Սովորական կոտորակների պատմությունից 6-րդ դասարանի աշակերտ Դանիիլ Կակուրինի աշխատանքը Ղեկավար՝ Ռոժկո Ի.Ա.

Սլայդ 2

Մենք ունենք այսպիսի կոտորակ, Ամբողջ պատմությունը կշարունակվի դրա մասին, Այն բաղկացած է թվերից, Եվ նրանց միջև, ինչպես կամուրջ, Կոտորակի գիծն ընկած է, Գծի վերևում համարիչն է, Իմացիր, Գծից ներքև՝ հայտարարի, Նման կոտորակը պետք է անշուշտ սովորական անվանել:

Սլայդ 3

Ուսումնասիրության առարկա՝ Պատմություն սովորական կոտորակներՀետազոտության թեմա. Սովորական կոտորակներ Վարկած. Եթե կոտորակներ չլինեին, կարո՞ղ էր մաթեմատիկան զարգացնել հետազոտության մեթոդները. Կոտորակների ծագումը - սովորում է սովորական կոտորակների գրանցման կատարելագործման հաջորդականությունը Առաջադրանքներ. վերլուծություն արեք.

Սլայդ 4

Շատ դարեր ժողովուրդների լեզուներում կոտրված թիվը կոչվում էր կոտորակ: Ֆրակցիաների անհրաժեշտությունը առաջացել է մարդու զարգացման վաղ փուլում: Այսպիսով, ըստ երևույթին, որսի մեծ թվով մասնակիցների միջև տասնյակ պտուղներ բաժանելը ստիպեց մարդկանց դիմել ֆրակցիաների: Առաջին կոտորակը կեսն էր. Մեկից կեսը ստանալու համար հարկավոր է միավորը բաժանել կամ «կոտրել» այն երկուսի: Այստեղից է գալիս կոտրված թվերի անվանումը: Այժմ դրանք կոչվում են կոտորակներ: Կոտորակների երեք տեսակ կա՝ միավորներ (ալիկվոտներ) կամ կոտորակներ (օրինակ՝ 1/2, 1/3, 1/4 և այլն)։ Համակարգային, այսինքն՝ կոտորակներ, որոնցում հայտարարն արտահայտվում է թվի հզորությամբ (օրինակ՝ 10 կամ 60 և այլն, որոնցում համարիչը և հայտարարը կարող են լինել «կեղծ»: կոտորակները՝ անկանոն և «իրական»՝ ճիշտ:

Սլայդ 5

Առաջին եվրոպացի գիտնականը, ով սկսեց օգտագործել և տարածել կոտորակների ժամանակակից նշումը, իտալացի վաճառական և ճանապարհորդ Ֆիբոնաչին էր (Լեոնարդո Պիզայից): 1202 թվականին ներմուծել է կոտորակ բառը։

Սլայդ 6

Կոտորակներ Հին Եգիպտոսում.

Առաջին կոտորակը կեսն էր. Դրան հաջորդեց 1/4,1/8,1/16,..., ապա 1/3,1/6 և այլն, այսինքն. ամենաշատը պարզ կոտորակներ, ամբողջի մասեր, որոնք կոչվում են միավորներ։ Հին եգիպտացիները ցանկացած կոտորակ արտահայտում էին որպես միայն հիմնական կոտորակների գումար։ Եգիպտացիները գրում էին պապիրուսների վրա, այսինքն՝ խոշոր ցողուններից պատրաստված մագաղաթների վրա արեւադարձային բույսեր, որը կրում էր նույն անունը։ Բովանդակությամբ ամենակարևորը Ահմես պապիրուսն է, որն անվանվել է հին եգիպտացի գրագիրներից մեկի պատվին։ Ում ձեռքով է գրվել. Նրա երկարությունը 544 սմ է, լայնությունը՝ 33 սմ։

Սլայդ 7

Պահվում է Լոնդոնում՝ Բրիտանական թանգարանում։ Այն ձեռք է բերվել անցյալ դարում անգլիացի Ռինդի կողմից և, հետևաբար, երբեմն կոչվում է Ռինդ պապիրուս: Այս հնագույն մաթեմատիկական փաստաթուղթը վերնագրված է. «Ուղիներ, որոնց միջոցով կարելի է հասկանալ բոլոր մութ բաները, իրերի մեջ պարունակվող բոլոր գաղտնիքները»:

Պապիրուսը կիրառական բնույթի 84 խնդիրների լուծումների հավաքածու է. այս խնդիրները վերաբերում են կոտորակների հետ կատարվող գործողություններին, ուղղանկյունի մակերեսը որոշելուն, կան նաև թվաբանական խնդիրներ՝ համամասնական բաժանման, հացահատիկի քանակի և ստացված հացի կամ գարեջրի միջև կապը որոշելու և այլն: Այնուամենայնիվ, հրահանգներ չեն տրված: լուծելով այս խնդիրները ընդհանուր կանոններ, էլ չեմ խոսում որոշ տեսական ընդհանրացումների փորձերի մասին։

Սլայդ 8

Ահմեսի պապիրուսում կա այսպիսի խնդիր՝ յոթ հացը հավասարապես բաժանել ութ հոգու միջև։

Ժամանակակից դպրոցականը, ամենայն հավանականությամբ, խնդիրը կլուծեր այսպես՝ յուրաքանչյուր հացը պետք է կտրատել 8-ի հավասար մասերեւ իւրաքանչիւրին տուէք իւրաքանչիւր հացից մէկ բաժին։ Եվ ահա թե ինչպես լուծվեց այս խնդիրը պապիրուսի վրա՝ յուրաքանչյուրին պետք է հացի կեսը, քառորդը և ութերորդը տալ։ Այժմ պարզ է, որ պետք է կիսով չափ կտրատել 4 հացը, 2 հացը՝ 4, և միայն մեկ հացը՝ 8 մասի։ Եվ եթե մեր դպրոցականը պետք է 49 կտրվածք աներ, ապա Ահմեսը պետք է կատարեր ընդամենը 17, այսինքն. Եգիպտական ​​մեթոդը գրեթե 3 անգամ ավելի խնայող է:

Սլայդ 9

Ոչ միավոր կոտորակները միավորների գումարի քայքայելու համար կային պատրաստի աղյուսակներ, որոնք եգիպտացի գրագիրներն օգտագործում էին անհրաժեշտ հաշվարկների համար։

Այս աղյուսակը օգնեց կատարել բարդ թվաբանական հաշվարկներ՝ համաձայն ընդունված կանոնների։ Ըստ երևույթին, գրագիրներն այն անգիր են արել, ինչպես հիմա դպրոցականներն են անգիր անում բազմապատկման աղյուսակը։ Այս աղյուսակը օգտագործվել է նաև թվերը բաժանելու համար։ Եգիպտացիները գիտեին նաև կոտորակները բազմապատկել և բաժանել։ Բայց բազմապատկելու համար պետք էր կոտորակները բազմապատկել կոտորակներով, իսկ հետո, հավանաբար, նորից օգտագործել աղյուսակը։ Բաժանման հետ կապված իրավիճակը էլ ավելի բարդ էր։

Սլայդ 10

Բաբելոն.

Հին Բաբելոնում բարձր մակարդակմշակույթը ձեռք է բերվել մ.թ.ա. III հազարամյակում: Հին Բաբելոնում բնակվող շումերներն ու աքքադները գրում էին ոչ թե պապիրուսի վրա, որը չի աճել իրենց երկրում, այլ կավի վրա: Փափուկ կավե սալիկների վրա սեպաձև փայտիկ սեղմելով՝ կիրառվեցին սեպերի տեսք ունեցող նշաններ։ Այդ իսկ պատճառով նման գրությունը կոչվում է սեպագիր։

Սլայդ 11

Ուղղահայաց սեպը նշանակվել է 1; 60; 602; 603,...Հորիզոնական սեպը նշանակում էր 10: 62-ը գրելու համար արեցինք սա՝ բացը.

Սլայդ 12

Կոտորակներ Հին Հռոմում.

Կոտորակների հետաքրքիր համակարգ կար Հին Հռոմ. Այն հիմնված էր կշռի միավորը 12 մասի բաժանելու վրա, որը կոչվում էր էշ։ Ասի տասներկուերորդ բաժինը կոչվում էր ունցիա, իսկ ուղին, ժամանակը և այլ քանակությունները համեմատվում էին տեսողական բանի հետ՝ քաշի։ Օրինակ, հռոմեացին կարող է ասել, որ նա քայլել է յոթ ունցիա ճանապարհով կամ կարդացել է հինգ ունցիա գիրք։ Այս դեպքում, իհարկե, խոսքը ուղու կամ գրքի կշռման մասին չէր։ Սա նշանակում էր, որ ճանապարհորդության 7/12-ն ավարտվել էր կամ գրքի 5/12-ը կարդացվել էր։ Իսկ 12 հայտարար ունեցող կոտորակները փոքրացնելու կամ ավելի փոքրերի տասներկուերորդները բաժանելով ստացված կոտորակների համար հատուկ անուններ կային։

Սլայդ 13

Կոտորակների և չափումների հռոմեական համակարգը տասներկումատնյա էր։ Հիմա էլ երբեմն ասում են. «Նա այս հարցը մանրակրկիտ ուսումնասիրել է»։ Սա նշանակում է, որ հարցը մինչև վերջ ուսումնասիրվել է, որ նույնիսկ չնչին երկիմաստություն չի մնացել։ Եվ ինչ է տեղի ունենում տարօրինակ բառ 1/288 assa-ի հռոմեական անունից «scrupulously» - «scrupulus»: Կիրառվում էին նաև հետևյալ անունները. «կիսամյակ»՝ կես էյ, «սեքստաններ»՝ դրա վեցերորդ մասը, «սեմիունս»՝ կես ունցիա, այսինքն՝ էյսի 1/24 և այլն։ Ընդհանուր առմամբ՝ 18 տարբեր։ օգտագործվել են կոտորակների անունները: Կոտորակների հետ աշխատելու համար անհրաժեշտ էր հիշել և՛ գումարման աղյուսակը, և՛ այդ կոտորակների բազմապատկման աղյուսակը։ Հետևաբար, հռոմեացի վաճառականները հաստատ գիտեին, որ տրիեններ (1/3 ասսա) և սեքստաններ ավելացնելիս արդյունքը կիսաեզրափակիչ է, իսկ իմպ (2/3 ասսա) բազմապատկելիս սեսկունսով (3/2 ունցիա, այսինքն՝ 1/8): ասսա), ստացվում է ունցիա։ Աշխատանքը հեշտացնելու համար կազմվել են հատուկ աղյուսակներ, որոնցից մի քանիսը հասել են մեզ։

Սլայդ 14

Հին Հունաստան.

Մաթեմատիկական հունական աշխատություններում կոտորակներ չեն հայտնաբերվել։ Հույն գիտնականները կարծում էին, որ մաթեմատիկան պետք է զբաղվի միայն ամբողջ թվերով: Նրանք թողնում էին ֆրակցիաներ, որոնք պետք է մանրակրկիտ մշակվեին առևտրականների, արհեստավորների, ինչպես նաև հողաչափերի, աստղագետների և մեխանիկների կողմից: Բայց հին ասացվածքն ասում է. «Քշիր բնությունը դռնով, այն կթռչի պատուհանից»: Հետևաբար, ֆրակցիաները ներթափանցեցին հույների խիստ գիտական ​​աշխատությունների մեջ, այսպես ասած, «հետևի դռնից»: Հունաստանում միավորի, «եգիպտական» կոտորակների հետ գործածվել են նաև սովորական, սովորական կոտորակներ։ Տարբեր նշումների մեջ օգտագործվել է հետևյալը` հայտարարը վերևում է, կոտորակի համարիչը` դրա տակ:

Սլայդ 15

Նույնիսկ Էվկլիդեսից և Արքիմեդից 2-3 դար առաջ հույները վարժ տիրապետում էին կոտորակների հետ թվաբանական գործողություններին։ VI դարում։ մ.թ.ա ապրել է հայտնի գիտնական Պյութագորասը։

Ասում են, որ այն հարցին, թե քանի աշակերտ է հաճախել իր դպրոցը, Պյութագորասը պատասխանել է.

Սլայդ 16

Կոտորակներ Ռուսաստանում.

Ռուսաստանում կոտորակները կոչվում էին կոտորակներ, ավելի ուշ՝ «կոտրված թվեր», օրինակ՝ ընդհանուր կամ հիմնական։ Կես, կես –1 2 Քառորդ – 1 4 Կես – 1 8 Կես ու կես – 1 16 Պյատինա – 1 5 Երրորդ – 1 3 Կես երրորդ –1 6

Սլայդ 17

Կոտորակի նշագրման պատմությունից.Հնդկաստանում ստեղծվել է կոտորակների նշումը համարիչով և հայտարարով։ Միայն այնտեղ վերևում գրել են հայտարարը, ներքևում՝ համարիչը և կոտորակային տող չեն գրել։ Արաբները սկսեցին կոտորակներ գրել ճիշտ այնպես, ինչպես հիմա են անում: Հին Չինաստանում նրանք օգտագործում էին չափումների տասնորդական համակարգ և բառերով նշում էին կոտորակները՝ օգտագործելով chi երկարության չափումներ. 2.135436 ձևի մասնաբաժինը այսպիսի տեսք ուներ՝ 2 չի, 1 կուն, 3 բլթակ, 5 դասական, 4 մազ, 3 լավագույն, 6 սարդոստայն: 15-րդ դարում Ուզբեկստանում մաթեմատիկոս և աստղագետ Ջեմշիդ Գիյասեդդին ալ-Քաշին կոտորակը մեկ տողում գրել է տասնորդական համակարգում թվերով և տվել դրանցով աշխատելու կանոններ։ Կոտորակներ գրելու մի քանի եղանակ է օգտագործել՝ կա՛մ ուղղահայաց գիծ է օգտագործել, կա՛մ սև և կարմիր թանաքով:

Սլայդ 18

Հին խնդիրներ կոտորակների հետ:

1-ին դարի հռոմեացի նշանավոր բանաստեղծի ստեղծագործության մեջ. ե. Հորացիոսը նկարագրում է այս դարաշրջանի հռոմեական դպրոցներից մեկի ուսուցիչների և աշակերտների զրույցը՝ Ուսուցիչ։ Թող Ալբինի տղան ասի, թե հինգ ունցիայից մի ունցիա հանեն ինչքա՞ն է մնում։ Ուսանող. Մեկ երրորդը. Ուսուցիչ. Ճիշտ է։ Դուք կկարողանաք հոգ տանել ձեր ունեցվածքի մասին։ Լուծում՝ 4 ունցիա 4 ունցիա 4 ունցիա Պատասխան՝ 1/3

Սլայդ 19

Խնդիր Ահմեսի պապիրուսից (Եգիպտոս, մ.թ.ա. 1850 թ.)

«Հովիվը գալիս է 70 ցուլերի հետ, հարցնում են. «Քո մեծ ոհմակից քանի՞սն ես բերում»: Լուծում՝ 1) 70:2·3=105 գլուխ - սա անասունի 1/3-ն է 2) 105·3=315 գլուխ անասուն Պատասխան՝ 315 գլուխ անասուն.

Սլայդ 20

Շնորհակալություն ուշադրության համար։

Սլայդ 21

գրականություն

1.Թվաբանության պատմություն. Դեպման, 1965 թ 2. Մաթեմատիկայի պատմություն Դեկարտից մինչև 19-րդ դարի կեսերը: Վիլեյթներ, 1960 թ 3. Հանրագիտարան երեխաների համար Ավանտա + մաթեմատիկա. 4.Մանկական հանրագիտարան. Մ., 1965

Դիտեք բոլոր սլայդները

Բաբելոնացիներն աշխատում էին միայն սեքսուալ կոտորակների հետ: Քանի որ նման կոտորակների հայտարարները 60, 602, 603 և այլն թվերն են, 1/7-ի նման կոտորակները չեն կարող ճշգրիտ արտահայտվել սեքսուալների միջոցով։ Մոտավորապես նույնատիպ կոտորակների միջոցով են արտահայտել։

Հին Հռոմն առանձնանում էր իր կոտորակային համակարգով։ Այս համակարգը հիմնված էր քաշի միավորը 12 մասի բաժանելու վրա, որը կոչվում էր էշ: Ասի տասներկուերորդ մասը կոչվում էր ունցիա։ Կիրառվում էին նաև հետևյալ անունները՝ «կիսամյակ»՝ կես էյ, «սեքսթաններ»՝ էյսի վեցերորդ մասը, «կիսաունս»՝ կես ունցիա, այսինքն՝ էյսի 1/24։ Ընդհանուր առմամբ օգտագործվել է կոտորակների 18 տարբեր անվանումներ։ Նման կոտորակների հետ աշխատելու համար անհրաժեշտ էր հիշել և՛ գումարման աղյուսակը, և՛ բազմապատկման աղյուսակը։ Աշխատանքը հեշտացնելու համար կազմվել են հատուկ աղյուսակներ։ Այս համակարգի թերությունն այն էր, որ այն չուներ 10 կամ 100 հայտարար ունեցող կոտորակներ, ինչը դժվարացնում էր 10-ի, 100-ի և այլնի բաժանումը։ Այս դժվարություններից խուսափելու համար հռոմեացիները սկսեցին օգտագործել հետաքրքրությունը:

Մաթեմատիկայի վերաբերյալ հունարեն աշխատություններում կոտորակներ չեն հայտնաբերվել, քանի որ Հույն գիտնականները կարծում էին, որ մաթեմատիկան պետք է զբաղվի միայն ամբողջ թվերով: Հունական գիտության մեջ ֆրակցիաները հայտնվել են երաժշտության շնորհիվ:

Հնդկաստանում առաջարկվում էր համարիչով և հայտարարով կոտորակ գրել, վերևում գրված էր միայն հայտարարը, իսկ ներքևում՝ համարիչը, ինչպես նաև կոտորակի վրա գիծ չէին դնում։ Կոտորակների ժամանակակից նշումն առաջարկվել է արաբների կողմից։ Սովորական կոտորակների տեսության հիմքը դրել են հույն և հնդիկ մաթեմատիկոսները։

Եվրոպայում առաջին անգամ այս տերմինն օգտագործվել է 1202 թվականին առաջին խոշոր մաթեմատիկոսի կողմից միջնադարյան ԵվրոպաՊիզայի Լեոնարդո (1170 - 1250), ավելի հայտնի որպես Ֆիբոնաչի։ Սովորական կոտորակների և դրանց վրա կատարվող գործողությունների ամբողջական տեսությունը մշակվել է 16-րդ դարում իտալացի մաթեմատիկոս Նիկոլո Տարտալիայի (1499 - 1557) և գերմանացի և իտալացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Քրիստոֆեր Կլավիուսի (Կլավիուս) (1537 -) աշխատություններում։ 1612)։ IN հին Ռուսաստանկոտորակները կոչվում էին կոտորակներ կամ կոտրված թվեր: Ռուսերեն «ֆրակցիա» տերմինը գալիս է լատիներեն «fractura» բառից, որը արաբերենից թարգմանաբար նշանակում է «կոտրել», «ջարդել»: «Կոտորակ» տերմինը «Թվաբանություն»-ում օգտագործում է ռուս մաթեմատիկոս և ուսուցիչ Լեոնտի Ֆիլիպովիչ Մագնիտսկին (1669 - 1739) ինչպես սովորական, այնպես էլ տասնորդական կոտորակների համար։

1.Ամփոփել
պատմական
նյութը՝ երբ և
որտեղ առաջին անգամ
մասին նշված
կոտորակները
2. Որոշի՛ր բառի ծագումը
«կոտորակ»:
3. Կազմեք ձայնագրման մեթոդների ցանկ
կոտորակները մեջ տարբեր դարաշրջաններև տարբերից
ժողովուրդներին

1. Ներածություն.
2. Սովորական կոտորակների առաջացման պատմությունից.
- Կոտորակներ Հին Եգիպտոսում;
- Կոտորակներ Հին Հունաստանում;
- Կոտորակներ Հնդկաստանում;
- ֆրակցիաներ արաբների շրջանում;
-Ֆրակցիաները Բաբելոնում;
- Կոտորակներ Հին Չինաստանում;
- ֆրակցիաներ Հին Հռոմում;
-Ֆրակցիաները Ռուսաստանում:
2. Տասնորդական նշում կոտորակային թվեր.

3. Կոտորակներ երաժշտության մեջ.
4. Եզրակացություն.
Սովորական կոտորակների առաջացման պատմությունից.
Կոտորակային թվերի անհրաժեշտությունը մարդու մոտ առաջացել է շատ վաղ տարիքից։ վաղ փուլզարգացում։ Արդեն
մի քանի սպանված կենդանիներից բաղկացած ավարի բաժանումը որսի մասնակիցների միջև, երբ
Կենդանիների թիվը պարզվեց, որ որսորդների թվի բազմապատիկ չէ, կարող է հանգեցնել պարզունակ մարդու
կոտորակային թվերի հայեցակարգին:
Առարկաները հաշվելու անհրաժեշտության հետ մեկտեղ մարդիկ կարիք ունեին հնագույն ժամանակներից
չափել երկարությունը, մակերեսը, ծավալը, ժամանակը և այլ մեծություններ: Չափման արդյունքը միշտ չէ, որ հաջող է եղել
արտահայտել բնական թվով, անհրաժեշտ էր հաշվի առնել օգտագործված միջոցի մասերը։
Ավելի ճշգրիտ չափումների անհրաժեշտությունը հանգեցրեց նրան, որ սկզբնական չափման միավորները
սկսեց բաժանվել 2, 3 կամ ավելի մասերի: Ավելի փոքր չափման միավոր, որը ստացվել է որպես
մասնատվածության հետևանքով անհատական ​​անուն տվեցին, և քանակներն արդեն այսքանով չափվեցին
փոքր միավոր.
Սրա հետ կապված անհրաժեշտ աշխատանքմարդիկ սկսեցին օգտագործել արտահայտություններ՝ կես, երրորդ, երկու հետ
կես քայլ. Ինչպե՞ս կարելի է եզրակացնել, որ արդյունքում առաջացել են կոտորակային թվեր
քանակների չափումներ. Ժողովուրդներն անցել են կոտորակներ գրելու բազմաթիվ տարբերակների միջով, մինչև ուշքի եկան
ժամանակակից ձայնագրություն.
Կոտորակներ Հին Եգիպտոսում
Հին Եգիպտոսում ճարտարապետությունը հասել է զարգացման բարձր մակարդակի։ Որպեսզի կառուցել
մեծ բուրգեր և տաճարներ, թվերի երկարությունները, մակերեսները և ծավալները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է.
պետք է իմանալ թվաբանություն.
Պապիրուսների վերծանված տեղեկություններից գիտնականները իմացան, որ եգիպտացիները 4000 տարի առաջ.
ուներ տասնորդական (բայց ոչ դիրքային) թվային համակարգ, կարողացան լուծել բազմաթիվ խնդիրներ՝ կապված
շինարարության, առեւտրի եւ ռազմական գործերի կարիքներով։

Հին Եգիպտոսում որոշ կոտորակներ ունեին իրենց հատուկ անունները, մասնավորապես, հաճախ
պրակտիկայում հայտնվելով 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 և 1/8: Բացի այդ, եգիպտացիները գիտեին, թե ինչպես գործել
այսպես կոչված aliquot կոտորակները (լատիներեն aliquot - մի քանիսը) նման են 1/n-ին, այդ իսկ պատճառով դրանք երբեմն
նաև կոչվում է «եգիպտական»; այս կոտորակներն ունեին իրենց ուղղագրությունը՝ երկարաձգված հորիզոնական
օվալ և դրա տակ հայտարարի նշանակումը: Ինչ վերաբերում է մնացած կոտորակներին, ապա դրանք պետք է լինեին
դրվում է եգիպտականի գումարի մեջ։ Հին եգիպտացիներն արդեն գիտեին, թե ինչպես 2 առարկա բաժանել երեք մարդու.
այս 2/3 թվի համար նրանք ունեին հատուկ պատկերակ: Սա օգտագործվող միակ մասնաբաժինն էր
Եգիպտացի դպիրները, որոնց համարիչում մեկը չունեին, անշուշտ, եղել են
ուներ մեկը համարիչում (այսպես կոչված՝ հիմնական կոտորակները)։ Եթե ​​եգիպտացուն պետք լիներ
օգտագործեք այլ կոտորակներ, նա դրանք ներկայացրեց որպես հիմնական կոտորակների գումար: Օրինակ՝ փոխարեն
8/15 գրել է 1/3+1/5. Երբեմն դա հարմար էր։ Եգիպտացիները գիտեին նաև կոտորակները բազմապատկել և բաժանել։
Բայց բազմապատկելու համար պետք էր կոտորակները կոտորակներով բազմապատկել, իսկ հետո, հավանաբար, նորից օգտագործել
սեղան. Բաժանման հետ կապված իրավիճակը էլ ավելի բարդ էր։ Կարևոր աշխատանքեգիպտական ​​կոտորակների ուսումնասիրության վրա
իրականացվել է 13-րդ դարի մաթեմատիկոս Ֆիբոնաչիի կողմից։
Կոտորակներ Հին Հունաստանում
Եգիպտական ​​ֆրակցիաները շարունակել են օգտագործվել հին Հունաստանև հետագայում
ամբողջ աշխարհի մաթեմատիկոսները մինչև միջնադար, չնայած նրանց մասին հնագույն դիտողություններին
մաթեմատիկոսներ (օրինակ, Կլավդիոս Պտղոմեոսը խոսեց եգիպտերենի օգտագործման անհարմարության մասին.
կոտորակներ՝ համեմատած Բաբելոնյան համակարգի հետ): Մաքսիմուս Պլանուդ հույն վանական, գիտնական,
մաթեմատիկոսը 13-րդ դարում ներկայացրել է համարիչի և հայտարարի անվանումը

Հունաստանում միավոր, «եգիպտական» կոտորակների հետ մեկտեղ օգտագործվել են նաև սովորական կոտորակներ։

սովորական կոտորակներ. Տարբեր նշումների մեջ օգտագործվել է հետևյալը` հայտարարը վերևում է, ներքևում
կոտորակի համարիչ. Օրինակ՝
5
3
նշանակում էր երեք հինգերորդը: Նույնիսկ Էվկլիդեսից և Արքիմեդից 23 դար առաջ
Հույները վարժ տիրապետում էին կոտորակների հետ թվաբանական գործողություններին։
Կոտորակներ Հնդկաստանում.
Կոտորակներ գրելու ժամանակակից համակարգը ստեղծվել է Հնդկաստանում։ Միայն այնտեղ վերևում գրեցին հայտարարը,
իսկ համարիչը ներքևում է, և նրանք կոտորակային տող չեն գրել: Բայց ամբողջ ֆրակցիան դրված էր ուղղանկյուն շրջանակի մեջ:
Երբեմն օգտագործվում էր նաև «եռահարկ» արտահայտություն՝ մեկ շրջանակում երեք թվերով. կախված
կախված համատեքստից՝ սա կարող է նշանակել ոչ պատշաճ կոտորակ (a + b/c) կամ a ամբողջ թիվը բաժանել ըստ
կոտորակ բ/գ. Կոտորակների հետ աշխատելու կանոնները գրեթե չէին տարբերվում ժամանակակիցներից։
Արաբներն օգտագործում են կոտորակներ։

