Հոդվածում մենք ցույց կտանք ինչպես լուծել կոտորակներըօգտագործելով պարզ, հասկանալի օրինակներ: Եկեք պարզենք, թե ինչ է կոտորակը և դիտարկենք կոտորակների լուծում!

Հայեցակարգ կոտորակներըներմուծվում է մաթեմատիկայի դասընթացներ՝ սկսած միջնակարգ դպրոցի 6-րդ դասարանից։

Կոտորակներն ունեն ձև՝ ±X/Y, որտեղ Y-ը հայտարարն է, այն ցույց է տալիս, թե քանի մասի է բաժանվել ամբողջը, իսկ X-ը համարիչն է, ցույց է տալիս, թե քանի այդպիսի մաս է վերցվել։ Պարզության համար բերենք տորթի օրինակ.

Առաջին դեպքում տորթը հավասար կտրատում էին և վերցում մեկ կեսը, այսինքն. 1/2. Երկրորդ դեպքում տորթը կտրեցին 7 մասի, որից 4-ը վերցվեց, այսինքն. 4/7.

Եթե ​​մի թիվը մյուսի վրա բաժանող մասը ամբողջ թիվ չէ, այն գրվում է որպես կոտորակ։

Օրինակ, 4:2 = 2 արտահայտությունը տալիս է ամբողջ թիվ, բայց 4:7-ը չի բաժանվում ամբողջի վրա, ուստի այս արտահայտությունը գրվում է որպես կոտորակ 4/7:

Այլ կերպ ասած կոտորակարտահայտություն է, որը նշանակում է երկու թվերի կամ արտահայտությունների բաժանում, և որը գրվում է կոտորակային կտրվածքով։

Եթե ​​համարիչը փոքր է հայտարարից, ապա կոտորակը ճիշտ է, եթե հակառակը, ապա այն ոչ պատշաճ կոտորակ է: Կոտորակը կարող է պարունակել ամբողջ թիվ։

Օրինակ՝ 5 ամբողջ 3/4։

Այս գրառումը նշանակում է, որ ամբողջ 6-ը ստանալու համար բացակայում է չորսի մի մասը։

Եթե ​​ուզում ես հիշել, ինչպես լուծել 6-րդ դասարանի կոտորակները, դուք պետք է դա հասկանաք կոտորակների լուծում, հիմնականում, հանգում է մի քանի պարզ բաների հասկանալուն:

• Կոտորակն ըստ էության կոտորակի արտահայտություն է: Այսինքն թվային արտահայտությունինչ մասն է տրված արժեքը մեկ ամբողջությունից: Օրինակ՝ 3/5 կոտորակն արտահայտում է, որ եթե մի ամբողջ բան բաժանենք 5 մասի, և այս ամբողջի բաժինների կամ մասերի թիվը կլինի երեք։
• Կոտորակը կարող է լինել 1-ից փոքր, օրինակ՝ 1/2 (կամ ըստ էության կեսը), ապա այն ճիշտ է։ Եթե ​​կոտորակը 1-ից մեծ է, օրինակ 3/2 (երեք կես կամ մեկուկես), ապա դա սխալ է և լուծումը պարզեցնելու համար ավելի լավ է ընտրել ամբողջ մասը 3/2 = 1 ամբողջ 1։ /2.
• Կոտորակները նույն թվերն են, ինչ 1-ը, 3-ը, 10-ը և նույնիսկ 100-ը, միայն թե թվերն ամբողջ թվեր չեն, այլ կոտորակներ: Դուք կարող եք նրանց հետ կատարել նույն գործողությունները, ինչպես թվերով: Կոտորակներ հաշվելը ավելի դժվար չէ, և ավելին կոնկրետ օրինակներմենք դա ցույց կտանք։

Ինչպես լուծել կոտորակները: Օրինակներ.

Կոտորակների համար կիրառելի են թվաբանական գործողությունների լայն տեսականի:

Կոտորակի կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Օրինակ, պետք է համեմատել 3/4 և 4/5 կոտորակները:

Խնդիրը լուծելու համար նախ գտնում ենք ամենացածր ընդհանուր հայտարարը, այսինքն. ամենափոքր թիվը, որն առանց մնացորդի բաժանվում է կոտորակների յուրաքանչյուր հայտարարի վրա

Նվազագույն ընդհանուր հայտարարը (4.5) = 20

Այնուհետև երկու կոտորակների հայտարարը կրճատվում է մինչև ամենացածր ընդհանուր հայտարարը

Պատասխան՝ 15/20

Կոտորակների գումարում և հանում

Եթե ​​անհրաժեշտ է հաշվարկել երկու կոտորակների գումարը, դրանք նախ բերվում են ընդհանուր հայտարարի, ապա գումարվում են համարիչները, իսկ հայտարարը մնում է անփոփոխ։ Կոտորակների տարբերությունը հաշվվում է նույն կերպ, միակ տարբերությունն այն է, որ համարիչները հանվում են։

Օրինակ՝ պետք է գտնել 1/2 և 1/3 կոտորակների գումարը

Հիմա եկեք գտնենք 1/2 և 1/4 կոտորակների տարբերությունը

Կոտորակների բազմապատկում և բաժանում

Այստեղ կոտորակներ լուծելը դժվար չէ, այստեղ ամեն ինչ բավականին պարզ է.

• Բազմապատկում - կոտորակների համարիչները և հայտարարները բազմապատկվում են միասին;
• Բաժանում - նախ ստանում ենք երկրորդ կոտորակի հակադարձ կոտորակը, այսինքն. Փոխում ենք նրա համարիչը և հայտարարը, որից հետո ստացված կոտորակները բազմապատկում ենք։

Օրինակ.

Այսքանը ինչպես լուծել կոտորակները, Բոլորը. Եթե ​​դեռևս հարցեր ունեք կոտորակների լուծում, եթե ինչ-որ բան անհասկանալի է, գրեք մեկնաբանություններում, և մենք ձեզ անպայման կպատասխանենք։

Եթե ​​դուք ուսուցիչ եք, ապա հնարավոր է ներբեռնել շնորհանդեսը տարրական դպրոց(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) ձեզ հարմար կլինի։

Կոտորակ- թվի ներկայացման ձև մաթեմատիկայի մեջ: Կոտորակի բարը ցույց է տալիս բաժանման գործողությունը: ՀամարիչԿոտորակը կոչվում է շահաբաժին, և հայտարար- բաժանարար: Օրինակ՝ կոտորակի մեջ համարիչը 5 է, հայտարարը՝ 7։

Ճիշտ էԱյն կոտորակը, որի համարիչը մեծ է հայտարարից, կոչվում է կոտորակ: Եթե ​​կոտորակը ճիշտ է, ապա դրա արժեքի մոդուլը միշտ 1-ից փոքր է: Մնացած բոլոր կոտորակները սխալ.

Կոտորակը կոչվում է խառը, եթե այն գրված է որպես ամբողջ թիվ և կոտորակ։ Սա նույնն է, ինչ այս թվի և կոտորակի գումարը.

Կոտորակի հիմնական հատկությունը

Եթե ​​կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկվում են նույն թվով, ապա կոտորակի արժեքը չի փոխվի, այսինքն, օրինակ.

Կոտորակների կրճատումը ընդհանուր հայտարարի

Երկու կոտորակ ընդհանուր հայտարարի բերելու համար անհրաժեշտ է.

1. Առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկեք երկրորդի հայտարարով
2. Երկրորդ կոտորակի համարիչը բազմապատկեք առաջինի հայտարարով
3. Երկու կոտորակների հայտարարները փոխարինիր նրանց արտադրյալով

Գործողություններ կոտորակների հետ

Հավելում.Երկու կոտորակ ավելացնելու համար անհրաժեշտ է

1. Ավելացրե՛ք երկու կոտորակների նոր համարիչները և թողե՛ք հայտարարը անփոփոխ

Օրինակ՝

Հանում.Մեկ կոտորակը մյուսից հանելու համար անհրաժեշտ է

1. Կոտորակները կրճատել ընդհանուր հայտարարի
2. Առաջին կոտորակի համարիչից հանեք երկրորդի համարիչը և թողեք հայտարարը անփոփոխ.

Օրինակ՝

Բազմապատկում.Մի կոտորակը մյուսով բազմապատկելու համար բազմապատկեք դրանց համարիչները և հայտարարները.

Բաժանում.Մի կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկեք երկրորդի հայտարարով, իսկ առաջին կոտորակի հայտարարը բազմապատկեք երկրորդի համարիչով.

Կոտորակները սովորական են և տասնորդական: Երբ դպրոցականն իմանում է վերջինիս գոյության մասին, ամեն առիթով սկսում է թարգմանել այն ամենը, ինչ հնարավոր է. տասնորդական ձև, նույնիսկ եթե դա պարտադիր չէ:

Տարօրինակ կերպով, նախասիրությունները փոխվում են ավագ դպրոցի և քոլեջի ուսանողների շրջանում, քանի որ սովորական կոտորակներով ավելի հեշտ է կատարել բազմաթիվ թվաբանական գործողություններ: Եվ երբեմն պարզապես անհնար է այն արժեքները, որոնց հետ գործ ունեն շրջանավարտները, առանց կորստի վերածել տասնորդական ձևի: Արդյունքում ստացվում է, որ երկու տեսակի ֆրակցիաներն էլ, այսպես թե այնպես, հարմարեցված են առաջադրանքին և ունեն իրենց առավելություններն ու թերությունները։ Տեսնենք, թե ինչպես աշխատել նրանց հետ:

Սահմանում

Կոտորակները նույնն են, ինչ բաժնետոմսերը: Եթե ​​նարնջի մեջ կա տասը հատված, և ձեզ տրվում է մեկը, ապա ձեր ձեռքում է մրգի 1/10-ը։ Երբ գրվում է ինչպես նախորդ նախադասության մեջ, ապա կոտորակը կկոչվի սովորական կոտորակ: Եթե ​​դուք գրում եք նույնը, ինչ 0.1 - տասնորդական: Երկու տարբերակներն էլ հավասար են, բայց ունեն իրենց առավելությունները։ Առաջին տարբերակը ավելի հարմար է բազմապատկելու և բաժանելու համար, երկրորդը՝ գումարման, հանման և մի շարք այլ դեպքերում։

Ինչպես փոխարկել կոտորակը այլ ձևի

Ենթադրենք, դուք ունեք կոտորակ և ցանկանում եք այն վերածել տասնորդականի: Ի՞նչ է պետք անել դրա համար:

Ի դեպ, պետք է նախօրոք որոշել, որ ամեն մի թիվ չի կարող առանց խնդիրների գրվել տասնորդական տեսքով։ Երբեմն պետք է արդյունքը կլորացնել՝ կորցնելով որոշակի թվով տասնորդական տեղեր, իսկ շատ ոլորտներում, օրինակ՝ ճշգրիտ գիտություններում, սա բոլորովին անհասանելի շքեղություն է։ Միևնույն ժամանակ, 5-րդ դասարանում տասնորդականների և սովորական կոտորակների հետ գործառնությունները հնարավորություն են տալիս առանց միջամտության, թեկուզ որպես ուսուցում, նման փոխանցումը մի տեսակից մյուսը իրականացնել։

Եթե ​​10-ի բազմապատիկ արժեք կարելի է ստանալ հայտարարից՝ բազմապատկելով կամ բաժանելով ամբողջ թվով, թարգմանությունը կշարունակվի առանց որևէ դժվարության. ¾-ը վերածվում է 0,75-ի, 13/20-ը՝ 0,65-ի:

Հակառակ ընթացակարգը նույնիսկ ավելի պարզ է, քանի որ դուք միշտ կարող եք ստանալ սովորական կոտորակ տասնորդական կոտորակից առանց ճշգրտության կորստի: Օրինակ՝ 0.2-ը դառնում է 1/5, իսկ 0.08-ը՝ 4/25:

Ներքին փոխակերպումներ

Սովորական կոտորակների հետ համատեղ գործողություններ կատարելուց առաջ անհրաժեշտ է թվեր պատրաստել հնարավոր մաթեմատիկական գործողությունների համար։

Առաջին հերթին, դուք պետք է կրճատեք օրինակի բոլոր կոտորակները մեկին ընդհանուր տեսքը. Նրանք պետք է լինեն սովորական կամ տասնորդական: Անմիջապես վերապահում անենք, որ ավելի հարմար է նախկինի հետ բազմապատկել և բաժանել։

Այն կանոնը, որը հայտնի է և օգտագործվում է թե՛ առարկան ուսումնասիրելու առաջին տարիներին, թե՛ բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ, որն ուսումնասիրվում է բուհերում, կօգնի ձեզ թվեր պատրաստել հետագա գործողությունների համար:

Կոտորակների հատկությունները

Ենթադրենք, դուք որոշակի արժեք ունեք: Ասենք 2/3. Ի՞նչ է փոխվում, եթե համարիչն ու հայտարարը բազմապատկենք 3-ով: Կստացվի 6/9։ Իսկ եթե դա միլիոն է: 2000000/3000000. Բայց սպասեք, թիվը որակապես ընդհանրապես չի փոխվում՝ 2/3-ը մնում է հավասար 2000000/3000000։ Փոխվում է միայն ձևը, բայց ոչ բովանդակությունը։ Նույնը տեղի է ունենում, երբ երկու կողմերն էլ բաժանվում են նույն արժեքով։ Սա կոտորակների հիմնական հատկությունն է, որը բազմիցս կօգնի ձեզ կատարել գործողություններ տասնորդականներով և սովորական կոտորակներով թեստերի և քննությունների ժամանակ:

Համարիչը և հայտարարը նույն թվով բազմապատկելը կոչվում է կոտորակի ընդլայնում, իսկ բաժանումը` կրճատում: Պետք է ասել, որ կոտորակները բազմապատկելիս և բաժանելիս վերևում և ներքևում նույն թվերը հատելը զարմանալիորեն հաճելի ընթացակարգ է (մաթեմատիկայի դասի շրջանակներում, իհարկե)։ Թվում է, թե պատասխանն արդեն մոտ է, և օրինակը գործնականում լուծված է։

Անպատշաճ կոտորակներ

Անպատշաճ կոտորակն այն կոտորակն է, որի համարիչը մեծ է կամ հավասար է հայտարարին: Այլ կերպ ասած, եթե մի ամբողջ մաս կարելի է մեկուսացնել դրանից, այն ընկնում է այս սահմանման տակ։

Եթե ​​նման թիվը (մեծ կամ հավասար է մեկին) ներկայացվի որպես սովորական կոտորակ, այն կկոչվի ոչ պատշաճ կոտորակ։ Իսկ եթե համարիչը փոքր է հայտարարից՝ ճիշտ: Երկու տեսակներն էլ հավասարապես հարմար են սովորական ֆրակցիաներով հնարավոր գործողություններ կատարելիս։ Դրանք կարելի է հեշտությամբ բազմապատկել ու բաժանել, գումարել ու հանել։

Եթե ​​միաժամանակ ընտրված է ամբողջ մասըիսկ կոտորակի տեսքով մնացորդ կա, ստացված թիվը կկոչվի խառը։ Ապագայում դուք կհանդիպեք տարբեր ձևերովփոփոխականների հետ նման կառույցների համակցություններ, ինչպես նաև հավասարումների լուծում, որտեղ այդ գիտելիքները պահանջվում են:

Թվաբանական գործողություններ

Եթե ​​կոտորակի հիմնական հատկությամբ ամեն ինչ պարզ է, ապա ինչպե՞ս վարվել կոտորակները բազմապատկելիս: 5-րդ դասարանի սովորական կոտորակներով գործողությունները ներառում են բոլոր տեսակի թվաբանական գործողություններ, որոնք կատարվում են երկու տարբեր եղանակներով։

Բազմապատկումը և բաժանումը շատ պարզ են. Առաջին դեպքում երկու կոտորակների համարիչներն ու հայտարարները պարզապես բազմապատկվում են։ Երկրորդում` նույնը, միայն խաչաձեւ: Այսպիսով, առաջին կոտորակի համարիչը բազմապատկվում է երկրորդի հայտարարով և հակառակը։

Գումարում և հանում կատարելու համար անհրաժեշտ է կատարել լրացուցիչ գործողություն՝ արտահայտության բոլոր բաղադրիչները բերել ընդհանուր հայտարարի: Սա նշանակում է, որ կոտորակների ներքևի մասերը պետք է փոխվեն միևնույն արժեքով` մի թիվ, որը երկու առկա հայտարարների բազմապատիկն է: Օրինակ, 2-ի և 5-ի համար դա կլինի 10: 3-ի և 6-ի համար - 6: Բայց հետո ինչ անել: վերին մաս? Մենք չենք կարող թողնել նույնը, եթե մենք փոխել ենք ստորին մասը: Համաձայն կոտորակի հիմնական հատկության՝ համարիչը կբազմապատկենք հայտարարի նույն թվով։ Այս գործողությունը պետք է կատարվի այն թվերից յուրաքանչյուրի հետ, որոնք մենք կավելացնենք կամ հանենք: Այնուամենայնիվ, 6-րդ դասարանում սովորական կոտորակների հետ նման գործողությունները արդեն իսկ կատարվում են «ավտոմատ», և դժվարություններ են առաջանում միայն այն ժամանակ, երբ. սկզբնական փուլուսումնասիրելով թեման.

Համեմատություն

Եթե ​​երկու կոտորակ նույն հայտարարը, ապա նա, ում համարիչն ավելի մեծ է, ավելի մեծ կլինի։ Եթե ​​վերին մասերը նույնն են, ապա այն, որի հետ ավելի փոքր հայտարար. Արժե նկատի ունենալ, որ համեմատության համար նման հաջող իրավիճակներ հազվադեպ են առաջանում: Ամենայն հավանականությամբ, արտահայտությունների և՛ վերին, և՛ ստորին մասերը չեն համընկնի։ Այնուհետև դուք պետք է հիշեք սովորական կոտորակների հետ հնարավոր գործողությունների մասին և օգտագործեք գումարում և հանում օգտագործվող տեխնիկան: Նաև հիշեք, որ եթե մենք խոսում ենք բացասական թվեր, ապա ավելի մեծ մոդուլով կոտորակը ավելի փոքր կստացվի։

Ընդհանուր կոտորակների առավելությունները

Պատահում է, որ ուսուցիչները երեխաներին ասում են մեկ արտահայտություն, որի բովանդակությունը կարելի է արտահայտել հետևյալ կերպ՝ որքան շատ տեղեկատվություն տրվի առաջադրանքը ձևակերպելիս, այնքան ավելի հեշտ կլինի լուծումը։ Ի՞նչ եք կարծում, տարօրինակ է հնչում: Բայց իրականում. մեծ քանակությամբ հայտնի քանակներով կարող եք օգտագործել գրեթե ցանկացած բանաձև, բայց եթե տրամադրվեն միայն մի քանի թվեր, կարող են պահանջվել լրացուցիչ մտքեր, դուք ստիպված կլինեք հիշել և ապացուցել թեորեմները, բերել փաստարկներ ձեր ճիշտության օգտին: ...

Ինչու ենք մենք դա անում: Ավելին, սովորական կոտորակները, չնայած իրենց ծանրությանը, կարող են մեծապես պարզեցնել աշակերտի կյանքը՝ թույլ տալով նրանց կրճատել արժեքների ամբողջ շարքերը բազմապատկելիս և բաժանելիս, իսկ գումարներն ու տարբերությունները հաշվարկելիս ընդհանուր փաստարկներ անել և կրկին կրճատել դրանք:

Երբ անհրաժեշտ է համատեղ գործողություններ իրականացնել սովորական և տասնորդականներ, վերափոխումները կատարվում են հօգուտ առաջինի. ինչպե՞ս եք 3/17-ը վերածում տասնորդականի։ Միայն տեղեկատվության կորստով, ոչ այլ կերպ։ Բայց 0.1-ը կարելի է ներկայացնել որպես 1/10, իսկ հետո՝ 17/170: Եվ հետո ստացված երկու թվերը կարելի է գումարել կամ հանել՝ 30/170 + 17/170 = 47/170:

Ինչու են տասնորդականները օգտակար:

Մինչդեռ սովորական կոտորակների հետ գործառնություններն ավելի հարմար են, դրանց օգտագործմամբ ամեն ինչ գրելը չափազանց անհարմար է այստեղ: Համեմատեք՝ 1748/10000 և 0,1748։ Սա նույն արժեքն է, որը ներկայացված է երկուսով տարբեր տարբերակներ. Իհարկե, երկրորդ մեթոդն ավելի հեշտ է:

Բացի այդ, տասնորդականներն ավելի հեշտ են ներկայացնել, քանի որ բոլոր տվյալները ունեն ընդհանուր հիմք, որը տարբերվում է միայն մեծության կարգերով: Ասենք, մենք հեշտությամբ հասկանում ենք 30% զեղչը և նույնիսկ գնահատում ենք էական։ Միանգամից կհասկանա՞ք, թե որն է ավելին՝ 30% թե 137/379։ Այսպիսով, տասնորդական կոտորակները ապահովում են հաշվարկների ստանդարտացում:

Ավագ դպրոցում սովորողները որոշում են քառակուսի հավասարումներ. Այստեղ սովորական կոտորակներով գործողություններ կատարելն արդեն չափազանց խնդրահարույց է, քանի որ փոփոխականի արժեքները հաշվարկելու բանաձևը պարունակում է. քառակուսի արմատգումարից։ Եթե ​​կա կոտորակ, որը չի կարող կրճատվել տասնորդականի, լուծումն այնքան է բարդանում, որ առանց հաշվիչի ճշգրիտ պատասխանը հաշվարկելը գրեթե անհնար է դառնում։

Այսպիսով, կոտորակները ներկայացնելու յուրաքանչյուր եղանակ ունի իր առավելությունները համապատասխան համատեքստում:

Ձայնագրման ձևեր

Սովորական կոտորակներով գործողություններ գրելու երկու եղանակ կա՝ հորիզոնական գծի միջով, երկու «շերտով» և կտրվածքով (այսպես՝ «շեղ»)՝ գծի մեջ: Երբ ուսանողը գրում է նոթատետրում, առաջին տարբերակը սովորաբար ավելի հարմար է և հետևաբար ավելի տարածված: Թվերի անընդմեջ բաշխումը օգնում է զարգացնել ուշադրությունը հաշվարկներ կատարելիս և փոխակերպումներ կատարելիս: Լարի վրա գրելիս կարող եք ակամա շփոթել գործողությունների հերթականությունը, կորցնել որոշ տվյալներ, այսինքն՝ սխալվել:

Բավականին հաճախ այս օրերին համակարգչով թվեր տպելու անհրաժեշտություն է առաջանում։ Դուք կարող եք առանձնացնել կոտորակները՝ օգտագործելով ավանդական հորիզոնական գիծ՝ օգտագործելով գործառույթը Microsoft Word 2010-ում և ավելի ուշ: Փաստն այն է, որ ծրագրաշարի այս տարբերակներում կա «բանաձև» կոչվող տարբերակ: Այն էկրանին ցուցադրում է ուղղանկյուն փոխակերպվող դաշտ, որի ներսում կարող եք միավորել ցանկացած մաթեմատիկական նշան և ստեղծել ինչպես երկհարկանի, այնպես էլ «չորս հարկանի» կոտորակներ: Դուք կարող եք օգտագործել փակագծերը և գործողության նշանները հայտարարի և համարիչի մեջ: Արդյունքում, դուք կկարողանաք գրել սովորական և տասնորդական կոտորակների հետ համատեղ ցանկացած գործողություն ավանդական ձևով, այսինքն՝ ինչպես նրանք սովորեցնում են դա անել դպրոցում:

Եթե ​​դուք օգտագործում եք ստանդարտ տեքստային խմբագրիչ Notepad-ը, ապա բոլոր կոտորակային արտահայտությունները պետք է գրվեն կտրվածքով: Ցավոք սրտի, այստեղ այլ ճանապարհ չկա։

Եզրակացություն

Այսպիսով, մենք դիտարկեցինք բոլոր հիմնական գործողությունները սովորական կոտորակներով, որոնցից, պարզվում է, այդքան էլ շատ չեն:

Եթե ​​սկզբում կարող է թվալ, որ սա մաթեմատիկայի բարդ բաժին է, ապա սա միայն ժամանակավոր տպավորություն է, հիշեք, դուք մի անգամ այսպես էիք մտածում բազմապատկման աղյուսակի մասին, իսկ ավելի վաղ՝ սովորական տետրերի և մեկից տասը հաշվելու մասին:

Կարևոր է հասկանալ, որ կոտորակները օգտագործվում են առօրյա կյանքամենուր. Դուք կզբաղվեք փողով և ինժեներական հաշվարկներով, տեղեկատվական տեխնոլոգիաներև երաժշտական ​​գրագիտություն, և ամենուր՝ ամենուր։ - կոտորակային թվերկհայտնվի. Հետևաբար, մի ծույլ մի եղեք և մանրակրկիտ ուսումնասիրեք այս թեման, հատկապես, որ այն այնքան էլ բարդ չէ: