Միջին և ավագ դպրոցի դասընթացներում ուսանողները լուսաբանում էին «Կոտորակներ» թեման: Այնուամենայնիվ, այս հայեցակարգը շատ ավելի լայն է, քան այն, ինչ տրված է ուսումնական գործընթացում: Այսօր կոտորակ հասկացությունը բավականին հաճախ է հանդիպում, և ոչ բոլորը կարող են հաշվարկել որևէ արտահայտություն, օրինակ՝ կոտորակների բազմապատկում։

Ի՞նչ է կոտորակը:

Պատմականորեն կոտորակային թվերն առաջացել են չափման անհրաժեշտությունից: Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, հաճախ կան հատվածի երկարությունը և ուղղանկյուն ուղղանկյունի ծավալը որոշելու օրինակներ:

Սկզբում ուսանողներին ներկայացվում է բաժնետոմս հասկացությունը: Օրինակ, եթե դուք բաժանեք ձմերուկը 8 մասի, ապա յուրաքանչյուր մարդու կստանա ձմերուկի մեկ ութերորդ մասը։ Ութի այս մի մասը կոչվում է բաժնետոմս։

Ցանկացած արժեքի ½-ին հավասար բաժնետոմս կոչվում է կես; ⅓ - երրորդ; ¼ - քառորդ. 5/8, 4/5, 2/4 ձևի գրառումները կոչվում են սովորական կոտորակներ։ Ընդհանուր կոտորակը բաժանվում է համարիչի և հայտարարի։ Դրանց միջև կոտորակային կամ կոտորակի բարն է: Կոտորակի գիծը կարելի է գծել ինչպես հորիզոնական, այնպես էլ թեք գիծ: IN այս դեպքումայն ներկայացնում է բաժանման նշանը:

Հայտարարը ներկայացնում է, թե քանի հավասար մասերի է բաժանված մեծությունը կամ առարկան. իսկ համարիչն այն է, թե քանի միանման բաժնետոմս է վերցված: Կոտորակի տողի վերևում գրվում է համարիչը, ներքևում՝ հայտարարը։

Առավել հարմար է սովորական կոտորակները ցույց տալ կոորդինատային ճառագայթի վրա։ Եթե ​​միավոր հատվածը բաժանված է 4 հավասար մասերի, ապա նշեք յուրաքանչյուր մասի վրա Լատինական տառ, ապա արդյունքը կարող է լինել հիանալի տեսողական օգնություն։ Այսպիսով, A կետը ցույց է տալիս մասնաբաժինը, որը հավասար է ամբողջ միավորի հատվածի 1/4-ին, իսկ B կետը նշում է տվյալ հատվածի 2/8-ը:

Կոտորակների տեսակները

Կոտորակները կարող են լինել սովորական, տասնորդական և խառը թվեր: Բացի այդ, կոտորակները կարելի է բաժանել պատշաճ և ոչ պատշաճ: Այս դասակարգումն ավելի հարմար է սովորական ֆրակցիաների համար։

Պատշաճ կոտորակ այն թիվն է, որի համարիչը պակաս է հայտարարից. Համապատասխանաբար, ոչ պատշաճ կոտորակ է համարվում այն ​​թիվը, որի համարիչը մեծ է հայտարարից: Երկրորդ տեսակը սովորաբար գրվում է խառը թվով։ Այս արտահայտությունը բաղկացած է ամբողջ թվից և կոտորակային մասից։ Օրինակ՝ 1½։ 1 - ամբողջ մասը, ½ - կոտորակային: Այնուամենայնիվ, եթե դուք պետք է որոշ մանիպուլյացիաներ կատարեք արտահայտությամբ (կոտորակների բաժանում կամ բազմապատկում, դրանք կրճատում կամ փոխակերպում), խառը թիվը վերածվում է ոչ պատշաճ կոտորակի:

Ճիշտ կոտորակային արտահայտությունը միշտ մեկից փոքր է, իսկ սխալը միշտ մեծ է կամ հավասար է 1-ի:

Ինչ վերաբերում է այս արտահայտությանը, ապա մենք նկատի ունենք ռեկորդ, որտեղ ներկայացված է ցանկացած թիվ, որի կոտորակային արտահայտության հայտարարը կարող է արտահայտվել մի քանի զրո ունեցող մեկով։ Եթե ​​կոտորակը ճիշտ է, ապա տասնորդական նշումով ամբողջ թվային մասը հավասար կլինի զրոյի:

Տասնորդական կոտորակ գրելու համար նախ պետք է գրել ամբողջ մասը, այն բաժանել կոտորակից՝ օգտագործելով ստորակետ, ապա գրել կոտորակի արտահայտությունը: Պետք է հիշել, որ տասնորդական կետից հետո համարիչը պետք է պարունակի նույն թվով թվային նիշեր, որքան զրոները հայտարարում:

Օրինակ. Արտահայտե՛ք 7 21 / 1000 կոտորակը տասնորդական նշումով:

Անպատշաճ կոտորակը խառը թվի փոխարկելու ալգորիթմ և հակառակը

Խնդրի պատասխանում սխալ կոտորակ գրելը սխալ է, ուստի այն պետք է վերածել խառը թվի.

• բաժանել համարիչը գոյություն ունեցող հայտարարի վրա.
• Վ կոնկրետ օրինակթերի գործակից - ամբողջ;
• իսկ մնացորդը կոտորակային մասի համարիչն է, իսկ հայտարարը մնում է անփոփոխ։

Օրինակ. Անպատշաճ կոտորակը դարձրեք խառը թվի՝ 47/5:

Լուծում. 47: 5. Մասնակի գործակիցը 9 է, մնացորդը = 2: Այսպիսով, 47 / 5 = 9 2 / 5:

Երբեմն անհրաժեշտ է խառը թիվը ներկայացնել որպես ոչ պատշաճ կոտորակ: Այնուհետև անհրաժեշտ է օգտագործել հետևյալ ալգորիթմը.

• ամբողջ թիվը բազմապատկվում է կոտորակային արտահայտության հայտարարով.
• արդյունքում ստացված արտադրանքը ավելացվում է համարիչին.
• արդյունքը գրվում է համարիչով, հայտարարը մնում է անփոփոխ։

Օրինակ. Թիվը խառը տեսքով ներկայացրու որպես ոչ պատշաճ կոտորակ՝ 9 8 / 10:

Լուծում. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 համարիչն է:

Պատասխանել: 98 / 10.

Կոտորակների բազմապատկում

Սովորական կոտորակների վրա կարելի է կատարել տարբեր հանրահաշվական գործողություններ։ Երկու թվեր բազմապատկելու համար պետք է համարիչը բազմապատկել համարիչով, իսկ հայտարարը՝ հայտարարով։ Ավելին, տարբեր հայտարարներով կոտորակները բազմապատկելը ոչնչով չի տարբերվում արտադրյալից կոտորակային թվերնույն հայտարարներով։

Պատահում է, որ արդյունքը գտնելուց հետո պետք է կրճատել ֆրակցիան։ Ստացված արտահայտությունը հնարավորինս պարզեցնելը հրամայական է։ Իհարկե, չի կարելի ասել, որ պատասխանում ոչ պատշաճ կոտորակը սխալ է, բայց նաև դժվար է այն ճիշտ պատասխան անվանել։

Օրինակ. Գտե՛ք երկու սովորական կոտորակների արտադրյալը՝ ½ և 20/18:

Ինչպես երևում է օրինակից, արտադրյալը գտնելուց հետո ստացվել է կրճատվող կոտորակային նշում։ Ե՛վ համարիչը, և՛ հայտարարը այս դեպքում բաժանվում են 4-ի, և ստացվում է 5/9 պատասխանը:

Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում

Աշխատանք տասնորդականներսկզբունքորեն բավականին տարբերվում է սովորական գործերից: Այսպիսով, կոտորակների բազմապատկումը հետևյալն է.

• երկու տասնորդական կոտորակ պետք է գրվեն մեկը մյուսի տակ, որպեսզի ամենաաջ թվանշանները լինեն մեկը մյուսի տակ.
• պետք է բազմապատկել գրված թվերը՝ չնայած ստորակետներին, այսինքն՝ որպես բնական թվեր.
• հաշվել յուրաքանչյուր թվի տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվը.
• Բազմապատկելուց հետո ստացված արդյունքի մեջ դուք պետք է աջից հաշվեք այնքան թվային նշաններ, որոնք պարունակվում են երկու գործակիցների գումարում տասնորդական կետից հետո և դնել բաժանարար նշան.
• եթե արտադրյալում ավելի քիչ թվեր կան, ապա դրանց դիմաց պետք է գրել այնքան զրո, որպեսզի ծածկվի այս թիվը, դնել ստորակետ և ավելացնել զրոյի հավասար ամբողջ մասը։

Օրինակ. Հաշվի՛ր երկու տասնորդական կոտորակի արտադրյալը՝ 2,25 և 3,6։

Լուծում.

Խառը կոտորակների բազմապատկում

Երկու խառը կոտորակների արտադրյալը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել կոտորակների բազմապատկման կանոնը.

• փոխարկել խառը թվերը ոչ պատշաճ կոտորակների.
• գտնել համարիչների արտադրյալը;
• գտնել հայտարարների արտադրյալը;
• գրեք արդյունքը;
• հնարավորինս պարզեցնել արտահայտությունը.

Օրինակ. Գտե՛ք 4½ և 6 2/5-ի արտադրյալը:

Թիվը կոտորակով բազմապատկելը (կոտորակները թվով)

Բացի երկու կոտորակների և խառը թվերի արտադրյալը գտնելուց, կան առաջադրանքներ, որտեղ պետք է բազմապատկել կոտորակի վրա:

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակի և բնական թվի արտադրյալը գտնելու համար անհրաժեշտ է.

• Գրեք թիվը կոտորակի տակ այնպես, որ ամենաաջ թվանշանները մեկը մյուսից վեր լինեն.
• գտնել ապրանքը, չնայած ստորակետին;
• Ստացված արդյունքում ստորակետով բաժանեք ամբողջ մասը կոտորակայինից՝ աջից հաշվելով այն թվանշանների թիվը, որոնք գտնվում են կոտորակի տասնորդական կետից հետո:

Ընդհանուր կոտորակը թվով բազմապատկելու համար պետք է գտնել համարիչի և բնական գործոնի արտադրյալը: Եթե ​​պատասխանից ստացվում է կոտորակ, որը կարող է կրճատվել, այն պետք է փոխարկվի:

Օրինակ. Հաշվե՛ք 5/8-ի և 12-ի արտադրյալը:

Լուծում. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Պատասխանել: 7 1 / 2.

Ինչպես տեսնում եք նախորդ օրինակից, անհրաժեշտ էր կրճատել ստացված արդյունքը և փոխարկել անկանոն կոտորակի արտահայտությունը խառը թվի։

Կոտորակների բազմապատկումը վերաբերում է նաև խառը և բնական գործակից թվի արտադրյալը գտնելուն։ Այս երկու թվերը բազմապատկելու համար պետք է խառը գործակիցի ամբողջ մասը բազմապատկել թվով, համարիչը բազմապատկել նույն արժեքով, իսկ հայտարարը թողնել անփոփոխ։ Անհրաժեշտության դեպքում անհրաժեշտ է հնարավորինս պարզեցնել ստացված արդյունքը։

Օրինակ. Գտե՛ք 9 5/6 և 9 թվերի արտադրյալը:

Լուծում. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2:

Պատասխանել: 88 1 / 2.

Բազմապատկում 10, 100, 1000 կամ 0,1 գործակիցներով; 0,01; 0,001

Նախորդ պարբերությունից բխում է հետևյալ կանոնը. Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով, 10000-ով և այլն բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է տասնորդական կետը տեղափոխել աջ այնքան թվանշաններով, որքան զրոները մեկից հետո գործակցում են:

Օրինակ 1. Գտե՛ք 0,065 և 1000-ի արտադրյալը։

Լուծում. 0,065 x 1000 = 0065 = 65:

Պատասխանել: 65.

Օրինակ 2. Գտե՛ք 3,9 և 1000 թվերի արտադրյալը։

Լուծում. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900:

Պատասխանել: 3900.

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է բազմապատկել բնական թիվը և 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 և այլն, ստացված արտադրանքի ստորակետը պետք է տեղափոխեք ձախ՝ այնքան թվանշաններով, որքան մեկից առաջ զրոներ կան: Անհրաժեշտության դեպքում բնական թվից առաջ գրվում են բավարար թվով զրոներ։

Օրինակ 1. Գտե՛ք 56-ի և 0,01-ի արտադրյալը:

Լուծում. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56:

Պատասխանել: 0,56.

Օրինակ 2. Գտե՛ք 4-ի և 0,001-ի արտադրյալը:

Լուծում. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004:

Պատասխանել: 0,004.

Այսպիսով, տարբեր կոտորակների արտադրյալը գտնելը չպետք է դժվարություններ առաջացնի, բացառությամբ միգուցե արդյունքի հաշվարկի. այս դեպքում դուք պարզապես չեք կարող անել առանց հաշվիչի:

Տասնորդականը օգտագործվում է, երբ անհրաժեշտ է գործողություններ կատարել ոչ ամբողջ թվերով: Սա կարող է իռացիոնալ թվալ: Բայց այս տեսակի թվերը մեծապես պարզեցնում են մաթեմատիկական գործողությունները, որոնք պետք է կատարվեն դրանցով։ Այս ըմբռնումը գալիս է ժամանակի ընթացքում, երբ դրանք գրելը դառնում է ծանոթ, իսկ կարդալը դժվարություններ չի առաջացնում, իսկ տասնորդական կոտորակների կանոնները յուրացվել են։ Ավելին, բոլոր գործողությունները կրկնում են արդեն հայտնիները, որոնք սովորել են բնական թվերով։ Պարզապես պետք է հիշել որոշ առանձնահատկություններ.

Տասնորդական սահմանում

Տասնորդական թիվը ոչ ամբողջ թվի հատուկ ներկայացումն է հայտարարով, որը բաժանվում է 10-ի, պատասխանը տալիս է որպես մեկ և, հնարավոր է, զրո: Այսինքն, եթե հայտարարը 10, 100, 1000 է և այլն, ապա ավելի հարմար է թիվը վերաշարադրել ստորակետով։ Այնուհետև ամբողջ մասը կտեղակայվի դրա առաջ, իսկ հետո՝ կոտորակային մասը։ Ընդ որում, թվի երկրորդ կեսի գրանցումը կախված կլինի հայտարարից։ Կոտորակի մասում գտնվող թվանշանների թիվը պետք է հավասար լինի հայտարարի թվանշանին։

Վերոնշյալը կարելի է պատկերացնել հետևյալ թվերով.

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Տասնորդական թվերի օգտագործման պատճառները

Մաթեմատիկոսներին անհրաժեշտ էին տասնորդականներ մի քանի պատճառով.

Ձայնագրման պարզեցում: Նման կոտորակը գտնվում է մեկ գծի երկայնքով՝ առանց հայտարարի և համարիչի գծի, մինչդեռ պարզությունը չի տուժում:

Պարզությունը համեմատության մեջ. Բավական է պարզապես փոխկապակցել նույն դիրքերում գտնվող թվերը, մինչդեռ սովորական կոտորակների դեպքում պետք է դրանք կրճատել ընդհանուր հայտարարի:

Պարզեցնել հաշվարկները.

Հաշվիչները նախատեսված չեն կոտորակներ ընդունելու համար, նրանք օգտագործում են տասնորդական նշումներ բոլոր գործողությունների համար:

Ինչպե՞ս ճիշտ կարդալ նման թվերը:

Պատասխանը պարզ է. ճիշտ այնպես, ինչպես սովորական խառը թիվը, որի հայտարարը 10-ի բազմապատիկ է: Միակ բացառությունը ամբողջ թվով կոտորակներն են, այնուհետև կարդալիս պետք է արտասանել «զրո ամբողջ թվեր»:

Օրինակ, 45/1000-ը պետք է արտասանվի այսպես քառասունհինգ հազարերորդական, միաժամանակ 0,045 կհնչի զրո կետ քառասունհինգ հազարերորդական.

7-ի ամբողջ մասով և 17/100 կոտորակով խառը թիվը, որը գրվելու է որպես 7.17, երկու դեպքում էլ կկարդա որպես. յոթ կետ տասնյոթ.

Թվանշանների դերը կոտորակներ գրելիս

Վարկանիշը ճիշտ նշելն այն է, ինչ պահանջում է մաթեմատիկան: Տասնորդական թվերը և դրանց նշանակությունը կարող են զգալիորեն փոխվել, եթե թվանշանը սխալ տեղում եք գրում: Այնուամենայնիվ, դա ճիշտ էր նախկինում:

Տասնորդական կոտորակի ամբողջ մասի թվանշանները կարդալու համար պարզապես անհրաժեշտ է օգտագործել հայտնի կանոնները բնական թվեր. Իսկ աջ կողմում դրանք հայելային են և կարդում են այլ կերպ։ Եթե ​​ամբողջ մասը հնչել է «տասնյակ», ապա տասնորդական կետից հետո այն արդեն կլինի «տասանորդ»:

Սա հստակ երևում է այս աղյուսակում։

Ինչպե՞ս ճիշտ գրել խառը թիվը որպես տասնորդական:

Եթե ​​հայտարարը պարունակում է 10-ի կամ 100-ի հավասար թիվ, և մյուսները, ապա այն հարցը, թե ինչպես կարելի է կոտորակը տասնորդականի վերածել, դժվար չէ: Դա անելու համար բավական է նրա բոլոր բաղադրիչները այլ կերպ վերաշարադրել։ Հետևյալ կետերը կօգնեն դրան.

Կոտորակի համարիչը մի քիչ կողքի գրիր, այս պահին տասնորդական կետը գտնվում է աջ կողմում՝ վերջին թվանշանից հետո.

ստորակետը տեղափոխեք ձախ, այստեղ ամենակարևորը թվերը ճիշտ հաշվելն է. անհրաժեշտ է այն տեղափոխել այնքան դիրքով, որքան զրոներ կան հայտարարում;

եթե դրանք բավարար չեն, ապա դատարկ դիրքերում պետք է լինեն զրոներ.

այն զրոները, որոնք եղել են համարիչի վերջում, այժմ անհրաժեշտ չեն և կարող են հատվել.

Ստորակետից առաջ ավելացրեք ամբողջ մասը, եթե այն չկար, ապա այստեղ նույնպես զրո կլինի։

Ուշադրություն. Դուք չեք կարող հատել զրոները, որոնք շրջապատված են այլ թվերով:

Ստորև կարող եք կարդալ այն մասին, թե ինչ անել այն իրավիճակում, երբ հայտարարն ունի թիվ, որը բաղկացած է ոչ միայն միավորներից և զրոյից, և ինչպես փոխարկել կոտորակը տասնորդականի: Սա կարևոր տեղեկություն, որը անպայման արժե ստուգել:

Ինչպե՞ս կոտորակը վերածել տասնորդականի, եթե հայտարարը կամայական թիվ է:

Այստեղ երկու տարբերակ կա.

Երբ հայտարարը կարող է ներկայացվել որպես թիվ, որը հավասար է տասի ցանկացած հզորության:

Եթե ​​նման գործողություն չի կարող կատարվել.

Ինչպե՞ս կարող եմ սա ստուգել: Պետք է գործոն դնել հայտարարի վրա: Եթե ​​արտադրանքում առկա են միայն 2-ը և 5-ը, ապա ամեն ինչ կարգին է, և կոտորակը հեշտությամբ վերածվում է վերջնական տասնորդականի: Հակառակ դեպքում, եթե հայտնվեն 3, 7 և այլ պարզ թվեր, արդյունքը կլինի անսահման։ Նման տասնորդական կոտորակ՝ հեշտ օգտագործման համար մաթեմատիկական գործողություններԸնդունված է կլորացնել։ Սա կքննարկվի մի փոքր ստորև:

Ուսումնասիրում է, թե ինչպես են կազմվում տասնորդականները, 5-րդ դասարան: Այստեղ օրինակները շատ օգտակար կլինեն:

Թող հայտարարները լինեն թվերը՝ 40, 24 և 75։ Քայքայվել հիմնական գործոններընրանց համար կլինի այսպես.

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3։

Այս օրինակներում միայն առաջին կոտորակը կարող է ներկայացվել որպես վերջնական կոտորակ:

Ընդհանուր կոտորակը վերջնական տասնորդականի վերածելու ալգորիթմ

Ստուգեք հայտարարի գործոնավորումը պարզ գործակիցների և համոզվեք, որ այն բաղկացած կլինի 2-ից և 5-ից:

Այս թվերին ավելացրեք այնքան 2 և 5, որպեսզի դրանք հավասար լինեն: Նրանք կտան լրացուցիչ բազմապատկիչի արժեքը։

Բազմապատկեք հայտարարն ու համարիչը այս թվով: Արդյունքը կլինի սովորական կոտորակ, որի գծի տակ որոշ չափով կա 10։

Եթե ​​առաջադրանքում այս գործողությունները կատարվում են խառը թիվ, ապա այն նախ պետք է ներկայացվի որպես ոչ պատշաճ կոտորակ։ Եվ միայն դրանից հետո գործեք նկարագրված սցենարով:

Կոտորակը ներկայացնելը որպես կլորացված տասնորդական

Կոտորակը տասնորդականի վերածելու այս մեթոդը ոմանց կարող է նույնիսկ ավելի հեշտ թվալ: Որովհետև դա շատ գործողություն չունի: Պարզապես պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա։

Տասնորդական կետի աջ կողմում գտնվող տասնորդական մաս ունեցող ցանկացած թվի կարող է վերագրվել անսահման թվով զրոներ: Այս սեփականությունն այն է, ինչից դուք պետք է օգտվեք:

Նախ գրեք ամբողջ մասը և դրանից հետո դրեք ստորակետ։ Եթե ​​կոտորակը ճիշտ է, գրի՛ր զրո:

Այնուհետև պետք է համարիչը բաժանել հայտարարի վրա: Որպեսզի նրանք ունենան նույն թվով թվանշաններ: Այսինքն՝ գումարել համարիչի աջ կողմում պահանջվող քանակզրոներ.

Կատարեք երկար բաժանում, մինչև նիշերի անհրաժեշտ քանակի հասնելը: Օրինակ, եթե պետք է կլորացնել մինչև հարյուրերորդական, ապա պատասխանը պետք է լինի 3: Ընդհանուր առմամբ, պետք է լինի մեկ թիվ ավելի, քան պետք է վերջում ստանալ:

Տասնորդական կետից հետո գրի՛ր միջանկյալ պատասխանը և ըստ կանոնների կլորացրու։ Եթե ​​վերջին նիշը 0-ից 4-ն է, ապա պարզապես անհրաժեշտ է հրաժարվել այն: Իսկ երբ այն հավասար է 5-9-ի, ապա դիմացինն անհրաժեշտ է մեկով ավելացնել՝ վերջինը դեն նետելով։

Վերադարձ տասնորդականից ընդհանուր կոտորակ

Մաթեմատիկայի մեջ կան խնդիրներ, երբ ավելի հարմար է տասնորդական կոտորակները ներկայացնել սովորական կոտորակների տեսքով, որոնցում կա հայտարարով համարիչ։ Դուք կարող եք հանգիստ շունչ քաշել՝ այս վիրահատությունը միշտ հնարավոր է։

Այս ընթացակարգի համար անհրաժեշտ է անել հետևյալը.

գրիր ամբողջ մասը, եթե այն հավասար է զրոյի, ուրեմն կարիք չկա որևէ բան գրել;

գծեք կոտորակային գիծ;

դրա վերևում գրեք թվերը աջ կողմից, եթե առաջինը զրոներն են, ապա դրանք պետք է հատել.

Գծի տակ գրի՛ր մեկը, ուր այնքան զրո կա, որքան թվանշաններ կան սկզբնական կոտորակի տասնորդական կետից հետո:

Դա այն ամենն է, ինչ դուք պետք է անեք տասնորդականը կոտորակի վերածելու համար:

Ի՞նչ կարող եք անել տասնորդականների հետ:

Մաթեմատիկայի մեջ դրանք կլինեն որոշակի գործողություններ տասնորդականներով, որոնք նախկինում կատարվել են այլ թվերի համար:

Դրանք են.

համեմատություն;

գումարում և հանում;

բազմապատկում և բաժանում.

Առաջին գործողությունը՝ համեմատությունը, նման է այն բանին, թե ինչպես է դա արվել բնական թվերի համար։ Որոշելու համար, թե որն է ավելի մեծ, պետք է համեմատել ամբողջ մասի թվանշանները: Եթե ​​պարզվում է, որ դրանք հավասար են, ապա անցնում են կոտորակայինին և համեմատում են նաև թվանշաններով։ Պատասխանը կլինի ամենակարևոր թվանշանով ամենամեծ թվանշան ունեցող թիվը:

Տասնորդական թվերի գումարում և հանում

Սրանք թերեւս ամենաշատն են պարզ քայլեր. Որովհետև դրանք իրականացվում են բնական թվերի կանոններով։



Այսպիսով, տասնորդական կոտորակներ ավելացնելու համար դրանք պետք է գրել մեկը մյուսի տակ՝ սյունակի մեջ դնելով ստորակետներ։ Այս նշումով ստորակետերի ձախ կողմում հայտնվում են ամբողջական մասերը, իսկ աջում՝ կոտորակային մասերը։ Իսկ այժմ պետք է թվերը քիչ առ քիչ գումարել, ինչպես դա արվում է բնական թվերի դեպքում՝ ստորակետը տեղափոխելով ներքև։ Պետք է սկսել գումարել թվի կոտորակային մասի ամենափոքր թվանշանից։ Եթե ​​աջ կեսում թվերը բավարար չեն, ապա ավելացվում են զրոներ:

Նույնը վերաբերում է հանմանը։ Եվ այստեղ կա մի կանոն, որը նկարագրում է ամենաբարձր աստիճանից միավոր վերցնելու հնարավորությունը։ Եթե ​​կրճատվող կոտորակը տասնորդական կետից հետո ավելի քիչ թվանշան ունի, քան հանվող կոտորակը, ապա դրան ուղղակի ավելացվում են զրոներ։

Իրավիճակը մի փոքր ավելի բարդ է այն առաջադրանքների հետ, որտեղ դուք պետք է բազմապատկեք և բաժանեք տասնորդական կոտորակները:

Ինչպե՞ս բազմապատկել տասնորդական կոտորակը տարբեր օրինակներում:

Տասնորդական կոտորակները բնական թվով բազմապատկելու կանոնը հետևյալն է.

գրեք դրանք սյունակում՝ անտեսելով ստորակետը.

բազմապատկել, կարծես նրանք բնական են;

Ստորակետով առանձնացրո՛ւ այնքան թվանշան, որքան եղել է սկզբնական թվի կոտորակային մասում:

Հատուկ դեպք է այն օրինակը, երբ բնական թիվը հավասար է 10-ի ցանկացած հզորության: Այնուհետև պատասխանը ստանալու համար պարզապես անհրաժեշտ է տասնորդական կետը տեղափոխել աջ այնքան դիրքերով, որքան զրոներ կան մյուս գործոնում: Այլ կերպ ասած, 10-ով բազմապատկելիս տասնորդական կետը շարժվում է մեկ նիշով, 100-ով` արդեն երկուսը կլինեն և այլն: Եթե ​​կոտորակային մասում թվերը բավարար չեն, ապա դատարկ դիրքերում պետք է գրել զրոներ։

Կանոնը, որն օգտագործվում է, երբ առաջադրանքը պահանջում է տասնորդական կոտորակներ բազմապատկել մեկ այլ նույն թվով.

գրեք դրանք մեկը մյուսի հետևից՝ ուշադրություն չդարձնելով ստորակետներին.

բազմապատկել, կարծես դրանք բնական են;

Ստորակետով առանձնացրո՛ւ այնքան թվանշան, որքան եղել են երկու սկզբնական կոտորակների կոտորակային մասերում միասին:

Հատուկ դեպք են օրինակները, որոնցում բազմապատկիչներից մեկը հավասար է 0,1 կամ 0,01 և այլն։ Դրանցում անհրաժեշտ է տասնորդական կետը տեղափոխել ձախ՝ ներկայացված գործոնների թվանշանների քանակով։ Այսինքն, եթե այն բազմապատկվում է 0,1-ով, ապա տասնորդական կետը տեղաշարժվում է մեկ դիրքով:

Ինչպե՞ս բաժանել տասնորդական կոտորակը տարբեր առաջադրանքներում:

Տասնորդական կոտորակները բնական թվի վրա բաժանելը կատարվում է հետևյալ կանոնի համաձայն.

Գրեք դրանք սյունակում բաժանման համար, կարծես դրանք բնական են.

բաժանել սովորական կանոնի համաձայն, մինչև ամբողջ մասը ավարտվի;

պատասխանում ստորակետ դնել;

շարունակեք բաժանել կոտորակային բաղադրիչը մինչև մնացորդը զրո լինի.

անհրաժեշտության դեպքում կարող եք ավելացնել անհրաժեշտ թվով զրոներ:

Եթե ​​ամբողջ թիվը հավասար է զրոյի, ապա այն նույնպես չի լինի պատասխանում։

Առանձին բաժանվում է տասը, հարյուրին հավասար թվերի և այլն։ Նման խնդիրների դեպքում անհրաժեշտ է տասնորդական կետը տեղափոխել ձախ՝ բաժանարարի զրոների քանակով։ Պատահում է, որ մի ամբողջ մասում թվերը բավարար չեն, ապա փոխարենը զրոներ են օգտագործվում։ Դուք կարող եք տեսնել, որ այս գործողությունը նման է 0.1-ով և նմանատիպ թվերով բազմապատկմանը:

Տասնորդական թվերը բաժանելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել այս կանոնը.

բաժանարարը վերածեք բնական թվի և դրա համար ստորակետը տեղափոխեք աջ մինչև վերջ.

դիվիդենտում տասնորդական կետը տեղափոխել նույն թվով թվանշաններով.

գործել ըստ նախորդ սցենարի.

Կարևորվում է բաժանումը 0.1-ով. 0,01 և նմանատիպ այլ թվեր։ Նման օրինակներում տասնորդական կետը տեղափոխվում է աջ՝ կոտորակային մասի թվանշանների քանակով։ Եթե ​​դրանք սպառվում են, ապա պետք է ավելացնել բացակայող զրոների թիվը: Հարկ է նշել, որ այս գործողությունը կրկնում է բաժանումը 10-ով և նմանատիպ թվերով։



Եզրակացություն. Ամեն ինչ պրակտիկայի մասին է

Սովորելու մեջ ոչինչ չի ստացվում հեշտ կամ առանց ջանքերի: Նոր նյութի հուսալի յուրացումը ժամանակ և պրակտիկա է պահանջում: Մաթեմատիկան բացառություն չէ։

Ապահովելու համար, որ տասնորդական կոտորակների մասին թեման դժվարություններ չի առաջացնում, անհրաժեշտ է դրանցով հնարավորինս շատ օրինակներ լուծել: Ի վերջո, կար ժամանակ, երբ բնական թվեր գումարելը փակուղի էր։ Իսկ հիմա ամեն ինչ լավ է։

Ուստի, վերափոխել հայտնի արտահայտությունը՝ որոշիր, որոշիր և նորից որոշիր։ Այնուհետև նման թվերով առաջադրանքները կկատարվեն հեշտությամբ և բնականաբար, ինչպես մեկ այլ գլուխկոտրուկ:

Ի դեպ, գլուխկոտրուկները սկզբում դժվար է լուծել, իսկ հետո պետք է անել սովորական շարժումները։ Նույնն է նաև մաթեմատիկական օրինակներում. մի քանի անգամ քայլելով նույն ճանապարհով, դուք այլևս չեք մտածի, թե ուր դիմել:

Անցնենք տասնորդական կոտորակներով հաջորդ գործողության ուսումնասիրությանը, այժմ կանդրադառնանք համապարփակ տասնորդական թվերի բազմապատկում. Եկեք նախ խոսենք ընդհանուր սկզբունքներտասնորդական կոտորակների բազմապատկում. Դրանից հետո մենք կանցնենք տասնորդական կոտորակը տասնորդական կոտորակի վրա բազմապատկելուն, ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել տասնորդական կոտորակները սյունակով և կդիտարկենք օրինակների լուծումները: Հաջորդիվ կդիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը բնական թվերով, մասնավորապես՝ 10, 100 և այլն։ Վերջում խոսենք տասնորդականները կոտորակներով և խառը թվերով բազմապատկելու մասին։

Միանգամից ասենք, որ այս հոդվածում կխոսենք միայն դրական տասնորդական կոտորակների բազմապատկման մասին (տես դրական և բացասական թվեր)։ Մնացած դեպքերը քննարկվում են ռացիոնալ թվերի բազմապատկում և իրական թվերի բազմապատկում.

Էջի նավարկություն.

Տասնորդական թվերի բազմապատկման ընդհանուր սկզբունքներ

Եկեք քննարկենք ընդհանուր սկզբունքները, որոնք պետք է հետևել տասնորդական թվերով բազմապատկելիս:

Քանի որ վերջավոր տասնորդականները և անվերջ պարբերական կոտորակները սովորական կոտորակների տասնորդական ձևն են, այդպիսի տասնորդականների բազմապատկումն ըստ էության սովորական կոտորակների բազմապատկում է: Այլ կերպ ասած, վերջավոր տասնորդականների բազմապատկում, վերջավոր և պարբերական տասնորդական կոտորակների բազմապատկում, և նաև Պարբերական տասնորդականների բազմապատկումհանգում է սովորական կոտորակների բազմապատկմանը տասնորդական կոտորակները սովորականի վերածելուց հետո:

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկման նշված սկզբունքի կիրառման օրինակները:

Օրինակ.

Բազմապատկեք տասնորդականները 1,5 և 0,75:

Լուծում.

Բազմապատկվող տասնորդական կոտորակները փոխարինենք համապատասխան սովորական կոտորակներով։ Քանի որ 1.5=15/10 և 0.75=75/100, ապա . Դուք կարող եք կրճատել կոտորակը, ապա մեկուսացնել ամբողջ մասը ոչ պատշաճ կոտորակից, և ստացված սովորական կոտորակը ավելի հարմար է գրել 1 125/1 000 որպես տասնորդական կոտորակ 1.125:

Պատասխան.

1,5·0,75=1,125։

Հարկ է նշել, որ հարմար է վերջնական տասնորդական կոտորակները բազմապատկել սյունակում, մենք կխոսենք տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու այս մեթոդի մասին:

Դիտարկենք պարբերական տասնորդական կոտորակների բազմապատկման օրինակ:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք 0,(3) և 2,(36) պարբերական տասնորդական կոտորակների արտադրյալը:

Լուծում.

Պարբերական տասնորդական կոտորակները վերածենք սովորական կոտորակների.

Հետո . Ստացված սովորական կոտորակը կարող եք վերածել տասնորդական կոտորակի.

Պատասխան.

0,(3)·2,(36)=0,(78) .

Եթե ​​բազմապատկված տասնորդական կոտորակների մեջ կան անվերջ ոչ պարբերականներ, ապա բոլոր բազմապատկված կոտորակները, ներառյալ վերջավոր և պարբերականները, պետք է կլորացվեն մինչև որոշակի թվանշան (տես. կլորացնելով թվերը), այնուհետև բազմապատկել կլորացումից հետո ստացված վերջնական տասնորդական կոտորակները։

Օրինակ.

Բազմապատկեք տասնորդականները 5,382... և 0,2:

Լուծում.

Նախ կլորացնենք անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը, կլորացում կարելի է անել մինչև հարյուրերորդական, ունենք 5,382...≈5,38։ 0.2 վերջնական տասնորդական կոտորակը պետք չէ կլորացնել մինչև հարյուրերորդականը: Այսպիսով, 5,382...·0,2≈5,38·0,2: Մնում է հաշվարկել վերջնական տասնորդական կոտորակների արտադրյալը՝ 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076:

Պատասխան.

5.382…·0.2≈1.076.

Տասնորդական կոտորակները սյունակներով բազմապատկելը

Վերջավոր տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը կարող է իրականացվել սյունակում, ինչպես բնական թվերը սյունակում բազմապատկելը:

Եկեք ձեւակերպենք տասնորդական կոտորակները սյունակով բազմապատկելու կանոն. Տասնորդական կոտորակները սյունակով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է.

• առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու, բազմապատկեք բնական թվերի սյունակով բազմապատկման բոլոր կանոնների համաձայն.
• ստացված թվի մեջ տասնորդական կետով առանձնացրե՛ք աջ կողմում այնքան թվանշան, որքան տասնորդական թվանշաններ կան երկու գործակիցների մեջ միասին, և եթե արտադրյալում թվանշանները բավարար չեն, ապա անհրաժեշտ թվով զրոները պետք է ավելացվեն ձախ կողմում:

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակները սյունակներով բազմապատկելու օրինակներ։

Օրինակ.

Բազմապատկեք տասնորդականները 63,37 և 0,12:

Լուծում.

Եկեք բազմապատկենք տասնորդական կոտորակները սյունակում: Նախ, մենք բազմապատկում ենք թվերը՝ անտեսելով ստորակետները.

Մնում է ստացված արտադրանքին ստորակետ ավելացնել: Նա պետք է առանձնացնի 4 թվանշան դեպի աջ, քանի որ գործակիցները ունեն ընդհանուր չորս տասնորդական տեղ (երկուսը 3.37 կոտորակի մեջ և երկուսը 0.12 կոտորակի մեջ): Այնտեղ բավականաչափ թվեր կան, այնպես որ դուք պետք չէ ձախ կողմում զրոներ ավելացնել: Ավարտենք ձայնագրությունը.

Արդյունքում ունենք 3.37·0.12=7.6044։

Պատասխան.

3.37·0.12=7.6044:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք 3,2601 և 0,0254 տասնորդականների արտադրյալը։

Լուծում.

Կատարելով բազմապատկում սյունակում՝ առանց ստորակետերը հաշվի առնելու, ստանում ենք հետևյալ պատկերը.

Այժմ արտադրյալում անհրաժեշտ է ստորակետով առանձնացնել աջ կողմում գտնվող 8 թվանշանները, քանի որ բազմապատկված կոտորակների տասնորդական վայրերի ընդհանուր թիվը ութ է: Բայց արտադրանքի մեջ կա ընդամենը 7 նիշ, հետևաբար, ձախ կողմում պետք է ավելացնել այնքան զրո, որպեսզի կարողանաք 8 նիշ առանձնացնել ստորակետով: Մեր դեպքում մենք պետք է նշանակենք երկու զրո.

Սա ավարտում է տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը սյունակներով:

Պատասխան.

3.2601·0.0254=0.08280654.

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը 0,1-ով, 0,01-ով և այլն:

Շատ հաճախ պետք է տասնորդական կոտորակները բազմապատկել 0,1-ով, 0,01-ով և այլն: Ուստի նպատակահարմար է ձևակերպել տասնորդական կոտորակի այս թվերով բազմապատկելու կանոն, որը բխում է վերը քննարկված տասնորդական կոտորակի բազմապատկման սկզբունքներից։

Այսպիսով, տրված տասնորդականը բազմապատկելով 0,1-ով, 0,01-ով, 0,001-ով և այլնտալիս է մի կոտորակ, որը ստացվում է բնօրինակից, եթե իր նշագրման մեջ ստորակետը տեղափոխվում է ձախ համապատասխանաբար 1, 2, 3 և այլն թվանշաններով, իսկ եթե ստորակետը տեղափոխելու համար բավարար թվանշաններ չկան, ապա պետք է. ձախ կողմում ավելացրեք անհրաժեշտ թվով զրոներ:

Օրինակ՝ 54,34 տասնորդական կոտորակը 0,1-ով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է 54,34 կոտորակի տասնորդական կետը տեղափոխել ձախ 1 նիշով, որը ձեզ կտա 5,434 կոտորակը, այսինքն՝ 54,34·0,1=5,434։ Բերենք ևս մեկ օրինակ. 9,3 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 0,0001-ով: Դա անելու համար մենք պետք է 9.3 բազմապատկված տասնորդական կոտորակի մեջ տասնորդական կետի 4 նիշը տեղափոխենք ձախ, սակայն 9.3 կոտորակի նշումն այդքան թվանշան չի պարունակում: Ուստի պետք է 9.3 կոտորակից ձախ վերագրել այնքան զրո, որ տասնորդական կետը հեշտությամբ տեղափոխենք 4 նիշ, ունենք 9.3·0.0001=0.00093։

Նկատի ունեցեք, որ տասնորդական կոտորակը 0,1, 0,01, ... բազմապատկելու կանոնը գործում է նաև անվերջ տասնորդական կոտորակների համար: Օրինակ՝ 0.(18)·0.01=0.00(18) կամ 93.938…·0.1=9.3938…:

Տասնորդականի բազմապատկում բնական թվով

Նրա հիմքում տասնորդականները բազմապատկելով բնական թվերովոչնչով չի տարբերվում տասնորդականը տասնորդականով բազմապատկելուց:

Առավել հարմար է վերջնական տասնորդական կոտորակը բազմապատկել բնական թվով սյունակում, այս դեպքում դուք պետք է հետևեք սյունակում տասնորդական կոտորակների բազմապատկման կանոններին, որոնք քննարկվել են նախորդ պարբերություններից մեկում:

Օրինակ.

Հաշվի՛ր 15·2.27 արտադրյալը։

Լուծում.

Եկեք բազմապատկենք բնական թիվը սյունակի տասնորդական կոտորակի վրա.

Պատասխան.

15·2.27=34.05.

Պարբերական տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս պարբերական կոտորակը պետք է փոխարինվի սովորական կոտորակով:

Օրինակ.

0.(42) տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 22 բնական թվով։

Լուծում.

Նախ՝ եկեք պարբերական տասնորդական կոտորակը վերածենք սովորական կոտորակի.

Հիմա կատարենք բազմապատկումը՝ . Որպես տասնորդական այս արդյունքը 9, (3) է:

Պատասխան.

0,(42)·22=9,(3) .

Իսկ անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս նախ պետք է կատարել կլորացում։

Օրինակ.

Բազմապատկել 4·2,145….

Լուծում.

Կլորացնելով սկզբնական անվերջ տասնորդական կոտորակը մինչև հարյուրերորդական, մենք հասնում ենք բնական թվի և վերջնական տասնորդական կոտորակի բազմապատկմանը: Մենք ունենք 4·2,145…≈4·2,15=8,60:

Պատասխան.

4·2,145…≈8,60:

Տասնորդականը բազմապատկելով 10, 100, ...

Բավականին հաճախ պետք է տասնորդական կոտորակները բազմապատկել 10-ով, 100-ով,... Հետևաբար, խորհուրդ է տրվում մանրամասն անդրադառնալ այս դեպքերին:

Եկեք բարձրաձայնենք այն տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով և այլն բազմապատկելու կանոն.Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, ...-ով բազմապատկելիս իր նշագրման մեջ պետք է տասնորդական կետը տեղափոխել աջ համապատասխանաբար 1, 2, 3, ... թվանշաններ, իսկ ձախ կողմում գտնվող ավելորդ զրոները հեռացնել; եթե բազմապատկվող կոտորակի նշումը չունի բավարար թվեր տասնորդական կետը տեղափոխելու համար, ապա պետք է աջ կողմում ավելացնել անհրաժեշտ թվով զրոներ:

Օրինակ.

0,0783 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 100-ով:

Լուծում.

Եկեք 0,0783 կոտորակը երկու թվանշան տեղափոխենք աջ, և կստանանք 007,83։ Երկու զրոները ձախից գցելով, ստացվում է տասնորդական կոտորակը 7.38: Այսպիսով, 0,0783·100=7,83:

Պատասխան.

0,0783·100=7,83.

Օրինակ.

0,02 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 10000-ով:

Լուծում.

0.02-ը 10000-ով բազմապատկելու համար մենք պետք է տասնորդական կետը 4 նիշ տեղափոխենք աջ: Ակնհայտ է, որ 0.02 կոտորակի նշման մեջ տասնորդական կետը 4 նիշով տեղափոխելու համար բավարար թվանշաններ չկան, ուստի մենք մի քանի զրո կավելացնենք դեպի աջ, որպեսզի տասնորդական կետը տեղափոխվի: Մեր օրինակում բավական է ավելացնել երեք զրո, ունենք 0,02000։ Ստորակետը տեղափոխելուց հետո ստանում ենք 00200.0 մուտքը: Ձախ կողմի զրոները դեն նետելով՝ ունենում ենք 200,0 թիվը, որը հավասար է 200 բնական թվին, որը 0,02 տասնորդական կոտորակը 10000-ով բազմապատկելու արդյունք է։

Տասնորդական թվերի բազմապատկումտեղի է ունենում երեք փուլով.

Տասնորդական կոտորակները գրվում են սյունակում և բազմապատկվում սովորական թվերի նման։

Մենք հաշվում ենք տասնորդական թվերի թիվը առաջին տասնորդական կոտորակի և երկրորդի համար: Մենք գումարում ենք նրանց թիվը:

Ստացված արդյունքում մենք աջից ձախ հաշվում ենք նույն թվով թվեր, որոնք ստացել ենք վերևի պարբերությունում և դնում ենք ստորակետ:

Ինչպես բազմապատկել տասնորդական թվերը

Տասնորդական կոտորակները գրում ենք սյունակում և բազմապատկում դրանք որպես բնական թվեր՝ անտեսելով ստորակետերը։ Այսինքն՝ 3.11-ը համարում ենք 311, իսկ 0.01-ը՝ 1։

Մենք ստացել ենք 311: Այժմ մենք հաշվում ենք տասնորդական կետից հետո նշանների (նիշերի) թիվը երկու կոտորակների համար: Առաջին տասնորդականն ունի երկու թվանշան, իսկ երկրորդը՝ երկու: Տասնորդական տեղերի ընդհանուր թիվը.

Ստացված թվի 4 նշան (նիշ) հաշվում ենք աջից ձախ։ Ստացված արդյունքը պարունակում է ավելի քիչ թվեր, քան պետք է բաժանել ստորակետով: Այս դեպքում ձեզ հարկավոր է ձախավելացնել բացակայող զրոների թիվը:

Մեզ բացակայում է մեկ թվանշան, ուստի ձախ կողմում ավելացնում ենք մեկ զրո:

Ցանկացած տասնորդական կոտորակ բազմապատկելիս 10-ով; 100; 1000 և այլն: Տասնորդական կետը շարժվում է դեպի աջ այնքան տեղերով, որքան մեկից հետո կա զրո:

Տասնորդական թիվը 0,1-ով բազմապատկելու համար; 0,01; 0,001 և այլն, պետք է այս կոտորակի տասնորդական կետը տեղափոխել ձախ այնքան տեղերով, որքան մեկից առաջ զրոներ կան:

Մենք հաշվում ենք զրո ամբողջ թվեր:

• 12 0.1 = 1.2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել տասնորդականները, եկեք դիտարկենք կոնկրետ օրինակներ:

Տասնորդական թվերի բազմապատկման կանոն

1) Բազմապատկել առանց ստորակետին ուշադրություն դարձնելու:

2) Արդյունքում մենք տասնորդական կետից հետո առանձնացնում ենք այնքան թվանշան, որքան տասնորդական կետերից հետո երկու գործակիցները միասին:

Գտե՛ք տասնորդական կոտորակների արտադրյալը.

Տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու համար մենք բազմապատկում ենք առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու: Այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք ոչ թե 6,8 և 3,4, այլ 68 և 34: Արդյունքում, տասնորդական կետից հետո մենք առանձնացնում ենք այնքան թվանշան, որքան տասնորդական կետերից հետո երկու գործակիցների հետ միասին: Առաջին գործոնում տասնորդական կետից հետո մեկ նիշ է, երկրորդում՝ նույնպես մեկը։ Ընդհանուր առմամբ տասնորդական կետից հետո առանձնացնում ենք երկու թիվ Այսպիսով, ստացանք վերջնական պատասխանը՝ 6.8∙3.4=23.12։

Տասնորդականները բազմապատկում ենք՝ առանց տասնորդական կետը հաշվի առնելու։ Այսինքն, ըստ էության, 36,85-ը 1,14-ով բազմապատկելու փոխարեն, մենք 3685-ը բազմապատկում ենք 14-ով: Ստանում ենք 51590: Այժմ այս արդյունքում մենք պետք է ստորակետով առանձնացնենք այնքան թվանշան, որքան երկու գործակիցները միասին կան: Առաջին թիվը տասնորդական կետից հետո ունի երկու նիշ, երկրորդը՝ մեկ։ Ընդհանուր առմամբ մենք երեք թվանշան ենք առանձնացնում ստորակետով։ Քանի որ մուտքի վերջում տասնորդական կետից հետո զրո կա, պատասխանում այն ​​չենք գրում՝ 36.85∙1.4=51.59։

Այս տասնորդականները բազմապատկելու համար եկեք բազմապատկենք թվերը՝ առանց ստորակետերին ուշադրություն դարձնելու։ Այսինքն՝ մենք բազմապատկում ենք 2315 և 7 բնական թվերը։ Ստանում ենք 16205։ Այս թվի մեջ տասնորդական կետից հետո պետք է առանձնացնել չորս նիշ՝ այնքան, որքան երկու գործակիցները միասին են (յուրաքանչյուրում երկուսը)։ Վերջնական պատասխան՝ 23.15∙0.07=1.6205:

Տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելը կատարվում է նույն կերպ։ Մենք թվերը բազմապատկում ենք՝ առանց ստորակետին ուշադրություն դարձնելու, այսինքն՝ 75-ը բազմապատկում ենք 16-ով: Ստացված արդյունքը պետք է պարունակի նույն թվով նշաններ տասնորդական կետից հետո, ինչ երկու գործոններում միասին՝ մեկը: Այսպիսով, 75∙1.6=120.0=120։

Մենք սկսում ենք տասնորդական կոտորակները բազմապատկել բնական թվերը բազմապատկելով, քանի որ ուշադրություն չենք դարձնում ստորակետներին: Դրանից հետո մենք տասնորդական կետից հետո առանձնացնում ենք այնքան թվանշան, որքան երկու գործակիցները միասին են: Առաջին համարն ունի երկու տասնորդական տեղ, երկրորդը՝ նույնպես երկու։ Ընդհանուր առմամբ, արդյունքը պետք է լինի չորս նիշ տասնորդական կետից հետո՝ 4.72∙5.04=23.7888։

Եվ ևս մի քանի օրինակ տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու վերաբերյալ.

www.for6cl.uznateshe.ru

Տասնորդական թվերի, կանոնների, օրինակների, լուծումների բազմապատկում:

Անցնենք ուսումնասիրությանը հաջորդ գործողությունըտասնորդական կոտորակներով, այժմ մենք կքննարկենք համապարփակ տեսք տասնորդական թվերի բազմապատկում. Նախ, եկեք քննարկենք տասնորդականների բազմապատկման ընդհանուր սկզբունքները: Դրանից հետո մենք կանցնենք տասնորդական կոտորակը տասնորդական կոտորակի վրա բազմապատկելուն, ցույց կտանք, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել տասնորդական կոտորակները սյունակով և կդիտարկենք օրինակների լուծումները: Հաջորդիվ կդիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը բնական թվերով, մասնավորապես՝ 10, 100 և այլն։ Վերջում խոսենք տասնորդականները կոտորակներով և խառը թվերով բազմապատկելու մասին։

Անմիջապես ասենք, որ այս հոդվածում մենք կխոսենք միայն դրական տասնորդական կոտորակների բազմապատկման մասին (տես դրական և բացասական թվեր) Մնացած դեպքերը քննարկվում են ռացիոնալ թվերի բազմապատկում և իրական թվերի բազմապատկում.

Էջի նավարկություն.

Տասնորդական թվերի բազմապատկման ընդհանուր սկզբունքներ

Եկեք քննարկենք ընդհանուր սկզբունքները, որոնք պետք է հետևել տասնորդական թվերով բազմապատկելիս:

Քանի որ վերջավոր տասնորդականները և անվերջ պարբերական կոտորակները սովորական կոտորակների տասնորդական ձևն են, այդպիսի տասնորդականների բազմապատկումն ըստ էության սովորական կոտորակների բազմապատկում է: Այլ կերպ ասած, վերջավոր տասնորդականների բազմապատկում, վերջավոր և պարբերական տասնորդական կոտորակների բազմապատկում, և նաև Պարբերական տասնորդականների բազմապատկումհանգում է սովորական կոտորակների բազմապատկմանը տասնորդական կոտորակները սովորականի վերածելուց հետո:

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկման նշված սկզբունքի կիրառման օրինակները:

Բազմապատկեք տասնորդականները 1,5 և 0,75:

Բազմապատկվող տասնորդական կոտորակները փոխարինենք համապատասխան սովորական կոտորակներով։ Քանի որ 1.5=15/10 և 0.75=75/100, ուրեմն. Դուք կարող եք կրճատել կոտորակը, ապա մեկուսացնել ամբողջ մասը ոչ պատշաճ կոտորակից, և ստացված սովորական կոտորակը ավելի հարմար է գրել 1 125/1 000 որպես տասնորդական կոտորակ 1.125:

Հարկ է նշել, որ հարմար է վերջնական տասնորդական կոտորակները բազմապատկել սյունակում, մենք կխոսենք հաջորդ պարբերությունում տասնորդական կոտորակների բազմապատկման այս մեթոդի մասին.

Դիտարկենք պարբերական տասնորդական կոտորակների բազմապատկման օրինակ:

Հաշվե՛ք 0,(3) և 2,(36) պարբերական տասնորդական կոտորակների արտադրյալը:

Պարբերական տասնորդական կոտորակները վերածենք սովորական կոտորակների.

Հետո. Ստացված սովորական կոտորակը կարող եք վերածել տասնորդական կոտորակի.


Եթե ​​բազմապատկված տասնորդական կոտորակների մեջ կան անվերջ ոչ պարբերականներ, ապա բոլոր բազմապատկված կոտորակները, ներառյալ վերջավոր և պարբերականները, պետք է կլորացվեն մինչև որոշակի թվանշան (տես. կլորացնելով թվերը), այնուհետև բազմապատկել կլորացումից հետո ստացված վերջնական տասնորդական կոտորակները։

Բազմապատկեք տասնորդականները 5,382... և 0,2:

Նախ կլորացնենք անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը, կլորացում կարելի է անել մինչև հարյուրերորդական, ունենք 5,382...≈5,38։ 0.2 վերջնական տասնորդական կոտորակը պետք չէ կլորացնել մինչև հարյուրերորդականը: Այսպիսով, 5,382...·0,2≈5,38·0,2: Մնում է հաշվարկել վերջնական տասնորդական կոտորակների արտադրյալը՝ 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076:

Տասնորդական կոտորակները սյունակներով բազմապատկելը

Վերջավոր տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը կարող է իրականացվել սյունակում, ինչպես բնական թվերը սյունակում բազմապատկելը:

Եկեք ձեւակերպենք տասնորդական կոտորակները սյունակով բազմապատկելու կանոն. Տասնորդական կոտորակները սյունակով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է.

• առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու, բազմապատկեք բնական թվերի սյունակով բազմապատկման բոլոր կանոնների համաձայն.
• ստացված թվի մեջ տասնորդական կետով առանձնացրե՛ք աջ կողմում այնքան թվանշան, որքան տասնորդական թվանշաններ կան երկու գործակիցների մեջ միասին, և եթե արտադրյալում թվանշանները բավարար չեն, ապա անհրաժեշտ թվով զրոները պետք է ավելացվեն ձախ կողմում:

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակները սյունակներով բազմապատկելու օրինակներ։

Բազմապատկեք տասնորդականները 63,37 և 0,12:

Եկեք բազմապատկենք տասնորդական կոտորակները սյունակում: Նախ, մենք բազմապատկում ենք թվերը՝ անտեսելով ստորակետները.


Մնում է ստացված արտադրանքին ստորակետ ավելացնել: Նա պետք է առանձնացնի 4 թվանշան դեպի աջ, քանի որ գործակիցներն ունեն ընդհանուր չորս տասնորդական տեղ (երկուսը 3.37 կոտորակի մեջ և երկուսը 0.12 կոտորակի մեջ): Այնտեղ բավականաչափ թվեր կան, այնպես որ դուք պետք չէ ձախ կողմում զրոներ ավելացնել: Ավարտենք ձայնագրությունը.


Արդյունքում ունենք 3.37·0.12=7.6044։

Հաշվե՛ք 3,2601 և 0,0254 տասնորդականների արտադրյալը։

Կատարելով բազմապատկում սյունակում՝ առանց ստորակետերը հաշվի առնելու, ստանում ենք հետևյալ պատկերը.


Այժմ արտադրյալում անհրաժեշտ է ստորակետով առանձնացնել աջ կողմում գտնվող 8 թվանշանները, քանի որ բազմապատկված կոտորակների տասնորդական վայրերի ընդհանուր թիվը ութ է: Բայց արտադրանքի մեջ կա ընդամենը 7 նիշ, հետևաբար, ձախ կողմում պետք է ավելացնել այնքան զրո, որպեսզի կարողանաք 8 նիշ առանձնացնել ստորակետով: Մեր դեպքում մենք պետք է նշանակենք երկու զրո.


Սա ավարտում է տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը սյունակներով:

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը 0,1-ով, 0,01-ով և այլն:

Շատ հաճախ պետք է տասնորդական կոտորակները բազմապատկել 0,1-ով, 0,01-ով և այլն: Ուստի նպատակահարմար է ձևակերպել տասնորդական կոտորակի այս թվերով բազմապատկելու կանոն, որը բխում է վերը քննարկված տասնորդական կոտորակի բազմապատկման սկզբունքներից։

Այսպիսով, տրված տասնորդականը բազմապատկելով 0,1-ով, 0,01-ով, 0,001-ով և այլնտալիս է մի կոտորակ, որը ստացվում է բնօրինակից, եթե իր նշագրման մեջ ստորակետը տեղափոխվում է ձախ համապատասխանաբար 1, 2, 3 և այլն թվանշաններով, իսկ եթե ստորակետը տեղափոխելու համար բավարար թվանշաններ չկան, ապա պետք է. ձախ կողմում ավելացրեք անհրաժեշտ թվով զրոներ:

Օրինակ՝ 54,34 տասնորդական կոտորակը 0,1-ով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է 54,34 կոտորակի տասնորդական կետը տեղափոխել ձախ 1 նիշով, որը ձեզ կտա 5,434 կոտորակը, այսինքն՝ 54,34·0,1=5,434։ Բերենք ևս մեկ օրինակ. 9,3 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 0,0001-ով: Դա անելու համար մենք պետք է 9.3 բազմապատկված տասնորդական կոտորակի մեջ տասնորդական կետի 4 նիշը տեղափոխենք ձախ, սակայն 9.3 կոտորակի նշումն այդքան թվանշան չի պարունակում: Ուստի պետք է 9.3 կոտորակից ձախ վերագրել այնքան զրո, որ տասնորդական կետը հեշտությամբ տեղափոխենք 4 նիշ, ունենք 9.3·0.0001=0.00093։

Նկատի ունեցեք, որ տասնորդական կոտորակը 0,1, 0,01, ... բազմապատկելու կանոնը գործում է նաև անվերջ տասնորդական կոտորակների համար: Օրինակ՝ 0.(18)·0.01=0.00(18) կամ 93.938…·0.1=9.3938…:

Տասնորդականի բազմապատկում բնական թվով

Նրա հիմքում տասնորդականները բազմապատկելով բնական թվերովոչնչով չի տարբերվում տասնորդականը տասնորդականով բազմապատկելուց:

Առավել հարմար է վերջնական տասնորդական կոտորակը բազմապատկել բնական թվով սյունակում, այս դեպքում դուք պետք է հետևեք սյունակում տասնորդական կոտորակների բազմապատկման կանոններին, որոնք քննարկվել են նախորդ պարբերություններից մեկում:

Հաշվի՛ր 15·2.27 արտադրյալը։

Եկեք բազմապատկենք բնական թիվը սյունակի տասնորդական կոտորակի վրա.


Պարբերական տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս պարբերական կոտորակը պետք է փոխարինվի սովորական կոտորակով:

0.(42) տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 22 բնական թվով։

Նախ՝ եկեք պարբերական տասնորդական կոտորակը վերածենք սովորական կոտորակի.

Հիմա կատարենք բազմապատկումը՝ . Որպես տասնորդական այս արդյունքը 9, (3) է:

Իսկ անվերջ ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս նախ պետք է կատարել կլորացում։

Բազմապատկել 4·2,145….

Կլորացնելով սկզբնական անվերջ տասնորդական կոտորակը մինչև հարյուրերորդական, մենք հասնում ենք բնական թվի և վերջնական տասնորդական կոտորակի բազմապատկմանը: Մենք ունենք 4·2,145…≈4·2,15=8,60:

Տասնորդական թիվը բազմապատկելով 10, 100, ...

Բավականին հաճախ պետք է տասնորդական կոտորակները բազմապատկել 10-ով, 100-ով,... Հետևաբար, խորհուրդ է տրվում մանրամասնորեն անդրադառնալ այս դեպքերին:

Եկեք բարձրաձայնենք այն տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով և այլն բազմապատկելու կանոն.Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, ...-ով բազմապատկելիս իր նշագրման մեջ պետք է տասնորդական կետը տեղափոխել աջ համապատասխանաբար 1, 2, 3, ... թվանշաններ, իսկ ձախ կողմում գտնվող ավելորդ զրոները հեռացնել; եթե բազմապատկվող կոտորակի նշումը չունի բավարար թվեր տասնորդական կետը տեղափոխելու համար, ապա պետք է աջ կողմում ավելացնել անհրաժեշտ թվով զրոներ:

0,0783 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 100-ով:

Եկեք 0,0783 կոտորակը երկու թվանշան տեղափոխենք աջ, և կստանանք 007,83։ Երկու զրոները ձախից գցելով, ստացվում է տասնորդական կոտորակը 7.38: Այսպիսով, 0,0783·100=7,83:

0,02 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 10000-ով:

0.02-ը 10000-ով բազմապատկելու համար մենք պետք է տասնորդական կետը 4 նիշ տեղափոխենք աջ: Ակնհայտ է, որ 0.02 կոտորակի նշման մեջ տասնորդական կետը 4 նիշով տեղափոխելու համար բավարար թվանշաններ չկան, ուստի մենք մի քանի զրո կավելացնենք դեպի աջ, որպեսզի տասնորդական կետը տեղափոխվի: Մեր օրինակում բավական է ավելացնել երեք զրո, ունենք 0,02000։ Ստորակետը տեղափոխելուց հետո ստանում ենք 00200.0 մուտքը: Ձախ կողմի զրոները դեն նետելով՝ ունենում ենք 200,0 թիվը, որը հավասար է 200 բնական թվին, որը 0,02 տասնորդական կոտորակը 10000-ով բազմապատկելու արդյունք է։

Նշված կանոնը ճիշտ է նաև անվերջ տասնորդական կոտորակները 10-ով, 100-ով բազմապատկելու համար, ... Պարբերական տասնորդական կոտորակները բազմապատկելիս պետք է զգույշ լինել բազմապատկման արդյունք հանդիսացող կոտորակի պարբերությունից:

5.32(672) պարբերական տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք 1000-ով:

Բազմապատկելուց առաջ պարբերական տասնորդական կոտորակը գրենք 5.32672672672..., դա թույլ կտա խուսափել սխալներից։ Այժմ ստորակետը տեղափոխեք աջ 3 տեղով, մենք ունենք 5 326.726726… Այսպիսով, բազմապատկելուց հետո ստացվում է 5 326,(726) պարբերական տասնորդական կոտորակը։

5.32(672)·1000=5326,(726) .

Անվերջ ոչ պարբերական կոտորակները 10-ով, 100-ով, ...-ով բազմապատկելիս նախ պետք է անվերջ կոտորակը կլորացնել որոշակի թվի, իսկ հետո կատարել բազմապատկումը։

Տասնորդականի բազմապատկումը կոտորակով կամ խառը թվով

Վերջավոր տասնորդական կոտորակը կամ անվերջ պարբերական տասնորդական կոտորակը սովորական կոտորակի կամ խառը թվով բազմապատկելու համար հարկավոր է տասնորդական կոտորակը ներկայացնել ձևով. ընդհանուր կոտորակ, այնուհետև իրականացրե՛ք բազմապատկումը։

0,4 տասնորդական կոտորակը բազմապատկեք խառը թվով:

Քանի որ 0.4=4/10=2/5 և հետո. Ստացված թիվը կարելի է գրել որպես պարբերական տասնորդական կոտորակ 1.5(3):

Անսահման ոչ պարբերական տասնորդական կոտորակը կոտորակի կամ խառը թվի վրա բազմապատկելիս կոտորակը կամ խառը թիվը փոխարինել տասնորդական կոտորակով, ապա կլորացնել բազմապատկված կոտորակները և ավարտել հաշվարկը։

Քանի որ 2/3=0.6666..., ուրեմն. Բազմապատկված կոտորակները հազարերորդականի կլորացնելուց հետո մենք հասնում ենք երկու վերջնական տասնորդական կոտորակների արտադրյալին՝ 3,568 և 0,667։ Կատարենք սյունակային բազմապատկում.


Ստացված արդյունքը պետք է կլորացնել մինչև հազարերորդականը, քանի որ բազմապատկված կոտորակները ճշգրիտ են վերցվել հազարերորդի վրա, ունենք 2,379856≈2,380։

www.cleverstudents.ru

29. Տասնորդական թվերի բազմապատկում: Կանոններ




Գտե՛ք հավասար կողմերով ուղղանկյան մակերեսը
1,4 դմ և 0,3 դմ: Եկեք դեցիմետրերը վերածենք սանտիմետրերի.

1,4 դմ = 14 սմ; 0,3 դմ = 3 սմ:

Հիմա եկեք հաշվարկենք տարածքը սանտիմետրերով։

S = 14 3 = 42 սմ 2:

Քառակուսի սանտիմետրերը վերածեք քառակուսի սանտիմետրերի
դեցիմետրեր:

դ մ 2 = 0,42 դ մ 2:

Սա նշանակում է S = 1.4 dm 0.3 dm = 0.42 dm 2:

Երկու տասնորդական կոտորակների բազմապատկումը կատարվում է այսպես.
1) թվերը բազմապատկվում են առանց ստորակետերը հաշվի առնելու.
2) ապրանքի մեջ ստորակետը դրվում է այնպես, որ այն առանձնանա աջ կողմում
նույն թվով նշաններ, որոնք առանձնացված են երկու գործոններով
համակցված. Օրինակ.

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Սյունակում տասնորդական կոտորակների բազմապատկման օրինակներ.



Ցանկացած թիվ 0,1-ով բազմապատկելու փոխարեն; 0,01; 0,001
դուք կարող եք այս թիվը բաժանել 10-ի; 100 ; կամ համապատասխանաբար 1000:
Օրինակ.

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Տասնորդական կոտորակը բնական թվով բազմապատկելիս պետք է.

1) բազմապատկել թվերը՝ առանց ստորակետին ուշադրություն դարձնելու.

2) ստացված արտադրանքի մեջ դրեք ստորակետ այնպես, որ աջ կողմում
այն ուներ նույն թվով թվանշաններ, որքան տասնորդական կոտորակը:

Եկեք գտնենք արտադրանքը 3.12 10. Համաձայն վերը նշված կանոնի
Սկզբում 312-ը բազմապատկում ենք 10-ով։ Մենք ստանում ենք՝ 312 10 = 3120։
Այժմ ստորակետով առանձնացնում ենք աջ կողմի երկու թվանշանները և ստանում.

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Սա նշանակում է, որ 3.12-ը 10-ով բազմապատկելիս տասնորդական կետը տեղափոխել ենք մեկով
համարը դեպի աջ: Եթե ​​3.12-ը բազմապատկենք 100-ով, կստանանք 312, այսինքն
Ստորակետը երկու նիշով տեղափոխվեց աջ:

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Տասնորդական կոտորակը 10-ով, 100-ով, 1000-ով և այլն բազմապատկելիս անհրաժեշտ է.
այս կոտորակի մեջ տասնորդական կետը տեղափոխեք աջ այնքան տեղերով, որքան զրոներ կան
արժե բազմապատկել: Օրինակ.

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Խնդիրներ «Տասնորդական թվերի բազմապատկում» թեմայով

school-assistant.ru

Տասնորդականների գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում

Տասնորդական թվերի գումարումը և հանումը նման է բնական թվերի գումարմանը և հանմանը, բայց որոշակի պայմաններով:

Կանոն.

կատարվում է ամբողջ թվերի և կոտորակային մասերի թվանշաններով՝ որպես բնական թվեր։ ԳրավորԱմբողջ թիվը կոտորակայինից բաժանող ստորակետը պետք է տեղադրվի հավելումներում և գումարում կամ մինուենդում, ենթակետում և տարբերությունում մեկ սյունակում (ստորակետի տակ՝ պայմանը գրելուց մինչև հաշվարկի ավարտը):

Տասնորդական թվերի գումարում և հանումդեպի գիծ:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Տասնորդական թվերի գումարում և հանումսյունակում:

Տասնորդական թվերի ավելացումը պահանջում է լրացուցիչ վերին տող՝ թվեր գրանցելու համար, երբ տեղային արժեքի գումարը գերազանցում է տասը: Տասնորդական թվերի հանումը պահանջում է լրացուցիչ վերին տող՝ նշելու այն վայրը, որտեղ փոխառված է 1-ը:

Եթե ​​կոտորակային մասի նիշերը բավարար չեն հավելումից կամ մինուենդի աջ կողմում, ապա կոտորակային մասի աջ կողմում կարող եք ավելացնել այնքան զրո (մեծացնել կոտորակային մասի թվանշանը), որքան թվանշաններ կան մյուս հավելումում։ կամ minuend.

Տասնորդական թվերի բազմապատկումկատարվում է այնպես, ինչպես բնական թվերը բազմապատկելը, ըստ նույն կանոնների, բայց արտադրյալում ստորակետ է դրվում կոտորակային մասի գործակիցների թվանշանների գումարի համաձայն՝ հաշվելով աջից ձախ (գումարը. բազմապատկիչների թվանշանները միասին վերցրած գործակիցների տասնորդական կետից հետո թվանշանների թիվն է):

ժամը տասնորդական թվերի բազմապատկումսյունակում աջ կողմում գտնվող առաջին նշանակալից նիշը ստորագրվում է աջ կողմում գտնվող առաջին նշանակալի նիշի տակ, ինչպես բնական թվերում.

Ձայնագրեք տասնորդական թվերի բազմապատկումսյունակում:

Ձայնագրեք տասնորդականների բաժանումսյունակում:

Ընդգծված նիշերը այն նիշերն են, որոնց հաջորդում է ստորակետը, քանի որ բաժանարարը պետք է լինի ամբողջ թիվ:

Կանոն. ժամը բաժանող կոտորակներՏասնորդական բաժանարարն ավելանում է այնքան թվանշանով, որքան թվանշան կա կոտորակային մասում։ Ապահովելու համար, որ կոտորակը չի փոխվում, դիվիդենտն ավելացվում է նույն թվով թվանշաններով (շահաբաժնի և բաժանարարի մեջ ստորակետը տեղափոխվում է նույն թվով թվանշաններ): Ստորակետը դրվում է բաժանման այն փուլում, երբ կոտորակի ամբողջ մասը բաժանվում է:

Տասնորդական կոտորակների համար, ինչպես բնական թվերի դեպքում, կանոնը մնում է. Դուք չեք կարող տասնորդական կոտորակը բաժանել զրոյի:

Տասնորդական թվերի գումարումը նույնն է, ինչ ամբողջ թվերը: Տեսնենք սա օրինակներով։

1) 0,132 + 2,354. Եկե՛ք տերմինները պիտակավորենք մեկը մյուսի տակ։

Այստեղ 2 հազարերորդականը 4 հազարերորդականին գումարելով ստացվեց 6 հազարերորդական;
3 հարյուրերորդական 5 հարյուրերորդականով գումարելուց ստացվում է 8 հարյուրերորդական;
3 տասներորդով 1 տասներորդ գումարելուց -4 տասներորդով և
2 ամբողջ թվով 0 ամբողջ թիվ ավելացնելուց - 2 ամբողջ թիվ:

2) 5,065 + 7,83.

Երկրորդ տերմինում հազարերորդականներ չկան, ուստի կարևոր է չսխալվել տերմինները մեկը մյուսի հետևից պիտակավորելիս:

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Այստեղ հազարերորդականներ գումարելիս ստացվում է 21 հազարերորդական; մենք հազարերորդականների տակ գրեցինք 1, իսկ հարյուրերորդականներին ավելացրինք 2, ուստի հարյուրերորդական տեղերում ստացանք հետևյալ անդամները՝ 2 + 3 + 6 + 8 + 0; ընդհանուր առմամբ տալիս են 19 հարյուրերորդական, մենք ստորագրել ենք 9-ը հարյուրերորդականի տակ, իսկ 1-ը հաշվել ենք որպես տասներորդ և այլն։

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակներ ավելացնելիս պետք է պահպանել հետևյալ հաջորդականությունը. կոտորակներն ստորագրել մեկը մյուսի տակ այնպես, որ բոլոր տերմիններով նույն թվանշանները լինեն միմյանց տակ, և բոլոր ստորակետները լինեն նույն ուղղահայաց սյունակում. Որոշ անդամների տասնորդական վայրերի աջ կողմում ավելացվում են այնպիսի թվով զրոներ, գոնե մտավոր, այնպես, որ տասնորդական կետից հետո բոլոր անդամներն ունենան նույն թվանշանները։ Այնուհետև կատարում են թվանշաններով գումարում՝ սկսած աջ կողմից, և ստացված գումարում ստորակետ են դնում նույն ուղղահայաց սյունակում, որում այն ​​գտնվում է այս տերմիններով։

§ 108. Տասնորդական կոտորակների հանում.

Տասնորդական թվերի հանումն աշխատում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերը հանելը: Սա ցույց տանք օրինակներով։

1) 9,87 - 7,32: Ստորագրենք ենթակետը մինուենդի տակ, որպեսզի նույն թվանշանի միավորները լինեն միմյանց տակ.

2) 16.29 - 4.75: Ստորագրենք ենթակետը մինուենդի տակ, ինչպես առաջին օրինակում.

Տասներորդները հանելու համար պետք էր 6-ից վերցնել մեկ ամբողջ միավոր և այն բաժանել տասներորդների:

3) 14.0213- 5.350712. Ստորագրենք ենթավերնագիրը մինուենդի տակ.

Հանումը կատարվել է հետևյալ կերպ. քանի որ մենք չենք կարող 0-ից հանել 2 միլիոներորդական, ապա պետք է շրջվենք դեպի ձախ կողմի մոտակա թվանշանը, այսինքն՝ հարյուր հազարերորդականը, բայց հարյուր հազարերորդականի փոխարեն կա նաև զրո, ուստի վերցնում ենք 1 տասը հազարերորդականը։ 3 տասը հազարերորդական և բաժանում ենք հարյուր հազարերորդականների, ստանում ենք 10 հարյուր հազարերորդական, որից 9 հարյուր հազարերորդականը թողնում ենք հարյուր հազարերորդականի մեջ, իսկ հարյուր հազարերորդը բաժանում ենք միլիոներորդների, ստանում ենք 10 միլիոներորդական։ Այսպիսով, վերջին երեք թվանշաններով ստացանք՝ միլիոներորդներ 10, հարյուր հազարերորդներ 9, տասը հազարերորդներ 2: Ավելի պարզության և հարմարության համար (որպեսզի չմոռանանք), այս թվերը գրված են մինուենդի համապատասխան կոտորակային թվերի վերևում: Այժմ կարող եք սկսել հանել: 10 միլիոներորդականից հանում ենք 2 միլիոներորդական, ստանում ենք 8 միլիոներորդ; 9 հարյուր հազարերորդականից հանում ենք 1 հարյուր հազարերորդական, ստանում ենք 8 հարյուր հազարերորդական և այլն։

Այսպիսով, տասնորդական կոտորակները հանելիս պահպանվում է հետևյալ հաջորդականությունը. ստորակետը ստորագրեք մինուենդի տակ այնպես, որ նույն թվանշանները լինեն միմյանց տակ, և բոլոր ստորակետները լինեն նույն ուղղահայաց սյունակում. աջ կողմում, գոնե մտավոր, այնքան զրո են ավելացնում մինուենդում կամ ենթաշերտում, որպեսզի նրանք ունենան նույն թվով թվանշաններ, ապա հանում են թվերով՝ սկսած աջից, և ստացված տարբերության մեջ ստորակետ են դնում. նույն ուղղահայաց սյունը, որում այն ​​գտնվում է փոքրացված և հանված:

§ 109. Տասնորդական կոտորակների բազմապատկում.

Դիտարկենք տասնորդական կոտորակների բազմապատկման մի քանի օրինակ:

Այս թվերի արտադրյալը գտնելու համար մենք կարող ենք պատճառաբանել հետևյալ կերպ. եթե գործակիցը մեծացվի 10 անգամ, ապա երկու գործակիցներն էլ կլինեն ամբողջ թվեր, և մենք կարող ենք դրանք բազմապատկել ըստ ամբողջ թվերի բազմապատկման կանոնների։ Բայց մենք գիտենք, որ երբ գործոններից մեկը մի քանի անգամ ավելանում է, արտադրանքը նույնքանով ավելանում է։ Սա նշանակում է, որ այն թիվը, որը ստացվում է ամբողջ գործակիցները բազմապատկելուց, այսինքն՝ 28-ը 23-ով, 10 անգամ մեծ է իսկական արտադրյալից, իսկ իրական արտադրյալը ստանալու համար գտնված արտադրյալը պետք է կրճատվի 10 անգամ։ Հետևաբար, այստեղ դուք ստիպված կլինեք մեկ անգամ բազմապատկել 10-ով և մեկ անգամ բաժանել 10-ի, սակայն 10-ով բազմապատկելը և բաժանելը կատարվում է տասնորդական կետը մեկ տեղով աջ և ձախ տեղափոխելով: Հետևաբար, դուք պետք է անեք սա. գործոնում ստորակետը տեղափոխեք ճիշտ մի տեղ, դա կդարձնի այն հավասար 23-ի, այնուհետև պետք է բազմապատկեք ստացված ամբողջ թվերը.

Այս ապրանքը 10 անգամ ավելի մեծ է, քան իրականը: Հետեւաբար, այն պետք է կրճատվի 10 անգամ, ինչի համար ստորակետը տեղափոխում ենք մեկ տեղ դեպի ձախ։ Այսպիսով, մենք ստանում ենք

28 2,3 = 64,4.

Ստուգման նպատակով դուք կարող եք գրել տասնորդական կոտորակ հայտարարով և կատարել գործողությունը սովորական կոտորակների բազմապատկման կանոնի համաձայն, այսինքն.

2) 12,27 0,021.

Այս օրինակի և նախորդի տարբերությունն այն է, որ այստեղ երկու գործակիցներն էլ ներկայացված են որպես տասնորդական կոտորակներ: Բայց այստեղ, բազմապատկման գործընթացում, մենք ուշադրություն չենք դարձնի ստորակետներին, այսինքն՝ ժամանակավորապես կավելացնենք բազմապատկիչը 100 անգամ, իսկ բազմապատկիչը՝ 1000 անգամ, ինչը կմեծացնի արտադրյալը 100000 անգամ։ Այսպիսով, 1227-ը բազմապատկելով 21-ով, ստանում ենք.

1 227 21 = 25 767.

Հաշվի առնելով, որ ստացված արդյունքը 100 000 անգամ մեծ է իրական արտադրանքից, այժմ մենք պետք է այն կրճատենք 100 000 անգամ՝ պատշաճ կերպով ստորակետ դնելով դրանում, ապա մենք ստանում ենք.

32,27 0,021 = 0,25767.

Եկեք ստուգենք.

Այսպիսով, երկու տասնորդական կոտորակները բազմապատկելու համար բավական է, առանց ստորակետներին ուշադրություն դարձնելու, դրանք բազմապատկել որպես ամբողջ թվեր և արտադրյալում աջ կողմում ստորակետով առանձնացնել այնքան տասնորդական տեղեր, որքան եղել են բազմապատկման մեջ և թվերի մեջ։ բազմապատկիչ միասին:

Վերջին օրինակը հանգեցրեց հինգ տասնորդական թվերով արտադրանքի: Եթե ​​այդքան մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, ապա տասնորդական կոտորակը կլորացվում է: Կլորացնելիս դուք պետք է օգտագործեք նույն կանոնը, որը նշված է ամբողջ թվերի համար:

§ 110. Բազմապատկում աղյուսակների միջոցով.

Տասնորդական թվերի բազմապատկումը երբեմն կարելի է անել աղյուսակների միջոցով: Այդ նպատակով կարելի է օրինակ օգտագործել երկնիշ թվերի համար այդ բազմապատկման աղյուսակները, որոնց նկարագրությունը տրվել է ավելի վաղ։

1) 53-ը բազմապատկել 1,5-ով:

Մենք 53-ը կբազմապատկենք 15-ով: Աղյուսակում այս արտադրյալը հավասար է 795-ի: Մենք գտանք արտադրյալը 53-ով 15-ով, բայց մեր երկրորդ գործակիցը 10 անգամ փոքր էր, ինչը նշանակում է, որ արտադրյալը պետք է կրճատվի 10 անգամ, այսինքն.

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3-ը բազմապատկել 4.7-ով:

Նախ, մենք աղյուսակում գտնում ենք 53-ի արտադրյալը 47-ով, այն կլինի 2491, բայց քանի որ բազմապատկիչը և բազմապատկիչը մեծացրել ենք 100 անգամ, արդյունքում ստացված արտադրյալը 100 անգամ ավելի մեծ է, քան պետք է լինի: Այսպիսով, մենք պետք է կրճատենք այս ապրանքը 100 անգամ.

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0,53-ը բազմապատկել 7,4-ով:

Նախ, աղյուսակում մենք գտնում ենք 53-ը 74-ի արտադրանքը. դա կլինի 3922 Բայց քանի որ մենք բազմապատկել ենք 100 անգամ, իսկ բազմապատկիչը 10 անգամ, արտադրյալը աճել է 1000 անգամ; այնպես որ մենք այժմ պետք է կրճատենք այն 1000 անգամ.

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Տասնորդական կոտորակների բաժանում.

Մենք կդիտարկենք տասնորդական կոտորակների բաժանումը հետևյալ հաջորդականությամբ.

1. Տասնորդական կոտորակի բաժանում ամբողջ թիվ,

1. Տասնորդական կոտորակը բաժանեք ամբողջ թվի:

1) 2.46-ը բաժանեք 2-ի:

Բաժանեցինք 2-ի սկզբում ամբողջ, հետո տասներորդական և վերջապես հարյուրերորդական:

2) 32.46-ը բաժանեք 3-ի:

32,46: 3 = 10,82.

Մենք 3 տասնյակը բաժանեցինք 3-ի, հետո սկսեցինք 2 միավորը բաժանել 3-ի; քանի որ շահաբաժնի միավորների թիվը (2) է. բաժանարարից պակաս(3), ապա ես պետք է 0 դնեի քանորդի մեջ; այնուհետև, մնացածին մենք վերցրեցինք 4 տասներորդ և 24 տասներորդը բաժանեցինք 3-ի; քանորդում ստացել է 8 տասներորդ և վերջապես բաժանել 6 հարյուրերորդական։

3) 1,2345-ը բաժանեք 5-ի:

1,2345: 5 = 0,2469.

Այստեղ քանորդում առաջին տեղում զրո ամբողջ թիվ է, քանի որ մեկ ամբողջ թիվը չի բաժանվում 5-ի։

4) 13.58-ը բաժանեք 4-ի:

Այս օրինակի առանձնահատկությունն այն է, որ երբ մենք ստացանք 9 հարյուրերորդական քանորդում, հայտնաբերեցինք 2 հարյուրերորդականի հավասար մնացորդ, այս մնացորդը բաժանեցինք հազարերորդականների, ստացանք 20 հազարերորդական և ավարտեցինք բաժանումը։

Կանոն.Տասնորդական կոտորակը ամբողջ թվով բաժանելը կատարվում է այնպես, ինչպես ամբողջ թվերը բաժանելը, և ստացված մնացորդները վերածվում են տասնորդական կոտորակների՝ ավելի ու ավելի փոքր; Բաժանումը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև մնացորդը զրոյանա:

2. Տասնորդականը բաժանեք տասնորդականի:

1) 2,46-ը բաժանեք 0,2-ի:

Մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կարելի է տասնորդական կոտորակը բաժանել ամբողջ թվի։ Մտածենք՝ կարելի՞ է արդյոք բաժանման այս նոր դեպքը նույնպես կրճատել նախորդի վրա։ Ժամանակին մենք դիտարկել ենք գործակիցի ուշագրավ հատկությունը, որը կայանում է նրանում, որ այն մնում է անփոփոխ, երբ շահաբաժինն ու բաժանարարը միաժամանակ ավելանում կամ նվազում են նույն թվով անգամներով: Մենք հեշտությամբ կարող էինք բաժանել մեզ տրված թվերը, եթե բաժանարարը լիներ ամբողջ թիվ: Դա անելու համար բավական է այն ավելացնել 10 անգամ, իսկ ճիշտ գործակից ստանալու համար անհրաժեշտ է շահաբաժինն ավելացնել նույն չափով, այսինքն՝ 10 անգամ։ Այնուհետև այս թվերի բաժանումը կփոխարինվի հետևյալ թվերի բաժանմամբ.

Ավելին, մանրամասների մեջ որևէ փոփոխություն կատարելու կարիք այլեւս չի լինի։

Եկեք կատարենք այս բաժանումը.

Այսպիսով, 2.46: 0.2 = 12.3:

2) 1,25-ը բաժանեք 1,6-ի:

Մենք բաժանարարը (1.6) ավելացնում ենք 10 անգամ; որպեսզի գործակիցը չփոխվի, շահաբաժինն ավելացնում ենք 10 անգամ. 12 ամբողջ թվերը չեն բաժանվում 16-ի, ուստի մենք գրում ենք 0-ի քանորդը և 125 տասներորդը բաժանում ենք 16-ի, քանորդում ստանում ենք 7 տասներորդ, իսկ մնացածը 13 է։ Զրո նշանակելով 136 հարյուրերորդականը բաժանում ենք հարյուրերորդականի և 136 հարյուրերորդականը բաժանում ենք 1-ի։ և այլն: Խնդրում ենք նկատի ունենալ հետևյալը.

ա) երբ կոնկրետում չկան ամբողջ թվեր, ապա դրանց փոխարեն գրվում են զրո ամբողջ թվեր.

բ) երբ դիվիդենտի թվանշանը մնացորդին գումարելուց հետո ստացվում է բաժանարարի վրա չբաժանվող թիվ, ապա քանորդում գրվում է զրո.

գ) երբ դիվիդենտի վերջին թվանշանը հանելուց հետո բաժանումը չի ավարտվում, ապա մնացորդին զրոներ ավելացնելով` բաժանումը շարունակվում է.

դ) եթե դիվիդենտը ամբողջ թիվ է, ապա այն տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելիս այն մեծացնում են՝ դրան ավելացնելով զրոներ։

Այսպիսով, թիվը տասնորդական կոտորակի վրա բաժանելու համար հարկավոր է ստորակետը թողնել բաժանարարի մեջ, այնուհետև ավելացնել դիվիդենտը այնքան անգամ, որքան ավելացել է բաժանարարը ստորակետը մեջը գցելու ժամանակ, այնուհետև կատարել բաժանումը ըստ. տասնորդական կոտորակը ամբողջ թվի վրա բաժանելու կանոնը.

§ 112. Մոտավոր քանորդներ.

Նախորդ պարբերությունում մենք նայեցինք տասնորդական կոտորակների բաժանումը, և մեր լուծած բոլոր օրինակներում բաժանումն ավարտվեց, այսինքն՝ ստացվեց ճշգրիտ գործակից։ Այնուամենայնիվ, շատ դեպքերում ճշգրիտ գործակից հնարավոր չէ ստանալ, անկախ նրանից, թե որքան հեռու ենք բաժանումը: Ահա այսպիսի մի դեպք՝ 53-ը բաժանեք 101-ի։

Մենք արդեն ստացել ենք գործակիցի հինգ նիշ, բայց բաժանումը դեռ չի ավարտվել, և հույս չկա, որ այն երբևէ կավարտվի, քանի որ մնացածում մենք սկսում ենք ունենալ նախկինում արդեն հանդիպած թվեր: Քաղորդում կկրկնվեն նաև թվեր՝ ակնհայտ է, որ 7 թվից հետո անվերջ կհայտնվի 5 թիվը, հետո՝ 2 և այլն։ Նման դեպքերում բաժանումն ընդհատվում է և սահմանափակվում գործակիցի առաջին մի քանի թվանշաններով։ Այս գործակիցը կոչվում է մտերիմները.Մենք օրինակներով ցույց կտանք, թե ինչպես կատարել բաժանումը:

Թող անհրաժեշտ լինի 25-ը բաժանել 3-ի: Ակնհայտ է, որ նման բաժանումից չի կարելի ստանալ ճշգրիտ քանորդ, որն արտահայտվում է որպես ամբողջ թիվ կամ տասնորդական կոտորակ: Հետևաբար, մենք կփնտրենք մոտավոր գործակից.

25: 3 = 8, իսկ մնացորդը 1

Մոտավոր գործակիցը 8 է; այն, անշուշտ, ճշգրիտ քանորդից փոքր է, քանի որ կա մնացորդ 1: Ճշգրիտ քանորդը ստանալու համար անհրաժեշտ է գտնված մոտավոր գործակցին ավելացնել այն կոտորակը, որը ստացվում է 1-ին հավասար մնացորդը 3-ի բաժանելով, այսինքն. , մինչև 8; սա կլինի կոտորակ 1/3: Սա նշանակում է, որ ճշգրիտ գործակիցը կհայտնվի որպես խառը թիվ 8 1/3: Քանի որ 1/3-ը պատշաճ կոտորակ է, այսինքն՝ կոտորակ, մեկից պակաս, ապա, դեն նետելով այն՝ թույլ կտանք սխալ, որը մեկից պակաս. 8 գործակիցը կլինի մոտավոր գործակից մինչև միասնություն թերության հետ:Եթե ​​քանորդում 8-ի փոխարեն վերցնենք 9, ապա թույլ կտանք նաև մեկից փոքր սխալ, քանի որ ոչ թե ամբողջ միավորը կավելացնենք, այլ 2/3-ը։ Նման մասնավոր կամք մոտավոր գործակիցը մեկի մեջ ավելցուկով:

Հիմա մեկ այլ օրինակ բերենք. Ենթադրենք, մենք պետք է 27-ը բաժանենք 8-ի: Քանի որ այստեղ մենք չենք ստանա ճշգրիտ գործակից, որն արտահայտված է որպես ամբողջ թիվ, մենք կփնտրենք մոտավոր գործակից.

27: 8 = 3, իսկ մնացորդը 3:

Այստեղ սխալը հավասար է 3/8-ի, այն փոքր է մեկից, ինչը նշանակում է, որ մոտավոր գործակիցը (3) ճշգրիտ է գտնվել թերություն ունեցողի նկատմամբ։ Շարունակենք բաժանումը. մնացած 3-ը բաժանենք տասներորդների, ստանում ենք 30 տասներորդ; բաժանեք դրանք 8-ի:

Տասներորդների փոխարեն ստացանք 3, իսկ մնացածում՝ 6 տասներորդ։ Եթե ​​սահմանափակվենք 3.3 թվով, իսկ մնացած 6-ը դեն նետենք, ապա թույլ կտանք մեկ տասներորդից պակաս սխալ: Ինչո՞ւ։ Որովհետև ճշգրիտ գործակիցը կստացվեր, երբ 3.3-ին գումարեինք 6 տասներորդը 8-ի բաժանելու արդյունքը. այս բաժանումը կբերի 6/80, ինչը մեկ տասներորդից պակաս է: (Ստուգե՜ ճշգրիտ մինչև մեկ տասներորդը(թերուսով):

Շարունակենք բաժանումը մեկ այլ տասնորդական տեղ գտնելու համար: Դա անելու համար մենք 6 տասներորդը բաժանում ենք հարյուրերորդի և ստանում ենք 60 հարյուրերորդական; բաժանեք դրանք 8-ի:

Երրորդ տեղում գործակցով ստացվել է 7, իսկ մնացածը՝ 4 հարյուրերորդական; եթե դրանք դեն նետենք, թույլ կտանք հարյուրերորդից պակաս սխալ, քանի որ 8-ի բաժանված 4 հարյուրերորդը հարյուրերորդից փոքր է։ Նման դեպքերում ասում են, որ գործակիցը գտնվել է ճշգրիտ մինչև հարյուրերորդը(թերություն ունեցող):

Օրինակ, որը մենք հիմա նայում ենք, մենք կարող ենք ստանալ ճշգրիտ գործակիցը, որն արտահայտված է որպես տասնորդական կոտորակ: Դա անելու համար բավական է վերջին մնացորդը՝ 4 հարյուրերորդականը, բաժանել հազարերորդականի և բաժանել 8-ի։

Այնուամենայնիվ, դեպքերի ճնշող մեծամասնությունում անհնար է ստույգ գործակից ստանալ, և պետք է սահմանափակվել դրա մոտավոր արժեքներով: Այժմ մենք կանդրադառնանք այս օրինակին.

40: 7 = 5,71428571...

Թվի վերջում դրված կետերը ցույց են տալիս, որ բաժանումը ավարտված չէ, այսինքն՝ հավասարությունը մոտավոր է։ Սովորաբար մոտավոր հավասարությունը գրվում է հետևյալ կերպ.

40: 7 = 5,71428571.

Մենք վերցրել ենք գործակիցը ութ տասնորդական թվերով։ Բայց եթե այդպիսի մեծ ճշգրտություն չի պահանջվում, կարող եք սահմանափակվել միայն գործակիցի ամբողջ մասով, այսինքն՝ 5 (ավելի ճիշտ՝ 6) թվով. ավելի մեծ ճշգրտության համար կարելի էր հաշվի առնել տասներորդները և վերցնել 5,7-ի գործակիցը. եթե ինչ-ինչ պատճառներով այս ճշգրտությունը բավարար չէ, ապա կարող եք կանգ առնել հարյուրերորդականների վրա և վերցնել 5,71 և այլն: Եկեք դուրս գրենք առանձին գործակիցները և անվանենք դրանք:

Առաջին մոտավոր գործակիցը ճշգրիտ է մեկ 6-ի:

Երկրորդ » » » մեկ տասներորդ 5.7.

Երրորդ » » » մինչեւ հարյուրերորդական 5.71.

Չորրորդ » » » մեկ հազարերորդական 5.714.

Այսպիսով, որոշների համար ճշգրիտ գործակից գտնելու համար, օրինակ, 3-րդ տասնորդական (այսինքն՝ մինչև հազարերորդական), դադարեցրեք բաժանումը հենց այս նշանը գտնվի: Այս դեպքում դուք պետք է հիշեք § 40-ում սահմանված կանոնը:

§ 113. Ամենապարզ խնդիրները տոկոսներով:

Տասնորդական թվերի մասին սովորելուց հետո մենք կանենք ևս մի քանի տոկոսային խնդիրներ:

Այս խնդիրները նման են այն խնդիրներին, որոնք մենք լուծեցինք ֆրակցիոն բաժնում. բայց հիմա հարյուրերորդականները կգրենք տասնորդական կոտորակների տեսքով, այսինքն՝ առանց հստակ նշանակված հայտարարի։

Առաջին հերթին, դուք պետք է կարողանաք հեշտությամբ անցնել 100 հայտարար ունեցող սովորական կոտորակից տասնորդականի: Դա անելու համար անհրաժեշտ է համարիչը բաժանել հայտարարի.

Ստորև բերված աղյուսակը ցույց է տալիս, թե ինչպես է % (տոկոս) նշանով թիվը փոխարինվում 100 հայտարարով տասնորդական կոտորակով.

Այժմ դիտարկենք մի քանի խնդիր.

1. Գտնելով տրված թվի տոկոսը.

Առաջադրանք 1.Մեկ գյուղում ապրում է ընդամենը 1600 մարդ։ Երեխաների թիվը դպրոցական տարիքկազմում է բնակչության ընդհանուր թվի 25%-ը։ Քանի՞ դպրոցահասակ երեխա կա այս գյուղում։

Այս հարցում պետք է գտնել 25%-ը կամ 0,25-ը 1600-ից Խնդիրը լուծվում է բազմապատկելով.

1600 0.25 = 400 (երեխաներ):

Հետեւաբար, 1600-ի 25%-ը 400 է:

Այս առաջադրանքը հստակ հասկանալու համար օգտակար է հիշել, որ բնակչության յուրաքանչյուր հարյուրին բաժին է ընկնում դպրոցահասակ 25 երեխա: Հետևաբար, բոլոր դպրոցահասակ երեխաների թիվը գտնելու համար նախ կարող եք պարզել, թե քանի հարյուր կա 1600 (16) թվի մեջ, այնուհետև 25-ը բազմապատկել հարյուրավոր թվով (25 x 16 = 400): Այս կերպ Դուք կարող եք ստուգել լուծման վավերականությունը:

Առաջադրանք 2.Խնայբանկերը ավանդատուներին տրամադրում են տարեկան 2% եկամտաբերություն: Որքա՞ն եկամուտ կստանա ավանդատուն մեկ տարվա ընթացքում, եթե նա դնի դրամարկղ՝ ա) 200 ռուբլի. բ) 500 ռուբլի? գ) 750 ռուբլի: դ) 1000 ռուբ.

Բոլոր չորս դեպքերում խնդիրը լուծելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել նշված գումարների 0,02-ը, այսինքն՝ այս թվերից յուրաքանչյուրը պետք է բազմապատկվի 0,02-ով: Եկեք սա անենք.

ա) 200 0,02 = 4 (ռուբ.),

բ) 500 0.02 = 10 (ռուբ.),

գ) 750 0.02 = 15 (ռուբ.),

դ) 1000 0.02 = 20 (ռուբ.):

Այս դեպքերից յուրաքանչյուրը կարող է ստուգվել հետևյալ նկատառումներով. Խնայբանկերը ավանդատուներին տալիս են 2% եկամուտ, այսինքն՝ խնայողությունների մեջ ավանդադրված գումարի 0,02-ը։ Եթե ​​գումարը 100 ռուբլի էր, ապա դրանից 0,02-ը կլիներ 2 ռուբլի։ Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր հարյուրը ներդրողին բերում է 2 ռուբլի։ եկամուտ։ Հետևաբար, դիտարկված յուրաքանչյուր դեպքում բավական է պարզել, թե քանի հարյուր կա տվյալ թվի մեջ և 2 ռուբլի բազմապատկել այս հարյուրավոր թվով։ Օրինակ ա) կան 2 հարյուրավորներ, ինչը նշանակում է

2 2 = 4 (ռուբ.):

Օրինակ դ) կան 10 հարյուրավորներ, ինչը նշանակում է

2 10 = 20 (ռուբ.):

2. Թիվ գտնելն իր տոկոսով:

Առաջադրանք 1.Գարնանը դպրոցն ավարտել է 54 աշակերտ, ինչը կազմում է ընդհանուր ընդունվածների 6%-ը: Քանի՞ աշակերտ կար դպրոցում անցած տարի: ուսումնական տարին?

Եկեք նախ պարզաբանենք այս առաջադրանքի իմաստը: Դպրոցն ավարտել է 54 աշակերտ, որը կազմում է ընդհանուր սովորողների 6%-ը կամ, այլ կերպ ասած, դպրոցի բոլոր աշակերտների 6 հարյուրերորդականը (0,06): Սա նշանակում է, որ մենք գիտենք աշակերտների (54) թվով և կոտորակով (0,06) արտահայտված մասը, և այս կոտորակից պետք է գտնենք ամբողջ թիվը։ Այսպիսով, մեր առջև սովորական առաջադրանքգտնել թիվը նրա կոտորակից (§90 p.6). Այս տեսակի խնդիրները լուծվում են բաժանման միջոցով.

Սա նշանակում է, որ դպրոցում սովորել է ընդամենը 900 աշակերտ։

Օգտակար է ստուգել նման խնդիրները՝ լուծելով հակադարձ խնդիրը, այսինքն՝ խնդիրը լուծելուց հետո դուք պետք է գոնե ձեր գլխում առաջին տիպի խնդիր լուծեք (գտնելով տրված թվի տոկոսը). վերցրեք գտնված թիվը ( 900) ինչպես տրված է և գտի՛ր լուծված խնդրի մեջ նշված դրա տոկոսը, այն է՝

900 0,06 = 54.

Առաջադրանք 2.Ընտանիքը ամսվա ընթացքում սննդի վրա ծախսում է 780 ռուբլի, ինչը հոր ամսական վաստակի 65%-ն է։ Որոշեք նրա ամսական եկամուտը.

Այս առաջադրանքն ունի նույն նշանակությունը, ինչ նախորդը: Այն տալիս է ամսական վաստակի մի մասը՝ արտահայտված ռուբլով (780 ռուբլի) և ցույց է տալիս, որ այդ մասը կազմում է ընդհանուր շահույթի 65%-ը կամ 0,65-ը։ Եվ այն, ինչ դուք փնտրում եք, ամբողջ վաստակն է.

780: 0,65 = 1 200.

Հետեւաբար, պահանջվող եկամուտը 1200 ռուբլի է:

3. Գտնելով թվերի տոկոսը.

Առաջադրանք 1. IN դպրոցի գրադարանընդամենը 6000 գիրք։ Դրանց թվում են մաթեմատիկայի 1200 գիրք։ Մաթեմատիկայի գրքերի քանի՞ տոկոսն է կազմում գրադարանի գրքերի ընդհանուր թիվը:

Մենք արդեն դիտարկել ենք (§97) այս կարգի խնդիրները և եկել այն եզրակացության, որ երկու թվերի տոկոսը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է գտնել այս թվերի հարաբերակցությունը և այն բազմապատկել 100-ով:

Մեր խնդրի մեջ պետք է գտնել 1200 և 6000 թվերի տոկոսային հարաբերակցությունը։

Եկեք նախ գտնենք դրանց հարաբերակցությունը, այնուհետև այն բազմապատկենք 100-ով.

Այսպիսով, 1200 և 6000 թվերի տոկոսը կազմում է 20։ Այսինքն՝ մաթեմատիկայի գրքերը կազմում են բոլոր գրքերի ընդհանուր թվի 20%-ը։

Ստուգելու համար եկեք լուծենք հակադարձ խնդիրը՝ գտեք 6000-ի 20%-ը.

6 000 0,2 = 1 200.

Առաջադրանք 2.Գործարանը պետք է ստանա 200 տոննա ածուխ։ Արդեն հասցվել է 80 տոննա ածուխ։

Այս խնդիրը հարցնում է, թե քանի տոկոս է կազմում մի թիվը (80) մյուսին (200): Այս թվերի հարաբերակցությունը կլինի 80/200։ Եկեք այն բազմապատկենք 100-ով.

Սա նշանակում է, որ ածուխի 40%-ը մատակարարվել է։