Խաչաձեւ բազմապատկում

Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը:

Կոտորակների ընդհանուր հայտարարը

Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։

Տես նաեւ:

Ի սկզբանե ես ուզում էի ներառել նկարահանման մեթոդները Ընդհանուր հայտարար«Կոտորակների գումարում և հանում» բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։

Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ տարբեր հայտարարներ. Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.

Կոտորակը չի փոխվի, եթե դրա համարը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:

Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործակիցները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։

Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.

1. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ միջոց չկա.
2. Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
3. Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:

Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն։ Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:

Խաչաձեւ բազմապատկում

Ամենապարզը և հուսալի միջոց, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում։ Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.

Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե ​​դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:

Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջ ճանապարհին» բազմապատկվում են, և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր: Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:

Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ

Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.

1. Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
2. Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
3. Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:

Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:

Ի դեպ, այս օրինակի կոտորակները պատահական չեմ վերցրել: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։

Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի հզորությունն է, բայց, կրկին, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:

Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ

Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։

Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։

Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:

Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):

Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:

Եթե ​​ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.

Ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարը

Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:

Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:

Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.

Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.

1. Բացահայտելով նույնական գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
2. Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։

Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:

Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ կարելի է գտնել մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվարկային խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։

Տես նաեւ:

Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Ես ի սկզբանե ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան Կոտորակների գումարում և հանում բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։

Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ՝ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.

Կոտորակը չի փոխվի, եթե դրա համարը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:

Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործակիցները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։

Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի:

Ընդհանուր հայտարար, հասկացություն և սահմանում:

Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.

1. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ միջոց չկա.
2. Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
3. Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:

Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն։ Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:

Խաչաձեւ բազմապատկում

Ամենապարզ և հուսալի մեթոդը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում: Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.

Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե ​​դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:

Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջ ճանապարհին» բազմապատկվում են, և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր: Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:

Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ

Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.

1. Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
2. Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
3. Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:

Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:

Ի դեպ, այս օրինակի կոտորակները պատահական չեմ վերցրել: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։

Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի հզորությունն է, բայց, կրկին, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:

Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ

Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։

Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։

Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:

Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):

Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:

Եթե ​​ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:

Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:

Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.

Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.

1. Բացահայտելով նույնական գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
2. Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։

Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։

Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:

Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ կարելի է գտնել մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվարկային խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։

Տես նաեւ:

Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Ես ի սկզբանե ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան Կոտորակների գումարում և հանում բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։

Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ՝ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.

Կոտորակը չի փոխվի, եթե դրա համարը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:

Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործակիցները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։

Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.

1. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ միջոց չկա.
2. Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
3. Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:

Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն։ Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:

Խաչաձեւ բազմապատկում

Ամենապարզ և հուսալի մեթոդը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում: Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։

Նայել:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.

Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե ​​դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:

Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջ ճանապարհին» բազմապատկվում են, և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր: Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:

Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ

Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.

1. Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
2. Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
3. Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:

Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:

Ի դեպ, այս օրինակի կոտորակները պատահական չեմ վերցրել: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։

Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի հզորությունն է, բայց, կրկին, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:

Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ

Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։

Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։

Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:

Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):

Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:

Եթե ​​ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:

Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:

Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.

Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.

1. Բացահայտելով նույնական գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
2. Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։

Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։

Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:

Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ կարելի է գտնել մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվարկային խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։

Տես նաեւ:

Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Ես ի սկզբանե ցանկանում էի ներառել ընդհանուր հայտարարի տեխնիկան Կոտորակների գումարում և հանում բաժնում: Բայց պարզվեց, որ ինֆորմացիան այնքան շատ է, և դրա կարևորությունն այնքան մեծ է (ի վերջո, ոչ միայն թվային կոտորակներն ունեն ընդհանուր հայտարարներ), որ ավելի լավ է այս հարցը առանձին ուսումնասիրել։

Այսպիսով, ենթադրենք, որ ունենք երկու կոտորակ՝ տարբեր հայտարարներով: Եվ մենք ուզում ենք համոզվել, որ հայտարարները նույնը դառնան։ Օգնության է գալիս կոտորակի հիմնական հատկությունը, որը, հիշեցնեմ, հնչում է այսպես.

Կոտորակը չի փոխվի, եթե դրա համարը և հայտարարը բազմապատկվեն նույն թվով, քան զրո:

Այսպիսով, եթե դուք ճիշտ ընտրեք գործակիցները, ապա կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն, - այս գործընթացը կոչվում է. Իսկ պահանջվող թվերը՝ «երեկոյացնելով» հայտարարները, կոչվում են։

Ինչու՞ պետք է կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Ահա ընդամենը մի քանի պատճառ.

1. Տարբեր հայտարարներով կոտորակների գումարում և հանում: Այս գործողությունը կատարելու այլ միջոց չկա.
2. Կոտորակների համեմատում. Երբեմն ընդհանուր հայտարարի կրճատումը մեծապես հեշտացնում է այս խնդիրը.
3. Կոտորակների և տոկոսների հետ կապված խնդիրների լուծում: Տոկոսները, ըստ էության, սովորական արտահայտություններ են, որոնք պարունակում են կոտորակներ:

Թվեր գտնելու բազմաթիվ եղանակներ կան, որոնք դրանցով բազմապատկելու դեպքում կոտորակների հայտարարները կհավասարվեն։ Մենք կդիտարկենք դրանցից միայն երեքը` ըստ բարդության և ինչ-որ իմաստով արդյունավետության:

Խաչաձեւ բազմապատկում

Ամենապարզ և հուսալի մեթոդը, որը երաշխավորված է հայտարարների հավասարեցում: Մենք գործելու ենք «գլխավոր կերպով». առաջին կոտորակը բազմապատկում ենք երկրորդ կոտորակի հայտարարով, իսկ երկրորդը՝ առաջինի հայտարարով: Արդյունքում երկու կոտորակների հայտարարները հավասար կլինեն սկզբնական հայտարարների արտադրյալին։ Նայել:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Որպես լրացուցիչ գործոններ դիտարկեք հարևան կոտորակների հայտարարները: Մենք ստանում ենք.

Այո, դա այդքան պարզ է: Եթե ​​դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել կոտորակները, ապա ավելի լավ է աշխատել այս մեթոդով. այս կերպ դուք ձեզ կապահովագրեք բազմաթիվ սխալներից և երաշխավորված կստանաք արդյունք:

Այս մեթոդի միակ թերությունն այն է, որ պետք է շատ հաշվել, քանի որ հայտարարները «ամբողջ ճանապարհին» բազմապատկվում են, և արդյունքը կարող է լինել շատ մեծ թվեր:

Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Սա այն գինն է, որը պետք է վճարել հուսալիության համար:

Ընդհանուր բաժանարար մեթոդ

Այս տեխնիկան օգնում է զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկները, բայց, ցավոք, այն օգտագործվում է բավականին հազվադեպ: Մեթոդը հետևյալն է.

1. Նախքան ուղիղ առաջ գնալը (այսինքն՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը), նայեք հայտարարներին: Երևի դրանցից մեկը (ավելի մեծը) բաժանված է մյուսի։
2. Այս բաժանումից ստացվող թիվը լրացուցիչ գործոն կլինի ավելի փոքր հայտարար ունեցող կոտորակի համար։
3. Այս դեպքում մեծ հայտարար ունեցող կոտորակն ընդհանրապես որևէ բանով բազմապատկվելու կարիք չունի. ահա թե որտեղ է խնայողությունը: Միաժամանակ սխալի հավանականությունը կտրուկ նվազում է։

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նկատի ունեցեք, որ 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Քանի որ երկու դեպքում էլ մի հայտարարը առանց մնացորդի բաժանվում է մյուսին, մենք օգտագործում ենք ընդհանուր գործակիցների մեթոդը: Մենք ունենք:

Նկատի ունեցեք, որ երկրորդ կոտորակն ընդհանրապես ոչնչով չի բազմապատկվել։ Փաստորեն, մենք կիսով չափ կրճատեցինք հաշվարկների քանակը:

Ի դեպ, այս օրինակի կոտորակները պատահական չեմ վերցրել: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք, փորձեք դրանք հաշվել՝ օգտագործելով խաչաձեւ մեթոդը: Կրճատվելուց հետո պատասխանները նույնն են լինելու, բայց շատ ավելի շատ աշխատանք է լինելու։

Սա ընդհանուր բաժանարարների մեթոդի հզորությունն է, բայց, կրկին, այն կարող է օգտագործվել միայն այն դեպքում, երբ հայտարարներից մեկը բաժանվում է մյուսի վրա առանց մնացորդի: Ինչը տեղի է ունենում բավականին հազվադեպ:

Ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդ

Երբ կոտորակները կրճատում ենք ընդհանուր հայտարարի, մենք ըստ էության փորձում ենք գտնել մի թիվ, որը բաժանվում է յուրաքանչյուր հայտարարի վրա: Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարները բերում ենք այս թվին։

Նման թվերը շատ են, և դրանցից ամենափոքրը պարտադիր չէ, որ հավասար լինի սկզբնական կոտորակների հայտարարների ուղղակի արտադրյալին, ինչպես ենթադրվում է «խաչաձև» մեթոդով։

Օրինակ, 8 և 12 հայտարարների համար 24 թիվը բավականին հարմար է, քանի որ 24: 8 = 3; 24: 12 = 2: Այս թիվը շատ ավելի քիչ է, քան 8 12 = 96 արտադրյալը:

Ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է հայտարարներից յուրաքանչյուրի վրա, կոչվում է նրանց (LCM):

Նշում. a-ի և b-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը նշվում է LCM(a; b): Օրինակ, LCM(16, 24) = 48; LCM (8; 12) = 24:

Եթե ​​ձեզ հաջողվի գտնել նման թիվ, ապա հաշվարկների ընդհանուր գումարը կլինի նվազագույն։ Նայեք օրինակներին.

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստները.

Նշենք, որ 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. 2-րդ և 3-րդ գործոնները համատեղ պարզ են (1-ից բացի այլ ընդհանուր գործակիցներ չունեն), իսկ 117-ը ընդհանուր է: Հետևաբար LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702:

Նմանապես, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3-րդ և 4-րդ գործոնները համապարփակ են, իսկ 5-րդ գործոնը՝ ընդհանուր: Հետևաբար LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60:

Այժմ եկեք կոտորակները բերենք ընդհանուր հայտարարի.

Ուշադրություն դարձրեք, թե որքան օգտակար էր սկզբնական հայտարարների ֆակտորիզացումը.

1. Բացահայտելով նույնական գործոններ՝ մենք անմիջապես հասանք նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկին, որը, ընդհանուր առմամբ, ոչ տրիվիալ խնդիր է.
2. Ստացված ընդլայնումից կարող եք պարզել, թե որ գործոններն են «բացակայում» յուրաքանչյուր կոտորակում: Օրինակ՝ 234 · 3 = 702, հետևաբար, առաջին կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է։

Որպեսզի հասկանանք, թե որքան տարբերություն է տալիս ամենաքիչ տարածված բազմակի մեթոդը, փորձեք հաշվարկել այս նույն օրինակները՝ օգտագործելով խաչաձև մեթոդը: Իհարկե, առանց հաշվիչի։ Կարծում եմ՝ սրանից հետո մեկնաբանություններն ավելորդ կլինեն։

Չկարծեք, որ իրական օրինակներում նման բարդ կոտորակներ չեն լինի։ Նրանք միշտ հանդիպում են, և վերը նշված առաջադրանքները սահմանը չեն:

Միակ խնդիրն այն է, թե ինչպես գտնել հենց այս ՀԱՕԿ-ը: Երբեմն ամեն ինչ կարելի է գտնել մի քանի վայրկյանում, բառացիորեն «աչքով», բայց ընդհանուր առմամբ սա բարդ հաշվարկային խնդիր է, որը պահանջում է առանձին քննարկում: Այստեղ մենք դրան չենք անդրադառնա։

Կոտորակներով օրինակներ լուծելու համար պետք է կարողանալ գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: Ստորև ներկայացված են մանրամասն հրահանգներ:

Ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարը` հայեցակարգը

Նվազագույն ընդհանուր հայտարար (LCD) պարզ բառերով- սա այն նվազագույն թիվն է, որը բաժանվում է բոլոր կոտորակների հայտարարի վրա այս օրինակը. Այլ կերպ ասած, այն կոչվում է նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM): NOS-ն օգտագործվում է միայն այն դեպքում, եթե կոտորակների հայտարարները տարբեր են:

Ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարը - օրինակներ

Դիտարկենք ԱՕԿ-ներ գտնելու օրինակներ:

Հաշվիր՝ 3/5 + 2/15։

Լուծում (գործողությունների հաջորդականություն).

• Մենք նայում ենք կոտորակների հայտարարներին, համոզվում, որ դրանք տարբեր են, և որ արտահայտությունները հնարավորինս կրճատված են:
• Մենք գտնում ենք ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է և՛ 5-ի, և՛ 15-ի։ Այս թիվը կլինի 15։ Այսպիսով՝ 3/5 + 2/15 = ?/15։
• Մենք պարզեցինք հայտարարը. Ի՞նչ կլինի համարիչում: Լրացուցիչ բազմապատկիչը կօգնի մեզ պարզել դա: Լրացուցիչ գործակից է համարվում NZ-ը որոշակի կոտորակի հայտարարի վրա բաժանելով ստացված թիվը։ 3/5-ի համար լրացուցիչ գործակիցը 3 է, քանի որ 15/5 = 3: Երկրորդ կոտորակի համար լրացուցիչ գործակիցը 1 է, քանի որ 15/15 = 1:
• Հավելյալ գործակիցը պարզելով՝ այն բազմապատկում ենք կոտորակների համարիչներով և ավելացնում ստացված արժեքները։ 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15:

Պատասխան՝ 3/5 + 2/15 = 11/15:

Եթե ​​օրինակում ավելացվում կամ հանվում են ոչ թե 2, այլ 3 կամ ավելի կոտորակներ, ապա NCD-ում պետք է փնտրել այնքան կոտորակներ, որքան տրված է:

Հաշվեք՝ 1/2 – 5/12 + 3/6

Լուծում (գործողությունների հաջորդականություն).

• Գտնելով ամենացածր ընդհանուր հայտարարը: 2-ի, 12-ի և 6-ի բաժանվող նվազագույն թիվը 12 է։
• Մենք ստանում ենք՝ 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12:
• Մենք փնտրում ենք լրացուցիչ բազմապատկիչներ։ 1/2 – 6-ի համար; 5/12-ի համար – 1; 3/6 – 2-ի համար:
• Մենք բազմապատկում ենք համարիչներով և նշանակում համապատասխան նշաններ՝ 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12։

Պատասխան՝ 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12:

Ինչպես գտնել LCM (նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ)

Երկու ամբողջ թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը բոլոր ամբողջ թվերից ամենափոքրն է, որը բաժանվում է երկու տրված թվերի վրա՝ առանց մնացորդ թողնելու։

Մեթոդ 1. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն, իր հերթին, տրված թվերից յուրաքանչյուրի համար՝ աճման կարգով գրելով բոլոր այն թվերը, որոնք ստացվում են դրանք 1-ով, 2-ով, 3-ով, 4-ով և այլն բազմապատկելով:

Օրինակ 6 և 9 համարների համար։
Մենք 6 թիվը հաջորդաբար բազմապատկում ենք 1, 2, 3, 4, 5-ով։
Մենք ստանում ենք՝ 6, 12, 18 , 24, 30
Մենք 9 թիվը բազմապատկում ենք հաջորդաբար 1, 2, 3, 4, 5-ով:
Մենք ստանում ենք՝ 9, 18 , 27, 36, 45
Ինչպես տեսնում եք, 6-րդ և 9-րդ համարների LCM-ը հավասար կլինի 18-ի:

Այս մեթոդը հարմար է, երբ երկու թվերն էլ փոքր են, և հեշտ է դրանք բազմապատկել ամբողջ թվերի հաջորդականությամբ։ Այնուամենայնիվ, կան դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է գտնել LCM երկնիշ կամ եռանիշ թվերի համար, ինչպես նաև, երբ կան երեք կամ նույնիսկ ավելի սկզբնական թվեր:

Մեթոդ 2. Դուք կարող եք գտնել LCM-ն՝ տարրալուծելով բնօրինակ թվերը հիմնական գործոնները.
Քայքայվելուց հետո անհրաժեշտ է առաջացած պարզ գործոնների շարքից միանման թվերը հատել։ Առաջին թվի մնացած թվերը երկրորդի համար կլինեն բազմապատկիչ, իսկ երկրորդի մնացած թվերը՝ առաջինի համար:

Օրինակ 75 և 60 համարների համար։
75 և 60 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը կարելի է գտնել առանց այս թվերի բազմապատիկները անընդմեջ գրառելու։ Դա անելու համար 75-ը և 60-ը դասավորենք պարզ գործոնների.
75 = 3 * 5 * 5, ա
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Ինչպես տեսնում եք, 3-րդ և 5-րդ գործոնները հայտնվում են երկու տողերում: Մենք մտովի «հատում ենք» նրանց։
Եկեք գրենք այս թվերից յուրաքանչյուրի ընդլայնման մեջ ներառված մնացած գործոնները: 75 թիվը քայքայելիս մեզ մնում է 5 թիվը, իսկ 60 թիվը քայքայելիս՝ 2 * 2։
Սա նշանակում է, որ 75 և 60 թվերի LCM-ն որոշելու համար մենք պետք է 75-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 5-ն է) բազմապատկենք 60-ով և 60-ի ընդլայնումից մնացած թվերը (սա 2 է) * 2) 75-ով: Այսինքն, հասկանալու համար մենք ասում ենք, որ բազմապատկվում ենք «խաչաձև»:
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Այսպես մենք գտանք LCM-ը 60 և 75 թվերի համար։ Սա 300 թիվն է։

Օրինակ. Որոշե՛ք LCM 12, 16, 24 թվերի համար
Այս դեպքում մեր գործողությունները որոշ չափով ավելի բարդ կլինեն։ Բայց նախ, ինչպես միշտ, եկեք ֆակտորիզացնենք բոլոր թվերը
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
LCM-ը ճիշտ որոշելու համար մենք ընտրում ենք բոլոր թվերից ամենափոքրը (սա 12-րդ թիվն է) և հաջորդաբար անցնում ենք դրա գործակիցները՝ հատելով դրանք, եթե թվերի մյուս շարքերից գոնե մեկում հանդիպենք նույն գործոնին, որը դեռևս չի եղել։ խաչվել է.

Քայլ 1. Մենք տեսնում ենք, որ 2 * 2-ը տեղի է ունենում թվերի բոլոր շարքերում: Եկեք դրանք խաչ քաշենք:
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Քայլ 2. 12 թվի պարզ գործակիցներում մնում է միայն 3 թիվը, սակայն այն առկա է 24 թվի պարզ գործակիցներում: Մենք 3-րդ համարը խաչում ենք երկու տողերից, մինչդեռ 16-ի համար գործողություններ չեն սպասվում: .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Ինչպես տեսնում եք, 12 թիվը քայքայելիս մենք «հատեցինք» բոլոր թվերը։ Սա նշանակում է, որ ԼՕԿ-ի բացահայտումն ավարտված է։ Մնում է միայն հաշվարկել դրա արժեքը։
12 թվի համար վերցրեք 16 թվի մնացած գործակիցները (հաջորդը՝ աճման կարգով)
12 * 2 * 2 = 48
Սա ՀԱՕԿ-ն է

Ինչպես տեսնում եք, այս դեպքում LCM-ը գտնելը որոշ չափով ավելի դժվար էր, բայց երբ անհրաժեշտ է գտնել այն երեք կամ ավելի թվերի համար, այս մեթոդըթույլ է տալիս դա անել ավելի արագ: Այնուամենայնիվ, LCM-ն գտնելու երկու մեթոդներն էլ ճիշտ են:

Այս հոդվածը բացատրում է ինչպես գտնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարըԵվ ինչպես կրճատել կոտորակները ընդհանուր հայտարարի. Նախ տրված են կոտորակների ընդհանուր հայտարարի և ամենաքիչ ընդհանուր հայտարարի սահմանումները, ինչպես նաև ցույց է տրված, թե ինչպես կարելի է գտնել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը: Ստորև բերված է կոտորակները ընդհանուր հայտարարի կրճատելու կանոն և դիտարկվում են այս կանոնի կիրառման օրինակներ: Եզրափակելով, օրինակներ բերելու երեք և ավելինկոտորակները ընդհանուր հայտարարի:

Էջի նավարկություն.

Ի՞նչ է կոչվում կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի:

Այժմ մենք կարող ենք ասել, թե ինչ է նշանակում կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի: Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի- Սա տրված կոտորակների համարիչների և հայտարարների բազմապատկումն է այնպիսի լրացուցիչ գործոններով, որ ստացվում են նույն հայտարարներով կոտորակները:

Ընդհանուր հայտարար, սահմանում, օրինակներ

Այժմ ժամանակն է սահմանել կոտորակների ընդհանուր հայտարարը:

Այլ կերպ ասած, սովորական կոտորակների որոշակի բազմության ընդհանուր հայտարարը ցանկացած բնական թիվ է, որը բաժանվում է այդ կոտորակների բոլոր հայտարարների վրա։

Նշված սահմանումից հետևում է, որ կոտորակների տրված բազմությունն ունի անսահման շատ ընդհանուր հայտարարներ, քանի որ կա անվերջ թվով ընդհանուր բազմապատիկ կոտորակների սկզբնական բազմության բոլոր հայտարարների:

Կոտորակների ընդհանուր հայտարարի որոշումը թույլ է տալիս գտնել տվյալ կոտորակների ընդհանուր հայտարարը: Օրինակ՝ 1/4 և 5/6 կոտորակները հաշվի առնելով՝ դրանց հայտարարները համապատասխանաբար 4 և 6 են։ 4 և 6 թվերի դրական ընդհանուր բազմապատիկներն են 12, 24, 36, 48, ... Այս թվերից որևէ մեկը 1/4 և 5/6 կոտորակների ընդհանուր հայտարարն է։

Նյութը համախմբելու համար հաշվի առեք հետևյալ օրինակի լուծումը.

Օրինակ։

Կարո՞ղ են 2/3, 23/6 և 7/12 կոտորակները կրճատել 150 ընդհանուր հայտարարի:

Լուծում.

Հարցին պատասխանելու համար պետք է պարզել, թե արդյոք 150 թիվը 3, 6 և 12 հայտարարների ընդհանուր բազմապատիկն է։ Դա անելու համար ստուգենք, թե արդյոք 150-ը բաժանվում է այս թվերից յուրաքանչյուրի վրա (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս բնական թվերի բաժանման կանոններն ու օրինակները, ինչպես նաև բնական թվերը մնացորդով բաժանելու կանոններն ու օրինակները). 150:3=50. , 150:6=25, 150՝ 12=12 (մնաց 6) .

Այսպիսով, 150-ը հավասարապես չի բաժանվում 12-ի, հետևաբար 150-ը 3-ի, 6-ի և 12-ի ընդհանուր բազմապատիկը չէ: Հետևաբար, 150 թիվը չի կարող լինել սկզբնական կոտորակների ընդհանուր հայտարարը։

Պատասխան.

Արգելվում է։

Ամենացածր ընդհանուր հայտարարը, ինչպե՞ս գտնել այն:

Տրված կոտորակների ընդհանուր հայտարար հանդիսացող թվերի բազմության մեջ կա ամենափոքր բնական թիվ, որը կոչվում է ամենափոքր ընդհանուր հայտարար։ Ձևակերպենք այս կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարի սահմանումը։

Սահմանում.

Նվազագույն ընդհանուր հայտարարըայս կոտորակների բոլոր ընդհանուր հայտարարների ամենափոքր թիվն է։

Մնում է զբաղվել այն հարցով, թե ինչպես գտնել ամենափոքրը ընդհանուր բաժանարար.

Քանի որ թվերի տրված բազմության նվազագույն դրական ընդհանուր բաժանարարն է, ապա տվյալ կոտորակների հայտարարների LCM-ն ներկայացնում է տվյալ կոտորակների ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը:

Այսպիսով, կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը գտնելը իջնում ​​է այդ կոտորակների հայտարարների վրա։ Դիտարկենք օրինակի լուծումը։

Օրինակ։

Գտե՛ք 3/10 և 277/28 կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:

Լուծում.

Այս կոտորակների հայտարարներն են 10 և 28։ Ցանկալի ամենացածր ընդհանուր հայտարարը գտնվում է որպես 10 և 28 թվերի LCM: Մեր դեպքում դա հեշտ է՝ քանի որ 10=2·5 և 28=2·2·7, ապա LCM(15, 28)=2·2·5·7=140:

Պատասխան.

140 .

Ինչպե՞ս կրճատել կոտորակները ընդհանուր հայտարարի: Կանոն, օրինակներ, լուծումներ

Սովորաբար ընդհանուր կոտորակներհանգեցնել ամենացածր ընդհանուր հայտարարի. Այժմ մենք կգրենք մի կանոն, որը բացատրում է, թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակները մինչև իրենց ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:

Կոտորակներն ամենացածր ընդհանուր հայտարարին փոքրացնելու կանոնբաղկացած է երեք քայլից.

• Նախ գտե՛ք կոտորակների ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:
• Երկրորդ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի համար հաշվարկվում է լրացուցիչ գործակից՝ ամենացածր ընդհանուր հայտարարը բաժանելով յուրաքանչյուր կոտորակի հայտարարի վրա։
• Երրորդ՝ յուրաքանչյուր կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են նրա լրացուցիչ գործակցով։

Եկեք կիրառենք նշված կանոնը հետևյալ օրինակը լուծելու համար.

Օրինակ։

5/14 և 7/18 կոտորակներն իջեցրե՛ք մինչև իրենց ամենացածր ընդհանուր հայտարարը:

Լուծում.

Կատարենք կոտորակներն ամենացածր ընդհանուր հայտարարին կրճատելու ալգորիթմի բոլոր քայլերը։

Նախ գտնում ենք ամենափոքր ընդհանուր հայտարարը, որը հավասար է 14 և 18 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկին։ Քանի որ 14=2·7 և 18=2·3·3, ապա LCM(14, 18)=2·3·3·7=126:

Այժմ հաշվում ենք լրացուցիչ գործոններ, որոնց օգնությամբ 5/14 և 7/18 կոտորակները կնվազեն մինչև 126 հայտարար։ 5/14 կոտորակի համար հավելյալ գործակիցը 126:14=9 է, իսկ 7/18 կոտորակի համար՝ 126:18=7։

Մնում է 5/14 և 7/18 կոտորակների համարիչները և հայտարարները բազմապատկել համապատասխանաբար լրացուցիչ 9 և 7 գործակիցներով։ ունենք և .

Այսպիսով, 5/14 և 7/18 կոտորակները մինչև ամենացածր ընդհանուր հայտարարի կրճատումը ավարտված է: Ստացված կոտորակները եղել են 45/126 և 49/126:

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել LCM-ը, նախ պետք է որոշել «բազմակի» տերմինի իմաստը:

A-ի բազմապատիկը բնական թիվ է, որը բաժանվում է A-ի առանց մնացորդի Այսպիսով, 5-ի բազմապատիկ թվերը կարելի է համարել 15, 20, 25 և այլն:

Կարող են լինել որոշակի թվի բաժանարարներ սահմանափակ քանակությամբ, բայց կան անսահման թվով բազմապատիկներ։

Ընդհանուր բազմապատիկ բնական թվեր- թիվ, որը բաժանվում է նրանց վրա առանց մնացորդի:

Ինչպես գտնել թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը

Թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM) (երկու, երեք կամ ավելի) ամենափոքր բնական թիվն է, որը բաժանվում է այս բոլոր թվերի վրա։

LOC-ը գտնելու համար կարող եք օգտագործել մի քանի մեթոդներ.

Փոքր թվերի համար հարմար է գրել այս թվերի բոլոր բազմապատիկները տողի վրա, մինչև դրանց մեջ ընդհանուր բան չգտնեք։ Բազմապատիկները նշվում են K մեծատառով:

Օրինակ, 4-ի բազմապատիկները կարելի է գրել այսպես.

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Այսպիսով, դուք կարող եք տեսնել, որ 4 և 6 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը 24 թիվն է: Այս նշումը կատարվում է հետևյալ կերպ.

LCM (4, 6) = 24

Եթե ​​թվերը մեծ են, գտե՛ք երեք կամ ավելի թվերի ընդհանուր բազմապատիկը, ապա ավելի լավ է օգտագործել LCM-ի հաշվարկման այլ մեթոդ։

Առաջադրանքն ավարտելու համար անհրաժեշտ է տրված թվերը դասավորել պարզ գործակիցների:

Նախ պետք է գրել տողի վրա ամենամեծ թվի տարրալուծումը, իսկ դրա տակ՝ մնացածը:

Յուրաքանչյուր թվի տարրալուծումը կարող է պարունակել տարբեր թվով գործոններ:

Օրինակ՝ 50 և 20 թվերը դասավորենք պարզ գործակիցների:

Ավելի փոքր թվի ընդլայնման ժամանակ պետք է առանձնացնել այն գործոնները, որոնք բացակայում են առաջին ամենամեծ թվի ընդլայնման մեջ, այնուհետև ավելացնել դրանք: Ներկայացված օրինակում բացակայում է երկուսը:

Այժմ դուք կարող եք հաշվարկել 20-ի և 50-ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը:

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Այսպիսով, ավելի մեծ թվի պարզ և երկրորդ թվի գործակիցների արտադրյալը, որոնք չեն ներառվել մեծ թվի ընդլայնման մեջ, կլինի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Երեք և ավելի թվերի LCM-ը գտնելու համար պետք է դրանք բոլորը դասավորել պարզ գործակիցների, ինչպես նախորդ դեպքում:

Որպես օրինակ՝ կարող եք գտնել 16, 24, 36 թվերի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Այսպիսով, տասնվեցի ընդլայնումից միայն երկու երկուսը չեն ներառվել ավելի մեծ թվի ֆակտորիզացիայի մեջ (մեկը քսանչորսի ընդլայնման մեջ է)։

Այսպիսով, դրանք պետք է ավելացվեն ավելի մեծ թվի ընդլայնմանը:

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Կան ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի որոշման հատուկ դեպքեր։ Այսպիսով, եթե թվերից մեկը կարելի է առանց մնացորդի բաժանել մյուսի, ապա այդ թվերից ավելի մեծը կլինի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը։

Օրինակ, տասներկու և քսանչորսի LCM-ն քսանչորս է:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել միմյանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը պարզ թվեր, որոնք չունեն նույնական բաժանարարներ, ապա դրանց LCM-ն հավասար կլինի նրանց արտադրյալին։

Օրինակ, LCM (10, 11) = 110: