Funkcija jedan je od najvažnijih matematičkih pojmova. Funkcija - varijabilna ovisnost na od varijable xako svaka vrijednost x odgovara jedinoj vrijednosti na... Promjenjiva x naziva nezavisnom varijablom ili argumentom. Promjenjiva na naziva zavisnom varijablom. Sve vrijednosti neovisne varijable (varijabla x) tvore domenu funkcije. Sve vrijednosti koje ovisna varijabla (varijabla g), tvore raspon vrijednosti funkcije.

Graf funkcije nazvati skup svih točaka koordinatna ravnina, čije su apscise jednake vrijednostima argumenta, a ordinate jednake odgovarajućim vrijednostima funkcije, odnosno vrijednosti varijable crtaju se duž osi apscisa x, a ordinata predstavlja vrijednosti varijable g... Da biste nacrtali graf funkcije, morate znati svojstva funkcije. O glavnim svojstvima funkcije bit će riječi kasnije!

Za crtanje grafikona funkcije, preporučujemo upotrebu našeg programa - Grafički prikaz mrežnih funkcija. Ako imate bilo kakvih pitanja tijekom proučavanja materijala na ovoj stranici, uvijek ih možete postaviti na našem forumu. Također, forum će vam pomoći u rješavanju problema iz matematike, kemije, geometrije, teorije vjerojatnosti i mnogih drugih predmeta!

Osnovna svojstva funkcija.

1) Domena funkcije i domena funkcije.

Opseg funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenta x (varijabla x) za koje je funkcija y \u003d f (x) definirano.
Raspon vrijednosti funkcije skup je svih stvarnih vrijednosti gda funkcija prihvaća.

U osnovna matematika funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) nula funkcije.

Vrijednosti xna kojem y \u003d 0Zove se nula funkcije... To su apscise presječnih točaka grafa funkcije s osi Ox.

3) Intervali postojanosti funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije takvi su intervali vrijednosti x, na kojem su vrijednosti funkcije g ili se nazivaju samo pozitivni ili samo negativni intervali postojanosti funkcije.

4) Monotonost funkcije.

Povećavajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija za koju više značenja argument iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Smanjujuća funkcija (u određenom intervalu) - funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Funkcija pariteta (neparna).

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koju x f (-x) \u003d f (x)... Grafikon parne funkcije simetričan je oko osi ordinata.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koju x iz domene definicije, jednakost f (-x) \u003d - f (x). Grafikon neparne funkcije simetričan je s ishodištem.

Ravna funkcija
1) Domena definicije je simetrična u odnosu na točku (0; 0), odnosno ako je točka a pripada domeni definicije, zatim točke -a također pripada domeni definicije.
2) za bilo koju vrijednost x f (-x) \u003d f (x)
3) Graf parne funkcije simetričan je oko osi Oy.

Neparna funkcija ima sljedeća svojstva:
1) Domen definicije simetričan je prema točki (0; 0).
2) za bilo koju vrijednost xpripadnost domeni, jednakost f (-x) \u003d - f (x)
3) Graf neparne funkcije simetričan je s ishodištem (0; 0).

Nije svaka funkcija neparna ili parna. Funkcije opći pogled nisu ni parni ni neparni.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničena ako je takva pozitivan broj M takav da je | f (x) | ≤ M za sve vrijednosti x. Ako nema tog broja, tada je funkcija neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f (x) periodična je ako postoji nulti broj T takav da za bilo koji x iz domene funkcije vrijedi sljedeće: f (x + T) \u003d f (x). Takva najmanji broj naziva se periodom funkcije. svi trigonometrijske funkcije su periodični. (Trigonometrijske formule).

Funkcija f naziva se periodičnim ako postoji takav broj da za bilo koji x iz domene, jednakost f (x) \u003d f (x-T) \u003d f (x + T). T je razdoblje funkcije.

Bilo koja periodička funkcija ima beskonačan skup razdoblja. U praksi se obično uzima u obzir najkraće pozitivno razdoblje.

Vrijednosti periodičke funkcije ponavljaju se nakon intervala jednakog periodu. To se koristi prilikom izrade grafova.

Da biste to učinili, upotrijebite milimetarski papir ili grafički kalkulator. Odaberite bilo koji višekratnik numeričkih vrijednosti varijabli koje objašnjavaju x (\\ displaystyle x) i uključite ih u funkciju za izračunavanje vrijednosti zavisne varijable y (\\ prikaz stila y)... Nacrtajte pronađene koordinate točaka na koordinatnoj ravnini, a zatim ih spojite kako biste izgradili graf funkcije.

• Zamjena pozitivna numeričke vrijednosti x (\\ displaystyle x) i odgovarajuće negativne numeričke vrijednosti. Na primjer, dana funkcija. Zamjena u njemu slijedeće vrijednosti x (\\ displaystyle x):
  • f (1) \u003d 2 (1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ displaystyle f (1) \u003d 2 (1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3) (1, 3) (\\ displaystyle (1,3)).
  • f (2) \u003d 2 (2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ displaystyle f (2) \u003d 2 (2) ^ (2) + 1 \u003d 2 (4) +1 \u003d 8 + 1 \u003d 9)... Dobio sam točku s koordinatama (2, 9) (\\ displaystyle (2.9)).
  • f (- 1) \u003d 2 (- 1) 2 + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3 (\\ displaystyle f (-1) \u003d 2 (-1) ^ (2) + 1 \u003d 2 + 1 \u003d 3)... Dobio sam točku s koordinatama (- 1, 3) (\\ displaystyle (-1,3)).
  • f (- 2) \u003d 2 (- 2) 2 + 1 \u003d 2 (4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9 (\\ displaystyle f (-2) \u003d 2 (-2) ^ (2) + 1 \u003d 2 ( 4) + 1 \u003d 8 + 1 \u003d 9)... Dobio sam točku s koordinatama (- 2, 9) (\\ displaystyle (-2,9)).

Ovisnost varijable y o varijabli x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y naziva se funkcijom. Oznaka je y \u003d f (x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, paritet, periodičnost i druga.

Razmotrite svojstvo pariteta detaljnije.

Funkcija y \u003d f (x) poziva se čak i ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

2. Vrijednost funkcije u točki x koja pripada domeni funkcije mora biti jednaka vrijednosti funkcije u točki -x. Odnosno, za bilo koju točku x, iz domene funkcije, mora se ispuniti sljedeća jednakost f (x) \u003d f (-x).

Graf parnih funkcija

Ako ucrtate parnu funkciju, ona će biti simetrična oko osi Oy.

Na primjer, funkcija y \u003d x ^ 2 je parna. Provjerimo. Područje definicije je cijela brojevna os, što znači da je simetrično u odnosu na točku O.

Uzmi proizvoljni x \u003d 3. f (x) \u003d 3 ^ 2 \u003d 9.

f (-x) \u003d (- 3) ^ 2 \u003d 9. Stoga je f (x) \u003d f (-x). Dakle, oba su uvjeta zadovoljena, što znači da je funkcija ujednačena. Ispod je grafikon funkcije y \u003d x ^ 2.

Slika pokazuje da je graf simetričan oko osi Oy.

Graf neparne funkcije

Funkcija y \u003d f (x) naziva se neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

1. Domena ove funkcije mora biti simetrična s obzirom na točku O. Odnosno, ako neka točka a pripada domeni funkcije, tada odgovarajuća točka -a također mora pripadati domeni zadane funkcije.

2. Za bilo koju točku x, iz domene funkcije, mora se ispuniti sljedeća jednakost f (x) \u003d -f (x).

Grafikon neparne funkcije simetričan je oko točke O - ishodišta. Na primjer, funkcija y \u003d x ^ 3 je neparna. Provjerimo. Područje definicije je cijela brojevna os, što znači da je simetrično u odnosu na točku O.

Uzmimo proizvoljni x \u003d 2. f (x) \u003d 2 ^ 3 \u003d 8.

f (-x) \u003d (- 2) ^ 3 \u003d -8. Stoga je f (x) \u003d -f (x). Dakle, imamo oba uvjeta zadovoljena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon funkcije y \u003d x ^ 3.

Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y \u003d x ^ 3 simetrična u odnosu na ishodište.

Parne i neparne funkcije jedno su od njegovih glavnih svojstava, a ravnomjernost zauzima impresivan dio školski tečaj matematika. U velikoj mjeri određuje prirodu ponašanja funkcije i uvelike olakšava konstrukciju odgovarajućeg grafa.

Odredimo paritet funkcije. Općenito govoreći, funkcija koja se proučava smatra se čak i ako se za suprotne vrijednosti neovisne varijable (x) smještene u njezinu području definicije, odgovarajuće vrijednosti y (funkcije) pokažu jednakima.

Dajmo rigorozniju definiciju. Razmotrimo neku funkciju f (x), koja je navedena u domeni D. Bit će čak i ako za bilo koju točku x koja se nalazi u domeni definicije:

• -x (suprotna točka) je također u ovom opsegu,

• f (-x) \u003d f (x).

Gornja definicija podrazumijeva uvjet neophodan za područje definicije takve funkcije, naime simetriju u odnosu na točku O, koja je ishodište, jer ako je neka točka b sadržana u domeni parne funkcije, tada odgovarajuća točka b također leži u ovoj domeni. Dakle, iz gore navedenog slijedi zaključak: parna funkcija ima oblik simetričan u odnosu na os ordinata (Oy).

Kako u praksi odrediti paritet funkcije?

Neka se da pomoću formule h (x) \u003d 11 ^ x + 11 ^ (- x). Slijedeći algoritam koji izravno slijedi iz definicije, prvo istražujemo njegovo područje definicije. Očito je definiran za sve vrijednosti argumenta, odnosno prvi je uvjet zadovoljen.

Sljedeći je korak zamjena njegove suprotne vrijednosti (-x) za argument (x).
Dobivamo:
h (-x) \u003d 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
Budući da zbrajanje zadovoljava komutativni (pomični) zakon, očito je da je h (-x) \u003d h (x), a zadana funkcionalna ovisnost je parna.

Provjerimo ujednačenost funkcije h (x) \u003d 11 ^ x-11 ^ (- x). Slijedeći isti algoritam, dobivamo da je h (-x) \u003d 11 ^ (- x) -11 ^ x. Izvadivši minus, na kraju imamo
h (-x) \u003d - (11 ^ x-11 ^ (- x)) \u003d - h (x). Stoga je h (x) neparno.

Usput, treba imati na umu da postoje funkcije koje se ne mogu klasificirati prema tim kriterijima, ne nazivaju se ni parnim ni neparnim.

Čak i funkcije imaju niz zanimljivih svojstava:

• kao rezultat dodavanja takvih funkcija dobiva se čak;
• kao rezultat oduzimanja takvih funkcija dobiva se jednaka;
• čak, također čak;
• kao rezultat množenja dviju takvih funkcija dobije se parna;
• kao rezultat množenja neparne i parne funkcije dobije se neparna;
• kao rezultat podjele neparnih i parnih funkcija dobije se neparna;
• izvod takve funkcije je neparan;
• ako na kvadrat stavimo neparnu funkciju, dobit ćemo parnu.

Funkcije pariteta mogu se koristiti za rješavanje jednadžbi.

Da bi se riješila jednadžba poput g (x) \u003d 0, gdje lijeva strana jednadžba je parna funkcija, bit će dovoljno pronaći njezino rješenje za nenegativne vrijednosti varijable. Rezultirajući korijeni jednadžbe moraju se kombinirati s suprotnim brojevima. Jedan od njih podliježe provjeri.

To se također uspješno koristi za rješavanje nestandardnih problema s parametrom.

Na primjer, postoji li vrijednost za parametar a zbog koje jednadžba 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 \u003d 1 ima tri korijena?

Uzmemo li u obzir da varijabla ulazi u jednadžbu s parnim stepenima, tada je jasno da zamjena x s - x ne mijenja zadanu jednadžbu. Iz ovoga proizlazi da ako je neki broj njegov korijen, onda je i suprotan broj... Zaključak je očit: nula korijena jednadžbe uključeni su u skup njezinih rješenja u "parovima".

Jasno je da broj 0 sam po sebi nije, to jest, broj korijena takve jednadžbe može biti samo paran i, prirodno, ni kod jedne vrijednosti parametra ne može imati tri korijena.

Ali broj korijena jednadžbe 2 ^ x + 2 ^ (- x) \u003d ax ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 može biti neparan i za bilo koju vrijednost parametra. Zaista je lako provjeriti sadrži li korijen ove jednadžbe rješenja u „parovima“. Provjerimo je li 0 korijen. Zamjenom u jednadžbu dobivamo 2 \u003d 2. Dakle, uz "uparene", 0 je i korijen, što dokazuje njihov neparan broj.

Pretvaranje grafikona.

Usmeni opis funkcije.

Grafički način.

Grafički način definiranja funkcije najvidualniji je i često se koristi u tehnologiji. U matematičkoj analizi kao ilustracija koristi se grafički način definiranja funkcija.

Graf funkcije f je skup svih točaka (x; y) koordinatne ravnine, gdje je y \u003d f (x), a x "pokreće" cijelu domenu ove funkcije.

Podskup koordinatne ravnine je graf bilo koje funkcije ako ima najviše jednu zajedničku točku s bilo kojom ravnom linijom paralelnom s osi y.

Primjer. Jesu li grafovi funkcija donjih slika?

Prednost grafički zadatak je njegova jasnoća. Možete odmah vidjeti kako se funkcija ponaša, gdje se povećava, gdje smanjuje. Na rasporedu možete odmah prepoznati neke važne karakteristike funkcije.

Općenito, analitičke i grafičke metode definiranja funkcije idu ruku pod ruku. Rad s formulom pomaže u izgradnji grafa. A grafikon često predlaže rješenja koja u formuli nećete ni primijetiti.

Gotovo svaki student zna tri načina definiranja funkcije o kojima smo upravo razgovarali.

Pokušajmo odgovoriti na pitanje: "Postoje li drugi načini za definiranje funkcije?"

Postoji takav način.

Funkcija se može jasno navesti riječima.

Na primjer, funkciji y \u003d 2x može se dati sljedeći verbalni opis: svaka stvarna vrijednost argument x preslikava se na njegovu udvostručenu vrijednost. Postavljeno je pravilo, postavljena je funkcija.

Štoviše, moguće je verbalno definirati funkciju, što je izuzetno teško, ako ne i nemoguće, postaviti formulom.

Na primjer: svaka vrijednost prirodnog argumenta x povezana je sa zbrojem znamenki koje čine vrijednost x. Na primjer, ako je x \u003d 3, tada je y \u003d 3. Ako je x \u003d 257, tada je y \u003d 2 + 5 + 7 \u003d 14. Itd. Problematično je to zapisati formulom. Ali znak je lako izvući.

Metoda verbalnog opisa prilično je rijetko korištena metoda. Ali ponekad se dogodi.

Ako postoji zakon međusobne korespondencije između x i y, tada postoji funkcija. Koji zakon, u kojem obliku se izražava - formulom, tabletom, rasporedom, riječima - ne mijenja suštinu stvari.

Razmotrimo funkcije čija su područja definicije simetrična u odnosu na ishodište, t.j. za bilo koga x s domene, broj (- x) također pripada domeni definicije. Među takve funkcije spadaju par i nepar.

Definicija.Poziva se funkcija f čakako za koju x iz svog djelokruga

Primjer. Razmotrimo funkciju

Ona je ujednačena. Provjerimo.

Za bilo koga x vrijede jednakosti

Dakle, oba su uvjeta zadovoljena, što znači da je funkcija ujednačena. Ispod je grafikon ove funkcije.

Definicija.Poziva se funkcija f neparanako za koju x iz svog djelokruga

Primjer. Razmotrimo funkciju

Čudna je. Provjerimo.

Područje definicije je cijela brojevna os, što znači da je simetrično u odnosu na točku (0; 0).

Za bilo koga x vrijede jednakosti

Dakle, imamo oba uvjeta zadovoljena, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon ove funkcije.

Grafikoni prikazani na prvoj i trećoj slici simetrični su oko osi ordinata, a grafovi prikazani na drugoj i četvrtoj slici simetrični su oko početka.

Koja je od funkcija čiji su grafikoni prikazani na slikama parna, a koja neparna?