Definicije:

Ekstremni naziva maksimum ili minimalna vrijednost funkcije na zadanom skupu.

Ekstremna točka Je točka u kojoj se postiže maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije.

Maksimalna točka Je li točka u kojoj se najveća vrijednost funkcije.

Minimalni bod Je točka u kojoj se postiže minimalna vrijednost funkcije.

Obrazloženje.

Na slici, u blizini točke x = 3, funkcija doseže svoju najveću vrijednost (to jest, u blizini ove određene točke nema gornje točke). U blizini x = 8, opet ima maksimalnu vrijednost (opet ćemo pojasniti: upravo u tom susjedstvu nema gornje točke). U tim se točkama povećanje zamjenjuje smanjenjem. To su maksimalni bodovi:

x max = 3, x max = 8.

U blizini točke x = 5 postiže se minimalna vrijednost funkcije (odnosno u blizini x = 5 nema točke ispod). U ovom trenutku smanjenje se zamjenjuje povećanjem. To je minimalna točka:

Maksimalni i minimalni bodovi su ekstremne točke funkcije, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njegove krajnosti.

Kritične i stacionarne točke funkcije:

Potrebno ekstremno stanje:

Dovoljno ekstremno stanje:

Na segmentu, funkcija y = f(x) može doseći najmanju ili najveću vrijednost bilo u kritičnim točkama ili na krajevima segmenta.

Algoritam za proučavanje kontinuirane funkcijey = f(x) za monotoniju i ekstreme:

Uzmite u obzir sljedeću sliku.

Prikazuje graf funkcije y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Razmotrimo neki interval koji sadrži točku x = 0, na primjer, od -1 do 1. Takav interval nazivamo i susjedstvom točke x = 0. Kao što možete vidjeti iz grafikona, u tom susjedstvu funkcija y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2 ima najveću vrijednost točno u točki x = 0.

Maksimalne i minimalne funkcije

U tom se slučaju točka x = 0 naziva maksimalnom točkom funkcije. Analogno ovome, točka x = 2 naziva se minimalna točka funkcije y = x ^ 3 - 3 * x ^ 2. Budući da postoji takvo susjedstvo ove točke, u kojem će vrijednost u ovoj točki biti minimalna među svim ostalim vrijednostima iz ovog susjedstva.

Točka maksimum funkcija f (x) naziva se točka x0, pod uvjetom da postoji susjedstvo točke x0 takvo da za sve x koje nije jednako x0 iz tog susjedstva, nejednakost f (x)< f(x0).

Točka minimum funkcija f (x) naziva se točka x0, pod uvjetom da postoji susjedstvo točke x0 takvo da za sve x koje nije jednako x0 iz tog susjedstva vrijedi nejednakost f (x)> f (x0).

U točkama maksimuma i minimuma funkcija vrijednost izvedenice funkcije jednaka je nuli. No, to nije dovoljan uvjet za postojanje u točki maksimuma ili minimuma funkcije.

Na primjer, funkcija y = x ^ 3 u točki x = 0 ima derivaciju jednaku nuli. No točka x = 0 nije minimalna ili maksimalna točka funkcije. Kao što znate, funkcija y = x ^ 3 raste duž cijele osi brojeva.

Tako će točke minimuma i maksimuma uvijek biti među korijenom jednadžbe f '(x) = 0. No neće svi korijeni ove jednadžbe biti točke maksimuma ili minimuma.

Stacionarne i kritične točke

Točke u kojima je vrijednost izvedenice funkcije jednaka nuli nazivaju se stacionarne točke. Točke maksimuma ili minimuma mogu postojati i na mjestima u kojima derivacija funkcije uopće ne postoji. Na primjer, y = | x | u točki x = 0 ima minimum, ali izvedenica u ovom trenutku ne postoji. Ova će točka biti kritična točka funkcije.

Kritične točke funkcije su točke u kojima je derivacija nula, ili izvedenica ne postoji u ovoj točki, odnosno funkcija u ovoj točki nije diferencijabilna. Da bi se pronašao maksimum ili minimum funkcije, mora biti zadovoljen dovoljan uvjet.

Neka je f (x) neka funkcija diferencijabilna na intervalu (a; b). Točka x0 pripada ovom intervalu i f '(x0) = 0. Tada:

1. ako pri prolasku kroz stacionarnu točku x0 funkcija f (x) i njezina izvedenica promijene znak, iz "plus" u "minus", tada je točka x0 maksimalna točka funkcije.

2. ako pri prolasku kroz stacionarnu točku x0 funkcija f (x) i njezina izvedenica promijene znak, iz "minus" u "plus", tada je točka x0 minimalna točka funkcije.

Kritične točke Jesu li točke u kojima je derivacija funkcije nula ili ne postoje. Ako je derivacija 0, tada funkcija u ovom trenutku preuzima lokalni minimum ili maksimum... Na grafikonu u takvim točkama funkcija ima vodoravnu asimptotu, odnosno tangenta je paralelna s osi Ox.

Takve se točke nazivaju stacionarna... Ako vidite "grbu" ili "jamicu" na grafikonu kontinuirane funkcije, zapamtite da je maksimum ili minimum dosegnut u kritičnoj točki. Razmotrite sljedeći zadatak kao primjer.

Primjer 1. Nađi kritične točke funkcije y = 2x ^ 3-3x ^ 2 + 5.
Riješenje. Algoritam za pronalaženje kritičnih točaka je sljedeći:

Dakle, funkcija ima dvije kritične točke.

Nadalje, ako je potrebno provesti istraživanje funkcije, tada određujemo znak izvedenice lijevo i desno od kritične točke. Ako derivacija pri prolasku kroz kritičnu točku promijeni znak s "-" na "+", tada funkcija preuzima lokalni minimum... Ako bi od "+" do "-" trebalo lokalni maksimum.

Druga vrsta kritičnih točaka to su nule nazivnika razlomljenih i iracionalnih funkcija

Funkcije s logaritmima i trigonometrijskim funkcijama koje nisu definirane u tim točkama


Treći tip kritičnih točaka imaju kontinuirano funkcije i module.
Na primjer, svaka funkcija modula ima minimum ili maksimum na točki prekida.

Na primjer, modul y = | x -5 | u točki x = 5 ima minimum (kritična točka).
Derivacija u njemu ne postoji, a desno i lijevo poprima vrijednosti 1, odnosno -1.

Pokušajte identificirati kritične točke funkcija

1)
2)
3)
4)
5)

Ako u odgovoru dobijete vrijednost
1) x = 4;
2) x = -1; x = 1;
3) x = 9;
4) x = Pi * k;
5) x = 1.
onda već znate kako pronaći kritične točke i biti u stanju rješavati jednostavne kvizove ili testove.

Područje funkcije, izračunati njezinu izvedenicu, pronaći domenu izvedenice funkcije, pronaći bodova derivacija nestaje, dokazati da pronađene točke pripadaju domeni izvorne funkcije.

Primjer 1 Identificirajte kritično bodova funkcije y = (x - 3) ² · (x -2).

Rješenje Pronađite opseg funkcije u ovaj slučaj bez ograničenja: x ∈ (-∞; + ∞); Izračunajte izvedenicu y ’. Prema pravilima diferenciranja, proizvod dva je: y '= ((x - 3) ²)' (x - 2) + (x - 3) ² (x - 2) '= 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3) ² · 1. Nakon što se ispostavi kvadratna jednadžba: y ’= 3 · x² - 16 · x + 21.

Pronađite domenu izvedenice funkcije: x ∈ (-∞; + ∞). Riješite jednadžbu 3 x² - 16 x + 21 = 0 kako biste pronašli za koju vrijedi: 3 x² - 16 x + 21 = 0.

D = 256 - 252 = 4x1 = (16 + 2) / 6 = 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3 Dakle, derivacija nestaje za x 3 i 7/3.

Utvrdite pripadaju li pronađeni predmeti bodova domenu izvorne funkcije. Budući da je x (-∞; + ∞), oboje bodova kritični su.

Primjer 2 Identificirajte kritično bodova funkcije y = x² - 2 / x.

Rješenje Područje funkcije: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), budući da je x u nazivniku. Izračunajte izvedenicu y ’= 2 · x + 2 / x².

Područje izvedenice funkcije isto je kao i izvorno: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞). Riješite jednadžbu 2x + 2 / x² = 0: 2x = -2 / x² → x = -1.

Dakle, derivacija nestaje pri x = -1. Neophodan, ali nedovoljan uvjet kritičnosti je ispunjen. Budući da x = -1 spada u interval (-∞; 0) ∪ (0; + ∞), tada je ta točka kritična.

Izvori:

• Kritični opseg prodaje, kom

Mnoge žene pate od predmenstrualnog sindroma, koji se ne manifestira samo bolnim osjećajima, već i povećanim apetitom. Kao rezultat kritični dani može značajno usporiti proces mršavljenja.

Razlozi povećanog apetita tijekom kritičnih dana

Razlog povećanja apetita tijekom kritičnih dana je promjena opće hormonske pozadine u ženskom tijelu. Nekoliko dana prije početka menstruacije raste razina hormona progesterona, tijelo se prilagođava mogućem i pokušava napraviti dodatne rezerve energije u obliku tjelesne masti, čak i ako žena sjedi. Stoga su promjene težine u kritičnim danima normalne.

Kako jesti tijekom mjesečnice

Pokušajte ovih dana ne jesti slatkiše, peciva i drugu visokokaloričnu hranu koja sadrži "brzu" hranu. Višak će se odmah odložiti u masnoću. Mnoge žene u tom razdoblju zaista žele pojesti čokoladicu, u ovom slučaju možete kupiti tamnu čokoladu i razmaziti se s nekoliko kriški, ali ne više. Tijekom menstruacije ne smijete konzumirati alkoholna pića, marinade, kisele krastavce, dimljeno meso, sjemenke i orahe. Općenito, kisele krastavce i dimljeno meso treba ograničiti u prehrani 6-8 dana prije početka menstruacije, budući da takva hrana povećava zalihe vode u tijelu, a to razdoblje karakterizira povećanje nakupljanja tekućine. Kako biste smanjili količinu soli u prehrani, u gotove obroke dodajte što je manje moguće soli.

Preporuča se jesti mliječne proizvode s niskim udjelom masti, biljnu hranu, žitarice. Grah, kuhani krumpir, riža - proizvodi koji sadrže "spore" ugljikohidrate bit će korisni. Morski plodovi, jetra, riba, govedina, perad, jaja, mahunarke, suho voće pomoći će u nadoknađivanju gubitaka željeza. Pšenične mekinje bit će korisne. Prirodna reakcija tijekom menstruacije je edem. Lako diuretičko bilje pomoći će u ispravljanju stanja: bosiljak, kopar, peršin, celer. Mogu se koristiti kao začin. U drugoj polovici ciklusa preporučuje se konzumacija proteinskih proizvoda (nemasno meso i riba, mliječni proizvodi), a količinu ugljikohidrata u prehrani treba smanjiti što je više moguće.

Ekonomski koncept kritičnog volumena prodajni odgovara položaju poduzeća na tržištu, na kojem je prihod od prodaje robe minimalan. Ta se situacija naziva prijelomna točka, kada potražnja za proizvodima opada, a profit jedva pokriva troškove. Za određivanje kritičnog volumena prodajni koristiti nekoliko metoda.

Upute

Radni ciklus nije ograničen samo na njegove aktivnosti - proizvodnju ili usluge. Ovo je složen rad određene strukture, uključujući rad glavnog osoblja, rukovodećeg osoblja, rukovodećeg osoblja itd., Kao i ekonomista, čija je zadaća financijska analiza poduzeća.

Svrha ove analize je izračunati neke vrijednosti koje, u jednom ili drugom stupnju, utječu na veličinu konačne dobiti. to različite vrste obujmi proizvodnje i prodaje, puni i prosječni, pokazatelji potražnje itd. Glavni je zadatak identificirati takav obujam proizvodnje pri kojem se uspostavlja stabilan odnos između troškova i dobiti.

Minimalni volumen prodajni, u kojem prihod u potpunosti pokriva troškove, ali se ne povećava kapital tvrtke naziva se kritični volumen prodajni... Postoje tri metode za izračunavanje metode ovog pokazatelja: metoda jednadžbi, granični prihod i grafička.

Za određivanje kritičnog volumena prodajni prema prvoj metodi sastavi jednadžbu oblika: Bn - Zper - Zpos = Pp = 0, gdje je: Bp prihod od prodajni i; Zper i Zpos - promjenjivi i stalni troškovi; Pp - dobit od prodajni i.

Prema drugoj metodi, prvom terminu, prihod od prodajni, predstavljaju u obliku proizvoda marginalnog prihoda od jedinice robe obujmom prodajni, isto vrijedi i za promjenjive troškove. Fiksni troškovi primjenjivati ​​na cijelu seriju robe, pa ostavite ovu komponentu općenito: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Izrazite vrijednost N iz ove jednadžbe i dobit ćete kritični volumen prodajni: N = Zpos / (MD - Zper1), gdje je Zper1 - promjenjivi troškovi po jedinici robe.

Grafička metoda pretpostavlja konstrukciju. Prijavite se na koordinatna ravnina dva retka: funkcija prihoda od prodajni minus i troškovi i funkcija profita. Na apscisi iscrtajte obujam proizvodnje, a na ordinati prihod od odgovarajuće količine robe izražen u novčanim jedinicama. Sjecište ovih linija odgovara kritičnom volumenu prodajni, poziciju rentabilnosti.

Izvori:

• kako prepoznati kritično djelo

Kritičko mišljenje skup je prosudbi na temelju kojih se donose određeni zaključci i vrši procjena objekata kritike. Posebno je karakteristična za istraživače i znanstvenike svih grana znanosti. Kritičko mišljenje zauzima višu razinu od običnog razmišljanja.

Vrijednost iskustva u oblikovanju kritičkog mišljenja

Teško je analizirati i donositi zaključke o onome u što ste slabo upućeni. Stoga je za naučiti kritičko razmišljanje potrebno proučavati objekte u svim mogućim vezama i odnosima s drugim pojavama. I veliku važnost u ovom slučaju ima znanje o takvim objektima, sposobnost izgradnje logičkih lanaca prosuđivanja i donošenja razumnih zaključaka.

Na primjer, procijeniti vrijednost ilustracije moguće je samo znati puno drugih plodova književnog djelovanja. Istodobno, nije loše biti stručnjak za povijest ljudskog razvoja, formiranje književnosti i književnu kritiku. Odvojeno od povijesnog konteksta, djelo može izgubiti smisao. Kako bi ocjenjivanje umjetničkog djela bilo dovoljno cjelovito i opravdano, potrebno je koristiti i svoje književno znanje koje uključuje pravila za konstruiranje umjetnički tekst u okviru pojedinih žanrova sustav različitih književnih tehnika, klasifikacija i analiza postojećih stilova i trendova u književnosti itd. Istodobno, važno je proučiti i unutarnju logiku radnje, slijed radnji, raspored i interakciju likova umjetničkog djela.

Značajke kritičkog mišljenja

Ostale značajke kritičkog mišljenja uključuju sljedeće:
- znanje o predmetu koji se proučava samo je polazište za daljnju aktivnost mozga povezanu s izgradnjom logičkih lanaca;
- dosljedno izgrađeno i temeljeno na zdravom razumu zaključivanje dovodi do identifikacije istinitih i pogrešnih informacija o predmetu koji se proučava;
- kritičko mišljenje uvijek je povezano s procjenom dostupnih informacija o ovaj objekt i odgovarajući zaključci, ocjena je pak povezana s postojećim vještinama.

Za razliku od običnog mišljenja, kritičko nije podložno slijepoj vjeri. Kritičko mišljenje omogućuje, uz pomoć cijelog sustava prosudbi o objektu kritike, shvatiti njegovu bit, otkriti istinsko znanje o njemu i pobiti lažno. Temelji se na logičnosti, dubini i potpunosti proučavanja, istinitosti, primjerenosti i dosljednosti prosudbi. Istodobno, očiti i davno dokazani iskazi prihvaćeni su kao postulati i ne zahtijevaju ponavljanje dokaza i vrednovanja.

U prethodnom zaključivanju uopće se nismo koristili tehničkim metodama diferencijalnog računa.

Teško je ne priznati da su naše osnovne metode jednostavnije i izravnije od metoda analize. Općenito, kada se bavite određenim znanstvenim problemom, bolje je poći od njegovih individualnih karakteristika nego se osloniti samo na njega opće metode iako, s druge strane, opće načelo pojašnjavanje značenja posebnih postupaka koji se primjenjuju, naravno, uvijek bi trebao imati vodeću ulogu. To je upravo smisao metoda diferencijalnog računa pri razmatranju ekstremnih problema. Promatrano u moderna znanost težnja ka općenitosti samo je jedna strana stvari, budući da je ono što je uistinu vitalno u matematici nesumnjivo uvjetovano individualnim karakteristikama problema i metoda koje se koriste.

U njegovom povijesni razvoj na diferencijalni račun uvelike su utjecali pojedinačni problemi povezani s pronalaženjem najvećih i najmanjih vrijednosti veličina. Veza između ekstremnih problema i diferencijalnog računa može se shvatiti na sljedeći način. U VIII. Poglavlju temeljito ćemo proučiti derivaciju f "(x) funkcije f (x) i njezino geometrijsko značenje. Tamo ćemo vidjeti da je, ukratko, derivacija f" (x) nagib tangente na zavoj y = f (x) u točki (x, y). Geometrijski je očito da u točkama maksimalne ili minimalne glatke krivulje y = f (x) tangenta na krivulju mora biti vodoravna, odnosno nagib mora biti nula. Dakle, za ekstremne točke dobivamo uvjet f "(x) = 0.

Da bismo jasno razumjeli što znači nestanak derivacije f "(x), razmotrimo krivulju prikazanu na slici 191. Ovdje vidimo pet točaka A, B, C, D,?, U kojima je tangenta na krivulju vodoravno; odgovarajuće vrijednosti f (x) u tim točkama označiti sa a B C D E. Najviša vrijednost f (x) (unutar područja prikazanog na crtežu) postiže se u točki D, najmanji u točki A. U točki B postoji maksimum - u smislu da u svim točkama neko susjedstvo u točki B, f (x) je manje od b, iako je u točkama blizu D, f (x) i dalje veće od b. Iz tog razloga uobičajeno je reći da u točki B postoji relativna maksimalna funkcija f (x), dok je u točki D - apsolutni maksimum. Na isti način, u točki C, relativni minimum, i u točki A - apsolutni minimum. Konačno, što se tiče točke E, u njoj nema ni maksimuma ni minimuma, iako je jednakost f "(x) = Q, Slijedi da nestanak derivacije f "(x) iznosi potrebno ali nikako dovoljan uvjet za pojavu ekstrema glatke funkcije f (x); drugim riječima, u bilo kojoj točki gdje postoji ekstrem (apsolutni ili relativni), jednakost f "(x) = 0 ali ne u svakom trenutku gdje f "(x) = 0, mora postojati ekstrem. Nazivaju se one točke u kojima derivacija f "(x) nestaje, bez obzira na to imaju li ekstrem stacionarna. Daljnja analiza dovodi do manje ili više kompliciranih uvjeta koji se tiču ​​viših derivacija funkcije f (x) i potpuno karakteriziraju maksimume, minimume i druge stacionarne točke.