Դպրոցականներին մաթեմատիկայից շատ առաջադրանքներ են տրվում. Դրանցից շատ հաճախ խնդիրներ են առաջանում հետևյալ ձևակերպման հետ՝ երկու իմաստ կա. Ինչպե՞ս գտնել տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը: Պետք է կարողանալ նման առաջադրանքներ կատարել, քանի որ ձեռք բերված հմտություններն օգտագործվում են կոտորակների հետ աշխատելու համար, երբ. տարբեր հայտարարներ. Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես գտնել LOC և հիմնական հասկացությունները:

Նախքան հարցի պատասխանը գտնելը, թե ինչպես գտնել LCM, դուք պետք է սահմանեք բազմակի տերմինը. Ամենից հաճախ այս հայեցակարգի ձևակերպումը հնչում է հետևյալ կերպ. որոշակի արժեքի բազմապատիկը բնական թիվ է, որը բաժանվում է A-ի վրա՝ առանց մնացորդի։ և այլն, մինչև պահանջվող սահմանը:

Ավելին, որոշակի արժեքի համար բաժանարարների թիվը կարող է սահմանափակվել, բայց բազմապատիկները անսահման շատ են։ Նույն արժեքը կա նաև բնական արժեքների համար։ Սա ցուցիչ է, որը բաժանվում է դրանց առանց մնացորդի։ Հասկանալով որոշակի ցուցանիշների համար ամենափոքր արժեքի հայեցակարգը, եկեք անցնենք, թե ինչպես գտնել այն:

Գտնելով ՀԱՕԿ-ը

Երկու կամ ավելի ցուցիչների ամենափոքր բազմապատիկն այն ամենափոքր բնական թիվն է, որն ամբողջությամբ բաժանվում է բոլոր նշված թվերի վրա:

Նման արժեք գտնելու մի քանի եղանակ կա, հաշվի առեք հետևյալ մեթոդները.

1. Եթե ​​թվերը փոքր են, ապա տողի վրա գրի՛ր բոլոր նրանց վրա բաժանվողները։ Շարունակեք դա անել այնքան ժամանակ, մինչև նրանց միջև ընդհանուր բան գտնեք: Գրավոր դրանք նշանակվում են Կ տառով, օրինակ՝ 4-ի և 3-ի համար ամենափոքր բազմապատիկը 12-ն է։
2. Եթե ​​դրանք մեծ են կամ դուք պետք է գտնեք 3 կամ ավելի արժեքների բազմապատիկ, ապա դուք պետք է օգտագործեք մեկ այլ տեխնիկա, որը ներառում է թվերի տարրալուծումը. հիմնական գործոնները. Նախ դրեք ցուցակված ամենամեծը, ապա բոլոր մյուսները: Նրանցից յուրաքանչյուրն ունի բազմապատկիչների իր թիվը: Որպես օրինակ՝ քայքայենք 20 (2*2*5) և 50 (5*5*2): Փոքրի համար ընդգծեք գործոնները և ավելացրեք դրանք ամենամեծին: Արդյունքը կլինի 100, որը կլինի վերը նշված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։
3. 3 թվեր (16, 24 և 36) գտնելիս սկզբունքները նույնն են, ինչ մյուս երկուսի համար։ Ընդլայնենք դրանցից յուրաքանչյուրը՝ 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3։ 16 թվի ընդլայնումից միայն երկու երկուսը չեն ներառվել ամենամեծի ընդլայնման մեջ և ստանում ենք 144, որը ամենափոքր արդյունքն է նախկինում նշված թվային արժեքների համար:

Այժմ մենք գիտենք, թե որն է ընդհանուր տեխնիկան երկու, երեք կամ ավելի արժեքների համար ամենափոքր արժեքը գտնելու համար: Այնուամենայնիվ, կան նաև մասնավոր մեթոդներ, օգնելով որոնել ԱՕԿ, եթե նախորդները չեն օգնում։

Ինչպես գտնել GCD-ն և NOC-ը:

Գտնելու մասնավոր մեթոդներ

Ինչպես ցանկացած մաթեմատիկական բաժնում, կան LCM-ի հայտնաբերման հատուկ դեպքեր, որոնք օգնում են կոնկրետ իրավիճակներում.

• եթե թվերից մեկը բաժանվում է մյուսների վրա առանց մնացորդի, ապա այդ թվերի ամենացածր բազմապատիկը հավասար է դրան (60-ի և 15-ի LCM-ն 15 է).
• փոխադարձաբար պարզ թվերչունեն ընդհանուր հիմնական գործոններ: Նրանց ամենափոքր արժեքը հավասար է այս թվերի արտադրյալին։ Այսպիսով, 7 և 8 թվերի համար այն կլինի 56;
• Նույն կանոնը գործում է այլ, այդ թվում՝ հատուկ դեպքերի դեպքում, որոնց մասին կարելի է կարդալ մասնագիտացված գրականության մեջ։ Սա պետք է ներառի նաև կոմպոզիտային թվերի տարրալուծման դեպքերը, որոնք առանձին հոդվածների և նույնիսկ թեկնածուական ատենախոսությունների թեմա են։

Հատուկ դեպքեր ավելի քիչ են տարածված, քան ստանդարտ օրինակներ. Բայց նրանց շնորհիվ դուք կարող եք սովորել աշխատել տարբեր աստիճանի բարդության ֆրակցիաների հետ: Սա հատկապես ճիշտ է կոտորակների համար, որտեղ կան անհավասար հայտարարներ։

Որոշ օրինակներ

Դիտարկենք մի քանի օրինակ, որոնք կօգնեն ձեզ հասկանալ նվազագույն բազմապատիկը գտնելու սկզբունքը.

1. Գտեք LOC-ը (35; 40): Սկզբում քայքայվում ենք 35 = 5*7, ապա 40 = 5*8: Ամենափոքր թվին ավելացրեք 8 և ստացեք LOC 280:
2. ՀԱՕԿ (45; 54). Մենք տարրալուծում ենք դրանցից յուրաքանչյուրը՝ 45 = 3*3*5 և 54 = 3*3*6։ Մենք 6 թիվը գումարում ենք 45-ին: Ստանում ենք LCM, որը հավասար է 270-ի:
3. Դե, վերջին օրինակը. Կան 5 և 4: Դրանցից պարզ բազմապատիկ չկա, ուստի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը այս դեպքում կլինի նրանց արտադրյալը՝ հավասար 20-ի:

Օրինակների շնորհիվ դուք կարող եք հասկանալ, թե ինչպես է գտնվում ՀԱՕԿ-ը, ինչ նրբերանգներ կան և որն է նման մանիպուլյացիաների իմաստը։

NOC գտնելը շատ ավելի հեշտ է, քան ի սկզբանե կարող էր թվալ: Դա անելու համար օգտագործվում են ինչպես պարզ ընդլայնում, այնպես էլ բազմապատկում պարզ արժեքներիրար վրա. Մաթեմատիկայի այս բաժնի հետ աշխատելու ունակությունը օգնում է մաթեմատիկական թեմաների, հատկապես տարբեր աստիճանի բարդության ֆրակցիաների հետագա ուսումնասիրությանը:

Մի մոռացեք պարբերաբար օրինակներ լուծել տարբեր մեթոդներ, սա զարգացնում է տրամաբանական ապարատը և թույլ է տալիս հիշել բազմաթիվ տերմիններ: Իմացեք, թե ինչպես գտնել նման ցուցանիշ, և դուք կկարողանաք լավ աշխատել մաթեմատիկական մնացած բաժիններում: Հաճելի մաթեմատիկա սովորելը:

Տեսանյութ

Այս տեսանյութը կօգնի ձեզ հասկանալ և հիշել, թե ինչպես գտնել ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Երկրորդ համարը. b=

Հազար բաժանարարԱռանց տիեզերական բաժանարարի «'

Արդյունք:

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար GCD ( ա,բ)=6

LCM-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ( ա,բ)=468

Ամենամեծ բնական թիվը, որը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել a և b թվերով, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը(GCD) այս թվերի. Նշվում է gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) կամ hcf(a,b):

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկըԵրկու a և b թվերի LCM-ն ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է a-ի և b-ի առանց մնացորդի։ Նշվում է LCM(a,b) կամ lcm(a,b):

A և b ամբողջ թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային, եթե +1-ից և −1-ից բացի այլ ընդհանուր բաժանարարներ չունեն։

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

Թող երկուսը տրվի դրական թվեր ա 1 և ա 2 1). Պահանջվում է գտնել այս թվերի ընդհանուր բաժանարարը, այսինքն. գտնել այդպիսի թիվ λ , որը բաժանում է թվերը ա 1 և ա 2 միաժամանակ. Եկեք նկարագրենք ալգորիթմը.

1) Այս հոդվածում թիվ բառը կհասկանա որպես ամբողջ թիվ:

Թող ա 1 ≥ ա 2 և թող

Որտեղ մ 1 , ա 3-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ա 3 <ա 2 (բաժանման մնացորդը ա 1 հատ ա 2-ը պետք է պակաս լինի ա 2).

Ենթադրենք, որ λ բաժանում է ա 1 և ա 2 ապա λ բաժանում է մ 1 ա 2 և λ բաժանում է ա 1 −մ 1 ա 2 =ա 3 («Թվերի բաժանելիություն. բաժանելիության թեստ» հոդվածի 2-րդ դրույթ): Դրանից բխում է, որ յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար ա 1 և ա 2-ը ընդհանուր բաժանարարն է ա 2 և ա 3. Հակառակը նույնպես ճիշտ է, եթե λ ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3 ապա մ 1 ա 2 և ա 1 =մ 1 ա 2 +ա 3-ը նույնպես բաժանվում է λ . Հետևաբար ընդհանուր բաժանարար ա 2 և ա 3-ը նույնպես ընդհանուր բաժանարար է ա 1 և ա 2. Որովհետև ա 3 <ա 2 ≤ա 1, ապա կարելի է ասել, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու խնդրի լուծումը ա 1 և ա 2-ը կրճատվել է թվերի ընդհանուր բաժանարարը գտնելու ավելի պարզ խնդրի ա 2 և ա 3 .

Եթե ա 3 ≠0, ապա մենք կարող ենք բաժանել ա 2 մեկ ա 3. Հետո

,

Որտեղ մ 1 և ա 4-ը մի քանի ամբողջ թվեր են, ( ա 4 մնաց բաժանումից ա 2 մեկ ա 3 (ա 4 <ա 3)): Նմանատիպ պատճառաբանությամբ գալիս ենք այն եզրակացության, որ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա 3 և ա 4-ը համընկնում է թվերի ընդհանուր բաժանարարների հետ ա 2 և ա 3, ինչպես նաև ընդհանուր բաժանարարներով ա 1 և ա 2. Որովհետև ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4, ... թվեր են, որոնք անընդհատ նվազում են, և քանի որ դրանց միջև կա վերջավոր թվով ամբողջ թվեր. ա 2 և 0, ապա ինչ-որ քայլի n, բաժանման մնացորդը ա n վրա ա n+1 հավասար կլինի զրոյի ( ա n+2 =0):

.

Յուրաքանչյուր ընդհանուր բաժանարար λ թվեր ա 1 և ա 2-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 2 և ա 3 , ա 3 և ա 4 , .... ա n և ա n+1 . Ճիշտ է նաև հակառակը՝ թվերի ընդհանուր բաժանարարները ա n և ա n+1-ը նույնպես թվերի բաժանարարներ են ա n−1 և ա n, ...., ա 2 և ա 3 , ա 1 և ա 2. Բայց թվերի ընդհանուր բաժանարարը ա n և ա n+1-ը թիվ է ա n+1, քանի որ ա n և ա n+1-ը բաժանվում են ա n+1 (հիշեք, որ ա n+2 =0): Ուստի ա n+1-ը նաև թվերի բաժանարար է ա 1 և ա 2 .

Նշենք, որ համարը ա n+1 թվերի ամենամեծ բաժանարարն է ա n և ա n+1, քանի որ ամենամեծ բաժանարարը ա n+1-ն ինքն է ա n+1 . Եթե ա n+1-ը կարելի է ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի արտադրյալ, ապա այս թվերը նույնպես թվերի ընդհանուր բաժանարարներ են։ ա 1 և ա 2. Համար ա n+1 կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըթվեր ա 1 և ա 2 .

Թվեր ա 1 և ա 2-ը կարող է լինել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական թվեր: Եթե ​​թվերից մեկը հավասար է զրոյի, ապա այդ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը հավասար կլինի մյուս թվի բացարձակ արժեքին։ Զրո թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը որոշված ​​չէ:

Վերոնշյալ ալգորիթմը կոչվում է Էվկլիդեսյան ալգորիթմգտնել երկու ամբողջ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը.

Երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու օրինակ

Գտե՛ք 630 և 434 երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը:

• Քայլ 1. 630 թիվը բաժանեք 434-ի, մնացածը 196 է։
• Քայլ 2. 434 թիվը բաժանեք 196-ի, մնացածը 42 է։
• Քայլ 3. 196 թիվը բաժանեք 42-ի, մնացածը 28 է։
• Քայլ 4. 42 թիվը բաժանեք 28-ի, մնացածը 14 է։
• Քայլ 5. 28 թիվը բաժանեք 14-ի, մնացորդը 0 է։

5-րդ քայլում բաժանման մնացորդը 0 է։ Հետևաբար, 630 և 434 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 14-ն է։ Նկատի ունեցեք, որ 2 և 7 թվերը նույնպես 630 և 434 թվերի բաժանարարներն են։

Համապարփակ թվեր

Սահմանում 1. Թող թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2-ը հավասար է մեկի: Այնուհետև այս թվերը կոչվում են համապարփակ թվեր, չունենալով ընդհանուր բաժանարար։

Թեորեմ 1. Եթե ա 1 և ա 2 համապարփակ թվեր, և λ ինչ-որ թիվ, ապա թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար λa 1 և ա 2-ը նաև թվերի ընդհանուր բաժանարար է λ Եվ ա 2 .

Ապացույց. Դիտարկենք թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը գտնելու Էվկլիդեսյան ալգորիթմը ա 1 և ա 2 (տես վերևում):

.

Թեորեմի պայմաններից հետևում է, որ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը ա 1 և ա 2 և հետևաբար ա n և ա n+1-ը 1 է. Այսինքն ա n+1 =1.

Եկեք այս բոլոր հավասարությունները բազմապատկենք λ , Հետո

.

Թող ընդհանուր բաժանարարը ա 1 λ Եվ ա 2 այո δ . Հետո δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 1 λ , մ 1 ա 2 λ և մեջ ա 1 λ -մ 1 ա 2 λ =ա 3 λ (տե՛ս «Թվերի բաժանելիությունը», հայտարարությունը 2): Հաջորդը δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա 2 λ Եվ մ 2 ա 3 λ , և, հետևաբար, ներառված է որպես գործոն ա 2 λ -մ 2 ա 3 λ =ա 4 λ .

Այսպես պատճառաբանելով՝ մենք համոզված ենք, որ δ ներառված է որպես բազմապատկիչ ա n−1 λ Եվ մ n−1 ա n λ , և հետևաբար ներս ա n−1 λ −մ n−1 ա n λ =ա n+1 λ . Որովհետև ա n+1 =1, ապա δ ներառված է որպես բազմապատկիչ λ . Հետևաբար թիվը δ թվերի ընդհանուր բաժանարարն է λ Եվ ա 2 .

Դիտարկենք թեորեմ 1-ի հատուկ դեպքերը:

Հետևանք 1. Թող աԵվ գՊարզ թվերը համեմատաբար են բ. Հետո նրանց արտադրանքը ակ-ի նկատմամբ պարզ թիվ է բ.

Իսկապես։ Թեորեմ 1-ից ակԵվ բունեն նույն ընդհանուր բաժանարարները, ինչ գԵվ բ. Բայց թվերը գԵվ բհամեմատաբար պարզ, այսինքն. ունեն մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետո ակԵվ բունեն նաև մեկ ընդհանուր բաժանարար 1. Հետևաբար ակԵվ բփոխադարձաբար պարզ.

Հետևանք 2. Թող աԵվ բհամապարփակ թվեր և թող բբաժանում է ակ. Հետո բբաժանում է և կ.

Իսկապես։ Հաստատման պայմանից ակԵվ բունեն ընդհանուր բաժանարար բ. Թեորեմ 1-ի ուժով. բպետք է լինի ընդհանուր բաժանարար բԵվ կ. Ուստի բբաժանում է կ.

Եզրակացություն 1-ը կարելի է ընդհանրացնել.

Հետևանք 3. 1. Թող թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 , ..., ա m-ը թվի համեմատ պարզ է բ. Հետո ա 1 ա 2 , ա 1 ա 2 · ա 3 , ..., ա 1 ա 2 ա 3 ··· ա m, այս թվերի արտադրյալը թվի նկատմամբ պարզ է բ.

2. Եկեք ունենանք թվերի երկու շարք

այնպես, որ առաջին շարքի յուրաքանչյուր թիվ պարզ է երկրորդ շարքի յուրաքանչյուր թվի հարաբերությամբ: Այնուհետև ապրանքը

Պետք է գտնել թվեր, որոնք բաժանվում են այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա:

Եթե ​​թիվը բաժանվում է ա 1, ապա այն ունի ձևը սա 1 որտեղ սինչ-որ թիվ. Եթե քթվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է ա 1 և ա 2, ապա

Որտեղ ս 1-ը որոշ ամբողջ թիվ է: Հետո

է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկները ա 1 և ա 2 .

ա 1 և ա 2-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 և ա 2:

Մենք պետք է գտնենք այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Վերոնշյալից հետևում է, որ թվերի ցանկացած բազմապատիկ ա 1 , ա 2 , ա 3-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε Եվ ա 3 և ետ: Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε Եվ ա 3 այո ε 1. Հաջորդը, թվերի բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 , ա 4-ը պետք է թվերի բազմապատիկ լինի ε 1 և ա 4. Թող թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ε 1 և ա 4 այո ε 2. Այսպիսով, մենք պարզեցինք, որ թվերի բոլոր բազմապատիկները ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համընկնում է որոշակի թվի բազմապատիկներին ε n, որը կոչվում է տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Այն հատուկ դեպքում, երբ թվերը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը համեմատաբար պարզ է, ապա թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2-ը, ինչպես ցույց է տրված վերևում, ունի (3) ձևը: Հաջորդը, քանի որ ա 3 պարզ թվերի նկատմամբ ա 1 , ա 2 ապա ա 3 պարզ թիվ ա 1 · ա 2 (Հետևանք 1): Նշանակում է թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 ,ա 2 ,ա 3-ը թիվ է ա 1 · ա 2 · ա 3. Նմանապես պատճառաբանելով՝ հանգում ենք հետևյալ պնդումներին.

Հայտարարություն 1. Համապարփակ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը հավասար է նրանց արտադրյալին ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.

Հայտարարություն 2. Ցանկացած թիվ, որը բաժանվում է համապարփակ թվերից յուրաքանչյուրի վրա ա 1 , ա 2 , ա 3 ,...,ա m-ը նույնպես բաժանվում է նրանց արտադրյալի վրա ա 1 · ա 2 · ա 3 ··· ամ.

Ինչպես գտնել LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ)

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բոլոր ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, որը բաժանվում է երկու տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդ թողնելու։

Մեթոդ 1. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն, իր հերթին, տրված թվերից յուրաքանչյուրի համար՝ աճման կարգով գրելով բոլոր այն թվերը, որոնք ստացվում են դրանք 1-ով, 2-ով, 3-ով, 4-ով և այլն բազմապատկելով:

Օրինակ 6 և 9 համարների համար։
Մենք 6 թիվը հաջորդաբար բազմապատկում ենք 1, 2, 3, 4, 5-ով։
Մենք ստանում ենք՝ 6, 12, 18 , 24, 30
Մենք 9 թիվը բազմապատկում ենք հաջորդաբար 1, 2, 3, 4, 5-ով:
Մենք ստանում ենք՝ 9, 18 , 27, 36, 45
Ինչպես տեսնում եք, 6-րդ և 9-րդ համարների LCM-ը հավասար կլինի 18-ի:

Այս մեթոդը հարմար է, երբ երկու թվերն էլ փոքր են, և հեշտ է դրանք բազմապատկել ամբողջ թվերի հաջորդականությամբ։ Այնուամենայնիվ, կան դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է գտնել LCM երկնիշ կամ եռանիշ թվերի համար, ինչպես նաև, երբ կան երեք կամ նույնիսկ ավելի սկզբնական թվեր:

Մեթոդ 2. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն՝ սկզբնական թվերը պարզեցնելով պարզ գործակիցների:
Քայքայվելուց հետո անհրաժեշտ է առաջացած պարզ գործոնների շարքից միանման թվերը հատել։ Առաջին թվի մնացած թվերը երկրորդի համար կլինեն բազմապատկիչ, իսկ երկրորդի մնացած թվերը՝ առաջինի համար:

Օրինակ 75 և 60 համարների համար։
75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկները անընդմեջ գրառելու։ Դա անելու համար 75-ը և 60-ը դասավորենք պարզ գործոնների.
75 = 3 * 5 * 5, ա
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ինչպես տեսնում եք, 3-րդ և 5-րդ գործոնները հայտնվում են երկու տողերում: Մենք մտովի «հատում ենք» նրանց։
Եկեք գրենք այս թվերից յուրաքանչյուրի ընդլայնման մեջ ներառված մնացած գործոնները: 75 թիվը քայքայելիս մեզ մնում է 5 թիվը, իսկ 60 թիվը քայքայելիս՝ 2 * 2։
Սա նշանակում է, որ 75 և 60 թվերի LCM-ն որոշելու համար մենք պետք է 75-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 5-ն է) բազմապատկենք 60-ով և 60-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 2 է) * 2) 75-ով: Այսինքն, հասկանալու համար մենք ասում ենք, որ բազմապատկվում ենք «խաչաձև»:
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Այսպես մենք գտանք LCM-ը 60 և 75 թվերի համար։ Սա 300 թիվն է։

Օրինակ. Որոշե՛ք LCM 12, 16, 24 թվերի համար
Այս դեպքում մեր գործողությունները որոշ չափով ավելի բարդ կլինեն։ Բայց նախ, ինչպես միշտ, եկեք ֆակտորիզացնենք բոլոր թվերը
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM-ը ճիշտ որոշելու համար մենք ընտրում ենք բոլոր թվերից ամենափոքրը (սա 12-րդ թիվն է) և հաջորդաբար անցնում ենք դրա գործակիցները՝ հատելով դրանք, եթե թվերի մյուս շարքերից գոնե մեկում հանդիպենք նույն գործոնին, որը դեռևս չի եղել։ խաչվել է.

Քայլ 1. Մենք տեսնում ենք, որ 2 * 2-ը տեղի է ունենում թվերի բոլոր շարքերում: Եկեք դրանք խաչ քաշենք:
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Քայլ 2. 12 թվի պարզ գործակիցներում մնում է միայն 3 թիվը, բայց այն առկա է 24 թվի պարզ գործակիցներում: Մենք երկու տողերից էլ 3-րդ համարն ենք հատում, մինչդեռ 16-ի համար գործողություններ չեն պահանջվում: .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ինչպես տեսնում եք, 12 թիվը քայքայելիս մենք «հատեցինք» բոլոր թվերը։ Սա նշանակում է, որ ԼՕԿ-ի բացահայտումն ավարտված է։ Մնում է միայն հաշվարկել դրա արժեքը։
12 թվի համար վերցրեք 16 թվի մնացած գործակիցները (հաջորդը՝ աճման կարգով)
12 * 2 * 2 = 48
Սա ՀԱՕԿ-ն է

Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում LCM-ը գտնելը որոշ չափով ավելի դժվար էր, բայց երբ անհրաժեշտ է գտնել այն երեք և ավելի թվերի համար, այս մեթոդը թույլ է տալիս դա անել ավելի արագ: Այնուամենայնիվ, LCM-ն գտնելու երկու մեթոդներն էլ ճիշտ են:

Դիտարկենք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու երեք եղանակ:

Գտեք ֆակտորիզացիայի միջոցով

Առաջին մեթոդը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ տրված թվերը պարզ գործակիցների գործակցելով։

Ենթադրենք, մենք պետք է գտնենք 99, 30 և 28 թվերի LCM-ը: Դա անելու համար եկեք այս թվերից յուրաքանչյուրը դասավորենք պարզ գործոնների.

Որպեսզի ցանկալի թիվը բաժանվի 99-ի, 30-ի և 28-ի, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այն ներառի այս բաժանարարների բոլոր պարզ գործակիցները: Դա անելու համար մենք պետք է հնարավորինս մեծ չափով վերցնենք այս թվերի բոլոր պարզ գործակիցները և բազմապատկենք դրանք միասին.

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Այսպիսով, LCM (99, 30, 28) = 13,860 13,860-ից փոքր այլ թիվ չի բաժանվում 99-ի, 30-ի կամ 28-ի:

Տրված թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար դրանք դասավորվում են պարզ գործակիցների մեջ, այնուհետև յուրաքանչյուր պարզ գործոն վերցնում է ամենամեծ ցուցիչով, որում հայտնվում է, և այդ գործոնները բազմապատկում միասին:

Քանի որ համեմատաբար պարզ թվերը չունեն ընդհանուր պարզ գործակիցներ, նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է այս թվերի արտադրյալին: Օրինակ՝ երեք թվեր՝ 20, 49 և 33, համեմատաբար պարզ են։ Ահա թե ինչու

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340:

Նույնը պետք է արվի տարբեր պարզ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելիս: Օրինակ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231:

Ընտրությամբ գտնելը

Երկրորդ մեթոդը ընտրելով ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է:

Օրինակ 1. Երբ տրված թվերից ամենամեծը բաժանվում է մեկ այլ թվի, ապա այդ թվերի LCM-ն հավասար է դրանցից ամենամեծին։ Օրինակ՝ տրված է չորս թվեր՝ 60, 30, 10 և 6։ Նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 60-ի, հետևաբար.

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Այլ դեպքերում ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ ընթացակարգը.

1. Տրված թվերից որոշի՛ր ամենամեծ թիվը։
2. Այնուհետև մենք գտնում ենք ամենամեծ թվի բազմապատիկ թվերը՝ բազմապատկելով այն բնական թվերով և ստուգելով, թե ստացված արտադրյալը բաժանվում է մնացած թվերի վրա։

Օրինակ 2. Տրված են երեք թվեր 24, 3 և 18: Մենք որոշում ենք դրանցից ամենամեծը, սա 24 թիվն է: Հաջորդը, մենք գտնում ենք 24-ի բազմապատիկ թվերը՝ ստուգելով, թե արդյոք դրանցից յուրաքանչյուրը բաժանվում է 18-ի և 3-ի.

24 · 1 = 24 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 · 2 = 48 - բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 18-ի:

24 · 3 = 72 - բաժանվում է 3-ի և 18-ի:

Այսպիսով, LCM (24, 3, 18) = 72:

Գտնել՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը

Երրորդ մեթոդը ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը գտնելն է՝ հաջորդաբար գտնելով LCM-ը:

Երկու տրված թվերի LCM-ն հավասար է այս թվերի արտադրյալին, որը բաժանվում է նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի վրա:

Օրինակ 1. Գտե՛ք տրված երկու թվերի LCM՝ 12 և 8։ Որոշե՛ք նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (12, 8) = 4։ Բազմապատկե՛ք այս թվերը.

Մենք արտադրանքը բաժանում ենք իրենց gcd-ով.

Այսպիսով, LCM (12, 8) = 24:

Երեք կամ ավելի թվերի LCM-ն գտնելու համար օգտագործեք հետևյալ ընթացակարգը.

1. Նախ, գտեք այս թվերից որևէ երկուսի LCM-ը:
2. Այնուհետև գտնված ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի LCM և տրված երրորդ թիվը:
3. Այնուհետև ստացված նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկի LCM-ն և չորրորդ թիվը և այլն:
4. Այսպիսով, LCM-ի որոնումները շարունակվում են այնքան ժամանակ, քանի դեռ կան թվեր։

Օրինակ 2. Գտնենք տրված երեք թվերի LCM-ն՝ 12, 8 և 9։ Մենք արդեն գտել ենք 12 և 8 թվերի LCM-ն նախորդ օրինակում (սա 24 թիվն է)։ Մնում է գտնել 24 թվի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը և տրված երրորդ թիվը՝ 9։ Որոշե՛ք դրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ GCD (24, 9) = 3։ LCM-ը բազմապատկեք 9 թվով.

Մենք արտադրանքը բաժանում ենք իրենց gcd-ով.

Այսպիսով, LCM (12, 8, 9) = 72:

Սահմանում.Ամենամեծ բնական թիվը, որով a և b թվերը բաժանվում են առանց մնացորդի, կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար (GCD)այս թվերը.

Գտնենք 24 և 35 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։
24-ի բաժանարարներն են 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, իսկ 35-ի բաժանարարները՝ 1, 5, 7, 35 թվերն են։
Մենք տեսնում ենք, որ 24 և 35 թվերն ունեն միայն մեկ ընդհանուր բաժանարար՝ թիվ 1: Նման թվերը կոչվում են. փոխադարձաբար առաջնային.

Սահմանում.Բնական թվերը կոչվում են փոխադարձաբար առաջնային, եթե նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը (GCD) 1 է։

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD)կարելի է գտնել առանց տրված թվերի բոլոր բաժանարարները դուրս գրելու։

48 և 36 թվերը գործակցելով՝ ստանում ենք.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Այս թվերից առաջինի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից մենք գծում ենք այն գործոնները, որոնք ներառված չեն երկրորդ թվի ընդլայնման մեջ (այսինքն, երկու երկուսը):
Մնացած գործակիցները 2 * 2 * 3 են։ Նրանց արտադրյալը 12 է։ Այս թիվը 48 և 36 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։ Գտնվում է նաև երեք և ավելի թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը։

Գտնել ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը

2) նշված թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոններից հատել դրանք, որոնք ներառված չեն այլ թվերի ընդլայնման մեջ.
3) գտնել մնացած գործոնների արտադրյալը.

Եթե ​​բոլոր տրված թվերը բաժանվում են դրանցից մեկի վրա, ապա այս թիվը ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարըտրված թվեր.
Օրինակ, 15, 45, 75 և 180 թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 15 թիվն է, քանի որ մնացած բոլոր թվերը բաժանվում են նրա վրա՝ 45, 75 և 180։

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM)

Սահմանում. Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) a և b բնական թվերը ամենափոքր բնական թիվն է, որը բազմապատիկ է և՛ a-ի, և՛ b-ի: 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկները անընդմեջ գրառելու։ Դա անելու համար եկեք 75-ը և 60-ը դասավորենք պարզ գործակիցների՝ 75 = 3 * 5 * 5 և 60 = 2 * 2 * 3 * 5:
Դուրս գրենք այս թվերից առաջինի ընդլայնման մեջ ընդգրկված գործոնները և դրանց ավելացնենք երկրորդ թվի ընդլայնումից բացակայող 2 և 2 գործակիցները (այսինքն՝ միավորում ենք գործակիցները):
Ստանում ենք հինգ գործակից 2 * 2 * 3 * 5 * 5, որոնց արտադրյալը 300 է։ Այս թիվը 75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Նրանք նաև գտնում են երեք և ավելի թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

Դեպի գտնել նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկըմի քանի բնական թվեր, ձեզ հարկավոր է.
1) դրանք վերածել հիմնական գործոնների.
2) գրել թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները.
3) դրանց գումարել մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները.
4) գտնել ստացված գործոնների արտադրյալը.

Նկատի ունեցեք, որ եթե այս թվերից մեկը բաժանվում է մնացած բոլոր թվերի վրա, ապա այս թիվը այս թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։
Օրինակ՝ 12, 15, 20 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 60 է, քանի որ այն բաժանվում է բոլոր այդ թվերի վրա։

Պյութագորասը (մ.թ.ա. VI դ.) և նրա աշակերտները ուսումնասիրել են թվերի բաժանելիության հարցը։ Նրանք բոլոր բաժանարարների գումարին հավասար թվին (առանց բուն թվի) կատարյալ թիվ են անվանել։ Օրինակ՝ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) թվերը կատարյալ են։ Հաջորդ կատարյալ թվերն են՝ 496, 8128, 33,550,336 Պյութագորացիները գիտեին միայն առաջին երեք կատարյալ թվերը: Չորրորդը՝ 8128 թվականը, հայտնի է դարձել 1-ին դարում։ n. ե. Հինգերորդը՝ 33,550,336, հայտնաբերվել է 15-րդ դարում։ 1983 թվականին արդեն հայտնի էին 27 կատարյալ թվեր։ Բայց գիտնականները դեռ չգիտեն՝ կա՞ն կենտ կատարյալ թվեր, թե՞ ամենամեծ կատարյալ թիվ:
Հին մաթեմատիկոսների հետաքրքրությունը պարզ թվերի նկատմամբ պայմանավորված է նրանով, որ ցանկացած թիվ կամ պարզ է կամ կարող է ներկայացվել որպես պարզ թվերի արտադրյալ, այսինքն՝ պարզ թվերը նման են աղյուսների, որոնցից կառուցված են մնացած բնական թվերը։
Հավանաբար նկատել եք, որ բնական թվերի շարքում պարզ թվերը առաջանում են անհավասարաչափ՝ շարքի որոշ մասերում դրանք ավելի շատ են, որոշներում՝ ավելի քիչ: Բայց որքան առաջ ենք շարժվում թվերի շարքով, այնքան պարզ թվերը ավելի քիչ են տարածված: Հարց է առաջանում՝ կա՞ արդյոք վերջին (ամենամեծ) պարզ թիվ։ Հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսը (մ.թ.ա. 3-րդ դար) իր «Էլեմենտներ» գրքում, որը մաթեմատիկայի հիմնական դասագիրքն էր երկու հազար տարվա ընթացքում, ապացուցեց, որ կան անսահման շատ պարզ թվեր, այսինքն՝ յուրաքանչյուր պարզ թվի հետևում կա ավելի մեծ պարզ թվեր։ համարը։
Պարզ թվեր գտնելու համար նույն ժամանակի մեկ այլ հույն մաթեմատիկոս Էրատոստենեսը հայտնագործեց այս մեթոդը։ Նա գրեց բոլոր թվերը 1-ից մինչև ինչ-որ թիվ, այնուհետև հատեց մեկը, որը ոչ պարզ է, ոչ բաղադրյալ թիվ, այնուհետև հատեց մեկի միջով 2-ից հետո եկող բոլոր թվերը (թվերը, որոնք 2-ի բազմապատիկ են, այսինքն՝ 4-ի, 6, 8 և այլն): 2-ից հետո մնացած առաջին թիվը 3-ն էր: Այնուհետև, երկուսից հետո, 3-ից հետո եկող բոլոր թվերը (թվերը, որոնք 3-ի բազմապատիկ են, այսինքն՝ 6, 9, 12 և այլն) հատվեցին: վերջում չխաչված մնացին միայն պարզ թվերը։