Ամենակարևոր գիտություններից մեկը, որի կիրառումը կարելի է տեսնել այնպիսի առարկաներում, ինչպիսիք են քիմիան, ֆիզիկան և նույնիսկ կենսաբանությունը, մաթեմատիկան է։ Այս գիտությունն ուսումնասիրելը թույլ է տալիս զարգացնել որոշ մտավոր որակներ և բարելավել կենտրոնանալու ունակությունը։ Մաթեմատիկա դասընթացում հատուկ ուշադրության արժանի թեմաներից մեկը կոտորակների գումարումն ու հանումն է։ Շատ ուսանողներ դժվարանում են սովորել: Թերևս մեր հոդվածը կօգնի ձեզ ավելի լավ հասկանալ այս թեման:

Ինչպես հանել այն կոտորակները, որոնց հայտարարները նույնն են

Կոտորակները նույն թվերն են, որոնցով դուք կարող եք արտադրել տարբեր գործողություններ. Նրանց տարբերությունն ամբողջ թվերից կայանում է հայտարարի առկայության մեջ: Այդ իսկ պատճառով կոտորակների հետ գործողություններ կատարելիս պետք է ուսումնասիրել դրանց որոշ առանձնահատկություններ և կանոններ։ Ամենապարզ դեպքը սովորական կոտորակների հանումն է, որոնց հայտարարները ներկայացված են նույն թվով: Այս գործողությունը կատարելը դժվար չի լինի, եթե իմանաք մի պարզ կանոն.

• Մեկ կոտորակի վրա վայրկյան հանելու համար անհրաժեշտ է կրճատվող կոտորակի համարիչից հանել հանված կոտորակի համարիչը։ Այս թիվը գրում ենք տարբերության համարիչի մեջ, իսկ հայտարարը թողնում ենք նույնը՝ k/m - b/m = (k-b)/m։

Կոտորակների հանման օրինակներ, որոնց հայտարարները նույնն են

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

«7» կոտորակի համարիչից հանում ենք հանվող «3» կոտորակի համարիչը, ստանում ենք «4»: Այս թիվը գրում ենք պատասխանի համարիչում, իսկ հայտարարում դնում ենք նույն թիվը, որը եղել է առաջին և երկրորդ կոտորակների հայտարարում՝ «19»:

Ստորև նկարը ցույց է տալիս ևս մի քանիսը նմանատիպ օրինակներ.

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ, որտեղից հանվում են կոտորակները նույն հայտարարները:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

«29» կոտորակի համարիչից կրճատվում է՝ հերթով հանելով բոլոր հաջորդող կոտորակների համարիչները՝ «3», «8», «2», «7»: Արդյունքում ստանում ենք «9» արդյունքը, որը գրում ենք պատասխանի համարիչում, իսկ հայտարարում գրում ենք այն թիվը, որը գտնվում է այս բոլոր կոտորակների հայտարարներում՝ «47»:

Միևնույն հայտարար ունեցող կոտորակների գումարում

Սովորական կոտորակների գումարումն ու հանումը կատարվում է նույն սկզբունքով.

• Որպեսզի կոտորակները գումարվեն, որոնց հայտարարները նույնն են, պետք է գումարել համարիչները: Ստացված թիվը գումարի համարիչն է, իսկ հայտարարը կմնա նույնը՝ k/m + b/m = (k + b)/m։

Տեսնենք, թե ինչ տեսք ունի սա՝ օգտագործելով օրինակ.

1/4 + 2/4 = 3/4.

Կոտորակի առաջին անդամի համարիչին՝ «1» - ավելացնել կոտորակի երկրորդ անդամի համարիչը՝ «2»: Արդյունքը՝ «3»-ը գրվում է գումարի համարիչի մեջ, իսկ հայտարարը մնում է նույնը, ինչ կոտորակներում կա՝ «4»:

Տարբեր հայտարարներով կոտորակները և դրանց հանումը

Մենք արդեն դիտարկել ենք նույն հայտարար ունեցող կոտորակների գործողությունը։ Ինչպես տեսնում ենք՝ իմանալով պարզ կանոններ, նման օրինակներ լուծելը բավականին հեշտ է։ Բայց ի՞նչ անել, եթե ձեզ անհրաժեշտ է գործողություն կատարել այն կոտորակների հետ, որոնք ունեն տարբեր հայտարարներ: Միջնակարգ դպրոցի շատ աշակերտների նման օրինակները շփոթության մեջ են: Բայց նույնիսկ այստեղ, եթե գիտեք լուծման սկզբունքը, օրինակներն այլեւս ձեզ համար դժվար չեն լինի։ Այստեղ կա նաև կանոն, առանց որի նման կոտորակների լուծումն ուղղակի անհնար է։

Կոտորակներից հանելու համար տարբեր հայտարարներ, անհրաժեշտ է դրանք նվազեցնել նույն ամենացածր հայտարարի վրա։



Մենք ավելի մանրամասն կխոսենք, թե ինչպես դա անել:

Կոտորակի հատկություն

Մի քանի կոտորակ միևնույն հայտարարին բերելու համար լուծման մեջ պետք է օգտագործել կոտորակի հիմնական հատկությունը՝ համարիչն ու հայտարարը նույն թվով բաժանելուց կամ բազմապատկելուց հետո ստացվում է տրվածին հավասար կոտորակ։

Այսպիսով, օրինակ, 2/3 կոտորակը կարող է ունենալ հայտարարներ, ինչպիսիք են «6», «9», «12» և այլն, այսինքն՝ կարող է ունենալ ցանկացած թվի ձև, որը «3»-ի բազմապատիկն է։ Համարը և հայտարարը «2»-ով բազմապատկելուց հետո ստանում ենք 4/6 կոտորակը: Բնօրինակ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը «3»-ով բազմապատկելուց հետո ստանում ենք 6/9, իսկ «4» թվի հետ նմանատիպ գործողություն կատարելու դեպքում՝ 8/12: Մեկ հավասարություն կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Ինչպես մի քանի կոտորակներ փոխարկել նույն հայտարարի

Եկեք նայենք, թե ինչպես կարելի է կրճատել մի քանի կոտորակները նույն հայտարարին: Օրինակ՝ վերցնենք ստորև նկարում ներկայացված կոտորակները։ Նախ պետք է որոշել, թե որ թիվը կարող է դառնալ բոլորի հայտարար։ Գործերն ավելի հեշտացնելու համար եկեք ֆակտորիզացնենք առկա հայտարարները:

1/2 կոտորակի և 2/3 կոտորակի հայտարարը չի կարող գործոնացվել։ 7/9 հայտարարն ունի երկու գործակից 7/9 = 7/(3 x 3), կոտորակի հայտարարը 5/6 = 5/(2 x 3): Այժմ մենք պետք է որոշենք, թե որ գործոնները կլինեն ամենափոքրը բոլոր այս չորս կոտորակների համար: Քանի որ առաջին կոտորակը հայտարարում ունի «2» թիվը, դա նշանակում է, որ այն պետք է լինի բոլոր հայտարարի մեջ 7/9 կոտորակի մեջ կան երկու եռյակ, ինչը նշանակում է, որ երկուսն էլ պետք է լինեն հայտարարի մեջ. Հաշվի առնելով վերը նշվածը՝ որոշում ենք, որ հայտարարը բաղկացած է երեք գործակից՝ 3, 2, 3 և հավասար է 3 x 2 x 3 = 18:



Դիտարկենք առաջին կոտորակը` 1/2: Նրա հայտարարում կա «2», բայց չկա մեկ «3», բայց պետք է լինի երկու: Դա անելու համար հայտարարը բազմապատկում ենք երկու եռապատիկով, սակայն, ըստ կոտորակի հատկության, պետք է համարիչը բազմապատկենք երկու եռակի.
1/2 = (1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3) = 9/18:

Մնացած կոտորակների հետ կատարում ենք նույն գործողությունները։

• 2/3 - հայտարարում բացակայում են մեկ երեք և մեկ երկու.
  2/3 = (2 x 3 x 2) / (3 x 3 x 2) = 12/18:
• 7/9 կամ 7/(3 x 3) - հայտարարում բացակայում է երկուսը.
  7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18:
• 5/6 կամ 5/(2 x 3) - հայտարարում բացակայում է երեքը.
  5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18:

Բոլորը միասին կարծես հետևյալն են.



Ինչպես հանել և գումարել այն կոտորակները, որոնք ունեն տարբեր հայտարարներ

Ինչպես նշվեց վերևում, տարբեր հայտարար ունեցող կոտորակներն ավելացնելու կամ հանելու համար դրանք պետք է կրճատվեն մինչև նույն հայտարարը, իսկ հետո օգտագործվեն նույն հայտարար ունեցող կոտորակները հանելու կանոնները, որոնք արդեն քննարկվել են:

Դիտարկենք սա որպես օրինակ՝ 4/18 - 3/15:

Գտնելով 18 և 15 թվերի բազմապատիկը.

• 18 թիվը կազմված է 3 x 2 x 3:
• 15 թիվը կազմված է 5 x 3-ից։
• Ընդհանուր բազմապատիկը կլինի հետևյալ գործոնները՝ 5 x 3 x 3 x 2 = 90:

Հայտարարը գտնելուց հետո անհրաժեշտ է հաշվարկել այն գործակիցը, որը տարբեր կլինի յուրաքանչյուր կոտորակի համար, այսինքն՝ այն թիվը, որով անհրաժեշտ կլինի բազմապատկել ոչ միայն հայտարարը, այլև համարիչը։ Դա անելու համար մենք գտած թիվը (ընդհանուր բազմապատիկը) բաժանում ենք այն կոտորակի հայտարարի վրա, որի համար պետք է որոշենք լրացուցիչ գործոններ։

• 90-ը բաժանվում է 15-ի: Ստացված «6» թիվը կլինի 3/15-ի բազմապատկիչ:
• 90-ը բաժանվում է 18-ի: Ստացված «5» թիվը կլինի 4/18-ի բազմապատկիչ:

Մեր լուծման հաջորդ փուլը յուրաքանչյուր կոտորակի կրճատումն է «90» հայտարարի:

Մենք արդեն խոսել ենք այն մասին, թե ինչպես է դա արվում։ Տեսնենք, թե ինչպես է սա գրված օրինակում.

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45:

Եթե ​​փոքր թվերով կոտորակներ, ապա կարող եք ընդհանուր հայտարարորոշեք, ինչպես ցույց է տրված ստորև նկարում ներկայացված օրինակում:



Նույնը վերաբերում է տարբեր հայտարար ունեցողներին:

Հանում և ամբողջական մասեր ունեցող

Մենք արդեն մանրամասն քննարկել ենք կոտորակների հանումը և դրանց գումարումը։ Բայց ինչպես հանել, եթե կոտորակն ունի ամբողջ մասը? Կրկին, եկեք օգտագործենք մի քանի կանոն.

• Ամբողջ թվով մաս ունեցող բոլոր կոտորակները փոխարկե՛ք ոչ պատշաճի: Ելույթ ունենալով պարզ բառերով, հեռացնել ամբողջ մասը։ Դա անելու համար ամբողջ թվային մասի թիվը բազմապատկեք կոտորակի հայտարարով և ստացված արտադրյալը ավելացրեք համարիչին։ Այս գործողություններից հետո դուրս եկած թիվը ոչ պատշաճ կոտորակի համարիչն է։ Հայտարարը մնում է անփոփոխ։
• Եթե ​​կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ, ապա դրանք պետք է կրճատվեն նույն հայտարարի վրա:
• Կատարե՛ք գումարում կամ հանում նույն հայտարարներով:
• Ոչ պատշաճ կոտորակ ստանալիս ընտրեք ամբողջ մասը:



Կա ևս մեկ եղանակ, որով կարող եք գումարել և հանել ամբողջ մասերով կոտորակները: Դրա համար գործողություններ կատարվում են առանձին՝ ամբողջական մասերով, իսկ կոտորակների հետ՝ առանձին, և արդյունքները գրանցվում են միասին։



Բերված օրինակը բաղկացած է այն կոտորակներից, որոնք ունեն նույն հայտարարը: Այն դեպքում, երբ հայտարարները տարբեր են, դրանք պետք է հասցվեն նույն արժեքին, այնուհետև կատարեն այն գործողությունները, ինչպես ցույց է տրված օրինակում:

Ամբողջ թվերից հանել կոտորակները

Կոտորակների հետ գործողության մեկ այլ տեսակ է այն դեպքը, երբ կոտորակը պետք է հանել Առաջին հայացքից նման օրինակը դժվար լուծելի է թվում։ Այնուամենայնիվ, այստեղ ամեն ինչ բավականին պարզ է. Այն լուծելու համար անհրաժեշտ է ամբողջ թիվը վերածել կոտորակի և այն նույն հայտարարով, որը գտնվում է հանվող կոտորակի մեջ։ Այնուհետև մենք կատարում ենք նույնական հայտարարներով հանման նման հանում: Օրինակում այն ​​այսպիսի տեսք ունի.

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9:

Սույն հոդվածում ներկայացված կոտորակների (6-րդ աստիճան) հանումը հիմք է հանդիսանում ավելի բարդ օրինակների լուծման համար, որոնք ընդգրկված են հաջորդ դասարաններում: Այս թեմայի իմացությունը հետագայում օգտագործվում է գործառույթներ, ածանցյալներ և այլն լուծելու համար: Հետևաբար, շատ կարևոր է հասկանալ և հասկանալ վերը քննարկված կոտորակների հետ գործողությունները:

Այս դասը կներառի գումարում և հանում: հանրահաշվական կոտորակներտարբեր հայտարարներով։ Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է գումարել և հանել տարբեր հայտարարներով ընդհանուր կոտորակները: Դա անելու համար կոտորակները պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Ստացվում է, որ հանրահաշվական կոտորակները գործում են նույն կանոններով։ Միևնույն ժամանակ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է հանրահաշվական կոտորակները հասցնել ընդհանուր հայտարարի: Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելն ու հանելը 8-րդ դասարանի դասընթացի ամենակարևոր և բարդ թեմաներից է: Ավելին, այս թեման կհայտնվի հանրահաշվի դասընթացի բազմաթիվ թեմաներում, որոնք դուք հետագայում կուսումնասիրեք։ Դասի շրջանակներում կուսումնասիրենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակներ գումարելու և հանելու կանոնները, ինչպես նաև կվերլուծենք մի շարք բնորոշ օրինակներ։

Եկեք դիտարկենք ամենապարզ օրինակըսովորական կոտորակների համար.

Օրինակ 1.Ավելացնել կոտորակներ.

Լուծում:

Հիշենք կոտորակների գումարման կանոնը. Սկսելու համար, կոտորակները պետք է կրճատվեն ընդհանուր հայտարարի: Սովորական կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ(LCM) սկզբնական հայտարարների.

Սահմանում

Նվազագույնը բնական թիվ, որը միաժամանակ բաժանվում է թվերի և .

LCM-ը գտնելու համար անհրաժեշտ է բաժանել հայտարարները հիմնական գործոնները, և այնուհետև ընտրեք բոլոր պարզ գործոնները, որոնք ներառված են երկու հայտարարների ընդլայնման մեջ:

; . Այնուհետև թվերի LCM-ն պետք է ներառի երկու երկու և երկու երեք.

Ընդհանուր հայտարարը գտնելուց հետո պետք է յուրաքանչյուր կոտորակի համար լրացուցիչ գործակից գտնել (ըստ էության, ընդհանուր հայտարարը բաժանեք համապատասխան կոտորակի հայտարարի վրա)։

Յուրաքանչյուր կոտորակ այնուհետև բազմապատկվում է ստացված լրացուցիչ գործակցով: Մենք ստանում ենք նույն հայտարարներով կոտորակներ, որոնք սովորել ենք նախորդ դասերին գումարել և հանել:

Մենք ստանում ենք. .

Պատասխան..

Այժմ դիտարկենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարումը։ Նախ նայենք այն կոտորակներին, որոնց հայտարարը թվերն են:

Օրինակ 2.Ավելացնել կոտորակներ.

Լուծում:

Լուծման ալգորիթմը բացարձակապես նման է նախորդ օրինակին։ Հեշտ է գտնել այս կոտորակների ընդհանուր հայտարարը և դրանցից յուրաքանչյուրի համար լրացուցիչ գործոններ:

.

Պատասխան..

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք տարբեր հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակների գումարման և հանման ալգորիթմ:

1. Գտի՛ր կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:

2. Կոտորակներից յուրաքանչյուրի համար գտե՛ք հավելյալ գործակիցներ (ընդհանուր հայտարարը տրված կոտորակի հայտարարի վրա բաժանելով):

3. Բազմապատկել համարիչները համապատասխան լրացուցիչ գործակիցներով:

4. Գումարել կամ հանել կոտորակներ՝ օգտագործելով համանման հայտարար ունեցող կոտորակների գումարման և հանման կանոնները:

Այժմ դիտարկենք մի օրինակ այն կոտորակների հետ, որոնց հայտարարը պարունակում է բառացի արտահայտություններ.

Օրինակ 3.Ավելացնել կոտորակներ.

Լուծում:

Քանի որ երկու հայտարարների տառերի արտահայտությունները նույնն են, դուք պետք է ընդհանուր հայտարար գտնեք թվերի համար: Վերջնական ընդհանուր հայտարարը կունենա հետևյալ տեսքը. Այսպիսով լուծումը այս օրինակըունի ձև.

Պատասխան..

Օրինակ 4.Կոտորակները հանել.

Լուծում:

Եթե ​​դուք չեք կարող «խաբել» ընդհանուր հայտարար ընտրելիս (չեք կարող այն գործոնավորել կամ օգտագործել կրճատված բազմապատկման բանաձևեր), ապա պետք է որպես ընդհանուր հայտարար ընդունեք երկու կոտորակների հայտարարների արտադրյալը:

Պատասխան..

Ընդհանրապես, նման օրինակներ լուծելիս ամենադժվարը ընդհանուր հայտարար գտնելն է։

Դիտարկենք ավելի բարդ օրինակ:

Օրինակ 5.Պարզեցնել.

Լուծում:

Ընդհանուր հայտարար գտնելիս նախ պետք է փորձեք հաշվի առնել սկզբնական կոտորակների հայտարարները (ընդհանուր հայտարարը պարզեցնելու համար):

Այս կոնկրետ դեպքում.

Այնուհետև հեշտ է որոշել ընդհանուր հայտարարը. .

Մենք որոշում ենք լրացուցիչ գործոններ և լուծում այս օրինակը.

Պատասխան..

Այժմ սահմանենք տարբեր հայտարարներով կոտորակներ գումարելու և հանելու կանոնները։

Օրինակ 6.Պարզեցնել.

Լուծում:

Պատասխան..

Օրինակ 7.Պարզեցնել.

Լուծում:

.

Պատասխան..

Այժմ դիտարկենք մի օրինակ, որտեղ գումարվում են ոչ թե երկու, այլ երեք կոտորակներ (ի վերջո, գումարման և հանման կանոնները. ավելինկոտորակները մնում են նույնը):

Օրինակ 8.Պարզեցնել.

Նման հայտարար ունեցող կոտորակների գումարում և հանում
Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում
ԱՕԿ-ի հայեցակարգը
Կոտորակների կրճատումը նույն հայտարարի վրա
Ինչպես գումարել ամբողջ թիվ և կոտորակ

1 Նման հայտարար ունեցող կոտորակների գումարում և հանում

Նույն հայտարարներով կոտորակները ավելացնելու համար անհրաժեշտ է ավելացնել նրանց համարիչները, բայց հայտարարը թողնել նույնը, օրինակ.

Նույն հայտարարներով կոտորակները հանելու համար պետք է առաջին կոտորակի համարիչից հանել երկրորդ կոտորակի համարիչը, իսկ հայտարարը թողնել նույնը, օրինակ.

Խառը կոտորակներ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է առանձին ավելացնել դրանց ամբողջական մասերը, այնուհետև ավելացնել դրանց կոտորակային մասերը և արդյունքը գրել որպես խառը կոտորակ,

Եթե ​​կոտորակային մասեր գումարելիս սխալ կոտորակ եք ստանում, նրանից ընտրեք ամբողջ մասը և ավելացրեք ամբողջ մասի վրա, օրինակ.

2 Տարբեր հայտարար ունեցող կոտորակների գումարում և հանում

Տարբեր հայտարարներով կոտորակներ ավելացնելու կամ հանելու համար նախ պետք է դրանք կրճատել նույն հայտարարի վրա, ապա շարունակել այնպես, ինչպես նշված է այս հոդվածի սկզբում: Մի քանի կոտորակների ընդհանուր հայտարարը LCM-ն է (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկը): Յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչի համար լրացուցիչ գործոններ են հայտնաբերվում՝ LCM-ը բաժանելով այս կոտորակի հայտարարի վրա: Մի օրինակ կանդրադառնանք ավելի ուշ, երբ հասկանանք, թե ինչ է ՀԱՕԿ-ը։

3 Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ (LCM)

Երկու թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է երկու թվերի վրա՝ առանց մնացորդ թողնելու։ Երբեմն LCM-ը կարելի է գտնել բանավոր, բայց ավելի հաճախ, հատկապես մեծ թվերի հետ աշխատելիս, պետք է LCM-ն գտնել գրավոր՝ օգտագործելով հետևյալ ալգորիթմը.

Մի քանի թվերի LCM-ն գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Նշեք այս թվերը պարզ գործոնների մեջ
2. Վերցրեք ամենամեծ ընդլայնումը և գրեք այս թվերը որպես արտադրյալ
3. Ընտրեք թվեր այլ ընդլայնումների մեջ, որոնք չեն երևում ամենամեծ ընդլայնման մեջ (կամ ավելի քիչ են լինում դրանում) և ավելացրեք դրանք արտադրանքի մեջ:
4. Բազմապատկեք արտադրանքի բոլոր թվերը, սա կլինի LCM:

Օրինակ, եկեք գտնենք 28 և 21 թվերի LCM.

4 Կոտորակների կրճատումը նույն հայտարարի վրա

Վերադառնանք տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարմանը։

Երբ կոտորակները կրճատում ենք նույն հայտարարի, որը հավասար է երկու հայտարարի LCM-ին, մենք պետք է այդ կոտորակների համարիչները բազմապատկենք. լրացուցիչ բազմապատկիչներ. Դուք կարող եք դրանք գտնել՝ LCM-ը բաժանելով համապատասխան կոտորակի հայտարարի վրա, օրինակ.

Այսպիսով, կոտորակները նույն ցուցիչին նվազեցնելու համար նախ պետք է գտնել LCM-ը (այսինքն. ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է երկու հայտարարների վրա) այս կոտորակների հայտարարների, ապա կոտորակների համարիչներին ավելացրեք լրացուցիչ գործակիցներ։ Դրանք կարող եք գտնել՝ ընդհանուր հայտարարը (CLD) բաժանելով համապատասխան կոտորակի հայտարարի վրա։ Այնուհետև պետք է յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչը բազմապատկել լրացուցիչ գործակցով և որպես հայտարար դնել LCM-ը:

5 Ինչպես գումարել ամբողջ թիվ և կոտորակ

Ամբողջ թիվ և կոտորակ ավելացնելու համար պարզապես պետք է այս թիվը գումարել կոտորակից առաջ, ինչից, օրինակ, կստացվի խառը կոտորակ:

Գործողություններ կոտորակներով.

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
նյութեր 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր շատ «ոչ շատ ...» են:
Եվ նրանց համար, ովքեր «շատ ...»)

Այսպիսով, ինչ են կոտորակները, կոտորակների տեսակները, փոխակերպումները - հիշեցինք: Գանք բուն հարցին.

Ի՞նչ կարող ես անել կոտորակների հետ:Այո, ամեն ինչ նույնն է, ինչ սովորական թվերի դեպքում։ Գումարել, հանել, բազմապատկել, բաժանել:

Այս բոլոր գործողությունները հետ տասնորդականԿոտորակների հետ աշխատելը ոչնչով չի տարբերվում ամբողջ թվերի հետ աշխատելուց: Իրականում, դա նրանց լավն է, տասնորդականները: Միակ բանն այն է, որ պետք է ստորակետը ճիշտ դնել։

Խառը թվերԻնչպես արդեն ասացի, գործողությունների մեծ մասի համար քիչ օգտակար են: Դրանք դեռ պետք է վերածվեն սովորական կոտորակների։

Բայց գործողությունները հետ սովորական կոտորակներ նրանք ավելի խորամանկ կլինեն: Եվ շատ ավելի կարևոր! Թույլ տվեք հիշեցնել ձեզ. բոլոր գործողությունները կոտորակային արտահայտություններով տառերով, սինուսներով, անհայտներով և այլն և այլն, ոչնչով չեն տարբերվում սովորական կոտորակների գործողություններից! Սովորական կոտորակներով գործողությունները բոլոր հանրահաշվի հիմքն են: Հենց այս պատճառով է, որ մենք այստեղ շատ մանրամասն կվերլուծենք այս ամբողջ թվաբանությունը։

Կոտորակների գումարում և հանում:

Բոլորը կարող են գումարել (հանել) նույն հայտարարներով կոտորակները (ես իսկապես հուսով եմ): Դե, լրիվ մոռացկոտներին հիշեցնեմ՝ գումարելիս (հանելիս) հայտարարը չի փոխվում։ Համարիչները գումարվում են (հանվում), որպեսզի ստացվի արդյունքի համարիչը: Տեսակը:

Մի խոսքով, ներս ընդհանուր տեսարան:

Իսկ եթե հայտարարները տարբեր են: Այնուհետև, օգտագործելով կոտորակի հիմնական հատկությունը (այստեղ այն նորից ձեռնտու է), հայտարարները դարձնում ենք նույնը: Օրինակ.

Այստեղ մենք պետք է 2/5 կոտորակից դարձնեինք 4/10 կոտորակը։ Միակ նպատակի համար, որ հայտարարները դարձնեն նույնը: Նշեմ, ամեն դեպքում, որ 2/5-ը և 4/10-ն են նույն կոտորակը! Միայն 2/5-ն է մեզ համար անհարմար, իսկ 4/10-ն իսկապես լավ է:

Ի դեպ, սա է մաթեմատիկական ցանկացած խնդիր լուծելու էությունը։ Երբ մենք ից անհարմարմենք արտահայտություններ ենք անում նույնը, բայց ավելի հարմար է լուծելու համար.

Մեկ այլ օրինակ.

Իրավիճակը նման է. Այստեղ մենք 16-ից կազմում ենք 48: Պարզ բազմապատկելով 3-ով: Այս ամենը պարզ է: Բայց մենք հանդիպեցինք նման բանի.

Ինչպե՞ս լինել: Դժվար է յոթից ինը դարձնել: Բայց մենք խելացի ենք, մենք գիտենք կանոնները: Եկեք փոխակերպվենք ամենկոտորակ այնպես, որ հայտարարները նույնն են: Սա կոչվում է «նվազեցնել ընդհանուր հայտարարի».

Վա՜յ։ Ինչպե՞ս իմացա 63-ի մասին: Շատ պարզ! 63-ը մի թիվ է, որը միաժամանակ բաժանվում է 7-ի և 9-ի: Նման թիվ միշտ կարելի է ստանալ՝ բազմապատկելով հայտարարները։ Եթե ​​մենք, օրինակ, մի թիվը բազմապատկենք 7-ով, ապա արդյունքն անշուշտ կբաժանվի 7-ի:

Եթե ​​պետք է մի քանի կոտորակ գումարել (հանել), ապա կարիք չկա դա անել զույգերով, քայլ առ քայլ։ Պարզապես պետք է գտնել բոլոր կոտորակների համար ընդհանուր հայտարարը և կրճատել յուրաքանչյուր կոտորակը այս նույն հայտարարին: Օրինակ.

Իսկ ո՞րն է լինելու ընդհանուր հայտարարը։ Դուք, իհարկե, կարող եք բազմապատկել 2-ը, 4-ը, 8-ը և 16-ը: Ստանում ենք 1024. Մղձավանջ: Ավելի հեշտ է գնահատել, որ 16 թիվը կատարելապես բաժանվում է 2-ի, 4-ի և 8-ի: Հետևաբար, այս թվերից հեշտ է ստանալ 16: Այս թիվը կլինի ընդհանուր հայտարարը: 1/2-ը դարձնենք 8/16, 3/4-ը՝ 12/16 և այլն։

Ի դեպ, եթե ընդհանուր հայտարար վերցնես 1024-ը, ամեն ինչ կստացվի, վերջում ամեն ինչ կկրճատվի։ Բայց ոչ բոլորն են հասնելու այս ավարտին, քանի որ հաշվարկները...

Ինքներդ լրացրեք օրինակը: Ոչ թե ինչ-որ լոգարիթմ... Այն պետք է լինի 29/16:

Այսպիսով, կոտորակների գումարումը (հանումը) պարզ է, հուսով եմ: Իհարկե, ավելի հեշտ է աշխատել կրճատված տարբերակով, լրացուցիչ բազմապատկիչներով։ Բայց այս հաճույքը հասանելի է նրանց, ովքեր ազնվորեն են աշխատել կրտսեր դասարաններ... Եվ ես ոչինչ չեմ մոռացել:

Եվ հիմա մենք կանենք նույն գործողությունները, բայց ոչ թե կոտորակներով, այլ կոտորակներով կոտորակային արտահայտություններ. Այստեղ կհայտնաբերվի նոր փոցխ, այո...

Այսպիսով, մենք պետք է ավելացնենք երկու կոտորակային արտահայտություն.

Հայտարարները պետք է նույնը դարձնենք: Եվ միայն օգնությամբ բազմապատկում! Ահա թե ինչ է թելադրում կոտորակի հիմնական հատկությունը։ Հետևաբար, ես չեմ կարող X-ին մեկ ավելացնել հայտարարի մեջ առաջին կոտորակի մեջ: (դա լավ կլիներ!): Բայց եթե բազմապատկեք հայտարարները, տեսնում եք, ամեն ինչ աճում է միասին: Այսպիսով, մենք գրում ենք կոտորակի գիծը, վերևում թողնում ենք դատարկ տարածություն, այնուհետև ավելացնում ենք այն և ստորև գրում ենք հայտարարների արտադրյալը, որպեսզի չմոռանանք.

Եվ, իհարկե, մենք ոչինչ չենք բազմապատկում աջ կողմում, մենք չենք բացում փակագծերը: Եվ հիմա, նայելով աջ կողմի ընդհանուր հայտարարին, հասկանում ենք, որ առաջին կոտորակի մեջ x(x+1) հայտարարը ստանալու համար հարկավոր է այս կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել (x+1)-ով: . Իսկ երկրորդ կոտորակում՝ x-ին: Սա այն է, ինչ դուք ստանում եք.

Ուշադրություն դարձրեք. Ահա փակագծերը. Սա այն փոցխն է, որի վրա շատերն են ոտնահարում։ Ոչ թե փակագծերը, իհարկե, այլ դրանց բացակայությունը։ Փակագծերը հայտնվում են, քանի որ մենք բազմապատկվում ենք բոլորըհամարիչ և բոլորըհայտարար! Եվ ոչ նրանց առանձին կտորները...

Աջ կողմի համարիչում գրում ենք համարիչների գումարը, ամեն ինչ այնպես է, ինչպես թվային կոտորակներում, ապա բացում ենք աջ կողմի համարիչի փակագծերը, այսինքն. Մենք ամեն ինչ բազմապատկում ենք և տալիս ենք նմանները։ Կարիք չկա բացել փակագծերը հայտարարների մեջ կամ բազմապատկել որևէ բան։ Ընդհանրապես, հայտարարներում (ցանկացած) ապրանքը միշտ ավելի հաճելի է: Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, մենք ստացանք պատասխանը. Գործընթացը երկար և դժվար է թվում, բայց դա կախված է պրակտիկայից: Օրինակները լուծելուց, վարժվելուց հետո ամեն ինչ պարզ կդառնա։ Նրանք, ովքեր ժամանակին տիրապետել են կոտորակներին, այս բոլոր գործողությունները կատարում են մեկ ձախ ձեռքով, ավտոմատ կերպով:

Եվ ևս մեկ նշում. Շատերը խելացիորեն զբաղվում են կոտորակների հետ, բայց խրված են օրինակների վրա ամբողջթվեր։ Հավանում եմ՝ 2 + 1/2 + 3/4= ? Որտեղ ամրացնել երկու կտոր. Այն ոչ մի տեղ ամրացնել պետք չէ, երկուսից պետք է կոտորակ անել: Դա հեշտ չէ, բայց շատ պարզ! 2=2/1. Այսպես. Ցանկացած ամբողջ թիվ կարելի է գրել որպես կոտորակ: Համարիչը ինքնին թիվն է, հայտարարը՝ մեկ։ 7-ը 7/1 է, 3-ը՝ 3/1 և այլն։ Նույնը տառերի դեպքում է։ (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 և այլն: Եվ հետո այս կոտորակների հետ աշխատում ենք բոլոր կանոններով։

Դե, կոտորակների գումարում-հանման գիտելիքները թարմացվեցին։ Կոտորակները մի տեսակից մյուսը փոխարկելը կրկնվեց։ Կարող եք նաև ստուգվել։ Մի քիչ կարգավորե՞նք։)

Հաշվարկել:

Պատասխաններ (խառնաշփոթ).

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Կոտորակների բազմապատկում/բաժանում - հաջորդ դասին. Կան նաև առաջադրանքներ կոտորակներով բոլոր գործողությունների համար։

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորենք՝ հետաքրքրությամբ։)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։