + √9 արտահայտությունը։ Առաջին թիվը 4-ը 2 թվի քառակուսին է: Երկրորդ թիվը 9-ը 3 թվի քառակուսին է: Այսպիսով ստացվում է, որ √4 + √9 = 2 + 3 = 5:
• Եթե ​​արմատի նշանի տակ չկան ամբողջական քառակուսիներ, ապա փորձեք հեռացնել թվի բազմապատկիչը արմատի նշանի տակից: Օրինակ, թող տրվի √24 + √54 արտահայտությունը։ Գործոնավորեք թվերը՝ 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3։ 24 թիվը ունի 4 գործակից, որը կարելի է հանել նշանի տակից։ քառակուսի արմատ. 54 թիվն ունի 9 գործակից: Այսպիսով, ստացվում է, որ. . IN այս օրինակումԱրմատային նշանի տակից գործակիցը հանելու արդյունքում հնարավոր եղավ պարզեցնել տրված արտահայտությունը։
• Թող երկու քառակուսի արմատների գումարը լինի կոտորակի հայտարար, օրինակ՝ A / (√a + √b): Եվ թող ձեր խնդիրն է «ազատվել իռացիոնալությունից հայտարարի մեջ»։ Այնուհետև կարող եք օգտագործել հետևյալ մեթոդը. Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկեք √a - √b արտահայտությամբ: Այսպիսով, հայտարարում ստանում ենք կրճատված բազմապատկման բանաձևը՝ (√a + √b) * (√a - √b) = a – b: Համեմատությամբ, եթե հայտարարը պարունակում է արմատների տարբերությունը՝ √a - √b, ապա կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պետք է բազմապատկվեն √a + √b արտահայտությամբ։ Օրինակ, թող կոտորակը 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3):
• Դիտարկենք հայտարարի իռացիոնալությունից ազատվելու ավելի բարդ օրինակ: Թող տրվի 12 / (√2 + √3 + √5) կոտորակը: Անհրաժեշտ է կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել √2 + √3 - √5 արտահայտությամբ.
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Ի վերջո, եթե ձեզ անհրաժեշտ է միայն մոտավոր արժեք, կարող եք օգտագործել հաշվիչը քառակուսի արմատները հաշվարկելու համար: Յուրաքանչյուր թվի համար առանձին հաշվարկեք արժեքները և գրեք դրանք անհրաժեշտ ճշգրտությամբ (օրինակ՝ երկու տասնորդական տեղ): Եվ հետո կատարեք անհրաժեշտ թվաբանական գործողությունները, ինչպես սովորական թվերի դեպքում։ Օրինակ, ենթադրենք, որ դուք պետք է պարզեք √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89 արտահայտության մոտավոր արժեքը:

Քառակուսի արմատների մասին թեման պարտադիր է դպրոցական ծրագիրմաթեմատիկայի դասընթաց. Քառակուսի հավասարումներ լուծելիս առանց դրանց չես կարող։ Իսկ հետագայում անհրաժեշտ է դառնում ոչ միայն արմատները հանել, այլեւ դրանցով այլ գործողություններ կատարել։ Դրանց թվում բավականին բարդ են՝ աստիճանականացում, բազմապատկում և բաժանում։ Բայց կան նաև բավականին պարզեր՝ արմատների հանում և գումարում։ Ի դեպ, դրանք միայն առաջին հայացքից են թվում։ Դրանք առանց սխալների կատարելը միշտ չէ, որ հեշտ է նրանց համար, ով նոր է սկսում ծանոթանալ դրանց հետ։

Ի՞նչ է մաթեմատիկական արմատը:

Այս գործողությունն առաջացել է ի հեճուկս հզորացման: Մաթեմատիկան առաջարկում է երկու հակադիր գործողություն. Գումարի համար կա հանում: Բազմապատկումը հակադրվում է բաժանմանը: Աստիճանի հակադարձ գործողությունը համապատասխան արմատը հանելն է:

Եթե ​​աստիճանը երկու է, ապա արմատը կլինի քառակուսի։ Այն ամենատարածվածն է դպրոցական մաթեմատիկայի մեջ։ Այն նույնիսկ ցուցում չունի, որ այն քառակուսի է, այսինքն՝ 2 համարը նշված չէ նկարում։

Դրա սահմանումը սահուն կերպով բխում է նկարագրված գործողությունից: Թվի քառակուսի արմատը հանելու համար պետք է պարզել, թե ինչ կտա արմատական ​​արտահայտությունը, երբ բազմապատկվի ինքն իրեն: Այս թիվը կլինի քառակուսի արմատը: Եթե ​​սա գրենք մաթեմատիկորեն, ապա կստանանք հետևյալը` x*x=x 2 =y, ինչը նշանակում է √y=x:

Ի՞նչ գործողություններ կարող եք կատարել նրանց հետ:

Իր հիմքում արմատը կոտորակային հզորություն է, որի համարիչը մեկ է: Իսկ հայտարարը կարող է լինել ցանկացած բան: Օրինակ՝ քառակուսի արմատն ունի երկու։ Հետևաբար, բոլոր գործողությունները, որոնք կարող են կատարվել ուժերով, վավեր կլինեն նաև արմատների համար:

Իսկ այդ գործողություններին ներկայացվող պահանջները նույնն են. Եթե ​​բազմապատկումը, բաժանումը և աստիճանականացումը դժվարությունների չեն հանդիպում ուսանողների համար, ապա արմատներ ավելացնելը, ինչպես դրանք հանելը, երբեմն հանգեցնում է շփոթության: Եվ ամեն ինչ այն պատճառով, որ ես ուզում եմ այս գործողությունները կատարել առանց արմատի նշանի: Եվ այստեղից են սկսվում սխալները։

Որո՞նք են գումարման և հանման կանոնները:

Նախ պետք է հիշել երկու կատեգորիկ «չպետք է».

• անհնար է կատարել արմատների գումարում և հանում, ինչպես պարզ թվերի դեպքում, այսինքն՝ հնարավոր չէ գումարի արմատական ​​արտահայտություններ գրել մեկ նշանի տակ և դրանցով կատարել մաթեմատիկական գործողություններ.
• Դուք չեք կարող ավելացնել և հանել արմատներ տարբեր ցուցիչներով, օրինակ՝ քառակուսի և խորանարդ:

Առաջին արգելքի վառ օրինակ. √6 + √10 ≠ √16, բայց √(6 + 10) = √16.

Երկրորդ դեպքում ավելի լավ է սահմանափակվել ինքներս արմատների պարզեցմամբ: Իսկ դրանց գումարը թողեք պատասխանում։

Հիմա կանոններին

1. Գտեք և խմբավորեք նմանատիպ արմատներ: Այսինքն՝ նրանք, ովքեր ոչ միայն նույն թվերն ունեն ռադիկալի տակ, այլեւ իրենք՝ նույն ցուցանիշը։
2. Կատարեք արմատների ավելացում, որոնք միավորված են մեկ խմբի մեջ առաջին գործողության մեջ: Դա հեշտ է իրականացնել, քանի որ անհրաժեշտ է միայն ավելացնել այն արժեքները, որոնք հայտնվում են արմատականների առջև:
3. Հանի՛ր այն տերմինների արմատները, որոնցում արմատական ​​արտահայտությունը կազմում է մի ամբողջ քառակուսի: Այսինքն՝ ոչինչ մի թողեք ռադիկալի նշանի տակ։
4. Պարզեցնել արմատական ​​արտահայտությունները: Դա անելու համար դուք պետք է դրանք տարրալուծեք հիմնական գործոններըև տեսեք, թե արդյոք նրանք տալիս են որևէ թվի քառակուսի: Հասկանալի է, որ դա ճիշտ է, եթե մենք խոսում ենքքառակուսի արմատի մասին։ Երբ ցուցիչը երեք կամ չորս է, ապա պարզ գործակիցները պետք է տան թվի խորանարդը կամ չորրորդ ուժը:
5. Ռադիկալի նշանի տակից հանե՛ք այն գործոնը, որը տալիս է ամբողջ ուժը։
6. Տեսեք, թե արդյոք այն նորից կհայտնվի նմանատիպ տերմիններ. Եթե ​​այո, ապա նորից կատարեք երկրորդ քայլը:

Այն իրավիճակում, երբ առաջադրանքը չի պահանջում արմատի ճշգրիտ արժեքը, այն կարելի է հաշվարկել հաշվիչի միջոցով: Անվերջ տասնորդական, որը կհայտնվի իր պատուհանում՝ կլորացնելով դեպի վեր: Ամենից հաճախ դա արվում է հարյուրերորդական: Եվ հետո կատարեք տասնորդական կոտորակների բոլոր գործողությունները:

Սա ամբողջ տեղեկատվությունն է, թե ինչպես ավելացնել արմատները: Ստորև բերված օրինակները ցույց կտան վերը նշվածը:

Առաջին առաջադրանքը

Հաշվարկել արտահայտությունների արժեքը.

ա) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

բ) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

գ) √275 - 10√11 + 2√99 + √396:

ա) Եթե հետևեք վերը նշված ալգորիթմին, կարող եք տեսնել, որ այս օրինակում առաջին երկու գործողությունների համար ոչինչ չկա: Բայց դուք կարող եք պարզեցնել որոշ արմատական ​​արտահայտություններ:

Օրինակ, 32-ը տարրալուծեք երկու գործոնի 2-ի և 16-ի; 18-ը հավասար կլինի 9-ի և 2-ի արտադրյալին. 128-ը 2-ն է 64-ից: Հաշվի առնելով սա, արտահայտությունը կգրվի այսպես.

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9):

Այժմ դուք պետք է արմատական ​​նշանի տակից հանեք այն գործոնները, որոնք տալիս են թվի քառակուսին: Սա 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2 է: Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2:

Պետք է մի փոքր պարզեցնել ձայնագրությունը։ Դա անելու համար արմատական ​​նշաններից առաջ բազմապատկեք գործակիցները.

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Այս արտահայտության մեջ բոլոր տերմինները նման էին։ Հետեւաբար, դուք պարզապես պետք է ծալեք դրանք: Պատասխանը կլինի՝ 5√2:

բ) Նախորդ օրինակի նման, արմատներ ավելացնելը սկսվում է դրանց պարզեցմամբ: 75, 147, 48 և 300 արմատական ​​արտահայտությունները կներկայացվեն հետևյալ զույգերով. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Պարզեցումից հետո պատասխանն է՝ 5√5 - 5√3: Այն կարելի է թողնել այս տեսքով, բայց ավելի լավ է փակագծերից հանել ընդհանուր գործակից 5-ը՝ 5 (√5 - √3):

գ) Եվ կրկին ֆակտորիզացիա՝ 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36։ Արմատի նշանի տակից գործակիցները հեռացնելուց հետո ունենում ենք.

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11: Նման տերմիններ բերելուց հետո ստանում ենք արդյունքը՝ 7√11։

Օրինակ կոտորակային արտահայտություններով

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Դուք պետք է գործակցեք հետևյալ թվերը՝ 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49։ Ինչպես արդեն քննարկվածներին, դուք պետք է արմատական ​​նշանի տակից հանեք գործոնները։ և պարզեցնել արտահայտությունը.

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½):

Այս արտահայտությունը պահանջում է ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունից։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է երկրորդ անդամը բազմապատկել √2/√2-ով:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2:

Գործողությունները ավարտելու համար անհրաժեշտ է արմատների դիմաց ընտրել գործոնների ամբողջ մասը։ Առաջինի համար 1 է, երկրորդի համար՝ 2։

Արմատների գումարում և հանում- Ամենատարածված «գայթակղություններից» մեկն այն մարդկանց համար, ովքեր անցնում են ավագ դպրոցում մաթեմատիկայի (հանրահաշվի) դասընթացներ: Այնուամենայնիվ, դրանք ճիշտ գումարել և հանել սովորելը շատ կարևոր է, քանի որ արմատների գումարի կամ տարբերության օրինակները ներառված են «մաթեմատիկա» առարկայի հիմնական միասնական պետական ​​քննության ծրագրում:

Նման օրինակների լուծմանը տիրապետելու համար անհրաժեշտ է երկու բան՝ հասկանալ կանոնները և նաև պրակտիկա ձեռք բերել։ Մեկ-երկու տասնյակ տիպիկ օրինակներ լուծելով՝ ուսանողն այս հմտությունը կբերի ավտոմատիզմի, այնուհետև նա այլևս վախենալու բան չի ունենա միասնական պետական ​​քննության ժամանակ։ Թվաբանական գործողությունները խորհուրդ է տրվում սկսել յուրացնել գումարումով, քանի որ դրանք գումարելը մի փոքր ավելի հեշտ է, քան հանելը։

Սա բացատրելու ամենահեշտ ձևը քառակուսի արմատն օգտագործելն է որպես օրինակ: Մաթեմատիկայի մեջ կա «քառակուսի» տերմինը. «Քառակուսի» նշանակում է որոշակի թվի բազմապատկում մեկ անգամ:. Օրինակ, եթե քառակուսի ես դնում 2-ը, ապա կստանաս 4: Եթե քառակուսի ես դնում 7-ը, ապա կստանաս 49: 9-ի քառակուսին 81 է: Այսպիսով, 4-ի քառակուսի արմատը 2-ն է, 49-ի քառակուսի արմատը 7 է, իսկ 81-ի քառակուսինը՝ 9:

Որպես կանոն, այս թեմայի ուսուցումը մաթեմատիկայից սկսվում է քառակուսի արմատներով։ Անմիջապես որոշելու համար աշակերտը ավագ դպրոցպետք է անգիր իմանա բազմապատկման աղյուսակը: Նրանք, ովքեր հաստատապես չգիտեն այս աղյուսակը, պետք է օգտագործեն ակնարկներ: Սովորաբար թվի արմատական ​​քառակուսու արդյունահանման գործընթացը տրվում է աղյուսակի տեսքով դպրոցական մաթեմատիկայի բազմաթիվ տետրերի շապիկներին։

Արմատները հետևյալ տեսակներից են.

• քառակուսի;
• խորանարդ (կամ այսպես կոչված երրորդ աստիճան);
• չորրորդ աստիճան;
• հինգերորդ աստիճան.

Լրացման կանոններ

Հաջողությամբ լուծելու համար բնորոշ օրինակ, անհրաժեշտ է նկատի ունենալ, որ ոչ բոլոր արմատային թվերը կարելի է շարել միմյանց հետ. Որպեսզի դրանք ծալվեն, դրանք պետք է բերվեն միասնական մոդել. Եթե ​​դա անհնար է, ապա խնդիրը լուծում չունի։ Նման խնդիրներ հաճախ հանդիպում են նաև մաթեմատիկայի դասագրքերում՝ որպես յուրատեսակ ծուղակ ուսանողների համար։

Առաջադրանքներում ավելացում չի թույլատրվում, երբ արմատական ​​արտահայտությունները տարբերվում են միմյանցից: Սա կարելի է ցույց տալ հստակ օրինակով.

• Աշակերտի առջեւ խնդիր է դրվում՝ ավելացնել 4-ի և 9-ի քառակուսի արմատը;
• Անփորձ ուսանողը, ով չգիտի կանոնը, սովորաբար գրում է. «4-ի արմատը + 9-ի արմատը = 13-ի արմատը»:
• Շատ հեշտ է ապացուցել, որ այս լուծումը ճիշտ չէ։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել 13-ի քառակուսի արմատը և ստուգել՝ արդյոք օրինակը ճիշտ է լուծված.
• օգտագործելով միկրոհաշվիչը կարող եք որոշել, որ այն մոտավորապես 3.6 է: Այժմ մնում է միայն ստուգել լուծումը.
• 4=2-ի արմատը, իսկ 9=3-ի արմատը;
• «Երկու» և «երեք» թվերի գումարը հավասար է հինգի։ Այսպիսով, լուծման այս ալգորիթմը կարելի է համարել սխալ:

Եթե ​​արմատները ունեն նույն աստիճանը, բայց տարբեր թվային արտահայտություններ, այն հանվում է փակագծերից և դրվում փակագծերի մեջ երկու արմատական ​​արտահայտությունների գումար. Այսպիսով, այն արդեն արդյունահանվում է այս գումարից։

Ավելացման ալգորիթմ

Ճիշտ որոշելու համար ամենապարզ առաջադրանքը, անհրաժեշտ:

1. Որոշեք, թե կոնկրետ ինչն է պահանջում ավելացում:
2. Պարզեք՝ հնարավո՞ր է արժեքներ ավելացնել միմյանց՝ առաջնորդվելով մաթեմատիկայի առկա կանոններով։
3. Եթե ​​դրանք ծալովի չեն, դուք պետք է փոխակերպեք դրանք այնպես, որ դրանք ծալվեն:
4. Կատարելով բոլոր անհրաժեշտ փոխակերպումները, դուք պետք է կատարեք լրացումը և գրեք պատրաստի պատասխանը: Դուք կարող եք կատարել լրացում ձեր գլխում կամ օգտագործելով միկրոհաշվիչ՝ կախված օրինակի բարդությունից:

Որոնք են նմանատիպ արմատները

Հավելման օրինակը ճիշտ լուծելու համար նախ պետք է մտածել, թե ինչպես կարող եք այն պարզեցնել: Դա անելու համար դուք պետք է ունենաք հիմնական գիտելիքներ, թե ինչ է նմանությունը:

Նմաններին նույնականացնելու ունակությունն օգնում է արագ լուծել նմանատիպ հավելումների օրինակները՝ դրանք բերելով պարզեցված ձևի: Տիպիկ լրացման օրինակը պարզեցնելու համար անհրաժեշտ է.

1. Գտե՛ք նմանատիպերը և բաժանե՛ք մեկ խմբի (կամ մի քանի խմբերի):
2. Վերագրեք գոյություն ունեցող օրինակն այնպես, որ նույն ցուցանիշն ունեցող արմատները հստակորեն հաջորդեն միմյանց (սա կոչվում է «խմբավորում»):
3. Այնուհետև պետք է ևս մեկ անգամ գրել արտահայտությունը, այս անգամ այնպես, որ նմանները (որոնք ունեն նույն ցուցանիշը և նույն արմատական ​​ցուցանիշը) նույնպես հաջորդեն միմյանց։

Դրանից հետո պարզեցված օրինակը սովորաբար հեշտ է լուծել:

Ցանկացած հավելման օրինակ ճիշտ լուծելու համար պետք է հստակ հասկանալ գումարման հիմնական կանոնները, ինչպես նաև իմանալ, թե ինչ է արմատը և ինչ կարող է լինել:

Երբեմն նման խնդիրները առաջին հայացքից շատ դժվար են թվում, բայց սովորաբար դրանք հեշտությամբ լուծվում են՝ խմբավորելով նմանատիպերը։ Ամենակարևորը պրակտիկան է, և այնուհետև ուսանողը կսկսի «ընկույզի պես կոտրել խնդիրները»: Արմատներ ավելացնելը մաթեմատիկայի ամենակարևոր մասերից մեկն է, ուստի ուսուցիչները պետք է բավականաչափ ժամանակ հատկացնեն դրա ուսումնասիրությանը:

Տեսանյութ

Այս տեսանյութը կօգնի ձեզ հասկանալ քառակուսի արմատներով հավասարումները:

Փաստ 1.
\(\bullet\) Վերցնենք մի քանի ոչ բացասական թիվ\(ա\) (այսինքն՝ \(a\geqslant 0\) ): Այնուհետև (թվաբանություն) քառակուսի արմատ\(a\) թվից կոչվում է այնպիսի ոչ բացասական թիվ \(b\) , քառակուսի դնելով ստանում ենք \(a\) թիվը. \[\sqrt a=b\quad \text(նույնը, ինչ )\quad a=b^2\]Սահմանումից հետևում է, որ \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Այս սահմանափակումներն են կարևոր պայմանքառակուսի արմատի գոյությունը և դրանք պետք է հիշել:
Հիշեք, որ ցանկացած թիվ, երբ հրապարակվում է, ոչ բացասական արդյունք է տալիս: Այսինքն՝ \(100^2=10000\geqslant 0\) և \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ինչի՞ է հավասար \(\sqrt(25)\): Մենք գիտենք, որ \(5^2=25\) և \((-5)^2=25\) . Քանի որ ըստ սահմանման մենք պետք է գտնենք ոչ բացասական թիվ, ապա \(-5\) հարմար չէ, հետևաբար, \(\sqrt(25)=5\) (քանի որ \(25=5^2\) ):
\(\sqrt a\) արժեքը գտնելը կոչվում է \(a\) թվի քառակուսի արմատը, իսկ \(a\) թիվը կոչվում է արմատական ​​արտահայտություն։
\(\bullet\) Սահմանման հիման վրա \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) արտահայտությունը և այլն: իմաստ չունի.

Փաստ 2.
Արագ հաշվարկների համար օգտակար կլինի սովորել քառակուսիների աղյուսակը բնական թվեր\(1\)-ից մինչև \(20\) : \[\սկիզբ(զանգված)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \քառատ14^2=196\\ 5^2=25 & \քառատ15^2=225\\ 6^2=36 & \քառատ16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \վերջ (զանգված)\]

Փաստ 3.
Ի՞նչ գործողություններ կարելի է անել քառակուսի արմատներով:
\(\bullet\) Քառակուսի արմատների գումարը կամ տարբերությունը ՀԱՎԱՍԱՐ ՉԷ գումարի կամ տարբերության քառակուսի արմատին, այսինքն. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Այսպիսով, եթե ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել, օրինակ, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , ապա սկզբում դուք պետք է գտնեք \(\sqrt(25)\) և \(\) արժեքները: sqrt(49)\ ) և ապա ծալեք դրանք: Հետևաբար, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Եթե ​​\(\sqrt a\) կամ \(\sqrt b\) արժեքները չեն գտնվել \(\sqrt a+\sqrt b\) ավելացնելիս, ապա նման արտահայտությունը հետագայում չի փոխակերպվում և մնում է այնպես, ինչպես կա: Օրինակ, \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) գումարում մենք կարող ենք գտնել \(\sqrt(49)\) \(7\) է, բայց \(\sqrt 2\) չի կարող փոխակերպվել: ամեն դեպքում, դրա համար \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Ցավոք, այս արտահայտությունը չի կարող ավելի պարզեցվել\(\bullet\) Քառակուսի արմատների արտադրյալը/քանակը հավասար է արտադրյալի/քանակի քառակուսի արմատին, այսինքն. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (պայմանով, որ հավասարության երկու կողմերն էլ իմաստ ունենան)
Օրինակ՝ \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
\(\bullet\) Օգտագործելով այս հատկությունները, հարմար է գտնել մեծ թվերի քառակուսի արմատները՝ դրանք գործակցելով։
Դիտարկենք մի օրինակ։ Եկեք գտնենք \(\sqrt(44100)\) . Քանի որ \(44100:100=441\) , ապա \(44100=100\cdot 441\) . Ըստ բաժանելիության չափանիշի՝ \(441\) թիվը բաժանվում է \(9\)-ի (քանի որ նրա թվանշանների գումարը 9 է և բաժանվում է 9-ի), հետևաբար \(441:9=49\), այսինքն \(441=9\ cdot 49\) . Այսպիսով մենք ստացանք.\[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ.
\[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27)) = \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3)) = \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\] \ \(\bullet\) Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես կարելի է թվեր մուտքագրել քառակուսի արմատի նշանի տակ՝ օգտագործելով \(5\sqrt2\) արտահայտության օրինակը (կարճ նշում \(5\cdot \sqrt2\) արտահայտության համար): Քանի որ \(5=\sqrt(25)\) , ուրեմն
Նշենք նաև, որ, օրինակ.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)

3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Ինչո՞ւ է սա այդպես։ Եկեք բացատրենք օրինակ 1-ով): Ինչպես արդեն հասկացաք, մենք չենք կարող ինչ-որ կերպ փոխակերպել \(\sqrt2\ թիվը): Եկեք պատկերացնենք, որ \(\sqrt2\) ինչ-որ \(a\) թիվ է: Համապատասխանաբար, \(\sqrt2+3\sqrt2\) արտահայտությունը ոչ այլ ինչ է, քան \(a+3a\) (մեկ \(a\) և ևս երեք նույն թվեր \(a\)): Եվ մենք գիտենք, որ սա հավասար է չորս նման \(a\) թվերի, այսինքն \(4\sqrt2\) .
Փաստ 4.
\(\bullet\) Հաճախ ասում են «չես կարող հանել արմատը», երբ թվի արժեքը գտնելիս չես կարողանում ազատվել արմատի \(\sqrt () \\) նշանից։ . Օրինակ, կարող եք վերցնել \(16\) թվի արմատը, քանի որ \(16=4^2\) , հետևաբար \(\sqrt(16)=4\) . Բայց անհնար է հանել \(3\) թվի արմատը, այսինքն գտնել \(\sqrt3\), քանի որ չկա մի թիվ, որը քառակուսիով կտա \(3\) ։ Նման թվերը (կամ նման թվերով արտահայտությունները) իռացիոնալ են։ Օրինակ՝ թվեր\(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\)
և այլն: իռացիոնալ են.
\(\bullet\) Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ցանկացած թիվ կլինի կամ ռացիոնալ կամ իռացիոնալ: Եվ բոլոր ռացիոնալ և բոլոր իռացիոնալ թվերը միասին կազմում են մի բազմություն, որը կոչվում է իրական թվերի մի շարք.Այս բազմությունը նշվում է \(\mathbb(R)\) տառով:
Սա նշանակում է, որ բոլոր այն թվերը, որոնք մենք ներկայումս գիտենք, կոչվում են իրական թվեր:

Փաստ 5.
\(\bullet\) Իրական թվի մոդուլը \(a\) ոչ բացասական թիվ է \(|a|\) , հեռավորությանը հավասար\(a\) կետից մինչև \(0\) իրական գծի վրա: Օրինակ, \(|3|\) և \(|-3|\) հավասար են 3-ի, քանի որ \(3\) և \(-3\) կետերից մինչև \(0\) հեռավորությունները հավասար են նույնը և հավասար է \(3 \)-ին:
\(\bullet\) Եթե \(a\)-ը ոչ բացասական թիվ է, ապա \(|a|=a\) .
Օրինակ՝ \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Եթե \(a\)-ը բացասական թիվ է, ապա \(|a|=-a\) . Օրինակ՝ \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Նրանք ասում են, որ բացասական թվերի դեպքում մոդուլը «ուտում է» մինուսը, մինչդեռ դրական թվերը, ինչպես նաև \(0\) թիվը, մոդուլով մնում են անփոփոխ։ԲԱՅՑ Այս կանոնը վերաբերում է միայն թվերին: Եթե ​​ձեր մոդուլի նշանի տակ կա անհայտ \(x\) (կամ որևէ այլ անհայտ), օրինակ՝ \(|x|\) , որի մասին մենք չգիտենք՝ դրական է, զրո, թե բացասական, ապա ազատվեք։ այն մոդուլից, որը մենք չենք կարող: Այս դեպքում այս արտահայտությունը մնում է նույնը՝ \(|x|\) .\(\bullet\) Հետևյալ բանաձևերը գործում են. \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(տրամադրված է) a\geqslant 0\]Շատ հաճախ կատարվում է հետևյալ սխալը՝ ասում են, որ \(\sqrt(a^2)\) և \((\sqrt a)^2\) նույնն են։ Սա ճիշտ է միայն այն դեպքում, եթե \(a\)-ը դրական թիվ է կամ զրո: Բայց եթե \(a\)-ն բացասական թիվ է, ապա սա կեղծ է: Բավական է դիտարկել այս օրինակը։ \(a\)-ի փոխարեն վերցնենք \(-1\) թիվը։ Հետո \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , բայց \((\sqrt (-1))^2\) արտահայտությունն ընդհանրապես գոյություն չունի (ի վերջո, անհնար է օգտագործել արմատային նշանը, դրեք բացասական թվեր): Ուստի ձեր ուշադրությունը հրավիրում ենք այն փաստի վրա, որ \(\sqrt(a^2)\)-ը հավասար չէ \((\sqrt a)^2\)-ին:Օրինակ՝ 1)<0\) ;

\(\sqrt(\left(-\sqrt2\աջ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , քանի որ \(-\sqrt2
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Քանի որ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , ապա \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(\(2n\) արտահայտությունը նշանակում է զույգ թիվ)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (նկատի ունեցեք, որ եթե մոդուլը չի ​​մատակարարվում, ապա ստացվում է, որ թվի արմատը հավասար է \(-25\ բայց մենք հիշում ենք, որ ըստ արմատի դա չի կարող լինել. արմատ հանելիս մենք միշտ պետք է ստանանք դրական թիվ կամ զրո)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (քանի որ զույգ հզորության ցանկացած թիվ ոչ բացասական է)

Փաստ 6.
Ինչպե՞ս համեմատել երկու քառակուսի արմատները:
\(\bullet\) Քառակուսի արմատների համար ճիշտ է՝ եթե \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(a\(\bullet\) Քանի որ \(\sqrt(a^2)=|a|\) , ապա \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
1) համեմատել \(\sqrt(50)\) և \(6\sqrt2\) . Նախ, եկեք փոխակերպենք երկրորդ արտահայտությունը \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Այսպիսով, քանի որ \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Ո՞ր ամբողջ թվերի միջև է գտնվում \(\sqrt(50)\):
Քանի որ \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) և \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Համեմատենք \(\sqrt 2-1\) և \(0.5\) . Ենթադրենք, որ \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\սկիզբ (հավասարեցված) &\sqrt 2-1>0.5 \ \մեծ| +1\quad \text((ավելացնել մեկը երկու կողմերին))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((երկու կողմերի քառակուսի դնելով))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \end (հավասարեցված)\]Մենք տեսնում ենք, որ ստացել ենք սխալ անհավասարություն։ Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ էր և \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Նկատի ունեցեք, որ անհավասարության երկու կողմերին որոշակի թիվ ավելացնելը չի ​​ազդում դրա նշանի վրա: Անհավասարության երկու կողմերը դրական թվով բազմապատկելը/բաժանելը նույնպես չի ազդում նրա նշանի վրա, բայց բացասական թվով բազմապատկելը/բաժանելը հակադարձում է անհավասարության նշանը:
Դուք կարող եք քառակուսի դնել հավասարման/անհավասարության երկու կողմերը ՄԻԱՅՆ ԵԹԵ երկու կողմերն էլ ոչ բացասական են: Օրինակ, նախորդ օրինակի անհավասարության մեջ կարող եք քառակուսի դնել երկու կողմերը, անհավասարության մեջ \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Պետք է հիշել, որ \[\սկիզբ (հավասարեցված) &\sqrt 2\մոտ 1.4\\ &\sqrt 3\մոտ 1.7 \վերջ (հավասարեցված)\]Այս թվերի մոտավոր նշանակությունն իմանալը կօգնի ձեզ թվերը համեմատելիս:
\(\bullet\) Արմատը հանելու համար (եթե այն կարելի է հանել) ինչ-որ մեծ թվից, որը չկա քառակուսիների աղյուսակում, նախ պետք է որոշել, թե որ «հարյուրների» միջև է այն գտնվում, ապա՝ ո՞ր «հարյուրների» միջև։ տասնյակ», իսկ հետո որոշեք այս թվի վերջին թվանշանը: Եկեք ցույց տանք, թե ինչպես է սա աշխատում օրինակով:
Հիմա եկեք որոշենք, թե որ «տասնյակների» միջև է գտնվում մեր թիվը (այսինքն, օրինակ, \(120\) և \(130\) միջև): Նաև քառակուսիների աղյուսակից իմանում ենք, որ \(11^2=121\) , \(12^2=144\) և այլն, ապա \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \) ) . Այսպիսով, մենք տեսնում ենք, որ \(28224\) գտնվում է \(160^2\) և \(170^2\) միջև: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\) թիվը գտնվում է \(160\) և \(170\) միջև:
Փորձենք որոշել վերջին թվանշանը։ Հիշենք, թե միանիշ թվերը, երբ քառակուսի են, վերջում տալիս են \(4\): Սրանք \(2^2\) և \(8^2\) են: Հետևաբար, \(\sqrt(28224)\)-ը կավարտվի կամ 2-ով կամ 8-ով: Եկեք ստուգենք սա: Եկեք գտնենք \(162^2\) և \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Հետևաբար, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը համարժեք լուծելու համար նախ անհրաժեշտ է ուսումնասիրել տեսական նյութ, որը ձեզ ծանոթացնում է բազմաթիվ թեորեմների, բանաձևերի, ալգորիթմների և այլն: Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ դա բավականին պարզ է: Այնուամենայնիվ, գտնել աղբյուր, որտեղ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության տեսությունը ներկայացվում է ցանկացած մակարդակի ուսուցման ուսանողների համար հեշտ և հասկանալի ձևով, իրականում բավականին բարդ խնդիր է: Դպրոցական դասագրքերը չի կարելի միշտ ձեռքի տակ պահել։ Իսկ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության համար հիմնական բանաձևեր գտնելը կարող է դժվար լինել նույնիսկ ինտերնետում:

Ինչու՞ է այդքան կարևոր մաթեմատիկայի տեսություն ուսումնասիրելը ոչ միայն միասնական պետական ​​քննություն հանձնողների համար:

1. Քանի որ դա ընդլայնում է ձեր հորիզոնները. Մաթեմատիկայի տեսական նյութի ուսումնասիրությունը օգտակար է բոլորի համար, ովքեր ցանկանում են ստանալ իրենց շրջապատող աշխարհի իմացությանը վերաբերող հարցերի լայն շրջանակի պատասխաններ: Բնության մեջ ամեն ինչ պատվիրված է և ունի հստակ տրամաբանություն։ Հենց դա է արտացոլված գիտության մեջ, որի միջոցով հնարավոր է հասկանալ աշխարհը։
2. Որովհետև զարգացնում է ինտելեկտը. Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության համար տեղեկատու նյութեր ուսումնասիրելով, ինչպես նաև տարբեր խնդիրներ լուծելով՝ մարդը սովորում է տրամաբանորեն մտածել և տրամաբանել, գրագետ և հստակ ձևակերպել մտքերը: Նա զարգացնում է վերլուծելու, ընդհանրացնելու, եզրակացություններ անելու կարողությունը։

Հրավիրում ենք Ձեզ անձամբ գնահատել ուսումնական նյութերի համակարգման և ներկայացման մեր մոտեցման բոլոր առավելությունները։

Բովանդակություն:

Քառակուսի արմատները կարող եք գումարել և հանել միայն այն դեպքում, եթե դրանք ունեն նույն արմատական ​​արտահայտությունը, այսինքն՝ կարող եք գումարել կամ հանել 2√3 և 4√3, բայց ոչ 2√3 և 2√5: Դուք կարող եք պարզեցնել արմատական ​​արտահայտությունները՝ նույն արմատական ​​արտահայտություններով դրանք արմատավորելու համար (այնուհետև ավելացնել կամ հանել դրանք):

Քայլեր

Մաս 1 Հասկանալով հիմունքները

1. 1 (արտահայտություն արմատային նշանի տակ):Դա անելու համար արմատական ​​թիվը դասավորեք երկու գործոնի, որոնցից մեկը քառակուսի թիվ է (թիվ, որից կարող եք վերցնել մի ամբողջ արմատ, օրինակ՝ 25 կամ 9): Դրանից հետո հանեք քառակուսի թվի արմատը և գրեք գտած արժեքը արմատի նշանի դիմաց (երկրորդ գործոնը կմնա արմատի նշանի տակ): Օրինակ՝ 6√50 - 2√8 + 5√12: Արմատի նշանի դիմաց թվերը համապատասխան արմատների գործակիցներն են, իսկ արմատի նշանի տակ գտնվող թվերը՝ արմատական ​​թվեր (արտահայտություններ)։ Ահա թե ինչպես կարելի է լուծել այս խնդիրը.
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2: Այստեղ դուք գործակցում եք 50-ը 25-ի և 2-ի գործոնների մեջ. ապա 25-ից հանում ես 5-ի հավասար արմատը, իսկ արմատի տակից հանում 5-ը։ Այնուհետև 5-ը բազմապատկեք 6-ով (բազմապատկիչն արմատում) և ստացեք 30√2։
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2: Այստեղ դուք փոխակերպում եք 8-ը 4-ի և 2-ի գործոնների; ապա 4-ից վերցնում եք 2-ի հավասար արմատը, իսկ արմատի տակից հանում եք 2-ը։ Այնուհետև 2-ը բազմապատկեք 2-ով (բազմապատկիչը արմատի վրա) և ստացեք 4√2։
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3: Այստեղ դուք փոխակերպում եք 12-ը 4-ի և 3-ի գործոնների. ապա 4-ից վերցնում եք 2-ի հավասար արմատը, իսկ արմատի տակից հանում եք 2-ը։ Այնուհետև 2-ը բազմապատկեք 5-ով (բազմապատկիչն արմատի վրա) և ստացեք 10√3։
2. 2 Ընդգծի՛ր այն արմատները, որոնց արմատական ​​արտահայտությունները նույնն են։Մեր օրինակում պարզեցված արտահայտությունն ունի հետևյալ տեսքը՝ 30√2 - 4√2 + 10√3: Դրանում դուք պետք է ընդգծեք առաջին և երկրորդ տերմինները ( 30√2 Եվ 4√2 ), քանի որ դրանք ունեն նույն արմատական ​​թիվը 2: Միայն այդպիսի արմատներ կարող եք գումարել և հանել:
3. 3 Եթե ձեզ տրված է մեծ թվով տերմիններով արտահայտություն, որոնցից շատերն ունեն նույն արմատական ​​արտահայտությունները, օգտագործեք մեկ, կրկնակի կամ եռակի ընդգծումներ՝ նման տերմիններ նշելու համար, որպեսզի ավելի հեշտ լուծեք արտահայտությունը:
4. 4 Արմատների համար, որոնց արմատական ​​արտահայտությունները նույնն են, գումարեք կամ հանեք արմատական ​​նշանի դիմաց գտնվող գործոնները, իսկ արմատական ​​արտահայտությունը թողեք նույնը (մի գումարեք կամ հանեք արմատական ​​թվեր): Գաղափարն այն է, որ ցույց տանք, թե որոշակի արմատական ​​արտահայտությամբ քանի արմատ կա տվյալ արտահայտության մեջ:
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Մաս 2 Եկեք պարապենք օրինակներով

1. 1 Օրինակ 1: √(45) + 4√5.
   • Պարզեցրեք √(45): Գործոն 45՝ √(45) = √(9 x 5):
   • Արմատի տակից հանել 3-ը (√9 = 3)՝ √(45) = 3√5:
   • Հիմա արմատներին ավելացրեք գործոնները՝ 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Օրինակ 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Պարզեցնել 6√(40): Գործոն 40՝ 6√(40) = 6√(4 x 10):
   • Արմատի տակից հանեք 2-ը (√4 = 2)՝ 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10:
   • Արմատից առաջ գործակիցները բազմապատկեք և ստացեք 12√10։
   • Այժմ արտահայտությունը կարելի է գրել 12√10 - 3√(10) + √5: Քանի որ առաջին երկու անդամներն ունեն նույն ռադիկալները, կարող եք երկրորդ անդամը հանել առաջինից և թողնել առաջինը անփոփոխ:
   • Դուք կստանաք՝ (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5:
3. 3 Օրինակ 3. 9√5 -2√3 - 4√5. Այստեղ արմատական ​​արտահայտություններից ոչ մեկը չի կարող ֆակտորիզացվել, ուստի այս արտահայտությունը չի կարելի պարզեցնել։ Կարող եք առաջինից հանել երրորդ անդամը (քանի որ նրանք ունեն նույն ռադիկալները) և երկրորդ անդամը թողնել անփոփոխ։ Դուք կստանաք՝ (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3:
4. 4 Օրինակ 4. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3:
   • √4 = √(2 x 2) = 2:
   • Այժմ դուք կարող եք պարզապես ավելացնել 3 + 2՝ 5 ստանալու համար:
   • Վերջնական պատասխան՝ 5 - 3√2:
5. 5 Օրինակ 5.Լուծի՛ր արմատներ և կոտորակներ պարունակող արտահայտություն: Դուք կարող եք գումարել և հաշվարկել միայն այն կոտորակները, որոնք ունեն ընդհանուր (նույն) հայտարար: Տրված է (√2)/4 + (√2)/2 արտահայտությունը։
   • Գտե՛ք այս կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: Սա այն թիվն է, որը հավասարապես բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա։ Մեր օրինակում 4 թիվը բաժանվում է 4-ի և 2-ի:
   • Այժմ երկրորդ կոտորակը բազմապատկեք 2/2-ով (այն ընդհանուր հայտարարի բերելու համար, առաջին կոտորակն արդեն կրճատվել է դրան). (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4:
   • Գումարե՛ք կոտորակների համարիչները և թողե՛ք հայտարարը նույնը՝ (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Արմատները գումարելուց կամ հանելուց առաջ համոզվեք, որ պարզեցրեք (հնարավորության դեպքում) արմատական ​​արտահայտությունները։

Զգուշացումներ

• Երբեք մի գումարեք կամ հանեք արմատներ տարբեր արմատական ​​արտահայտություններով:
• Երբեք մի գումարեք կամ հանեք ամբողջ թիվ և արմատ, օրինակ. 3 + (2x) 1/2 .
  • Նշում. «x»-ը երկրորդ աստիճանին և «x»-ի քառակուսի արմատը նույնն են (այսինքն՝ x 1/2 = √x):