Արաբները սկսեցին կոտորակներ գրել, ինչպես հիմա են անում: Միջնադարյան արաբներն օգտագործում էին երեք
կոտորակային նշագրման համակարգեր: Նախ, հնդկական ձևով, հայտարարը գրելով համարիչի տակ.
Կոտորակի գիծն առաջացել է 12-րդ դարի վերջին - 13-րդ դարի սկզբին։ Երկրորդ՝ պաշտոնյաներ, հողաչափեր, առևտրականներ
օգտագործեց եգիպտականին նմանվող ալիկոտ կոտորակների հաշվարկը և օգտագործեց
10-ը չգերազանցող հայտարար ունեցող կոտորակներ (միայն այդպիսի կոտորակների համար արաբերենունի
հատուկ պայմաններ); հաճախ օգտագործվում էին մոտավոր արժեքներ. Աշխատել են արաբ գիտնականներ
այս հաշվարկը բարելավելու վերաբերյալ: Երրորդ, արաբ գիտնականները ժառանգել են բաբելոնացիները
հունական սեքսեզիմալ համակարգը, որում, ինչպես հույները, նրանք օգտագործում էին այբբենական նշում,
ընդլայնելով այն ամբողջ մասերի վրա:
Կոտորակներ Բաբելոնում
Բաբելոնացիներն օգտագործում էին ընդամենը երկու թիվ։ Ուղղահայաց գիծ նշված է մեկը
մեկը, իսկ երկու պառկած գծերի անկյունը տաս է։ Նրանք այս գծերը պատրաստեցին սեպերի տեսքով,
որովհետև բաբելոնացիները սուր փայտով գրում էին խոնավ կավե տախտակների վրա, որոնք նրանք հետո
չորացրած և վառված:
Հին Բաբելոնում նրանք նախընտրում էին 60-ի հաստատուն հայտարարը։ Հետազոտողներ
Բաբելոնացիների մոտ սեքսեսիմալ թվային համակարգի առաջացման տարբեր բացատրություններ կան։ Ավելի արագ
Ընդհանուր առմամբ այստեղ հաշվի է առնվել 60-րդ հիմքը, որը 2-ի, 3-ի, 4-ի, 5-ի, 6-ի, 10-ի, 12-ի, 15-ի, 20-ի, 30-ի և 60-ի բազմապատիկն է։
զգալիորեն հեշտացնում է բոլոր հաշվարկները:
Բայց տասնորդական համակարգում գրված բնական թվերի վրա աշխատելն անհարմար էր, և
կոտորակները, որոնք գրված են սեքսեսիմալի: Բայց սովորական կոտորակների հետ արդեն կարելի էր աշխատել
բավականին դժվար. Ուստի հոլանդացի մաթեմատիկոս Սայմոն Ստիվինը առաջարկեց անցնել տասնորդականի
կոտորակները
Կոտորակներ Հին Չինաստանում
Հին Չինաստանում նրանք արդեն օգտագործում էին չափումների տասնորդական համակարգը՝ կոտորակները բառերով նշելով,
օգտագործելով chi երկարության չափումներ՝ ցունի, բլիթներ, շարքային, մազեր, լավագույն, սարդոստայններ: Ձևի կոտորակ
2,135436-ն այսպիսի տեսք ուներ՝ 2 չի, 1 կուն, 3 բլթակ, 5 դասական, 4 մազ, 3 լավագույն, 6 սարդոստայն:
Կոտորակներն այսպես են գրվել երկու դար, իսկ 5-րդ դարում չինացի գիտնական Ցուչոնգձին.
որպես միավոր վերցրեց ոչ թե chi, այլ zhang = 10 chi, ապա այս մասնաբաժինը այսպիսի տեսք ուներ՝ 2 zhang, 1 chi, 3 cun, 5
բլիթներ, 4 շարքային, 3 մազ, 6 լավագույն, 0 սարդոստայն:
Կոտորակներ Հին Հռոմում
Կոտորակների հետաքրքիր համակարգ կար Հին Հռոմում: Այն հիմնված էր 12 մասի բաժանման վրա
քաշի միավոր, որը կոչվում էր էշ. Ասի տասներկուերորդ մասը կոչվում էր ունցիա: Եվ ճանապարհը, ժամանակը և

այլ քանակություններ համեմատվել են տեսողական իրի՝ քաշի հետ։ Օրինակ, մի հռոմեացի կարող է ասել, որ նա
քայլել է յոթ ունցիա ճանապարհով կամ կարդալ հինգ ունցիա գիրք: Տվյալ դեպքում խոսքը, իհարկե, մասին չէր
կշռելով ճանապարհը կամ գիրքը: Սա նշանակում էր, որ ճանապարհորդության 7/12-ն ավարտվել էր կամ գրքի 5/12-ը կարդացվել էր։ Ա
12 հայտարար ունեցող կոտորակների կրճատման կամ բաժանման արդյունքում ստացված կոտորակների համար
տասներկուերորդները փոքրերի մեջ ունեին հատուկ անուններ:
Նույնիսկ հիմա երբեմն ասում են. «Նա ուշադիր ուսումնասիրել է այս հարցը»։ Սա նշանակում է, որ հարցը
ուսումնասիրվել է մինչև վերջ, որպեսզի չմնա նույնիսկ չնչին երկիմաստություն։ Եվ պատահում է մի տարօրինակ խոսք
«scrupulous» հռոմեական անունից 1/288 assa «scrupulus»: Օգտագործվում էին նաև հետևյալ անունները.
«կեսիս»-ը կես էշ է, «սեքսթանս»-ը՝ դրա վեցերորդ մասը, «սեմիոզ»-ը՝ կես ունցիա, այսինքն. 1/24 էյս և
և այլն: Ընդհանուր առմամբ օգտագործվել է կոտորակների 18 տարբեր անվանումներ։ Կոտորակների հետ աշխատելու համար պետք էր
հիշեք այս կոտորակների գումարման և բազմապատկման աղյուսակը: Հետեւաբար, հռոմեական վաճառականները ամուր
գիտեր, որ տրիենս (1/3 ասսա) և սեքստանս ավելացնելիս արդյունքը կիսաեզրափակիչ է, իսկ դևը բազմապատկելիս.
(2/3 assa) մեկ sessun-ի համար (2/3 ունցիա, այսինքն՝ 1/8 assa) կազմում է ունցիա: Ձեր աշխատանքը հեշտացնելու համար
Կազմվել են հատուկ աղյուսակներ, որոնցից մի քանիսը հասել են մեզ։
Կոտորակներ Ռուսաստանում
«Ֆրակցիա» բառը ռուսերենում հայտնվել է միայն 8-րդ դարում։ «Կոտորակ» բառը գալիս է
բառերը «ջարդել, ջարդել, կտոր-կտոր անել». Մյուս ժողովուրդների մեջ կոտորակի անվանումը նույնպես կապված է
«կոտրել», «կոտրել», «բեկորել» բայերը: Առաջին դասագրքերում կոտորակները կոչվում էին «կոտրված
թվեր։ Հին ձեռնարկներում ռուսերենում գտնվել են կոտորակների հետևյալ անունները.
1
2
1
4
1
8
- կես, կես,
- պատիվ,
- սողալ,
1
3
1
6
- երրորդ,
- կես երրորդը,
1
12
- կես երրորդը,
1
16
1
32
- կես կես,
1
24
- կես և կես երրորդ (փոքր երրորդ),
– կես-կես-կես (փոքր թիվ),
1
5
- պյատինա,
1
7
- շաբաթ,

1
10
- տասանորդ:

Հին մաթեմատիկոսները 100/11-ը կոտորակ չէին համարում: Առաջարկվել է 1 ֆունտի բաժանման մնացած մասը
փոխանակում ձվի հետ, որից կարելի է գնել 91 հատ։ Եթե ​​91:11, ապա դուք ստանում եք 8 ձու և 3
մնացած ձվերը: Հեղինակը խորհուրդ է տալիս դրանք տալ բաժանողին, կամ փոխանակել աղով, որպեսզի
աղացրեք ձվերը:
Տասնորդական կոտորակներ.
Մի քանի հազարամյակ մարդկությունն օգտագործում է կոտորակային թվեր, բայց դրանք գրելը դժվար է։
այն շատ ավելի ուշ եկավ հարմար տասնորդական թվերով: Ինչու՞ մարդիկ անցան

սովորական
Ինչ
Նրանց հետ գործողություններն ավելի պարզ են, հատկապես գումարումն ու հանումը:
Հայտնվել է տասնորդականներարաբ մաթեմատիկոսների աշխատություններում միջնադարում և նրանցից անկախ
Հին Չինաստանում. Բայց նույնիսկ ավելի վաղ՝ հին Բաբելոնում, օգտագործվում էին միայն նույն տեսակի ֆրակցիաներ
տասնորդական?
կոտորակները
Այո՛

սեքսուալ.
Ավելի ուշ գիտնական Հարթման Բեյերը (15631625) հրապարակեց «Տասնորդական լոգիստիկա» աշխատությունը։
որտեղ գրել է. «...Ես նկատեցի, որ տեխնիկներն ու արհեստավորները չափելիս ինչ
երկարությունը, շատ հազվադեպ և միայն բացառիկ դեպքերում է, որ այն արտահայտվում է ամբողջ թվերով
մեկ անուն; սովորաբար կամ պետք է փոքր միջոցներ ձեռնարկեն, կամ դիմեն
կոտորակները Նույն կերպ աստղագետները չափում են մեծությունները ոչ միայն աստիճաններով, այլև աստիճանի կոտորակներով,
դրանք. րոպե, վայրկյան և այլն: Նրանց 60 մասի բաժանելը այնքան էլ հարմար չէ, որքան դրանք 10-ի կամ 100-ի բաժանելը
մասեր և այլն, քանի որ վերջին դեպքում շատ ավելի հեշտ է գումարել, հանել և ընդհանրապես
կատարել թվաբանական գործողություններ; Ինձ թվում է, որ տասնորդական կոտորակները, եթե փոխարենը մուտքագրված են
sexagesimal, օգտակար կլիներ ոչ միայն աստղագիտության, այլև բոլոր տեսակի համար
հաշվարկներ»։
Այսօր մենք բնական և ազատորեն օգտագործում ենք տասնորդական թվերը: Այնուամենայնիվ, ինչ
մեզ բնական է թվում, որը իսկական գայթակղություն է ծառայել միջնադարի գիտնականների համար:
Արևմտյան Եվրոպայում XVI դ. լայնորեն կիրառվող տասնորդական ներկայացման համակարգի հետ միասին
Ամբողջ թվերի հաշվարկներում ամենուր օգտագործվում էին սեքսուալ կոտորակներ՝ թվագրված
հնագույն ավանդույթբաբելոնացիներ Հոլանդացի մաթեմատիկոս Սայմոնի պայծառ միտքն էր պետք
Սթևին գրելու և՛ ամբողջ, և՛ կոտորակային թվեր միասնական համակարգ. Ըստ երեւույթին
Տասնորդական կոտորակների ստեղծման խթանը նրա կազմած բաղադրյալ աղյուսակներն էին։ IN
1585 թվականին նա հրատարակեց մի գիրք, որը կոչվում էր Տասանորդ, որտեղ նա բացատրում էր տասնորդական կոտորակները։
ՀԵՏ վաղ XVIIդար, սկսվում է տասնորդական կոտորակների ինտենսիվ ներթափանցումը գիտության մեջ և
պրակտիկա. Անգլիայում կետը ներկայացվեց որպես ամբողջ թիվ կոտորակային մասից բաժանող նշան։

Ստորակետը, ինչպես և ժամկետը, որպես բաժանարար առաջարկվել է 1617 թվականին մաթեմատիկոսի կողմից.
Նեպերոմ.
Արդյունաբերության և առևտրի, գիտության և տեխնիկայի զարգացումը պահանջում էր ավելի ու ավելի մեծ ծավալներ
հաշվարկներ, որոնք ավելի հեշտ էին կատարել տասնորդականների միջոցով: Լայն Դիմում
տասնորդական կոտորակները ստացվել են 19-րդ դարում՝ մետրիկայի ներդրումից հետո, նրանց հետ սերտորեն կապված
կշիռների և չափումների համակարգեր. Օրինակ՝ մեր երկրում գյուղատնտեսության և արդյունաբերության մեջ
տասնորդականները և դրանց մասնավոր տեսարան– հետաքրքրություն – օգտագործվում է շատ ավելի հաճախ, քան սովորական
կոտորակները
Կոտորակներ երաժշտության մեջ.
Պյութագորացիները, ովքեր շատ երաժշտություն էին ստեղծում և աստվածացնում թվերը, հավատում էին, որ Երկիրը
ունի գնդակի ձև և գտնվում է Տիեզերքի կենտրոնում. դրա համար պատճառ չկա
տեղահանված կամ երկարաձգված մեկ ուղղությամբ: Արևը, Լուսինը և 5 մոլորակները (Մերկուրի, Վեներա,
Մարսը, Յուպիտերը և Սատուրնը) շարժվում են Երկրի շուրջը։ Նրանցից մեր մոլորակ հեռավորություններն այնպիսին են, որ
նրանք կարծես յոթ լարային տավիղ են կազմում, և երբ շարժվում են, գեղեցիկ երաժշտություն է հնչում.
ոլորտների երաժշտություն. Սովորաբար մարդիկ դա չեն լսում կյանքի եռուզեռի պատճառով, և միայն մահից հետո նրանցից ոմանք
կկարողանա վայելել այն: Իսկ Պյութագորասը դա լսել է իր կենդանության օրոք։
Նրա աշակերտները պյութագորացիներ էին, ովքեր շատ էին սովորում երաժշտությունը և աստվածացնում էին թվերը,
Հետազոտվել է, թե որքան է լարերի տոնայնությունը մեծանում, եթե այն սեղմվում է մեջտեղում կամ քառորդում
ծայրերից մեկի հեռավորությունը կամ երրորդով: Պարզվել է, որ երկու լարերի միաժամանակյա ձայնը
հաճելի է ականջին, եթե դրանց երկարությունները լինեն 1:2, կամ 2:3, կամ 3:4 հարաբերակցությամբ, որը համապատասխանում է.
օկտավայի, հինգերորդ և չորրորդ երաժշտական ​​ինտերվալներ: Հարմոնին, պարզվեց, սերտորեն կապված է
ֆրակցիաներ, որոնք հաստատում էին պյութագորացիների հիմնական գաղափարը՝ «թիվը կառավարում է աշխարհը»...
Այսպիսով, ֆրակցիաները որոշիչ դեր խաղացին երաժշտության մեջ։ Եվ հիմա ընդհանուր ընդունված նշումով
երկար նոտա - ամբողջություն - բաժանված է կեսերի (կես երկարությամբ), քառորդների, ութերորդների, տասնվեցերորդների և
երեսուն երկրորդ.
Իրականությունը հասկանալու գործընթացում մաթեմատիկան ավելի ու ավելի կարևոր դեր է խաղում: Այսօր
Չկա գիտելիքի ոլորտ, որտեղ մաթեմատիկական մեթոդներն այս կամ այն ​​չափով չօգտագործվեն:
հասկացություններ և մեթոդներ: Խնդիրները, որոնք նախկինում հնարավոր չէ լուծել, հաջողությամբ են անցնում
լուծվում են մաթեմատիկայի կիրառմամբ՝ դրանով իսկ ընդլայնելով գիտ
Մաթեմատիկան միշտ եղել է դրա անբաժանելի և էական բաղադրիչը
գիտելիք։
մարդկային մշակույթը, դա մեզ շրջապատող աշխարհը հասկանալու բանալին է, գիտական ​​հիմքը
տեխնիկական առաջընթաց և կարևոր բաղադրիչանհատականության զարգացում.

գրականություն
1.M.Ya.Vygodsky. «Թվաբանությունը և հանրահաշիվը հին աշխարհում».
2.G.I.Glazer. «Մաթեմատիկայի պատմությունը դպրոցում».
3.I.Ya.Depman. «Թվաբանության պատմություն».
4.Վիլենկին Ն.Յա. «Կոտորակների պատմությունից».
5. Ֆրիդման Լ.Մ. «Մենք մաթեմատիկա ենք սովորում».
6.www.referatwork.ru
7.http://storyof.ru/chisla/istoriyapoyavleniyamatematicheskojdrobi/
8.http://freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.html/
9.http://revolution.allbest.ru/mathematics/
10. http://www.researcher.ru/methodics/teor/

Կոտորակների ծագման պատմություն

Չուիկո Ա.Վ.

5 միջնակարգ դպրոց Շոկայի փ

Ձեռք. Ռիփլինգեր Լ.Ա.

Ներածություն

Կոտորակային թվերի անհրաժեշտությունը մարդկանց մոտ առաջացել է զարգացման շատ վաղ փուլում։ Արդեն մի քանի սպանված կենդանիներից բաղկացած ավարի բաժանումը որսի մասնակիցների միջև, երբ պարզվում էր, որ կենդանիների թիվը որսորդների թվի բազմապատիկ չէ, պարզունակ մարդուն կարող էր հանգեցնել կոտորակային թվի գաղափարին:

Առարկաները հաշվելու անհրաժեշտության հետ մեկտեղ մարդիկ հնագույն ժամանակներից ունեին երկարությունը, մակերեսը, ծավալը, ժամանակը և այլ մեծություններ չափելու կարիք։ Չափումների արդյունքը միշտ չի կարող արտահայտվել բնական թվով. Պատմականորեն կոտորակները առաջացել են չափման գործընթացից։

Ավելի ճշգրիտ չափումների անհրաժեշտությունը հանգեցրեց նրան, որ չափման սկզբնական միավորները սկսեցին բաժանվել 2, 3 կամ ավելի մասերի: Ավելի փոքր չափման միավորին, որը ստացվել է մասնատման արդյունքում, տրվել է անհատական ​​անվանում, և քանակները չափվել են այս փոքր միավորով։

Կոտորակներ Հին Հռոմում

Հռոմեացիներն օգտագործում էին զանգվածի չափման հիմնական միավորը. և նաև դրամական միավորը «էշ» էր։ Էշը բաժանվել է 12 հավասար մասերի՝ ունցիա։ Դրանցից գումարվել են 12 հայտարար ունեցող բոլոր կոտորակները, այսինքն՝ 1/12, 2/12, 3/12... Ժամանակի ընթացքում ունցիաները սկսեցին օգտագործել ցանկացած մեծություն չափելու համար։

Այսպես առաջացան հռոմեացիները տասներկումատնյա կոտորակներ, այսինքն՝ կոտորակներ, որոնց հայտարարը միշտ եղել է թիվ 12 . 1/12-ի փոխարեն հռոմեացիներն ասում էին «մեկ ունցիա», 5/12՝ «հինգ ունցիա» և այլն։ Երեք ունցիա կոչվում էր քառորդ, չորս ունցիա՝ երրորդ, վեց ունցիա՝ կես։

Կոտորակներ Հին Եգիպտոսում

Շատ դարեր շարունակ եգիպտացիները կոտորակներին անվանում էին «կոտրված թվեր», և առաջին կոտորակը, որին նրանք ներկայացրին, 1/2-ն էր։ Դրան հաջորդեցին 1/4, 1/8, 1/16, ..., ապա 1/3, 1/6, ..., այսինքն. ամենապարզ կոտորակները, որոնք կոչվում են միավոր կամ բազային կոտորակներ. Նրանց համարիչը միշտ մեկն է։ Միայն շատ ավելի ուշ հույները, այնուհետև հնդիկները և այլ ժողովուրդներ սկսեցին օգտագործել կոտորակներ ընդհանուր տեսարան, կոչվում է սովորական, որի համարիչը և հայտարարը կարող են լինել ցանկացած բնական թվեր։

Հին Եգիպտոսում ճարտարապետությունը հասել է զարգացման բարձր մակարդակի։ Հսկայական բուրգեր և տաճարներ կառուցելու համար, թվերի երկարությունները, մակերեսները և ծավալները հաշվարկելու համար անհրաժեշտ էր իմանալ թվաբանություն։

Պապիրի վրա վերծանված տեղեկություններից գիտնականները իմացան, որ 4000 տարի առաջ եգիպտացիներն ունեին տասնորդական (բայց ոչ դիրքային) թվային համակարգ և կարողացան լուծել բազմաթիվ խնդիրներ՝ կապված շինարարության, առևտրի և ռազմական գործերի կարիքների հետ:

Եգիպտական ​​կոտորակների մասին առաջին հայտնի հղումներից մեկը մաթեմատիկական Rhinda պապիրուսն է: Երեք ավելի հին տեքստեր, որոնք նշում են եգիպտական ​​կոտորակները, են՝ Եգիպտական ​​մաթեմատիկական կաշվե մագաղաթը, մոսկովյան մաթեմատիկական պապիրուսը և «Ախիմ» փայտե տախտակը: Rhind պապիրուսը ներառում է եգիպտական ​​կոտորակների աղյուսակ 2/ ձևի ռացիոնալ թվերի համար n, ինչպես նաև 84 մաթեմատիկական խնդիրներ, դրանց լուծումներն ու պատասխանները՝ գրված եգիպտական ​​կոտորակների տեսքով։

Եգիպտացիները դրել են հիերոգլիֆը ( էհ, «[մեկ]» կամ վեր, բերան) թվից վեր՝ սովորական նշումով միավոր կոտորակը նշելու համար, իսկ սուրբ տեքստերում օգտագործվել է տող։ Օրինակ.

Նրանք ունեին նաև հատուկ նշաններ 1/2, 2/3 և 3/4 կոտորակների համար, որոնք կարող էին օգտագործվել նաև այլ կոտորակներ (1/2-ից մեծ) գրելու համար։

Մնացած կոտորակները գրել են որպես բաժնետոմսերի գումար։ Կոտորակը գրել են ձևով
, բայց «+» նշանը նշված չէր։ Եվ գումարը
գրված է ձևով . Հետևաբար, խառը թվերի այս նշումը (առանց «+» նշանի) պահպանվել է այդ ժամանակվանից։

Բաբելոնյան սեքսեմալ կոտորակներ

Հին Բաբելոնի բնակիչները մ.թ.ա մոտ երեք հազար տարի ստեղծեցին չափումների համակարգ, որը նման էր մեր մետրային, միայն թե այն հիմնված էր ոչ թե 10, այլ 60 թվի վրա, որում չափման ավելի փոքր միավորն էր: բարձրագույն միավորի մի մասը: Այս համակարգին ամբողջությամբ հետևում էին բաբելոնացիները ժամանակի և անկյունների չափման համար, և մենք նրանցից ժառանգեցինք ժամերի և աստիճանների բաժանումը 60 րոպեի, իսկ րոպեները 60 վայրկյանի:

Հետազոտողները տարբեր կերպ են բացատրում բաբելոնացիների մոտ սեքսուալ թվային համակարգի տեսքը։ Ամենայն հավանականությամբ, այստեղ հաշվի է առնվել 60-ի հիմքը, որը 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 և 60-ի բազմապատիկն է, ինչը մեծապես հեշտացնում է բոլոր հաշվարկները։

Վաթսունականները սովորական էին բաբելոնացիների կյանքում: Դրա համար օգտագործեցին սեքսուալկոտորակներ, որոնց հայտարարը միշտ 60 թիվն է կամ նրա հզորությունները՝ 60 2, 60 3 և այլն։ Այս առումով սեքսուալ կոտորակները կարելի է համեմատել մեր տասնորդական կոտորակների հետ:

Բաբելոնյան մաթեմատիկան ազդել է հունական մաթեմատիկայի վրա։ Բաբելոնյան սեքսեսիմալ թվային համակարգի հետքեր են պահպանվել ժամանակակից գիտժամանակը և անկյունները չափելիս. Ժամերի բաժանումը 60 րոպեի, րոպեները 60 վայրկյանի, շրջանները՝ 360 աստիճանի, աստիճանները՝ 60 րոպեի, րոպեները՝ 60 վայրկյանի, պահպանվել է մինչ օրս։

Բաբելոնացիները արժեքավոր ներդրում ունեցան աստղագիտության զարգացման գործում։ Բոլոր ազգերի գիտնականները մինչև 17-րդ դարը աստղագիտության մեջ օգտագործել են սեքսուալ կոտորակներ՝ դրանք անվանելով. աստղագիտականկոտորակներով։ Ի հակադրություն, ընդհանուր կոտորակները, որոնք մենք օգտագործում ենք, կոչվում էին սովորական.

Համարակալումը և կոտորակները Հին Հունաստանում

Քանի որ հույները կոտորակների հետ աշխատում էին միայն հազվադեպ, նրանք օգտագործում էին տարբեր նշումներ։ Հերոնը և Դիոֆանտը, հին հույն մաթեմատիկոսներից ամենահայտնի թվաբանները, կոտորակները գրում էին այբբենական կարգով, իսկ համարիչը դրված էր հայտարարից ցածր։ Բայց սկզբունքորեն նախապատվությունը տրվում էր կա՛մ միավոր համարիչով կոտորակներին, կա՛մ սեքսուալ կոտորակներին:

Կոտորակային թվերի հունարեն նշումների թերությունները, ներառյալ տասնորդական թվերի համակարգում սեքսուալ կոտորակների օգտագործումը, պայմանավորված չէին հիմնարար սկզբունքների թերություններով: Հունական թվային համակարգի թերությունները ավելի շուտ կարելի է վերագրել խստության վրա նրանց պնդմանը, ինչը զգալիորեն մեծացրել է անհամեմատելի մեծությունների հարաբերությունների վերլուծության հետ կապված դժվարությունները: Հույները հասկացել են «թիվ» բառը որպես միավորների ամբողջություն, ուստի այն, ինչ մենք այժմ համարում ենք մեկ ռացիոնալ թիվ՝ կոտորակ, հույները հասկացել են որպես երկու ամբողջական թվերի հարաբերակցություն: Սա բացատրում է, որ կոտորակները հազվադեպ են հայտնաբերվել հունական թվաբանության մեջ:

Կոտորակներ Ռուսաստանում

17-րդ դարի ռուսերեն ձեռագիր թվաբանության մեջ կոտորակները կոչվում էին կոտորակներ, հետագայում «կոտրված թվեր»: Հին ձեռնարկներում ռուսերենում գտնում ենք կոտորակների հետևյալ անունները.

Սլավոնական համարակալումը Ռուսաստանում օգտագործվում էր մինչև 16-րդ դարը, այնուհետև տասնորդական դիրքային թվերի համակարգը աստիճանաբար սկսեց ներթափանցել երկիր: Այն վերջապես փոխարինեց սլավոնական համարակալումը Պետրոս I-ի օրոք:

Կոտորակներ հնության այլ նահանգներում

Չինական «Մաթեմատիկան ինը հատվածում» կոտորակների և կոտորակների հետ բոլոր գործողությունների կրճատումներ արդեն տեղի են ունենում:

Հնդիկ մաթեմատիկոս Բրահմագուպտայի մոտ մենք գտնում ենք կոտորակների բավականին զարգացած համակարգ: Նա հանդիպում է տարբեր կոտորակներև՛ հիմնական, և՛ ածանցյալներ ցանկացած համարիչով: Համարիչն ու հայտարարը գրվում են այնպես, ինչպես մենք հիմա, բայց առանց հորիզոնական գծի, այլ ուղղակի դրված են մեկը մյուսից վեր։

Արաբներն առաջինն էին, որ գծով բաժանեցին համարիչը հայտարարից։

Պիզայի Լեոնարդոն արդեն գրում է կոտորակներ՝ տեղավորելով պատյանի մեջ խառը թիվ, մի ամբողջ թիվ աջ կողմում, բայց կարդացվում է սովորականի պես: Ջորդան Նեմորարիուսը (XIII դ.) կոտորակները բաժանում է համարիչը համարիչի, իսկ հայտարարը հայտարարի վրա բաժանելով՝ բաժանումը համեմատելով բազմապատկման։ Դա անելու համար դուք պետք է լրացնեք առաջին կոտորակի պայմանները գործոններով.

15-16-րդ դարերում կոտորակների ուսումնասիրությունը ստանում է մեզ արդեն ծանոթ ձև և ձևակերպվում է մոտավորապես նույն բաժիններով, որոնք հանդիպում են մեր դասագրքերում:

Հարկ է նշել, որ թվաբանության բաժինը կոտորակների վրա երկար ժամանակամենադժվարներից մեկն էր: Իզուր չէ, որ գերմանացիները դեռևս ունեն ասացվածք՝ «կոտորակների մեջ մտնել», ինչը նշանակում էր անելանելի վիճակի մեջ մտնել։ Համարվում էր, որ յուրաքանչյուրը, ով չգիտի կոտորակներ, չգիտի թվաբանություն:

Տասնորդականներ

Տասնորդական կոտորակները հայտնվել են արաբ մաթեմատիկոսների աշխատություններում միջնադարում և նրանցից անկախ հին Չինաստան. Բայց նույնիսկ ավելի վաղ, հին Բաբելոնում, օգտագործվում էին նույն տիպի ֆրակցիաներ, միայն սեքսեզիմալ:

Հետագայում գիտնական Հարթման Բեյերը (1563-1625) հրատարակեց «Տասնորդական լոգիստիկա» աշխատությունը, որտեղ նա գրում էր. «... Ես նկատեցի, որ տեխնիկները և արհեստավորները, երբ չափում են որևէ երկարություն, շատ հազվադեպ են և միայն բացառիկ դեպքերում են դա արտահայտում. համանուն ամբողջ թվեր; Սովորաբար նրանք ստիպված են լինում կամ փոքր միջոցներ ձեռնարկել, կամ դիմել կոտորակների։ Նույն կերպ աստղագետները չափում են մեծությունները ոչ միայն աստիճաններով, այլ նաև աստիճանի կոտորակներով, այսինքն. րոպե, վայրկյան և այլն: Դրանք 60 մասի բաժանելը այնքան էլ հարմար չէ, որքան 10, 100 մասի և այլն բաժանելը, քանի որ վերջին դեպքում շատ ավելի հեշտ է գումարել, հանել և ընդհանրապես կատարել թվաբանական գործողություններ; Ինձ թվում է, որ տասնորդական կոտորակները, եթե ներմուծվեն սեքսուալ կոտորակների փոխարեն, օգտակար կլինեն ոչ միայն աստղագիտության, այլև բոլոր տեսակի հաշվարկների համար»։

Այսօր մենք բնական և ազատորեն օգտագործում ենք տասնորդական թվերը: Այնուամենայնիվ, այն, ինչ մեզ բնական է թվում, իսկական գայթակղություն էր միջնադարի գիտնականների համար։ Արևմտյան Եվրոպայում XVI դ. Ամբողջ թվերի ներկայացման լայն տարածված տասնորդական համակարգի հետ մեկտեղ, հաշվարկներում ամենուր օգտագործվում էին սեքսուալ կոտորակներ, որոնք գալիս են բաբելոնացիների հին ավանդույթներից։ Հոլանդացի մաթեմատիկոս Սայմոն Ստևինի պայծառ միտքը պահանջվեց, որպեսզի և՛ ամբողջ թվերի, և՛ կոտորակային թվերի ձայնագրումը մեկ համակարգի մեջ բերի: Ըստ երևույթին, տասնորդական կոտորակների ստեղծման խթանը նրա կազմած բաղադրյալ աղյուսակներն էին։ 1585 թվականին նա հրատարակեց «Տասանորդ» գիրքը, որտեղ նա բացատրեց տասնորդական կոտորակներ։

17-րդ դարի սկզբից սկսվեց տասնորդական կոտորակների ինտենսիվ ներթափանցումը գիտության և պրակտիկայի մեջ։ Անգլիայում կետը ներկայացվեց որպես ամբողջ թիվ կոտորակային մասից բաժանող նշան։ Ստորակետը, ինչպես կետը, որպես բաժանարար նշան առաջարկվել է 1617 թվականին մաթեմատիկոս Նապիերի կողմից։

Արդյունաբերության և առևտրի, գիտության և տեխնիկայի զարգացումը պահանջում էր ավելի ու ավելի ծանր հաշվարկներ, որոնք ավելի հեշտ էին կատարել տասնորդական կոտորակների օգնությամբ։ Տասնորդական կոտորակները լայնորեն կիրառվում են 19-րդ դարում՝ սերտորեն կապված կոտորակների ներդրումից հետո. մետրային համակարգչափումներ և կշիռներ. Օրինակ, մեր երկրում գյուղատնտեսության և արդյունաբերության մեջ տասնորդական կոտորակները և դրանց հատուկ ձևը՝ տոկոսները, շատ ավելի հաճախ են օգտագործվում, քան սովորական կոտորակները։

Գրականություն:

M.Ya.Vygodsky «Թվաբանությունը և հանրահաշիվը հին աշխարհում» (M. Nauka, 1967)

Գլեյզեր «Մաթեմատիկայի պատմությունը դպրոցում» (M. Prosveshcheniye, 1964)

Ատենախոսության ամփոփագիր

... պատմությունըսովորական կոտորակները. 1.1 Առաջացում կոտորակները. 3 1.2 ԿոտորակներՀին Եգիպտոսում։ 4 1.3 ԿոտորակներՀին Բաբելոնում։ 7 1.4 ԿոտորակներՀին Հռոմում։ 8 1.5 ԿոտորակներՀին Հունաստանում։ 9 1.6 Կոտորակներ ... ծագում, – որում համարիչը կոտորակներըգրում էր...

1. Թեմա՝ «Սովորական կոտորակների պատմություն և դրանց մասին գիտելիքների գործնական կիրառում»

   Դաս

   Ուսուցչի խոսքը պատմությունը:Բարի կեսօր։ Այսօրվա դասի թեման է. Պատմությունսովորական կոտորակներըիսկ գործնական... բաբելոնյան համարակալմամբ տեղեկություններ է տալիս սեքսագեսիմալի մասին կոտորակները. ԾագումԲաբելոնացիների շրջանում սեքսուալ թվային համակարգը կապված է...

2. Միջնադարի պատմություն, հատոր 1 և 2, խմբ

   Ատենախոսության ամփոփագիր

   Մշակվում է իր անդամների համատեղ, աստիճանաբար մասնատվածՖրանսիայում ստացած փոքր անհատական ​​ընտանիքների համար: M, 1953. Thierry O. Փորձ պատմությունըծագումեւ երրորդ իշխանության հաջողությունները // Tvri O. Ընտրյալ...

Կոտորակները դեռ համարվում են մաթեմատիկայի ամենադժվար ոլորտներից մեկը։ Կոտորակների պատմությունը գալիս է ավելի քան հազար տարի: Տարածքում առաջացել է ամբողջությունը մասերի բաժանելու ունակությունը հին Եգիպտոսև Բաբելոն։ Տարիների ընթացքում կոտորակներով կատարվող գործողությունները բարդացել են, փոխվել է դրանց ձայնագրման ձեւը։ Յուրաքանչյուրն ուներ իր առանձնահատկությունները մաթեմատիկայի այս ճյուղի հետ իր «հարաբերություններում»։

Ի՞նչ է կոտորակը:

Երբ անհրաժեշտություն առաջացավ մի ամբողջություն մասերի բաժանել առանց լրացուցիչ ջանք, ապա հայտնվեցին կոտորակներ։ Կոտորակների պատմությունը անքակտելիորեն կապված է ուտիլիտար խնդիրների լուծման հետ։ «Կոտորակ» տերմինն ինքնին ունի արաբական արմատներ և առաջացել է «կոտրել, բաժանել» բառից։ Հին ժամանակներից ի վեր այս առումով քիչ բան է փոխվել: Ժամանակակից սահմանումհնչում է այսպես. կոտորակը միավորի մասն է կամ մասերի գումարը: Համապատասխանաբար, կոտորակներով օրինակները ներկայացնում են հաջորդական կատարում մաթեմատիկական գործողություններթվերի կոտորակներով։

Այսօր դրանք գրանցելու երկու եղանակ կա. առաջացել է տարբեր ժամանակներառաջիններն ավելի հին են։

Եկել է անհիշելի ժամանակներից

Առաջին անգամ նրանք սկսեցին գործել ֆրակցիաներով Եգիպտոսում և Բաբելոնում։ Երկու երկրների մաթեմատիկոսների մոտեցումը զգալի տարբերություններ ուներ. Սակայն սկիզբը երկու դեպքում էլ նույն կերպ արվեց. Առաջին կոտորակը կեսն էր կամ 1/2-ը: Հետո առաջացավ քառորդը, երրորդը և այլն: Ըստ հնագիտական ​​պեղումների՝ ֆրակցիաների ծագման պատմությունը հասնում է մոտ 5 հազար տարվա վաղեմության։ Առաջին անգամ թվի կոտորակներ են հայտնաբերվել եգիպտական ​​պապիրուսներում և բաբելոնյան կավե սալիկների վրա։

Հին Եգիպտոս

Սովորական կոտորակների տեսակներն այսօր ներառում են այսպես կոչված եգիպտականները։ Նրանք ներկայացնում են 1/n ձևի մի քանի անդամների գումարը: Համարիչը միշտ մեկն է, իսկ հայտարարը՝ մեկ բնական թիվ. Դժվար է կռահել, որ նման ֆրակցիաներ հայտնվել են Հին Եգիպտոսում: Հաշվարկելիս մենք փորձել ենք բոլոր բաժնետոմսերը գրել նման գումարների տեսքով (օրինակ՝ 1/2 + 1/4 + 1/8): Միայն 2/3 և 3/4 կոտորակներն ունեին առանձին նշանակումներ. Կային հատուկ աղյուսակներ, որոնցում թվի կոտորակները ներկայացվում էին որպես գումար։

Նման համակարգի մասին հայտնի ամենահին հիշատակումը գտնվում է Rhind մաթեմատիկական պապիրուսում, որը թվագրվում է մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակի սկզբից: Այն ներառում է կոտորակի աշխատանքային թերթիկ և մաթեմատիկական խնդիրներ՝ լուծումներով և պատասխաններով, որոնք ներկայացված են որպես կոտորակների գումար: Եգիպտացիները գիտեին, թե ինչպես գումարել, բաժանել և բազմապատկել թվի կոտորակները: Նեղոսի հովտում կոտորակները գրվել են հիերոգլիֆներով։

Թվի կոտորակի ներկայացումը որպես Հին Եգիպտոսին բնորոշ 1/n ձևի տերմինների գումար, օգտագործվում էր ոչ միայն այս երկրում մաթեմատիկոսների կողմից։ Մինչև միջնադարը եգիպտական ​​ֆրակցիաները օգտագործվում էին Հունաստանում և այլ երկրներում։

Մաթեմատիկայի զարգացումը Բաբելոնում

Բաբելոնյան թագավորությունում մաթեմատիկան այլ տեսք ուներ։ Այստեղ կոտորակների առաջացման պատմությունն ուղղակիորեն կապված է ժառանգված թվային համակարգի առանձնահատկությունների հետ. հնագույն պետությունժառանգել է իր նախորդից՝ շումերա-աքքադական քաղաքակրթությունից։ Հաշվարկների տեխնոլոգիան Բաբելոնում ավելի հարմար և առաջադեմ էր, քան Եգիպտոսում։ Այս երկրում մաթեմատիկան շատ բան որոշեց ավելի մեծ շրջանակառաջադրանքներ.

Այսօրվա բաբելոնացիների ձեռքբերումների մասին կարելի է դատել սեպագրերով լցված կավե սալիկների միջոցով։ Նյութի առանձնահատկությունների շնորհիվ դրանք մեծ քանակությամբ հասել են մեզ։ Ոմանց կարծիքով՝ Պյութագորասից առաջ Բաբելոնում հայտնաբերվել է հայտնի թեորեմ, որն անկասկած վկայում է այս հինավուրց պետության գիտության զարգացման մասին։

Կոտորակներ. Կոտորակների պատմությունը Բաբելոնում

Բաբելոնում թվային համակարգը սեքսուալ էր։ Յուրաքանչյուր նոր թվանշան նախորդից տարբերվում էր 60-ով: Այս համակարգը պահպանվել է ժամանակակից աշխարհցույց տալու ժամանակը և անկյունները: Կոտորակները նույնպես սեքսուալ էին: Ձայնագրման համար օգտագործվել են հատուկ պատկերակներ։ Ինչպես Եգիպտոսում, կոտորակներով օրինակները պարունակում էին 1/2, 1/3 և 2/3-ի առանձին նշաններ։

Պետության հետ չվերացավ բաբելոնյան համակարգը։ 60 նիշանոց համակարգով գրված կոտորակները օգտագործվել են հին և արաբ աստղագետների և մաթեմատիկոսների կողմից։

Հին Հունաստան

Սովորական ֆրակցիաների պատմությունը քիչ էր հարստացել Հին Հունաստանում: Հելլասի բնակիչները կարծում էին, որ մաթեմատիկան պետք է գործի միայն ամբողջ թվերով։ Հետևաբար, կոտորակներով արտահայտություններ գործնականում երբեք չեն գտնվել հին հունական տրակտատների էջերում: Այնուամենայնիվ, պյութագորացիները որոշակի ներդրում ունեցան մաթեմատիկայի այս ճյուղում։ Նրանք կոտորակները հասկանում էին որպես հարաբերակցություններ կամ համամասնություններ, և միավորը նույնպես համարվում էր անբաժանելի։ Պյութագորասը և իր աշակերտները կառուցեցին կոտորակների ընդհանուր տեսություն, սովորեցին կատարել բոլոր չորս թվաբանական գործողությունները, ինչպես նաև համեմատել կոտորակները՝ դրանք կրճատելով ընդհանուր հայտարարի։

Սուրբ Հռոմեական կայսրություն

Կոտորակների հռոմեական համակարգը կապված էր քաշի չափման հետ, որը կոչվում էր «էշ»: Այն բաժանվել է 12 բաժնետոմսի։ Ասի 1/12-ը կոչվում էր ունցիա: Կոտորակների համար 18 անուն կար։ Ահա դրանցից մի քանիսը.

կիսաեզրափակիչ - կես ասսա;

sextante - էշի վեցերորդ մասը;

յոթ ունցիա - կես ունցիա կամ 1/24 էշ:

Նման համակարգի թերությունն այն էր, որ անհնար էր թիվը ներկայացնել որպես կոտորակ 10 կամ 100 հայտարարով։ Հռոմեացի մաթեմատիկոսները հաղթահարեցին դժվարությունը՝ օգտագործելով տոկոսները։

Ընդհանուր կոտորակներ գրելը

Անտիկ ժամանակներում կոտորակներն արդեն գրվում էին ծանոթ ձևով՝ մի թիվը մյուսի վրա: Այնուամենայնիվ, կար մեկ էական տարբերություն. Համարիչը գտնվում էր հայտարարից ցածր: Նրանք սկզբում սկսեցին կոտորակներ գրել այսպես հին Հնդկաստան. Ժամանակակից մեթոդը կիրառել են արաբները։ Բայց անվանված ժողովուրդներից և ոչ մեկը չի օգտագործել հորիզոնական գիծ՝ համարիչն ու հայտարարը բաժանելու համար։ Այն առաջին անգամ հայտնվում է Լեոնարդո Պիզայի գրվածքներում, ով ավելի հայտնի է որպես Ֆիբոնաչի, 1202 թվականին։

Չինաստան

Եթե ​​սովորական կոտորակների առաջացման պատմությունը սկսվեց Եգիպտոսում, ապա տասնորդականները առաջին անգամ հայտնվեցին Չինաստանում: Երկնային կայսրությունում դրանք սկսեցին օգտագործվել մոտավորապես մ.թ.ա 3-րդ դարում։ Տասնորդական կոտորակների պատմությունը սկսվել է չինացի մաթեմատիկոս Լյու Հուիից, ով առաջարկել է դրանք օգտագործել քառակուսի արմատներ հանելու համար։

3-րդ դարում Չինաստանում տասնորդական կոտորակները սկսեցին օգտագործել քաշը և ծավալը հաշվարկելու համար։ Աստիճանաբար նրանք սկսեցին ավելի ու ավելի խորը ներթափանցել մաթեմատիկայի մեջ: Եվրոպայում, սակայն, տասնորդականները սկսեցին օգտագործվել շատ ավելի ուշ:

Ալ-Կաշին Սամարղանդից

Անկախ չինական նախորդներից, տասնորդական կոտորակները հայտնաբերվել են աստղագետ ալ-Քաշիի կողմից. հնագույն քաղաքՍամարղանդ. Նա ապրել և ստեղծագործել է 15-րդ դարում։ Գիտնականն իր տեսությունը ներկայացրել է «Թվաբանության բանալին» տրակտատում, որը հրապարակվել է 1427 թվականին։ Ալ-Քաշին առաջարկել է օգտագործել նոր համազգեստկոտորակներ գրելը. Այժմ և՛ ամբողջ, և՛ կոտորակային մասերը գրված էին նույն տողում: Սամարղանդի աստղագետը նրանց բաժանելու համար ստորակետ չի օգտագործել։ Նա գրել է ամբողջ թիվը և կոտորակային մասը տարբեր գույներօգտագործելով սև և կարմիր թանաք: Երբեմն ալ-Քաշին նաև ուղղահայաց գիծ էր օգտագործում՝ առանձնանալու համար:

Տասնորդականները Եվրոպայում

13-րդ դարում եվրոպացի մաթեմատիկոսների աշխատություններում կոտորակների նոր տեսակ սկսեց հայտնվել։ Նշենք, որ նրանք ծանոթ չէին ալ-Քաշիի աշխատանքներին, ինչպես նաև չինացիների գյուտին։ Տասնորդական կոտորակները հայտնվել են Ջորդան Նեմորարիուսի գրվածքներում։ Այնուհետև դրանք օգտագործվել են արդեն 16-րդ դարում ֆրանսիացի գիտնականի կողմից, ով գրել է «Մաթեմատիկական կանոնը», որը պարունակում էր եռանկյունաչափական աղյուսակներ: Վիեթը դրանցում օգտագործել է տասնորդական կոտորակներ։ Ամբողջական և կոտորակային մասերն առանձնացնելու համար գիտնականն օգտագործել է ուղղահայաց գիծ, ​​ինչպես նաև տարբեր չափստառատեսակ.

Սակայն դրանք միայն գիտական ​​օգտագործման հատուկ դեպքեր էին։ Տասնորդական կոտորակները սկսեցին կիրառվել Եվրոպայում մի փոքր ավելի ուշ՝ կենցաղային խնդիրները լուծելու համար։ Դա տեղի ունեցավ 16-րդ դարի վերջին հոլանդացի գիտնական Սայմոն Ստևինի շնորհիվ։ Հրատարակել է «Տասներորդ» մաթեմատիկական աշխատությունը 1585 թվականին։ Դրանում գիտնականը նախանշել է թվաբանության մեջ տասնորդական կոտորակների օգտագործման տեսությունը, դրամավարկային համակարգև կշիռներն ու չափերը որոշելու համար։

Կետ, կետ, ստորակետ

Սթևինը նույնպես ստորակետ չի օգտագործել։ Նա բաժանեց կոտորակի երկու մասերը՝ օգտագործելով շրջանով շրջապատված զրո:

Առաջին անգամ ստորակետը տասնորդական կոտորակի երկու մաս բաժանեց 1592 թվականին։ Անգլիայում, սակայն, փոխարենը սկսեցին օգտագործել կետ։ ԱՄՆ-ում տասնորդականները դեռ այսպես են գրվում։

Ամբողջ թվերն ու կոտորակային մասերը բաժանելու համար երկու կետադրական նշանների կիրառման նախաձեռնողներից մեկը շոտլանդացի մաթեմատիկոս Ջոն Նապիերն էր։ Նա իր առաջարկն արտահայտել է 1616-1617 թթ. Գերմանացի գիտնականը օգտագործել է նաեւ ստորակետը

Կոտորակներ Ռուսաստանում

Ռուսական հողի վրա առաջին մաթեմատիկոսը, ով բացատրեց ամբողջի բաժանումը մասերի, Նովգորոդյան վանական Կիրիկն էր։ 1136 թվականին նա գրել է մի աշխատություն, որտեղ ուրվագծել է «տարիները հաշվելու» մեթոդը։ Կիրիկը զբաղվել է ժամանակագրության և օրացույցի հարցերով։ Նա իր աշխատության մեջ մեջբերել է նաեւ ժամի բաժանումը մասերի՝ հինգերորդ, քսանհինգերորդ եւ այլն։

Ամբողջը մասերի բաժանելը կիրառվում էր 15-17-րդ դարերում հարկի չափը հաշվարկելիս։ Օգտագործվել են կոտորակային մասերով գումարման, հանման, բաժանման և բազմապատկման գործողությունները։

«Ֆրակցիա» բառն ինքնին հայտնվել է Ռուսաստանում 8-րդ դարում: Այն գալիս է «բաժանել, մասերի բաժանել» բայից։ Մեր նախնիները հատուկ բառեր էին օգտագործում կոտորակներ անվանելու համար: Օրինակ՝ 1/2-ը նշանակվել է կես կամ կես, 1/4-ը՝ քառորդ, 1/8-ը՝ կես, 1/16-ը՝ կես և այլն։

Կոտորակների ամբողջական տեսությունը, որը շատ չի տարբերվում ժամանակակիցից, ներկայացվել է թվաբանության առաջին դասագրքում, որը գրվել է 1701 թվականին Լեոնտի Ֆիլիպովիչ Մագնիտսկու կողմից։ «Թվաբանությունը» բաղկացած էր մի քանի մասից. Կոտորակների մասին հեղինակը մանրամասն խոսում է «Կոտրված կամ կոտորակներով թվերի մասին» բաժնում։ Մագնիտսկին տալիս է գործողություններ «կոտրված» թվերով և դրանց տարբեր անվանումներով։

Այսօր կոտորակները դեռևս մաթեմատիկայի ամենադժվար ճյուղերից են։ Կոտորակների պատմությունը նույնպես պարզ չի եղել։ Տարբեր ազգերերբեմն միմյանցից անկախ, երբեմն էլ փոխառելով նախորդների փորձը, նրանք հանգում էին թվերի կոտորակները ներկայացնելու, տիրապետելու և օգտագործելու անհրաժեշտությանը։ Կոտորակների ուսումնասիրությունը միշտ առաջացել է գործնական դիտարկումներից և հրատապ խնդիրների շնորհիվ: Պետք էր հացը բաժանել, հավասար հողակտորներ նշել, հարկերը հաշվարկել, ժամանակը չափել և այլն։ Կոտորակների և դրանց հետ մաթեմատիկական գործողությունների օգտագործման առանձնահատկությունները կախված էին նահանգում թվային համակարգից և մաթեմատիկայի զարգացման ընդհանուր մակարդակից։ Այսպես թե այնպես, հաղթահարելով ավելի քան հազար տարի, թվերի կոտորակներին նվիրված հանրահաշվի բաժինը ձևավորվել, մշակվել և այսօր հաջողությամբ օգտագործվում է տարբեր կարիքների համար՝ ինչպես գործնական, այնպես էլ տեսական: