Քառակուսային հավասարման արմատների և գործակիցների միջև, բացի արմատային բանաձևերից, կան նաև այլ օգտակար հարաբերություններ, որոնք տրված են. Վիետայի թեորեմա. Այս հոդվածում մենք կտանք Վիետայի թեորեմի ձևակերպումը և ապացույցը քառակուսային հավասարում. Այնուհետև մենք դիտարկում ենք թեորեմը Վիետայի թեորեմի հակառակը: Դրանից հետո մենք կվերլուծենք առավել բնորոշ օրինակների լուծումները։ Ի վերջո, մենք գրում ենք Վիետայի բանաձևերը, որոնք սահմանում են իրական արմատների միջև կապը հանրահաշվական հավասարում n աստիճանը և դրա գործակիցները:

Էջի նավարկություն.

Վիետայի թեորեմ, ձևակերպում, ապացույց

a·x 2 +b·x+c=0 ձևի քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերից, որտեղ D=b 2 −4·a·c հետևում են հետևյալ հարաբերությունները՝ x 1 +x 2 =−. b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Այս արդյունքները հաստատված են Վիետայի թեորեմա:

Թեորեմ.

Եթե x 1-ը և x 2-ը a x 2 +b x+c=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են, ապա արմատների գումարը հավասար է b և a գործակիցների հարաբերությանը վերցված. հակառակ նշան, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է c և a գործակիցների հարաբերությանը, այսինքն՝ .

Ապացույց.

Վիետայի թեորեմի ապացուցումը կիրականացնենք հետևյալ սխեմայով. հայտնի արմատական ​​բանաձևերով կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը և արտադրյալը, այնուհետև ստացված արտահայտությունները փոխակերպում ենք և համոզվում, որ դրանք հավասար են −b/-ի։ a և c/a, համապատասխանաբար:

Սկսենք արմատների գումարից և կազմենք այն։ Այժմ մենք կրճատում ենք կոտորակները ընդհանուր հայտարար, ունենք . Ստացված կոտորակի համարիչում, որից հետո՝. Վերջապես, 2-ից հետո մենք ստանում ենք. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի առաջին կապը քառակուսի հավասարման արմատների գումարի համար։ Անցնենք երկրորդին։

Կազմում ենք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը՝ . Կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն. վերջին կտորկարելի է գրել որպես. Այժմ մենք բազմապատկում ենք փակագիծը համարիչի վրա, բայց ավելի արագ է այս արտադրյալը փլուզել քառակուսի տարբերության բանաձև, Ուրեմն . Հետո, հիշելով, կատարում ենք հաջորդ անցումը։ Եվ քանի որ քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը համապատասխանում է D=b 2 −4·a·c բանաձևին, ապա վերջին կոտորակում D-ի փոխարեն կարող ենք փոխարինել b 2 −4·a·c, ստանում ենք. Փակագծերը բացելուց և ձուլելուց հետո նմանատիպ տերմիններմենք հասնում ենք կոտորակին, և դրա կրճատումը 4·a-ով տալիս է. Սա ապացուցում է Վիետայի թեորեմի երկրորդ կապը արմատների արտադրյալի համար։

Եթե ​​բաց թողնենք բացատրությունները, Վիետայի թեորեմի ապացույցը կստանա լակոնիկ ձև.
,
.

Մնում է միայն նշել, որ եթե դիսկրիմինանտը հավասար է զրոյի, ապա քառակուսի հավասարումն ունի մեկ արմատ: Այնուամենայնիվ, եթե ենթադրենք, որ այս դեպքում հավասարումը ունի երկու նույնական արմատներ, ապա Վիետայի թեորեմի հավասարությունները նույնպես գործում են: Իսկապես, երբ D=0 քառակուսի հավասարման արմատը հավասար է , ապա և , և քանի որ D=0, այսինքն՝ b 2 −4·a·c=0, որտեղից b 2 =4·a·c, ապա. .

Գործնականում Վիետայի թեորեմն ամենից հաճախ օգտագործվում է x 2 +p·x+q=0 ձևի կրճատված քառակուսի հավասարման (առաջատար գործակցով a հավասար է 1-ի) առնչությամբ: Երբեմն այն ձևակերպվում է հենց այս տիպի քառակուսի հավասարումների համար, ինչը չի սահմանափակում ընդհանրությունը, քանի որ ցանկացած քառակուսի հավասարում կարող է փոխարինվել համարժեք հավասարմամբ՝ երկու կողմերը բաժանելով ոչ զրոյական թվի a: Տանք Վիետայի թեորեմի համապատասխան ձևակերպումը.

Թեորեմ.

Կրճատված քառակուսային հավասարման արմատների գումարը x 2 +p x+q=0 հավասար է հակառակ նշանով վերցված x-ի գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, այսինքն՝ x 1. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմ

Վիետայի թեորեմի երկրորդ ձևակերպումը, որը տրված է նախորդ պարբերությունում, ցույց է տալիս, որ եթե x 1 և x 2 կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են x 2 +p x+q=0, ապա x 1 +x 2 =−p հարաբերությունները. , x 1 x 2 =ք. Մյուս կողմից, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q գրավոր հարաբերություններից հետևում է, որ x 1 և x 2 x 2 +p x+q=0 քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այլ կերպ ասած, Վիետայի թեորեմի հակառակը ճիշտ է: Ձևակերպենք թեորեմի տեսքով և ապացուցենք։

Թեորեմ.

Եթե ​​x 1 և x 2 թվերն այնպիսին են, որ x 1 +x 2 =−p և x 1 · x 2 =q, ապա x 1 և x 2 կրճատված քառակուսային հավասարման արմատներն են x 2 +p · x+q. =0.

Ապացույց.

x 2 +p·x+q=0 հավասարման մեջ p և q գործակիցները x 1 և x 2-ի միջոցով իրենց արտահայտություններով փոխարինելուց հետո այն վերածվում է համարժեք հավասարման։

Եկեք x 1 թիվը փոխարինենք ստացված հավասարման մեջ x-ի փոխարեն, մենք ունենք հավասարություն x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, որը ցանկացած x 1-ի և x 2-ի համար ներկայացնում է ճիշտ թվային հավասարություն 0=0, քանի որ x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Հետևաբար, x 1-ը հավասարման արմատն է x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, ինչը նշանակում է, որ x 1-ը x 2 +p·x+q=0 համարժեք հավասարման արմատն է։

Եթե ​​հավասարման մեջ x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x-ի փոխարեն x 2 թիվը փոխարինում ենք, ստանում ենք հավասարություն x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Սա իսկական հավասարություն է, քանի որ x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Հետևաբար, x 2-ը նույնպես հավասարման արմատ է x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, և հետևաբար x 2 +p·x+q=0 հավասարումները։

Սա ավարտում է թեորեմի ապացույցը, թեորեմի հակադարձՎիետա.

Վիետայի թեորեմի օգտագործման օրինակներ

Ժամանակն է խոսել Վիետայի թեորեմի և դրա հակադարձ թեորեմի գործնական կիրառման մասին։ Այս բաժնում մենք կվերլուծենք մի քանի առավել բնորոշ օրինակների լուծումները:

Սկսենք Վիետայի թեորեմի հետ հակադարձ թեորեմը կիրառելով։ Այն հարմար է օգտագործել՝ ստուգելու համար, թե արդյոք տրված երկու թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներ են: Այս դեպքում հաշվարկվում է դրանց գումարն ու տարբերությունը, որից հետո ստուգվում է հարաբերությունների վավերականությունը։ Եթե ​​այս երկու հարաբերություններն էլ բավարարված են, ապա Վիետայի թեորեմին հակասող թեորեմի ուժով եզրակացվում է, որ այս թվերը հավասարման արմատներն են։ Եթե ​​հարաբերություններից գոնե մեկը բավարարված չէ, ապա այս թվերը քառակուսի հավասարման արմատները չեն։ Այս մոտեցումը կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարումներ լուծելիս՝ հայտնաբերված արմատները ստուգելու համար:

Օրինակ.

1) x 1 =−5, x 2 =3, թե 2) կամ 3) թվերի զույգերից ո՞րն է 4 x 2 −16 x+9=0 քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ։

Լուծում.

Տրված քառակուսային հավասարման 4 x 2 −16 x+9=0 գործակիցներն են՝ a=4, b=−16, c=9։ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը պետք է հավասար լինի −b/a, այսինքն՝ 16/4=4, իսկ արմատների արտադրյալը՝ c/a, այսինքն՝ 9։ /4.

Հիմա եկեք հաշվարկենք տրված երեք զույգերից յուրաքանչյուրի թվերի գումարն ու արտադրյալը և համեմատենք դրանք հենց նոր ստացված արժեքների հետ։

Առաջին դեպքում ունենք x 1 +x 2 =−5+3=−2։ Ստացված արժեքը տարբերվում է 4-ից, ուստի հետագա ստուգում չի կարող իրականացվել, սակայն օգտագործելով Վիետայի թեորեմի հակադարձ թեորեմը, կարելի է անմիջապես եզրակացնել, որ թվերի առաջին զույգը տվյալ քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ:

Անցնենք երկրորդ դեպքին. Այստեղ, այսինքն, առաջին պայմանը կատարվում է. Մենք ստուգում ենք երկրորդ պայմանը՝ ստացված արժեքը տարբերվում է 9/4-ից։ Հետևաբար, թվերի երկրորդ զույգը քառակուսի հավասարման զույգ արմատներ չէ։

Մնացել է մի վերջին դեպք. Այստեղ և. Երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ուստի այս x 1 և x 2 թվերը տրված քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Պատասխան.

Վիետայի թեորեմի հակադարձ տարբերակը գործնականում կարող է օգտագործվել քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու համար։ Սովորաբար ընտրվում են տվյալ քառակուսի հավասարումների ամբողջ թվային արմատներ ամբողջ թվային գործակիցներով, քանի որ այլ դեպքերում դա բավականին դժվար է անել։ Այս դեպքում նրանք օգտագործում են այն փաստը, որ եթե երկու թվերի գումարը հավասար է մինուս նշանով վերցված քառակուսի հավասարման երկրորդ գործակցին, և այդ թվերի արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին, ապա այդ թվերը այս քառակուսի հավասարման արմատները: Սա հասկանանք օրինակով.

Վերցնենք քառակուսի հավասարումը x 2 −5 x+6=0: Որպեսզի x 1 և x 2 թվերը լինեն այս հավասարման արմատները, պետք է բավարարվեն երկու հավասարումներ՝ x 1 + x 2 =5 և x 1 ·x 2 =6: Մնում է միայն ընտրել այդպիսի թվեր։ IN այս դեպքումԴա անելը բավականին պարզ է. այդպիսի թվերն են 2-ը և 3-ը, քանի որ 2+3=5 և 2·3=6: Այսպիսով, 2-ը և 3-ը այս քառակուսի հավասարման արմատներն են:

Վիետայի թեորեմին հակադարձ թեորեմը հատկապես հարմար է օգտագործել տրված քառակուսի հավասարման երկրորդ արմատը գտնելու համար, երբ արմատներից մեկն արդեն հայտնի է կամ ակնհայտ։ Այս դեպքում երկրորդ արմատը կարելի է գտնել հարաբերություններից որևէ մեկից։

Օրինակ՝ վերցնենք քառակուսի հավասարումը 512 x 2 −509 x −3=0։ Այստեղ հեշտ է տեսնել, որ միասնությունը հավասարման արմատն է, քանի որ այս քառակուսի հավասարման գործակիցների գումարը հավասար է զրոյի։ Այսպիսով, x 1 = 1: Երկրորդ արմատը x 2 կարելի է գտնել, օրինակ, x 1 ·x 2 =c/a հարաբերությունից: Մենք ունենք 1 x 2 =−3/512, որտեղից x 2 =−3/512: Այսպես մենք որոշեցինք քառակուսի հավասարման երկու արմատները՝ 1 և −3/512:

Հասկանալի է, որ արմատների ընտրությունը նպատակահարմար է միայն ամենապարզ դեպքերում։ Այլ դեպքերում, արմատներ գտնելու համար կարող եք օգտագործել քառակուսի հավասարման արմատների բանաձևերը դիսկրիմինանտի միջոցով:

Մի բան էլ գործնական կիրառությունԹեորեմը, ընդհակառակը Վիետայի թեորեմի, բաղկացած է քառակուսի հավասարումներ կազմելուց, որոնք տրված են x 1 և x 2 արմատներին: Դրա համար բավական է հաշվարկել արմատների գումարը, որը տալիս է x-ի գործակիցը տրված քառակուսի հավասարման հակառակ նշանով, և արմատների արտադրյալը, որը տալիս է ազատ անդամը։

Օրինակ.

Գրի՛ր քառակուսի հավասարում, որի արմատները −11 և 23 թվերն են։

Լուծում.

Նշանակենք x 1 =−11 և x 2 =23։ Հաշվում ենք այս թվերի գումարը և արտադրյալը՝ x 1 +x 2 =12 և x 1 ·x 2 =−253: Հետևաբար, նշված թվերը −12 երկրորդ գործակցով և −253 ազատ անդամով կրճատված քառակուսի հավասարման արմատներն են։ Այսինքն՝ x 2 −12·x−253=0 պահանջվող հավասարումն է։

Պատասխան.

x 2 −12·x−253=0 .

Վիետայի թեորեմը շատ հաճախ օգտագործվում է քառակուսի հավասարումների արմատների նշանների հետ կապված խնդիրներ լուծելիս։ Ինչպե՞ս է Վիետայի թեորեմը կապված կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների նշանների հետ x 2 +p·x+q=0: Ահա երկու համապատասխան հայտարարություն.

• Եթե ​​q ազատ տերմինը դրական թիվիսկ եթե քառակուսի հավասարումը իրական արմատներ ունի, ապա երկուսն էլ դրական են, կամ երկուսն էլ բացասական:
• Եթե ​​q ազատ անդամը բացասական թիվ է, և եթե քառակուսի հավասարումն ունի իրական արմատներ, ապա դրանց նշանները տարբեր են, այլ կերպ ասած՝ մի արմատը դրական է, մյուսը՝ բացասական։

Այս պնդումները բխում են x 1 · x 2 =q բանաձևից, ինչպես նաև դրական բազմապատկման կանոններից, բացասական թվերև տարբեր նշաններով թվեր։ Դիտարկենք դրանց կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

R դա դրական է: Օգտագործելով տարբերակիչ բանաձևը՝ գտնում ենք D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 +8 արտահայտության արժեքը։ դրական է ցանկացած իրական r-ի համար, հետևաբար D>0 ցանկացած իրական r-ի համար: Հետևաբար, սկզբնական քառակուսի հավասարումը ցանկացածի համար ունի երկու արմատ իրական արժեքներպարամետր r.

Հիմա եկեք պարզենք, թե երբ են արմատները տարբեր նշաններ. Եթե ​​արմատների նշանները տարբեր են, ապա դրանց արտադրյալը բացասական է, իսկ Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։ Հետևաբար, մեզ հետաքրքրում են r-ի այն արժեքները, որոնց համար r−1 ազատ տերմինը բացասական է: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող r-ի արժեքները գտնելու համար մեզ անհրաժեշտ է որոշել գծային անհավասարություն r−1<0 , откуда находим r<1 .

Պատասխան.

ժամը r<1 .

Վիետա բանաձեւեր

Վերևում մենք խոսեցինք Վիետայի թեորեմի մասին քառակուսի հավասարման համար և վերլուծեցինք դրա հաստատված հարաբերությունները: Բայց կան բանաձևեր, որոնք կապում են ոչ միայն քառակուսի հավասարումների, այլև խորանարդ հավասարումների իրական արմատներն ու գործակիցները, չորրորդ աստիճանի և ընդհանրապես. հանրահաշվական հավասարումներաստիճան n. Նրանք կոչվում են Վիետայի բանաձեւերը.

Եկեք գրենք Վիետայի բանաձևը ձևի n աստիճանի հանրահաշվական հավասարման համար և կենթադրենք, որ այն ունի n իրական արմատ x 1, x 2, ..., x n (դրանց թվում կարող են լինել համընկնողներ).

Վիետայի բանաձևերը կարելի է ձեռք բերել թեորեմ բազմանդամի գծային գործակիցների տարրալուծման մասին, ինչպես նաև հավասար բազմանդամների սահմանումը նրանց բոլոր համապատասխան գործակիցների հավասարության միջոցով։ Այսպիսով, բազմանդամը և նրա ընդլայնումը ձևի գծային գործակիցների մեջ հավասար են: Բացելով փակագծերը վերջին արտադրյալում և հավասարեցնելով համապատասխան գործակիցները՝ ստանում ենք Վիետայի բանաձևերը։

Մասնավորապես, n=2-ի համար մենք ունենք քառակուսի հավասարման արդեն ծանոթ Վիետա բանաձևերը:

Խորանարդային հավասարման համար Վիետայի բանաձևերն ունեն ձևը

Մնում է միայն նշել, որ Վիետայի բանաձևերի ձախ կողմում կան այսպես կոչված տարրական. սիմետրիկ բազմանդամներ.

Հղումներ.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. 2 ժամում Մաս 1. Դասագիրք հանրակրթական հաստատությունների ուսանողների համար / A. G. Mordkovich. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Հանրահաշիվև մաթեմատիկական վերլուծության սկիզբը: 10-րդ դասարան՝ դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ՝ հիմնական և պրոֆիլ: մակարդակներ / [Յու. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; խմբագրել է A. B. Ժիժչենկո. - 3-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2010.- 368 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-022771-1։

Հավասարման արմատների գումարի որոշումը անհրաժեշտ քայլերից մեկն է քառակուսի հավասարումներ լուծելիս (ax² + bx + c = 0 ձևի հավասարումներ, որտեղ a, b և c ցուցանիշները կամայական թվեր են, իսկ a ? 0) Վիետայի թեորեմի աջակցությունը։

Հրահանգներ

1. Գրեք քառակուսի հավասարումը որպես ax² + bx + c = 0 Օրինակ. Սկզբնական հավասարում. 12 + x² = 8x Ճիշտ գրված հավասարում. x² - 8x + 12 = 0

2. Կիրառել Վիետայի թեորեմը, ըստ որի հավասարման արմատների գումարը հավասար կլինի հակառակ նշանով վերցված «b» թվին, իսկ դրանց արտադրյալը հավասար կլինի «գ» թվին. Օրինակ՝ քննարկվող հավասարման մեջ , b = -8, c = 12, համապատասխանաբար՝ x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. Պարզեք՝ հավասարումների արմատները ճիշտ են, թե բացասական։ Եթե ​​և՛ արտադրյալը, և՛ արմատների գումարը դրական թվեր են, ապա բոլոր արմատները վավեր թիվ են: Եթե ​​արմատների արտադրյալը կանոնավոր է, իսկ արմատների գումարը բացասական թիվ է, ապա երկու արմատներն էլ բացասական են։ Եթե ​​արմատների արտադրյալը բացասական է, ապա մի արմատն ունի «+» նշան, իսկ մյուսը՝ «-» նշան։ Այս դեպքում անհրաժեշտ է օգտագործել լրացուցիչ կանոն՝ «Եթե արմատների գումարը դրական է թիվ, մոդուլի ավելի մեծ արմատը նույնպես դրական է, իսկ եթե արմատների գումարը բացասական թիվ է, ապա ավելի մեծ բացարձակ արժեք ունեցող արմատ՝ բացասական Օրինակ. Քննարկվող հավասարման մեջ և՛ գումարը, և՛ արտադրյալը ճիշտ են թվեր՝ 8 և 12, ինչը նշանակում է, որ երկու արմատներն էլ դրական թվեր են:

4. Ստացված հավասարումների համակարգը լուծե՛ք՝ ընտրելով արմատները։ Ավելի հարմար կլինի ընտրությունը սկսել գործակիցներով, այնուհետև ստուգել, ​​փոխարինել որևէ զույգ գործոն երկրորդ հավասարման մեջ և ստուգել, ​​թե արդյոք այս արմատների գումարը համապատասխանում է լուծմանը. Օրինակ՝ x1∗x2=12 Հարմար զույգեր արմատները կլինեն համապատասխանաբար՝ 12 և 1, 6 և 2, 4 և 3 Ստուգեք ստացված զույգերը՝ օգտագործելով x1+x2=8 հավասարումը: Զույգեր 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 Ըստ այդմ, հավասարման արմատները 6 և 8 թվերն են։

Հավասարումը f(x,y,…)=g(x,y,..) ձևի հավասարությունն է, որտեղ f և g մեկ կամ մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ են: Բացահայտել հավասարման արմատը նշանակում է բացահայտել փաստարկների մի շարք, որոնցում այս հավասարությունը բավարարված է:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• Մաթեմատիկական ստուգատեսի իմացություն։

Հրահանգներ

1. Հնարավոր է, որ ունես ձևի հավասարում՝ x+2=x/5: Նախ, եկեք այս հավասարության բոլոր բաղադրիչները տեղափոխենք աջից ձախ՝ փոխելով բաղադրիչի նշանը հակառակի: Այս հավասարման աջ կողմում կլինի զրո, այսինքն՝ ստանում ենք հետևյալը՝ x+2-x/5 = 0։

2. Ներկայացնենք նմանատիպ տերմիններ. Ստանում ենք հետևյալը՝ 4x/5 + 2 = 0:

3. Հաջորդը, ստացված կրճատված հավասարումից մենք կգտնենք անհայտ անդամը, այս դեպքում այն ​​x է: Անհայտ փոփոխականի ստացված արժեքը կլինի սկզբնական հավասարման լուծումը: Այս դեպքում ստանում ենք հետևյալը` x = -2,5:

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Ուշադրություն դարձրեք.
Լուծման արդյունքում կարող են առաջանալ լրացուցիչ արմատներ։ Դրանք սկզբնական հավասարման լուծում չեն լինի, եթե նույնիսկ ամեն ինչ դրականորեն լուծեք։ Համոզվեք, որ ստուգեք ձեր ստացած բոլոր լուծումները:

Օգտակար խորհուրդ
Միշտ ստուգեք ստացված արժեքները անհայտի համար: Դա կարելի է անել պարզապես արդյունքում ստացված արժեքը նախնական հավասարման մեջ փոխարինելով: Եթե ​​հավասարությունը ճիշտ է, ապա լուծումը ճիշտ է։

Վիետայի թեորեմը ուղիղ կապ է հաստատում bx2+cx+d=0 տիպի հավասարման արմատների (x1 և x2) և ցուցիչների (b և c, d) միջև։ Այս թեորեմի օգնությամբ հնարավոր է, առանց արմատների իմաստը որոշելու, դրանց գումարը հաշվարկել, համարձակ ասած, մտքում։ Սրա մեջ դժվար բան չկա, գլխավորը որոշ կանոններ իմանալն է։

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի

• - հաշվիչ;
• - թուղթ նշումների համար:

Հրահանգներ

1. Ուսումնասիրվող քառակուսի հավասարումը բերեք ստանդարտ ձևի, որպեսզի բոլոր ցուցանիշները լինեն նվազման կարգով, այսինքն՝ սկզբում ամենաբարձր աստիճանը x2 է, իսկ վերջում՝ զրոյական աստիճանը՝ x0։ Հավասարումը կունենա ձև՝ b*x2 + c*x1 + d*x0 = b*x2 + c*x + d = 0:

2. Ստուգեք տարբերակիչի ոչ բացասական լինելը: Այս ստուգումն անհրաժեշտ է համոզվելու համար, որ հավասարումը արմատներ ունի: D (դիսկրիմինանտ) ընդունում է ձևը՝ D = c2 – 4*b*d: Այստեղ կան մի քանի տարբերակներ: D – դիսկրիմինանտ – ճիշտ, ինչը նշանակում է, որ հավասարումն ունի երկու արմատ: D-ն հավասար է զրոյի, հետևում է, որ կա արմատ, բայց այն երկակի է, այսինքն՝ x1 = x2։ D-ն բացասական է, դպրոցական հանրահաշվի դասընթացի համար այս պայմանը նշանակում է, որ արմատներ չկան, բարձրագույն մաթեմատիկայի համար կան արմատներ, բայց դրանք բարդ են:

3. Որոշի՛ր հավասարման արմատների գումարը. Օգտագործելով Վիետայի թեորեմը, դա հեշտ է անել. b*x2+c*x+d = 0: Հավասարման արմատների գումարը ուղիղ համեմատական ​​է «–c»-ին և հակադարձ համեմատական ​​«b» ցուցիչին: Մասնավորապես, x1+x2 = -c/b. Որոշեք արմատների արտադրյալը ըստ ձևակերպման. հավասարման արմատների արտադրյալը ուղիղ համեմատական ​​է «d»-ին և հակադարձ համեմատական ​​է «b» ցուցիչին. x1*x2 = d/b:

Ուշադրություն դարձրեք.
Եթե ​​բացասական դիսկրիմինանտ եք ստանում, դա չի նշանակում, որ արմատներ չկան։ Սա նշանակում է, որ հավասարման արմատները այսպես կոչված բարդ արմատներն են։ Վիետայի թեորեմը կիրառելի է նաև այս դեպքում, սակայն դրա ձևը փոքր-ինչ կփոխվի՝ [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

Օգտակար խորհուրդ
Եթե ​​դուք կանգնած եք ոչ թե քառակուսային հավասարման, այլ n աստիճանի խորանարդի կամ հավասարման հետ՝ b0*xn + b1*xn-1 +…..+ bn = 0, ապա հաշվարկեք արմատների գումարը կամ արտադրյալը: հավասարումը, կարող եք ճիշտ օգտագործել նաև Վիետայի թեորեմը :1։ –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

Եթե ​​թիվը հավասարման մեջ փոխարինելիս ստացվում է ճիշտ հավասարություն, ապա այդպիսի թիվը կոչվում է արմատ։ Արմատները կարող են լինել կանոնավոր, բացասական կամ զրո: Հավասարման արմատների յուրաքանչյուր բազմության մեջ առանձնանում են առավելագույնը և նվազագույնը:

Հրահանգներ

1. Գտե՛ք հավասարման բոլոր արմատները, դրանցից ընտրե՛ք բացասականը, եթե այդպիսին կա։ Ենթադրենք, մեզ տրված է քառակուսի հավասարում 2x?-3x+1=0: Կիրառի՛ր քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձևը՝ x(1,2)=/2=/2=/2, ապա x1=2, x2=1։ Հեշտ է նկատել, որ նրանց մեջ բացասականներ չկան:

2. Դուք կարող եք նաև գտնել քառակուսի հավասարման արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը: Համաձայն այս թեորեմի՝ x1+x1=-b, x1?x2=c, որտեղ b և c համապատասխանաբար x?+bx+c=0 հավասարման ցուցիչներն են։ Այս թեորեմի կիրառմամբ հնարավոր է չհաշվարկել բ?-4ac դիսկրիմինանտը, որը որոշ դեպքերում կարող է էապես պարզեցնել խնդիրը։

3. Եթե ​​քառակուսի հավասարման մեջ x-ի ցուցանիշը զույգ է, արմատները գտնելու համար կարող եք օգտագործել ոչ թե հիմնական, այլ կրճատ բանաձևը: Եթե ​​հիմնական բանաձևը նման է x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a, ապա կրճատ ձևով այն գրվում է հետևյալ կերպ. x(1,2)=[-b/2. ±?(b?/4-ac)]/a. Եթե ​​քառակուսի հավասարման մեջ կեղծ տերմին չկա, ապա x-ը փակագծերից դուրս հանելը բավականին հեշտ է: Եվ երբեմն ձախ կողմը ծալվում է ամբողջական քառակուսու մեջ՝ x?+2x+1=(x+1)?:

4. Կան հավասարումների տեսակներ, որոնք տալիս են ոչ միայն մեկ թիվ, այլ լուծումների մի ամբողջ փունջ։ Ասենք եռանկյունաչափական հավասարումներ։ Այսպիսով, 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 հավասարման արդյունքը կլինի x=?/4+?k, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է: Այսինքն՝ k պարամետրի ցանկացած ամբողջ արժեք փոխարինելիս x արգումենտը կբավարարի տրված հավասարումը։

5. Եռանկյունաչափության խնդիրներում ձեզ հարկավոր է գտնել բոլոր բացասական արմատները կամ ամենաբարձր բացասական արմատները: Նման խնդիրներ լուծելու համար օգտագործվում է տրամաբանական հիմնավորում կամ մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդ։ Միացրեք k-ի որոշ ամբողջ արժեքներ x=?/4+?k արտահայտության մեջ և դիտեք, թե ինչպես է աշխատում արգումենտը: Ի դեպ, նախորդ հավասարման ամենամեծ բացասական արմատը կլինի x=-3?/4 k=1-ով։

Տեսանյութ թեմայի վերաբերյալ

Ուշադրություն դարձրեք.
Այս օրինակում մենք դիտարկել ենք քառակուսի հավասարման տարբերակը, որտեղ a=1: Ամբողջական քառակուսի հավասարումը նույն մեթոդով լուծելու համար, որտեղ a&ne 1, անհրաժեշտ է ստեղծել օժանդակ հավասարում՝ «a»-ն բերելով միասնության:

Օգտակար խորհուրդ
Օգտագործեք հավասարումների լուծման այս մեթոդը՝ արմատները արագ հայտնաբերելու համար: Դա կօգնի նաև, եթե անհրաժեշտ է լուծել ձեր գլխում առկա հավասարումը առանց նշումներ անելու:

Վերոնշյալ քառակուսի հավասարման արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։

(Հիշենք. կրճատված քառակուսի հավասարումը հավասարություն է, որտեղ առաջին գործակիցը 1 է):

Բացատրություն:

Թող քառակուսի հավասարումը կացին 2 +bx +գ= 0-ն ունի արմատներ X 1 և X 2. Այնուհետև, Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Օրինակ 1:

Տրված x 2 – 7x + 10 = 0 հավասարումը ունի 2 և 5 արմատներ:

Արմատների գումարը 7 է, արտադրյալը՝ 10։

Իսկ մեր հավասարման մեջ երկրորդ գործակիցը -7 է, իսկ ազատ անդամը՝ 10։

Այսպիսով, արմատների գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցին, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին։

Շատ հաճախ կան քառակուսի հավասարումներ, որոնք կարելի է հեշտությամբ հաշվարկել Վիետայի թեորեմի միջոցով, ավելին, ավելի հեշտ է դրանք հաշվարկել դրա օգնությամբ: Սա հեշտ է ստուգել ինչպես նախորդ օրինակում, այնպես էլ հաջորդում:

Օրինակ 2. Լուծել քառակուսի հավասարումը X 2 – 2X – 24 = 0.

Լուծում.

Մենք կիրառում ենք Վիետայի թեորեմը և գրում երկու ինքնություն.

X 1 · X 2 = –24

X 1 + X 2 = 2

Ընտրում ենք այնպիսի գործակիցներ –24-ի համար, որպեսզի դրանց գումարը հավասար լինի 2-ի: Որոշ մտածելուց հետո գտնում ենք՝ 6 և –4: Եկեք ստուգենք.

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

Ինչպես նկատեցիք, գործնականում Վիետայի թեորեմի էությունն այն է, որ տրված քառակուսի հավասարման ազատ անդամը տարրալուծվի գործոնների, որոնց գումարը հավասար է հակառակ նշանով երկրորդ գործակցի:

Այս գործոնները կլինեն արմատները:

Սա նշանակում է, որ մեր քառակուսի հավասարման արմատները 6 և –4 են: X 1 = 6, X 2 = –4.

Պատասխան.

Օրինակ 3. Եկեք լուծենք քառակուսի հավասարումը 3x 2 + 2x – 5 = 0:

Լուծում.

Այստեղ մենք գործ չունենք կրճատված քառակուսի հավասարման հետ։ Բայց նման հավասարումները կարող են լուծվել նաև Վիետայի թեորեմի միջոցով, եթե դրանց գործակիցները հավասարակշռված են, օրինակ, եթե առաջին և երրորդ գործակիցների գումարը հավասար է երկրորդին հակառակ նշանով:

3 + (–5) = –2.

Հավասարման գործակիցները հավասարակշռված են՝ առաջին և երրորդ անդամների գումարը հավասար է երկրորդին հակառակ նշանով.

Վիետայի թեորեմի համաձայն
x 1 + x 2 = –2/3

x 1 x 2 = –5/3.

Մենք պետք է գտնենք երկու թիվ, որոնց գումարը –2/3 է, իսկ արտադրյալը՝ –5/3: Այս թվերը կլինեն հավասարման արմատները:
Առաջին թիվը կռահվում է անմիջապես՝ դա 1 է: Ի վերջո, երբ x = 1, հավասարումը վերածվում է ամենապարզ գումարման և հանման.
3 + 2 – 5 = 0. Ինչպե՞ս գտնել երկրորդ արմատը:

Եկեք 1-ը ներկայացնենք որպես 3/3, որպեսզի բոլոր թվերն ունենան նույն հայտարարը. այդպես ավելի հեշտ է: Եվ հետագա գործողություններ անմիջապես առաջանում են: Եթե ​​x 1 = 3/3, ապա.

3/3 + x 2 = –2/3:

Եկեք լուծենք մի պարզ հավասարում.

x 2 = –2/3 – 3/3:

Պատասխան՝ x 1 = 1; x 2 = –5/3 Օրինակ 4. Լուծել քառակուսի 7-րդ հավասարումը 2 – 6Օրինակ 4. Լուծել քառակուսի 7-րդ հավասարումը – 1 = 0.

x

Լուծում. XՄեկ արմատը անմիջապես բացահայտվում է, այն գրավում է ձեր աչքը.

1 = 1 (որովհետև պարզ թվաբանությունը ստացվում է. 7 – 6 – 1 = 0):
7 + (– 1) = 6.

Հավասարման գործակիցները հավասարակշռված են՝ առաջինի և երրորդի գումարը հավասար է երկրորդին հակառակ նշանով.

X 1 · X 2 = –1/7
X 1 + X 2 = 6/7

Փոխարինեք x 1 արժեքը այս երկու արտահայտություններից որևէ մեկի մեջ և գտեք x 2:

X 2 = –1/7: 1 = –1/7

Պատասխան. X 1 = 1; X 2 = –1/7

Կրճատված քառակուսի հավասարման տարբերակիչ:

Կրճատված քառակուսի հավասարման դիսկրիմինանտը կարող է հաշվարկվել կամ ընդհանուր բանաձևով կամ պարզեցված բանաձևով.

ժամըD = 0, վերը նշված հավասարման արմատները կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Եթե ​​Դ< 0, то уравнение не имеет корней.

Եթե ​​D = 0, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ:

Եթե ​​D > 0, ապա հավասարումն ունի երկու արմատ: