ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԴԱՇՆԱԿԱՆ ԳՈՐԾԱԿԱԼՈՒԹՅՈՒՆ

ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ԻՆՍՏԻՏՈՒՏ

«Պարամետրերով հավասարումների և անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական մեթոդներ»

Ավարտված

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Քաղաքային ուսումնական հաստատություն թիվ 62 միջնակարգ դպրոց

Լիպեցկ 2008 թ

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ ..................................................... .......................................................... ............. .3

X;ժամը) 4

1.1. Զուգահեռ փոխանցում ..................................................... ................................... 5

1.2. Շրջադարձ ..................................................... ...................................................... ...... 9

1.3. Համասեռություն. Սեղմում դեպի ուղիղ ................................................ ...................... 13

1.4. Երկու ուղիղ գիծ հարթության վրա ...................................... ................................... 15

2. ԳՐԱՖԻԿԱԿԱՆ ՏԵԽՆԻԿԱ. ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԻ ՊԼԱՆԻ ( X;Ա) 17

ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ ..................................................... .......................................... 20

ՄԱՏԵՆԱԳՐԱԿԱՆ ՑԱՆԿ .............................................. ...................... 22

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

Այն խնդիրները, որ ունենում են դպրոցականները ոչ ստանդարտ հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս, պայմանավորված են ինչպես այդ խնդիրների հարաբերական բարդությամբ, այնպես էլ նրանով, որ դպրոցը, որպես կանոն, կենտրոնանում է ստանդարտ խնդիրների լուծման վրա:

Շատ դպրոցականներ պարամետրն ընկալում են որպես «կանոնավոր» թիվ։ Իրոք, որոշ խնդիրներում պարամետրը կարելի է համարել հաստատուն արժեք, բայց այս հաստատուն արժեքը ստանում է անհայտ արժեքներ: Հետևաբար, անհրաժեշտ է դիտարկել խնդիրը այս հաստատունի բոլոր հնարավոր արժեքների համար: Այլ խնդիրների դեպքում կարող է հարմար լինել արհեստականորեն որպես պարամետր հայտարարել անհայտներից մեկը։

Մյուս դպրոցականները պարամետրը վերաբերվում են որպես անհայտ մեծության և, առանց ամաչելու, կարող են պարամետրը արտահայտել իրենց պատասխանում փոփոխականի տեսքով: X.

Ավարտական ​​և ընդունելության քննություններում առկա են պարամետրերի հետ կապված հիմնականում երկու տեսակի խնդիրներ. Նրանց կարելի է միանգամից տարբերել իրենց ձեւակերպումներով։ Նախ. «Յուրաքանչյուր պարամետրի արժեքի համար գտեք ինչ-որ հավասարման կամ անհավասարության բոլոր լուծումները»: Երկրորդ. «Գտեք պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար որոշակի պայմաններ են բավարարվում տվյալ հավասարման կամ անհավասարության համար»: Ըստ այդմ, այս երկու տիպի խնդիրների պատասխաններն ըստ էության տարբերվում են։ Առաջին տիպի խնդրի պատասխանը թվարկում է պարամետրի բոլոր հնարավոր արժեքները և այդ արժեքներից յուրաքանչյուրի համար գրվում են հավասարման լուծումները: Երկրորդ տիպի խնդրի պատասխանը ցույց է տալիս բոլոր պարամետրային արժեքները, որոնց համաձայն խնդրի մեջ նշված պայմանները բավարարված են:

Պարամետրի տվյալ ֆիքսված արժեքի պարամետրով հավասարման լուծումը անհայտի այնպիսի արժեք է, որը հավասարման մեջ փոխարինելիս վերջինս վերածվում է ճիշտ թվային հավասարության։ Նմանապես որոշվում է պարամետրով անհավասարության լուծումը: Պարամետրով հավասարման (անհավասարության) լուծումը նշանակում է պարամետրի յուրաքանչյուր թույլատրելի արժեքի համար գտնել տվյալ հավասարման բոլոր լուծումների բազմությունը (անհավասարություն):

1. ԳՐԱՖԻԿԱԿԱՆ ՏԵԽՆԻԿԱ. ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԻ ՊԼԱՆԻ ( X;ժամը)

Պարամետրերով խնդիրների լուծման հիմնական վերլուծական տեխնիկայի և մեթոդների հետ մեկտեղ կան տեսողական և գրաֆիկական մեկնաբանությունների օգտագործման եղանակներ:

Կախված նրանից, թե պարամետրը ինչ դեր է վերապահված խնդրի մեջ (անհավասար կամ հավասար փոփոխականին), համապատասխանաբար կարելի է առանձնացնել երկու հիմնական գրաֆիկական տեխնիկա. առաջինը կոորդինատային հարթության վրա գրաֆիկական պատկերի կառուցումն է։ (X;y),երկրորդը - վրա (X; Ա).

Հարթության վրա (x; y) ֆունկցիան y =զ (X; Ա)սահմանում է կորերի ընտանիք՝ կախված պարամետրից Ա.Հասկանալի է, որ յուրաքանչյուր ընտանիք զունի որոշակի հատկություններ. Մեզ առաջին հերթին կհետաքրքրի, թե ինչպիսի հարթության փոխակերպում (զուգահեռ թարգմանություն, պտույտ և այլն) կարելի է օգտագործել ընտանիքի մի կորից մյուսը անցնելու համար։ Այս փոխակերպումներից յուրաքանչյուրին կհատկացվի առանձին պարբերություն: Մեզ թվում է, որ նման դասակարգումը որոշողին հեշտացնում է անհրաժեշտ գրաֆիկական պատկերը գտնելը։ Նկատենք, որ այս մոտեցմամբ լուծման գաղափարական մասը կախված չէ նրանից, թե որ գործիչը (ուղիղ, շրջան, պարաբոլա և այլն) կլինի կորերի ընտանիքի անդամ։

Իհարկե, ընտանիքի գրաֆիկական պատկերը միշտ չէ y =զ (X;Ա)նկարագրված է պարզ փոխակերպմամբ։ Հետեւաբար, նման իրավիճակներում օգտակար է կենտրոնանալ ոչ թե նույն ընտանիքի կորերի փոխկապակցվածության վրա, այլ հենց կորերի վրա: Այլ կերպ ասած, մենք կարող ենք տարբերակել խնդրի մեկ այլ տեսակ, որի լուծման գաղափարը հիմնականում հիմնված է կոնկրետ հատկությունների վրա. երկրաչափական ձևեր, և ոչ թե ընտանիքն ամբողջությամբ։ Ի՞նչ թվեր (ավելի ճիշտ՝ այս գործիչների ընտանիքները) մեզ կհետաքրքրեն առաջին հերթին։ Սրանք ուղիղ գծեր և պարաբոլներ են: Այս ընտրությունը պայմանավորված է գծային և քառակուսի ֆունկցիաներդպրոցական մաթեմատիկայի մեջ։

Խոսելով գրաֆիկական մեթոդների մասին՝ անհնար է խուսափել մրցութային քննությունների պրակտիկայից «ծնված» մեկ խնդրից։ Խոսքը վերաբերում է գրաֆիկական նկատառումներով որոշման խստության, հետևաբար և օրինականության հարցին։ Անկասկած, ֆորմալ տեսանկյունից, «նկարից» վերցված արդյունքը, որը վերլուծականորեն չհիմնավորված, խստորեն չի ստացվել։ Այնուամենայնիվ, ո՞վ, երբ և որտեղ է որոշում խստության աստիճանը, որին պետք է հետևի ավագ դպրոցի աշակերտը: Մեր կարծիքով, աշակերտի համար մաթեմատիկական խստության մակարդակի պահանջները պետք է որոշվեն ողջախոհությամբ։ Մենք հասկանում ենք նման տեսակետի սուբյեկտիվության աստիճանը։ Ավելին, գրաֆիկական մեթոդը պարզության միջոցներից միայն մեկն է։ Իսկ տեսանելիությունը կարող է խաբել..gif" width="232" height="28"> ունի միայն մեկ լուծում.

Լուծում.Հարմարության համար մենք նշում ենք lg բ = ա.Գրենք բնօրինակին համարժեք հավասարում` https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցում սահմանման տիրույթով և (նկ. 1): Ստացված գրաֆիկը ուղիղ գծերի ընտանիք է y = ապետք է հատվեն միայն մեկ կետում: Նկարը ցույց է տալիս, որ այս պահանջը բավարարվում է միայն այն դեպքում, երբ ա > 2, այսինքն lg բ> 2, բ> 100.

Պատասխանել. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> որոշեք հավասարման լուծումների քանակը .

Լուծում. Եկեք գծագրենք 102" height="37" style="vertical-align:top"> ֆունկցիան

Եկեք դիտարկենք. Սա ուղիղ գիծ է OX առանցքին զուգահեռ:

Պատասխանել..gif" width="41" height="20">, ապա 3 լուծում;

եթե , ապա 2 լուծում;

եթե , 4 լուծում.

Անցնենք առաջադրանքների նոր շարքին..gif" width="107" height="27 src=">:

Լուծում.Եկեք ուղիղ գիծ կառուցենք ժամը= X+1 (նկ. 3)..gif" width="92" height="57">

ունեն մեկ լուծում, որը համարժեք է հավասարմանը ( X+1)2 = x + Աունեն մեկ արմատ..gif" width="44 height=47" height="47"> սկզբնական անհավասարությունը լուծումներ չունի: Նկատի ունեցեք, որ մեկը, ով ծանոթ է ածանցյալին, կարող է այլ կերպ ստանալ այս արդյունքը:

Հաջորդը, «կիսապարաբոլան» տեղափոխելով ձախ, մենք կֆիքսենք վերջին պահը, երբ գրաֆիկները ժամը = X+ 1 և ունեն երկու ընդհանուր կետ (III դիրք): Այս պայմանավորվածությունն ապահովված է պահանջով Ա= 1.

Հասկանալի է, որ հատվածի համար [ X 1; X 2], որտեղ X 1 և X 2 – գրաֆիկների հատման կետերի աբսցիսները կլինեն սկզբնական անհավասարության լուծումը..gif" width="68 height=47" height="47">, ապա

Երբ «կիսապարաբոլան» և ուղիղ գիծը հատվում են միայն մեկ կետում (սա համապատասխանում է դեպքին. ա > 1), ապա լուծումը կլինի հատվածը [- Ա; X 2"], որտեղ X 2" - արմատներից ամենամեծը X 1 և X 2 (IV դիրք).

Օրինակ 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . Այստեղից մենք ստանում ենք .

Եկեք նայենք գործառույթներին և . Դրանցից միայն մեկն է սահմանում կորերի ընտանիքը։ Հիմա տեսնում ենք, որ փոխարինումը բերեց անկասկած օգուտներ։ Զուգահեռաբար մենք նշում ենք, որ նախորդ խնդրի դեպքում, օգտագործելով նմանատիպ փոխարինում, կարող եք կատարել ոչ թե «կիսապարաբոլա» շարժում, այլ ուղիղ գիծ: Դառնանք Նկ. 4. Ակնհայտ է, որ եթե «կիսապարաբոլայի» գագաթի աբսցիսան մեկից մեծ է, այսինքն՝ –3. Ա > 1, , ապա հավասարումը արմատներ չունի..gif" width="89" height="29"> և ունեն միապաղաղության այլ բնույթ։

Պատասխանել.Եթե ​​ուրեմն հավասարումը ունի մեկ արմատ. եթե https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

լուծումներ ունի.

Լուծում.Հասկանալի է, որ անմիջական ընտանիքները https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155" «>

Իմաստը k1մենք կգտնենք՝ փոխարինելով (0;0) զույգը համակարգի առաջին հավասարման մեջ։ Այստեղից կ1 =-1/4. Իմաստը կ 2 ստանում ենք համակարգից պահանջելով

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> երբ կ> 0-ն ունի մեկ արմատ: Այստեղից k2= 1/4.

Պատասխանել. .

Մի դիտողություն անենք. Այս կետի որոշ օրինակներում մենք պետք է լուծենք ստանդարտ խնդիր. գծային ընտանիքի համար գտե՛ք դրա թեքությունը, որը համապատասխանում է կորի հետ շոշափման պահին: Մենք ձեզ ցույց կտանք, թե ինչպես դա անել ընդհանուր տեսարանօգտագործելով ածանցյալը.

Եթե (x0; y 0) = պտտման կենտրոն, այնուհետև կոորդինատները (X 1; ժամը 1) կորի հետ շոշափման կետերը y =f(x)կարելի է գտնել համակարգը լուծելով

Պահանջվող թեքություն կհավասար է .

Օրինակ 6. Պարամետրի ո՞ր արժեքների համար հավասարումն ունի եզակի լուծում:

Լուծում..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, arc AB:

OA-ի և OB-ի միջև անցնող բոլոր ճառագայթները հատում են AB աղեղը մեկ կետում, ինչպես նաև հատում են AB OB և OM (տանգենտը) աղեղը մեկ կետում..gif" width="16" height="48 src=">: Լանջի գործոնըշոշափողը հավասար է. Հեշտությամբ կարելի է գտնել համակարգից

Այսպիսով, ուղղեք ընտանիքներին https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">։

Պատասխանել. .

Օրինակ 7..gif" width="160" height="25 src="> լուծում ունի՞:

Լուծում..gif" width="61" height="24 src="> և նվազում է .. կետը առավելագույն կետն է:

Ֆունկցիան ուղիղ գծերի ընտանիք է, որն անցնում է https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> կետով AB աղեղը: գծերը, որոնք տեղակայվելու են OA և OB ուղիղ գծերի միջև, բավարարում են խնդրի պայմանները..gif" width="17" height="47 src=">:

Պատասխանել..gif" width="15" height="20">լուծումներ չկան:

1.3. Համասեռություն. Սեղմում դեպի ուղիղ գիծ:

Օրինակ 8.Քանի՞ լուծում ունի համակարգը:

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> համակարգը լուծումներ չունի։ ա > 0 առաջին հավասարման գրաֆիկը գագաթներով քառակուսի է ( Ա; 0), (0;-Ա), (-ա;0), (0;Ա).Այսպիսով, ընտանիքի անդամները հոմոթետիկ քառակուսիներ են (հոմոտետության կենտրոնը O(0; 0) կետն է):

Դառնանք Նկ. 8..gif" width="80" height="25"> քառակուսու յուրաքանչյուր կողմն ունի երկու ընդհանուր կետ շրջանագծի հետ, ինչը նշանակում է, որ համակարգը կունենա ութ լուծում: Այսինքն՝ նորից կլինի չորս լուծում. Ակնհայտ է, որ համակարգը լուծումներ չունի:

Պատասխանել.Եթե Ա< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, ապա կա չորս լուծում. եթե , ապա կա ութ լուծում:

Օրինակ 9. Գտեք պարամետրի բոլոր արժեքները, որոնցից յուրաքանչյուրի համար հավասարումը https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src="> է: Դիտարկենք ..jpg" width="195" height="162"> ֆունկցիան

Արմատների թիվը կհամապատասխանի 8 թվին, երբ կիսաշրջանի շառավիղը մեծ և փոքր է, այսինքն. Նշենք, որ կա.

Պատասխանել. կամ .

1.4. Երկու ուղիղ գիծ հարթության վրա

Ըստ էության, այս պարբերության խնդիրների լուծման գաղափարը հիմնված է երկու ուղիղ գծերի հարաբերական դիրքի ուսումնասիրության հարցի վրա. Եվ . Հեշտ է ընդհանուր տեսքով ցույց տալ այս խնդրի լուծումը։ Անմիջապես կանդրադառնանք կոնկրետ բնորոշ օրինակներին, որոնք, մեր կարծիքով, չեն վնասի հարցի ընդհանուր կողմին։

Օրինակ 10.Ինչի համար է a-ն և b-ն անում համակարգը

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

Համակարգի անհավասարությունը սահմանում է սահման ունեցող կիսահավասարությունը ժամը= 2x– 1 (նկ. 10): Հեշտ է հասկանալ, որ ստացված համակարգը լուծում ունի, եթե ուղիղ գիծը ախ += 5-ովհատում է կիսահարթության սահմանը կամ, լինելով դրան զուգահեռ, գտնվում է կիսահարթության մեջ. ժամը– 2x + 1 < 0.

Սկսենք գործից բ = 0. Այդ դեպքում կթվա, որ հավասարումը Օ՜+ կողմից = 5-ը սահմանում է ուղղահայաց գիծ, ​​որն ակնհայտորեն հատում է գիծը y = 2X - 1. Այնուամենայնիվ, այս պնդումը ճիշտ է միայն այն դեպքում, երբ ..gif" width="43" height="20 src="> համակարգն ունի լուծումներ ..gif" width="99" height="48">: Այս դեպքում գծերի հատման պայմանը ձեռք է բերվում , այսինքն՝ ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> և , կամ և , կամ և https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">:

− Բ կոորդինատային հարթություն xOa մենք գծագրում ենք ֆունկցիան:

− Դիտարկենք ուղիղները և ընտրե՛ք Oa առանցքի այն միջակայքերը, որոնց դեպքում այս ուղիղները բավարարում են հետևյալ պայմանները. ա) չի հատում ֆունկցիայի գրաֆիկը https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height = "24"> մի կետում, գ) երկու կետում, դ) երեք կետում և այլն:

− Եթե խնդիր է դրված գտնել x-ի արժեքները, ապա մենք x-ն արտահայտում ենք a-ով առանձին a-ի արժեքի հայտնաբերված միջակայքներից յուրաքանչյուրի համար։

Պարամետրի դիտումը որպես հավասար փոփոխական արտացոլվում է գրաֆիկական մեթոդներում..jpg" width="242" height="182">

Պատասխանել. a = 0 կամ a = 1:

ԵԶՐԱԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆ

Հուսով ենք, որ վերլուծված խնդիրները համոզիչ կերպով ցույց են տալիս առաջարկվող մեթոդների արդյունավետությունը: Սակայն, ցավոք, այս մեթոդների կիրառման շրջանակը սահմանափակված է այն դժվարություններով, որոնք կարող են հանդիպել գրաֆիկական պատկեր կառուցելիս: Իսկապե՞ս այդքան վատ է: Ըստ երեւույթին ոչ։ Իրոք, այս մոտեցմամբ մեծապես կորչում է պարամետրերի հետ կապված խնդիրների հիմնական դիդակտիկ արժեքը՝ որպես մանրանկարչական հետազոտության մոդել: Սակայն վերը նշված նկատառումները ուղղված են ուսուցիչներին, իսկ դիմորդների համար միանգամայն ընդունելի է բանաձեւը՝ նպատակն արդարացնում է միջոցները։ Ավելին, թույլ տանք ասելու, որ զգալի թվով բուհերում պարամետրերով մրցակցային խնդիրներ կազմողները նկարից մինչև պայման են գնում։

Այս խնդիրներում մենք քննարկեցինք այն պարամետրով խնդիրներ լուծելու հնարավորությունները, որոնք բացվում են մեզ համար, երբ թղթի վրա գծում ենք հավասարումների կամ անհավասարությունների ձախ և աջ կողմերում ներառված ֆունկցիաների գրաֆիկները: Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ պարամետրը կարող է ընդունել կամայական արժեքներ, ցուցադրված գրաֆիկներից մեկը կամ երկուսը որոշակի կերպով շարժվում են հարթության վրա: Կարելի է ասել, որ գրաֆիկների մի ամբողջ ընտանիք է ստացվում, որը համապատասխանում է պարամետրի տարբեր արժեքներին:

Խստորեն ընդգծենք երկու մանրամասներ.

Նախ, մենք չենք խոսում «գրաֆիկական» լուծման մասին։ Բոլոր արժեքները, կոորդինատները, արմատները հաշվարկվում են խիստ, վերլուծական կերպով, որպես համապատասխան հավասարումների և համակարգերի լուծումներ: Նույնը վերաբերում է գրաֆիկներին շոշափելու կամ հատելու դեպքերին։ Դրանք որոշվում են ոչ թե աչքով, այլ տարբերակիչների, ածանցյալների և ձեզ հասանելի այլ գործիքների օգնությամբ: Նկարը միայն լուծում է տալիս։

Երկրորդ, եթե նույնիսկ չգտնեք ցույց տրված գրաֆիկների հետ կապված խնդիրը լուծելու որևէ միջոց, խնդրի ձեր պատկերացումները զգալիորեն կընդլայնվեն, դուք կստանաք տեղեկատվություն ինքնաստուգման համար, և հաջողության շանսերը զգալիորեն կմեծանան: Ճշգրիտ պատկերացնելով, թե ինչ է տեղի ունենում խնդրի մեջ, երբ տարբեր իմաստներպարամետր, դուք կարող եք գտնել ճիշտ լուծման ալգորիթմը:

Ուստի այս խոսքերը կամփոփենք հրատապ նախադասությամբ՝ եթե նվազագույն չափով դժվար գործԿան գործառույթներ, որոնց համար դուք գիտեք, թե ինչպես նկարել գրաֆիկներ, անպայման արեք դա, չեք զղջա:

ՄԱՏԵՆԱԳՐԱԿԱՆ ՑԱՆԿ

1. Չերկասով, ձեռնարկ ավագ դպրոցի աշակերտների և բուհ դիմորդների համար [Տեքստ] /, . – Մ.: ՀՍՏ-ՄԱՄՈՒԼ, 2001. – 576 էջ.

2. Գորշտեյն, պարամետրերով [Տեքստ]՝ 3-րդ հրատարակություն, ընդլայնված և վերանայված / , . – M.: Ilexa, Kharkov: Gymnasium, 1999. – 336 p.

Թող f(x,y)Եվ g (x, y)- երկու արտահայտություն փոփոխականներով XԵվ ժամըև շրջանակը X. Այնուհետև ձևի անհավասարություններ f (x, y) > g (x, y)կամ f (x, y) < g (x, y)կանչեց անհավասարություն երկու փոփոխականներով .

Փոփոխականների նշանակությունը x, yշատերից X, որի դեպքում անհավասարությունը վերածվում է իսկական թվային անհավասարության, կոչվում է որոշումը և նշանակված է (x, y). Լուծել անհավասարությունը - սա նշանակում է գտնել բազմաթիվ նման զույգեր:

Եթե ​​յուրաքանչյուր զույգ թվեր (x, y)լուծումների բազմությունից մինչև անհավասարություն, համապատասխանի՛ր կետը M(x, y), մենք ստանում ենք այս անհավասարությամբ նշված հարթության կետերի բազմությունը։ Նրան կանչում են այս անհավասարության գրաֆիկը . Անհավասարության գրաֆիկը սովորաբար հարթության մակերեսն է:

Պատկերել անհավասարության լուծումների բազմությունը f (x, y) > g (x, y), շարունակեք հետևյալ կերպ. Նախ, անհավասարության նշանը փոխարինեք հավասար նշանով և գտեք մի ուղիղ, որն ունի հավասարումը f(x,y) = g(x,y). Այս գիծը ինքնաթիռը բաժանում է մի քանի մասի։ Դրանից հետո բավական է յուրաքանչյուր մասից վերցնել մեկ միավոր և ստուգել, ​​թե արդյոք այս կետում անհավասարությունը բավարարված է. f (x, y) > g (x, y). Եթե ​​այն կատարվի այս պահին, ապա այն կկատարվի ամբողջ մասում, որտեղ գտնվում է այս կետը: Նման մասերը համադրելով՝ բազմաթիվ լուծումներ ենք ստանում։

Առաջադրանք. y > x.

Լուծում.Նախ, անհավասարության նշանը փոխարինում ենք հավասար նշանով և ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում գծում գիծ, ​​որն ունի հավասարումը. y = x.

Այս գիծը ինքնաթիռը բաժանում է երկու մասի։ Դրանից հետո յուրաքանչյուր մասից վերցրեք մեկական կետ և ստուգեք, թե արդյոք այս կետում անհավասարությունը բավարարված է y > x.

Առաջադրանք.Գրաֆիկորեն լուծեք անհավասարությունը
X 2 + ժամը 2 £25.

Թող տրվի երկու անհավասարություն զ 1(x, y) > է 1(x, y)Եվ զ 2(x, y) > է 2(x, y).

Երկու փոփոխականներով անհավասարությունների բազմությունների համակարգեր

Անհավասարությունների համակարգ ներկայացնում է ինքներդ այս անհավասարությունների միացում: Համակարգային լուծում ամեն մի իմաստն է (x, y), որը անհավասարություններից յուրաքանչյուրը վերածում է իրական թվային անհավասարության։ Շատ լուծումներ համակարգեր անհավասարությունները անհավասարությունների լուծումների բազմությունների հատումն է, որոնք կազմում են տվյալ համակարգ:

Անհավասարությունների շարք ներկայացնում է ինքներդ սրանց անջատումը անհավասարություններ Ամբողջության լուծմամբ ամեն մի իմաստն է (x, y), որը փոխակերպում է անհավասարությունների շարքից առնվազն մեկը իրական թվային անհավասարության։ Շատ լուծումներ ամբողջություն բազմություն կազմող անհավասարությունների լուծումների բազմությունների միություն է։

Առաջադրանք.Գրաֆիկորեն լուծեք անհավասարությունների համակարգը

Լուծում. y = xԵվ X 2 + ժամը 2 = 25. Մենք լուծում ենք համակարգի յուրաքանչյուր անհավասարություն:

Համակարգի գրաֆիկը կլինի հարթության այն կետերի բազմությունը, որոնք հանդիսանում են առաջին և երկրորդ անհավասարությունների լուծումների բազմությունների հատումը (կրկնակի ելքը):

Առաջադրանք.Գրաֆիկորեն լուծեք անհավասարությունների մի շարք

Զորավարժություններ անկախ աշխատանքի համար

1. Գրաֆիկորեն լուծեք անհավասարությունները՝ ա) ժամը> 2x; բ) ժամը< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Լուծե՛ք անհավասարությունների գրաֆիկական համակարգեր.

ա) բ)

10-րդ դասարանի աշակերտ Յուրի Կոտովչիխին

Աշակերտները սկսում են սովորել հավասարումներ մոդուլների հետ արդեն 6-րդ դասարանում, նրանք սովորում են լուծման ստանդարտ մեթոդը՝ օգտագործելով մոդուլների ընդլայնումը ենթամոդուլային արտահայտությունների մշտական ​​նշանի միջակայքում: Ես ընտրեցի այս թեման, քանի որ կարծում եմ, որ այն պահանջում է ավելի խորը և մանրակրկիտ ուսումնասիրություն մոդուլի հետ կապված խնդիրները մեծ դժվարություններ են առաջացնում ուսանողների համար. IN դպրոցական ծրագիրԿան առաջադրանքներ, որոնք պարունակում են մոդուլ, որպես քննությունների բարդության առաջադրանքներ, հետևաբար, մենք պետք է պատրաստ լինենք նման առաջադրանքի հանդիպելուն:

Ներբեռնել:

Նախադիտում:

Քաղաքային ուսումնական հաստատություն

Միջին միջնակարգ դպրոց №5

Հետազոտական ​​աշխատանք թեմայի շուրջ.

« Մոդուլ պարունակող հավասարումների և անհավասարությունների հանրահաշվական և գրաֆիկական լուծում»

Ավարտված աշխատանք.

10-րդ դասարանի աշակերտ

Կոտովչիխին Յուրի

Վերահսկիչ:

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ

Շանտա Ն.Պ.

Ուրյուպինսկ

1. Ներածություն…………………………………………………………………………………………………….

2. Հասկացություններ և սահմանումներ…………………………………………….5

3. Թեորեմների ապացույց……………………………………………..6

4. Մոդուլ պարունակող հավասարումների լուծման մեթոդներ……………7

4.1 Լուծում, օգտագործելով կախվածությունը a և b թվերի, դրանց մոդուլների և քառակուսիների միջև………………………………………………………………………

4.2. Մոդուլի երկրաչափական մեկնաբանության օգտագործումը հավասարումներ լուծելու համար…………………………………………………………………………………………………………………………………………..14

4.3.Բացարձակ արժեքի նշան պարունակող ամենապարզ ֆունկցիաների գրաֆիկները:

………………………………………………………………………15

4.4.Մոդուլ պարունակող ոչ ստանդարտ հավասարումների լուծում....16

5. Եզրակացություն………………………………………………………….17

6. Օգտագործված գրականության ցանկ………………………………18

Աշխատանքի նպատակը. Սովորողները սկսում են սովորել մոդուլներով հավասարումներ 6-րդ դասարանից, նրանք սովորում են լուծման ստանդարտ մեթոդը՝ օգտագործելով մոդուլների ընդլայնումը ենթամոդուլային արտահայտությունների հաստատուն նշանի ընդմիջումներով: Ես ընտրեցի այս թեման, քանի որ կարծում եմ, որ այն պահանջում է ավելի խորը և մանրակրկիտ ուսումնասիրություն մոդուլի հետ կապված խնդիրները մեծ դժվարություններ են առաջացնում ուսանողների համար. Դպրոցական ծրագրում կան մոդուլ պարունակող առաջադրանքներ՝ որպես մեծացած բարդության առաջադրանքներ և քննություններ, հետևաբար, մենք պետք է պատրաստ լինենք նման առաջադրանքի հանդիպելու:

1. Ներածություն.

«Մոդուլ» բառը առաջացել է լատիներեն «modulus» բառից, որը նշանակում է «չափել»։ Սա բազմիմաստ բառ է (համանուն), որն ունի բազմաթիվ իմաստներ և օգտագործվում է ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև ճարտարապետության, ֆիզիկայի, տեխնիկայի, ծրագրավորման և այլ ճշգրիտ գիտությունների մեջ։

Ճարտարապետության մեջ սա տվյալի համար սահմանված չափման սկզբնական միավորն է ճարտարապետական ​​կառուցվածքև ծառայում է արտահայտելու իր բաղկացուցիչ տարրերի բազմաթիվ հարաբերակցությունները:

Տեխնոլոգիայում սա տեխնոլոգիայի տարբեր ոլորտներում օգտագործվող տերմին է, որը չունի համընդհանուր նշանակություն և ծառայում է տարբեր գործակիցների և քանակների նշանակմանը, օրինակ՝ ներգրավման մոդուլ, առաձգական մոդուլ և այլն։

Զանգվածային մոդուլը (ֆիզիկայում) նյութի նորմալ լարվածության հարաբերակցությունն է հարաբերական երկարացմանը:

2. Հասկացություններ և սահմանումներ

A իրական թվի մոդուլը` բացարձակ արժեք, նշվում է |A|-ով:

Այս թեման խորապես ուսումնասիրելու համար անհրաժեշտ է ծանոթանալ ամենապարզ սահմանումներին, որոնք ինձ պետք կգան.

Հավասարումը փոփոխականներ պարունակող հավասարություն է:

Մոդուլով հավասարումը հավասարում է, որը պարունակում է փոփոխական բացարձակ արժեքի նշանի տակ (մոդուլի նշանի տակ):

Հավասարում լուծել նշանակում է գտնել դրա բոլոր արմատները, կամ ապացուցել, որ արմատներ չկան:

3.Թեորեմների ապացույց

Թեորեմ 1. Բացարձակ արժեքիրական թիվը հավասար է a կամ -a երկու թվերից ավելի մեծին:

Ապացույց

1. Եթե a թիվը դրական է, ապա -a-ն բացասական է, այսինքն՝ -a

Օրինակ, 5 թիվը դրական է, ապա -5-ը բացասական է և -5

Այս դեպքում |ա| = ա, այսինքն |ա| համապատասխանում է երկու a և - a թվերից ավելի մեծին:

2. Եթե a-ն բացասական է, ապա -a-ն դրական է, իսկ a-ն

Հետևանք. Թեորեմից հետևում է, որ |-ա| = |ա|.

Իրականում երկուսն էլ և հավասար են -a և a թվերից ավելի մեծին, ինչը նշանակում է, որ դրանք հավասար են միմյանց:

Թեորեմ 2. Ցանկացած իրական թվի բացարձակ արժեքը հավասար է թվաբանությանը քառակուսի արմատԱ.-ից 2 .

Փաստորեն, եթե այդ դեպքում, ըստ թվի մոդուլի սահմանման, կունենանք lԱl>0 Մյուս կողմից, A>0-ի համար նշանակում է |a| = √A 2

Եթե ​​ա 2

Այս թեորեմը հնարավորություն է տալիս փոխարինել |a|-ն որոշ խնդիրներ լուծելիս: վրա

Երկրաչափական |ա| նշանակում է կոորդինատային գծի հեռավորությունը a թիվը ներկայացնող կետից մինչև սկզբնակետը:

Եթե ​​կոորդինատային գծի վրա կա երկու կետ՝ a և -a, զրոյից հավասար հեռավորության վրա, որոնց մոդուլները հավասար են։

Եթե ​​a = 0, ապա կոորդինատային գծում |a| ներկայացված է 0 կետով

4. Մոդուլ պարունակող հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Բացարձակ արժեքի նշան պարունակող հավասարումներ լուծելու համար կհիմնվենք թվի մոդուլի սահմանման և թվի բացարձակ արժեքի հատկությունների վրա։ Մենք կլուծենք մի քանի օրինակ տարբեր ձևերովև տեսնենք, թե որ մեթոդն է ավելի հեշտ մոդուլ պարունակող հավասարումների լուծման համար։

Օրինակ 1. Վերլուծական և գրաֆիկորեն լուծենք |x + 2| հավասարումը = 1.

Լուծում

Վերլուծական լուծում

1-ին մեթոդ

Մենք հիմնավորում ենք մոդուլի սահմանման հիման վրա: Եթե ​​մոդուլի տակ արտահայտությունը ոչ բացասական է, այսինքն՝ x + 2 ≥0, ապա այն «դուրս կգա» մոդուլի նշանի տակից գումարած նշանով և հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը՝ x + 2 = 1: Եթե Մոդուլի նշանի տակ արտահայտության արժեքը բացասական է, ապա, ըստ սահմանման, այն հավասար կլինի կամ x + 2=-1.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք կամ x + 2 = 1 կամ x + 2 = -1: Լուծելով ստացված հավասարումները՝ գտնում ենք՝ X+2=1 կամ X+2+-1

X=-1 X=3

Պատասխան՝ -3;-1.

Այժմ կարող ենք եզրակացնել. եթե որոշ արտահայտության մոդուլը հավասար է a դրական իրական թվին, ապա մոդուլի տակ արտահայտությունը կա՛մ a է, կա՛մ -a:

Գրաֆիկական լուծում

Մոդուլ պարունակող հավասարումների լուծման ուղիներից մեկը գրաֆիկական մեթոդն է։ Այս մեթոդի էությունը կայանում է նրանում, որ կառուցել այդ գործառույթների գրաֆիկները: Եթե ​​գրաֆիկները հատվում են, ապա այս գրաֆիկների հատման կետերը կլինեն մեր հավասարման արմատները: Եթե ​​գրաֆիկները չեն հատվում, ապա կարող ենք եզրակացնել, որ հավասարումը արմատներ չունի: Այս մեթոդը, հավանաբար, ավելի քիչ է օգտագործվում, քան մյուսները՝ մոդուլ պարունակող հավասարումներ լուծելու համար, քանի որ, նախ, դա շատ ժամանակ է պահանջում և միշտ չէ, որ ռացիոնալ է, և երկրորդ՝ գրաֆիկները գծագրելիս ստացված արդյունքները միշտ չէ, որ ճշգրիտ են:

Մոդուլ պարունակող հավասարումների լուծման մեկ այլ եղանակ է թվային գիծը բաժանել միջակայքերի: Այս դեպքում մենք պետք է բաժանենք թվային գիծը, որպեսզի, ըստ մոդուլի սահմանման, այդ միջակայքերի բացարձակ արժեքի նշանը հանվի: Այնուհետև յուրաքանչյուր ինտերվալների համար մենք պետք է լուծենք այս հավասարումը և եզրակացություն անենք ստացված արմատների վերաբերյալ (արդյոք դրանք բավարարում են մեր միջակայքին, թե ոչ): Արմատները, որոնք բավարարում են բացերը, կտան վերջնական պատասխանը։

2-րդ մեթոդ

Եկեք պարզենք, թե x-ի ինչ արժեքներով է մոդուլը հավասար զրոյի՝ |X+2|=0, X=2

Մենք ստանում ենք երկու միջակայք, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա լուծում ենք հավասարումը.

Մենք ստանում ենք երկու խառը համակարգեր.

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

Եկեք լուծենք յուրաքանչյուր համակարգ.

X=-3 X=-1

Պատասխան՝ -3;-1.

Գրաֆիկական լուծում

y= |X+2|, y= 1:

Գրաֆիկական լուծում

Հավասարումը գրաֆիկորեն լուծելու համար անհրաժեշտ է կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկներ և

Ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար եկեք կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկ. սա մի ֆունկցիա է, որը հատում է OX առանցքը և OY առանցքը կետերում:

Ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերի աբսցիսները կտան հավասարման լուծումներ։

y=1 ֆունկցիայի ուղիղ գրաֆիկը հատվում է y=|x + 2 ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ։ (-3; 1) և (-1; 1) կոորդինատներով կետերում, հետևաբար հավասարման լուծումները կլինեն կետերի աբսցիսները.

x=-3, x=-1

Պատասխան՝ -3;-1

Օրինակ 2. Լուծե՛ք վերլուծական և գրաֆիկորեն 1 + |x| հավասարումը = 0,5.

Լուծում:

Վերլուծական լուծում

Փոխակերպենք հավասարումը` 1 + |x| = 0,5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Պարզ է, որ այս դեպքում հավասարումը լուծումներ չունի, քանի որ, ըստ սահմանման, մոդուլը միշտ ոչ բացասական է։

Պատասխան՝ լուծումներ չկան։

Գրաֆիկական լուծում

Փոխակերպենք հավասարումը` 1 + |x| = 0,5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

Ֆունկցիայի գրաֆիկը ճառագայթներ է՝ 1-ին և 2-րդ կոորդինատային անկյունների կիսորդներ։ Ֆունկցիայի գրաֆիկը OX առանցքին զուգահեռ և OY առանցքի -0,5 կետով ուղիղ գիծ է։

Գրաֆիկները չեն հատվում, ինչը նշանակում է, որ հավասարումը լուծումներ չունի:

Պատասխան՝ լուծումներ չկան։

Օրինակ 3. Լուծե՛ք վերլուծական և գրաֆիկական |-x + 2| հավասարումը = 2x + 1.

Լուծում:

Վերլուծական լուծում

1-ին մեթոդ

Նախ անհրաժեշտ է փոփոխականի համար ընդունելի արժեքների միջակայք սահմանել: Բնական հարց է առաջանում՝ ինչո՞ւ նախորդ օրինակներում սրա կարիքը չկար, իսկ հիմա առաջացել է։

Փաստն այն է, որ այս օրինակում հավասարման ձախ կողմում ինչ-որ արտահայտության մոդուլն է, իսկ աջ կողմում ոչ թե թիվ է, այլ փոփոխականով արտահայտություն. հենց այս կարևոր հանգամանքն է տարբերակում. այս օրինակընախորդներից։

Քանի որ ձախ կողմում կա մոդուլ, իսկ աջ կողմում՝ փոփոխական պարունակող արտահայտություն, անհրաժեշտ է պահանջել, որ այս արտահայտությունը լինի ոչ բացասական, այսինքն՝ վավերականի միջակայքը։

մոդուլի արժեքները

Այժմ մենք կարող ենք պատճառաբանել այնպես, ինչպես օրինակ 1-ում, երբ մենք գտանք հավասարության աջ կողմում դրական թիվ. Մենք ստանում ենք երկու խառը համակարգեր.

(1) -X+2≥0 և (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

Եկեք լուծենք յուրաքանչյուր համակարգ.

(1) ներառված է միջակայքում և հավասարման արմատն է։

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3-ը ներառված չէ միջակայքում և հավասարման արմատ չէ:

Պատասխան՝ ⅓:

4.1 Լուծում, օգտագործելով կախվածությունը a և b թվերի, դրանց մոդուլների և այդ թվերի քառակուսիների միջև:

Ի հավելումն վերևում բերված մեթոդների, կա որոշակի համարժեքություն տրված թվերի թվերի և մոդուլների, ինչպես նաև տրված թվերի քառակուսիների և մոդուլների միջև.

|ա|=|բ| a=b կամ a=-b

A2=b2 a=b կամ a=-b

Այստեղից մենք իր հերթին դա ստանում ենք

|ա|=|բ| a 2 =b 2

Օրինակ 4. Լուծե՛ք |x + 1|=|2x - 5| հավասարումը երկու տարբեր ձևերով.

1. Հաշվի առնելով (1) առնչությունը՝ ստանում ենք.

X + 1=2x - 5 կամ x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

Առաջին հավասարման արմատ x=6, երկրորդ հավասարման արմատ x=11/3

Այսպիսով, սկզբնական x հավասարման արմատները 1 =6, x 2 =11/3

2. (2) հարաբերության ուժով մենք ստանում ենք

(x + 1)2=(2x - 5)2, կամ x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>հավասարումն ունի 2 տարբեր արմատ:

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

Ինչպես ցույց է տալիս լուծումը, այս հավասարման արմատները նույնպես 11/3 և 6 թվերն են

Պատասխան՝ x 1 =6, x 2 =11/3

Օրինակ 5. Լուծե՛ք հավասարումը (2x + 3) 2 =(x - 1) 2.

Հաշվի առնելով (2) հարաբերությունը՝ ստանում ենք, որ |2x + 3|=|x - 1|, որից, ըստ նախորդ օրինակի օրինակի (և ըստ (1) հարաբերության).

2x + 3 = x - 1 կամ 2x + 3 = - x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0, (6)

Այսպիսով, հավասարման արմատներն են x1 = -4, և x2 = -0, (6)

Պատասխան՝ x1=-4, x2 =0,(6)

Օրինակ 6. Լուծե՛ք |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

Օգտագործելով հարաբերությունները, մենք ստանում ենք.

x - 6 = x2 - 5x + 9 կամ x - 6 = - (x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 ռ.կ.

==> արմատներ չկան:

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

Ստուգեք՝ |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3 (I)

Պատասխան՝ x 1 =1; x 2 =3

4.2.Մոդուլի երկրաչափական մեկնաբանության օգտագործումը հավասարումների լուծման համար:

Մեծությունների տարբերության մոդուլի երկրաչափական նշանակությունը նրանց միջև եղած հեռավորությունն է։ Օրինակ՝ |x - a | արտահայտության երկրաչափական նշանակությունը - հատվածի երկարությունը կոորդինատային առանցք, կետերը միացնելով a և x աբսցիսներով։ Հանրահաշվական խնդիրը երկրաչափական լեզվով թարգմանելը հաճախ թույլ է տալիս խուսափել բարդ լուծումներից:

Օրինակ 7. Լուծենք |x - 1| + |x - 2|=1 օգտագործելով մոդուլի երկրաչափական մեկնաբանությունը:

Մենք կպատճառաբանենք հետևյալ կերպ՝ հիմնվելով մոդուլի երկրաչափական մեկնաբանության վրա. ձախ կողմըՀավասարումը որոշակի աբսցիսային կետից x-ից մինչև 1-ին և 2-րդ աբսցիսներով երկու ֆիքսված կետերի հեռավորությունների գումարն է: Այնուհետև ակնհայտ է, որ հատվածից աբսցիսներով բոլոր կետերն ունեն անհրաժեշտ հատկություն, իսկ այս հատվածից դուրս գտնվող կետերը՝ չունեն: Այստեղից էլ պատասխանը՝ հավասարման լուծումների բազմությունը հատվածն է։

Պատասխան.

Օրինակ 8. Լուծենք |x - 1| - |x - 2|=1 1 օգտագործելով մոդուլի երկրաչափական մեկնաբանությունը:

Մենք տրամաբանելու ենք նախորդ օրինակի նման և կգտնենք, որ 1 և 2 աբսցիսներով կետերի միջև հեռավորությունների տարբերությունը հավասար է մեկին միայն 2 թվից աջ կոորդինատային առանցքի վրա գտնվող կետերի համար: Հետևաբար, լուծումը. Այս հավասարումը չի լինի 1-ին և 2-րդ կետերի միջև պարփակված հատվածը և 2-րդ կետից դուրս եկող ճառագայթը և ուղղված OX առանցքի դրական ուղղությամբ:

Պատասխանեք:)